Popis poloh těles 1 2 Robotik Popis poloh těles 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Vldimír Smutný Centrum strojového vnímání České vsoké učení technické v Prze 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Bod, vektor, geometrie, lgebr 1 2 A 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Bod, vektor, geometrie, lgebr 1 2 v 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Bod, vektor, geometrie, lgebr A v B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Bod, vektor, geometrie, lgebr A v B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 O 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Bod, vektor, geometrie, lgebr 1 2 A 3 4 5 6 7 8 z 9 10 11 12 O 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Bod, vektor, geometrie, lgebr 1 2 A 3 4 z 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 O 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Bod, vektor, geometrie, lgebr A v B 1 2 3 4 5 6 7 8 z b 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 O 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Technická poznámk C 1 2 3 4 5 6 B u β α γ 7 8 9 10 11 12 A v α 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 O 25 26 27 28 29 30
Technická poznámk II C 1 2 3 4 u 5 6 w δ β α γ 7 8 9 10 11 12 A α v B 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 O 25 26 27 28 29 30
Těleso v souřdnicovém sstému 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Popis poloh těles Bod v 3D prostoru popsán třemi souřdnicemi. Tuhé těleso v 3D prostoru popsáno šesti souřdnicemi: 3 souřdnice referenčního bodu t00 = 0 0, z 0 orientce může být popsán jedním ze způsobů: souřdnicemi vektorů spojených s tělesem (n, t, b), Eulerovými úhl (φ, θ, ψ), rotční mticí R, osou úhlem, kvternionem, rotčním vektorem. Souřdnice referenčního bodu rotční mtice mohou být kombinován do trnsformční mtice. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Os úhel, kvternion rotční vektor 13/30 s z S p r 1 P 1 θ r 2 P 2 Eulerov vět o rotci říká, že kždá rotce ve 3 D lze reprezentovt jko rotce okolo určité os s o určitý úhel θ. Tuto dvojici (s, θ) nzýváme os úhel. Kvternion popisují rotci pomocí poloh os rotce s úhlu otočení θ tkto: q = (cos(θ/2), sin(θ/2)s T ) = (cos(θ/2), sin(θ/2)s, sin(θ/2)s, sin(θ/2)s z ) O Rotční vektor vužívá skutečnosti, že směrový vektor s definující osu rotce je jednotkový má ted jen dv stupně volnosti. Rotci ted můžeme vjádřit vektorem délk tři: v = (θs).
Rodriguesův vzorec pro rotci 14/30 S p s Rodriguesův vzorec pro rotci vektoru: θ r 2 = r 1 cos θ + (s r 1 ) sin θ + s(s r 1 )(1 cos θ) z r 1 P 1 r 2 P 2 Rotční mtice z reprezentce os-úhel: R = I cos θ + [s] sin θ + ss T (1 cos θ) O kde [s] je skew smmetric (ntismetrická) mtice: [s] = 0 s z s s z 0 s s s 0
Definice Eulerových úhlů 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 precese 2 nutce 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 3 rotce 27 28 29 30
Rottion Mtri Resulting from Euler Angles Eulerov úhl podle definice v těchto přednáškách (Asd, Slotine): cos ϕ cos ψ cos ϑ sin ϕ sin ψ cos ϑ cos ψ sin ϕ cos ϕ sin ψ sin ϑ sin ϕ cos ψ sin ϕ + cos ϑ cos ϕ sin ψ cos ϑ cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ cos ϕ sin ϑ sin ϑ sin ψ cos ψ sin ϑ cos ϑ 16/30 Rotční mtice definován úhl Yw, Pitch, Roll použitými npříkld v robotu CRS, ted rotujeme postupně okolo z,, : cos α cos β cos α sin β sin γ cos γ sin α cos α cos γ sin β + sin α sin γ cos β sin α cos α cos γ + sin α sin β sin γ cos γ sin α sin β cos α sin γ sin β cos β sin γ cos β cos γ
Jiné sstém popisu orientce třemi úhl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Srovnání popisů rotce Sstém Smbol Ekvivlent Pr. Podmínk 1 2 Mtice rotce R 9 orthonormální 3 4 Vektor os n, t, b R 9 vektor jednotkové, nvzájem kolmé Eulerov úhl φ, θ, ψ w, pitch, roll,... 3 5 6 Os, úhel s, θ 4 jednotkový vektor 7 8 Kvternion q os, úhel 4 jednotkový vektor Vektor rotce v os, úhel 3 9 10 Sstém Výhod Nevýhod Užíván R sndné výpočt poloh redundntní Mtlb toolbo n, t, b srozumitelný redundntní φ, θ, ψ neredundntní složitá topologie Mitsubishi Stubli, CRS s, θ srozumitelný redundntní sndná interpolce q sndná interpolce redundntní ABB v dobrá topologie odhdování rotce neredundntní 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Trnsformce souřdnic z 0 z 1 P 1 2 3 4 5 6 p 0 t 0 b n p 1 O u A t w v B 1 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 O 0 1 17 18 19 20 21 22 0 0 23 24 25 26 27 28 29 30
Homogenní souřdnice z 1 P e P h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Posloupnost trnsformcí souřdnic P 1 2 3 4 5 6 z O b t 1 p p z b p O b b b t z 2 c c O c c c 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Psivní versus ktivní trnsformce Psivní 1 2 3 4 P 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Psivní versus ktivní trnsformce Psivní P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Psivní versus ktivní trnsformce Psivní b P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b 13 14 11 12 γ 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Psivní versus ktivní trnsformce Psivní 1 2 3 4 b P 5 6 7 8 9 10 b b 11 12 13 14 b 15 16 17 18 γ = R b (γ) b 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Psivní versus ktivní trnsformce - Aktivní 1 2 3 4 P 5 6 7 8 P b 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Psivní versus ktivní trnsformce - Aktivní 1 2 3 4 P 5 6 7 8 P b 11 12 9 10 13 14 γ 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Psivní versus ktivní trnsformce - Aktivní P 1 2 3 4 5 6 7 8 P b 11 12 9 10 γ 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Psivní versus ktivní trnsformce - Aktivní P 1 2 3 4 5 6 7 8 b P b 9 10 11 12 13 14 γ 15 16 17 18 19 20 b = R b ( γ) = R b (γ) 1 = R b (γ) b 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Psivní versus ktivní trnsformce - Srovnání Psivní Aktivní. 1 2 3 4 b P P 5 6 7 8 b P b 9 10 b b 11 12 γ b γ b 13 14 15 16 17 18 = R b (γ) b b = R b ( γ) = R b (γ) 1 = R b (γ) 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
A
v
A v B
A v B b O
A z O
A z O
A v B z b O
O C B u β α γ A v α
O C u w δ β α γ A α v B
S p s θ z r 1 P 1 r 2 P 2 O
S p s θ z r 1 P 1 r 2 P 2 O
z 0 z 1 P p 0 t 0 b n p 1 O u A t w v B 1 1 O 0 1 0 0
z P h 1 P e
P z b p p z b p b c c O t 1 O b b t z 2 c O c c
P
P
b P b γ
b P b b b γ
P P b
P P b γ
P P b γ
P b P b γ b
b P P b P b b b b γ γ b