POUŽITÍ INTEGRÁLNÍHO POČTU VE FYZICE A GEOMETRII doc. RND. Jn Kříž, Ph.D., RND. Jiří Lipovský, Ph.D. Hdec Kálové 215
Obsh 1 Použití integálního počtu ve fyzice 4 1.1 Kinemtik.............................. 4 1.2 Potenciál, potenciální enegie.................... 5 1.3 Učení těžiště těles......................... 6 1.4 Moment setvčnosti......................... 9 1.5 Gvitční síl mezi dvěm tělesy.................. 1 1.6 Výpočet páce............................ 12 1.7 Elektosttik............................. 13 1.8 Příkldy k smosttnému pocvičování............... 17 1.9 Výsledky příkldů s smosttnému pocvičování......... 17 2 Geometické plikce učitého integálu 18 2.1 Délk křivky............................. 18 2.2 Plošný obsh ovinných množin................... 2 2.3 Výpočet objemů těles........................ 23 2.4 Výpočet povchů otčních ploch.................. 25 2.5 Příkldy k smosttnému pocvičování............... 26 2.6 Výsledky příkldů s smosttnému pocvičování......... 27 3 Dopoučená litetu 28 2
Předmluv Tento studijní tet je učen zejmén jko studijní pomůck po studenty předmětu Doplňková mtemtik 2, vyučovného v letním semestu 1. očníku bklářského studi obou Fyzikálně-technická měření výpočetní technik n Ktedře fyziky Příodovědecké fkulty Univezity Hdec Kálové. Tento předmět od kdemického oku 214/15 vyučuji. Tet jsem převážně (ž n kpitoly 1.6 1.7) sepsl podle poznámek předchozího vyučujícího doc. Jn Kříže, kteé jsem doplnil podobnějším slovním komentářem obázky příkldy k smosttnému pocvičování. Tet je ozdělen do dvou hlvních částí: pvní se zbývá použitím integálů ve fyzice duhá jejich geometickými plikcemi. N konci kždé části nleznete příkldy k smosttnému pocvičování se stučnými výsledky. Budu ád, když tento tet bude sloužit mým studentům, le i nejen jim. V přípdě, že v tetu objevíte chybu, překlep či nejsnost, sdělte mi ji posím n emilu jii.lipovskyzvináč uhk.cz. V Čenvíře, 16. 11. 215 Jiří Lipovský veze 1.2 3
1 Použití integálního počtu ve fyzice 1.1 Kinemtik Uvedeme si jednoduché použití neučitého integálu po výpočet ychlosti polohy při pohybu v postou. Máme zdnou zdnou ychlost polohu v čse t zychlení jko funkci čsu. Učujeme závislost ychlosti polohy n čse; potože se jedná o vektoy, musíme učit všechny tři jejich složky. Složky ychlosti jsou v i (t) = i (t) dt, integční konstntu zvolíme tk, by se složky ychlosti v čse t = ovnly složkám zdné počáteční ychlosti v i (t ) = v i. Obdobně učíme složky polohy i (t) = v i (t) dt, integční konstntu volíme s ohledem n i (t ) = i. Příkld 1.1. Rychlost jednoozměného pohybu závisí n čse vzthem v = 3t 1 t 2. Učete závislost polohy n čse, znáte-li (2) = m. Řešení: Polohu učíme z výše uvedeného vzthu (t) = v(t) dt = 3 2 t2 + 1 t + C. Konstntu učíme z počáteční podmínky (2) = Závislost polohy n čse tedy je 3 2 4 + 1 2 + C = C = 13 2. (t) = 3 2 t2 + 1 t 13 2. Příkld 1.2. Učete závislost složek ychlosti polohy n čse při pohybu v ovině s 1 (t) = 1 ms 2, 2 (t) = 1 ms 1 t+1 s, když v čse t = s je v 1() = 2 ms 1, v 2 () = 1 ms 1, () = 2 m y() = 3 m. Řešení: Ze vzthu po ychlost dostneme v 1 (t) = 1 (t) dt = dt = t + C 1, doszením počáteční podmínky máme v 1 () = 2 2 = + C 1 C 1 = 2, v 1 = t + 2. 4
Obdobně po duhou složku 1 v 2 (t) = 2 (t) dt = t + 1 dt = ln (t + 1) + C 2, v 1 () = 1 1 = + C 2 C 2 = 1, v 1 = ln (t + 1) + 1. Složky polohy dostneme integcí složek ychlosti podle čsu. (t) = v 1 (t) dt = (t + 2) dt = t2 2 + 2t + C 3, () = 2 2 = C 3, (t) = t2 2 + 2t 2. Obdobně učíme závislost y-ové souřdnice n čse. Při integci použijeme metodu pe ptes y(t) = v 2 (t) dt = ln (t + 1) dt + dt = f = ln (t + 1), f = 1 t + 1, g = 1, g = t + 1 = (t + 1) ln (t + 1) dt + dt = (t + 1) ln (t + 1) + C 4, y() = 3 3 = ln 1 + C 4 C 4 = 3, y(t) = (t + 1) ln (t + 1) + 3. Obdobně můžeme získt úhlovou ychlost z úhlového zychlení úhel z úhlové ychlosti. 1.2 Potenciál, potenciální enegie Pokud je intenzit pole K funkcí jedné poměnné je závislá pouze n pozici objektu, je potenciál dán jko pimitivní funkce k K. Integční konstntu můžeme volit libovolně (podle toho, kde zvolíme nulovou hldinu). Obdobně potenciální enegie je pimitivní funkcí k negtivně vzté síle F. Síle, kteá závisí pouze n pozici objektu, říkáme konzevtivní. Příkld 1.3. Učete potenciální enegii odpovídjící elstické síle F () = k. Řešení: Potenciální enegie je E p () = F () d = k d = 1 2 k2 + E. Příkld 1.4. Učete potenciální enegii odpovídjící elektosttické síle F e () = 1 4πε Q 1Q 2 2. Řešení: Potenciální enegie je E p () = F e () d = 1 4πε Q 1 Q 2 2 d = Q 1Q 2 4πε + E. 5
Příkld 1.5. Učete potenciální enegii odpovídjící gvitční síle F g () = κ m1m2 2. Řešení: Potenciální enegie je E p () = F g () d = κ m 1m 2 2 d = κ m 1m 2 + E. Jko nulovou hldinu potenciální enegie můžeme vzít npř. povch Země (v tom přípdě dostneme E = κ m1m2 R Z ) nebo nekonečno (E = ). Příkld 1.6. Učete potenciální enegii homogenního tíhového pole se silou F G (h) = mg. Řešení: Potenciální enegie je E p (h) = F G () d = mg dh = mgh + E. 1.3 Učení těžiště těles Budeme uvžovt tuhé těleso v homogenním tíhovém poli. N hmotný bod v tíhovém poli působí moment síly M = F G, kde je polohový vekto síly vzhledem k ose otáčení. Moment síly působící n element těles o hmotnosti dm je g dm, kde g je tíhové zychlení. Celkový moment síly působící n těleso tedy bude M = g dm, kde se integuje přes celou hmotnost (m) těles. Účinek momentu sil se ovná momentu výslednice sil, kteá má působiště v těžišti M = T gm, kde T je polohový vekto těžiště. Poovnáním obou vzthů po momenty dostáváme po polohu těžiště T = 1 dm, m po jednotlivé složky dostáváme T = 1 dm, y T = 1 y dm, z T = 1 m (m) m (m) m (m) (m) z dm. Využijeme-li vzthu po hustotu těles m = ρv, tedy dm = ρ dv, dostáváme T = 1 ρ dv = 1 dv, y T = 1 y dv, z T = 1 z dv. ρv (V ) V (V ) V (V ) V (V ) Obdobně po těleso se stále stejnou výškou dostáváme T = 1 ds, y T = 1 y ds, z T = 1 S (S) S (S) S po těleso se stejným půřezem T = 1 dl, y T = 1 y dl, z T = 1 l (l) l (l) l 6 (l) (S) z ds z dl.
y α α Obázek 1: Dát ve tvu kuhového oblouku Příkld 1.7. Stnovte polohu těžiště homogenního velmi tenkého dátu tvu kuhového oblouku s poloměem středovým úhlem 2α. Řešení: Zvolíme si osu tk, by tvořil osu symetie oblouku (viz ob. 1). Ze symetie vidíme y T = z T =. Délk oblouku je l = 2α, oblouk můžeme pmetizovt = cos ϕ, y = sin ϕ mlý element délky oblouku je dl = dϕ. Po výpočet -ové souřdnice těžiště použijeme vzth T = 1 l (l) dl = 1 l α α 2 cos ϕ dϕ = = 1 α 2α 2 cos ϕ dϕ = α 2α [sin ϕ]α α = α sin α. Příkld 1.8. Učete polohu tenké homogenní desky omezené obloukem pboly y 2 = 2p přímkou = (viz ob. 2). Řešení: Ze symetie máme y T = z T =. Obsh desky vypočítáme tk, že ji ozkájíme n mlé použky o tloušťce d zintegujeme. Dostáváme S = 2 y d = 2 2 2p d = 2 2p 3 [3/2 ] = 4 2p 3/2. 3 -ová souřdnice těžiště tedy je s využitím ds = 2y d = 2 2p d T = 1 S (S) ds = 1 4 2p 3 3/2 2 2p d = 3 2 3/2 [ 2 5/2 5 ] = 3 5. Příkld 1.9. Učete polohu těžiště homogenního otčního kužele, kteý má polomě podstvy výšku h. Řešení: Zvolíme si souřdnou soustvu tk, že os y je osou kužele počátek je ve středu jeho podstvy. Ze symetie vidíme T = z T =. Kužel ozřežeme 7
y d Obázek 2: Desk tvu pboly d h y ϕ ρ dy Obázek 3: Rotční kužel Obázek 4: Řez kuželem 8
y Obázek 5: Velmi tenká tyč n válce o výšce dy poloměu ρ (viz ob. 3 4), dostáváme dv = πρ 2 dy. Z geometie máme (viz půřez n ob. 4) Objem je V = h dv = π 2 h 2 tg ϕ = h = h ρ h y (h y) 2 dy = π2 h 2 y-ovou souřdnici těžiště učíme ze vzthu y T = 1 V (V ) y dv = 3 π 2 h h yπ 2 = 3 [ h 3 h 2 y2 2 2 3 hy3 + y4 4 1.4 Moment setvčnosti (h y). h h 2 (h y)2 dy = 3 h 3 ] h ] h [h 2 y hy 2 + y3 = 1 3 3 π2 h. = 3 h 3 ( h 4 h y(h y) 2 dy = 2 2 3 h4 + h4 4 ) = h 4. Při učení momentu setvčnosti tuhé těleso opět ozložíme n elementy o hmotnosti dm vzdálené od osy otáčení. Příspěvek tohoto elementu do celkového momentu setvčnosti je di = 2 dm, dostáváme tedy vzth I = (m) 2 dm. Příkld 1.1. Učete moment setvčnosti homogenní velmi tenké tyče délky l hmotnosti m vzhledem k ose pocházející těžištěm tyče kolmo n tyč. Řešení: Učujeme moment setvčnosti tyče n ob. 5 vzhledem k ose y. Nechť tyč má hustotu ρ půřez S. Pk po element hmotnosti pltí dm = ρs d. Po moment setvčnosti máme l/2 [ ] I = 2 3 l/2 ( ) l 3 ρs d = ρs = ρs 3 8 3 + l3 = ρsl l2 8 3 12 = 1 12 ml2. l/2 l/2 9
d Obázek 6: Řez válcem Příkld 1.11. Učete moment setvčnosti homogenního otčního válce o hmotnosti m poloměu vzhledem k podélné ose válce. Řešení: Nechť je délk válce l jeho hustot ρ. Rozřežeme válec n tenké slupky (v řezu n ob. 6). Element hmotnosti je dm = ρ2πl d. Moment setvčnosti podle výše uvedeného vzthu je I = [ ρ2π 3 4 l d = 2πρl 4 ] = 2πρl 4 4 = 1 2 m2. Příkld 1.12. Učete moment setvčnosti koule poloměu hmotnosti m vzhledem k ose jdoucí středem. Řešení: Kouli budeme řezt n válcovité plátky o výšce dy poloměu. Element hmotnosti je dm = ρπ 2 dy. Z Pythgoovy věty máme 2 + y 2 = 2, tedy dm = ρπ( 2 y 2 ) dy. Z výše uvedeného vzthu po moment setvčnosti výsledku předchozího příkldu dostáváme I = (m) 1 2 2 dm = 1 2 = 1 2 ρπ [ 4 y 2 3 2 y 3 + y5 5 1.5 Gvitční síl mezi dvěm tělesy ρπ( 2 y 2 ) 2 dy = 1 2 ρπ ( 4 2 2 y 2 + y 4 ) dy = ] = ρπ 155 1 5 + 3 5 15 = = 8 15 πρ5 = 4 3 πρ3 2 5 2 = 2 5 m2. Gvitční síl mezi dvěm hmotnými body (nebo dvěm koulemi) je F g = κ m 1m 2 2, 1
y dy m 2 Obázek 7: Řez koulí dm m 1 l Obázek 8: Tyč hmotný bod kde je vzdálenost těchto bodů (esp. vzdálenost středů koulí), m 1 m 2 jejich hmotnosti κ gvitční konstnt. Tohoto vzthu využijeme element gvitční síly mezi dvěm elementy hmotnosti tuhých těles vyjádříme jko df g = κ dm 1dm 2 2, F g = (m) df g. Příkld 1.13. Učete velikost gvitční síly, kteou n sebe vzájemně působí hmotný bod o hmotnosti m 1 homogenní tyč délky l hmotnosti m 2, jejíž hmotný střed má vzdálenost od hmotného bodu hmotný bod leží v podloužení podélné osy tyče. Řešení: Nechť je půřez tyče S její hustot ρ. Rozřežeme si ji n elementy dm dle ob. 8. Gvitční síl je podle výše uvedeného vzthu F g = κm 1 +l/2 l/2 ρs d 2 [ = κm 1 ρs 1 ] +l/2 = κm ( ) 1m 2 1 l/2 l l/2 1. + l/2 11
w/2 h Obázek 9: Válcový tnk Obázek 1: Řez válcem 1.6 Výpočet páce Páci učíme jko W = F ds, tj. integujeme půmět síly do tjektoie po (s) dáze, po kteé je těleso přemisťováno. Příkld 1.14. Vypočtěte mechnickou páci, kteá je zpotřebí k vyčepání vody z válcového tnku z vodou. Válec o poloměu podstvy výšce h má osu symetie vodoovnou otvo má n honím okji (viz ob. 9). Řešení: Zveďme si oznčení jko n ob. 1. Potom element objemu vody (tenká vstv vody při hldině) je dv = hw d, kde je vzdálenost hldiny od otvou. Z Pythgoovy věty vidíme, že w = 2 2 ( ) 2 = 2 1 ( 1 ) 2. Síl působící n element hmotnosti je ovn součinu tohoto elementu s gvitčním zychlením, poto po element páce dostáváme dw = g dm. Páce je ovn W = 2 gρh2 1 Integál vypočteme pomocí substituce = 2 1 1 1 ( 1 ) 2 2 d = 2gρh 1 ( 1 ) 2 d. ( 1 ) 2 d = t = 1, dt = 1 d, = (1 t) = (1 t)( ) 1 1 1 t 2 dt = 2 1 t2 dt + 2 t 1 t 2 dt. 1 1 12
Duhý integál je nulový, potože integujeme lichou funkci přes symetický intevl. V pvním integálu zvedeme substituci t = sin u, dt = cos u du dostáváme π/2 π/2 2 cos 2 u du = 2 π/2 = 2 Páce tedy je π π 1 4 dv 2 π/2 π π 1 4 1 + cos (2u) 2 cos v dv = 2 4 W = 2gh 1 2 π2 = mg = E p, du = v = 2u, dv = 2du = [v + sin v] π π = 1 2 π2. což je záponě vztá potenciální enegie těžiště vzhledem k otvou. Příkld 1.15. Učete vzth po páci plynu při izotemickém ději. Řešení: Při izotemickém ději pltí pv = c, kde c je konstnt, z toho p = c V. Element páce je oven dw = F ds = ps ds = p dv. Páce je ovn V1 c W = dw = V dv = c ln V 1, V kde V je počáteční V 1 konečný objem. Příkld 1.16. Učete vzth po páci plynu při dibtickém ději. V Řešení: Po dibtický děj pltí pv κ = c, kde c κ jsou konstnty. Obdobně jko v předchozím příkldě dostáváme W = V1 V p dv = 1.7 Elektosttik V1 V [ c V 1 κ V κ dv = c 1 κ ] V1 V = c V 1 κ 1 V 1 κ. 1 κ Intenzit elektického pole je ovn součtu intenzit způsobených jednotlivými elementy náboje de = dq 4πε 2, kde je jednotkový vekto ve směu od elementu náboje do bodu, ve kteém intenzitu zjišťujeme. Příkld 1.17. Učete intenzitu pole nbité přímky s lineání hustotou náboje τ ve vzdálenosti R od této přímky. Řešení: Náboj v části přímky o délce dl je z definice lineání hustoty náboje dq = τdl. Tento náboj způsobuje v bodě vzdáleném R od přímky intenzitu de (viz ob. 11). Tuto intenzitu lze ozložit do dvou složek složky ovnoběžné s přímkou de l složky kolmé k přímce de. Složk E l se vyuší s příspěvkem opčné části přímky de l, ztímco de se sečte se stejně velkou složkou de. Velikost kolmé složky je de = de cos β = 13 τdl cos β 4πε 2.
β dl dl dβ de l de R β de de de l de Obázek 11: Pole nbité přímky Z geometie vidíme dl = dl cos β = dβ, z tohoto vzthu dosdíme do předchozí ovnice z dl cos β de = τ dβ τ dβ cos β = 4πε 4πε R, neboť R = cos β. Velikost celkové intenzity tedy je E = E = τ π/2 cos β dβ = 4πε R π/2 τ [sin β]π/2 4πε R π/2 = τ 2πε R. Příkld 1.18. Učete velikost intenzity pole nbitého pstence n jeho ose. Hustot náboje je µ, polomě pstence vzdálenost bodu, ve kteém intenzitu měříme, od středu pstence je. Řešení: Situce je znázoněn n ob. 12. Elektosttická síl od elementu pstence je de s, kteá se dá ozložit n složku ovnoběžnou s osou pstence de složku k ní kolmou de. Příspěvky de od opčných stn pstence se vyuší, tkže nás zjímá pouze velikost de. T je de = de s cos α = dq 4πε s 2 cos α. Element náboje dq = µ dl = µ dβ dosdíme do vzthu výše de = µ dβ 4πε s 2 cos α = µ dβ 4πε ( 2 + 2 ) 2 +. 2 14
de s de de α s dβ Obázek 12: Pole nbitého pstence Intenzit tedy je µ 2π E = 4πε ( 2 + 2 dβ = ) 2 + 2 µ = 4πε ( 2 + 2 ) 2 + 2π = µ sin α cos α 2 2ε 2 +. 2 Příkld 1.19. Učete intenzitu nbité oviny (plošná hustot náboje σ) ve vzdálenosti od ní. Řešení: Využijeme obázku v předchozím příkldu. Z geometie vidíme, že s dα = cos α d, záoveň s = cos α. Kombincí těchto dvou vzthů dostáváme d = dα cos 2 α. Využijeme vzthu mezi lineání plošnou hustotou µ = σ d výsledku předchozího příkldu. de = σ d sin α cos α 2ε 2 + = σ sin α cos α 2 2ε 2 + 2 Velikost intenzity tedy je E = σ 2ε π/2 sin α dα = dα cos 2 α = = σ sin α cos 2 α 2ε cos 2 dα = σ sin α dα. α 2ε σ 2ε [ cos α] π/2 = σ 2ε. Všimněte si, že intenzit nezávisí n vzdálenosti od oviny. 15
R dα R O dα α α A Obázek 13: Pole nbité kulové slupky Příkld 1.2. Učete potenciál intenzitu nbité kulové slupky o poloměu R ve vzdálenosti od jejího středu. Řešení: Budeme uvžovt pstenec elementání šířky R dα kolmý k ose OA (viz ob. 13). Tento pstenec má náboj dq = σ(2πr sin α)r dα = 2πR 2 σ sin α dα. Z kosinové věty máme 2 α = R 2 + 2 2R cos α, difeencováním tohoto vzthu dostáváme 2 α d α = 2R sin α dα. Odsud vyjádříme sin α dα dosdíme do vzthu po element náboje Element potenciálu je dq = 2πRσ α d α. dϕ = dq = σr 4πε α 2πε d α. Pokud A leží vně plochy ( R), dostáváme ϕ = σr 2πε +R R Pokud A leží uvnitř plochy ( < R), dostáváme ϕ = σr 2πε +R R d α = σr2 ε = Q 4πε. d α = σr ε = Q 4πε R. V pvním přípdě dostáváme potenciál nbitého bodu, uvnitř kulové slupky je potenciál konstntní. Intenzitu učíme ze vzthu E = dϕ d, její velikost je 16
tedy záponě vztou deivcí potenciálu. R : E = Q 4πε 2, < R : E = Uvnitř koule je intenzit nulová, jedná se o Fdyovu klec. 1.8 Příkldy k smosttnému pocvičování Příkld 1.21. Učete závislost složek ychlosti složek polohy n čse po pohyb v ovině s 1 (t) = (t+2 s) 4ms 3, 2 (t) = (t 2 +1 s 2 ) 3ms 4, počátečními hodnotmi složek ychlosti v 1 () = 1 ms 1, v 2 () = ms 1 polohy () = 1 m, y() = 2 m. Příkld 1.22. Učete polohu těžiště tenké homogenní půlkuhové desky o poloměu se středem v počátku. Příkld 1.23. Učete moment setvčnosti otčního kužele o výšce h poloměu podstvy R vzhledem k ose pocházející osou jeho symetie. Příkld 1.24. Dokžte, že gvitční síl mezi hmotným bodem homogenní koulí je stejná jko v přípdě, kdy kouli nhdíme hmotným bodem o stejné hmotnosti. (Rozdělte kouli n kulové slupky dále postupujte obdobně jko v příkldu 1.2). 1.9 Výsledky příkldů s smosttnému pocvičování 1.21 v 1 (t) = 2t 2 + 8t + 1, v 2 (t) = t 3 + 3t, (t) = 2 3 t3 + 4t 2 + t 1, y(t) = t4 4 + 3t2 2 + 2. 1.22 T = 4 3π, y T =. 1.23 I = 3 1 mr2. 17
B A Obázek 14: K délce křivky 2 Geometické plikce učitého integálu 2.1 Délk křivky Křivk je zobzení ϕ intevlu [, b] R do R 2 (R 3 ). Množinu ϕ([, b]) nzýváme geometickým obzem křivky. Délku křivky vypočítáme tk, že ji poimujeme lomenými čmi sčítáme jejich délky; zjemňujeme dělení díváme se, zd se výsledek blíží nějkému číslu obdobně jko v definici Riemnnov integálu. ) křivk pmeticky zdná = f 1 (t), y = f 2 (t), t [, b]. Předpokládáme, že f i mjí spojité deivce. Pk je délk křivky ovn b s = N (f i (t))2 dt, N = 2, 3. (1) i=1 b) křivk zdná jko gf spojitě deivovtelné funkce Podle ob. 14 A B = f (), kde B = d. Potom z Pythgoovy věty ds = A2 + B 2 = 1 + (f ()) 2 d. Dostáváme s = b 1 + (f ()) 2 d. (2) Jiný způsob odvození je pomocí vzthu (1) s použitím =, y = f(). Příkld 2.1. Učete délku kužnice zdné pmeticky = cos t, y = sin t, t [, 2π]. 18
ds dϕ d dϕ ϕ Obázek 15: Křivk zdná v poláních souřdnicích Řešení: Učíme deivce d dy = sin t, dt dt = cos t. S využitím vzthu (1) dostáváme s = 2π 2 sin 2 t + 2 cos 2 t = 2π. Příkld 2.2. Učete délku kužnice zdné ovnicí 2 + y 2 = 2. Řešení: Honí půlkuh popíšeme ovnicí y = 2 2, = [, ], dolní půlkuh y = 2 2, = [, ]. Deivce je dy d = 1 2 2 ( 2) = 2 2. 2 Délk křivky je (počítáme integál přes honí polovinu násobíme dvěm) s = 2 1 + 2 2 2 d = 2 2 2 d = = t, d = dt, 2 1 2 = t = 1, = t = 1, = 2 1 2 2 t dt = 1 1 ( π ( = 2 dt = 2[csin 1 1 t 2 t]1 1 = 2 2 π )) = 2π. 2 c) křivk zdná v poláních souřdnicích Křivk je zdán vzthem = f(ϕ), ϕ [α, β]. Podle ob. 15 Pythgoovy věty dostáváme Z toho (ds) 2 = ( dϕ) 2 + (d) 2 = f(ϕ) 2 (dϕ) 2 + f (ϕ) 2 (dϕ) 2. ds = (f(ϕ)) 2 + (f (ϕ)) 2 dϕ, β s = (f(ϕ))2 + (f (ϕ)) 2 dϕ. α 19
y f 2 () y f 2 () b f 1 () Obázek 16: Obsh plochy mezi křivkmi c b f 1 () Obázek 17: Obsh plochy mezi křivkmi, když f 1 nbývá záponých hodnot Příkld 2.3. Učete délku kužnice zdné v poláních souřdnicích = R. Řešení: S využitím předchozího vzthu dostáváme s = 2π R2 + dϕ = 2πR. 2.2 Plošný obsh ovinných množin ) Množin M je omezen gfy funkcí f 1 (), f 2 () s f 1 () f 2 () po [, b] přímek =, = b. Obsh plochy mezi křivkmi (vybvený čeveně n ob. 16) je ozdílem plochy pod křivkou f 1 () (vybvené někteou z bev) plochy pod křivkou f 2 () (vybvené modře). Tedy S = b (f 2 () f 1 ()) d. Stejný vzth pltí i po přípd, kdy někteá z funkcí nbývá záponých hodnot (viz ob. 17). V tomto přípdě dostáváme S = c (f 2 () f 1 ()) d+ b c f 2 () d b c f 1 () d = b (f 2 () f 1 ()) d. Stejný vzth bude pltit i v přípdě, kdy záponých hodnot nbývá f 2 (). b) M R 2 omezená uzvřenou křivkou dnou pmeticky = f 1 (t), y = f 2 (t), t [, b], f i () = f i (b), i = 1, 2. Příkld 2.4. Pmeticky popište křivku n obázku 18 nlezněte vzth po obsh plochy uzvřené touto křivkou pomocí pmetického popisu. 2
y f() Obázek 18: Křivk zdná pmeticky Řešení: Popíšeme postupně čtyři části křivky. 1. 2. = f 1 (t) = t, y = f 2 (t) =, t [, ]. = f 1 (t) =, y = f 2 (t) = t, t [, f() + ]. 3. = f 1 (t) = t+f()+2, y = f 2 (t) = f(f()+2 t), t [f()+, f()+2]. 4. = f 1 (t) =, y = f 2 (t) = t+f()+2+f(), t [f()+2, f()+2+f()]. Obsh můžeme učit ze vzthu po obsh plochy pod křivkou: S = f() d = = f()+ f()+2 f()+2 f()+ y(t) d(t) dt dt = f 2 (t)f 1(t) dt = f()+ f 2 (t)f 1(t) dt = f()+2 f()+2+f() f 2 (t)f 1(t) dt, neboť integály přes části 1), 2) 4) jsou nulové. Předchozí vzth pltí i obecně. Uvžujme uzvřenou křivku pmetizovnou pmetem t. Má-li v někteém bodě pmet t hodnotu po obkoužení hodnotu b, lze obsh plochy uzvřené křivkou vyjádřit jko β S = f 1(t)f 2 (t) dt. α Příkld 2.5. Učete obsh kuhu o poloměu metodou ), tedy omezením plochy dvěm křivkmi. 21
Řešení: V nšem přípdě f 1 () = 2 2, f 2 () = 2 2. Poto S = ( 2 2 + 2 2 ) d = 2 2 2 d = = cos ϕ, d = sin ϕ dϕ, = ϕ = π, = ϕ = = = 2 π 1 cos 2 ϕ ( sin ϕ) dϕ = 2 2 = sin2 ϕ = 1 cos 2ϕ 2 π ( = 2 [ϕ] π π sin 2 ϕ dϕ = ) cos 2ϕ dϕ = π 2. Duhý integál v předposledním výzu je oven nule, potože integujeme kosinus přes celou peiodu. Příkld 2.6. Učete obsh kuhu o poloměu metodou b), tedy pomocí pmetizce. Řešení: Kužnici, kteá omezuje kuh, pmetizujeme pomocí Po deivci pltí Poto S = 2π = cos ϕ, y = sin ϕ, ϕ [, 2π]. d = sin ϕ. dϕ 2π ( sin ϕ) sin ϕ dϕ = 2 sin 2 ϕ dϕ = = 1 2 2 ( [ϕ] 2π 2π ) sin 2ϕ dϕ = π 2. Opět integujeme sinus přes celou peiodu, poto duhý integál v předposledním výzu je nulový. c) M je dán dvěm polopřímkmi v poláních souřdnicích ϕ = α, ϕ = β křivkou = f(ϕ), ϕ [α, β]. V tomto přípdě si plochu n ob. 19 ozdělíme n elementání tojúhelníky s jedním vcholem v počátku souřdnic dvěm vcholy n křivce. Výšk tojúhelníků je přibližně f(ϕ), délk nejmenší stny je f(ϕ) dϕ. Obsh je tedy S = 1 2 β α f(ϕ)f(ϕ) dϕ = 1 2 β α f 2 (ϕ) dϕ. Příkld 2.7. Učete obsh kuhu o poloměu R pomocí metody c), křivky zdné v poláních souřdnicích. Řešení: Zde f(ϕ) = R, tedy s využitím předchozího vzthu S = 1 2 2π R 2 dϕ = R2 2 [ϕ]2π = πr 2. 22
y f(ϕ) β α Obázek 19: Obsh plochy omezené křivkou dnou v poláních souřdnicích dv Obázek 2: K výpočtu objemu těles, bod ) 2.3 Výpočet objemů těles ) Těleso leží mezi ovinmi = = b, < b po všechn [, b] známe plošný obsh S(). Element objemu (viz ob. 2) je dv = S() d. Vzth po objem tedy je V = b S() d. b) Těleso je tvořeno otáčením množiny M (t leží v ovině y) kolem osy. Množin M je omezen přímkmi = = b, < b, osou, gfem funkce y = f(), f() (přípdně gfy funkcí f 1, f 2, kde f 1 () f 2 ()) po [, b] (viz ob. 21). Obsh řezu je πf 2 (), esp. π(f 2 2 () f 2 1 ()), integcí podle poměnné 23
y f() b Obázek 21: K výpočtu objemu těles, bod b) tedy dostáváme V = π b f 2 () d, esp. π b (f 2 2 () f 2 1 ()) d. c) V tomto přípdě je těleso vytvořeno otáčením množiny M z bodu b) s kolem osy y. Těleso si ozdělíme n tenkými řezy soustřednými válci s osou symetie y (viz ob. 22). Element objemu pk je Integcí dostáváme V = 2π b dv = f() d 2π. f() d, esp. V = 2π b (f 2 () f 1 ()) d. Příkld 2.8. Učete objem koule o poloměu metodou ). Řešení: Objem je V = πy 2 d = ( 2 2 ) d = π [ 2 3 = 3 ] = π [ 3 3 3 + 3 3 = 4 3 3 π3. Příkld 2.9. Učete objem koule o poloměu metodou b). Řešení: V tomto přípdě je funkce f ovn f() = 2 2, [, ]. Dostáváme V = π f 2 () d = π ( 2 2 ) d = 4 3 π3. 24 ]
y f() d b Obázek 22: K výpočtu objemu těles, bod c) Příkld 2.1. Učete objem koule o poloměu metodou c). Řešení: Honí polokouli popíšeme popisem v bodě c) s funkcí f() = 2 2, [, ]. Výsledek musíme tedy vynásobit ještě dvěm, bychom dostli celou kouli. V = 2 2π 2 2 d = y = 2 2, dy = 2 d, ( = y =, = y = = 4π 1 ) y dy = 2 [ ] 2y = 2π y 1/2 3/2 dy = 2π = 4 3 3 π3. 2.4 Výpočet povchů otčních ploch Uvžujeme plochu v R 3, kteá vznikne otcí okolo osy (y) křivky zdné pmeticky = f 1 (t), y = f 2 (t), t [, b] s f 2 (f 1 ). Potom její obsh spočteme pomocí vzthu ( P = 2π P = 2π b b f 2 (t) (f 1 (t))2 + (f 2 (t))2 dt, ) (f 1 (t))2 + (f 2 (t))2 dt. f 1 (t) Vzth odvodíme tk, že si uvědomíme (viz ob. 23), že element obshu plochy 25
y f() b Obázek 23: K odvození výpočtu povchů otčních ploch je dán jko dp = 2πy ds = 2πf 2 (t) (f 1 (t))2 + (f 2 (t))2 dt. Speciálně, je-li gf funkce y = f(), f(), [, b] otovný kolem osy, dostáváme P = 2π b f() 1 + (f ()) 2 d. Příkld 2.11. Vypočtěte povch jednotkové koule. Řešení: Zmíněnou křivku (jednotkovou polokužnici) si pmetizujeme = cos t, y = sin t, t (, π). Podle výše zmíněného vzthu je povch koule P = 2π π sin t dt = 2π[ cos t] π = 2π( 1 1) = 4π. 2.5 Příkldy k smosttnému pocvičování Příkld 2.12. Učete délku steoidy pmetizovné = cos 3 t, y = sin 3 t, t [, 2π]. Příkld 2.13. Učete délku oblouku kdiody pmetizovné poláními souřdnicemi = (1 + cos ϕ), ϕ [, 2π]. Při výpočtu můžete použít vzthu 1+cos ϕ 2 = cos ϕ 2. Příkld 2.14. Odvoďte vzth po obsh elipsy o poloosách b dné ovnicí 2 + y2 2 b = 1. Při jednom ze způsobů výpočtu můžete použít vzth 2 1 2 d = 1 2 ( 1 2 + csin ). 26
Příkld 2.15. Odvoďte vzth po objem povch kužele o poloměu podstvy R výšce h. 2.6 Výsledky příkldů s smosttnému pocvičování 2.12 6. 2.13 8. 2.14 bπ. 2.15 1 3 πr2 h, πr(r + R 2 + h 2 ). 27
3 Dopoučená litetu 1. Mioslv Ješová, Ivo Volf: Integální počet ve fyzice, studijní tet Fyzikální olympiády, http://fyziklniolympid.cz/tety/mtemtik/intpoc.pdf 2. Zdeněk Kdeřábek, Deivce integál ve fyzice, http://bkos.mth.muni.cz/files/downlod/deivce%2 %2integ%C3%A1l%2ve%2fyzice.pdf 3. Bohumil Vybíl, Elektosttik, studijní tet Fyzikální olympiády, http://fyziklniolympid.cz/tety/elstt.pdf 4. Ev Schlesingeová, Geometické plikce učitého integálu, https://www.mth.muni.cz/ schlesi/dp/web/i21.html 28