WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7

Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................ 8. Spojitost........................................ 9 Derivace, inverzní funkce, tečny, normály, asymptoty. Derivace......................................... Derivace vyšších řádů................................. Průběh funkce, tečny, normály, asymptoty, monotonie, inverze, etrémy 4. Aplikace derivace................................... 5. Tečny a normály................................... 5. Asymptoty....................................... 6.4 Monotonie, inverze, lokální etrémy......................... 7 4 Etremální úlohy, konvenost, konkávnost, inflee 4. Konvenost, konkávnost a inflee.......................... 4. Etremální úlohy................................... 5 Neurčité integrály a primitivní funkce 4 6 Určité Integrály 7 Aplikace integrálů 4 7. Výpočet plochy.................................... 4 7. Výpočet těžiště.................................... 4 7. Výpočet délky grafu funkce............................. 5 7.4 Výpočet objemu rotačního tělesa.......................... 5 7.5 Výpočet povrchu rotačního tělesa.......................... 6 Předmluva Tato sbírka je složena z příkladů (viz [], [], []), ze kterých se sestavují zkouškové písemné práce k předmětu Matematika I (. ročník bakalářského studia na FJFI ČVUT v Praze). Příklady jsou uspořádány do 7 kapitol, přičemž do zkouškové písemky je vybrán právě jeden příklad z každé kapitoly. Každý příklad v této sbírce by měl jít spočítat pomocí znalostí získaných z přednášky a ze cvičení. Proto nebudete-li si vědět rady i jen s jediným příkladem, neváhejte požádat svého cvičícího o konzultaci! Tato sbírka není zdaleka hotová, další příklady mohou přibýt. Bezchybnému počítání zdar!. července Ing. Radek Fučík, Ph.D.

Limity a spojitost Rozcvička V této krátké části jsou příklady, které pro svou nižší náročnost nebudou ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. + lim [] + + sin lim π π lim cot ln lim lim + + 5 lim + 4 + 7 lim 9 + 5 lim tan lim cot lim sin 5 lim 5 4 5 7 + 5 + lim + + 6 4 lim + 4 4 lim cos [-] lim + 5 [ 5 ] 4 lim 4 [ ] 6 8 lim + lim a sin sin a a [-] [ ] [ ] [] [ 4 ] [ 4 ] [] [] [5] [] [5] [ 4 ] [ 5 ] [cos a]

Zkouškové příklady. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno. lim + 9. lim cos [ ]. lim 8 4 6 4. lim 8 [ 6 ] 5. lim sin + sin 8 sin sin 5 + cos + sin 7 [ 7 ] [ 8 ] [] 6. lim sin + cos + + + 7. lim + + 4 + 4 + + 5 8. lim ( + 6) sin [] [ 4 ] [ 5 6 ] 9. + tg + sin lim. + sin sin lim. lim 5 + 5 9 5. lim sin cos + + +. lim + + 4. lim + 5. lim 6. lim tg + + + 9 ( π ) [ 4 ] [] [ ] [nee] [-5] [ 4 ] [ 6 ] [] 7. lim + sin cos 4 8. lim 4 + 8 [ 4 ] [ 8 ] 4

9. lim cos( ) 4 + 8 sinh. lim + cosh + sinh sinh. lim cosh + sinh. lim cos [ 4 ]. lim 4. lim 4 cos + sin 8 cos sin 5 + cos + sin 7 + [ 8 ] [ ] [ ] [ ] [ 4 ] 5. lim + + 6. lim + sin cos 7. tg sin lim sin 8. ( lim 4 )( ) 4 4 9. lim tg. lim ( )tg ( π ). lim π sin ( π ) cos π. lim π sin cos. lim π tg sin cos 4. lim + 5. lim cos + tg sin 6. lim [-] [ 4 ] [ ] [ 6 ] [-] [ π ] [ ] [] [] [] [] [] 5 + 7. lim + 7 + 4 [ 4 ] 6 + 8. lim [ + 4 ] 5

9. lim ( + ) 5 ( + 5) + 5 [] 4. lim sin sin + 4. lim + [] [4] 4. lim π 4 cos sin tg [ ] + 5 4 + 4. lim + 4 + 6 4 [-5] 44. lim + sin cos 45. lim cos 46. lim 8 9 + 5 47. lim ( sin + sin ) 48. lim + 5 + 49. lim 5 9 5 + 5. lim + 5. lim cos tg + + + 5. lim + + 5. lim 54. lim 55. lim 4 4 + 8 + sin + sin 4 56. lim + cos 57. lim ( + cos ) [ 4 ] [ ] [ 5 ] [ ] [4] [] [6] [] [-5] [ 8 ] [ ] [ 4 ] [8] [] 6

9 58. lim 59. lim π 4 6. lim π sin cos cos tg + tg sin 6. lim a sin sin a a ) 6. ( lim sin tg 6. ( sin ) lim π cos tg 64. lim 65. lim 66. lim + + + 6 4 67. lim sin tg 68. lim sin 69. lim 7. lim 8 7. lim + + + + + + + [-] [ ] [ ] [ cos a a ] [] [ ] [ ] [ ] [4] [] [ ] [] [-] [ ] 7. lim + 7. ( + )( + )( + ) lim 74. cos( ) lim cos 75. lim + + + [ ] [] [6] [ ] 7

. l Hôpitalovo pravidlo povoleno ln cos 76. lim ln cos(π) 77. lim cosh cos 78. lim sinh() sin e e 79. lim + 8. lim ( )tg ln(4e ) 8. lim + ( π ) [ π ] [ ] [] [+ ] [ π ] [-] 8. lim + 8. lim + + + [] + + + [-] 84. lim + 85. lim + + ( 86. lim ) cos cos 87. lim 88. lim cos cos 89. lim tg () ln (tg ) π 4 ln cos 9. lim ln cos () e e 9. lim 9. lim + 9. lim + + + 4 5 + 94. lim ( 95. lim ) [ ] [+ ] [nee] [ ] [ ] [ ] [ 4 ] [-] [ ] [] [nee] [-] 8

( )( )( )( 4)( 5) 96. lim + ( ) 5 [ 5!] ( ) + + 97. lim + + ( ) + + 98. lim + + 99. lim (ln( + ) ln ) +. lim + arctg. lim arctg. lim arctg + +. lim arcsin + + [] [ 9 4 ] [] [ π 4 ] [ π 4 ] [ π ] [ π ]. Spojitost 4. Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce f() = arctg [v skoková nespojitost] 5. Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce f() = arctg [v odstranitelná nespojitost] 6. Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce f() = sin 7. Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce f() = arccotg [v odstranitelná nespojitost] [v podstatná nespojitost] 9

Derivace, inverzní funkce, tečny, normály, asymptoty Rozcvička V této úvodní části jsou příklady na derivace, které pro svou nižší náročnost nebudou ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. f() = ( + + 5); f () =? [ +9+5 ] f() = ; f () =? [ ( ) ] f() = cos sin ; f () =? [ +cos ] f() = ; f () =? [ ( ) ] f() = sin ( ); f () =? [ cos ( )] f() = ( + ); f () =? [ (4 +) ] f() = + ; f () =? [ ] f() = + cos cos ; f () =? [ sin ( cos ) ] f() = sin ; f () =? f() = ; f () =? [ + cos [ ] sin ] (+ ) f() = sin ; f () =? [ cos ] f() = ; f () =? [ ] f() = ( ) ; f () =? [ ] f() = (ln ); f () =? [ ln ] f() = + ( ) ; f () =? [ (+) ( ) ] f() = + ; f () =? [ + + ] f() = cos f() = sin 4 cos 4 ; f () =? cos sin ; f () =? [sin ] [ sin ()] f() = tg 4 tg 4 ln cos ; f () =? [4tg 5 ] f() = sin cos + tg ; f () =? [ cos sin + sin + cos ]

f() = 4 + 6 ; f () =? [ 6 ( 4) + 5 ] f() = (a ) ; f () =? [( ) + (a ) ] f() = ; f () =? [ ( ) ] f() = ln ( ); f () =? f() = ln ; f () =? f() = ln tg ; f () =? f() = ln sin ; f () =? [ ] [ ln ] [ sin ] [cot ] f() = sin + cos ; f () =? [ +cos ] f() = arctg + ; f () =? [ 4 + + ] f() = ln sin ( + ); f () =? [( ) cot ( + )] f() = ln (e + e ); f () =? [ e e e +e ] f() = a ; f () =? f() = cos + cos ; f () =? [ f() = ln ; f () =? f() = + a ; f () =? [ [ ln a a ] sin (+cos ) ] [ln + ] a ] ( +a) / Nalezněte n. derivaci funkce e [e ] Zkouškové příklady. Derivace. Necht je dána funkce f() = +. (a) Nalezněte definiční obor funkce f, rozhodněte o spojitosti a nalezněte derivaci funkce f v každém bodě D f kromě bodu =. (b) Rozhodněte o eistenci derivace funkce f v bodě =.. Necht je dána funkce f() = ln(ln ). (a) Nalezněte definiční obor D f, první derivaci f a její definiční obor D f. [spojitá na D f = R, f ( ) nee] (b) Je tato funkce prostá na svém definičním oboru? Pokud ano, nalezněte inverzní funkci f a její první derivaci (f ). [D f = (, + ). f () = ln, f () = ep(ep()), (f ) () = ep(ep())(ep())]

cos( ) pro >. Necht je dána funkce f() = pro = cos( ) pro <. (a) Je funkce f spojitá v bodě =? Své rozhodnutí zdůvodněte. (b) Z definice jednostranné derivace nalezněte f () a f +() a rozhodněte o eistenci derivace f (). [Spojitá na R, f + () = /, f () = /, f () nee] 4. Funkci f() = cos dodefinujte v bodě = tak, aby byla spojitá a pro takto sin dodefinovanou funkci nalezněte z definice derivaci f (). 5. Nalezněte derivaci funkce f() = arccos [, ] +. [± + ] 6. Nalezněte derivaci funkce f() = arcsin ( ). [± ] 7. Nalezněte derivaci funkce f() = 8. Nalezněte derivaci funkce f() = + a +. [ a ( + ) + (. [ (+) ln + a + (+ a ] + ) ) ( ) + + ] 9. Nalezněte derivaci funkce f() = /. [ / ( ln )]. Nalezněte derivaci funkce f() = sin. [ sin (cos ln + sin )]. Nalezněte derivaci funkce f() = arctg ( ). [ + + + 4 ]. Nalezněte derivaci funkce f() = ln tg cos sin. [ sin ]. Nalezněte derivaci funkce f() = arcsin ( + ). [ + ( + + 4 ) / ] 4. Nalezněte derivaci funkce f() = arcsin tg. [ + 7 5. Nalezněte derivaci funkce f() = ( + + 5) [ 6. Nalezněte D f a derivaci funkce f() = + +. [D f = [, + ), 7. Nalezněte D f a derivaci funkce f() = 8. Nalezněte derivaci funkce f() = + sin. [D f = (, π ), ( pro. [/ + (+ ) ( ) 9. Nalezněte D f a derivaci funkce f() = ln ln ln. [D f = (e, + ), (. Nalezněte derivaci funkce f() = ln + ln cos ] cos 4 4 8 ( ++5) ] + + + + + ] cos 4 sin ] ) ( + ) /] ln ln ln ] ). [ + +ln ]

sin. Nalezněte derivaci funkce f() = ln + sin. [ cos ]. Nalezněte derivaci funkce f() = (sin ln cos ln ). [ sin ln ]. Nalezněte derivaci funkce f() = arctg ( ) + + + ] ). [ + (+ 4. Nalezněte derivaci funkce f() = + arccos. [ arccos ] 5. Nalezněte derivaci funkce f() = arcsin pro. [ sign + + ] 6. Nalezněte D f a derivaci funkce f() = arctg + pro <. [D f = { }, f () = ] 7. Nalezněte derivaci funkce f() = arccotg pro (, ). [ ] 8. Nalezněte derivaci funkce f() = ln (e + ) + e. [ e ] +e 9. Nalezněte derivaci funkce f() = cosh sinh ln cotgh. [ sinh ]. Nalezněte derivaci funkce f() = ln ( cos 4 ( + tg + tg 4 )). []. Derivace vyšších řádů. Nalezněte derivaci řádu n N funkce f() = a, kde a >. [f (n) () = ln n (a) a ]. Nalezněte derivaci řádu n N funkce f() = cos.. Nalezněte derivaci řádu n N funkce f() = sin. [f (k) () = ( ) k cos, f (k+) () = ( ) k+ sin()] [f (k) () = ( ) k sin, f (k+) () = ( ) k cos()] 4. Nalezněte derivaci řádu n N funkce f() = n. [f (n) = n!] 5. Nalezněte derivaci. řádu funkce f() = tg. [f = sin cos ] 6. Nalezněte derivaci. řádu funkce f() = ln. [f = ] 7. Nalezněte derivaci. řádu funkce f() = ( + )arctg. [f = arctg + + ] 8. Nalezněte derivaci 4. řádu funkce f() =. [f (4) = 5 7 9 ]

Průběh funkce, tečny, normály, asymptoty, monotonie, inverze, etrémy Rozcvička V této části jsou příklady na procvičení vyšetřování průběhu funkce (D f, limity, horizontální či vertikální tečny, asymptoty, lokální etrémy, náčrtek grafu funkce), které nejsou zahrnuty ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. f() = + f() = f() = 5 + 6 f() = 4 f() = ( ) ( + 4) f() = ln f() = + f() = + + f() = + cos f() = 6 f() = + f() = + arctan f() = ( + ) f() = + f() = f() = + f() = ( ) [ - ] f() = ln f() = cos π f() = + sin 4

Zkouškové příklady. Aplikace derivace. Ukažte, že funkce f() = arctg + arcsin nezávisí na. [f = ]. Ukažte, že funkce f() = arctg + arctg nezávisí na. [f = ]. Ukažte, že funkce f() = arcsin + arccos + arcsin ( ) nezávisí na při <. 4. Ukažte, že funkce f() = arctg arcsin 5. Ukažte, že funkce f() = arccotg arcsin [f = ] + nezávisí na. [f = ] + nezávisí na při. [f = ] 6. Ukažte, že funkce f() = arccos arccos( 4 ) nezávisí na při. [f = ]. Tečny a normály 7. Určete čísla a a b tak, aby přímka y = + b byla tečnou funkce f() = ln( + a) v bodě =. [a=, b=-] ( ) 8. Necht je dána funkce f() = sin() cos na intervalu [ π, π]. Nalezněte rovnici tečny v bodě = π. 9. Necht je dána funkce f() = (e + 5). Nalezněte rovnici tečny v bodě =.. Necht je dána funkce f() = ln [y = 4 + ( + π 4 )] [( ) ]. Nalezněte rovnici tečny v bodě =. +. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f() = 5 + 4 v bodě. [y = 6] [y = ] [tečna: y = 7 +, normála: y = 7 + 7 7 ]. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f() = 5 + 4 v bodě. [tečna: y = 5, normála: y = + ]. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f() = + 4 v bodě. [tečna: y = 5, normála: = ] 4. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f() = + 4 v bodě. [tečna: y = 7, normála: = ] 5. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f() = v bodě =. [tečna: =, normála: y = ] 5

6. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f() = ln v bodě. [tečna: y =, normála: y = ] 7. Ve kterých bodech je tečna ke grafu funkce f() = + rovnoběžná s osou a s přímkou y =? 8. Pod jakým úhlem protíná graf funkce y = ln osu? 9. Pod jakým úhlem protíná graf funkce f() = e přímku =? [s osou :, s přímkou y = : ] [úhel tg α =, tj. π 4 ]. Nalezněte rovnici normály ke křivce y = + v jejím průsečíku s přímkou y =.. Určete rovnice tečen ke křivce y = + v průsečících křivky s osou. [arctg e ] [y = ] [6 y + = ; + y = ; y = ]. Ve kterém bodě má graf funkce y = sin tečnu svírající s osou úhel π 4?. Ve kterém bodě má graf funkce y = e tečnu rovnoběžnou s osou? [(π/4 + kπ, /); k Z] [(, e )]. Asymptoty 4. Nalezněte všechny asymptoty funkce f() = (včetně vertikálních asymptot). [y= v ±, =] 5. Necht je dána funkce f() = (e +5). Určete definiční obor D f a rozhodněte o eistenci asymptot v + a v a v kladném případě napište jejich rovnice. [D f = R. Pouze v + : y = 5] 6. Necht je dána funkce f() = 6. Určete definiční obor D f a nalezněte rovnice asymptot v + a v. [D f = (, ) (, + ), y =, y = + ] [( ) ] 7. Necht je dána funkce f() = ln. Určete definiční obor D f a rozhodněte o + eistenci asymptot a v kladném případě napište jejich rovnice. 8. Ve kterém bodě má parabola y = + tečnu se směrovým úhlem π 4? rovnoběžnou s přímkou 5 y + = kolmou na přímku y + = [D f = (, ) (, + ). V ± : y = ln 4/] 6

9. Určete rovnice tečen ke křivce y = + 6 v průsečících s osou.. Je dána parabola y = 4 + [( /, ), (/, ), ( /, )] [5 y + 45 =, 6 + y =, y = ] určete dotykový bod a rovnici tečny paraboly, která směrový úhel π 4 pomocí derivace určete vrchol paraboly [(5/, /4), y /4 =, (, )]. Je dána parabola y = / + + určete rovnici tečny paraboly v bodě ve kterém bodě má parabola tečnu se směrovým úhlem π? ve kterém bodě má parabola tečnu rovnoběžnou s přímkou 5 y =? [ y =, (, ), (, 9)].4 Monotonie, inverze, lokální etrémy. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = arcsin ( ). Nalezněte D f a intervaly monotonie funkce f() = ln [D f = [, ], - ] [D f = (, ) (, + ), e ] 4. Nalezněte D f a intervaly monotonie funkce f() = [D f = R \ {}, ostře roste na D f ] 5. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = + 4 [D f = [, 4], 4] 6. Nalezněte D f a intervaly monotonie funkce f() = 8 4 [D f = (, ) (, ), - ] 7. Nalezněte D f a intervaly monotonie funkce f() = ln [Df = (, + ), e + ] 8. Nalezněte intervaly monotonie funkce f() = e sin [roste na ( π + kπ, π + kπ), klesá na ( π + kπ, π + kπ)] 9. Nalezněte intervaly monotonie funkce f() = + [ + ] 4. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = + + 7 [ - + ]

4. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ( ) 5 4. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ln 4. Nalezněte D f, intervaly monotonie funkce f() = e 44. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = [ 4 5 + ] e [D f = (, ), - ] [D f = R \ {}, - + ] + + 9 45. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = cosh + [D f = R, - + ] 46. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = + [D f = R \ {, }, + 5 - [ + ] + 5 + ] 47. Rozhodněte, kde je funkce f() = intervalech nalezněte její inverzní funkci. prostá (tj. intervaly monotonie) a na těchto 48. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = + 9 + 5 [ f = y± y +4 ] [ - + ] 49. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = 9 + 5 [ 5 + ] 5. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = + 6 9 [ + ] 5. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = 4 4 + 4 + 7 [ - + ] 5. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ( 4) 4 ( + ) 5. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = e 54. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ln 55. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ln 56. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ln [ - 4 + ] [ + ] [D f = (, + ), e + ] [D f = (, + ), e + ] [D f = (, + ), e + ] 8

57. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ln arctg [D f = (, + ), + ] 58. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = 6 6 + 5 59. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ln [ma -, min 7] [D f = (, + ), e + ] 9

4 Etremální úlohy, konvenost, konkávnost, inflee Rozcvička V této části jsou příklady na procvičení hledání lokálních etrémů, které pro svou nižší náročnost nejsou zahrnuty ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. Úsečku rozdělte na dvě části tak, aby součet obsahů čtverců sestrojených nad oběma částmi byl minimální. Ze všech obdélníků s daným obsahem určete ten, který má nejmenší obvod. [v polovině] [a = b = S, kde S je obsah] Jak volit rozměry pozemku pravoúhlého tvaru, máme-li jej oplotit pletivem délky 6m a chceme aby obsah byl co největší? [5 5 = 5] Zkouškové příklady 4. Konvenost, konkávnost a inflee. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = 4 [konvení na (, ) a (, 4), konkávní na (, ) a (4, + ), infle =, = 4]. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = +. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = [TODO] [TODO] 4. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = + [TODO] 5. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = + [konvení na R] 6. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = [TODO] 7. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = ln( + ) [TODO] 8. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = ln + [TODO]

4. Etremální úlohy 9. Z desky tvaru trojúhelníku, jehož základna je a a výška v a úhly při základně jsou ostré, má být vyříznuta obdélníková deska; přičemž jedna strana obdélníku je částí základny. Pomocí techniky hledání etrémů určete rozměry obdélníku tak, aby jeho obsah byl maimální. [ = a, y = v ]. Určete rozměry parního kotle tvaru válce tak, aby při daném objemu V bylo ochlazování páry nejmenší - tj. aby povrch válce (včetně podstav) byl minimální. [ r = V π, v =. Ze všech pravoúhlých trojúhelníků s daným součtem délek přepony a odvěsny k určete ten jehož obsah je největší. V πr ] [y = k/, = /k, α = π/6]. Chceme oplotit výběh pro slépky, který má mít tvar pravoúhelníku. Přitom máme k dispozici m pletiva a víme, že část plotu budou tvořit celé stěny drůbežárny, jejíž obdélníkový půdorys má rozměry a = 6m a b = m. Jaké rozměry musí mít výběh, aby měl co největší obsah? [čtverec 56, 5m]. Pomocí techniky hledáni etrémů určete rozměry obsahově maimálního obdélníka vepsaného elipse /a + y /b = [a, b ] 4. Pomocí techniky hledání etrémů určete rozměry objemově maimálního válce vepsaného do koule o poloměru R. [v = R/, r = R /] 5. Jaké rozměry musí mít bazén se čtvercovým dnem a objemem V = m, má-li se na jeho vyzdění spotřebovat co nejméně matriálu? [4, 4, ] 6. Pomocí techniky hledání etrémů vepište do půlkruhu o poloměru r obdélník maimální plochy. 7. Dolní část okna má tvar obdélníka, horní tvar půlkruhu. Délka rámu celého okna je P. Při jakých rozměrech bude okno propouštět nejvíce světla? 8. Necht je dána funkce f() = sin() cos () na intervalu [ π, π]. (a) Rozhodněte, zda eistuje první derivace funkce f v bodě =. [r, r ] [ P π+4, P 4+π ] (b) Nalezněte všechny lokální etrémy a intervaly monotonie funkce f() na intervalu ( π, π). Jsou tyto lokální etrémy též globálními etrémy na uvažovaném intervalu [ π, π]? [TODO]

9. Necht je dána funkce f() = + cos (). (a) Rozhodněte, zda eistuje první derivace funkce f v bodě =. (b) Nalezněte všechny lokální etrémy a intervaly monotonie funkce f() na intervalu ( π, π). Jsou tyto lokální etrémy též globálními etrémy na uvažovaném intervalu [ π, π]? [(a) nee.; (b) π π π π, glob. ma v π ] (. Nalezněte definiční obor, lokální etrémy a intervaly monotonie funkce f() = +. Necht součet dvou čísel je, určete tato čísla tak, aby (a) součet třetích mocnin byl minimální (b) součin jednoho s třetí mocninou druhého byl maimální ) 4 [D f = (, + ), + ] (c) obě byla kladná a součin jednoho s druhou mocninou druhého byla maimální. [TODO]. Ukažte, že pro všechna > je funkce ln vždy menší než. (Návod: zkoumejte etrémy rozdílu těchto funkcí.) [maimum ln je ln < ]. Ukažte, že pro všechna R je funkce + vždy menší než e. (Návod: zkoumejte etrémy rozdílu těchto funkcí.) [minimum e je v = ] 4. Ukažte, že pro všechna > je funkce ln( + ) vždy menší než. (Návod: zkoumejte etrémy rozdílu těchto funkcí.) [ln( + ) je pro > ostře klesající a záporná] 5. Ukažte, že pro všechna > je funkce arctg vždy menší než. (Návod: zkoumejte etrémy rozdílu těchto funkcí.) [arctg je pro > ostře klesající a záporná] 6. Určete kladný parametr A > tak, aby objem tělesa, které vznikne rotací funkce f() = A + okolo osy na intervalu [, ] byl minimální! A( + ) [A 7. Je-li rozdíl dvou čísel rovný, je jejich součin větší než? = 4 /] 8. Nit délky l se má rozstřihnout na dvě části, z jedné části se udělá kružnice a ze druhé čtverec. Určete délky jednotlivých částí tak, aby součet ploch čtverce a kruhu byl minimální. [ano] [l = lπ 4+π, l = 4l 4+π ]

9. Nit délky l se má rozstřihnout na dvě části. Z jedné části se udělá kružnice a ze druhé rovnostranný trojúhelník. Určete délky jednotlivých částí tak, aby součet ploch trojúhelníku a kruhu byl minimální.. Do koule o poloměru R vepište válec s maimálním objemem.. Do koule o poloměru R vepište válec s maimálním povrchem.. Jaký je maimální objem kužele s danou stranou s? [TODO] [r = R, v = R ] [r = R + 5, v = R 5 ] [ π 9 s ]. Při jakých rozměrech má válec daného objemu V nejmenší povrch? [v = V π, r = v ] 4. Z papíru tvaru obdélníka se stranami a a b vyrobíme krabičku tak, že vystřihneme ze všech čtyř rohů stejné čtverce. Krabička bude mít výšku rovnou straně tohoto čtverce. Pomocí techniky hledání etrémů nalezněte délku strany čtverce, při níž bude objem krabičky největší. [ 6 (a + b a ab + b ) ]

5 Neurčité integrály a primitivní funkce Rozcvička V této úvodní části jsou příklady na integrály, které pro svou nižší náročnost nebudou ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. sin() d sin + cos() d (4 ) d [6 + 6 / + C] e d [ e + C] Zkouškové příklady... 4. 5. 4 ( 4 + ) d [ + 4 4 + C] cos(π ) d ( + ) π d cos 4 sin d sin 4 cos d [ sin(π ) π + C] [ (+)( +)( +) π π+ + C] [ 5 (cos )5 + C] [ 5 (sin )5 + C] 6. cos d [ sin ( ) + C] 7. + d [ arctg + C] 8. 9... + 4 d [ 4 5 5 4 4 7 7 + 4 4 + C] ( + ) d ma{, 4 } d (Pozor na spojitost primitivní funkce!) min{, } d (Pozor na spojitost primitivní funkce!) [ ln()+ ln() ln() ln() + C] [TODO] [TODO]. sin d (Pozor na spojitost primitivní funkce!) [TODO] 4

. 4. 5. 6. 7. 8. ma{, } d (Pozor na spojitost primitivní funkce!) tgh d cotgh d cotg d ( ) 6 d sin 5 cos d [ + C, + D, C = + D] [ tgh + C] [ cotgh + C] [ cotg () + π + C] [ 4 ( ) 7 + C] [ 6 (sin ())6 + C] d 9. e + e [arctg e + C] d. [ln (ln () + ) + C] (ln + ) arctg. + d [ (arctg ()) + C]. cos 4 d [ 4 (cos ()) sin () + 8 cos () sin () + 8 + C]. 4. cos d [ (cos ()) sin () + sin () + C] sin 6 d [ 6 (sin ())5 cos () 5 4 (sin ()) cos () 5 6 cos () sin () + 5 6 + C] 5. 6. 7. 8. 9... ln d [ / ln () 4 9 / + C] arctg d [ arctg ln ( + ) + C] arctg d [ arctg + e ( + ) d d d 7 + arctg + C] [ e + + C] ( [ ) arcsin + C] ( [arcsin 9 ( ) ) 9 + C] 5 + d [ 5 + arcsin ( ) + C]. 5 + d [ 4 ( ) ( 5 + + 8 arcsin ( ) ) + C] 5

+ 5. 4. tg d d [ + ln ( ) + ln ( + ) + C] [ ln (cos ()) + C] 5. 6. 7. 8. ln d [ (ln()) ln() + C] d [ + C] cos 5 sin d [ ( (sin ())/ + (cos ()) 4 + 4 (cos ()) ) + C] cos + sin d [ ln ( + sin ( )) + C] 9. Nalezněte f(), znáte-li: f () = cos, f () =, f() =. [f() = cos + ] 4. ( ) d [ / ( + 5 + 8 ) + C] 4. 4. 4. 44. 45. 46. e + e + d ( + ) d d ( ) / 4 + 4 d sin cos d e d [ e e + + C] [ ( + ) + C] [ + C] [ arctg 4 + C] [ cos + C] [ e + C] 47. 48. 49. 5. 5. 5. ln d ln [ ln + C] + ln (ln ) + C] + ln d [ sin d [ln + cot cotg + C] ( + tg ) sin cos + cos d [ cos + ln( + cos ) + C] ln d [ 7 / (9 ln ln + 8) + C] sinh d [ cosh sinh + C] 6

5. 54. arccos d [ arccos + 9 ( ) / 9 ( ) / + C] arctg d [arctg + arctg + C] 55. 56. 57. 58. 59. 6. 6. 6. 6. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 7. 7. ln sin sin e d e d d [ cotg ln sin cotg + C] [ e e + C] [ e ( + + ) + C] d [ ( ) / 8 ( )/ 6 5 ( )5/ + C] ln d [ 4 ln 8 + C] ln( + ) + d [ + ln( + ) 4 + + C] ln d d [ ln ln + + C] [ ( ln ln + 6 ln 6 ln 4 ) + C] sin d [ cos + sin + C] ln( + ) d [ ln( + ) + arctg + C] cotg (π ) d cot ln sin d [ ln sin() + C] [ (ln sin ) + C] cos (9 + tg ) d [arctg ( tg ) + C] cos 9 tg d [arcsin ( tg ) + C] 4 d [ arcsin( ) 4 + C] d ( ) / 4 d [ + C] [ (4 ) / + C] 7

7. 7. 74. 75. 76. 77. d a [ a ln a a + C] d a + [ a a + + C] d e e 9 [ 9 e e 9 + C] 6 8 d [ (6 8) / + arcsin( ) + 6 8 + C] ( + + 5) d [ + 8( ++5) 6 arctg ( ) + + C] + + 4 + d [ + 4 + + ln( + + + 4 + ) + C] 78. 79. 8. 6 8 d [ ( ) 6 8 + arcsin( ) + C] arcsin d [ arcsin + ( ) / 9 ( ) / + C] 4 d [ arcsin ( 8+ 4 ) + C] 8. d [ + + arcsin ( + ) + C] 8. 8. 84. 85. 86. arctg(ln ) d [ln arctg ln ln(ln + ) + C] + ( 4 ) arcsin d [ arcsin + C] arctg d [ arctg argcosh + C] cos sin 5 () d [ 6 sin6 () + C] tg + cotg sin() d [ cotg () + C] 87. Nalezněte všechny funkce, které mají tu vlastnost, že f () = e +. 88. + d [f() = e + C + D + ] [ / ln + C] 89. Nalezněte primitivní funkci k funkci f() = 4 + 4. [ 4 arctg ( ) + C] 9. Nalezněte všechny funkce f, které mají tu vlastnost, že f () = e +. [ f() = e + C + D ln ] 8

9. Nalezněte f(), znáte-li f () = ; f() = 4. [ ] 9. Nalezněte f(), znáte-li f () = cos ; f () = ; f() =. [ cos + ] 9. Nalezněte f(), znáte-li f () = b ; f () = ; f() =. [ + + ] 94. Nalezněte f(), znáte-li f () = ; f() = ; f() =. [ + ] 95. 96. 97. 98. t (4t + 9) dt [ 8(4t +9) + C] sin( ) d [ cos( / ) + C] sin d + d [ sin 6 + C] [ ln + + C] 99.. e d log d [ e + C] [ ln 4 (ln ) + C]. cos + ln + sin d [ln + 4 ln + C] 9

6 Určité Integrály Zkouškové příklady. ( + ) d []. + d [π]. d [ + arcsin ] 4. 5. 6. 7. 8. π / 6 + d arccos d cos d arctg d 5 d [ ln 7] [] [4π] [ π ] [ 5 48 ] 9. r ( + r ) 4 dr []. a y a y dy [ a ]. a y ( y a ) dy [ a 6 ]. + + d [ 6 4 ]

. 4. π ( + ) 6 d sin cos d [ 769 ] [ 4 ] 5. π cos d [π] 6. ln( + ) + d [ (ln ) ] 7. 8. 9... ln ln π 4 e e + d d d log + d e cos e d [ln ] [ 4 ln ] [ln ln ] 45 [ ln ] ( [ln ( + )( )] cos + π 4 ).. 5 / d 5 + [ π ] d 9 + 4 [ π 4 ] 4. d 4 ( + ) [ π 6 ] 5. ln e d + e [arctg π 4 ]

6. π cos 4 d [ 8 π] 7. π sin cos d [] 8. π cos d [ 4 π] 9. 8 ln d [ ln () + 9 ln ()].... 4. 5. ln /4π π/4 π/8 e d e (e + ) 5 d cotg d cos() d + d ( ) 7 d [] [ 5 6 [(e + ) 6 5 6 5 ]] [] ( [ 4 ln () + ln + ) ] [ 5 + ] [ 6 ] 6. y(y + ) dy [ 4 5 ] 7. 8. ( + ) d t ( t ) 8 dt [ ] [ 7 ]

9. r ( + r ) 4 dr [ 7 48 ] 4. 4. 4. 4. π π sin π d arctg d sin( + π) d ln( + ) d [4] [ π 4 ] [-] [ ln ]

7 Aplikace integrálů Rozcvička V této krátké části jsou příklady, které pro svou vyšší náročnost nebudou ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. Spočtěte povrch toru (duše) + (y b) = a ; b a [4π ab] Zkouškové příklady 7. Výpočet plochy ( ). Necht je dána funkce f() = sin() cos na intervalu [ π, π]. Jaká je plocha pod touto funkcí na intervalu [, π]?. Spočtěte plochu mezi osou a grafem funkce f() = + ; [, ]. [ 9 4 ]. Spočtěte plochu mezi osou a grafem funkce f() = ( + ) ; [, ]. [ 47 5 ] [ 4. Spočtěte plochu mezi osou a grafem funkce f() = sin ; π, ] π. [ ] [ 4 ] 5. Spočtěte plochu mezi osou a grafem funkce f() = + ; [, ]. [ ] 6. Spočtěte plochu mezi osou a grafem funkce f() = ( + ) ; [, ]. [ 9 4 ] 7. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = a y =. [ ] 8. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = a y = 4. [ 4 ] 9. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = a y =. []. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y =, y = a y = 4. [4]. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = cos a y = 4 π. [ + π ]. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = cos (π) a y = sin (π) pro [, 4 ]. [ π ]. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y =, y = a =. [ ln ] 4. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = ( + ) a = sin(πy) pro y [, ]. [ + π ] 5. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = a y = + sin pro [, π]. [ π ] 7. Výpočet těžiště 6. Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy y = ( ) a y =. 7. Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy y = 4 a y = pro [, ]. [ = 6 π, ȳ = 5 ] [ = 8. Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy y = + 4 a y = pro [, ]. 4 ln, ȳ = 6 7 ] [ = 5 9, ȳ = 7 7 ]

9. Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy y = a y = pro [, ]. [ = 4 π, ȳ = 4 π ] 7. Výpočet délky grafu funkce. Jaká je délka grafu funkce f() = ( )? [ π ]. Pomocí funkce f() = R a integrálního počtu spočítejte obvod kruhu o poloměru R.. Spočtěte délku křivky f() =, [, 4]. [ 8 7 8 7 ]. Spočtěte délku grafu y = ln, kde [, 8]. [ + ln ] ( ) 4. Spočtěte délku grafu y = a cosh, kde [, b]. [a sinh b a ] a 5. Spočtěte délku grafu = 4 y ln y, kde y [, e]. [ e + 4 ] 6. Spočtěte délku grafu y = a ln a a, kde [, b] a b < a. [a ln a+b a b b] 7. Spočtěte délku grafu y = ln cos, kde [, a] a a < π. [ln tan( π 4 + a ) ] 8. Spočtěte délku grafu y = a ln a+ a 4 a, kde [, b] a b >. [a ln a a b b] 9. Spočtěte délku grafu = a ln a+ a y 7.4 Výpočet objemu rotačního tělesa y a y, kde y [b, a] a < b < a. [a ln a b ]. Spočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací oblasti ohraničené y = a y = kolem osy.. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = a y = 9 okolo osy. [ 6 5 π] [ 944 5 π]. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y =, y = a y = ( ) okolo osy. [ 8 π] 7 4 4 7. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = 4 a y = okolo osy. [ π] 4. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = a y = okolo osy. 5. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y =, y = a + [, ] okolo osy. [ π (π + )] 4 6. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = cos, y = cos, [ π, π ] okolo osy. [ π ] 7. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = e, y = a = okolo osy. [π( ln 6 ln + 4)] [ 5 π] 5

8. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy = y, = 8, y = okolo osy y. [ 768 7 π] 9. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = a y = okolo osy y. [ 5 π] 4. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy = y a = y okolo osy y. [ π] 4. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = a y = okolo osy y. 4. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y y = a = okolo osy y. [ 4 5 π] [ 6 5 π] 4. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = cos, y = cos, [ π, π ] okolo osy. [ π ] 44. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = cos, y = cos, [, π ] okolo osy y. [π π] 7.5 Výpočet povrchu rotačního tělesa 45. Pomocí funkce f() = R a integrálního počtu spočítejte objem a povrch koule o poloměru R. [V = 4 πr, P = 4πR.] 46. Pomocí integrálního počtu a vhodně zvolené funkce spočítejte objem a povrch pláště kužele o výšce a a poloměru podstavy r. [V = πr v, P = πr v + r ] 47. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y = sin a [, π] okolo osy. [π( + ln( + ))] 48. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y =, [, ] okolo osy. [ 5π + π ln ( + + 5 )] 49. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y = e a [ ln, ln ] okolo osy. [π( 7 4 5 + ln 4+ 5 + 5 )] 5. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y + 4 = ln y, y [, ] okolo osy y. [ π 6 (4 ln + 6 ln 7] 5. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y = a cos π, [ b, b] okolo b osy. [a π a + 4b + 8 π b ln πa+ π a +4b b ] 5. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y = p, [, b] okolo osy. [ π((b + p) bp + p p )] 5. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y = p, [, b] okolo osy y. [ π 4 ( (p + 4b) b(p + b) p ln b+ p+b p ) ] 54. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y = cosh, [, ln ] okolo osy. 6

Reference [] Mareš J., Vondráčková J., Cvičení z matematické analýzy: Diferenciální počet, Vydavatelství ČVUT, 999 [] Pelantová E., Vondráčková J., Cvičení z matematické analýzy: Integrální počet a řady, Vydavatelství ČVUT, 998 [] Marsden J., Weinstein A., Calculus II, Springer, 985 7