MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme oznčení A = ( ), i =, m, j =, n. Řádky, sloupce mtice, řádkové vektory, sloupcové vektory názorné pojmy. Hlvní digonál prvky typu ii. Příkld: A = Určete: Typ mtice, prvek, zpište prvky mtice A rovn nule, zpište druhý řádek třetí sloupec mtice A. Zpište první řádkový druhý sloupcový vektor mtice A. Npište prvky hlvní digonály.
Mtice A, B typu m n se rovnjí, (A = B), právě když pltí: i =,, m, j =,.., n : = b. (Dvě mtice se rovnjí, pokud jsou stejného typu jejich prvky n odpovídjících si místech jsou si rovny) Mtici A nzýváme nulovou (A = O), právě když pltí i =,, m, j =,.., n : =. (Nulová mtice má jko své prvky smé nuly) m n tk, že změníme Mtice, která vznikne z mtice A typu řádky z sloupce, přičemž zchováme jejich pořdí, se nzývá T mtice trnsponovná k mtici A (znčí se A ). Trnsponovná mtice je typu n m. T T T Pltí A ( ji ) ji =, j =,, n, i =, m =. Příkld:.Určete trnsponovnou mtici k mtici A: A = 7 9 7 8.
Hodnost mtice Hodnost mtice A h(a) je číslo, které se rovná mximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků mtice A. Příkld: Určete hodnost mtice A: A =. Určení hodnosti mtice:. Trojúhelníková mtice: Mtice typu m n se nzývá trojúhelníková, když m n pro i =,, m pltí = pro j < i. ii To znmená, že trojúhelníková mtice (znčíme A ) má n hlvní digonále nenulové prvky pod hlvní digonálou smé nuly. A = m m mm n n mn.. Převod nenulové mtice n trojúhelníkovou mtici úprvy, které nemění hodnost mtice: (u) záměn pořdí řádků mtice, (u) záměn pořdí sloupců mtice, (u) násobení libovolného řádku mtice nenulovým reálným číslem, (u) přičtení lineární kombince osttních řádků k libovolnému řádku mtice, (u) vynechání řádku mtice, který je lineární kombincí osttních řádků (tedy i řádku nulového).
. Je-li mtice v trojúhelníkovém tvru, pk její hodnost se rovná počtu jejích řádků. Příkldy. Určete hodnost mtic: ) b) 7 6 c) d)
Využití hodnosti mtice k rozhodnutí o lineární závislosti či nezávislosti vektorů n Je dáno m ritmetických vektorů z R. Tyto vektory zpíšeme do řádků mtice, vznikne mtice typu m n, kterou oznčíme A. Pk pltí: h( A) = m vektory jsou lineárně nezávislé, h ( A) < m vektory jsou lineárně závislé. Příkldy:. Rozhodněte o lineární závislosti nezávislosti vektorů = (,,, -, ), b = (,,, -, ), c = (, -,,, ). Hodnost trnsponovné mtice T Pltí: h ( A) = h( A ) Poznámk: Při určování hodnosti mtice můžeme prcovt jk s mticí dnou, tk s mticí trnsponovnou, podle toho, co se zdá početně výhodnější. Příkldy:. Rozhodněte, zd následující vektory tvoří bázi R : u = (,,, ), v = (,,, ), w = (-, -, -, -), z = (,,, ).
Operce s mticemi, inverzní mtice Nechť A ( ) B = ( ) =, jsou mtice typu n b m. Součet mtic: A + B = ( x ), kde x = + b (Součet mtic je definován pouze pro mtice stejného typu) Reálný násobek mtice: c. A = ( x ), kde x = c. (Společný činitel všech prvků mtice je možno vytknout před mtici) Čtvercová mtice řádu n: mtice typu m n, kde m = n. Jednotková mtice: čtvercová mtice J řádu n, kde j ik = pro i = k, j ik = pro i k. (jednotková mtice má n hlvní digonále všechny prvky rovny, mimo ni. Součin mtic: A je mtice typu pořdí) typu n p. ( ), kde x = A B = x n k = ik b kj m n, B je mtice A.B (záleží n (i =,, m, j =,, p) (Prvek x je rovný sklárnímu součinu i tého řádku mtice A j tého sloupce mtice B.
Příkld:. Jsou dány mtice A =, B B.A,B.C, C.B. =, C = 7. Vypočtěte součiny A.B, (Poznámk: Násobení mtic není komuttivní, proto rozlišujeme násobení mtice A mticí B zprv zlev.). Vypočtěte součin mtic A.B B.A, jestliže ) A =, B = Booleovské násobení mtic (týká se npříkld mtic sousednosti (djcency mtrix) relcí) Booleovské operce:. +
Příkldy:. Booleovsky vynásobte mtice: ) b, Inverzní mtice Nechť A je čtvercová mtice. Mtici X, pro kterou pltí A.X = J nzýváme inverzní mticí k mtici A. Oznčení: Inverzní mtici k mtici A oznčujeme čtvercová mtice stejného řádu, jko A. A. Tto mtice je Návod n hledání inverzní mtice: Čtvercovou mtici A rozšíříme o sloupce jednotkové mtice J stejného řádu n (obě mtice oddělíme svislou črou). Tuto mtici (typu n n ) uprvíme řádkovými úprvmi tk, by n místě mtice A vznikl jednotková mtice J. Pk n místě původní jednotkové mtice (nprvo od svislé čáry) je inverzní mtice Schém: [AJ ] ~ ~ [J Příkldy: A ].. Vypočtěte inverzní mtici k mtici ) A =, b) B = Správnost výpočtu ověřte vynásobením mtic. A.