Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných -6- KVADRATICKÉ FORMY PŘÍKLAD Naleněte funkční předpis kvadratické formy F(, ) adané maticí A 4 Pro obecnou kvadratickou formu dvou proměnných platí ij i j i j F (, ) A A A A A A A A, kde jsme v poslední rovnosti využili symetrie matice A, Aij A ji V našem případě je A, A 4 a A A Po dosaení do obecného předpisu proto máme F(, ) 4 Pokud bychom dali přednost onačení proměnných symboly x a y, psali bychom F( x, y) x 4y xy PŘÍKLAD Naleněte funkční předpis kvadratické formy F(,, ) adané maticí 0 A 0 Postup je stejný jako v příkladu, poue obecný vorec bude poněkud delší Obecně má součet na pravé straně vtahu definující kvadratickou formu n proměnných celkem n členů (vhledem k symetrii matice A je možno počet sčítanců nakonec snížit na n(n)/), pro formy tří proměnných tedy máme co do činění se součty o devíti (šesti) sčítancích: (,, ) ij i j i j F A A A A A A A A A A A A A A A A V našem případě, kdy je A, A, A, A A 0, A A a A A, tedy platí F(,, ),
Kvadratické formy -6 - nebo též F( x, y, ) x y x y PŘÍKLAD Určete (symetrickou) matici A kvadratické formy F(,, ) 6 Podle vorců uvedených v příkladech a můžeme ajisté be potíží formulovat návod, jak matici A konstruovat ve cela obecném případě: prvky na diagonále matice A odpovídají číselným koeficientům stojícím ve vyjádření formy u druhých mocnin neávislých proměnných, přesněji A ii je rovno koeficientu u i, mimodiagonální prvky A ij jsou rovny vždy polovině koeficientů stojících u smíšených součinů i j Pro kvadratickou formu e adání tohoto příkladu proto platí 0, protože se nulový),, protože koeficient u, protože koeficient u v adání F vůbec nevyskytuje (neboli koeficient u něj stojící je je roven, je roven -, A A A 0, protože se smíšené součiny a v sumě adávající F nevyskytují, A (polovina koeficientu stojícího u smíšeného součinu ) Vše tedy můžeme shrnout do přehledného tvaru 0 0 A 0 0 0 CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM - Naleněte funkční tvary kvadratických forem adaných těmito maticemi A, b) 4 A, c) 4 0 0 A 0, d) 0 0 0 0 A 0 0 0 Naleněte matice adaných kvadratických forem F(, ), b) c) F(,, ), d) F( xy, ) x xy y, F( xy,, ) x y 4x y
Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných -6- PŘÍKLAD 4 Naleněte vlastní čísla matice A 4 Vlastní čísla matice A hledáme jako řešení rovnice det( A I ) 0, kde I je jednotková matice a symbolem det onačujeme determinant vepsané matice V našem případě máme tedy řešit rovnici det 0 4 Determinant matice x počítáme obvyklým působem det ( )(4 ) ( )( ) 6 7 4 Problém naleení vlastních čísel přecháí takto na úlohu řešit kvadratickou rovnici pro jejíž kořeny platí 6 7 0, 6± 6 4 7 6± 8, ± Vlastní čísla matice A tedy jsou a PŘÍKLAD 5 Naleněte vlastní čísla matice 0 0 A 0 0 0 Výpočet je obdobný jako v předcháejícím příkladu: vlastní čísla hledáme pomocí rovnice 0 det 0, 0 přičemž determinant počítáme tentokrát podle Sarrusova pravidla vi Breviář, Apendix 4, část A4, oddíl Speciální matice vi Breviář, Apendix 4, část A4 Determinanty vi Breviář, Apendix 4, část A4 Determinanty, věta o výpočtu determinantů
Kvadratické formy -64-0 det ( )( )( ) 0 0 0( )0 ( ) ( ) 0 Vlastní čísla musí tedy splňovat rovnici 0, která má následující řešení 0, a CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 4 A 5 Naleněte vlastní čísla adaných symetrických matic A, b) 4 A, c) 4 0 0 A 0, d) 0 0 0 0 A 0 0 0 PŘÍKLAD 6 Vyšetřete definitnost kvadratické formy F(,, ) O definitnosti kvadratické formy rohodujeme např na ákladě nalosti namének vlastních čísel jí odpovídající symetrické matice 4 Postup při vyšetřování definitnosti adané formy můžeme shrnout do následujících bodů naleneme příslušnou symetrickou matici, určíme její vlastní čísla, podle jejich namének rohodneme Ad Nalét pro adanou kvadratickou formu jí odpovídající symetrickou matici jsme se naučili v příkladu Postupem tam uvedeným jistíme, že v našem případě platí 0 0 A 0 0 0 Ad Vlastní čísla této matice jsme již ale určili v příkladu 5, můžeme tedy psát 0, a Ad Protože jedno vlastních čísel je kladné a jedno áporné, je nutně adaná kvadratická forma indefinitní 4 4 vi Breviář, kap, část 5, oddíl Kvadratické formy
Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných -65- CVIČENÍ K PŘÍKLADU 6 Zjistěte, da je uvedená kvadratická forma poitivně definitní, negativně definitní, indefinitní, nebo nepatří ani do jedné uvedených kategorií c) F(, ), b) F( xy, ) xy, F(,, ), d) F( xy,, ) x y 4x y Výsledky: CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM - F (, ), b) ( ) c) F (,, ) 4, d) ( ) F, 8, F,,, b), c) 0 0 0, d) 0 0 0 0 0 CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 4 A 5, ; 7 7 b), c),, ; d) 0,, CVIČENÍ K PŘÍKLADU 6 Poitivně definitní, 5 5, 680; 0, 89 b) indefinitní,, c) indefinitní, 5 5,,, d) indefinitní,, 79;, 79,