Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C.
Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách ež desítkových. Vypracováí: Opakováí důležtých pojmů Děltelost v oboru celých čísel V oboru Z pro lbovolou dvojc celých čísel a, b defujeme: Číslo a je děltelé číslem b, právě když exstuje takové celé číslo k, že platí a = bk, tj. když číslo a je ásobkem [ k -ásobkem] čísla b. Říkáme pak též, že číslo b je děltelem čísla a ebo že číslo b dělí číslo a. Píšeme b a. číslo k se azývá podíl čísla a př děleí číslem b v oboru Z mají čísla a, a právě tytéž děltele čísla,, a, a se azývají evlastí [samozřejmí, trválí] děltelé čísel a, a v oboru Z ; exstují-l další děltelé čísla a Z, azývají se vlastí [esamozřejmí, etrválí] děltelé každé celé číslo je děltelem uly, ale ula eí děltelem žádého celého čísla růzého od uly Prvočísla, složeá čísla Prvočíslo je každé celé číslo p ( p, p ), které má je evlastí děltele (ěkdy se za prvočísla považují je všecha kladá celá čísla >, vyhovující uvedeým podmíkám Každé celé číslo růzé od uly, které má aspoň jedoho vlastího děltele, se azývá složeé. Čísla, ejsou a složeým čísly, a prvočísly. Věta o děleí se zbytkem v oboru celých čísel ( a = bu + v v b ) a, b Z, b, u, v Z : < číslo u se azývá částečý [eúplý] podíl čísel a, b (v tomto pořadí) číslo v se azývá ejmeší ezáporý zbytek čísla a př děleí číslem b [ejmeší ezáporý zbytek čísla a podle modulu b ], stručě: zbytek př děleí Číselé soustavy Moža určtých zaků s pravdly, která slouží k zobrazeí čísel, se azývá číselá soustava. K zápsu reálých čísel používáme pozčích soustav, u chž výzam zaku závsí a jeho poloze v zápsu a z chž ejrozšířeější jsou polyadcké číselé soustavy.
Polyadcké číselé soustavy V z-adcké číselé soustavě lze každé přrozeé číslo p vyjádřt ve tvaru tzv. z-adckého rozvoje p = a z = a z + a z + K z z z, = kde z N \ {}, a {,,, K, z }, a pak zapsat pomocí tzv. z-adckého zápsu ( α α Kα α α ) z. Zde z se azývá základ z-adcké číselé soustavy a α jsou zaky reprezetující čísla a. Zaky α (popř. ěkdy také čísla a ) se azývají číslce [cfry]. Idex číslce a, resp. pozce, která tomuto dexu v číselém obrazu přísluší, se azývá řád číslce a, resp. řád obrazu číslce a. Číslce s dexem se azývá číslce řádu ebo číslce -tého řádu. Neulová číslce, která je v číselém obrazu přrozeého čísla p prví zleva, se azývá číslce ejvětšího řádu čísla p. Řád číslce ejvětšího řádu přrozeého čísla p se azývá řád přrozeého čísla p. Přrozeé číslo řádu se azývá -cferé. Polyadcká soustava se základem dvě se azývá dvojková [bárí, dyadcká], se základem tř trojková [terárí], se základem osm osmčková [oktalová], se základem deset desítková [dekadcká], se základem šestáct šestáctková [hexadecmálí] atd. Krtéra děltelost Veškeré aše další úvahy budou vycházet ze z-adckého rozvoje přrozeého čísla p = Kaaaaa, kde a, a, a, a K jsou cfry, tj. ze zápsu p = K + a + z z z z a z Výpočty budeme provádět v příslušých z-adckých soustavách a čísla budeme zapsovat ve zkráceém z-adckém zápsu bez závorky a dexu ozačujícího základ, tj. místo ( a a K aaa pouze a a Kaaa. ) z Děltelost v Z Děltelost dvěma Pro alezeí krtera děltelost dvěma v trojkové soustavě použjeme rozklad čísla p = K + a a p = ( K + a + a + a ) + ( K+ a Z tohoto zápsu je patré, že číslo je děltelé dvěma, právě když je dvěma děltelý cferý součet K + a čísla p. Pracujeme v trojkové soustavě, v desítkové soustavě by záps čísla p vypadal takto: p = K + a. Cfra v trojkové soustavě eexstuje. Číslu (tj. základu), odpovídá záps () (čteme jeda ula, kolv deset Závorku a dex ozačující základ budeme vyechávat, vz odstavec Krtera děltelost.
Děltelost základem Čísla děltelá základem kočí ve všech z-adckých soustavách cfrou. Pozámka: V dalším textu se omezíme a vyšetřováí krtérí děltelost čísly meším ež je základ a ebudeme uvažovat děltelost číslem. Děltelost v Z Děltelost dvěma Jelkož p = ( K + a + a + a ), je číslo p děltelé dvěma, právě když je děltelá dvěma cfra a (tj. když číslo p kočí ebo Děltelost třem Platí p = ( K + a + a + a ) + ( K + a Číslo p je děltelé třem, právě když je třem děltelý cferý součet K + a + a + a + a + čísla p. a Děltelost v Z 5 Děltelost dvěma Jelkož p = ( K + a + a + a ) + ( K + a děltelé dvěma, právě když je děltelý dvěma cferý součet čísla p. Děltelost třem p = ( K+ a + a + a ) + ( K + a + a ) = = ( K+ a + a + a ) + ( K+ a a a ) = = ( K+ a + a + a ) + ( K a a a ) Číslo p je děltelé třem, právě když je třem děltelý alterovaý cferý součet čísla p. Děltelost čtyřm Jelkož p = ( K + a + a + a ) + ( K + a děltelé čtyřm, právě když je děltelý čtyřm cferý součet čísla p. Děltelost v Z 6 Děltelost dvěma Jelkož p = ( K + a + a + a + a ), je číslo p děltelé dvěma, právě když je děltelá dvěma cfra a (tj. a {,, } Krterum bychom mohl objevt takto: Ze zápsu p = ( K + a + a + a ) je patré, že posledí cfra a rozhoduje o děltelost čísla p všem děltel čísla, tj. čísly, a (číslo zde euvažujeme), eboť číslo ( K + a + a + a ) čísly, a děltelé je. Číslo p je děltelé dvěma, právě když je děltelá dvěma cfra a.
Děltelost třem Jelkož p = ( K + a + a + a ), je číslo p děltelé třem, právě když je děltelá třem cfra a (tj. a {, } Děltelost čtyřm Jelkož p = ( K + a + a + a ), je číslo p děltelé čtyřm, právě když je děltelé čtyřm číslo a. Jé krtérum objevíme použtím zápsu p = ( K + a + a ) a, z ěhož je patré, že posledí dvojčíslí a a rozhoduje o děltelost čísla p všem děltel čísla, tj. čísly,,,,, a, eboť číslo ( K + a + a ) čísly,,,,, a děltelé je. Proto číslo p je děltelé čtyřm, jel čtyřm děltelé posledí dvojčíslí. Děltelost pět Jelkož p = ( K + a + a + a ) 5 + ( K + a děltelé čtyřm, právě když je děltelý čtyřm cferý součet čísla p. Děltelost v Z 7 Děltelost dvěma Jelkož p = ( K + a + a + a + a ) + ( K + a děltelé dvěma, právě když je děltelý dvěma cferý součet čísla p. Děltelost třem Jelkož p = ( K + a + a + a ) + ( K + a děltelé třem, právě když je děltelý třem cferý součet čísla p. Děltelost čtyřm Jelkož p = ( K + 55a + 5a + 5a ) + ( K + a a a děltelé čtyřm, právě když je čtyřm děltelý alterovaý cferý součet čísla p. Děltelost pět Jelkož p = ( K + 55a7 + 5a6 + 5a 5 + 5a + 5a + a ) 5 + + ( K + a7 + a6 + a5 + a + a + a ) je číslo p děltelé pět, právě když je děltelé pět číslo K + a 7 + a6 + a5 + a + a + a čísla p. Úloha. Je-l p = ( 56) 7, je ( ) 7 + ( ) 7 + ( 5) 7 + ( 6) 7 + ( ) 7 = ( ) 7 + ( ) 7 + ( 6) 7 + ( 5) 7 + ( ) 7 = ( 6) 7, což je číslo děltelé pět a proto je děltelé pět číslo p = ( 56) 7 (pokud by ám
estačlo k určeí děltelost pět číslo ( 6) 7, mohl bychom pokračovat: ( 6) 7 + ( ) 7 = ( 5) 7 + ( ) 7 = ( ) 7 a ( ) 7 + ( ) 7 = ( 5) 7 Děltelost šest Jelkož p = ( K + a + a + a ) 6 + ( K + a děltelé šest, právě když je děltelý šest cferý součet čísla p. (Pozámka: Číslo šest je číslo složeé, porovejte krtéra děltelost.) Děltelost v Z 8 Děltelost dvěma Jelkož p = ( K + a + a + a + a ), je číslo p děltelé dvěma, právě když je děltelá dvěma cfra a (tj. a {,,, 6} Děltelost třem Jelkož p = ( K + 55a + 5a + 5a + a ) + ( K + a a a děltelé třem, právě když je třem děltelý alterovaý cferý součet čísla p. Děltelost čtyřm Jelkož p = ( K + a + a + a ), je číslo p děltelé čtyřm, právě když je děltelá čtyřm cfra a (tj. a {, } Děltelost pět Jelkož p = ( K + 66a7 + 6a6 + 6a 5 + 6a + 6a + a ) 5 + + ( K + a7 + a6 + a5 + a + a + a + a ) je číslo p děltelé pět, právě když je děltelé pět číslo K + a a + a. 7 + a6 + a5 + a + a + a + Děltelost šest Jelkož p = ( K + 55a5 + 5a + 5a + a ) 6 + ( K + a5 a + a a ), je číslo p děltelé šest, právě když je děltelý šest cferý součet K + a a + a a + a + a čísla p. 5 (Pozámka: Číslo šest je číslo složeé, porovejte krtéra děltelost.) Děltelost sedm Jelkož p = ( K + a + a + a ) 7 + ( K + a děltelé sedm, právě když je děltelý sedm cferý součet čísla p. 5
Děltelost v Z (dekadcká soustava) p = K + a + a Tabulka : Tabulka zbytků vyjadřujících krtéra děltelost jedotlvým přrozeým čísly: Děltelost K a čísla aaaa číslem Krtérum děltelost a K + a a 5 a 6 K + a + a + a + a 7 K + a 7 + a6 a5 a a + a + a 8 a 9 K + a a K + a a a K + a + a + a a K a 7 + a6 + a5 + a a a a K + a 8 a7 6a6 a5 + a + 6a + a a 5 K 5a 5a 5a 5a 6 8a + a 6a 7 K + a + 7a9 a8 + 5a7 8a6 + 6a5 + a a a 7a 8 K 8a 8a 8a 8a 9 K + 9a a9 a8 a7 8a6 + a5 + 6a 7a + 5a 9a a Úloha. Je-l = 865, je 8 6 + + + 5 =, což je číslo děltelé sedm, a proto je děltelé sedm číslo = 865. Lteratura BARTSCH, H.-J.: Matematcké vzorce. Praha, Mladá frota. ZHOUF, J.: Krtera děltelost. I: Jak učt matematce žáky ve věku - 5 let, edt.: Hejý, Mla - Hrubý, Dag - Lšková, Haa - Stehlíková, Naďa - Sýkora, Václav,. vyd., Ltomyšl, JČMF,, s. 5-5, ISBN: 8-75-8-9, stať ve sboríku z koferece Dodatek V dodatku uvádíme záps prvích padesát čísel v soustavách o základu dvě až deset. 6
Tabulka : Tabulka prvích padesát čísel v příslušé z-adcké soustavě Z Z Z Z 5 Z 6 Z 7 Z 8 Z 9 Z 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 9 5 5 6 5 6 5 7 6 5 7 6 5 8 7 8 5 9 6 5 6 5 7 5 6 7 5 5 8 6 6 7 8 5 5 9 5 6 5 7 5 5 5 5 6 5 6 7 55 5 8 5 5 6 5 5 7 5 6 8 5 7 9 55 5 5 56 5 5 6 5 6 6 5 7 6 5 8 6 55 5 5 6 56 5 6 5 65 57 5 7 66 6 5 8 6 5 9 6 55 5 7
Obsah Opakováí důležtých pojmů... Děltelost v oboru celých čísel... Prvočísla, složeá čísla... Věta o děleí se zbytkem v oboru celých čísel... Číselé soustavy... Polyadcké číselé soustavy... Krtéra děltelost... Děltelost v Z... Děltelost dvěma... Děltelost základem... Děltelost v Z... Děltelost dvěma... Děltelost třem... Děltelost v Z 5... Děltelost dvěma... Děltelost třem... Děltelost čtyřm... Děltelost v Z 6... Děltelost dvěma... Děltelost třem... Děltelost čtyřm... Děltelost pět... Děltelost v Z 7... Děltelost dvěma... Děltelost třem... Děltelost čtyřm... Děltelost pět... Děltelost šest... 5 Děltelost v Z 8... 5 Děltelost dvěma... 5 Děltelost třem... 5 Děltelost čtyřm... 5 Děltelost pět... 5 Děltelost šest... 5 Děltelost sedm... 5 Děltelost v Z (dekadcká soustava... 6 Lteratura... 6 Dodatek... 6 Obsah... 8 8