K přednášce NUFY028 Teoretcká mechanka prozatímní učební text, verze 0. Prncp vrtuální práce Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 204 Rovnováha soustav hmotných bodů, prncp vrtuální práce V této kaptole nepůjde o pohb, ale o statcké stuace, o to, kd je soustava hmotných bodů v rovnováze. Jak už jsme naznačl v úvodu, budeme se snažt vjadřovat věc pokud možno pomocí skalárních velčn zde konkrétně pomocí práce. Začneme tou nejjednodušší stuací: jedním hmotným bodem. Jeden hmotný bod v rovnováze Předpokládejme, že hmotný bod je v kldu. Pak je v rovnováze právě tehd, jestlže celková síla F na něj působící je nulová: F = 0. (.) Tuto podmínku vjádříme pomocí skalární velčn. Představme s, že se hmotný bod posune o δr. Kdž vztah (.) skalárně vnásobíme δr, dostaneme F δr =0. (.2) Člen na levé straně, F δr, je práce síl F př posunutí δr. Posunutí δr faktck an nemusí být skutečné. Vztah (2) nám jenom říká, jaká b bla práce, kdbchom hmotný bod nepatrně posunul. Mluvíme proto o vrtuálním posunutí a prác F δr nazýváme vrtuální práce. Posunutí δr přtom bereme jako velm malé přesněj řečeno nekonečně malé, ted nfntesmální. 2 Vztah (.2) říká, že kdž je hmotný bod v rovnováze, je vrtuální práce sl na bod působících rovna nule. A to př lbovolném vrtuálním posunutí δr. Totéž platí obráceně: Je-l F δr =0 pro lbovolné δr, musí být F = 0 a ted hmotný bod je v rovnováze. Proč je tomu tak? Rozepíšeme-l skalární součn do složek, dostaneme 0 = F δr = F δx+ F δ + F δz (.3) Posunutí x z δr může být lbovolné. Zvolme například δ =, δz= 0 0, ted δr = ( δx, 00, ), kde předpokládáme, že δ x 0. Z (.3) pak je 0= Fx δ x Fx = 0. Podobně dokážeme nulovost F a F z. Celkově ted platí, že Hmotný bod je v rovnováze F δr =0 pro lbovolná δr. Čl: Hmotný bod je v rovnováze právě tehd, kdž vrtuální práce sl na něj působících př lbovolných vrtuálních posunutích je rovna nule. Naprosto stejně můžeme postupovat v případě soustav hmotných bodů. Př čtení této kaptol budete mít nejspíš poct, že věc zcela jednoduché začínáme zaplétat a vjadřovat hrozně komplkovaně. Ale vdržte, výsledk nakonec budou zajímavé a užtečné. 2 Obrázek vpravo od textu slouží jen jako lustrace; nulový vektor F a nfntesmální vektor δr nenakreslíme.
K přednášce NUFY028 Teoretcká mechanka prozatímní učební text, verze 0. Prncp vrtuální práce Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 204 Soustava hmotných bodů v rovnováze Soustava N hmotných bodů je v rovnováze, jestlže je v rovnováze každý její bod, ted je v kldu a síla na něj působící je nulová: F = 0, =,, N. Pokud s představíme, že -tý hmotný bod posuneme o δr (vz lustrační obrázek, kde ovšem posunutí nekreslíme nekonečně malá), je celková práce působících sl rovna N F δr. Podobně jako v případě jednoho hmotného bodu, mluvíme zde o = vrtuální prác sl působících na soustavu. Je-l soustava v rovnováze, jsou všechn síl nulové, takže celková vrtuální práce je nulová: N F δr = 0. (.4) = Platí to obráceně: Jestlže platí (.4) pro lbovolná vrtuální posunutí δr, jsou všechn síl nulové a soustava je v rovnováze. Toto bchom dokázal naprosto stejně jako výše v případě jednoho bodu: Nejprve bchom vzal všechna vrtuální posunutí nulová, až na δr = ( δx, 00, ). Ze (.4) pak plne, že F x = 0. Podobně dokážeme nulovost F a F, pak z F 2, Celkově ted platí tvrzení, jemuž se říká x prncp vrtuální práce: Soustava hmotných bodů je v rovnováze N F δr = 0 = pro lbovolná δr. Čl: Soustava hmotných bodů je v rovnováze právě tehd, kdž vrtuální práce sl na soustavu působících př lbovolných vrtuálních posunutích je rovna nule. Zatím to stále vpadá, že jsme jen jednoduchou věc (nulovost sl) vjádřl složtě. Zajímavější to začne být, pokud je pohb hmotných bodů omezen vazbam. Vazb Vazb jsou podmínk omezující pohb 3. Příkladem může být kulčka položená na desce stolu: můžeme j posouvat po stole, zvednout, ale nemůžeme j zatlačt do stolu. Vazbu v tomto případě můžeme vjádřt nerovností z 0, kde z je souřadnce kolmá na desku stolu. Jným příkladem je matematcké kvadlo. (Závěs délk l přtom bereme jako tuhou tčku, která se nemůže prodloužt an zkrátt.) Vazbu v daném případě 2 2 2 můžeme vjádřt rovností x + = l. (Dokreslete s do obrázku příslušný pravoúhlý trojúhelník, abste jasně vděl, jak daná rovnost plne z Pthagorov vět.) Vazbou může být také například tuhá tčka spojující dva hmotné bod apod. Teď trochu názvosloví, aneb jak rozdělujeme vazb. Jednak na jednostranné a 3 V podobném smsl používáme tento termín v běžném žvotě: kdž je někdo ve vazbě, je jeho pohb také omezen. 2
K přednášce NUFY028 Teoretcká mechanka prozatímní učební text, verze 0. Prncp vrtuální práce Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 204 oboustranné. Příkladem jednostranné vazb bla právě kulčka na desce stolu, příkladem oboustranné vazb matematcké kvadlo. Další rozdělení zahrnuje czokrajně znějící slova vazb dělíme na: Holonomní t jsou vžd vjádřtelné algebrackým vztah (rovnostm) obsahujícím 2 2 2 souřadnce. Příkladem je matematcké kvadlo popsané výše, vztahem je x + = l. Těmto vztahům říkáme vazbové podmínk 4. Holonomní vazb se dále dělí na: o o skleronomní reonomní 6 5 tto vazb nezávsí na čase (např. délka závěsu kvadla je konstantní) a závsí na čase (např. hmotný bod vázaný na rovnu, která se otáčí). Neholonomní nebol anholonomní. Nejsou vjádřtelné rovnostm obsahujícím souřadnce. Podstatné je přpomenout jednu důležtou skutečnost: vazb jsou dealzace. Ve skutečnost, kdž položíme kulčku na stůl, tak se stůl nepatrně prohne. V matematckém kvadle působí hmotný bod na závěs slou, závěs se v důsledku toho o malčko prodlouží. Kdž se na dané omezení pohbu díváme jako na vazb, tak tto deformace zanedbáváme. Je to dealzace (ted abstrakce), ale velm užtečná. Vazbové síl Co udrží kulčku, že nepropadne deskou stolu, kdž j gravtace táhne dolů? Stůl zjevně působí na kulčku slou. Podobně závěs působí slou na zavěšené závaží. Těmto slám říkáme vazbové síl. Jejch velkost je právě taková, že kulčka zůstane na stole, že závaží kvadla má od bodu závěsu stále délku l. Jaký je směr vazbových sl? Může například na kulčku na desce stolu působt síla škmo nahoru, jak to ukazuje obrázek? Kdb tomu tak blo, pak b složka síl rovnoběžná s deskou stolu (na obrázku vznačená červeně), kulčku podél desk stolu urchlovala. Něco takového ovšem vazbová síla nedělá! (v) Vazbová síla F ted musí být kolmá na desku stolu. Obecně říkáme, že vazbová síla je kolmá na vazbovou plochu. 8 Práce vazbových sl Kulčka se po desce stolu může pohbovat do různých směrů; vazbová síla je vůč všem těmto směrům kolmá. Z tohoto příkladu můžeme usoudt, že práce vazbových sl je nulová. To je pravda v obecném případě, jen tento výsledek musíme vjádřt trochu přesněj. 7 4 Pojem vazbová podmínka je obecnější a vztahuje se na vazb, které nejsou holonomní. M jej však praktck vžd budeme užívat jen v případě holonomních vazeb. 5 Tto vazb bchom ted mohl označt za tuhé. Pomůckou, jak s daný termín pamatovat, nám může být skleróza. To, že mají obě slova stejný kořen, není náhoda př skleróze kornatějí, ted tuhnou, stěn cév. 6 Také se píše s písmenem h jako rheonomní. 7 Takto složté případ tad nebudeme uvažovat. V následujícím textu budeme vazb vžd uvažovat jako holonomní (dík tomu půjde o vazb oboustranné) a ve většně případů za skleronomní. (Zcela jstě tak tomu bude v této kaptole, kd jde o rovnováhu, ted o statcké stuace.) 8 Například v případě matematckého kvadla je vazbovou plochou kružnce. Pokud vám přjde dvné, že vazbovou plochou je v tomto případě křvka, je to proto, že pohb kvadla jsme od začátku uvažoval jen v jedné rovně. Chcete-l postupovat pořádněj a vjít ze třírozměrného případu, můžete říc, že vazbovou 2 2 2 2 plochou je sféra x + + z = l, druhou vazbovou plochou je rovna z = 0. 3
K přednášce NUFY028 Teoretcká mechanka prozatímní učební text, verze 0. Prncp vrtuální práce Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 204 Zajímá nás vrtuální práce, ted práce sl př vrtuálních posunutích. Jelkož tato posunutí chápeme opravdu jako vrtuální (nkol reálná), mohl bchom s představt třeba posunutí kulčk dovntř desk stolu. To b ovšem narušlo vazbu (v našem případě b už pro kulčku neplatlo z 0 ). Proto se omezíme na posunutí slučtelná s vazbam 9. Navíc například v případě kulčk na stole zjevně exstují posunutí (mířící škmo (v) nahoru, vz obrázek), pro něž skalární součn F δr > 0. Proto se zavádí pojem vratná vrtuální posunutí slučtelná s vazbam. Jde o taková posunutí δr, že opačné posunutí, tj. δ r je také slučtelné s vazbam. Posunutí vedoucí škmo nahoru (nebo přímo ve směru vazbové síl) toto nesplňují opačné posunutí b kulčku zatlačovalo do stolu 0, takže b neblo slučtelné s vazbou. Jako vratná vrtuální posunutí slučtelná s vazbam ted zbývají posunutí po desce stolu (ted ta, která jsou na obrázku značena zeleně). Podobné příklad můžeme zobecnt a konstatovat, že vrtuální práce vazbových sl př vratných vrtuálních posunutích slučtelných s vazbam je rovna nule. Zobecněný prncp vrtuální práce Z čeho se skládá síla F působící na tý hmotný bod? Jednak ze sl, kterým na něj působí ostatní bod 2 a vnější slová pole 3. Takovýmto slám říkáme aktvní (v) z vazbových sl F. Je ted: F = F + F (v) 4, značt je budeme F. A dále Podle prncpu vrtuální práce je soustava bodů v rovnováze právě kdž celková vrtuální práce všech sl je nulová (vz (.4)): N F δr = 0. = Dosadíme-l sem (.5), dostáváme (pro případ vratných vrtuálních posunutí slučtelných s vazbam): ( ) N N N N N (v) (v) F δr F F δr F δr F δr F δr = = = = = (.5) 0 = = + = + =, (.6) kde jsme jž vužl toho, že vrtuální práce vazbových sl je nulová. Výsledek (.6) jž představuje zobecněný prncp vrtuální práce: 9 To znamená, že po posunutí zůstane platt vazbová podmínka. 0 Opačné posunutí provádíme z výchozí poloh kulčk položené na stole, ted ne tak, že bchom kulčku posunul o δr a pak zase zpátk. V učebncích se někd na základě příkladů konstatuje, že pro vrtuální posunutí slučtelná s vazbam (ne nutně (v) vratná) platí F δr 0. Toto se někd chápe jako nezávslý axom, resp. obecná vlastnost vazbových sl. (v) (v) Pro vratná posunutí musí totéž platt pro opačná posunutí, tj. F ( δ r) 0, čl F δr 0. Kombnací obou (v) nerovností pak už okamžtě dostáváme pro vrtuální prác vazbových sl F δr = 0. 2 Třeba prostřednctvím pružnek, gravtačního přtahování, elektrostatcké nterakce apod. 3 Například kdž jsou hmotné bod v gravtačním pol Země nebo v případě, kd b nabté hmotné bod bl třeba v elektrostatckém pol deskového kondenzátoru. 4 Používá se též název vtštěné síl. 4
K přednášce NUFY028 Teoretcká mechanka prozatímní učební text, verze 0. Prncp vrtuální práce Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 204 Soustava hmotných bodů s vazbam je v rovnováze N F = δr = 0 pro lbovolná δr vratná, slučtelná s vazbam. Čl: Soustava hmotných bodů s vazbam je v rovnováze právě tehd, kdž vrtuální práce aktvních sl působících na soustavu př lbovolných vratných vrtuálních posunutích slučtelných s vazbam je rovna nule. Podstatné je, že se nní vůbec nemusíme starat o vazbové síl! V zobecněném prncpu vrtuální práce vstupují jen síl aktvní 5. Jak to funguje a k čemu je to dobré ukáží následující příklad. Příklad Příklad : rovnováha matematckého kvadla Pro první příklad zvolíme jeden z nejjednodušších sstémů, u něhož předem známe výsledek: matematcké kvadlo v homogenním gravtačním pol. Souřadnce x a zvolíme tak, jak to ukazuje obrázek vpravo. Vazbová podmínka vjadřuje, že závěs kvadla má konstantní délku: 2 2 2 x + = l = konst. (.7) Jak z této podmínk spočítat směr vrtuálního posunutí δr? Vrtuální posunutí považujeme za nekonečně malá, proto s nm můžeme pracovat jako s dferencál. Totální dferencál (.7) dá 2 2xdx+ 2d= d( l ) = 0, (.8) právě proto, že pravá strana (.7) je konstantní. Vdělíme-l (.8) dvěma a místo dferencálů píšeme δr= δx, δ, dostaneme výslednou podmínku xδx+ δ =0. Odtud složk ( ) x δ = δx. (.9) Gravtační síla (jedná aktvní síla v dané stuac) má složk F = (, mg) prncpu vrtuální práce 6 je matematcké kvadlo v rovnováze právě tehd, kdž 0. Podle zobecněného mg 0 = F δr = 0 δx + mg δ = x δx. (.0) a to pro lbovolné δ x (ted obecně pro δ x 0). To lze splnt jedně tak, že x = 0. 5 Pozor: Na rozdíl od prncpu vrtuální práce pro soustav bodů bez vazeb ze zobecněného prncpu vrtuální práce neplne, že b síl v něm vstupující (ted aktvní síl) bl nulové. V rovnováze platí, že vazbové síl se nastaví tak, ab vžd právě vrovnal síl aktvní; nulový je součet aktvních a vazbových sl na každý bod. 6 Posunutí (.9) jsou vratná a slučtelná s vazbam. 5
K přednášce NUFY028 Teoretcká mechanka prozatímní učební text, verze 0. Prncp vrtuální práce Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 204 Odvodl jsme ted, že matematcké kvadlo je v rovnováze pro x = 0, ted kdž vsí svsle dolů 7. K výsledku můžeme doplnt dvě poznámk: ) Vdíme, že pro výpočet jsme opravdu nepotřeboval vazbové síl, ted sílu závěsu. 2) Výsledek x = 0 odpovídá případu, kd b kvadlo stálo svsle nahoru! (Závěs bereme jako tuhý, ted jako tčku, ne jako nt nebo provázek.) Poloha kvadla svsle nahoru je také rovnovážnou polohou, ale polohou lablní. Vdíme ted, že zobecněný prncp vrtuální práce nerozlšuje stablní a lablní rovnovážnou polohu. Příklad 2: matematcké kvadlo ovlvněné elektrckým polem Uvažujme ještě jeden příklad: matematcké kvadlo, na něž kromě gravtačního pole působí homogenní elektrcké pole. Hmotný bod matematckého kvadla má náboj q, ntenztu elektrckého pole budeme pro jednoduchost brát vodorovnou, tj. E = ( E,0). Aktvní síla působící na F = qe, mg. hmotný bod je ted ( ) Pro záps zobecněného prncpu vrtuální práce bchom mohl vužít vztahu (.9) svazujícího složk vrtuálního posunutí δx a δ. Ukážeme s však ještě jnou možnost, jak složk posunutí odvodt. Z obrázku je zřejmé, že pro kartézské souřadnce x a platí x = l snα = l cosα (.) Úhel α jednoznačně určuje polohu hmotného bodu, můžeme ho ted chápat jako souřadnc, bť ne kartézskou 8. Je příkladem toho, čemu říkáme zobecněné souřadnce; v následujících kaptolách je budeme používat velm často. Přírůstk souřadnc vpočteme z (.) pomocí dervací 9 : ( snα ) d l δ x = δα = lcos( α ) δα dα d( l cosα ) δ = δα = lsn( α ) δα dα Po dosazení do zobecněného prncpu vrtuální práce dostáváme 0 = F δr = qe δx + mg δ = qe l cos( α ) δα mg l sn( α ) δα = = l qe cosα mg sn α δα. ( ) (.2) Toto musí platt pro lbovolné δα, takže snα qe tg α = =. cosα mg Ze směru síl na obrázku můžeme ověřt, že toto je správný výsledek. 7 Samozřejmě můžeme ronck zvolat To je ted objevný výsledek! Ovšem jž předem jsme upozorňoval, že prncp vrtuálního práce zde lustrujeme na velm jednoduchém příkladě, kde předem známe výsledek. 8 V našem případě jde o jednu z polárních souřadnc. 9 Přírůstk souřadnc (ted složk vrtuálního posunutí) bereme jako nfntesmální, tj. nekonečně malé. 6