Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové k přípravě na zkoušku. Mohou se v něm vyskytovat některé chyby; autor ocení, když jej na chyby a nejasnosti upozorníte na emailu jiri.lipovskyzavináč uhk.cz. 2 Teorie Budeme se zabývat rovnicí y = f()g(y) na otevřené množině Ω = (a, b) (c, d). Lze snadno nahlédnout, že tato rovnice má triviální řešení y 0 = konst. takové, že g(y 0 ) = 0. Vyloučíme-li toto řešení, lze psát dy d = f()g(y), dy = f() d, g(y) g(y) dy = f() d. Obě proměnné jsme separovali, na jednu stranu rovnice jsme dali vše s, na druhou stranu rovnice vše s y, formálně včetně diferenciálů. Poté jsme obě strany rovnice zintegrovali. Vyřešením integrálů můžeme nalézt řešení diferenciální rovnice. 3 Příklady Příklad 3.. Najděte řešení rovnice y = y cotg Separujeme proměnné a rovnici integrujeme. dy cos y = sin d. Po integraci dostáváme ln y = ln sin + ln C.
Nesmíme zapomenout na integrační konstantu, kterou jsme zapsali ve tvaru ln C. Po odlogaritmování dostáváme y() = C sin. V argumentu logaritmů píšeme absolutní hodnotu, aby definiční obor celého výrazu byl stejný před integrací i po ní. Příklad 3.2. Najděte řešení rovnice ( )y + y 2 = 0 s počáteční podmínkou y(2) =. Rovnici si upravíme do tvaru což vede k Po integraci dostáváme ( ) dy d = y2, dy y 2 = d. y = ln ( ) + C y() = ln ( ) C. Absolutní hodnotu psát nemusíme, protože nás kvůli počáteční podmínce zajímá jen >. Nyní dosadíme počáteční podmínku, z čehož zjistíme konstantu C. Hledané řešení tedy je = ln C y() = C =. ln ( ). Příklad 3.3. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice y = tg tg y Pokračujeme obdobně jako v předchozích příkladech. Po integrování máme dy cos y sin = tg tg y dy = d sin y cos d. ln(sin y) = ln cos + ln C sin y = C cos. C cos. Odsud y() = arcsin Další příklady uvedeme už bez komentáře. Příklad 3.4. Najděte řešení rovnice y sin = y cos. 2
dy cos y = sin d, ln y = ln sin + ln C, y = C sin. Příklad 3.5. Najděte řešení rovnice 2 y y 2 =. dy + y 2 = 2 d, arctg = + C, ( y = tg C ). Příklad 3.6. Najděte řešení rovnice 2yy = + 2. y dy = y 2 ( 2 + ) d, 2 = + ln + C, 2 y = ± + 2 ln + C. Příklad 3.7. Řešte rovnici (y 2 + ) + (y 2 y)y = 0. 2 d = y y 2 + dy, ln 2 = ln y 2 + + ln C + y 2 = C( 2 ), y = ± C( 2 ). Příklad 3.8. Řešte rovnici yy = 2. y dy = y 2 ( ) d, 2 = ln 2 2 + C, y = ± 2 ln 2 + C. 3
Příklad 3.9. Řešte rovnici y + ( + )y = 0. y dy = + d = Příklad 3.0. Řešte rovnici y 2 + = yy. d + + d, ln y = + ln + + ln C, y y2 + dy = d, y2 + = ln + C, y = ± (C + ln ) 2. y = C( + )e. 4 Rovnice typu y = f(a + by + c) Tato rovnice lze převést na rovnici se separovanými proměnnými substitucí z() = a + by + c. Odsud dostáváme y = z a b. Dosadíme-li tento výraz zpět do původní rovnice, dostaneme rovnici z a b kterou vyřešíme integrací. = f(z) Příklad 4.. Vyřešte rovnici y = y 3 + 5 a + bf(z) = d, Zřejmě použijeme f(z) = z = y 3+5, odsud z = y 3, tj. z = z 3. z 3 = d, ln z 3 = + ln C, z() = C e + 3, y() = C e + 3 2. Příklad 4.2. Vyřešte rovnici y = ( y) 2 Zvolíme z = y, z = y, f(z) = z 2. Po substituci obdržíme z = z 2, + z 2 = d, arctg z = + C, z = tg ( + C), y() = tg ( + C). 4
5 Homogenní rovnice Jako homogenní rovnici označíme rovnici ve tvaru y = f ( y ). Řeší se substitucí z = y, tj. y = z, y = z + z, čímž se převede na separovatelnou rovnici. Příklad 5.. Vyřešte rovnici (2y 2 )y = 3y 2 2y Rovnici si přepíšeme do tvaru y = 3y2 2y 2y 2 = 3 ( y 2 ) 2 y 2 y, je tedy homogenní. Dosazením substitučních vztahů máme z + z = 3z2 2z 2z, d = z2 z 2z, 2z d z 2 z =, ln z 2 z = ln + ln C, z 2 z = C, y 2 y C 3 = 0. Řešení jsme tedy našli v eplicitním tvaru. Příklad 5.2. Řešte rovnici y y 2 y 2 = 0 s počáteční podmínkou y() = 2. Rovnici upravíme na tvar y = y + ( y ) )2. Po zavedení substituce a separace proměnných dostáváme z 2 = d, arcsin z = ln + C, y = sin (ln + C). Nyní vypočítáme konstantu z počátečních podmínek. Výsledné řešení tedy je 2 = sin C C = π 6. ( y() = sin ln + π ). 6 5
6 Použitá a doporučená literatura. Kopáček Jiří, Příklady z matematiky pro fyziky II., Matfyzpress, Praha, 2003, kapitola 3.9 2. http://mathonline.fme.vutbr.cz/download.asp?id file=37 3. http://mat.fsv.cvut.cz/sibrava/vyuka/funkce.pdf (od str. 2) 4. Kopáček Jiří, Příklady z matematiky pro fyziky II., Matfyzpress, Praha, 2003, kapitoly.2 a.3 5. M. Jarešová, B. Vybíral: Diferenciální rovnice, http://fyzikalniolympiada.cz/tety/matematika/difro.pdf 6. ftp://math.feld.cvut.cz/pub/kalous/laa/prednasky/difrov.pdf 7. http://math.feld.cvut.cz/hekrdla/teaching/x0ma2/prednasky/odr.pdf 8. http://home.zcu.cz/~tomiczek/data/sbirkaprikladukma2.pdf 9. http://www.karlin.mff.cuni.cz/~barta/pcodr/kapitola-separaceprom/separace.pdf 0. http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/kapitoly/kapitola 8.pdf 6