STATISTICKÁ ANALÝZA ROZDĚLENÍ EXTRÉMNÍCH HODNOT PRO CENZOROVANÁ DATA STATISTICAL ANALYSIS OF EXTREME VALUE DISTRIBUTIONS FOR CENSORED DATA

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS STATISTICKÁ ANALÝZA ROZDĚLENÍ EXTRÉMNÍCH HODNOT PRO CENZOROVANÁ DATA STATISTICAL ANALYSIS OF EXTREME VALUE DISTRIBUTIONS FOR CENSORED DATA DIPLOMOVÁ PRÁCE MASTER S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR MARTIN CHABIČOVSKÝ doc. RNDr. JAROSLAV MICHÁLEK, CSc. BRNO 20

Vysoké učeí techické v Brě, Fkult strojího ižeýrství Ústv mtemtiky Akdemický rok: 200/20 ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE studetk: Bc. Mrti Chbičovský který/která studuje v mgisterském vzujícím studijím progrmu obor: Mtemtické ižeýrství 390T02 Ředitel ústvu Vám v souldu se zákoem č./998 o vysokých školách se Studijím zkušebím řádem VUT v Brě určuje ásledující tém diplomové práce: v glickém jzyce: Sttistická lýz rozděleí extrémích hodot pro cezorová dt Sttisticl Alysis of Extreme Vlue Distributios for Cesored Dt Stručá chrkteristik problemtiky úkolu: Rozděleí extrémích hodot se čsto používji při popisu predikci ojediělých jevů v teorii spolehlivosti, klimtologii při predikci srážek ebo průtoků řek, v medicíských plikcích, při predikci kvlity životího prostředí podobě. Dt, která jsou ke zprcováí použit, bývjí čsto eúplá, bývjí cezorová čsem, přípdě počtem ebo áhodě cezorová. Pro tková dt je pk zpotřebí provést odhd prmetrů studových rozděleí, odhd prhových hodot ebo odhd kvtilů těchto rozděleí. Cíle diplomové práce: V práci popište zákldí typu rozděleí extrémích hodot př. podle [2], dále vyberte vhodou metodu pro odhd prmetrů cezorových rozděleí extrémího typu př. podle [3] pro lespoň dvě rozděleí z doméy trkce vybrého rozděleí extrémího typu ebo přímo pro rozděleí extrémího typu vrhěte metodu pro výpočet odhdů prmetrů pro cezorová rozděleí, proveďte počítčovou implemetci této metody popište sttistické vlstosti získých odhdů. Při tom se můžete opřít o simulčí studii. Získé výsledky můžete ilustrovt zprcováí reálých dt.

Sezm odboré litertury: [] Bíllo, A.; Cuevs, A.; Justel, A.: Set estimtio d Noprmetric detectio, The Cdi Jourl of Sttistics, 28, p. 765 782, 2000 [2] Coles S.: A Itroductio to sttisticl modelig of extreme vlues. Spriger. Lodo, 2004 [3] Kotz, S. d Ndrjh S.: Extreme vlue distributios. Imperil College Lodo. 2005 Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Jroslv Michálek, CSc. Termí odevzdáí diplomové práce je stove čsovým pláem kdemického roku 200/20. V Brě, de L.S. prof. RNDr. Josef Šlpl, CSc. Ředitel ústvu prof. RNDr. Miroslv Doupovec, CSc. Děk fkulty

Abstrkt Diplomová práce se zbývá rozděleím extrémích hodot cezorovými výběry. V teoretické části je popsá metod mximálí věrohodosti, typy cezorových výběrů je defiováo rozděleí extrémích hodot. V práci jsou odvozey věrohodostí rovice pro cezorové výběry z expoeciálího, Weibullov, logritmicko ormálího, Gumbelov zobecěého extrémího rozděleí. Pro tto rozděleí jsou též odvozey symptotické itervlové odhdy je provede simulčí studie sledující závislost odhdu prmetru procetu cezorováí. Summry The thesis dels with extreme vlue distributios d cesored smples. Theoreticl prt describes mximum likelihood method, types of cesored smples d itroduce extreme vlue distributios. I the thesis re derived likelihood equtios for cesored smples from expoetil, Weibull, logorml, Gumbel d geerlized extreme vlue distributio. For these distributios re lso derived symptotic itervl estimtes d is mde simultio studies o the depedece of the prmeter estimte o the percetge of cesorig. Klíčová slov cezorové výběry, rozděleí extrémích hodot, metod mximálí věrohodosti Keywords cesored smples, extreme vlue distributios, mximum likelihood method CHABIČOVSKÝ, M. Sttistická lýz rozděleí extrémích hodot pro cezorová dt. Bro: Vysoké učeí techické v Brě, Fkult strojího ižeýrství, 20. 53 s. Vedoucí doc. RNDr. Jroslv Michálek, CSc.

Prohlšuji, že jsem diplomovou práci Sttistická lýz rozděleí extrémích hodot pro cezorová dt vyprcovl smosttě pod vedeím doc. RNDr. Jroslv Michálk, CSc. s použitím prmeů uvedeých v sezmu litertury. Mrti Chbičovský

Děkuji svému školiteli doc. RNDr. Jroslvu Michálkovi, CSc. z vedeí mé diplomové práce. Mrti Chbičovský

Obsh OBSAH Úvod 3 2 Metod mximálí věrohodosti 4 2. Zákldí pojmy................................. 4 2.2 Metod mximálí věrohodosti........................ 5 2.2. Pomocá tvrzeí............................ 5 2.2.2 Pricip metody............................. 6 3 Cezorové výběry 0 3. Cezorové výběry.............................. 0 3.. Výběry cezorové zprv typu I................... 0 3..2 Výběry cezorové zprv typu II.................. 3..3 Výběry cezorové zlev typu I................... 2 3..4 Výběry cezorové zlev typu II................... 2 3..5 Výběry dvojitě cezorové...................... 2 3..6 Výběry progresivě cezorové.................... 3 3..7 Výběry itervlově cezorové.................... 3 3..8 Výběry áhodě cezorové..................... 4 3.2 Odhdy metodou mximálí věrohodosti.................. 5 3.2. Expoeciálí rozděleí........................ 5 3.2.2 Weibullovo rozděleí.......................... 8 3.2.3 Logritmickoormálí rozděleí................... 2 4 Rozděleí extrémích hodot 24 4. Mximálě věrohodé odhdy......................... 25 4.. Extrémí rozděleí typu I....................... 25 4..2 Zobecěé rozděleí extrémích hodot................ 26 4.2 Mximálě věrohodé odhdy pro cezorové výběry........... 27 4.2. Extrémí rozděleí typu I....................... 28 4.2.2 Zobecěé rozděleí extrémích hodot................ 3 5 Simulčí studie 39 5. Úvod....................................... 39 5.2 Simulce pomocí fukce mle.......................... 39 5.2. Expoeciálí rozděleí........................ 40 5.2.2 Weibullovo rozděleí.......................... 4 5.2.3 Logritmickoormlí rozděleí................... 42 5.2.4 Extrémí rozděleí typu I....................... 44 5.3 Simulce pomocí fukce mmv......................... 46 5.3. Zobecěé rozděleí extrémích hodot................ 47 6 Závěr 50

Litertur 5 Sezm použitých zkrtek symbolů 52 Sezm příloh 53

Úvod Teorie extrémích hodot se zbývá rozděleím mxim respektive miim posloupostí ezávislých stejě rozděleých áhodých veliči. Tto teorie se využívá pro posuzováí rizik vyplývjících z výskytu vysoce eprvděpodobých událostí, jko jsou příkld stoleté povodě, výskyt extrémího počsí, výskyt mimořádých pojistých událostí či v teorii spolehlivosti při výskytu poruch. V prxi se ám všk e vždy podří zzmet všech stoupeí sledových jevů. Získáváme tk cezorové výběry, ze kterých je v prxi potřeb provádět odhdy. Tto práce si klde z cíl popst jedotlivé typy cezorováí ásledě odvodit vzthy pro odhdy prmetrů rozděleí prvděpodobosti z cezorových výběrů. Po prví kpitole Úvod ásleduje druhá kpitol věová teorii mximálě věrohodých odhdů. V í jsou uvedey zákldí věty defiice z této teorie je popsá pricip této metody. Třetí kpitol si klde z cíl popst typy cezorových výběrů odvodit či uvést tvry věrohodostích fukcí. Do této kpitoly je též zhruto odvozeí věrohodostích rovic symptotických itervlových odhdů prmetrů v cezorových výběrech pro expoeciálí, Weibullovo logritmicko ormálí rozděleí. Čtvrtá kpitol obshuje zvedeí rozděleí extrémích hodot. V kpitole jsou dále odvozey tvry věrohodostích rovic symptotických itervlových odhdů prmetrů pro extrémí rozděleí typu I Gumbelovo pro zobecěé rozděleí extrémích hodot. Pátá kpitol je věová simulcím, ve kterých je studová závislost odhdu prmetru procetu cezorováí v cezorových výběrech z expoeciálího, Weibullov, logritmicko ormálího, Gumbelov zobecěého extrémího rozděleí. Jsou zde uvedey výstupy z těchto simulcí ve formě obrázků z ich vyvozeé závěry. V této kpitole jsou též popsáy progrmy vytvořeé v mtlbu, které využívjí ěkteré odvozeé vzthy z předchozích dvou kpitol. Progrmy pk byly využity při simulcích. Posledí kpitol Závěr shruje výsledky této práce. 3

2 Metod mximálí věrohodosti Tto kpitol byl zprcová dle []. V celé prci budeme dále prcovt se spojitými hodými veličimi. 2. Zákldí pojmy Defiice 2. Nechť Ω, A, P je prvděpodobostí prostor ěm je defiová áhodá veliči X. Fukci F x = P X x defiovou pro všec x R budeme zývt distribučí fukcí áhodé veličiy X. Defiice 2.2 Nechť Ω, A, P je prvděpodobostí prostor ěm je defiová áhodá veliči X. Pk Fukci fx 0 splňující pro všech x R vzth x ftdt = F x budeme zývt hustotou prvděpodobosti áhodé veličiy X. Defiice 2.3 Nechť Ω, A, P je prvděpodobostí prostor ěm je defiová áhodá veliči X. Fukci Rx = P X > x = F x defiovou pro všech x R budeme zývt fukce spolehlivosti. Defiice 2.4 Středí hodot áhodé veličiy X se zčí symbolem EX je dá vzthem EX = xfxdx. Symbolem E θ X budeme zčit středí hodotu áhodé veličiy X o hustotě fx, θ, kde θ je vektor prmetrů dého rozděleí. Defiice 2.5 Nechť Ω, A, P je prvděpodobostí prostor ěm je defiová posloupost áhodých veliči X, X 2,... áhodá veliči X. Nechť posloupost X, =, 2,... má distribučí fukci F echť X má distribučí fukci F. Jestliže F x F x v kždém tkovém bodě x, ve kterém je fukce F spojitá, pk říkáme, že posloupost F koverguje slbě k F. V tomto přípdě pk říkáme, že veličiy X kovergují k áhodé veličiě X v distribuci rozděleí áhodých veliči X zýváme symptotické rozděleí. Kovergeci v distribuci budeme zčit X d X. V přípdě, že rozděleí áhodé veličiy X má kokrétí ozčeí, třeb Nµ, 2, pk budeme místo X d X psát X d Nµ, 2. Defiice 2.6 Nechť X,..., X je posloupost ezávislých stejě rozděleých áhodých veliči s rozděleím o distribučí fukci F x. Pk říkáme, že X,..., X je áhodý výběr z rozděleí o distribučí fukci F x. Číslo se zývá rozsh výběru. Defiice 2.7 Mějme áhodý výběr X,..., X z rozděleí, které má distribučí fukci F x. Tyto veličiy uspořádáme vzestupě podle velikosti. Nejmeší z ich ozčíme X, druhou ejmeší X 2, ž ejvětší X. Pltí tedy X X 2 X. Veličiám X, X 2,..., X se říká uspořádý áhodý výběr. Jestliže áhodá veliči X i je v uspořádém áhodém výběru jtá, tj. když X i = X j, pk pořdí R i této veličiy je rovo číslu j. 4

2.2 Metod mximálí věrohodosti 2.2. Pomocá tvrzeí 2.2 METODA MAXIMÁLNÍ VĚROHODNOSTI Dříve ež bude popsá smotý pricip metody mximálí věrohodosti, bude uvedeo pár důležitých pojmů vět z teorie odhdu. Předpokládejme, že áhodý vektor X = X,..., X má hustotu fx, θ, přičemž θ = θ,..., θ m je ezámý prmetr. N zákldě vektoru X je třeb získt co ejlepší odhd prmetru θ, který ptří do prmetrického prostoru Ω R m. Bodovým odhdem prmetru θ rozumíme lezeí ějké vektorové měřitelé fukce g tkové, by áhodý vektor T = gx v ějkém smyslu co ejlépe proximovl hodotu prmetru θ. Defiice 2.8 Řekeme, že systém hustot {fx, θ, θ Ω} je regulárí, jsou li splěy tyto podmíky:. Moži Ω je eprázdá otevřeá. 2. Moži M = {x : fx, θ > 0} ezávisí θ. 3. Pro skoro všech x M existuje koečá prciálí derivce f x, θ = fx,θ θ. 4. Pro všech θ Ω pltí M f x, θdx = 0. 5. Itegrál je koečý kldý. J θ = M [ f ] x, θ 2fx, θdx fx, θ Itegrál J θ se zývá Fisherov mír iformce o prmetru θ obsžeá v áhodém vektoru X. Teto itegrál se dá též zpst zpomocí středí hodoty to J θ = E [ f X, θ fx, θ ] 2 [ ] l fx, θ 2. = E Fisherov mír iformce má v teorii odhdu velký výzm proto zde budou uvedey ěkteré její důležité vlstosti. Vět 2. Nechť systém hustot {fx, θ, θ Ω} je regulárí. Jestliže pro skoro všech x M existuje f x, θ = 2 fx, θ θ 2 jestliže pro všech θ Ω pltí pk Důkz. Viz []. M J θ = M f x, θdx = 0, θ 2 l fx, θ fx, θdx. θ 2 5

2.2 METODA MAXIMÁLNÍ VĚROHODNOSTI Zobecěí Fisherovy míry iformce přípd vícerozměrého prmetru vede k Fisherově iformčí mtici. T bude defiová v ásledující defiici. Defiice 2.9 Nechť áhodý vektor X = X,..., X Předpokládejme, že pltí: má spojitou hustotu fx, θ.. θ Ω je eprázdá otevřeá moži v R m. 2. Moži M = {x : fx, θ > 0} ezávisí θ. 3. Pro skoro všech x M pro všech i =,..., m existují prciálí derivce f ix, θ = fx,θ θ i. 4. Pro kždé i =,..., m pro všech θ Ω pltí M f ix, θdx = 0. 5. Pro kždou dvojici i, j, i, j =,..., m, existuje koečý itegrál J ij θ = M f ix, θf jx, θ fx, θdx. f 2 x, θ 6. Mtice J θ = J ij θ m i,j= je pozitivě defiití pro kždé θ Ω. Pk se systém hustot {fx, θ, θ Ω} zývá regulárí J θ se zývá Fisherov iformčí mtice. Vět 2.2 Nechť systém hustot {fx, θ, θ Ω} je regulárí. Předpokládejme, že pro skoro všech x M existují derivce, že pro všech θ Ω pltí Pk pltí Důkz.Viz []. f ijx, θ = 2 fx, θ θ i θ j, i, j =,..., m, M J ij θ = M 2.2.2 Pricip metody f ijx, θdµθ = 0, i, j =,..., m. 2 l fx, θ θ i θ j fx, θdµx, i, j =,..., m. Nechť áhodý vektor X = X,..., X má hustotu fx, θ, kde θ Ω. Při pevé hodotě x je fukce fx, θ jkožto fukce θ zývá věrohodostí fukce. Dále v textu se bude věrohodostí fukce zčit Lθ = Lx, θ. Sttistik ˆθ = ˆθX prmetru θ, která mximlizuje věrohodostí fukci Lx, θ pro dé X = x, se zývá mximálě věrohodý odhd prmetru θ. Nechť áhodý vektor X má hustotu fx, θ, přičemž θ Ω R m. Nechť u : Ω Ω 6

2.2 METODA MAXIMÁLNÍ VĚROHODNOSTI je fukce, která zobrzuje Ω Ω R k. Ke kždému θ Ω je tedy přiřzeo θ Ω předpisem θ = uθ. Nechť Gθ = {θ : θ Ω, uθ = θ }. Ozčme Qx, θ = sup fx, θ. θ Gθ Pk se Q jkožto fukce θ zývá věrohodostí fukce iduková prmetrickou fukcí u. Hodot ˆθ, která mximlizuje QX, θ, se zývá mximálě věrohodý odhd prmetrické fukce u. Vět 2.3 Je li ˆθ mximálě věrohodý odhd prmetru θ, pk uˆθ je mximálě věrohodý odhd prmetrické fukce uθ. Důkz.Viz []. Jedorozměrý přípd Nechť θ je jedorozměrý prmetr. Fukce lx, θ = l Lx, θ se jkožto fukce proměé θ při pevém x zývá logritmická věrohodostí fukce. Vět 2.4 Nechť jsou splěy předpokldy P : Nechť Ω je prmetrický prostor, který obshuje tkový eprázdý otevřeý itervl ω, že skutečá hodot prmetru θ 0 ptří do ω. P 2 : Nechť X = X,..., X, kde X i jsou ezávislé stejě rozděleé áhodé veličiy s hustotou fx, θ. P 3 : Nechť M = {x : fx, θ > 0} ezávisí θ. P 4 : Nechť θ, θ 2 Ω. Pk fx, θ = fx, θ 2 skoro všude pltí právě tehdy, je li θ = θ 2. A echť itervlu ω existuje f x, θ = fx,θ θ pro skoro všech x. Pk pro kždé ε > 0 při pltí, že s prvděpodobostí kovergující k jedé má věrohodostí rovice lx, θ θ = 0 tkový koře ˆθ = ˆθ x, že ˆθ θ 0 < ε. Důkz. Viz []. Vět 2.5 Nechť {fx, θ, θ Ω} je regulárí systém hustot s Fisherovou mírou iformce Jθ echť pltí předpokldy P ž P 4 z předchozí věty. Nechť θ 0 ω je skutečá hodot prmetru echť jsou splěy ásledující předpokldy.. Pro všech θ ω skoro všech x M existuje derivce f x, θ = 3 fx,θ θ 3. 2. Pro všech θ ω pltí M f x, θdµx = 0. 7

2.2 METODA MAXIMÁLNÍ VĚROHODNOSTI 3. Existuje tková ezáporá měřitelá fukce Hx, že E θ0 HX < přitom pro skoro všech x M pro všech θ tková, že θ θ 0 < ε pro ějké dosttečě mlé ε > 0, pltí 3 l fx, θ θ 3 Hx. Pk pltí ásledující tvrzeí. i. Jestliže, pk l θ 0 d N0, Jθ 0. ii. Existuje li pro kždé dosttečě velké pro kždou hodotu X tkový koře ˆθ věrohodostí rovice, že ˆθ je kosistetím odhdem prmetru θ 0, pk Důkz. Viz []. Vektorový prmetr ˆθ θ 0 d N0, Jθ 0. Pro odhd vektorového prmetru pltí podobá tvrzeí jko pro odhd jedorozměrého prmetru. Dále uvedeé věty jsou je zobecěím vět pltících pro jedorozměrý přípd. Sdružeá hustot je Lx, θ = fx i, θ, kde θ je mrozměrý vektor prmetrů. Fukce lθ = l Lx, θ se zývá logritmická věrohodostí fukce. Systém věrohodostích rovic je tvru: lθ θ j = 0, j =,..., m. Vět 2.6 Nechť systém hustot {fx, θ, θ Ω} je regulárí má Fisherovu iformčí mtici Jθ. Nechť pltí ásledující předpokldy:. Nechť Ω R m je prmetrický prostor, který obshuje tkový eprázdý otevřeý itervl ω, že skutečá hodot prmetru θ 0 ptří do ω. 2. Nechť X = X,..., X, kde X i jsou ezávislé stejě rozděleé áhodé veličiy s hustotou fx, θ. 3. Nechť M = {x : fx, θ > 0} ezávisí θ. 4. Nechť θ, θ 2 Ω. Pk fx, θ = fx, θ 2 pltí právě tehdy, je li θ = θ 2. 5. Derivce 3 fx,θ θ i θ j θ k i, j, k =,..., m. existuje pro skoro všech x, pro všech θ ω pro všech 6. Pro všech θ ω pltí M f ijx, θdµx = 0, i, j =,..., m. 8

2.2 METODA MAXIMÁLNÍ VĚROHODNOSTI 7. Pro všech i, j, k =,..., m existují fukce M ijk x 0 tk, že E θ0 M ijk X <, kde X je áhodá veliči s hustotou fx, θ 3 l fx, θ θ i θ j θ M ijkx pro všech θ ω skoro všech x M. k Pk pltí ásledující tvrzeí. i Jestliže, pk ke kždému ε > 0 existuje s prvděpodobostí blížící se jedé tkové řešeí ˆθ systému věrohodostích rovic, že ˆθ θ 0 < ε. ii Položme Pk pro pltí lθ θ Uθ =. lθ θ m Uθ 0 d N0, Jθ 0. iii Existuje li pro kždé dosttečě velké pro kždou hodotu X tkový koře ˆθ systému věrohodostích rovic, že ˆθ je kosistetím odhdem prmetru θ 0, pk ˆθ θ 0 d N0, Jθ 0. Důkz. Viz []. S využitím předcházející teorie lze sdo zkostruovt itervlové odhdy prmetrů θ i, kde i =,..., m. Asymptotické oboustré itervly spolehlivosti pro prmetry θ i, i =,..., m s koeficietem spolehlivosti α/2 jsou ˆθ i u α/2 ψ i,i, ˆθ i + u α/2 ψ i,i i =,..., m, kde u α/2 je α/2 kvtil stdrtizového ormálího rozděleí ψ i,i je hodot mtice ψθ v i tém řdku i tém sloupci. Mtice ψθ je iverzí mtice k symtotické Fisherově iformčí mtici je urče vzthem ψθ = 2 θ 2 l L θ=ˆθ 2 θ θ m l L θ =θ=ˆθ..... 2 θ m θ l L θ=ˆθ 2 θ 2 m l L θ=ˆθ. 9

3 Cezorové výběry V této kpitole budou popsáy jedotlivé typy cezorových výběrů, uvedey tvry věrohodostích fukcí dále pk budou pro expoeciálí, Weibullovo logritmicko ormálí rozděleí odvozey kokrétí tvry věrohodostích rovic stovey itervlové odhdy prmetrů těchto rozděleí. Odvozeí věrohodostích rovic ásledých itervlových odhdů bylo provedeo utorem této práce. Některé získé vzthy byly překotrolováy podle [2]. Pro zkráceí zápisu všk ebyly uvedey všechy kroky výpočtů. 3. Cezorové výběry Nechť X,..., X N jsou ezávislé áhodé veličiy s rozděleím o distribučí fukci F x, θ hustotě fx, θ. Nechť X i zčí dobu čekáí u i té sttistické jedotky rizikový jev. V teorii spolehlivosti se jedá třeb o sledováí doby do poruchy součástky. V lékřství může zčit dobu do úmrtí sledového pciet při závžé chorobě. V prxi se ám všk e vždy podří získt úplý áhodý výběr X,..., X N. Jede z důvodů, proč ečekáme, ž rizikový jev ste u všech sledových sttistických jedotek, je třeb fičí áročost sledováí všech sttistických jedotek. Při zkouškách životosti elze z fičích či čsových důvodů čekt, ež se ám pokzí všechy testové stroje. Dálší důvod vziku cezorových výběrů se vyskytuje v medicíě, kdy sledový pciet trpící smrtelou emocí přeste docházet prvidelé kotroly ť už z důvodu změy bydliště či úmrtí z jiých důvodů, ež je sledová emoc. K cezorováí dochází, jestliže sledujeme N sttistických jedotek výsledek experimetu jsou dvě skupiy sttistických jedotek. V prví jsou ty, u ichž došlo v průběhu sledováí k poruše. Ve druhé jsou ty, u kterých edošlo při sledováí k poruše. Dle typu uspořádáí experimetu lze cezorové výběry rozdělit cezorováé čsem, poruchou či áhodě. Cezorováí čsem se též ozčuje jko cezorováí typu I cezorováí poruchou jko cezorováí typu II. Dlší typ děleí je: cezorováí zlev, zprv, dvojité, progresiví itervlové. V Následujícím výčtu typů cezorováí jsou vzthy pro věrohodostí fukce převzty z [2] [6] odvozeí áhodého cezorováí je provedeo dle [0]. 3.. Výběry cezorové zprv typu I S cezorováím typu I u zprv cezorových výběrů se v experimetu setkáme, jestliže všech N sttistických jedotek sledujeme od počátku experimetu, tedy od čsu t = 0. Jejich sledováí ukočíme v ějkém předem určeém pevém čse t = T P bez ohledu to, u kolik jedotek došlo k poruše. Následující odvozeí je provedeo dle [6]. Výsledkem experimetu je tice prvích pořdových sttistik X,..., X iformce, že u c = N sttistických jedotek došlo k poruše po čse T P, tedy X + > T P,..., X N > T P. Nechť X,..., X = X jsou pozorové uspořádé doby do poruchy echť 0 < x < < x. Ozčme x = x,..., x. Nechť > 0 je tkové, že x i + < x i+, i = 0,...,, kde x 0 = 0 x + < T P. Nechť ozčuje rozměrý vektor, který má všechy složky rovy. Prvděpodobost stoupeí jevu, že žádé pozorováí eí meší ež x, 0

3. CENZOROVANÉ VÝBĚRY právě jedo pozorováí pde do itervlu x, x +, žádé pozorováí epde do itervlu x +, x 2, právě jedo pde do itervlu x 2, x 2 +,..., právě jedo pozorováí pde do itervlu x, x + c pozorováí je větších ež T P, je P x X < x +, X + > T P,..., X N > T P = F x i R c T P, N! 0!!!N! F x i + kde Rx zčí fukci spolehlivosti. Sdružeé rozděleí výsledku experimetu má hustotu vzhledem k součiu rozměré Lebesgueovy čítcí míry fx,..., x, = N! N! fx i R c T P, kde 0 < x <..., x < T P = 0,,..., N. Věrohodostí fukce je Lx,..., x,, θ = N! N! kde 0 < x <..., x < T P, = 0,,..., N θ Ω. 3..2 Výběry cezorové zprv typu II fx i, θr c T P, θ, V čse t = 0 zčeme sledovt N sttistických jedotek. Sledováí ukočíme přesě v okmžiku, kdy zzmeáme poruchu u jedotek, kde je předem dé pevé číslo {,..., N}. Výsledkem experimetu je uspořádých áhodých veliči X,..., X udávjících prvích dob do poruchy. Dob sledováí jedotek je dá okmžikem stoupeí té poruchy, tedy T P = X. Poruch ebyl v průběhu pozorováí zzmeá u zbývjících c jedotek, kde c = N. O těchto c jedotkách lze říci pouze to, že dob do poruchy je u ich větší ež okmžik stoupeí té poruchy X. Následující odvozeí je provedeo dle [6]. Nechť X,..., X = X jsou pozorové uspořádé doby do poruchy echť 0 < x < < x. Ozčme x = x,..., x. Nechť > 0 je tkové, že x i + < x i+, i = 0,...,, kde x 0 = 0. Nechť ozčuje rozměrý vektor, který má všechy složky rovy, echť Z = {x X < x + }. Náhodý jev Z ste, právě když žádé pozorováí eí meší ež x, právě jedo pozorováí pde do itervlu x, x +, žádé pozorováí epde do itervlu x +, x 2, právě jedo pde do itervlu x 2, x 2 +,..., právě jedo pozorováí pde do itervlu x, x + c pozorováí je větších ebo rových x +. Proto je N! P Z = F x i + F x i R c x +. 0!!!N! Sdružeá hustot X potom je fx,..., x = lim 0 P Z =

= N! N! Věrohodostí fukce je Lx,..., x, θ = fx i R c x, 0 < x <..., x <. N! N! 3. CENZOROVANÉ VÝBĚRY fx i, θr c x, θ, kde 0 < x <..., x < θ Ω. Odvozeí u osttích typů cezorováí ebudou dále uváděy. Jejich provedeí je podobé jko dvě zde uvedeá odvozeí. 3..3 Výběry cezorové zlev typu I Experimet zpočeme v čse t = 0. Sledováí zzmeáváí poruch všk ezčeme v okmžiku zčátku experimetu, le ž v ějkém předem dém pevém čse t = T L. Od tohoto čsu zzmeáváme všechy poruchy ž do okmžiku zkočeí experimetu, přičemž experimet je ukoče v okmžiku, kdy došlo k poruše u všech N = c+ jedotek. Výsledkem experimetu je tedy zzmeých dob do poruchy X c+, X c+2,..., X N iformce o tom, že u c jedotek došlo k poruše před okmžikem zpočetí sledováí X X 2... X c < T L. Věrohodostí fukce je tvru Lx c+,..., x N,, θ = K F T L, θ c fx i+c, θ, kde K je blíže especifiková kostt x c+,..., x N jsou zzmeé doby stoupeí poruch. 3..4 Výběry cezorové zlev typu II Experimet je zpočt v čse t = 0 účstí se ho N zřízeí. Prví dob poruchy, která je zzmeá je ž c + poruch. O předchozích poruchách u c zřízeí víme je to, že proběhly před čsem prví zzmeé poruchy. Pozorováí ukočíme, když je všech N zřízeí poroucháo. Výsledkem experimetu jsou doby stoupeí poruch: X c+, X c+2,..., X N. Pro doby poruch před okmžikem cezorováí T L = X c+ pltí X... X c < T L = X c+. Věrohodostí fukce pro teto přípd je Lx c+,..., x N, θ = K F x c+, θ c fx i+c, θ, kde K je blíže especifiková kostt x c+,..., x N jsou zzmeé doby stoupeí poruch. 3..5 Výběry dvojitě cezorové Dvojité cezorováí je kombicí cezorováí zlev zprv. Může být jk typu I tk typu II. Experimet zpočeme N zřízeích v čse t = 0. Pro typ I zpočeme sledovt zřízeí v čse t = T L. Do tohoto čsu poruch proběhl u c zřízeí. Doby poruch těchto c zřízeí všk ezáme. Jedié co o ich víme je, že X,..., X c < T L. 2

3. CENZOROVANÉ VÝBĚRY Zbývjících N c zřízeí sledujeme po pevý předem určeý čs, tedy do čsu T P. V tomto čse přesteme sledovt zřízeí. Do tohoto okmžiku jsme zzmeli poruch, které proběhly mezi čsy T L T P. O zbylých c 2 = N c zřízeích víme je to, že dob do poruchy je u ich větší ež T P. U typu II prví zzmeá poruch je ž c + poruch, která proběhl v čse X c+. Po zzmeáí poruch je sledováí ukočeo. Pro zbývjících c 2 = N c zřízeí pltí, že jejich dob do poruchy je větší ež dob do poruchy X c + porouchého zřízeí. Věrohodostí fukce je tvru Lx c +,..., x c +, θ = K[F T, θ] c [ F T 2, θ] c 2 fx i+c, θ, kde pro cezorováí typu I je T = T L, T 2 = T P pro cezorováí typu II T = x c +, T 2 = x c + x c+,..., x N jsou zzmeé doby stoupeí poruch K je blíže especifiková kostt. 3..6 Výběry progresivě cezorové Experimetu se účstí N zřízeí. V čsech T < T 2 < < T j < T k dochází k cezorováí z prv. V čse X = T j je c j zřízeí vyloučeo ze sledováí. O těchto c j zřízeí je pouze zámo, že dob do poruchy je u ich větší ež dob, ve které byly cezorové tj. X > T j. Celkem je během experimetu cezorováo c = k j= c j pozorováí. Celkový počet zzmeých poruch je = N c. Pro typ I jsou čsy cezorováí pevě dé kostty. Pro typ II jsou určey předem dými počty poruch, které musejí stt. Věrohodostí fukce pro progresivě cezorové výběry typu I v bodech cezorováí T j, j =,..., k je tvru k Lx,..., x,, θ = K [ F T j, θ] c j fx i, θ, j= kde K je blíže especifiková kostt x i, i =,..., jsou zzmeé doby stoupeí poruch. 3..7 Výběry itervlově cezorové K itervlovému cezorováí dochází, jestliže sledujeme N prvků. V jistém okmžiku T L přerušíme sledováí. Opět se všk v čse T R vrátíme ke sledováí. Během této doby, co jsme je esledovli, všk došlo k poruchám u c prvků. O těchto c prvcích víme je to, že jejich dob do poruchy leží uvitř itervlu T L, T R. Těchto itervlů všk během sledováí může být více. Dostáváme itervly T Lj, T Rj, j =,..., k ve kterých došlo k cezorováí. Dále víme, že v itervlu T Lj, T Rj došlo k c j poruchám. Celkový počet cezorových pozorováí je c = k j= c j. Zbývá = N c jedotek, u ichž jsme přesě zjistili dobu do poruchy. Věrohodostí fukce pro cezorováí typu I je tvru k Lx,..., x,, θ = K [F T Rj, θ F T Lj, θ] c j fx i, θ, j= kde doby T Lj, T Rj jsou pro cezorováí typu I dáy předem u cezorováí typu II závisí předem určeých počtech zzmeých poruch K je blíže especifiková kostt. 3

3..8 Výběry áhodě cezorové 3. CENZOROVANÉ VÝBĚRY Při áhodém cezorováí se předpokládá, že dob do poruchy X dob T, po kterou sledujeme dou sttistickou jedotku, jsou ezávislé áhodé veličiy. Rozděleí áhodé veličiy X je popsáo hustotou fx či distribučí fukcí F x. Rozděleí áhodé veličiy T je popsáo hustotou gt distribučí fukcí Gt. Obě rozděleí mohou záviset ezámých prmetrech. Tedy F x = F x, θ Gt = Gt, θ 2. Vektorem θ = θ, θ 2 rozumíme vektor všech ezámých prmetrů. Pro zjedodušeí budeme předpokládt, že vektory θ θ 2 eobshují stejé ezámé prmetry. Výsledkem experimetu je ezávislých dvojic W j, I j, kde j =, 2,...,. Náhodá veliči W j bývá buď hodoty X j či T j. W j = X j, když u j té sledové jedotky došlo k poruše v čse X j. W j = T j, pokud sttistická jedotk přestl být sledová v čse T j to dříve, ež u í došlo k poruše. Z toho vyplývá, že W j = mix j, T j. Veliči I j {0, } vyjdřuje, zd došlo I j = 0, či edošlo I j = k cezorováí u j té jedotky. Symbolem f XT x, t budeme zčit sdružeou hustotu áhodých veliči X T. V přípdě ezávislosti X T pltí f XT x, t = fxgt. Dále ásleduje odvozeí věrohodostí fukce pro áhodé cezorováí. Zde pro zjedodušeí zápisu zvedeme fukci Hw, i. Hw, i = P W w, I = i, kde w > 0 i {0, }. Pro fukci Hw, i pltí: Hw, 0 = P W < w, I = 0 = P mit, X w, T < X = P T w, X > T = = w x 0 0 f XT x, tdxdt = = w 0 w x 0 0 fxgtdxdt = gt F tdt = Gw w 0 w 0 gt fxdx dt = t gtf tdt Hw, = P W < w, I = = P mit, X < w, T > X = P X w, T > X = = = w 0 w 0 x fx f XT x, tdxdt = x w gtdt dx = F w 0 x fxgtdxdt = w 0 fxgxdx Sdružeá hustot áhodých veliči W I je hw, i vzhledem k součiové Lebesgueově čítcí míře. hw, 0 = dhw, 0 dw = gw gwf w = gw F w dhw, hw, = = fw fwgw = fw Gw dw Věrohodostí fukce je: Lθ = hw j, i j, j= 4

3.2 ODHADY METODOU MAXIMÁLNÍ VĚROHODNOSTI kde w j je relizcí áhodé veličiy W j i j je relizcí áhodé veličiy I j. Odhd prmetru θ se získá mximlizcí logritmické věrohodostí fukce: lθ = l Lθ = l hw j, i j = l hw j, 0 + l hw j,, j= j J 0 j J kde J 0 je moži sttistických jedotek j, pro které je I j = 0 tedy J 0 = {j : I j = 0} J = {j : I j = }. Dlší úprvou doszeím z hw, hw, 0 se doste lθ = l[gw j F w j ] + l[fw j Gw j ] = j J 0 j J = l gt j + l F t j + l fx j + l Gx j. j J 0 j J 0 j J j J Užitím předpokldu, že f F závisí pouze θ = θ,..., θ r g G závisí θ 2 = θ 2,..., θ 2r2 se doste logritmická věrohodostí fukce ve tvru lθ = l θ + l 2 θ 2, kde l θ = l F t j + l fx j, j J 0 j J l 2 θ 2 = l gt j + l Gx j. j J 0 j J Věrohodostí rovice pro odhd prmetrů jsou: l θ i = 0, i =,..., r. l 2 θ 2i = 0, i =,..., r 2. Řešeím těchto rovic se dostou mximálě věrohodé odhdy prmetrů θ θ 2. 3.2 Odhdy metodou mximálí věrohodosti V této sekci jsou odvozey věrohodostí rovice pro mximálě věrohodé odhdy prmetrů symptotické itervlové odhdy pro rozděleí expoeciálí, Weibullovo logritmickoormálí. V textu ejsou pro zjedodušeí uvedey veškeré kroky, které jsem při vlstím výpočtu provedl. Při odvozováí se vychází z teorie, která byl uvede v kpitole 2 Metod mximálí věrohodosti. 3.2. Expoeciálí rozděleí Expoeciálí rozděleí má hustotu distribučí fukci fx, = exp x, x > 0 F x, = exp x. Pro jedotlivé typy cezorováí bude věrohodostí fukce odhd prmetru ásledující. 5

ˆ Cezorováí zprv typu I II Pro typ I je věrohodostí fukce: Lx, = F T P c 3.2 ODHADY METODOU MAXIMÁLNÍ VĚROHODNOSTI Logritmická věrohodostí fukce: Věrohodostí rovice: fx i, = exp T P c exp l Lx, = c T P l l L = ct P 2 + 2 x i. x i = 0. Její úprvou se doste mximálě věrohodý odhd ˆ prmetru. N T P + x i = 0, ˆ = ct P + x i = ct P + x i, ˆ = ct P + x i. x i. Pro typ II bod cezorováí eí T P, le čs stoupeí tého rizikového jevu. Odhd se doste hrzeím T P z x. ˆ = ˆ Cezorováí zlev typu I II Věrohodostí fukce pro typ I: Lx, = F T L c Logritmická věrohodostí fukce: Věrohodostí rovice: cx + x i. fx i, = exp T L c exp l Lx, = c l exp T L l Pokud ji dále uprvíme dosteme l L = ct L exp TL 2 exp T L + 2 x i. x i = 0. x i. ct L exp T L + exp T L exp T L x i = 0. Tto rovice se edá lyticky řešit. Pro získáí odhdu ˆ je třeb tuto rovici řešit z použití umerických metod. Pro cezorováí typu II se hrdí T L z x c+. 6

ˆ Progresiví cezorováí Logritmická věrohodostí fukce: Věrohodostí rovice: 3.2 ODHADY METODOU MAXIMÁLNÍ VĚROHODNOSTI l Lx, = Po zjedodušeí přejde tvr: j= c j T j l l L = + x 2 i + c j T j + x i = 0. j= x i. c j T j = 0. j= Odhd prmetru : ˆ = c j T j + j= x i. ˆ Itervl spolehlivosti pro odhd Pro určeí itervlu spolehlivosti ejprve vypočteme: kde K je pro 2 l L 2 = K + 2 2 3 x i, cezorováí zprv K = 2c T P 3, cezorováí zlev K = ct 2 L exp T L 4 exp T L + 2cT L exp TL 3 exp T L ct 2 L exp 2 T L 4 exp T L 2, progresiví cezorováí K = 2 c 3 j T j. j= Asymptotický oboustrý itervl spolehlivosti pro s koeficietem spolehlivosti α je 2 ˆ u α/2 ψ, ˆ + u α/2 ψ, kde u α/2 je α/2 kvtil ormového ormálího rozděleí ψ je ψ = 2 l L. 2 =ˆ 7

3.2.2 Weibullovo rozděleí 3.2 ODHADY METODOU MAXIMÁLNÍ VĚROHODNOSTI Hustot dvouprmetrického Weibullov rozděleí W x,, b, b > 0, > 0 0 x < je fx,, b = b x b. b xb exp Distribučí fukce je x b. F x,, b = exp ˆ Cezorováí zprv typu I II Věrohodostí fukce pro cezorováí typu I: Lx,, b = F T P c TP b c b fx i,, b = exp b xb i exp Logritmická věrohodostí fukce: TP b l Lx,, b = l b c b l + b l x i Věrohodostí rovice: l Lx,, b b l Lx,, b = b c TP b b TP l TP + c b l l + x b i l x i = 0, = bc T P b b b+ + b b+ Dále z rovice 2 vyjádříme x b i = 0. 2 b = ct P b + x b i, ct b = P + x b i b. Dosdíme vyjádřeí pro b do rovice dosteme b ct b P ct b P + xb i l T P + ct b P + l x i + ctp b + l xb i ctp b + xb i ct b P + xb i ct b P + xb i l x b i ctp b + xb i Tuto rovice dále uprvíme vyásobeím čleem ct P b + xb i ž tvr l x i = ct b P l T P x b i l x i ct b P + x b i xi b. l x i + l b xi b. x b i ct b l P + xb i x b i l x i = 0. ásledými úprvmi b. Získá rovice se edá lyticky řešit. K jejímu vyřešeí je potřeb použít umerických metod. Pro cezorováí typu II se v této rovici změí T P z x. 8

3.2 ODHADY METODOU MAXIMÁLNÍ VĚROHODNOSTI ˆ Cezorováí zlev typu I II Věrohodostí fukce pro cezorováí typu I: Lx,, b = F T L c TL b c b xi b. fx i,, b = exp b xb i exp Logritmická věrohodostí fukce: TL b xi b. l Lx,, b = l b+c l exp b l +b l x i Věrohodostí rovice: bl l Lx,, b = c exp TL b b + b T L TL l exp T l + l x L b i x i b l x i l = 0, l Lx,, b TL b exp T L = bc b b+ exp T L b b + b b+ x b i = 0. Po uprveí dosteme soustvu rovic, kterou lze řešit je umericky. b b T e L b + ce T L b TLl b T L l b l + b l x i + l x b i x b i l x i = 0, bc T Le b T L b e T L bb + b x b b i = 0. Pro cezorováí typu II se v této soustvě rovic změí T L z x c+. ˆ Progresiví cezorováí Věrohodostí fukce pro cezorováí typu I: Lx,, b = F T j c j T b c b fx i,, b = exp b xb i exp [ j= Logritmická věrohodostí fukce: l Lx,, b = l b Věrohodostí rovice: l Lx,, b b l Lx,, b j= = b b = b b b+ j= j= c j Tj b b l + b l x i c j T b j l T j + l b c j Tj b l + j= xi b. x b i l x i = 0, c j T b j b + b b+ x b i = 0. 2 xi l x i + l b b]. x b i 9

Z rovice 2 vyjádříme 3.2 ODHADY METODOU MAXIMÁLNÍ VĚROHODNOSTI b = = kj= c j Tj b + x b i, kj= c j Tj b + x b i b. Rovici vyásobíme b pk dosdíme vyjádřeí pro b dosteme kj= c j T b j + x b i b kj= c j Tj b c j Tj b + l T j + l x b i c j Tj b j= j= c j Tj b + j= x b i l kj= c j Tj b + x b kj= i c j Tj b + + x b i l x i + kj= c j Tj b + + l x b i x b i Tuto rovici dále uprvíme tvr x b i l x i = 0. l x i = kj= c j T b j l T j x b i l x i kj= c j T b j + x b i b. Rovice se dále řeší umericky. ˆ Itervly spolehlivosti pro odhdy prmetrů Nejprve se počítjí potřebé derivce pro sestveí symptotické Fisherovy iformčí mtice. kde K je pro 2 l L b 2 = K + [ b x b 2 il x b i l ], 2 cezorováí zprv K = c T P 2, b l T P l cezorováí zlev K = c exp T L b T L b l T L l 2 exp T L b 2 progresiví cezorováí K = T L b exp T L b, c j T j 2. b l T j l j= 2 l L b = K 2 + b l b+ x b i + b b+ x b i l x i, 20

3.2 ODHADY METODOU MAXIMÁLNÍ VĚROHODNOSTI kde K 2 je pro cezorováí zprv K 2 = ct b P b l T P + b l b+, cezorováí zlev K 2 = c exp T L b T b L b+ bl T L l T L b exp T L b progresiví cezorováí K 2 = + c exp 2 T L b T 2b L bl T 2b+ L l exp T, L b 2 b b+ j= c j T b j l T j + b l b+ c j Tj b. j= kde K 3 je pro 2 l L 2 = K 3 + b bb + 2 b+2 x b i, cezorováí zprv K 3 = cbb + T P b, b+2 exp T L cezorováí zlev K 3 = bctl b b TLb b 2b+ b + b2 bb + progresiví cezorováí K 3 = b+2 + exp 2 T L b T b Lb 2b+ exp T L b 2 c j Tj b. j= exp T L b, Asymptotický oboustrý itervl spolehlivosti pro prmetr s koeficietem spolehlivosti α/2 je pro prmetr b je ˆ u α/2 ψ,, ˆ + u α/2 ψ, ˆb u α/2 ψ 2,2, ˆb + u α/2 ψ 2,2, kde u α/2 je α/2 kvtil ormového ormálího rozděleí ψ, je hodot mtice ψ, b v prvím řdku prvím sloupci ψ 2,2 je v druhém řádku druhém sloupci. Mtice ψ, b je urče vzthem ψ, b = 2 l L 2 =ˆ,b=ˆb 2 l L b =ˆ,b=ˆb 2 l L b =ˆ,b=ˆb 2 l L b 2 =ˆ,b=ˆb. 3.2.3 Logritmickoormálí rozděleí Hustot distribučí fukce logritmickoormálího rozděleí o prmetrech µ, γ R, > 0 jsou fx, µ,, γ = 2πx γ exp l x γ µ2, x > γ. 2 2 2

3.2 ODHADY METODOU MAXIMÁLNÍ VĚROHODNOSTI l x γ µ F x, µ,, γ = Φ, kde Φ je distribučí fukce ormového ormálího rozděleí. Z důvodu zjedodušeí uvedu je odvozeí pro progresiví cezorováí. ˆ Progresiví cezorováí Logritmická věrohodostí fukce: l Lx, µ,, γ = l + c j l F T j, j= l x i γ 2 2 l T kde F T j = Φ j = Φ j γµ j = l T jγµ. Věrohodostí rovice: [l x i γ µ] 2 l L µ l L l L γ = x [l 2 i γ µ] + c j Q j = 0, j= = + x [l 3 i γ µ] 2 + c j j Q j = 0, j= = x i γ + l x i γ µ + c j Q j 2 x i γ j= T j γ = 0, kde Q j = φ j Φ j φ je hustot ormového ormálího rozděleí. Vyřešeím této sostvy tří rovic se dostou mximálě věrohodé odhdy prmetrů µ,, γ. ˆ Itervly spolehlivosti pro odhdy prmetrů Při výpočtu prciálích derivcí logritmické věrohodostí fucke byly využity ásledující derivce: dq j d j = Q j Q j j, j µ =, j = j, j γ = T j γ. 22

2 l L µ 2 = 2 + 2 2 l L µ 2 l L 2 = 2 3 4 2 l L γ 2 l L γ 2 = 3.2 ODHADY METODOU MAXIMÁLNÍ VĚROHODNOSTI c j Q j j Q j, j= = 2 l x 3 i γ µ c 2 j Q j j Q j j 2 +, j= l x i γ µ 2 c 2 j Q j j j Q j j 2 + 2, j= = 2 3 x i γ l x i γ µ c j Q j j Q j j 2 +, 2 T j γ 2 l L γ µ = 2 x i γ 2 + 2 x i γ 2 j= l x i γ µ x i γ 2 + 2 j= c j Q j Q j j. T j γ j= c j Q j j + Q j T j γ 2, Asymptotický oboustrý itervl spolehlivosti pro prmetr µ s koeficietem spolehlivosti α/2 je ˆµ u α/2 ψ,, ˆµ + u α/2 ψ,. Pro prmetr je Pro prmetr γ je ˆ u α/2 ψ 2,2, ˆ + u α/2 ψ 2,2. ˆγ u α/2 ψ 3,3, ˆγ + u α/2 ψ 3,3. Opět u α/2 zčí α/2 kvtil ormového ormálího rozděleí ψ, je hodot mtice ψµ,, γ v prvím řdku prvím sloupci, ψ 2,2 je hodot v druhém řádku druhém sloupci ψ 3,3 je ve třetím řádku třetím sloupci. ψµ,,γ= 2 l L µ 2 µ=ˆµ,=ˆ,γ=ˆγ 2 µ µ=ˆµ,=ˆ,γ=ˆγ 2 µ µ=ˆµ,=ˆ,γ=ˆγ 2 l L 2 µ=ˆµ,=ˆ,γ=ˆγ 2 γ µ l L µ=ˆµ,=ˆ,γ=ˆγ 2 γ l L µ=ˆµ,=ˆ,γ=ˆγ 2 µ γ l L µ=ˆµ,=ˆ,γ=ˆγ 2 γ l L µ=ˆµ,=ˆ,γ=ˆγ 2 γ 2 l L µ=ˆµ,=ˆ,γ=ˆγ. 23

4 Rozděleí extrémích hodot Teorie extrémích hodot se zbývá rozděleím mxim respektive miim posloupostí ezávislých stejě rozděleých áhodých veliči. Uvžujme posloupost ezávislých áhodých veliči X,..., X s distribučí fukcí F hustotou f. Nechť M = mx{x,..., X }. Distribučí fukce áhodé veličiy M se dá odvodit ásledově: P M z = P X z,..., X z = P X z P X z = F z. V prxi všk čsto eí rozděleí áhodých veliči zámo. Volí se proto přístup podobém pricipu, jko když se pomocí cetrálí limití věty proximuje rozděleí výběrového průměru ormálím rozděleím. V přípdě, že uvžujeme F M = F, kde vyskyte se problém, že distribučí fukce F M áhodé veličiy M koverguje k distribučí fukci degeerového rozděleí ebo k ulové fukci. lim F M z = lim F z = 0 pro z < z +, z + = ifz : F z = pro z z +. To lze obejít použitím vhodé trsformce áhodé veličiy M. M = M b, kde > 0 b R jsou vhodé poslouposti kostt. Vět 4. Jestliže existuje posloupost kostt > 0 b, pro kterou M b P z Gz pro, kde G je edegeorová distribučí fukce, potom G áleží do jedé z ásledujících tříd I : Gz = exp exp z b, < z < 0, z µ II : Gz = α zb exp, z > µ α exp III : Gz = zb, z < µ z µ pro prmetry > 0, b R v přípdě II III α > 0. Důkz. Viz [4] str. 7. Rozděleí s distribučí fukcí typu I, II III zýváme rozděleí Gumbelov, Fréchetov Weibullov typu. 24

4. MAXIMÁLNĚ VĚROHODNÉ ODHADY Vět 4.2 Jestliže existuje posloupost kostt > 0 b, pro kterou M b P z Gz, pro, kde G je edegeorová distribučí fukce, potom G áleží do třídy zobecěého extrémího rozděleí Dále v textu bude používá zkrtk GEV z glického ázvu Geerlized Extreme Vlue GEV distributio.. Gz = exp + z µ, defiového pro {z : + zµ > 0}, kde < µ <, > 0, < <. Důkz: Důkz této věty plye z důkzu věty 3., jelikož se dá ukázt, že pro = 0 se doste typ I, pro > 0 typ II pro < 0 typ III. pro = 0 Gz = lim exp 0 pro > 0 pro < 0 Gz = exp Gz = exp + zµ = exp exp z µ + = exp z µ + z b = exp 4. Mximálě věrohodé odhdy z µ α, z b α. Jelikož problém odhdu prmetrů extrémího rozděleí typu II III se dá převést odhd prmetrů GEV rozděleí, proto budou uvedey mou odvozeé věrohodostí rovice je pro extrémí rozděleí typu I dále pro GEV rozděleí. 4.. Extrémí rozděleí typu I Mějme áhodý výběr Z,..., Z z extrémího rozděleí typu I o hustotě gz,, b = dgz = exp exp z b exp z b dz = = exp z b exp z b. Logritmická Věrohodostí fukce pro typ I je tvru l Lz,..., z,, b = exp z i b exp z i b = z i b = l exp z i b. 25,

4. MAXIMÁLNĚ VĚROHODNÉ ODHADY Odhdy prmetrů, b se získjí buď mximlizcí logritmické věrohodostí fukce ebo je získáme vyřešeím soustvy rovic l L = 0, l L = 0 pro ezámé, b. b l L l L b = + z 2 i b z 2 i b exp z i b = 0, 4. = exp z i b = 0. 4.2 Z rovice 4. se jedoduchou úprvou získá rovice Úprvou rovice 4.2 dosteme Zlogritmováím rovice 4.4 se obdrží z i b exp z i b exp z i b b = l exp Doszeím tohoto vzthu do rovice 4.3 se získá = z i + l = z i exp z i exp z i z i. exp z i =. 4.3 =. 4.4 z i z i + l exp Odhd prmetru se tedy získá vyřešeím rovice â = z i exp z i â z i. exp ˆb = z i â. 4.5 exp z i Odhd prmetru b se pk získá doszeím hodoty â do vzthu 4.5 â l exp z i. â 4..2 Zobecěé rozděleí extrémích hodot Dále odvozeé vzthy budou plté je pro 0. Odhd pro = 0 se dá provést pomocí odhdu prmetrů extrémího rozděleí typu I. Hustot zobecěého rozděleí extrémích hodot je gz = exp {[ + z µ ] 26 } + z µ.,

4.2 MAXIMÁLNĚ VĚROHODNÉ ODHADY PRO CENZOROVANÉ VÝBĚRY Předpokládejme ezávislé áhodé veličiy Z,..., Z ze zobecěého rozděleí extrémích hodot, kde 0. Logritmická věrohodostí fukce je l Lz, µ,, = l + l + z i µ + z i µ, kde + z iµ > 0, pro i =,...,. Odhdy prmetrů µ,, se získjí buď mximlizcí logritmické věrohodostí fukce z použití optimlizčích techik ebo vyřešeím soustvy rovic l L l L = 0, = 0, l L = 0. µ l L µ l L l L = + + z i µ + z i µ = 0, = + + z 2 i µ + z i µ z 2 i µ + z i µ = 0, = + z i µ + z i µ + l + z i µ 2 + z i µ l + z i µ 2 z i µ + z i µ = 0. Tto soustv jde uprvit tvr 0 = 0 = 0 = + z i µ z i µ + z i µ l + z i µ + + z i µ + + + z i µ, + z i µ, z i µ + z i µ. + z i µ 4.2 Mximálě věrohodé odhdy pro cezorové výběry T část bude využívt zčeí postupů uvedeých v kpitolách 2 3. 27

4.2 MAXIMÁLNĚ VĚROHODNÉ ODHADY PRO CENZOROVANÉ VÝBĚRY 4.2. Extrémí rozděleí typu I Zprv cezorové Uvžujme cezorováí typu I, kde hodoty z,..., z jsou změřey. K cezorováí dojde v čse T p cezorováo je c hodot. Logritmická věrohodostí fukce je c Tpb l Lz,, b = l GT P + l gz i = c l e e l. z i b Odhdy prmetrů, b se získjí buď přímo mximlizcí logritmické věrohodostí fukce ebo vyřešeím soustvy rovic l L = 0, l L = 0 pro ezámé, b. b e z i b l L l L b = c T P b e T P b 2 = c e T e P b e T e P b e T P b e T e P b e T e P b + + z 2 i b z 2 i be z i b = 0 e z i b = 0 Po úprvě dosteme ásledující soustvu rovic. ct P be T P b e e T P b + z i b z i be z i b = 0. ce T P b e e T P b e z i b + = 0. Pro cezorováí typu II se dostou rovice pro, b hrzeím T p z z v uvedeé soustvě rovic. Zlev cezorové Opět odvodíme rovice pro cezorováí typu I pk je jejich úprvou se získjí rovice pro cezorováí typu II. c l Lz,, b = l GT l + l gz i = ce T l b Rovice pro odhd ezámých prmetrů, b jsou z i b e z i b l. l L l L b = c T 2 L be T L b + z 2 i b z 2 i be z i b = 0, = c T e L b + e z i b = 0. 28

4.2 MAXIMÁLNĚ VĚROHODNÉ ODHADY PRO CENZOROVANÉ VÝBĚRY Úprvou prví rovice vyjádřeím b z druhé rovice se doste soustv 0 = ct L be T L b + c b = l T e L + z i b e z i. z i be z i b, Doszeím rovice pro b do prví rovice získáme rovici pro odhd ezámého prmetru â. Získou hodotu â pk dosdíme do vzthu pro b získáme tk odhd ˆb. c 0 = c T L + â l T e L â + z i + â l + z i + â l c ˆb = â l T e Ḽ + c T e L â + c T e L â + e z i â. T L +â l e z i â e z i +â l e z i â e e z i â. c e T Ḽ c e T Ḽ â + e z i â + z i e â â â + Pro cezorováí typu II se dostou rovice pro, b uvžováím uspořádého výběru z c+,..., z N měřeých hodot hrzeím T L z z c+. Progresivě cezorové Logritmická věrohodostí fukce pro typ cezorováí I je l Lz,, b = j= c j l GT j + Soustv rovic pro odhd prmetrů â ˆb je l gz i = c l e e Tpb z i b e z i b l. l L l L b = = j= j= T j b e T j b c j 2 c j T j b e e T j b e e e T j b T j b e e T j b e e + + z 2 i b z 2 i be z i b = 0, e z i b = 0. Po úprvě se doste 0 = 0 = j= c j j= T j be T j b c j T j b e e e T j b T j b e e + z i b z i be z i b e z i b +., 29

4.2 MAXIMÁLNĚ VĚROHODNÉ ODHADY PRO CENZOROVANÉ VÝBĚRY Itervly spolehlivosti pro odhdy prmetrů Nejprve se počítjí potřebé derivce pro sestveí symptotické Fisherovy iformčí mtice. 2 l L 2 = K 2 3 kde K je pro z i b+ 2 z 3 i b exp z i b z 4 i b 2 exp z i b +, 2 K = K = K = cezorováí zprv: 2cT p be Tpb/ 3 e etpb/ ct p b 2 e Tpb/ 4 e etpb/ + ct p b 2 e 2Tpb/ 4 e etpb/ ct p b 2 e 2Tpb/ 4 e 2eTpb/ e etpb/, 2 cezorováí zlev: 2cT L be T Lb/ ct L b 2 e TLb/, 3 4 progresiví cezorováí: 2cj T j be T jb/ c jt j b 2 e T jb/ j= 3 e et j b/ 4 e et j b/ c j T j b 2 e 2T jb/. 4 e 2eT j b/ e et j b/ 2 + c jt j b 2 e 2T jb/ 4 e et j b/ kde K 2 je pro 2 l L b = K 2 2 + 2 exp z i b z 3 i b exp z i b, K 2 = K 2 = K 2 = cezorováí zprv: ce Tpb/ 2 e etpb/ ct p be Tpb/ 3 e etpb/ + ct p be 2Tpb/ 3 e etpb/ ct p be 2Tpb/ 3 e 2eTpb/ e etpb/, 2 cezorováí zlev: cet Lb/ ct L be TLb/, 2 3 progresiví cezorováí: c j e T jb/ j= 2 e et j b/ c jt j be Tjb/ 3 e et j b/ + c jt j be 2Tjb/ 3 e et j b/ c j T j be 2T jb/. 3 e 2eT j b/ e et j b/ 2 2 l L b 2 = K 3 2 30 exp z i b,

kde K 3 je pro K 3 = K 3 = K 3 = 4.2 MAXIMÁLNĚ VĚROHODNÉ ODHADY PRO CENZOROVANÉ VÝBĚRY cezorováí zprv ce 2Tpb/ 2 e etpb/ ce Tpb/ ce 2Tpb/ 2 e etpb/ 2 e 2eTpb/ e etpb/, 2 cezorováí zlev c exp T L b, 2 progresiví cezorováí cj e 2T jb/ j= 2 e et j b/ c je Tjb/ c j e 2T jb/. 2 e et j b/ 2 e 2eT j b/ e et j b/ 2 Asymptotický oboustrý itervl spolehlivosti pro prmetr s koeficietem spolehlivosti α/2 je â u α/2 ψ,, â + u α/2 ψ, pro prmetr b je ˆb u α/2 ψ 2,2, ˆb + u α/2 ψ 2,2, kde u α/2 je α/2 kvtil ormového ormálího rozděleí ψ, je hodot mtice ψ, b v prvím řdku prvím sloupci ψ 2,2 je v druhém řádku druhém sloupci. Mtice ψ, b je urče vzthem ψ, b = 2 l L 2 =â,b=ˆb 2 l L b =â,b=ˆb 2 l L b =â,b=ˆb 2 l L b 2 =â,b=ˆb. 4.2.2 Zobecěé rozděleí extrémích hodot Věrohodostí fukce pro cezorováí typu I je Lz, µ,, = A gz i, kde c GT P pro cezorováí zprv, c A = GT L pro cezorováí zlev, cj kj= GT j pro progresiví cezorováí. Logritmická věrohodostí fukce pro cezorováí typu I je l L = A l + l + z i µ kde + z iµ > 0, pro i =,..., A = c l e + T P µ c + T Lµ kj= c j l e + T j µ 3 + z i µ pro cezorováí zprv, pro cezorováí zlev,, pro progresiví cezorováí.

4.2 MAXIMÁLNĚ VĚROHODNÉ ODHADY PRO CENZOROVANÉ VÝBĚRY Odhdy prmetrů µ,, se dostou mximlizcí logritmické věrohodostí fukce ebo vyřešeím soustvy rovic l L l L = 0, = 0, l L = 0. µ l L µ l L l L = C + + + z i µ + z i µ = 0, = C 2 + + z 2 i µ + z i µ z 2 i µ + z i µ = 0, = C 3 + l + z i µ 2 + z i µ + z i µ + z i µ l + z i µ 2 z i µ + z i µ = 0. Po meších úprvách se doste soustv rovic 0 = C + + z i µ 0 = C 2 + z i µ + z i µ 0 = C 3 + l + z i µ z i µ + z i µ + + + z i µ + + z i µ, + z i µ + z i µ,, kde C, C 2, C 3 jsou pro jedotlivé typy cezorováí ásledující: C = C 2 = C 3 = cezorováí zprv c + T P µ e + T P µ c T 2 P µ c 2, + T P µ e + T P µ + T P µ l, + T P µ e + T P µ T P µ + T P µ, 32

4.2 MAXIMÁLNĚ VĚROHODNÉ ODHADY PRO CENZOROVANÉ VÝBĚRY cezorováí zlev C = c + T L µ, C 2 = c T 2 L µ + T L µ C 3 = c + T L µ l 2, + T L µ + ct L µ + T µ xi, C = C 2 = C 3 = progresiví cezorováí + T jµ c j j= e + T j µ T j µ c j j= c j j=, + T jµ e + T j µ + T jµ e + T j µ l + T j µ, T j µ + T j µ. Itervly spolehlivosti pro odhdy prmetrů Opět počítáme potřebé derivce. kde K je pro 2 l L = K µ 2 + + 2 cezorováí zprv K = c 2 + z i µ 2 + + z i µ + + T P µ 2 cezorováí zlev K = c + + T L µ 2 2, + + T j µ 2 progresiví cezorováí K = 2 l L µ = K 2+ + 3 z i µ j= c j 2 e + T P µ e + T j µ + z i µ 2 + z i µ + 2 + z i µ, e+ e+ 2 2, T P µ + T P µ e + T P µ 2 + 2 T j µ + T jµ e + T j µ + + z i µ 2, 2 + 2. 33

kde K 2 je pro 4.2 MAXIMÁLNĚ VĚROHODNÉ ODHADY PRO CENZOROVANÉ VÝBĚRY cezorováí zprv K 2 = c + T P µ 2 T e+ P µ + T P µ + + T P µ + T P µ e + T P µ cezorováí zlev K 2 = c + T P µ 2 c progresiví cezorováí K 2 = 2 l L 2 j= c j 2 + T j µ Tj µ e+ + T jµ e + T j µ e + T P µ 2 + T P µ 2 = K 3 + 2 2 + z 3 i µ+ z i µ + 4 + 2 z 3 i µ + z i µ kde K 3 je pro cezorováí zprv K 3 = c 3 + 3, 2 + T 3 L µ + T P µ 2, + T j µ + + T jµ 2 2 + T j µ. 2 e + T j µ z i µ 2 + z i µ 2 z i µ 2 + z i µ 2, 2TP µ + T P µ e + T P µ + T P µ 2 + + T P µ e + T P µ 2 P µ 2 + T P µ 2 e + T P µ e + T P µ 2 cezorováí zlev K 3 = 2c T 3 L µ + T L µ + T L µ 2, progresiví cezorováí K 3 = c j 2Tj µ + T jµ j= 3 e + T j µ + j µ 2 + + T jµ 2 2 l L = K 4 + 2 e + T j µ, c 4 + T L µ 2 + T jµ 2 + T j µ 2 e + Tj µ e + T j µ 2 z i µ + z i µ + z 3 i µ 2 + z i µ 2 34.

2 kde K 4 je pro 4.2 MAXIMÁLNĚ VĚROHODNÉ ODHADY PRO CENZOROVANÉ VÝBĚRY z i µ + z i µ [ l + z i µ 2 + z i µ + z ] i µ, K 4 = K 4 = K 4 = cezorováí zprv TP µ l + c + T P µ + T +2 P µ 2 TP µ TP µ + + TP µ 2 + e c e TP µ + TP µ l + T T P µ P µ + 2 TP µ TP µ + + 2 TP µ + + TP µ 2, + e cezorováí zlev c T 2 L µ + T L µ + T L µ, progresiví cezorováí c j j= j= c j e l T j µ + 2 T j µ T j µ + + 2 e l + T L µ 2 T L µ + + T jµ + T j µ + T j µ + T j µ l 2 Tj µ + + e +2 T j µ + 2 T j µ + T j µ T j µ + T j µ + 2. T j µ + 2 l L 2 = K 5 2 3 + 2 + z i µ 3 l + z i µ + 2 2 [ z i µ+ z i µ l + z i µ z i µ + + 2 + z i µ z i µ 2 + z i µ 2 ] 35

4.2 MAXIMÁLNĚ VĚROHODNÉ ODHADY PRO CENZOROVANÉ VÝBĚRY 4 kde K 5 je pro + z i µ [ 2 l + z i µ z i µ z i µ 2 + z i µ 2, + z ] i µ 2 K 5 = + K 5 = cezorováí zprv c l + T P µ T P µ 2 c l + T P µ 3 TP µ 2 T P µ + T P µ + + l TP µ 2 TP µ 2 e + T P µ T P µ + T P µ + + 2 T P µ e + T P µ c T P µ 2 + e + T P µ c e + T P µ l + T P µ T P µ 2 TP µ + T P µ + cezorováí zlev 2c + T L µ T 3 P µ l + c [ + T L µ 2 l + T L µ 2 l + T L µ 2c + T L µ 2 l TP µ 2 TP µ e + T P µ T P µ TP µ + + + T P µ + TP µ + + 2, + T L µ T L µ, T L µ ] 36

4.2 MAXIMÁLNĚ VĚROHODNÉ ODHADY PRO CENZOROVANÉ VÝBĚRY K 5 = + progresiví cezorováí c j l + T l jµ T j µ T j µ + j= 2 c j l + T jµ j= j= 3 Tj µ 2 T j µ T jµ + T j µ + 2 T j µ + 2 e + T j µ + T j µ e + T j µ c j T j µ 2 + 2 T j µ + e + T j µ T j µ T j µ + + j= c j e + T j µ l + T jµ 2 Tj µ l T j µ + T j µ T j µ + 2 T j µ + + e + T j µ T j µ + T j µ + 2. 2 l L µ = K 6 + z i µ + + + z i µ + z [ i µ 2 l + z i µ z i µ + z ] i µ + z i µ + + z i µ 2 2 + z 2 i µ + z i µ 2, kde K 6 je pro K 6 = cezorováí zprv c l T P µ + T P µ+ TP µ TP µ 2 e + T P µ 2 TP µ c e + T P µ 2 TP µ c T P µ + 2 T P µ + l T P µ + + T P µ e + T P µ + + T P µ+ TP µ + e + T P µ 2, 37

4.2 MAXIMÁLNĚ VĚROHODNÉ ODHADY PRO CENZOROVANÉ VÝBĚRY K 6 = cezorováí zlev c 2 + T j µ l + T j µ + c + T L µ + T j µ 2 2, K 6 = progresiví cezorováí c j l T j µ + Tjµ+ T j µ Tj µ j= 2 e + T j µ j= j= 2 Tj µ c j e + T j µ 2 Tj µ c j T j µ + 2 T j µ + l T j µ + + T j µ e + T j µ + Tjµ+ T j µ + + e + T j µ 2. Asymptotický oboustrý itervl spolehlivosti pro prmetr µ s koeficietem spolehlivosti α/2 je ˆµ u α/2 ψ,, ˆµ + u α/2 ψ,. Pro prmetr je Pro prmetr je ˆ u α/2 ψ 2,2, ˆ + u α/2 ψ 2,2. ˆ u α/2 ψ 3,3, ˆ + u α/2 ψ 3,3. Opět u α/2 zčí α/2 kvtil ormového ormálího rozděleí ψ, je hodot mtice ψµ,, v prvím řdku prvím sloupci, ψ 2,2 je hodot v druhém řádku druhém sloupci ψ 3,3 je ve třetím řádku třetím sloupci. ψµ,, = 2 µ 2 l L µ=ˆµ,=ˆ,=ˆ 2 µ l L µ=ˆµ,=ˆ,=ˆ 2 µ l L µ=ˆµ,=ˆ,=ˆ 2 µ l L µ=ˆµ,=ˆ,=ˆ 2 2 l L µ=ˆµ,=ˆ,=ˆ 2 l L µ=ˆµ,=ˆ,=ˆ 2 µ l L µ=ˆµ,=ˆ,=ˆ 2 l L µ=ˆµ,=ˆ,=ˆ 2 2 l L µ=ˆµ,=ˆ,=ˆ. 38

5 Simulčí studie 5. Úvod Následující kpitol popisuje kostrukci simulcí, jejichž výstupy jsou ve formě obrázků, které zázorňují závislost odhdu prmetru počtu cezorových hodot. Z těchto obrázků jsou vyvovozey ptřičé závěry o chováí odhdů. V simulčí studii budou studováy odhdy prmetrů expoeciálího, Weibullov, logritmicko ormálího rozděleí rozděleí extrémích hodot. Odhdy jsou provedey pomocí metody mximálí věrohodosti to z použití progrmu MATLAB 7..0. V mtlbu je využito fukce mle.m, která slouží k výpočtům odhdů pomocí metody mximálí věrohodosti. Jelikož tto fukce eumožňuje výpočet odhdů pro jié typy cezorováí ež zprv též eumí počítt odhdy pro cezorové zobecěé extrémí rozděleí, je pro účel této práce setroje fukce mmv.m, která tyto odhdy počítá. Tto fukce využívá optimlizčích fukcí v mtlbu. 5.2 Simulce pomocí fukce mle Při simulcích z pomocí mtlbovské fukce mle.m bude sledová závislost odhdu prmetrů rozděleí cezorováí zprv pro rozděleí expoeciálí, Weibullovo, logritmicko ormálí extrémí typu I. K vytvořeí simulcí byl vytvoře fukce simcezodhdu.m: Vstupy této fukce jsou: simcezodhdutyprozdelei,prmetr,m,n,lph. ˆ typrozdelei: Volb rozděleí prvděpodobosti. Možosti jsou: expoecili, weibullovo, ormli, logormli, gmm, ev. ˆ prmetri: Vektor prmetrů zvoleého rozděleí. ˆ M: Počet opkováí simulce. Projeví se tím, že vykresleý bodový odhd je průměrem M odhdů získých z cezorového výběru o původím rozshu N. ˆ N: Rozsh ecezorového výběru. ˆ lph: lph 0,. Hodot lph je koeficiet spolehlivosti. Vzorové voláí této fukce může vypdt ásledově: simcezodhdu weibullovo,[ 0],000,00,0.05. Pro ásledující obrázky jejich popis bude pltit ásledující: V přípdě M = jsou modrými křížky vykresley bodové odhdy prmetrů z rozděleí o původím rozshu N při dém procetu cezorováí. Zeleě je vyzče skutečá hodot prmetru dého rozděleí. Červeě jsou vyzčey itervlové odhdy dého prmetru, přičemž 39