Identifikace systémů Přednáška 2 Osvald Modrlák, Lukáš Hubka TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR
4 Základní nástroje verifikace Míru shody mezi výstupem soustavy a modelem. Tato kontrola je nejběžnější, protože je k dispozici měření na soustavě. Nemůže však v žádném případě dávat informace o řiditelnosti a pozorovatelnosti modelu ani o správné volbě struktury modelu. Míru shody mezi frekvenční charakteristikou soustavy a modelem. Frekvenční vlastnosti modelu jsou významné pro modelování soustav, ve kterých vstupní signál leží v určitém frekvenčním spektru. Dosažitelnost a řiditelnost, minimální realizaci a možnosti redukce řádu modelu. 2
4 Základní nástroje verifikace Posouzení správnosti volby struktury modelu a redukce řádu modelu se opírá o definici dosažitelnosti a řiditelnosti, SVD rozklad, kanonické dekompozici a redukci řádu modelu. Redukce řádu modelu je založena na časové dekompozici nalezení a eliminaci módů, které jsou špatně řiditelné nebo dosažitelné. 3
Póly, nuly, módy systému, časová odezva Je známo, že každá racionálně lomená funkce je možno zapsat ve tvaru Speciální třídu přenosových funkcí tvoří přenosy, které mají nuly a póly v pravé části Gausovy roviny. Obrazové přenosy, které mají vesměs nuly a psy v levé části Gausovy roviny se nazývají fázově minimální a přenosy, které mají nuly a póly v pravé polorovině se nazývají fázově neminimální. Hovoříme-li, že obrazový přenos je stabilní, pak tato funkce má póly v levé části Gausovy roviny. Říkáme, že obrazový přenos je nestabilní, jestliže alespoň jeden pól leží v pravé části Gausovy roviny. 4
Póly, nuly, módy systému Póly systému Každou racionálně lomenou funkci (L-obraz odezvy) je možno rozložit do parciálních zlomků, přičemž každý člen obsahuje buď jednoduchý nebo komplexně sdružený pól, nebo kombinaci násobků násobného pólu. Parciální zlomky rozkladu obrazu výstupu obsahují jak póly systému tak póly buzení. Neobsahuje-li obraz výstupu nuly systému, pak koeficienty parciálních zlomků určují buď póly systému nebo póly buzení. Parciálním zlomkům, které obsahují póly soustavy, odpovídají příslušné módy-předměty standardního typu, které v součtu tvoří přirozenou odezvu systému. 5
Póly, nuly, módy systému Přirozenou odezvu je součet módů systému Pólům buzení odpovídá L-obraz vynucené odezvy soustavy, které je vyvoláno jeho buzením. Nuly systému Nuly systému jsou kořeny čitatele obrazového přenosu Nuly systému ovlivňují všechny koeficienty rozkladu na parciální zlomky. Příklady: a)dva reálné různé póly v L-obraze výstupu b)dva póly a nula v L- obraze odezvy-výstupu 6
a)dva reálné různé póly v L-obraze výstupu 7
b) Dva póly a nula v obraze odezvy 8
Vnitřní popis Uvažujme vícerozměrový dynamický systém, jehož struktura je na obr. 4.1 9
Vnitřní popis 10
Vnitřní popis 11
Určení obrazového přenosu ze stavového popisu 12
Určení obrazového přenosu ze stavového popisu 13
Stavová dosažitelnost a pozorovatelnost 14
Softwarová podpora ARI, Úvod do identifikace systémů 15
Dekompozice a technika SVD rozkladu 16
Dekompozice a technika SVD rozkladu 17
Softwarová podpora ARI, Úvod do identifikace systémů 18
Softwarová podpora ARI, Úvod do identifikace systémů 19
Minimální realizace 20
SVD faktorizace ARI, Úvod do identifikace systémů 21
SVD faktorizace ARI, Úvod do identifikace systémů 22
Redukce řádu modelu 23
Redukce řádu modelu 24
Redukce řádu modelu 25
Redukce řádu modelu 26
Redukce řádu modelu 27
Amplitude ARI, Úvod do identifikace systémů Redukce řádu modelu 0.7 0.6 Step Response s1 sr 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Time (sec) 28
Časová dekompozice ARI, Úvod do identifikace systémů Předpokládejme, že módy systému lze rozdělit na rychlé a pomalé, které již jsou mimo sledovaný časový horizont. Základní myšlenka se opírá o dekompozici stavového vektoru systému do dvou částí. Část stavového vektoru označena jako x2 bude reprezentovat pomalé módy. y Cx x x 1 C C 1 2 2 29
Časová dekompozice 30
Módy špatně řiditelné nebo dosažitelné Nalezení a eliminaci módů, které jsou špatně řiditelné nebo dosažitelné, umožňuje metoda "vyvážené redukce (Balanced reduction)". Využívá Gramianovu formu řiditelnosti (controllability Gramian), která má lepší numerické vlastnosti. Gramianovy matice řiditelnosti a pozorovatelnosti jsou definovány následujícím způsobem 31
Módy špatně řiditelné nebo dosažitelné Princip vyvážené redukce řádu (balanced reduction) spočívá v nalezení Gramianovy matice řiditelnosti a pozorovatelnosti a následně transformací Gramianových maticí na diagonální Gramianovy matice. Pro LTI systém, který je určen maticemi (A,B,C), je možno určit Gramianovy matice řiditelnosti a pozorovatelnosti W C,W O. Za předpokladu, že existuje matice T provede se transformace souřadnic a získáme transformovaný model ve tvaru x TAT x TBu; CT Du Gramianovi matice řiditelnosti a pozorovatelnosti jsou transformovány do tvarů y 1 1 x 32
Módy špatně řiditelné nebo dosažitelné Výsledkem těchto transformací jsou diagonální matice jednotlivých módů. Následuje eliminaci těch módů, které jsou špatně řiditelné a pozorovatelné. Pro praktické redukce modelů bude využívána softwarová podpora MATLABu, funkce: balreal, modred 33
Softwarová podpora ARI, Úvod do identifikace systémů 34
Softwarová podpora ARI, Úvod do identifikace systémů 35
Příklad-Aplikace metod redukce řádu na příklad 4.4-2 Obrazový přenos: Transfer function: -0.01466 s + 1.223 Ftrs= -------------------------- s + 2.446 Zero/pole/gain: -0.014659 (s-83.42) Fzrs=--------------------------- (s+2.446) 36
Amplitude Amplitude ARI, Úvod do identifikace systémů Příklad-Aplikace metod redukce řádu na příklad 4.4-2 0.6 Step Response 0.6 Step Response 0.5 0.5 0.4 0.4 s1 0.3 0.2 s1 trs 0.3 0.2 trs sr 0.1 0.1 0 0-0.1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Time (sec) -0.1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Time (sec) 37