Nechť je prostá unkce v pořád klesá) a zobrazuje D na H deinovaná vztahem: D = a) b) Gra unkcí a H, H = D INVERZNÍ FUNKCE D (tj. v celém svém deiničním oboru pořád roste nebo. Pak k této unkci eistuje unkce inverzní. Odtud dále plne: jsou osově souměrné podle přímk =. Příklad Je dána unkce : ; R. Najdi. Řešení: Funkce : ; R je lineární, jejím graem je přímka. Na celém svém deiničním oboru je rostoucí, eistuje k ní ted unkce inverzní. Její předpis najdu snadno, kdž z předpisu unkce vjádřím a poté zaměním za. Nní zaměním za. Zbývá určit D Obor hodnot unkce : ; R. Vjdu přitom ze vztahu a). H = R. Platí ted D = H = R. Na závěr nechám MATMAT vkreslit obě unkce do jednoho obrázku spolu s přímkou =. - = Mají-li gra unkcí a nějaký společný bod, pak jedině na přímce =. To plne ze samotné deinice osové souměrnosti.
Příklad Je dána unkce : ; ;. Najdi. Řešení: Funkce : ; ; je lineární, jejím graem je polopřímka. Na celém svém deiničním oboru je klesající. Funkce ted eistuje. Zbývá určit (mínus jednička se zobrazí do trojk) (nekonečno se zobrazí do mínus nekonečna) Z toho plne ; H = : ; ; D (a). D. Nejprve najdu obor hodnot H. - = Příklad Je dána unkce : 4; R. Najdi. Řešení: Funkce : 4; R je kvadratická, jejím graem je konvení parabola. Není ted prostá, takže k ní neeistuje unkce inverzní. Hotovo.
Příklad 4 Je dána unkce : 4; ;. Najdi. Řešení: Funkce : 4; ; je kvadratická, jejím graem je část konvení parabol. Nejprve je třeba ověřit, že unkce je na celém svém deiničním oboru prostá. Vrchol parabol o souřadnicích [ 0 ; 0 ] lze snadno spočítat pomocí známých vzorců, já ale opráším své znalosti derivací a vpočítám první derivaci unkce. 4 Nní první derivaci položím rovnu nule hledám lokální etrém unkce. Mrkni na pojednání PRŮBĚH FUNKCE, je-li třeba. Lokální etrém se nachází ve vrcholu parabol (a je to minimum), takže za rovnou vlepím inde 0. 0 4 = 0 0 = 4 Jak je vidět, vrchol parabol, resp. jeho -ová souřadnice, nepatří do intervalu ;. To znamená, že unkce je na celém svém deiničním oboru klesající a eistuje k ní unkce inverzní. 4 Z této rovnice musím vjádřit neznámou. Vezmu to přes diskroš. 4 0 a = 0,5 ; b = 4; c = D 6 4 0,5 6 D 6 No nádhera! 4 6 Zaměním za., 4 6 Tak a co teď? Který předpis si mám vbrat? Pomůžu si vztahem a)., D = ; = H Jak vidno, unkce nabývá kladných i záporných hodnot. To unkce 4 6 může jen stěží, takže je ze hr. Zbývá určit D. lim 4 lim 4 6 H 6; = D : 4 6 ; 6; Zbývá obrázek.
Příklad 5 Je dána unkce : e 4. Najdi. Řešení: Funkce nemá uveden deiniční obor. Najdu ted maimální interval, na kterém je deinovaná (a prostá) tento interval budu považovat za D. Pod sudou odmocninou nemůže být záporné číslo. Takže + 4 0, z čehož plne 4;. 4 Eponent se s rostoucím zvětšuje. Tím pádem se s rostoucím zvětšuje i e a ted 4 4 i výraz e. Funkce : e je tudíž rostoucí pro 4; a eistuje k ní unkce inverzní. 4 e Odečtu dvojku a vdělím třemi. 4 e Logaritmuju přirozeným logaritmem. 4 ln ln e 4 ln e 4 Umocním na druhou a odečtu čtřku. ln 4 Zaměním za. ln 4 To b blo. Zbývá určit D. Opětovně na tu půjdu přes H.
D 4; 44 4 e 5 (mínus čtřka se zobrazí do pětk) 4 lim e (nekonečno se zobrazí na nekonečno) Z toho plne H D 5; : ln 4; 5; Je-li unkce rostoucí, pak je rostoucí i unkce. Je-li unkce klesající, pak je klesající i unkce. Příklad 6 9 Je dána unkce : ln. Urči maimální interval, na kterém je unkce klesající. Dále na tomto intervalu najdi. 9 Řešení: Nejprve určím, pro která má výraz ln smsl. Lomený výraz řešit netřeba, ve jmenovateli zlomku nebude nula, ani kdb voda tekla do kopce. Zbývá logaritmus. Jelikož dole ve zlomku je vžd číslo kladné, musí být nahoře ve zlomku také číslo kladné. ;. No, čekal jsem to horší. Z toho po jednoduchých úvahách plne Teď přikročím k tomu maimálnímu intervalu. Nejdříve najdu derivaci unkce a pak ji položím rovnu nule (mrkni na pojednání DERIVACE SLOŽENÉ FUNKCE, je-li třeba).
9 = 9 9 6 8 = 9 4 0 pro = 0. Dostal jsem bod podezřelý z lokálního etrému. Vlastně je tam etrém na 00%, jelikož unkce je sudá a tudíž osově souměrná podle os. Nní všetřím průběh unkce na intervalech ; 0 a 0 ;. Mrkni na pojednání PRŮBĚH FUNKCE, je-li třeba. 4 > 0 Na intervalu ; 0 je unkce rostoucí. Hledaný maimální interval, na kterém je unkce klesající a který budu od teďka považovat za D, je proto interval 0 ;. Fajn, to b blo. Teď všpekuluju předpis unkce. 9 ln Vužiju deinici logaritmu. e e e 9 e e Vpravo provedu naznačené dělení. 9: ( ) Ted : 9 Change places. e A zasejc tu máme dvě variant. Ne však na dlouho. e 0; H D Jak vidno, unkce unkce e nabývá pouze kladných hodnot. Proto je rázem ze hr. Zbývá určit D. D 0; 9 0 0 ln ln Krása. 0
9 lim ln lim ln ln ln,999... (smbolem 0 + jsem označil nekonečně malé kladné číslo) 0 Bjútl! Platí ted: D ; ln H. e Závěr: : ; ; ln Takto lze postupovat jen u prostých unkcí. Koukni na obrázek níže. Deiničním oborem unkce na obrázku je interval a; b, ale oborem hodnot není ani interval ( a); ( b) pro případ I., ani interval ( b); ( a) pro případ II.