PRUŽNOST A PLASTICITA

PRUŽNOST A PASTICITA ENERGETICKÉ METODY SHRNUTÍ TEORIE A PŘÍKADY Ing. Rostslav Zídek, Ph.D. Ing. děk Brdečko, Ph.D.

Obsah. Předmlva.... Deformační (přetvárná) práce..... Přetvárná práce vnějších sl..... Deformační (přetvárná) práce napětí..... Deformační práce sostavy... 5. Vrtální práce... 9.. Prncp sperpozce mechancké práce.... Potencální energe... 5.. Potencální energe vnějších sl... 5.. Potencální energe vntřních sl (deformační energe)... 5.. Potencální energe systém... 5 5. Varační úlohy... 9 5.. Rtzova metoda... 5... Obecná úprava řešení Rtzovo metodo... 5.. Metoda konečných prvků... 7 5... Prtový prvek tah - tlak... 7 5... Odvození prtového MKP prvk tah-tlak matcově... 9 5... Výpočet vntřních sl pro prtový prvek tah tlak... 5 5... Plošný prvek T6... 5 5..5. Aplkace prvk T6... 6 5..6. Zadaná přemístění a pržné podpory... 68 6. Dodatek A - přetvárná práce vntřních sl na prt... 7 7. Dodatek B - extrém fnkce a fnkconál... 79 7.. O problém extrém obecně... 79 7.. Staconární hodnota fnkce... 8 7.. Varace fnkce a staconární hodnota... 8 8. Dodatek C Požadavky na náhradní fnkce pro prvky MKP... 8 9. teratra... 86 Regstrační číslo CZ..7/../8.

. Předmlva Předkládaná cvčebnce se pokoší zaplnt mezer ve výce metody konečných prvků a obecně energetckých metod. Problematka je to značně rozsáhlá a pro dobré pochopení je třeba začít od nejjednodšších úvah o energích. V předkládaném text je proto vždy strčně vedena teore, na ktero navazjí příklady, včetně jejch nmerckého řešení. V dodatcích jso potom shrnty některé prncpální záležtost, jejchž obšírné vedení v hlavním text by nebylo ve prospěch přehlednost. Efektvní stdm energetckých metod předpokládá aktvní zapojení se stdenta do proces. Doporčjeme číst skrptm s tžko v rce a zapntým počítačem v dosah. Některé příklady jso totž nmercky náročné a je efektvní řešt je za pomoc tablkového procesor (MS Excel, OpenOffce Calc, č jný). Výklad je podán co nejjednodšší formo, tak, aby byl co nejpřístpnější šroké čtenářské obc. Atoř neměl ambc napsat vědecký text, ale snažl se vysvětlt složtější metody pomocí základní matematky. Proto je přetvárná práce vnějších sl nejprve vysvětlena na konečném počt dílčích zatížení a teprve potom je celá úvaha převedena na ntegrál. Podobně je bytostně matcová metoda konečných prvků nejprve vysvětlena bez požtí matc, které jso poté mplementovány jako vítané spořádání a v konečném důsledk zjednodšení výpočt. Atoř toto cesto děkjí Doc. Ing. Svatoplk Šmřákov, CSc. za nsprac a za skvělý výklad ve skrpt [], na který se poksl navázat. Všem čtenářům potom bdo vděčn za věcné přpomínky a pozornění na chyby. Brno, prosnec Regstrační číslo CZ..7/../8.

. Deformační (přetvárná) práce.. Přetvárná práce vnějších sl Proměnné vnější síly konají na poddajném tělese prác. Z fyzky víme, že mechancká práce se vypočte jako sočn síly a dráhy, na které síla působí. Problém v případě poddajných těles spočívá v závslost síly na deformac tělesa. Na obrázk je proces zatížení pržny rozfázován do čtyř kroků. Obrázek : Postp zatěžování Mechancko prác můžeme, za předpoklad čtyř stejných zatěžovacích kroků, vyjádřt pro zatěžovací krok jako e, F F F, () 6 kde F a jso konečné hodnoty působící síly a posn. Ve drhém krok můžeme psát e, F F F F F F. () 6 Pro třetí krok obdobně dostaneme e, F F F F F F F F F F. () 8 A obdobně ve čtvrtém, posledním, krok F F F F F F F F F F e, F F F F F,65F 6 Obecně můžeme psát pro zatěžovací proces rozdělený na n částí. () Regstrační číslo CZ..7/../8.

5 n n n en, F F, (5) n n potom pro částí dostaneme e,,55f (6) a pro částí e,,55f. (7) V případě n bde e F. (8) V předchozí úvaze jsme vyjadřoval velkost aktálně působící síly v závslost na posn, tj. síla záležela na fáz posn. F k, (9) kde k je thost pržny vyjádřená jednotko [N/m]. Komplkovaný předchozí výpočet můžeme potom nahradt ntegrálem F d. () e Proveďme nahrazení síly F pomocí vztah (9) a dostaneme kd k k () e Vyjádříme-l ze vztah (9) posn a dosadíme do (), dostaneme rovnc (8). Učňme nyní obráceno úvah a poksme se vyjádřt prác, která se msí vykonat př zatěžovacím proces př posn závaží na snžjící se plošn. Př posn prvního závaží vykonáme nlovo prác, protože jsme celo tíh závaží přsodl pržně * e,. () Ve drhém krok je třeba posnot drhé závaží o. * * e, e, F F. () 6 Regstrační číslo CZ..7/../8.

6 Třetí závaží posnjeme o,5 a prác vyjádříme * * e, e, F F. () 6 Celková komplementární práce bde * * 6 e, e, F F (5) 6 Celková práce, vyjádřená jako sočet přetvárné a komplementární přetvárné práce, bde * 6 e, tot e e F F F, (6) 6 6 což je celková mechancká práce síly. Pro n stejných částí můžeme psát n * n n n n e F F F, (7) n n n Pro n dostaneme * e,,95f (8) a pro n * e,,995 F. (9) Pro n * e,,5 e, F. () Doplňkovo přetvárno práce vnějších sl můžeme napsat ntegrálně * e F F df. () Zde je vyjádřen posn jako fnkce aktálně působící síly, čímž se doplňková práce lší od přetvárné práce. Dosadíme-l za posn ze vzorce (9), dostaneme F * F F e d F F F k k k. () Po zpětném dosazení z fyzkální podmínky (9) dostaneme vztah totožný s (8). Regstrační číslo CZ..7/../8.

7 Pro lneárně pržný materál platí rovnost e * e. () Pro nelneární chování materálů tato rovnost zachována není, jak plyne z obrázk (*). Přetvárná a komplementární práce sl mají též charakter ploch, vyšrafovaných na stejném obrázk. PŘÍKAD : Obrázek : Přetvárná práce vnějších sl pro lneárně pržný a nepržný materál Vypočtěte deformační prác vnějších sl ocelového táhla průměr mm, délky m, jehož konec se vlvem působící síly posne o 8 mm. ŘEŠENÍ: Průřezová plocha: A d, 5 7,85 m Normálová thost: EA 9 5 6 7,85 6,9 N Geometrcká podmínka: n l l (poměrné délkové přetvoření osy prt) Obrázek : Tažený prt Fyzkální podmínka: l N EA EA (normálová síla) l n Konečná působící síla: Regstrační číslo CZ..7/../8.

8 P 6,8 6,9 986,8 N Deformační práce vnějších sl: e P l l EA l l e P l l 986,8,8,97 J Komplementární (doplňková) práce vnějších sl: * e Posn l F F vyjádříme z fyzkální podmínky: l Nl EA * Pl e l F F EA Vzhledem k lneárním chování materál vyjde doplňková přetvárná práce práce e. PŘÍKAD : * e stejná jako přetvárná Vypočtěte deformační prác vnějších sl na nosník zatíženém spojtým rovnoměrným zatížením. Rozpětí: l 6m Modl pržnost: E GPa Moment setrvačnost: I 6, m Intenzta zatížení: q 5 kn m Obrázek : Prostý nosník ŘEŠENÍ: Vyjádříme komplementární přetvárno prác, která je pro případ pržného materál stejná jako přetvárná práce. Komplementární přetvárná práce vnějších sl se vyjádří jako polovna ntegrál dferencálních sl násobených příslšným posnem. Posn vyjádříme jako fnkc zatížení. * e d dfw q, () Regstrační číslo CZ..7/../8.

9 df qdx, (5) * e d w q qdx, (6) l * e w q qdx. (7) Křvka průhyb se odvodí pomocí metod stavební mechanky (není sočástí tohoto text): q w x l lx x EI. (8) Po dosazení do (7) dostaneme l * q e EI x l lx x dx. (9) Výsledkem je * e 55 ql EI. () Po dosazení zadaných hodnot dostaneme * e 6,J. e agrangeova věta: Pro přetvárno prác vnějších sl platí d F d. e Jednodše vyjádříme F d e d. () Pro více posnů analogcky platí F e. () Slovně vyjádřeno: Vnější síla působící na pržno konstrkc se rovná parcální dervac přetvárné práce podle posn působště této síly ve směr této síly. Regstrační číslo CZ..7/../8.

Catglanova věta: Pro komplementární přetvárno prác vnějších sl platí * e d F d Vyjádříme F * e d df. () Pro více sl vyjádříme * e F Slovně vyjádřeno: Posn v místě a směr síly působící na pržno konstrkc se rovná parcální dervac komplementární přetvárné práce podle příslšné síly. PŘÍKAD : Vyjděte z příklad a pomocí agrangeovy věty rčete z rovnce přetvárné práce vnějších sl působící síl. ŘEŠENÍ: l P l l EA, l e de l F EA P. d l l PŘÍKAD : Pomocí Castglanovy věty rčete z příklad posn. ŘEŠENÍ: l * e d P dp EA. PŘÍKAD 5: Pro prostý nosník podle obrázk 5 a) vyjádřete deformační prác vnějších sl a platněte agrangeov vět a vypočtěte síl F a moment M, Obrázek 5: Příklad 5, zadání Regstrační číslo CZ..7/../8.

b) vyjádřete komplementární deformační prác vnějších sl a platněte Castglanov vět a vypočtěte průhyb wa pootočení. ŘEŠENÍ: Metodo jednotkových sl vyjádříme posn v místě síly F a pootočení v místě moment M. Pro jednodchost zanedbejme vlv posovajících sl. Stačí tedy rčt ohybové momenty od jednotlvých zatížení sktečných jednotkových. Vyjádříme průhyb pod sílo F, který se skládá z vlv působící síly a moment v pravé podpoře. Pro vyčíslení ntegrálů vyžjme tablky. 6 6 6 6 wf F 5 M M M EI 5 5 5 5 6 5 5, 5 wf F M EI 5 5. Obdobně vyjádříme pootočení v pravé podpoře Obrázek 6: Zatížení a průběhy ohybových momentů 6 6 M F F M 5 EI 5 5 6 5 5 6 6 M F F M 5 EI 5 5 6 5 5 Regstrační číslo CZ..7/../8.

5 5 M F M 5 Pro vyjádření přetvárné práce vnějších sl je ntné vyjádřt zatěžjící síl a moment jako fnkc posn w F a pootočení M. Je třeba řešt sostav dvo rovnc o dvo neznámých: 5 5 5 EI 5 5 5 F M w F M. Řešení sostavy a vyjádření síly F a moment M jako fnkce posn a pootočení F EI,87w,6868, F M EI,688 w,767. Deformační práce vnějších sl F M F F w, w M w,, e F M F F M M M e,87 wf,6868 M wf,6868 w F,767 M M, e,85 F,6868 F M,5885 M w w. agrangeova věta: Síla F: F w e F,87w,6868 F M. Moment M: e M, 6868w,767. M Komplementární práce vnějších sl: * e F M F F F w F, M F F, M M, * 5 5 5 e F M F F M M, EI 5 5 EI 5 M Regstrační číslo CZ..7/../8.

5 5 F F M M EI 5 5 * e. Castglanova věta: Posn * e 5 wf F M F EI 5 5. Pootočení M * e M 5 5 F M EI 5. Poznámka: Pro aplkac agrangeovy věty je ntné vyjádřt síly a momenty jako fnkce posnů a pootočení. Podobně pro aplkac Castglanovy věty je ntné vyjádřt posny a pootočení jako fnkce sl a momentů... Deformační (přetvárná) práce napětí Mějme nfntezmální element tělesa podle obrázk 7. Pro zjednodšení předpokládejme, že element je zatížen poze normálovým napětím x. Jak bylo odvozeno, přetvárná práce se v případě pržného materál vypočte jako polovna sočn konečné působící síly a posn. V případě vntřních sl je přetvárná práce záporná, neboť reprezentje prác, která je v tělese skladněna. Dferencální část práce bde d dn x x, () kde síl dn x vyjádříme jako sočn napětí a dferencální plochy dn dy dz. (5) x x Změn délky element vyjádříme z Hookeova zákona jako x xd x. (6) Dosazením do vzorce pro prác vntřních sl dostaneme d xdy dz xdx, (7) což se dá vyjádřt jako Regstrační číslo CZ..7/../8.

d x xdv, (8) kde dv je dferencální objem. Celkovo prác vyjádříme jako ntegrál přes objem Obrázek 7: Deformační práce napětí x xdv. (9) V Pro ostatní napětí bychom dostal podobné vztahy. Seřadíme-l příslšná napětí do vektorů, dostaneme obecný vztah pro přetvárno prác napětí V T ε σ dv, () Kde T ε x, y, z, xy, yz, zx () Je vektor poměrných přetvoření a T σ x, y, z, xy, yz, zx () je vektor napětí. Deformační práce vntřních sl přímého rovnného prt Deformační prác můžeme pro případy prtů, stěn, desek a deskostěn vyjádřt pomocí vntřních sl. Pro rovnný prt bde platt Regstrační číslo CZ..7/../8.

5 N ndx V vdx M mdx. () Podrobné odvození je vedeno v příloze. Do této rovnce je možno dosadt z fyzkálních podmínek N EA n, () V GA v, (5) M EI m. (6) Potom dostaneme alternatvní zápsy N V M dx dx dx EA GA EI nebo (7) EA dx GA dx EI dx. (8) n v m.. Deformační práce sostavy Sostava se skládá z tělesa a jeho vnějších sl. Obě tyto část tvoří konzervatvní systém, pro který platí zákon o zachování mechancké energe, který je aplkací obecného zákona zachování energe. Zákon zachování mechancké energe říká, že celková energe v zolovaném mechanckém systém př mechanckém děj, zůstává konstantní. Sostav těleso pls zatížení můžeme považovat za zolovaný mechancký systém. V dalších úvahách však nebdeme předpokládat dynamcké chování sostavy a rovněž nebdeme předpokládat přeměn mechancké energe na plastcké tváření materál. Zůstaneme deálního lneárně pržného chování. Na základě předchozích úvah můžeme prohlást, že sočet práce vnějších a práce vntřních sl msí být nlový. (9) e Vyžtí pro řešení reálné konstrkce kazje následjící příklad. Regstrační číslo CZ..7/../8.

6 PŘÍKAD 6 Pomocí prncp nlové přetvárné práce vypočtěte průhyb volného konce konzoly podle obrázk. Zanedbejte prác posovajících sl. Předpokládejte, že ohybová thost EI je konstantní po celé délce konzoly. Obrázek 8: Konzola, zatížení, průhyb ŘEŠENÍ: Přetvárná práce vnějších sl je e Fw. Přetvárná práce vntřních sl je N dx V dx M dx, n v m kde první a drhý ntegrál bde nlový a zůstane poze poslední, vyjadřjící přetvárno prác ohybových momentů. Za m dosadíme z geometrcké podmínky a dostaneme M dx M dx. EI EI Na Obrázek 9 je graf ohybových momentů. Pro dosazení do rovnce pro prác vntřních sl potřebjeme rovnc ohybových momentů, ktero snadno odvodíme M F x. Obrázek 9: Konzola, průběh ohybových momentů Dosaďme do rovnce pro deformační prác vntřních sl a dostaneme F F F X dx EI EI EI 6EI. Dosadíme-l do rovnce pro celkovo přetvárno prác, dostaneme F e Fw 6EI. Z předchozí rovnce snadno vypočteme průhyb Regstrační číslo CZ..7/../8.

7 w F EI, který se shodje s přesným řešením. PŘÍKAD 7 Thý prt je ložen podle obrázk. Klob klade prot pootočení odpor podle rovnce M k (5) r r r Najděte velkost krtcké síly ztrátě stablty. F cr př které dochází ke ŘEŠENÍ Práce vnější síly bde Obrázek : Stablta thého prt e Fw. Násobtel chybí, protože po dosažení krtckého stav se zvětšje posn za konstantního zatížení. Předchozí vztah dosazením za posn w pravme Fh cos. e Pomocí Taylorova polynom můžeme vyjádřt cos jako cos sn cos sn cos 6 (5) Po vyjádření fnkcí sns a cosns a zanedbání třetích a vyšších mocnn úhl dostaneme cos. (5) Potom práce vnějších sl je přblžně e Fh Fh. (5) Přetvárná práce vntřních sl je Mr k r. (5) Dosadíme-l do podmínky nlové přetvárné práce, dostaneme Regstrační číslo CZ..7/../8.

8 e Fh k r. (55) V této rovnc je poze jedna neznámá, síla F. Snadno j vyjádříme F k r h. (56) Uvedený vzorec představje krtcko síl a shodje se s přesným řešením. Regstrační číslo CZ..7/../8.

9. Vrtální práce V předchozích částech byla vysvětlena přetvárná práce vnějších a vntřních sl. Další skpno je vrtálně práce. Myšlenkový postp pro její odvození lstrje následjící úvaha. Mějme částc, na ktero působí sostava rovnovážných sl P, jejchž úhlová odchylka od osy x je. Částce se posne ve směr osy x o. Potom práce vykonaná sostavo sl bde P cos P cos P cos P P, (57) e n n x x což je slová podmínka rovnováhy vynásobená posnem má některé výhody například reakce v pevných podporách konají nlovo prác. Rovnce (57) představje vrtální prác, kde síly jso sktečné a posn je vrtální. Slovo vrtální se obvykle vysvětlje jako myšlený avšak možný. Sktečný význam však je spíš ne v příčnné sovslost, jak je vdět v předchozím příklad. Vrtální posn je tedy nfntezmální (velm malý) posn, který není v rozpor s vazbam sostavy a nezávsí na slách sostavy. V předchozí lstrac této defnc odpovídá posn, který nebyl vyvolán rovnovážno sostavo sl P. Z tohoto důvod se také neplatní násobtel jako v předchozích případech, protože síla působí od počátk plno hodnoto.. Takové vyjádření podmínky rovnováhy Obecně, pro případ tělesa, vrtálním přemístěním tělesa rozmíme lbovolný nfntezmální deformační stav, který plní podmínky spojtost vntř tělesa a deformační (knematcké) okrajové podmínky na jeho hranc S p. Proměnná Vrtální práce vnějších sl tělesa bde T je v obecném případě vektor fnkcí. XdV p ds, (58) e V S p T kde vektor X reprezentje objemové síly (vznkající například změno teploty, reologí, vlastní tího) a vektor p je vektor zatížení na hranc tělesa S p. Obrázek : Vrtální posn částce Podobně jako vrtální práce vnějších sl e exstje vrtální práce vntřních sl V T ε σ dv, (59) kde vektor ε představje pole poměrných přetvoření v tělese a vektor σ reprezentje pole napětí. Všechny vektory v rovnc (59) obsahjí, v obecném případě, fnkce proměnných x, y, z. Regstrační číslo CZ..7/../8.

Pro rovnný prt bde platt (vz příloha A) N dx V dx M dx. (6) n v m Podobně jako v případě přetvárné práce platí, že sočet vrtálních prací vnějších a vntřních sl msí být nlový. Pro obecno úloh tedy platí: T T T XdV pds ε σ dv, (6) e V S V p což je záps agrangeova prncp vrtálních přemístění (též nazývaný obecný prncp rovnováhy): Př lbovolném, vrtálním přetvoření pržného tělesa nacházejícího se v rovnovážném stav (jako celek každá jeho část), je sočet vrtálních prací všech vnějších a vntřních sl (sktečných) na vrtálních posnech a deformacích roven nle. Praktcky vede tento prncp na deformační varanty výpočetních metod. V přechozím příkladě byla vrtální práce defnována jako sočn sktečné síly a vrtálního posn. Vrtální prác ale můžeme defnovat jako sočn vrtální síly a sktečného posn. Příslšno prác vnějších sl potom nazveme komplementární a označíme * e a * pro prác vntřních sl. Vrtální síly představjí možný mysltelný slový stav tělesa defnovaný vnějším vrtálním slam p přloženým na povrch tělesa, tj. na hranc S p, nebo objemovým X vntř tělesa (například zatížení změno teploty, vlastní tího č objemovým změnam beton) a vntřním slam daným polem napětí σ. Tyto myšlené síly nemsí odpovídat žádném reálném stav tělesa, msí však splňovat podmínky rovnováhy v každém bodě tělesa a teda tělesa jako celk. Doplňková (komplementární) práce vnějších sl potom bde * e T XdV p ds (6) V S p T a komplementární vrtální práce vntřních sl je * V T ε σ dv. (6) Sočet vrtálních prací msí být opět nlový. * * e T T T XdV pds ε σ dv. (6) V S V p Toto je matematcký záps Castglanova prncp vrtálních sl: Regstrační číslo CZ..7/../8.

Ze všech mysltelných, statcky přípstných stavů napjatost tělesa nastane právě ten, př němž je komplementární energe systém mnmální. Praktcky vede tento prncp na slové varanty výpočetních metod. Prncp vrtálních přemístění předpokládá splnění podmínek kompatblty a vede na podmínky rovnováhy, kdežto prncp doplňkové vrtální práce (vrtálních sl) předpokládá platnost podmínek rovnováhy a vede na podmínky kompatblty. Castglanův prncp se též nazývá obecným prncpem spojtost tělesa. Tyto sktečnost bdo lstrovány na následjících příkladech PŘÍKAD 8: Vyjádřete vrtální prác konzoly podle obrázk. Dosaďte do agrangeova prncp vrtálních přemístění. ŘEŠENÍ: Vrtální prác je třeba vyjádřt v závslost na vrtálním posn. Vrtální práce vntřních sl je M M (65) h a vrtální práce vnějších sl Obrázek : Složky přemístění thé konzoly pro agrangeův prncp e P. (66) Sočet vrtálních prací msí být nlový P M. (67) h e Rovnc můžeme vydělt a dostaneme M P M Ph, (68) h což je podmínka rovnováhy. Poznamenejme, že na začátk příklad jsme předpokládal podmínk kompatblty h. (69) Výsledkem je podmínka rovnováhy. Obrázek : Složky přemístění thé konzoly pro Castglanův prncp Regstrační číslo CZ..7/../8.

PŘÍKAD 9: Vyjádřete doplňkovo vrtální prác konzoly zatíženo vrtální slo do Castglanova prncp vrtálních sl. P podle obrázk. Dosaďte ŘEŠENÍ: Prác vrtální síly vyjádříme * e P, (7) práce vntřních sl bde * M Ph. (7) Dosazením do Castglanova prncp získáme P Ph. (7) Po vynásobení rovnce výrazem P a úpravě dostaneme h, (7) což je podmínka kompatblty. Předpokládal jsme podmínk rovnováhy M Ph. (7).. Prncp sperpozce mechancké práce V lneární oblast mechanky platí prncp sperpozce (skládání) slových účnků. Podobně tedy msí platt prncp sperpozce mechancké práce. Podle obrázk važjme postpné zatěžování prostého nosník. Zatěžjeme-l prvně slo F, dosáhneme průhyb w. Po přdání síly F se průhyb zvětší na w w. Stejného výsledk dosáhneme opačným postpem zatěžování. Exstje-l prncp sperpozce pro zatížení a přemístění, msí exstovat sperpozce pro mechancko prác. Regstrační číslo CZ..7/../8.

Obrázek : Sperpozce mechancké práce Poksme se vyjádřt mechancko energ podle zatěžovacího postp vlevo. e, F w F w F w. (75) U prvních dvo sčítanců jsme požl násobek ½ třetího nkolv. První dva sčítance totž představjí takzvano vlastní prác sl (síla pracje na průhyb, který sama vyvolala), třetí sčítanec představje vrtální prác, neboť se jedná o prác síly na posn, který nezpůsobla. Vyjádřeme mechancko prác podle zatížení vpravo e, F w F w F w. (76) Je jasné, že celková práce vnějších sl podle postp vlevo vpravo msí být stejné e, F w F w F w e, F w F w F w. (77) Potom msí platt F w F w, (78) což je záps Bettho věty. Bettho věta (87) Vrtální práce jedné sostavy vnějších sl na posntích vyvolaných drho sostavo sl je rovna vrtální prác drhé sostavy vyvolaných první sostavo sl. Význam ndexů posnů w j. označje síl, v jejímž místě a směr měříme přemístění, Regstrační číslo CZ..7/../8.

j označje síl, která přemístění vyvolala. Uvažjeme-l v rovnc (.6) rovnost sl F F. Potom bde platt w w, (79) což je matematcké vyjádření Maxwellovy věty (86), která se slovně vyjádří například takto: Přemístění vyvolané jedno slo v místě a směr síly drhé, je za předpoklad stejně velkých sl stejné jako přemístění vyvolané drho slo v místě první. Poznamenejme, že obě věty jso platné pro momentová zatížení (přemístěním jso rotace) a dokonce pro kombnac momentů a sl. Regstrační číslo CZ..7/../8.

5. Potencální energe Energe je velčna měřtelná poze množstvím dodané práce na změn energetckého stav tělesa. Potencální energí pak rozmíme rozdíl mez potencální energí na konc zatěžovacího a deformačního proces a totéž energí na jeho počátk. Za nlový stav se pokládá taková konfgrace konstrkce, kdy zatížení je jž v kontakt s konstrkcí, ale ještě nevyvolalo žádné deformace. Celková hodnota potencální energe je dána sočtem potencální energe vnějších sl (zatížení) a potencální energe vntřních sl. e.. Potencální energe vnějších sl odpovídá úbytk polohové potencální energe zatížení vyvolaného posnem působšť zatěžovacích sl (nebo rotací v případě působení zatěžjícího moment). Potencální energe vnějších sl je tedy záporná. Na rozdíl od přetvárné práce se platní sočny sl a jejch působšť plno hodnoto (nenásobí se ½). V obrázk je potencální energe vnějších rovna obsah celého obdélníka. Matematcky vyjádřeno * e e e, (8).. Potencální energe vntřních sl (deformační energe) je energe akmlovaná v systém během zatěžování. e. (8).. Potencální energe systém Systémem je zde míněn mechancký systém, kterým je dvojce konstrkce a zatížení. Potencální energe tohoto systém je potom sočtem potencální energe vnějších a vntřních sl. Dosadíme-l za energe práce vnějších a vntřních sl podle předchozích úvah, dostaneme vztah * * e e e e e, (8) Ze kterého plyne, že celková potencální energe mechanckého systém je rovna záporně vzaté komplementární přetvárné prác vnějších sl. Pro těleso v rovnováze je vždy záporná nebo rovná nle (pro nezatížené těleso), to znamená, že úbytek polohové energe je vždy větší než energe akmlovaná v konstrkc. Komplementární prác s můžeme představt jako prác spotřebovano na zpomalení proces zatěžování tak, aby bylo dosaženo statckého zatěžování. Tato část energe se v tělese Regstrační číslo CZ..7/../8.

6 neakmlje a nká mmo systém, přemění se na jný drh energe, například na tepelno př brzdění. Zajímavá je úvaha o odtížení. V pržné konstrkc je energe akmlovaná na návrat do původního, nezatíženého stav. Aby však tohoto stav bylo dosaženo, msí být dodána energe o velkost komplementární práce vnějších sl. Podíváme-l se znov na obrázek, msíme dodat prác, ktero bdeme jednotlvá závaží zvedat zpět na plošn, přčemž každé další závaží bdeme zvedat do menší výšky tak, jak se bde plošna vracet do původního stav. Potencální energe konstrkce, která je v rovnovážném stav, má významno vlastnost extrém, ktero lze velm efektvně platnt pro řešení konstrkcí. Věta o mnm potencální energe: Ze všech možných deformačních stavů pržného tělesa, které neporšjí jeho spojtost a respektjí veškeré knematcké (deformační) okrajové podmínky nastane právě ten, př němž je potencální energe systém mnmální. e mn. (8) Odůvodnění proveďme pomocí následjící úvahy. Konstrkc, která je v rovnováze dělíme nekonečně malo, avšak nenlovo změn - varac. Mějme na mysl, že se nejedná o změn například maxmálního průhyb, ale o změn celé deformační křvky (v případě prtů) a fnkcí poměrných přetvoření ε. Tyto změny jso vlastně vrální posny nebo přetvoření. Je-l konstrkce v rovnováze a tedy potencální energe dosahje extrémní hodnoty, nedojde př dostatečně malé varac ke změně potencální energe systém. Je to velm podobná úvaha jako v případě extrém fnkce vz příloha B. Uplatníme-l agrangeův prncp vrtálních posnů, tak zároveň msí platt, že práce vnějších a vntřních sl sktečných na dělených vrtálních posnech a deformacích je rovna nle pro případ konstrkce nacházející se v rovnováze. Z předchozí úvahy plyne, že oba prncpy prncp mnma potencální energe a agrngeův prncp vrtálních posnů jso rovnocenné. Pro potencální energ můžeme psát. (8) Index znak varace znamená, že vrtální změně byly podrobeny přemístění a deformace ε a nkolv slové velčny. Rovnce (8) je podmínko pro extrém potencální energe sostavy. V případě extrém nabývá potencální energe staconární hodnot (vz příloha B). Bylo dokázáno, že v případě stablní rovnováhy se jedná o mnmm vz rovnce (8). PŘÍKAD : Pro taženo tyč podle obrázk vypočtěte hodnot potencální energe pro různé posny zatíženého konce v rozsah až mm a vykreslete graf závslost posn a hodnoty potencální energe. Vypočtěte posn odpovídající mnm potencální energe a spočtěte potencální energ odpovídající tomto mnm. Dosaďte: E GPa, A, m (tyč průměr mm), F 5 kn a m. Regstrační číslo CZ..7/../8.

7 ŘEŠENÍ: Konstrkce je statcky rčtá. Normálová síla je konstantní, stejně tak je konstantní poměrná deformace n, která se vypočte n, kde je posn volného konce a je délka prt. Potencální energe vntřních sl (poze pro tahová č tlaková namáhání) EA ndx EA dx. (85) Vzhledem k tom, že průřezové charakterstky, délka posn na konc jso vzhledem k x konstantní, můžeme psát Obrázek 5: Tažený prt EA dx. (86) Po ntegrac EA. (87) Potencální energe vnějších sl se spočte jako ztráta polohové energe zatížení e F. (88) Celková potencální energe: e EA F. (89) Vyčísleme nyní do tablky potencální energ pro posn až mm. Posn [mm] 5 6 7 8 9 J 6 66 8 6 59 88 55 5 69 J e -5 - -5-6 -75-9 -5 - -5-5 J - - - -6-8 -7 - -5-5 9 Regstrační číslo CZ..7/../8.

8 Potencální energe vynesená do graf Obrázek 6: Potencální energe v závslost na posn Podle věty o mnm potencální energe je správný ten posn, pro nějž je potencální energe systém mnmální. To znamená, že správné řešení bde pro posn mez třem a pět mlmetry. Hledáme extrém fnkce, který se získá první dervací podle posn a jejím porovnáním s nlo. EA F, (9) F EA,596mm. (9) Mnmm potencální energe bde, J. Ověření metodo jednotkových sl: Průběh normálových sl je konstantní od sktečného jednotkového zatížení. Potom posn volného konce se spočte F F EA EA, (9) což odpovídá rovnc (9). Regstrační číslo CZ..7/../8.

9 5. Varační úlohy V předchozím příklad byla známa fnkce protažení prt vlvem zatížení (lneární fnkce s nlovým posnem v místě ložení), hledal se poze její parametr - posn volného konce. V obecných případech však nejso fnkce přemístění předem známy, což je jeden z charakterstckých rysů varační úlohy.. Nehledá se rčtá konkrétní hodnota (např. maxmm rčté fnkce apod.), ale hledá se křvka, nebo fnkce, která tto křvk popsje.. Hledaná křvka msí splňovat okrajové nebo počáteční podmínky.. Hledaná fnkce msí splňovat podmínk extrém rčté velčny takzvaného fnkconál. V našem případě je fnkconál potencální energe a hledáme jeho extrém mnmm. Fnkconál je číslo, avšak závsí na celém průběh křvky, je obvykle ntegrálem z nějakého operátor nad fnkcí y f x a jejím dervacem x kon F y, y, y y dx. (9) x n V našem případě je fnkconálem potencální energe. Ta je závslá na prvních nebo drhých dervacích křvek přemístění. Ve varační úloze se hledá křvka, která dělí fnkconál extrém, v našem případě mnmm pro potencální energ. Taková křvka se nazývá extremála. Hodnota fnkconál potencální energe vyčíslená pro jakokolv jno křvk bde větší než pro extremál. Pro křvky velm blízké extremále, které se lší o nfntezmální přírůstek je hodnota fnkconál shodná, má tedy hodnot staconární. Zdůvodnění tohoto fakt je možné vyvodt z podobnost extrém fnkconál a fnkce. Je obsaženo v příloze B. Varací fnkce y Regstrační číslo CZ..7/../8. f x se rozmí nfntezmální přírůstek nejen jedné hodnoty fnkce, ale celé fnkce. To znamená, že je to rozdíl dvo blízkých fnkcí y x a y x y x y x y x. (9) Za fnkce vzájemně blízké pokládáme takové fnkce, které se málo lší nejen ve fnkčních hodnotách, ale též v hodnotách svých dervací až do rčtého stpně podle úlohy. V klasckých varačních úlohách stavební mechanky postačjí obvykle drhé dervace (blíže vz Příloha B). Exstjí dvě skpny metod pro řešení varačních úloh. První skpno jso nepřímé metody, které varační úloh převedo na řešení dferencální rovnce (Elerovy), která je k dané úloze jednoznačně přřazena. V teor pržnost není tento postp účelný, protože tímto postpem obdržíme dferencální rovnc rovnováhy (prt, desky, tělesa). K jejchž řešení právě hledáme alternatv v podobě varačních řešení. Přímé metody hledají řešení extrém fnkconál pomocí bázových (náhradních) fnkcí jejch lneárních kombnací.

5.. Rtzova metoda Hledano fnkc, která dělí fnkconál extrém, hledejme ve formě sočt n fnkcí n y x a a a a, (95) kde n n,,,, podmínky, n jso zvolené aproxmační fnkce. Každá z těchto fnkcí msí splňovat okrajové a,,a,, a n jso neznámé koefcenty. Příslšný fnkconál vyjádříme pomocí náhradní fnkce y x. Náhradní fnkce y x příslšný fnkconál F teď závsejí na koefcentech a. Hodnot fnkconál F teď může měnt poze změno koefcentů a. Podmínka extrém teď přechází do podmínky extrém fnkce o n proměnných F a,,,, n (96) Tyto podmínky představjí sostav rovnc o n neznámých sočntelích rovnc dostaneme koefcenty a a tím je plně defnována fnkce y x. a. Řešením sostavy Z předchozího výklad je jasné, že kvalta řešení závsí jednak na vhodnost zvolených bázových fnkcí PŘÍKAD : a jednak na počt členů, které vezmeme v úvah. Tažený prt zatížený rovnoměrným spojtým normálovým zatížením řešte Rtzovo metodo. Jako náhradní fnkce požjte polynom prvního až třetího řád. Počítejte obecně, řešení ověřte ntegrací. Náhradní fnkce: x, x, x. ŘEŠENÍ: Počátek osy x je výhodně zvolen v ložení prt. Všechny tř Obrázek 7: Rtzova metoda - tažený prt Regstrační číslo CZ..7/../8.

náhradní fnkce, v solad s požadavky Rtzovy metody, vyhovjí okrajové podmínce, ktero je nlový posn v ložení x. Z důvod plnění okrajové podmínky nelze požít konstantní fnkc. Náhradní fnkce můžeme v solad s Rtzovo metodo psát a, kde až jso náhradní fnkce a až jso váhové koefcenty, které dostaneme jako řešení sostavy rovnc. Pro řešení bdeme potřebovat geometrcko n a fyzkální podmínk N EA n. Potencální energe vntřních sl bde nd EA x EA dx. (97) Vzhledem ke konstantním průřez lze průřezové charakterstky vytknot před ntegrál EA d x. (98) Pro dosazení do vztah pro potencální energ vntřních sl potřebjeme znát první dervac náhradních fnkcí podle x d a a dx, (99), x, x. Po dosazení do rovnce pro potencální energ vntřních sl dostaneme Regstrační číslo CZ..7/../8.

EA a a x a x dx 9 5 EA a aa aa a aa a. () Potencální energe vnějších sl se vyjádří jako ntegrál dferencálních energí. Dferencální energe se vyjádří jako dferencální síla ( ) násobená posnem ( ) d d e ndx, () e ndx, () e n dx n a dx n a x a x a x dx n a a a. () Celková potencální energe 9 e EA a a a a a a a a a 5 n a a a. () Mnmm potencální energe se rčí jako nlová hodnota prvních dervací podle váhových koefcentů až. a EA a a a n, (5) a a EA a a a n 9 EA a a a n 5 5, (6). (7) Předchozí rovnce tvoří sostav rovnc Regstrační číslo CZ..7/../8.

n 9 5 a 5 a EA a n n, (8) jejíž řešením je a a n EA, (9) n EA, () a () Fnkce posntí n n x x EA EA Přesné řešení. () Geometrcké, fyzkální a statcké podmínky: n, N EA n, N n. Z poslední rovnce vyjádříme N ndx n dx nx C. () Konstant rčíme z okrajové podmínky N x, C n, N nx n. Z fyzkální podmínky vyjádříme n a dosadíme za normálovo síl n N EA n EA x. Z geometrcké podmínky vyjádříme Regstrační číslo CZ..7/../8.

n n x ndx C x dx C x C EA EA. () Konstant rčíme z okrajové podmínky nlového posn v ložení x C. Rovnce (.95) je totožná s řešením Rtzovo metodo (rovnce.9). Pozn.: Obsahjí-l náhradní fnkce přesné řešení, Rtzova metoda (obecně všechny varační metody) je najde. 5... Obecná úprava řešení Rtzovo metodo Postp řešení Rtzovo metodo lze zobecnt a pravt nezávsle na zvolených bázových fnkcích. Bázovo fnkc (přemístění) n a dervjme n d a a dx Potencální energe vntřních sl bde n EA EA d n. (5) x a dx. (6) potencální energe vnějších sl n dx n a dx. (7) e n Mnmm potencální energe se vypočítá dervací celkové potencální energe podle váhových koefcentů e e a a a a. (8) j j j j Regstrační číslo CZ..7/../8.

5 Parcální dervace potencální energe vntřních sl (platní se pravdla pro dervac složené fnkce) a kde n n n EA a jdx EA a jdx arj j, (9) rj j d x. () V předchozích vzorcích jsme vážl sktečnost, že parcální dervace sočt fnkcí podle je rovna. Zároveň platí, že ntegrace a dervace jso podle jných proměnných a jso tedy na sobě nezávslé. Parcální dervace potencální energe vnějších sl a e j dx j j. () Vzhledem k tom, že msíme provést dervace podle všech váhových koefcentů sostav rovnc, dostaneme r r r a j n r r r a j n () r r r n nj nn a n n Vrátíme-l se k předchozím příklad, můžeme vyčíslt koefcenty levých stran r dx dx, r r dx xdx, r r dx x dx, r dx x xdx, Regstrační číslo CZ..7/../8.

6 r r dx x x dx, 9 5 r dx x x dx. 5 Dále vyčíslíme pravé strany dx xdx, dx x dx, dx x dx. Sostava rovnc a její řešení pak je zcela stejné jako v předchozím případě. PŘÍKAD : Ohýbaný prt podle obrázk řešte Rtzovo metodo. Jako náhradní fnkce volte x C, () x Cx, () x C, (5) Obrázek 8: Rtzova metoda - ohýbaný prt 5 x Cx. (6) Zanedbejte vlv posovajících sl na potencální energ. Příklad řešte pro tyto hodnoty: ŘEŠENÍ:,,, (I). Náhradní fnkce msí splňovat okrajové podmínky w x, w x. Konstanty fnkcí po dosazení a vyjádření vychází C, (7) Regstrační číslo CZ..7/../8.

7 C, (8) C 6, (9) C 6. () Potom náhradní fnkce a jejch dervace jso x, x,, () x x, x, 6x, () x 6, 5 x 6 x, x, 5x 6, x, () x. () Statcké, geometrcké a fyzkální podmínky ohýbaného prt: Statcké podmínky: V q, M V m Geometrcké podmínky: v w, m. Fyzkální podmínky: V GA v, M EI m. Za předpoklad zanedbání vlv posovajících sl na průhyb nosník bde platt v w. Předpoklad nlového zkosení by vedl k nlové posovající síle. Proto tento předpoklad doplňme nekonečně velko smykovo thostí GA, potom posovající síla bde V GA, Regstrační číslo CZ..7/../8.

8 což je matematcky nerčtý výraz, který možňje lbovolno hodnot posovající síly odpovídající statckým podmínkám. Potencální energe vntřních sl: EI EI EI EI v m m V dx M dx dx dx w dx w dx (5) Potencální energe vnějších sl: e Fw x. (6) Mnmm potencální energe: e rj j j j a a a j. (7) Koefcenty - levá strana sostavy: r r EI x, pro a j. j j j d r EI dx EI x EI, r r EI 6xdx EI 6 x, / r r EI x dx EI 8 x EI, r r EI x dx EI 5 x, r EI 6x 6xdx EI x EI, r r EI 6x x dx EI 8 x, / 5 5 r r EI 6x x dx EI x EI, Regstrační číslo CZ..7/../8.

9 9 r EI x x dx EI x EI, 5 5 5 5 6 r r EI x x dx EI X, 6 5 r EI x x dx EI x EI EI. 7 7 7 7 7 6 8 Koefcenty pravá strana sostavy: j F x, pro j. (8) j F x F, 6 F x x F, 6 5 F x F, 6 6 56 5 5 5 5 F x x F. 6 6 Sestaveno do sostavy rovnc dostáváme EI 9 5 5 5 8 5 5 7 a a a a F 6 6 5 56 5 5. (9) Dosadíme-l do koefcentů zadané hodnoty rozpětí, zatížení, moment setrvačnost a modl pržnost dostaneme sostav rovnc Regstrační číslo CZ..7/../8.

7,9 575, a, 6 86,85 69,8 a 6, 575, 88, a,5 69,8 657 a,5. () Vyřešením sostavy rovnc dostaneme váhové koefcenty. a, 6796, a, 9, a, 7, a, 8556. Průběhy fnkcí jso zobrazeny na následjících obrázcích. Obrázek 9: Průběhy náhradních fnkcí Regstrační číslo CZ..7/../8.

Obrázek : Průhyb, srovnání přesného řešení s Rtzovo metodo Obrázek : Pootočení, srovnání přesného řešení s Rtzovo metodo Obrázek : Průběh ohybových momentů, srovnání přesného řešení s Rtzovo metodo Regstrační číslo CZ..7/../8.

Obrázek : Průběh posovajících sl, srovnání přesného řešení s Rtzovo metodo Jak je vdět z průběhů jednotlvých velčn, největší přesnost bylo dosaženo průhyb a pootočení, v případě ohybových momentů přesnost klesá a posovající síly jso vyjádřeny poze přblžně. ze čnt závěr, že největší přesnost je dosaženo velčny, která přímo vstpje do vztah pro potencální energ, tj. průhyb. Ostatní velčny, které jso z průhyb odvozeny postpným dervováním, vykazjí rostocí chyb. Největší chyba je tedy průběh posovajících sl. PŘÍKAD : Prostý nosník zatížený spojtým rovnoměrným zatížením řešte Rtzovo metodo. Jako náhradní fnkc zvolte sn x () Vykreslete průběhy všech statckých velčn a porovnejte s přesným řešením. Zanedbejte vlv posovajících sl na potencální energ. Příklad řešte pro tyto hodnoty: Obrázek : Rtzova metoda, prostý nosník zatížený spojtým rovnoměrným zatížením 6m, q 8 kn / m, E GPa, ŘEŠENÍ: 6 I, m (I). Vzorec pro potencální energ vntřních sl byl odvozen v předchozím příklad EI EI EI EI v m m V dx M dx dx dx w dx w dx Potencální energe vnějších sl Odvodí se z energe dferencálního břemene Regstrační číslo CZ..7/../8.

df qdx, () d d d e Fw q xw ; () po ntegrac e qwdx. () Pro řešení bdeme potřebovat dervace náhradní fnkce sn x, x cos, sn x. (5) Odvodíme jednotlvé koefcenty (jeden pro levo a jeden pro pravo stran). Odvození je opět vedeno v předchozím příklad. r r EI x, pro a j. j j j d x x x x sn sn d sn d sn r EI x EI x EI x, r EI sn EI EI, (6) j q dx, pro j, (7) j x x qsn dx q cos, (8) q q. (9) Sostava rovnc se redkje na jedno rovnc r a, (5) EI a q, (5) Regstrační číslo CZ..7/../8.

a q 5 EI. (5) Fnkce průhyb je w a 5 q sn EI x. (5) Porovnejme nyní přesné řešení průhyb a toto přblžné řešení; samozřejmě v rámc přjatých předpokladů, tj. zejména zanedbání vlv posovajících sl. Dosadíme-l za x polovn rozpětí dostaneme w x q sn q 5 5 EI EI. (5) což je průhyb prostřed rozpětí. Vyjádříme-l koefcent 5,7, dostaneme w x q, 7 EI. (55) Srovnáme-l se známým vzorcem, dostaneme w x 5 q, q 8 EI EI. (56) Zjstíme, že rozdíl v největším průhyb je mnmální. Dosazením do geometrcké podmínky dostaneme fnkc pootočení w q cos EI x. (57) Požtím geometrcké a fyzkální podmínky dostaneme fnkc ohybového moment M EI EI m q sn x. (58) Uplatněním momentové statcké podmínky dostaneme fnkc posovající síly V cos x (59) Regstrační číslo CZ..7/../8.

5 a konečně dosazením do slové statcké podmínky rovnováhy dostaneme fnkc zatížení q V q sn x. (6) Průběhy sledovaných velčn kazjí grafy. Obrázek 5: Průhyb, srovnání přesného řešení s Rtzovo metodo Obrázek 6: Pootočení, srovnání přesného řešení s Rtzovo metodo Regstrační číslo CZ..7/../8.

6 Obrázek 7: Ohybový moment, srovnání přesného řešení s Rtzovo metodo Obrázek 8: Posovající síla, srovnání přesného řešení s Rtzovo metodo Obrázek 9: Spojté zatížení, srovnání původního a odvozeného zatížení prostřednctvím řešení Rtzovo metodo Regstrační číslo CZ..7/../8.

7 5.. Metoda konečných prvků Je jedno z varačních metod. Rozdílem oprot Rtzově metodě jso bázové fnkce platné poze na malé část konstrkce- konečném prvk. Zatímco zpočátk neznámé sočntele mají v případě Rtzovy metody poze význam váhy, v metodě konečných prvků mají konkrétní fyzkální význam zlových přemístění (posnů nebo pootočení). Právě hodnoty v zlech jso předmětem řešení sostavy rovnc. Metoda konečných prvků předpokládá počítačové zpracování kvůl velkém počt nmerckých operací. 5... Prtový prvek tah - tlak PŘÍKAD : Odvoďte prtový konečný prvek tah tlak. ŘEŠENÍ: Jedná se vlastně o příhradový prvek, jehož jedno vntřní slo je síla normálová. Jedné přemístění je podélný (osový) posn. Pro řešení rekaptljme statcké, geometrcké a fyzkální podmínky: Statcká podmínka je N n, (6) Obrázek : MKP prvek tah - tlak, parametry geometrcká podmínka n (6) A fyzkální podmínka N EA n. (6) Potencální energe vntřních sl se redkje na EA EA n n N dx dx dx. (6) Potencální energe vnějších sl závsí na drh zatížení. Zde veďme poze případ zlového zatížení e Raa Rb b. (65) Uzlové parametry jso osové posny a a b. Náhradní fnkc posn zvolme následovně x, (66) Regstrační číslo CZ..7/../8.

8 Kde a jso neznámé parametry, které rčíme z okrajových podmínek x a a a (67) x b b a. (68) V tomto případě rčení okrajových podmínek vede na dvě rovnce, jejchž řešení je trvální, v obecném případě vede na sostav lneárních rovnc. Náhradní fnkce po dosazení za koefcenty a je b a a x. (69) Pro náhradní fnkce platí, že počet neznámých koefcentů msí být stejný jako počet okrajových podmínek. V tomto případě pro dva neznámé koefcenty a máme dva posny v zlech (okrajové podmínky) a a b. Do výraz pro potencální energ potřebjeme první dervac posn b a. (7) Dosadíme-l do výraz pro potencální energ, dostaneme EA b a EA EA dx d b ab a x b ab a. (7) Potencální energe vnějších sl jž zlové posny obsahje a není třeba provádět žádné nahrazení. Výraz pro potencální energ vntřních sl obsahje průřezovo a materálovo charakterstk, délk prt a zlové parametry. Průřezové a materálové charakterstky, stejně jako délka prt jso konstanty, hodnota potencální energe, a to vnějších vntřních sl, se mění poze v závslost na zlových posnech. Př hledání mnma potencální energe je třeba dervovat právě podle zlových parametrů. První dervace se položí rovny nle. e EA a a a R, (7) b a a e EA b a R a. (7) b b b Matcově zapsáno: EA a b R R a b. (7) Regstrační číslo CZ..7/../8.

9 Symbolcký záps: KeΔe r e, (75) Kde K e se nazývá matcí thost prvk, Δ e je vektor zlových parametrů (přemístění) a r e je vektor zlových sl. Zapíšeme-l výraz pro potencální energ deformace (.5) pomocí těchto symbolů, dostaneme T e e e Δ K Δ. (76),,, Po provedení předepsaných operací dostaneme zpětně výraz (.5). Potencální energe zůstává stále číslem. 5... Odvození prtového MKP prvk tah-tlak matcově Odvození pomocí matcového počt se může v případě nejjednodššího prvk MKP zdát kontraprodktvní, platnění tohoto přístp pro komplkovanější typy prvků však velm zpřehlední a zjednodší odvození. Předpokládáme stejno náhradní fnkc (66) jako v předchozím odvození. Napšme j matcově Ma, (77) kde x, (78) je vektor posntí, v tomto případě o jednom člen, M x, (79) je fnkční matce (v tomto jednodchém případě poze o jednom řádk); a je vektor neznámých parametrů T a a a. (8) Dále defnjme vektor zlových parametrů e a b T Δ. (8) Dosazení okrajových podmínek do fnkce posntí symbolcky zapíšeme jako Δe Sa, (8) kde matce S je Regstrační číslo CZ..7/../8.

5 S. (8) Vektor a vypočítáme ze vztah (8) a S Δ e (8) a dostaneme a a b b a (85) Fnkce posntí se bde rovnat MS Δ e. (86) Ve fnkconál pro potencální energ vystpje první dervace posn podle x. Ve vztah (86) to znamená dervovat matc M. Dostaneme - n MS Δe BΔ e, (87) kde Μ a (88) B. (89) Výraz pro potencální energ (6) pravíme: T T T T T T e e e e EA d x EA d x Δ S M EAMS Δ d x Δ B EABΔ d x (9) V předchozím výraz jsme požl pravdlo, že násobek matc je po transpozc násobek transponovaných matc v opačném pořadí. Výraz za ntegrálem (9) vpravo je po provedení naznačených operací stále číslo a dokonce platí, že v případě prtového prvk tah-tlak jso veškeré matce a vektory nezávslé na x. Můžeme tedy psát T T T T T T e EA dx e e EA e e e e Δ S M MS Δ Δ B BΔ Δ K Δ. (9) V předchozím výraze jsme vážl, že ntegrál po délce prvk dx je roven délce prvk. Matc thost můžeme napsat jako Regstrační číslo CZ..7/../8.

5 T T T Ke S Μ EAΜS B EAB. (9) Po provedení naznačených operací, dostaneme EA K e, (9) což je stejná matce jako ve vzorc (7). Pro dobré pochopení celého odvození doporčj čtenář provést dosazení a vyjádřt veškeré matcové operace. PŘÍKAD : Řešte zadano konstrkc metodo konečných prvků. Sestavte výraz pro potencální energ, mnmalzjte jej, vypočtěte neznámé posny, mnmm potencální energe a vntřní síly. Dosaďte: 8 EA, N, F kn. ŘEŠENÍ: 8 EA,5 N, Sestavíme matce thost jednotlvých prvků 8 EA, N EA 8 K e,,, (9) EA 8 K e,, (95) Obrázek : Příklad - zadání EA 8 K e. (96) Celková potencální energe konstrkce je sočtem potencální energe deformace všech prvků a potencální energe zatížení Regstrační číslo CZ..7/../8.

5 8 8 8,. (97) Po roznásobení a dosazení okrajových podmínek (, ) dostaneme 8 7 7. (98) Potencální energe zatížení se vypočte jednodše jako e F. (99) Celková potencální energe 8 7 7 e F. () Hledáme-l mnmm, dervjeme podle zlových parametrů, které jso v rovnc jedné proměnné. Získané rovnce položíme rovny nle 7 8 8, () 8 7. () Obrázek : Příklad, zlové síly Matcově zapsáno 8 7 7. () Řešení sostavy (v metrech), včetně předem známých posnů, je e, 79, 9. () Dosadíme-l získané posny do rovnce pro potencální energ, dostaneme Regstrační číslo CZ..7/../8.

5 6,957 J. Pokd jakkolv změníme posny, bde celková potencální energe větší, jak s může čtenář snadno ověřt. Dosadíme-l zpětně do základní rovnce prt Kee r e, dostaneme zlové síly ( r e ). Jso to síly, kterým na prvek působí okolní konstrkce, ať ž to jso okolní prvky, zatížení nebo reakce v podporách. V případě prtových prvků jso zlové síly totožné s koncovým účnky známým z deformační metody. r e,, 8, 79 R 79 r e,, (5) R 79 r e,, 79 8,9 R 687 r e,, (6) R 687 r e,, 8, 9 R 687 r e,. (7) R 687 Uzlové síly vyjadřjí působení styčníků na prt a jso na každém prvk v rovnováze. Síly, kterým působí prt na styčníky, jso stejně velké avšak opačného smysl. Vyjadřjí působení okolí na zel, Obrázek : Příklad, rovnováha ve styčnících stejně jako reakce nebo zatížení. Kontrola rovnováhy na styčnících je na obrázk, kde podtržené síly vyjadřjí působení okolí na styčník (prtů, zatížení a reakcí). Nepodtržené jso zlové síly. 5... Výpočet vntřních sl pro prtový prvek tah tlak Z fyzkální (6) a geometrcké podmínky (6) odvodíme N EA n EA (8) Regstrační číslo CZ..7/../8.

5 Dosaďme do předchozí rovnce z (7) a dostaneme b a N EA (9) Nebo je možno postpovat matcově a vyjádřt - N EAPS Δ e () Roznásobením dojdeme ke (9). Normálová síla prvk tah tlak je konstantní po délce prt. Tento prvek nemožňje vyjádřt změn vntřní síly po délce prvk. Je to dáno náhradní fnkcí, která je lneární. PŘÍKAD 5: Vypočtěte vntřní síly prtů z příklad. ŘEŠENÍ: Pro řešení se požjí rovnce odvozené v předchozím oddíle. N 7,9kN, () N 6,87kN, () N 6,87kN. () 5... Plošný prvek T6 PŘÍKAD 6: Odvoďte stěnový prvek podle obrázk. ŘEŠENÍ: Prvek bde odvozen za předpoklad konstantní tlošťky a materálových vlastností po celé ploše prvk. Na začátk rekaptljme statcké, geometrcké a fyzkální podmínky: Obrázek : Prvek T6 Regstrační číslo CZ..7/../8.

55 Statcké podmínky : x x xy y X, () y y xy x Y. (5) Geometrcké podmínky: x y x, (6) v y, (7) xy v y x. (8) Fyzkální podmínky: V případě stěny jso možné dvě varanty rovnná napjatost a rovnná deformace. Fyzkální podmínky pro rovnno napjatost jso x y xy E x y z (9) A pro rovnno deformac x y xy E x y z. () Geometr prvk kazje Obrázek. Prvek je trojzlový, pro snadnější odvození vložíme počátek sořadnc do zl k. V každém zl jso dva stpně volnost posn ve směr x a posn ve směr y. Celkem tedy exstjí okrajové podmínky pro fnkc posn ve směr osy x a tř podmínky ve směr osy y. To znamená, že pro každý směr je možno požít polynom se třem neznámým: Předpokládá se věta o vzájemnost smykových napětí, xy yx Regstrační číslo CZ..7/../8.

56 x, y a a x a y v x, y b b x b y. () Matcově vyjádřeno Ma, x y v x y a a a b b b. () Dosazení okrajových podmínek Dosadíme-l do náhradních fnkcí sořadnce zlů, výsledkem msí být zlové parametry a a x a y v b b x b y a a x a y j j j v b b x b y v j j j k k a b. () Předchozí rovnce zapšme matcově, jako Sa Δ e x y a x y a x y a j j x j y j b b b v v v j j k k. () Matce S vyjadřje zapsané sořadnce zlů, závslé na konkrétním prvk. Pro další odvození potřebjeme vyjádřt nverzní matc S, abychom získal vztah pro neznámé koefcenty a a tím vyjádřl fnkce posnů pomocí zlových parametrů a S Δ e, (5) MS Δ e (6) Matc S není třeba explctně vyjadřovat př odvození, složtějších typů prvků to ostatně an není možné. V případě prvk T6 to možné je. Prác s podstatně snadníme, rozdělíme-l matc S na dvě samostatné matce, zvlášť pro posn a zvlášť pro posn v podle rovnce Regstrační číslo CZ..7/../8.

57 Sa. (7) Po rozepsání a dosazení a k a b v k dostaneme (pro posn ) x y a x y a k j j j k. (8) Obdobný vztah bychom dostal pro posn v (koefcenty b a b ). Řešení sostavy (8) je a a b b y y y y j j k j y x y x j j x x x x j j k j y x y x j j, (9) Matcově vyjádřeno: y j y y j y J J J x j x x x j J J J S () kde J y x j y jx. y j y y j y J J J x j x x x j J J J Vyjádření fnkcí posnů pomocí zlových parametrů MS Δ e NΔ e () Matce N není vedena, její odvození není složté a pro další postp není podstatné. Geometrcké podmínky Geometrcké podmínky je možno zapsat pomocí operátorové matce G : Regstrační číslo CZ..7/../8.

58 x y xy x y v () y x Symbolcky vyjádřeno ε G GMS Δ e GNΔ e BΔ e. () Podle rovnce () je možné dvojí vyjádření poměrných deformací. Bď dervováním z náhradních fnkcí nebo dervováním matce M. V ostatních matcích a vektorech jso obsaženy poze konstanty (vzhledem k proměnným x a y ). Dervováním náhradních fnkcí () dostaneme x y xy a b a b. () Matc B potom snadno vyjádříme z matce S pomocí vztah (5) x y xy y j y y j y J J J v x j x x x j j J J J v j x j y j x y x x j y j y k J J J J J J v k (5) Fyzkální podmínky σ Dε DBΔ e. (6) Matce D je matce thost materál, přčemž je možné dosadt vztahy pro rovnno napjatost nebo rovnno deformac. Explctní vyjádření bde provedeno až v příklad pro konkrétní čísla. Potencální energe vntřních sl Potencální energe vntřních sl jednoho prvk e, T T ε σdv t ε σ da. (7) V A Regstrační číslo CZ..7/../8.

59 V předchozím vzorc bylo požto vyjádření objem jako plochy násobené tlošťko. To možňje předpoklad konstantní tlošťky po ploše prvk. Pro transpozc vektor poměrných přetvoření ε požjeme matematcké pravdlo, že v sočn je třeba všechny vektory a matce transponovat a obrátt jejch pořadí. Potencální energe se potom vyjádří T T, e t e e A Δ B DBΔ da. (8) Vektory zlových parametrů jso vždy na sořadncích x a y nezávslé, proto lze potencální energ vyjádřt T T, e t e da e A Δ B DB Δ. (9) Matce B je nezávslá na sořadncích x a y, stejně jako matce thost materál D. Za ntegrálem potom zůstane poze da, což je plocha prvk. T T, e t e A e,6 6,,,6 6, Δ B D B Δ () Ačkolv se zdá předchozí vztah komplkovaný, je dobré s vědomt, že jeho výsledkem je číslo potencální energe vyjádřená v Jolech, jak je vdět ze vzorce (). Jednodšej se dá potencální energe vntřních sl jednoho prvk vyjádřt pomocí matce thost prvk kde Δ KΔ, () T, e e e T T K t B DBdA tb DB A () A je matce thost prvk typ (6,6). Potencální energe vnějších sl Potencální energ vnějších sl můžeme pro každý případ vyjádřt jako sočn působící zlové síly a posn příslšného zl v příslšném směr zlového parametr. Matcově vyjádřeno T e Δe F e, () kde F e je vektor zlových zatěžjících sl. Regstrační číslo CZ..7/../8.