Integrál komplexní funkce pokračování Definice. Nechť D a F ) je taková funkce, že F ) = f) pro všechna D. Pak F ) naýváme primitivní funkcí k funkci f) v oblasti D. Protože při integraci funkce f po křivce, která leží v oblasti, kde je funkce f holomorfní, neáleží hodnota integrálu na tvaru křivky, le ukáat, že hodnota integrálu ávisí jen na počátečním a koncovém bodu křivky a platí následující věta: Věta. Nechť D je jednoduše souvislá oblast,, D, f) je holomorfní na D, F ) je primitivní funkce k funkci f) v oblasti D. Pak f)d = F ) F ). Zápisem f)d máme na mysli integrál po nějaké křivce, která leží v oblasti D a je její počáteční bod a koncový. Příklad. Spočtěte j e d. Protože funkce e je holomorfní na celé Gaussově rovině má výše uvedené adání smysl pro libovolnou křivku ačínající v bodě a končící v bodě j. j e d = Příklad.4 Spočtěte [ ] j e = e ) = e ). e ) d. kde je spodní část jednotkové kružnice = ačínající v bodě a končící v bodě. Vidíme, že integrovaná funkce není holomorfní v bodě. Nicméně snadno le nalét jednoduše souvislou oblast D, která obsahuje křivku, integrovaná funkce je na D holomorfní, t.j. D nakreslete si obráek!). Můžeme tedy použít větu. a dostaneme: e ) d = e ) d = [ e + ] = e e = e e.
Příklad.5 Spočtěte j + 5 j ) d, kde je levá půlka jednotkové kružnice =, Re a je orientována v protisměru ručičkových hodinek. Výpočet rodělíme na výpočet integrálu funkce j a funkce 5 j. První funkce je holomorfní na, takže můžeme použít větu.. I = j [ j d = j d = j j ] j j j = j j ) =. Integrál druhé funkce spočítáme definice integrálu komplexní funkce. Čtenář by mohl namítnout, že le nalét jednoduše souvislou oblast D na které je funkce j j holomorfní a která obsahuje křivku a tudíž použít i na funkci větu. jako v předchoím příkladě. Nicméně v tomto případě toto nemůžeme udělat, protože nejsme schopni nalét primitivní funkci. Funkce log) je sice primitivní funkcí k funkci, ale jen tam, kde existuje log ). Protože křivka protíná nekladnou reálnou poloosu, musí i oblast D obsahovat nějaké body nekladné reálné poloosy. D tedy obsahuje body, kde neexistuje derivace funkce log). Parametriujme křivku : Dostáváme tedy: I = = ϕt) = e jt, ϕ t) = je jt, t,. 5 j ) d = 5e jt je jt )je jt dt = = + 5j). 5 j ) d = 5 j ) d 5 j)jdt = + 5j) Konečný výsledek dostaneme sečtením: j + 5 j ) d = I + I = + + 5j). V dalším textu se budeme abývat integrály, při jejichž výpočtu se používá auchyův integrální vorec pro n-tou derivaci. dt
Věta.6 Nechť D jednoduše souvislá oblast, na které je f) holomorfní a nechť je jednoduchá, uavřená a kladně orientovaná taková, že D. Pak pro n =,,... a každé Int platí: f n) ) = n! j f) d, ) n+ kde symbol f n) ) načí n-tou derivaci funkce f v bodě. Speciálně pro n = platí: f ) = f) d. j Příklad.7 Spočtěte integrály sin d, sin d, ) kde je kladně orientovaná kružnice =. Protože funkce sin je holomorfní na, můžeme použít větu.6. Máme tedy: sin d = j sin = j, Příklad.8 Spočtěte sin d = j ) sin = j cos =. + 4 + + 5 d, kde je kladně orientovaná kružnice + j =. Roložíme jmenovatel integrované funkce na součin kořenových činitelů:, = ± 4 Dostáváme tedy: + 4 + + 5 d = = ± j. + 4 + j) + + j) d.
Protože křivka obíhá jen jeden kořenů konkrétně kořen +j), dostáváme, +4 že funkce ++j je holomorfní na i na Int. Můžeme tedy použít větu.6. + 4 + j) + + j) d = = j +4 ++j + j d = + j). + j + 4 + j + + j = j + j 4j n Věta.9 Nechť D je n + )-násobně souvislá oblast s kladně orientovanou hranicí t.j. je určena kladně orientovanými křivkami,,..., n ). Pak pro každou funkci f), která je holomorfní na D a spojitá na D = D n platí: f)d = f)d + f)d + + f)d. Speciálně pro n = : Příklad. Spočtěte f)d = f)d. e ) d, kde je kladně orientovaná kružnice j =. Vidíme, že integrovaná funkce má dvě singularity t.j. body, kde není holomorfní). Jedna je v bodě a druhá je v bodě. Singularita v bodě je od středu j kružnice vdálena a singularita v bodě je od něj vdálena. To namená, že křivka obíhá obě tyto singularity a nele tedy použít stejný přístup jako v předchoím příkladě. Nicméně najdeme-li dvě kladně orientované kružnice a takové, že obíhá a obíhá a vájemně se neprotínají, můžeme pak použít větu.9. Je řejmé, že takové kružnice le najít nakreslete si obráek!). Podle věty.9 pak le adaný integrál spočítat jako součet dvou integrálů podle a. Spočtěme tedy tyto dva integrály. Z věty.6 dostáváme: e ) d = e ) d = e ) d = j e j d = )! e ) = j, ) e ), 4
kde výra ) e ) načí druhou derivaci funkce e druhou derivaci: v bodě. Hledejme tedy e ) e = ) = e e = e + e, ) e + e = e + e + e e 4 = e + e e, Dostáváme tedy e ) ) = e. Po dosaení e j d = )! ) e ) = je, Výsledný integrál dostaneme sečtením: e ) d = e ) d + e d = j je = j e). ) 5