Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0
() Integrace užitím základních vzorců. ( + + + ) d [ + ln + 3 + + C ] ( 4 3 3 3 4 ) d [ 8 5 + 33 5 3 5 3 + 4 3 + C ] (0 + 5 ) 0 d [ ln 0 ln + 5 ln 5 + C ] 3 + d [ + 3 + C ] ( ) e) d [ + ln + C ] f) d [ arctg + C ] + 5 sin + 3 cos g) sin d [ 5 cos tg 3 cotg + C ] (NP) Integrace užitím základních vzorců. (3 + ) d [ 3 + + C ] ( + ) d [ 5 5 + 3 3 + C ] 3 + 3 d [ 3 + 3 ln + C ] 3 ( ) 3 d [ 7 3 6 5 + + C ] ( + ) 3 e) d [ 3 + 6 + 4 + 8 ln + C ] () Integrace substituční metodou. (4 3) 4 d [ 0 (4 3)5 + C ] ( 7) d [ 5 8 ( 7) + C ] 4 5 d [ 5 7 arcsin + C ] 49 7 cos d [ ln sin + + C ] sin + e e) e + d [ ln e + + C ]
f) g) sin cos 3 d [ 4 cos4 + C ] e sin cos d [ e sin + C ] (NP) Integrace substituční metodou. e arctg e d [ arctg 3 e + e 3 + C ] d [ arccos + C ] sin 6 cos d [ 7 sin7 + C ] e d [ e + C ] cos(ln ) e) d [ sin(ln ) + C ] (3) Integrace metodou per partes. e d [ e e + C ] sin d [ cos + sin + C ] 4 3 e d [ e ( ) + C ] ln d [ ln + C ] e) ln 3 d [ (ln3 3 ln + 3 ln 3 4 ) + C ] f) ln( + ) d [ ln( + )( ) 4 + + C ] (NP) Integrace metodou per partes. cos sin 3 d [ sin cotg + C ] sinh d [ cosh sinh + C ] 5e 4 d [ 5 4 e 4 5 6 e 4 + C ] e cos d [ e (cos + sin ) + C ] 5
e) ( + 5)e 4 d [ e ( + 5) + C ] 3 (4) Integrace racionální lomené funkce. 3 + + + 5 d [ 3 ln( + + 5) arctg + + C ] 3 + 3 d [ ( ln 3 ) + 3 4 + 3 arctg 3 + C ] 3 + 4 9 d [ ln ( ) 4 ( 4) 5 ( )( ) ( + 3) 7 + C ] e + e d [ ln e + ln e + C ] 3 3 5 + 8 e) ( + )( ) d [ 3 ( ) + ln ( )( + ) + C ] (NP) Integrace racionální lomené funkce. + 4 9 d [ ln ( ) 4 ( 4) 5 ( )( + 3)( 4) ( + 3) 7 + C ] d 3 + d [ ( + ) ln 6 + + arctg + C ] 3 3 ( ) + 3 + 4 d [ 5 ln( + 3 + 4) + 9 arctg + 3 + C ] 7 7 (5) Integrace goniometrických funkcí. sin cos d [ sin + C ] tg d [ ln cos + C ] sin d [ sin + C ] cos cos cos 3 d [ 3 sin cos + 3 sin + C ] e) cos 3 d [ 3 sin 3 + C ] tg f) cos d [ ln + C ]
4 (NP) Integrace goniometrických funkcí. sin 3 cos d [ 4 sin4 + C ] cos 5 sin d [ cos6 + C ] sin cos d [ ln sin + cos C ] sin + cos (6) Integrace iracionálních funkcí. d [ ( ln + ) + C ] + 3 + ( + )( ) d [ 3 3 + + C ] 4 3 7 3 + ( 3 6 d [ ) 5 4 + 4 3 + 30 + + 4 ln + + 36 ln + + C ] + d [ + ln + + C ] (NP) Integrace iracionálních funkcí. ( ) 3 d + 3 d [ 3 3 + ln + 3 + C ] 3 d [ 6 6 6 6 5 6 6 6 7 3 ln 5 7 6 + C ] + + + d [ + + ln + + C ] (7) Výpočet určitého integrálu úpravou. 5 3 3 0 d [ ln 5 3 ] 3 d [ 65 6 ] 5 d [ 0 ]
5 (8) Výpočet určitého integrálu metoda per partes. π 0 0 sin d [ π ] ln( + ) d [ 3 ln 3 ] arccos d [ π ] e 3 d [ 9 e3 + 9 ] (9) Výpočet určitého integrálu substituční metoda. 4 π 3 π 4 5 π 0 ( + ) d [ ln 3 3 ] sin sin 3 cos d [ 3 ] ln d [ ln 5 ] sin cos d [ 3 ] (NP) Výpočet určitého integrálu. 5 7 0 π π 4 + d [ 36 ] cosh d [ e e ] d ( + ) 3 d [ 9 ] cos sin d [ ] (0) Vypočtěte obsah křivočarého lichoběžníka ohraničeného křivkami + y =, y =, 0, y > 0. [ π 4 ]
6 () Vypočtěte délku oblouku rovinné křivky y = 4 ln,, 3. [ + ln 3 ] () Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy P kolem osy. P : y = +, y = +. [ 6 5 π ] NP Vypočtěte povrch tělesa, které vznikne rotací křivky kolem osy. P : = a cos 3 t, y = a sin 3 t, t 0, π, a > 0. [ 6πa ] NP Najděte těžiště homogenní hmotné oblasti omezené křivkami y =, y = +. ( ) 4 + 5π [ T 0; ] 30π 0 NP Stanovte definiční obor dané funkce a načrtněte jej. z = ( + y) z = y + 5 y z = + y y z = arcsin( y ) + arcsin y [ Dz = {(; y) E : y + }; Dz = {(; y) E : y y }; Dz = E {(; y) E : y = y = }; Dz = {(; y) E : + y } ({(; y) E : y > 0} {(; y) E : y < 0}) {(; y) E : y > 0} {(; y) E : y < 0}] (3) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu daných funkcí. z = 3y z = (sin ) cos y y z = ye sin πy + y y = ln + y +
7 [ z = 3y ( y), z y = 3 ; ( y) z = cos cos y(sin ) cos y, z y = sin y ln sin (sin ) cos y ; z = y( + πy cos πy)z, z y = ( + πy cos πy)z; z = + y, z y = y + y ] NP Vypočtěte parciální derivace prvního řádu daných funkcí. ( ) + y z = + arcsin + y y y z = ( + y) +y [ z = y y y + + y, z y = y y y y + + y ; z = [ + ln( + y)]z, z y = [ + ln( + y)]z] (4) Vypočtěte všechny parciální derivace druhého řádu daných funkcí. z = cos y z = y + y 3 [ = sin + 4 cos, z yy = y z yy = 4 y, 3 z y = y ] 3 4 3 cos y 3, z y = NP Vypočtěte všechny parciální derivace druhého řádu daných funkcí. z = + y z = ln( + y ) sin y ; z = 4y 9 7 3, [ z = y ( + y ), z y = 3y ( + y ), 5 z y = y( y ) ( + y ), 5 z yy = ( + y ) ; ( + y z ) 5 y ( + y ), z yy = y ( + y ) ] (5) Vypočtěte všechny požadované derivace daných funkcí. z = e ln y + sin y ln, yy =?, yyy =? z = y + e y, z y =? =
8 [ z yy = e y sin y, z yyy = e y 3 NP Určete d z v bodě A funkce z = f(, y). cos y ln ; z y = + e y y 3 (4 + y ) ] z = sin sin y, A = [ π 4, π ] z = y ln, A = (, ) 4 [ d ddy dy ; d + ddy ] NP Určete d z v bodě A funkce z = f(, y). z = e y, A = [, ] [ 4e d + 6e ddy + e dy ] Taylorova věta pro funkci f(), X = [,,..., n ]: f(x) = f(x o ) +! df(x o) +! d f(x o ) + + n! dn f(x o ) + R n+ (X), kde zbytek R n+ (X) = (n + )! dn+ f( + δh,..., n + δh n ), δ (0, ). (6) Napište Taylorův polynom stupně n pro funkci y = f(, y) v bodě A. z = e sin y, A = [0, 0], n = 3 z = sin(y), A = [0, π ], n = [ y + y + y 6 y3 ; π + (y π ) ] NP Napište Taylorův polynom stupně n pro funkci y = f(, y) v bodě A. z = ln( ) ln( y), A = [0, 0], n = 3 [ y + y + y ] Pravidla pro počítání složených funkcí: z = f(, y), = (t) a y = y(t) dz dt = ( ) f d dt + ( ) f dy y dt
9 w = f(, y, z), = (u, v), y = y(u, v) a z = z(u, v) ( ) w w u = ( ) w u + y ( ) w y u + y ( ) w w v = ( ) w v + y ( ) w y v + y z u, z v, Obecně: w = f(,..., m ), k = k (t,..., t n ), pro k =,..., m ( ) w w = ( ) w + ( ) w + + m, t i t i t i m t i kde i =,,..., n. (7) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu složených funkcí. z = u + v, u = + sin y, v = ln( + y) z = u v v u, u = cos y, v = sin y [ z = + + y ln(+y), z y = cos y+ ln(+y); +y z = 3 sin y cos y(cos y sin y), z y = 3 (sin y + cos y)( 3 sin y cos y) ] NP Vypočtěte parciální derivace prvního řádu složených funkcí. z = u v, u = ln( + y), v = e y [ z = vu v y + uv ln v e y y, z y = vuv y + uv ln u e y y ] y (8) Určete první parciální derivace funkce z = f(, y), která je dána implicitně danou rovnicí. cos(a + by cz) = k(a + by cz) + y + z = e z [ z = a c, z y = b c ; z = ( + y + z ) = z y ] NP Vypočtěte první parciální derivace v bodě A funkce z = f(, y), která je dána implicitně danou rovnicí. e z + y + z + 5 = 0, A = [, 6, 0] [ π cos + cos y + cos z = 0, A = 3, π, π ] 6
0 [ z (A) = 6, z y(a) =, NP) z (A) =, z y(a) = 0 ] Tečná rovina a normála plochy: Tečná rovina τ a normála n plochy z = f(, y) v bodě B 0 = [ 0 ; y 0 ; z 0 ] jsou dány rovnicemi tvaru: τ : ( 0 ) f (B 0 ) + (y y 0 ) f y (B 0 ) (z z 0 ) = 0 n : 0 f (B 0 ) = y y 0 f y (B 0 ) = z z 0 Je-li plocha dána implicitně F (; y; z) = 0, pak τ : ( 0 ) F (B 0 ) + (y y 0 ) F y (B 0 ) + (z z 0 ) F z (B 0 ) = 0 n : 0 F (B 0 ) = y y 0 F y (B 0 ) = z z 0 F z (B 0 ) Pro normálový vektor n tečné roviny platí n = (F (B 0 ); F y (B 0 ); F z (B 0 )). Normálu si můžeme vyjádřit parametricky ve tvaru: = 0 + tf (B 0 ), y = y 0 + tf y (B 0 ), z = z 0 + tf z (B 0 ); t R. (9) Nalezněte tečnou rovinu a normálu v bodě A plochy z = f(, y) zadané implicitně danou rovnicí. + y + z 49 = 0, A = [, 6,?] (z )yz y 5 = 5, A = [,, ] [ τ : 6y + 3z 49 = 0, n : = + 4t, y = 6 t, z = 3 + 6t, τ : 6y 3z 49 = 0, n : = + 4t, y = 6 t, z = 3 6t ] NP Určete tečnou rovinu a normálu v bodě T plochy z = f(, y). z = y y, T = [; ;?]. [ τ : 3 + z 4 = o; n : = + 3t, y =, z = + t ] NP Určete tečnou rovinu a normálu v bodě T plochy z = f(, y). z = y, T = [ ; ;?]. [ τ : 8 + 4y z44 = o; n : = + 8t, y = + 4t, z = 4 t ]
NP Určete derivaci ve směru s v bodě A a gradient v bodě A funkce z = f(, y). z = + y y, A = [3; 4], s = (3; 4). [ z (A) = 9, grad z = 7 s 5 5 i 5 j ] NP Určete derivaci funkce z = ln( + y ) v bodě A = [; ]. ve směru tečného vektoru v bodě A ke křivce y =, ve směru, v němž je derivace maimální. [ z s (A) = 3 z ; 5 s (A) = ] 5 (0) Nalezněte lokální etrémy daných funkcí. z = y y + 6 + 3 z = 3 + y + 5 + y z = ln + ln y + ln( y) 6 [ [4; 4] - lok.ma.; [ ; ] - není, [0; 0] - lok.min., [ ; ] a [ 5 ; 0] - lok.ma.; [3; 6] - lok.ma. ] NP Nalezněte lokální etrémy daných funkcí. z = y + 50 + 0 y z = y y + 6y [ [5; ] - lok.min.; [4; 4] - lok.ma. ] () Nalezněte vázané etrémy dané funkce při daných podmínkách. z = + y; podm. + y = 5 z = + y ; podm. + y = [ [; ] - lok.ma., [ ; ] - lok.nim.; [; ] - lok.min. ] NP Nalezněte vázané etrémy dané funkce při daných podmínkách. z = + y; podm. y = z = + y ; podm. + y =
[ [; ] - lok.ma., [ ; ] - lok.nim.; [ ; ] - lok.min., [ ; ] - lok.ma. ] () Najděte absolutní etrémy daných funkcí. z = + y 4 + 8y; na obdélníku 0, 0 y z = y + y ; Mje určena nerovnicí + y z = + y + 6y; na oblasti dané nerovnicí + y 5 [ [; ] - abs.ma., [; 0] - abs.nim.; [0; ], [0; ], [; 0], [ ; 0] - abs.ma., [0; 0] - abs.min.; [3; 4] - abs.min., [ 3; 4] - abs.ma.]
Reference [] Novotný J.: Matematika I - Základy lineární algebry, CERM, FAST VUT Brno 004. [] Dlouhý, O. - Tryhuk, V.: Matematika I - Diferenciální počet funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 004. [3] Dlouhý, O. - Tryhuk, V.: Matematika I - Diferenciální počet funkcí více reálných promennch, CERM, FAST VUT Brno 004. [4] Tryhuk, V. - Dlouhý, O.: Matematika I, Vybrané části a aplikace vektorového počtu, Modul GA0 M0, studijní opory pro studijní program Geodézie a kartografie s kombinovanou formou studia, Fakulta stavebni, Vysoké učení technické, Brno, 004. [5] Chrastinová, V.: Matematika, Vektorvá algebra a analytická geometrie, Modul 3, studijní opory pro studijní programy s kombinovanou formou studia, Fakulta stavebni, Vysoké učení technické, Brno, 004. [6] Daněček, J. - Dlouhý, O.: Integrální počet I, CERM, FAST VUT Brno 003. [7] Daněček, J. - Dlouhý, O. - Přibyl, O.: Matematika I, Modul 7, Neurčitý integrál, Akademické nakladatelství CERM, Brno 007. [8] Daněček, J. - Dlouhý, O. - Přibyl, O.: Matematika I, Modul 8, Určitý integrál, Akademické nakladatelství CERM, Brno 007. [9] Tryhuk, V.: Matematika I - Úvod do matematické logiky a teorie množin, CERM, FAST VUT Brno 994. [0] Tryhuk, V.: Matematika I - Reálná funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 994. [] Veverka, J. - Slatinský E.: Matematika I3 - Diferenciální pocet funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 995. [] Novotný J.: Matematika I4 - Lineární algebra, CERM, FAST VUT Brno 995. [3] Horňáková, D.: Matematika I5 - Vektorová algebra, CERM, FAST VUT Brno 995. [4] Horňáková, D.: Matematika I6 - Analytická geometrie, CERM, FAST VUT Brno 995. [5] Voráček, J.: Matematika I7 - Neurčitý integrál, CERM, FAST VUT Brno 995. [6] Voráček, J.: Matematika II - Určitý integrál a jeho užití, CERM, FAST VUT Brno 995. [7] Hřebíčková, J. - Slaběňáková, J. - Šafářová, H.: Sbírka příkladů z matematiky II, Modul BA0-M, Neurčitý a určitý integrál, diferenciální počet funkcí více proměnných, diferenciální rovnice, Akademické nakladatelství CERM, Brno 008. [8] Daněček, J. - Dlouhý, O. - Koutková, H. - Prudilová, K. - Sekaninová, J. - Slatinský, E.: Sbírka příkladů z matematiky I., CERM, FAST VUT Brno 994. [9] Čermáková, H. - Hřebíčková, J. - Slaběňáková, J. - Šafářová, H.: Sbírka příkladů z matematiky II., CERM, FAST VUT Brno 994. [0] Prudilová, K. - Sekaninová, J. - Slatinský, E.: Sbírka příkladů z matematiky III., CERM, FAST VUT Brno 995. [] Hřebíčková, J. - Ráček, J. - Slaběňáková, J.: Diferenciální počet v Maple 7, FAST VUT Brno, 00, http://math.fce.vutbr.cz/vyuka/matematika/diferencialni pocet/. [] Hřebíčková, J. - Ráček, J. - Slaběňáková, J.: Integrální počet v Maple 7, FAST VUT Brno, 00, http://math.fce.vutbr.cz/vyuka/matematika/integralni pocet/. [3] Veverka, J.: Diferenciální počet II, Fakulta stavební, Brno 98. [4] Eliaš, J. - Horvát, J. - Kajan, J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky,. časť, SVTL, Bratislava 965. [5] Černá, B.: Cvičení z lineární algebry, MZLU v Brně, Brno 998. [6] Jelínek, Z. - Samotná O.: Matematika - Integrální počet, Skriptum VŠ zemědělské v Brně, SPN, Praha 985. [7] Jirásek, F. - Kriegelstein, E. - Tichý, Z.: Sbírka řešených příkladů z matematiky I, SNTL/ALFA, Praha 987. [8] Karásek, J. - Maroš, B.: Integrální počet, Matematika - Metodické pokyny pro cvičení, CERM, FAST VUT Brno 994. 3
4 [9] Kříž, J. - Křížová, H.: Diferenciální počet, metodické pokyny, Fakulta strojní VUT, Brno 978. [30] Vosmanská, G.: Matematika, MZLU v Brně, Brno 997. [3] Online verze tetů: Riešené úlohy z matematiky, Katedra Matematiky a Deskriptivnej geometrie, Stavebna fakulta, STU, Bratislava, http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta/skripta.pdf. [3] Online verze tetů: Riešené úlohy z matematiky, Katedra Matematiky a Deskriptivnej geometrie, Stavebna fakulta, STU, Bratislava, http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta/skripta.pdf. Mgr. Jan Šafařík Typeset by L A TEX