Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text Fraktály Fraktálí geometrie je rozvíjea zhruba o šeesátých let miulého století jako ástroj popisu chaotičosti příroy. Geometrie se až o evateáctého století zabývala ieálími útvary, okoalost útvarů byla spatřováa v jejich pravielosti. Čtverec ebyl speciálím přípaem obélíka, ale aopak, obélík byl eokoalý čtverec. Kocem miulého a začátkem ašeho století byla objevea celá řaa kostrukcí poivých útvarů, které aprosto ezapaaly o těchto kocepcí a mohými matematiky byly přijímáy s oporem jako matematická mostra. S jeím z těchto moster Sierpikého trojúhelíkem - jsme se sezámili již v př. kpt..4. Tyto čistě logické kostrukce se v obě svého vziku zály a hoy vzáleé jakékoli realitě. Teprve B. B. Maelbrot počátkem 60. let ukázal, že logika vela matematiky blíže ke skutečosti, ež sami tušili, a že jejich matematická mostra jsou k popisu reálých jevů aleko vhoější, ež ieálí útvary. Svět příroy vžy obsahuje prvky chaotického chováí. V semesátých letech se věci ejrůzějších profesí (matematikové, biologové, chemici ) začali zajímat o popis souvislosti mezi ahoilými a chaotickými strukturami a prví výsleky je vely rovou o světa příroy. Reálá hora eí ai jehla ai kužel, kme stromu eí ai zaleka válec. Tabletka živočišěho uhlí tvaru válce s poloměrem postavy 5 mm a výškou 4 mm má (úajě) povrch 0 m (!!) V liském hruíku je sviuta plocha větší, ež teisový kurt. Oběhová soustava liského těla musí vměstat o vymezeého objemu začě velkou plochu. Její fraktálí struktura pracuje tak efektivě, že ve většiě tkáí eí žáá buňka vzálea o cévy více, ež tři až čtyři buňky. Přesto cévy a krev zaujímají velmi malý objem (ecelých 5% liského těla). K jakému klasickému geometrickému útvaru máme přirovat takový blesk? Hory, řeky, mraky, galaxie, ráhy blesků, céví a kořeové systémy, geetický kó - k popisu poobých struktur je třeba zcela ového pohleu, který se starému v ičem epoobá. Vyžauje zbavit se zvyku uvažovat o objektech a jevech v kategoriích élka, plocha a objem.. Pojem fraktálu Na tomto místě oporučujeme čteáři, aby si zopakoval pojem topologická imeze (viz kpt..4. ost. 0) a v příklau připomeeme ještě jeou Sierpiňského trojúhelík z př. kpt..4. U ohraičeých geometrických útvarů (tj. útvarů, které lze pokrýt ějakou koulí) jsme zvyklí a to, že je možé je měřit, tj. určit jejich velikost jako eulový a koečý počet jeotek velikosti. U jeorozměrých útvarů je touto velikostí élka, u vojrozměrých obsah, u trojrozměrých pak objem. Z běžé zkušeosti víme, že pokusy určit obsah či élku trojrozměrých útvarů veou k ekoečým číslům, objem vojrozměrého útvaru je ula, jeho élka je ekoečá. Objem či obsah jeorozměrého útvaru je ulový. Počet rozměrů (imeze) omezeého geometrického útvaru je tey z metrického hleiska á tím, za teto útvar má koečou a eulovou élku, obsah či objem, přičemž eulová a koečá je právě jea z těchto veliči.. Příkla Sierpiňského trojúhelík a čtverec: Sestrojme rovostraý trojúhelík a vyjměme z ěj vitřek trojúhelíka určeého střeími příčkami. Ve zbývajících třech trojúhelících proveďme totéž a tímto způsobem pokračujme o ekoeča. Poku bychom aalogickou kostrukci proveli se čtvercem (ze čtverec rozělujeme vžy a evět shoých čtverců a vyjímáme vitřek prostřeího z ich), ostaeme Sierpiňského čtverec. 88
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text Při programováí takto se opakujících se kostrukcí se používají tzv. rekurziví proceury, tj. proceury, které volají samy sebe. Nemohou se samozřejmě volat oekoeča, obvykle kočí v okamžiku, ky velikost útvaru, který se má sestrojovat, je meší ež jee pixel zobrazovacího zařízeí. V kpt.. 4 jsme zjistili, že Sierpiňského trojúhelík je z topologického hleiska křivka, totéž bychom zjistili i u Sierpiňského čtverce. Z metrického hleiska to však eí útvar jeorozměrý (má ekoečou élku), ale ai vojrozměrý (má ulový obsah). Tyto útvary tey elze běžým způsobem měřit, tj. určit, který z ich je větší a který meší. V techické praxi většiou pracujeme s křivkami jeouchými (tj. křivkami, které eprotíají samy sebe), aebo se jeá alepoň o křivky po částech jeouché, tj. křivky, které lze a eprotíající se křivky rozělit. Sierpiňského trojúhelík a čtverec jsou křivky, které samy sebe protíají v kažém boě a ejsou tey jeouché ai po částech. Existují však i jeouché ohraičeé křivky s ekoečou élkou. Než se s jeou z ich blíže sezámíme, upřesěme pojem élky jeouché křivky.. élka jeouché křivky: V kpt.. jsme se zabývali otázkou určeí élky aalytické křivky. Aalytický přepis útvarů, kterými se bueme zabývat v této kapitole, však emáme k ispozici. V tom přípa určíme élku jeouché křivky tak, že sestrojíme posloupost boů A ; A;...; A ; A + ležících a křivce tak, že boy A 0 ; A + jsou krají (v přípaě uzavřeé 0 p p křivky je A 0 = A p+ její libovolý bo), a platí Ak Ak = v; k = ;;...; p AA p p+ < v (připouštíme i Ap = A p +, tj. AA p p + = 0 ). Za přibližou élku křivky pak prohlásíme číslo p ( p ) l + v±. v Je zřejmé, že čím kratší oblouky buou, tím se teto součet bue blížit číslu, které bychom měli prohlásit za élku křivky. élkou jeouché křivky bue tey zřejmě limita l = lim p v p poku tato limita existuje. 89
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text Takto zaveeá élka křivky velmi obře opovíá běžé přestavě měřeí élky pomocí élkových jeotek měřicími úsečkami jsou úsečky Ak Ak, k = ;;...; p.. Příkla Kochova křivka a Kochův ostrov: Uvažujme úsečku, kterou rozělíme a třetiy, a prostřeí třetiou sestrojíme rovostraý trojúhelík a půvoí prostřeí třetiu vyjmeme. Na takto vziklými čtyřmi úsečkami zopakujme tutéž kostrukci a takto pokračujme o ekoeča. Je zřejmé, že úsečky vzikající v jeotlivých krocích mohou sloužit jako měřicí úsečky. Ozačíme-li v velikost měřicí úsečky v - tém kroku a p jejich počet, je přibližá élka zjištěá v -tém kroku v l ( p + ) v ± Při ašem měřeí je avíc vžy Ap = A p +, takže emusíme uvažovat toleraci a psát přímo l = p v () ále pro > platí + v = v = v0; p = 4p = 4 p = 4, takže 4 l = = = = + lim p v lim 4 v0 lim v 0 (eboť v 0 > 0 ). Útvar, který takto vzikl, je jeouchá křivka. Je zřejmě ohraičeá a přitom má ekoečou élku. Ai tuto křivku tey elze rozumě změřit. Zopakujeme-li tuto kostrukci a třemi úsečkami, které tvoří stray rovostraého trojúhelíka, ostaeme tzv. Kochův ostrov, který má koečý obsah, ale jeho hraice má ekoečou élku. Pozěji se ukázalo, že tyto exotické vlastosti mají i eje umělé geometrické kostrukce, ale i útvary, se kterými se setkáváme zcela běžě. 4. Příkla - pobřeží Bretaě: Pokusme se změřit élku pobřeží Bretaě, a to postupem uveeým v ost.. Takto zaveeá élka zřejmě ezávisí a volbě velikosti počátečí měřicí úsečky, pro ázorost ji tey zvolíme tak, že pro v bue p = 4, tj. stejě jako pro Kochovu křivku. élka pobřeží zjištěá těmito měřily je v připojeé tabulce a v posleí tabulce porováa s élkou Kochovy křivky. Je viět, že se zmešujícím se měřilem se zjištěá élka pobřeží opět výzamě zvětšuje a limita = lim p v efiující tuto élku bue zřejmě opět 90
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text evlastí. Na záklaě přesých měřeí v 50. letech miulého století ospěl Lewis Fry Richarso skutečě k závěru, že všecha pobřeží jsou stejě, a to ekoečě louhá. Pro porováváí geometrických útvarů typu větší meší jsou tey velikosti v topologických imezích (tj. élka, obsah a objem) často příliš hrubými ástroji. Proto jsou zaváěy imeze obecější, ve kterých je možé porovávat i takové útvary jako Sierpiského trojúhelíky a čtverce, Kochovy křivky i pobřeží a velikosti ejrůzějších příroích útvarů. Nejstarší a ejobecější je imeze Hausorffova (pole ěmeckého matematika Felixe Hausorffa, který ji publikoval v r. 99). Prozatím uveeme efiici poěku speciálější, kterou zobecíme v ásleující kapitole. 5. Fraktálí imeze: je zobecěím pojmu počet rozměrů. Na ásleujícím obrázku máme topologicky jeorozměrý a vojrozměrý útvar, který postupě co ejúsporěji pokrýváme shoými kruhy. Zajímá ás, kolik kruhů bue potřeba, jestliže jejich průměr postupě zmešujeme a poloviu, čtvrtiu at. Ukazuje se, že u topologicky jeorozměrého útvaru platí, že s kažým vojásobým zmešeím průměru potřebujeme zhruba vakrát více kruhů. U topologicky vojrozměrých útvarů s kažým vojásobým zmešeím průměru potřebujeme zhruba čtyřikrát ( ) více kruhů. Poku bychom proveli totéž s útvarem trojrozměrým, který bychom pokrývali koulemi, potřebovali bychom s kažým vojásobým zmešeím průměru zhruba osmkrát ( v ) více koulí. Je-li { } klesající posloupost průměrů použitých kruhů (koulí) a { p } posloupost uávající počet kruhů (koulí) o průměru v potřebých k pokrytí útvaru, pak pro -rozměrý ohraičeý útvar je skutečě v p kost. ále existuje limita tohoto součiu a je 0< limv p < ; = ; ; 9
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text Požaavek co ejúsporějšího pokrytí topologicky jeorozměrého útvaru zřejmě zameá, že je třeba kružice (koule) pokláat tak, aby průsečíky s útvarem ležely a průměru, počet kruhů (koulí) vyásobeý jejich počtem bue tey přímo aproximovat élku křivky, tj. v p l a l = lim v p U topologicky jeorozměrého útvaru je ále zřejmě lim v p = lim v p = 0 Pro topologicky vojrozměré útvary je výraz v p zřejmě rove součtu obsahů čtverců opsaých pokrývajícím kruhům. Protože se čtverce překrývají, teto výraz ai v limitě eí rove obsahu útvaru. Protože však pro topologicky vojrozměrý útvar platí lim v p = ; 0 S limv p < < < ; lim v p = 0 je tato limita vhoým iikátorem vojrozměrosti. Poobě v trojrozměrém přípaě (promyslete!). Z této úvahy je zřejmé (a á se to obecě okázat), že pro kažý geometrický je buď a) pro kažé > 0 : lim pv = 0 9
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text aebo b) existuje > 0 tak, že α) 0 < lim pv < β) pro kažé < je lim pv = γ) pro kažé > je lim pv = 0 Tyto skutečosti ás veou k ásleující efiici: 6. Fraktálí míra a fraktálí imeze: Nechť { v } je klesající posloupost, p ejmeší počet uzavřeých koulí o průměru v potřebý k pokrytí ohraičeého útvaru U. Fraktálí mírou útvaru U v imezi azývýme limitu M ( U ) = lim p v = 0. Útvar U má a) fraktálí imezi ula právě tehy, kyž pro kažé 0 M U = pv= b) fraktálí imezi 0 0< M U = lim p v <. > je lim 0 > právě tehy, kyž Na prví pohle se může zát, že jsme právě zaveli zbytečý pojem, protože fraktálí imeze topologicky jeorozměrého (vojrozměrého, trojrozměrého) útvaru je jea (vě, tři). Ale eí tomu tak. 7. Fraktálí imeze Sierpiňského trojúhelíka: Poívejme se ještě jeou a Sierpiňského trojúhelík. Pro jeouchost (bez újmy a obecosti) můžeme přepokláat, že prví kruh má průměr rove jeé poloviě, tj. v =. K prvímu pokrytí jsou potřeba tři takové kruhy, tj. p =. Vžy, kyž zmešíme průměry kruhů a poloviu, je k pokrytí třeba vžy trojásobý počet kruhů tak, jak azačuje připojeý obrázek. Je tey v = ; p =. Protože je lim pv = lim = lim pv = lim = 0 je élka trojúhelíka ekoečá a obsah ulový (to už jsme zjistili v př. kpt.. 4 střeoškolskými metoami). Nyí však víme, že musí existovat imeze < < taková, že limita pro tuto imezi je eulová a koečá, tey 0< lim pv = lim < Bez újmy a obecosti je možé přepokláat, že lim pv = lim = Protože výraz je pro kažé ; kostatí, je = = l l = 0 9
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text Fraktálí imeze Sierpiňského trojúhelíka je tey l =,584 96... () l 8. Fraktálí imeze Sierpiňského čtverce a Kochovy křivky: Poívej Při pokrýváí Sierpiňského čtverce je výhoé zmešovat průměry pokrývacích kruhů a třetiu, jejich počet tím zvýšíme osmkrát. Jeho fraktálí imezi tey zcela aalogicky ostaeme l8 =,89 789... l Koečě Kochova křivka má fraktálí imezi l 4 =,6 859... l ospíváme tey k pojmu fraktálu, který zavel Beoit Maelbrot (94-00): 8. Fraktál je útvar, jehož fraktálí imeze je (ostře) větší ež imeze topologická. Protože topologická imeze Sierpiňského trojúhelíka a čtverce, jakož i Kochovy křivky je jea, jsou tyto tři útvary příklay fraktálů. Fraktálí imeze je vhoou mírou čleitosti geometrického útvaru. Fraktálí imeze je tak jemějším ástrojem pro popis geometrických útvarů ež imeze topologická. Nefraktálí útvary (úsečka, kruh, válec ) mají fraktálí imezi rovu imezi topologické a považujeme je za ečleité. Kochova křivka je čleitá (,6 ), čleitější je ovšem Sierpiňského trojúhelík (,58 ) a čtverec (,89). Pobřeží Bretaě, které ám posloužilo jako motivačí příkla (viz př. 4), je poměrě čleité (,5 ), pobřeží Severí Afriky je aopak téměř hlaké (,0 ). Velmi čleité plochy (topologická imeze vě) pak přestavuje povrch liského mozku (,79) a plic (,97 ).. Hausorffova imeze a Hausorffova míra Pomocí pokrýváí útvarů kruhy resp. koulemi stejého průměru lze určit jeho fraktálí imezi, k určeí jeho správé velikosti však estačí, a to ze vou voů: a) Kruhy (koule) se překrývají, fraktálí míra M ( U ) le ef. 6 pro = ; obsahů (objemů) je tey větší ež obsah (objem) voj- resp. trojrozměrého útvaru. M U pro pro = ; určuje obsah čtverců opsaých kruhům resp. objem krychlí opraých koulím. I z tohoto ůvou je obsah (objem) větší. b) Fraktálí míra Abychom se obsahu resp. objemu pro = ; co ejvíce přiblížili, je přeevším třeba upustit o požaavku stejého průměru. Měřeou možiu tey bueme pokrývat ε -pokrytím ve smyslu ost. 9 kpt..4., které yí přesě efiujeme:. ε -pokrytí geometrického útvaru: Uvažujme útvar U a libovolé číslo ε > 0. ále iam K průměr koule K i v prostoru E. Sjeoceí K = Ki koulí K i ozačme i i 94
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text azveme ε -pokrytím útvaru U právě tehy, kyž ε. Pokrytí útvaru U bueme porobě začit U K a pro kažou kouli K i je iam Ki K U. Pokrytí jeoho a téhož útvaru U existuje ekoečě moho. Všecha tato pokrytí lze K U je meší ež částečě uspořáat možiovou ikluzí. Řekeme totiž, že pokrytí pokrytí K ( U ) právě tehy, kyž K( U) K( U ) - říkáme také, že pokrytí K ( U ) je zjeměí pokrytí K ( U ). Možia všech pokrytí útvaru U má tey ifimum, které umoží efiovat Hausorffovu míru a imezi.. Hausorffova míra a imeze: Je zřejmé, že výraz iam( K ) Ki KU i určuje součet obsahů čtverců opsaých hlavím kružicím pokrývajích koulí a výraz iam( K ) Ki KU součet objemů krychlí opsaých pokrývajícím koulím. Abychom tyto sumy co ejvíce přiblížili obsahu resp. objemu, je třeba, aby byly co možá ejmeší, tj. položme H U = if iam Ki () KU Ki KU ke if začí ifimum všech pokrytí útvaru vzhleem k jejich zjeměí (viz přechozí KU ostavec). Výraz () pro = ; ; již splňuje obecé požaavky klaeé a élku, obsah a objem, a proto bývá v ěkterých literárích prameech již ozačová za Hausorffovu míru útvaru U. Pro = je skutečě rove élce měřeé křivky, pro = však eí rove běžě chápaému obsahu a pro = eí rove objemu. Ifimum sice zaručuje, že pokrývající koule se již epřekrývají, výraz iam( K ) i však eí rove obsahu kruhu ale opsaého čtverce, výraz iam( K ) i eí rove objemu koule, ale jí opsaé krychle. H ( U ) je tey 4 π ásobek hleaého obsahu; H U je 6 π ásobek hleaého objemu. Výraz H ( U ) je tey třeba ásobit vhoou fukcí ( ) π jejíž fukčí hooty jsou α () = ; 4 π α = 6. Touto fukcí je fukce ke ( ) π α = ; () Γ + r 0 x Γ r = x e x () i α, α = a je tzv. gama fukce. Je to vyšší trasceetí fukce, tj. fukce, jejíž hooty až a výjimky elze určit metoami, které záme ze záklaího kurzu 95
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text matematiky. Existují však tabulky jejích fukčích hoot i růzé kalkulátory, které jsou schopy tyto hooty určit. Ze uveďme je ty, které jsou potřeba k určováí měr v celočíselých imezích: π = : Γ ( + ) =Γ (,5) = = : Γ + =Γ = (4) ( ) = : Γ + =Γ,5 = 4 Výraz () korigovaý fukcí α ( ) je pak již pro = ;; rove élce, obsahu a objemu útvaru U a poskytuje i velikost (míru) útvarů i v eceločíselých imezích. Můžeme tey efiovat: Hausorffovou mírou útvaru U v imezi rozumíme hootu výrazu π H ( U ) = α ( ) if iam( Ki ) KU K (5) KU ke fukce α ( ) je určea rovicemi () a (). Lze okázat, že pro kažý ohraičeý geometrický útvar je buď a) pro kažé 0 : H ( U ) = 0 aebo b) existuje > 0 tak, že 0 < H ( U ) < a pro kažé < je H ( U ) = a pro kažé > je H ( U ) = 0 Tyto vlastosti Hausorffovy míry umožňují efiovat Hausorffovu imezi: i Hausorffova imeze útvaru U : Útvar U má Hausorffovu imezi ula ( = 0 ) právě tehy, kyž pro kažé 0 je H ( U ) = 0. Útvar U má Hausorffovu imezi > 0 právě tehy, kyž 0 H < U <.. Příkla: Určete Hausorffovu míru kruhu a koule. Řešeí: Ifimálí (v tomto přípaě okoce miimálí) pokrytí kruhu resp. koule o poloměru r je jeiá koule o poloměru r. Kruh má =, koule =. Je tey Kruh: ( U ) α π π ( i ) Γ ( + ) H = if iam K = r = r = π r KU Koule: ( U ) α Ki KU π π 4 = if ( i ) = = = π KU K ( ) i KU Γ + 4 π H iam K r r r Jak je viět z přechozích příklaů, výpočet Hausorffovy míry je velmi komplikovaý už i u velmi jeouchých útvarů (trojúhelík, čtverec, krychle ). U všech efraktálích útvarů (tj. útvarů s celočíselou Hausorffovou imezí) jsou však míry H ; H a H rovy jejich élce, obsahu resp. objemu. Na pracé výpočty Hausorffových měr jsme tak okázái je u fraktálů. Ze ovšem emají takový praktický výzam jako imeze, jejich určováí je přece je jeoušší.. 96
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text. Mřížková imeze a Box Coutig Výhoou Hausorffovy imeze je skutečost, že je velmi obecá, a tey použitelá a velmi širokou tříu moži. Nevýhoou této obecosti je však velmi obtížý výpočet. Proto existuje řaa alších imezí, které jsou jeoušší, vhoé pro počítačové zpracováí a ve většiě přípaů poskytují tytéž výsleky. Uveďme ejzámější z ich imezi mřížkovou. Záklaí myšleka je stejá jako u imeze fraktálí resp. Hausorffovy s tím, že pokrýváí měřeého útvaru je přizpůsobeo možostem výstupích zařízeí počítačů. Tvoří ho čtvercová či krychlová mřížka. imeze, která se takto zjišťuje, se proto azývá imeze mřížková a metoa, kterou se měřeí prováí, je záma jako Box Coutig. Přepokláejme, že měřeou možiu máme zobrazeu a výstupím zařízeí počítače. Pro jeouchost bueme přepokláat, že áš obrázek má rozlišeí 04 04 a bueme ho pokláat za jeotkový čtverec. Vyjeme z efiičího vztahu fraktálí míry (viz ost. 6 kpt.. ), tj. M U = pv lim s tím, že v tetokrát eí průměr pokrývajících koulí, ale straa čtverce resp. hraa krychle sítě. Měříme-li imezi z obrázku a výstupím zařízeí, emůžeme samozřejmě pracovat s limitou, takže položíme přímo ( ) M ( U ) v p Měřeou možiu pokryjme čvercovou sítí, jejíž jea buňka je čtverec o straě v =, ostáváme tey M ( U) p M U + p M U + p l p l + l M ( U) y k x + q l l l l l l Při ašem rozlišeí emůžeme samozřejmě v ejjeoušší variatě využít všecha, ale pouze mociy vou. ále je třeba sestrojit boy P [ x, y] [ l ;l p] a těmito boy proložit přímku metoou ejmeších čtverců (s touto metoou se sezámíte ve ruhém semestru v umerické matematice). Směrice této přímky je hleaá imeze měřeé možiy. Úsek q této přímky, resp. výraz ( ) q M ( U ) = e je jakási mřížková míra měřeého útvaru, která má však začě epříjemé vlastosti. Napříkla úsečky a () připojeém obrázku mají v míře M všechy stejou élku, což je jistě velmi epříjemé. Tato epříjemost souvisí s tím, že k pokrytí měřeé možiy ejsou použity kruhy resp. koule, ale čtverce resp. krychle. Přesé objasěí příčiy tohoto jevu přesahuje rámec textu, proto o ěj upustíme. Míra fraktálích útvarů, tj. míra v eceločíselých imezích však emá praktický výzam, v aprosté většiě přípaů se spokojíme se zalostí mřížkové imeze. Ta může být obecě poěku vyšší ež imeze Hausorffova, většiou se však hooty těchto imezí shoují. 97
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text Na připojeých obrázcích si můžete prohléout ěkteré výsleky. Měřeé útvary byly vygeerováy a obrázku s rozlišeím 04 04. U úsečky a čtverce program zazameal přesě lieárí resp. kvaratickou závislost mezi celkovým počtem čtverců a čtverců potřebých k pokrytí. Přímka tey prochází přesě zaaými boy a imeze těchto útvarů vychází zcela přesě. U složitějších útvarů ává teto ejjeoušší algoritmus výsleky pouze přibližé, přesost měřeí závisí o začé míře také a kvalitě vygeerovaého obrázku a jeho vzájemé poloze s pokrývající sítí.. 4 Soběpoobost a soběpříbuzost Sierpiňského trojúhelík, čtverec i Kochova křivka mají ještě jeu zajímavou vlastost, která je zázorěma a připojeém obrázku: Sierpiňského trojúhelík vzike sjeoceím tří kopií sebe sama. Přesěji řečeo: zobrazíme-li teto útvar ve stejolehlostech se střey ve vrcholech výchozího trojúhelíka s koeficietem a tyto obrazy sjeotíme, ostaeme půvoí útvar. Poobou vlastost mají i Sierpiňského čtverec a Kochova křivka.. Soběpoobost: Útvar U je soběpoobý právě tehy, kyž existují poobá zobrazeí Z ; i = ;;...; p taková, že i 98
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text p U= Zi ( U ) () i= Soběpoobý je trojúhelík i čtverec Sierpiňského (ze jsou poobými zobrazeími stejolehlosti) i Kochova křivka (ze jsou to vě stejolehlosti a vě obecější poobá zobrazeí složeá ze stejolehlosti a rotace). Soběpoobé jsou i mohé útvary, které ejsou fraktály ( obyčejý trojúhelík a čtverec, rovoběžík apo.). Zajímavý je vztah mezi soběpoobostí a Hausorffovou imezí. Jsou-li totiž k ; k ;...; k p koeficiety tvořicích poobých zobrazeí Z i z (), pak pro Hausorffovu imezi útvaru U platí k + k +... + k p =. Speciálě v přípaě, že k = k =... = kp = λ, je p l p k + k +... + kp = ( λ) + ( λ) +... + ( λ) = = = λ l λ Např. Sierpiského trojúhelík je sjeoceím tří svých kopií ( p = ) zmešeých a třetiu ( l λ = λ = ), imeze je = l. U Sierpiského čtverce je p = 8 ; λ = λ =, l8 = l. Kochova křivka: p = 4 ; λ = λ =, l 4 = l. Obyčejý čtverec je sjeoceím apř. l 4 čtyř kopií zmešeých a poloviu ( = l = ) ebo evíti kopií zmešeých a třetiu l9 ( = l = ). Obyčejý trojúhelík p = 4 ; λ = ebo p = 6; λ = 4, opět =. Promyslete pro úsečku!. Soběpříbuzost: je zobecěím soběpoobosti. Soběpříbuzým útvarem azýváme útvar, který je sjeoceím koečého počtu svých vlastích obrazů v libovolých kotraktivích zobrazeích, tj. v zobrazeích, která zkracují vzáleost. Pro kotraktiví zobrazeí Z tey platí p 99
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text Z A Z B k AB, ke k <. Útvar U je soběpříbuzý právě tehy, kyž existují kotraktiví zobrazeí Z ; i = ;;...; p taková, že i p i= U= Zi U Kotraktiví zobrazeí emusí být poobostí. Může to být apř. afiita ebo i zobrazeí, které ezobrazuje úsečku a úsečku. Soběpříbuzý útvar tey eí sjeoceím svých zmešeých kopií, íky koečému počtu kotrakcí však v útvaru můžeme vypozorovat oekoeča se opakující části, které se svým tvarem příliš eliší a liské oko je schopo je ietifikovat jako stále se opakující motivy. Fraktál a připojeém obrázku je sjeoceím vou svých obrazů v afiitách určeých maticemi 0.8 0. = 0 0 M M 0. 0.8 ; 0. 0.4 8 = 0. 0. 0 0 Právě soběpříbuzost je typická prakticky pro všechy příroí útvary o vesmíru jako celku přes strukturou listu a tvar mraků či krajiy pokračujíc až po větveí žil v orgaismech (fraktál a připojeém obrázku ám při troše fatasie může připomíat mořského koíka).. 5 Iteračí systémy. Obecá iteračí metoa: se používá při hleáí přibližého řešeí rovic tvaru x g( x) =. Spočívá v tom, že počátečí aproximace (startovací bo) x 0 se osaí o pravé stray, čímž x = g x. Teto postup se eustále opakuje, takže obecě obržíme prví aproximaci tvaru ( 0) je x g( x ) x =. Napříkla v rovici k+ k 6 ( x 5) x 5 ( x 5) ( 0 5) 5 = + = + = 6 0 6 6 x = x + 5 = + 5 = 0,949... 6 6 6 = + zvolme x 0 = 0, pak je x = 6 x + 5 = 6 0,949... + 5 = 0,98... at. Přitom přesé řešeí rovice je x = (jak se můžeme sao přesvěčit osazeím). Tato metoa ovšem fuguje (koverguje) pouze za přepoklau, že rovice x = g( x) efiuje kotraktiví zobrazeí. S těmito otázkami se poroběji sezámíte v umerické matematice ve. semestru.. Iteračí systém: je systém rovic tvaru ( ; ;...; ) ( ; ;...; ) ( ; ;...; ) x = f x x x = f x x x x x = f x x x () a stuium pomíek, za kterých systém koverguje, je obecě velmi složité. Moerí výpočetí techika umožňuje iteračí procesy efektě vizualizovat. 00
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text. Juliovy možiy: Jsou možiy všech startovacích boů, ze kterých iteračí proces systému () koverguje. Možiy esou jméo fracouzského matematika Gastoa Maurice Julia (89 978), který zkoumal kovergečí procesy rovic tvaru z = z + C v oboru komplexích čísel. Pro kažé komplexí číslo C ostáváme jiou Juliovu možiu. Na připojeém obrázku jsou Juliovy možiy pro C =. + 0.54i; C = + 0i a C = 0.4 + 0.54i. 4. Maelbrotovy možiy: Beoit Maelbrot se zabýval problémem, pro která C je Juliova možia souvislá, a sestrojil tímto způsobem možiu, která es ese jeho jméo. Zatímco k rovici z = z + C existuje ekoečě moho Juliových moži, Maelbrotova možia této rovice je geerováa je jea. Přesto je možé číslo v úvou tohoto ostavce oprávěé poobým způsobem lze totiž použít i jié rovice. Na přopojeém obrázku je Maelbrotova možia rovice z = cos z+ C. Možia rovice z = z + C je souměrá pole reálé osy, možia z = cos z+ C je avíc íky (komplexímu) kosiu perioická. Hraice Juliových resp. Maelbrotových moži patří k ejčleitějším možiám. Jsou to křivky mají topologickou imezi jea, jsou však čleitější ež Sierpiňského čtverec Hausorffova imeze Maelbrotova možiy je vě. 0
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text 5. Obarvovací algoritmy při vykreslováí Juliových a Maelbrotových moži se používají ejrůzější obarvovací algoritmy. Te ejjeoušší (Escape algorithm) obarvuje kažý pixel, který o možiy epatří, pole rychlosti, s jakou je tato skutečost zjištěa. Byly to právě barevé Juliovy a Maelbrotovy možiy, které postatě přispěly k popularizaci fraktálí geometrie. 6. Projektiví systémy iteračí systémy efiovaé soustavou () porobují kažý bo trasformacím, které obecě ezobrazují přímku a přímku. Je-li však soustava () lieárí, efiuje projektiví zobrazeí, které lze efiovat maticí. Projektiví systémy jsou tey efiováy koečým počtem projektivích zobrazeí, kterými v kažém kroku prochází startovací bo. Je-li apř. teto systém tvoře třemi stejolehlostmi se střey ve třech ekolieárích boech a s koeficiety 0.5, pak startovací bo vytvoří Sierpiňského trojúhelík. Na připojeém obrázku si můžeme prohléout možiy vytvořeé projektivími systémy určeými maticemi 0
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text 0 0 0 0. 0. 0 0. 0. 0 0.8 0.05 0 M = 0 0. 0 ; M = 0. 0. M 0 0 = 0. 0. 0.4 M 0 0 4 = 0.05 0.8 0 0 0 0 resp. 0.95 0.488 0.44 0.46 0.44 0.5 M = 0.44 0.44 0.45 ; M = 0.5 0.6 0.569 0 0 0 0 0.058 0.07 0.5976 0.67 0 0.856 M = 0.45 0. 0.0969 ; M 4 = 0 0.50 0.5 0 0 0 0 V kokrétích algoritmech ovšem eí možé startovací bo porobovat vžy všem trasformacím, eboť počet takto geerovaých boů by expoeciálě arůstal a způsobil by přetečeí sebevětší paměti. Teto problém se většiou řeší tak, že v kažém kroku je geerátorem áhoých čísel vybráa vžy je jea trasformace, které je bo porobe. V kažém kroku se tey bo ocite jakoby a křižovatce, ke si vylosuje alší cestu. Proto je teto algoritmus azývá metoou áhoé procházky.. 6 yamické systémy yamickým systémem rozumíme systém, který je efiová pomocí koečého počtu pomíek, které popisují změu systému v čase. Možia všech možých stavů systému tvoří tzv. stavový prostor, kokrétí stav systému v libovolém časovém okamžiku je opět popsá koečou posloupostí hoot stavovým vektorem. Jestliže pole aých pomíek echáme systém vyvíjet se v čase, vziká ve stavovém prostoru buď křivka (jetliže parametr reptezetující čas je spojitý), aebo možia boů reprezetujících kokrétí stavy (je-li časový parametr iskrétí). Možia stavů, ke kterým systém koverguje pro t, se azývá atraktor. yamické systémy mohou být stabilí, aebo estabilí, a to pole toho, jak reagují a změu vstupích parametrů. Atraktorem stabilího systému je buď bo ebo uzavřeá křivka, atraktorem estabilího systému jiá možia. 0
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text V tomto smyslu je yamickým systémem apř. i metoa áhoé procházky zmiňovaá v závěru přechozí kapitoly. Počátečím stavem je startovací bo, počátečími pomíkami jsou trasformace, kterým má být vystave. Kažý iteračí krok přestavuje časový okamžik, atraktorem je možia sestrojeá po ostatečém počtu kroků. Projektiví systémy jsou zcela ecitlivé poku je o startovací bo metou áhoé procházky můžeme startovat ze zcela libovolého bou, výslekem je vžy ietický atraktor (strom či kapraia pole zvoleých trasformací). S citlivostí vůči epatrým změám trasformací to už je složitější. Napříkla Juliova možia je extrémě citlivá a změu parametru C, citlivost projektivích systémů závisí a tzv. pomíěosti matic projektivích trasformací (pomíěost matic bueme stuovat v umerické matematice).. 7 L-systémy Pomocí yamických systémů lze stuovat jevy závislé a moha parametrech, jejichž přesý vliv lze obtížě převíat, apř. voí víry, turbulece apo. Na připojeém obrázku si můžeme prohléout tzv. Clifforův atraktor atraktor yamického systému popsaého soustavou rovic x = si.5y+.6 cos.5x y = 0.9 cos.8 y si.8x L-systémy byly avržey maďarským biologem Aristiem Liemayerem v r. 968 (Liemayerovy systémy) jako formálí matematický ástroj popisu růstu řas. es jsou využíváy přeevším k moelováí morfologie rostli. Ve své ejjeoušší poobě je L- systém formálě trojice moži L= ( Σ ; S; P), ke Σ je možia přípustých symbolů, S je možia axiomů, které efiují počátečí stav systému a P je možia přepisovacích praviel, která umožňují geerovat alší stavy. Tyto stavy se posléze iterpretují pomocí tzv. želví grafiky, ke želva reprezetuje kreslicí zařízeí. Její stav je popsá polohou a orietací.. Příkla Kochova křivka jako L-systém: Uvažujme L-systém L ( ; S; P) abecea obsahuje tři zaky Σ = { F; + ; } axiomem je zak F, tey S = { F} a přepisovacím pravilem P= { F F + F F + F} (což začí, že zak F se vžy přepisuje posloupostí F + F F + F ) Možé stavy tohoto L-systému tey jsou: F F + F F + F F F F F F + F F + F + F + F F + F F + F F + F + F + F F+ F = Σ, v ěmž je at. 04
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text Grafická iterpretace určuje cestu pro kreslicí zařízeí (želvu): F - krok vpře; + otoč se o 60º v klaém smyslu; otoč se o 60º v záporém smyslu Je-li tey želva v počátku souřaé soustavy a orietováa ve směru osy x, je prví možý stav ruhý možý stav třetí možý stav at.. Příkla Sierpiňského trojúhelík jako L-systém: Vhoým L-systémem lze rověž uplést Sierpiňského trojúhelík, tak, jak jsme slíbili v př. kpt.. 4. Přiáme jee zak a jeo přepisovací pravilo: abecea: Σ = { FG ; ; + ; } axiom: S = { F} přepisovací pravila: P= { F G F G; G F + G+ F} Iterpretace je stejá jako v přechozím příklaě: FG ; - krok vpře; + otoč se o 60º v klaém smyslu; otoč se o 60º v záporém smyslu. Na ásleujícím obrázku viíme ěkteré možé stavy (krok kažého ásleujícího stavu je z techických ůvoů vžy zkráce): Jak bylo řečeo v úvou této kapitoly, jsou L-systémy využíváy přeevším k moelováí morfologie rostli. K tomu je třeba umožit L-systému větveí, a to pomocí závorek.. Příkla moelováí morfologie rostli: Abecea, axiom i grafická iterpretace jsou stejé, jako v přechozím přípaě. Levá závorka zameá uložeí stavu želvy o zásobíku, pravá pak vyzveutí stavu ze zásobímku. Moely se liší přepisovacími pravily a úhlem α, o který se otáčí (uveeo u jeotlivých výstupů): 05
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text F G( + F) G( F) + F G GG α = 0 F G (( F) + F) + G( + GF) F G GG α =,5. 8 Náhoé fraktály F G( + F)( F) GF G GG α = 6 V přechozích kapitolách jsme se zabývali tzv. etermiistickými fraktály tey fraktály, které jsou plě určey ěkolika relativě jeouchými počátečími pomíkami, ke ebylo místo pro áhou. Tyto fraktály mají z hleiska popisu příroích útvarů jeu zásaí vau - jsou totiž příliš pravielé. Při popisu příroích útvarů je třeba pracovat i s áhoou - ostaeme útvary, které mohem lépe opovíají reálým objektům.. Záklaí pricip: S áhoými procesy lze pracovat vpostatě vojím způsobem: a) Pomocí geerátoru áhoých čísel rozmazávat souřaice boů, které určuje etermiistický algoritmus. Aby výsleek ebyl úplě chaotický, je třeba vhoě volit jeak typ geerátoru (ejčastěji se používá geerátor s ormálím rozložeím, se kterým se sezámíte ve statistice) a také rozpětí (u rovoměrého rozložeí) resp. rozptyl (u ormálího). Tyto parametry se musejí zmešovat úměrě úrovi rekurze. Na připojeém obrázku si můžeme prohléout takto upraveý Kochův ostrov, Sierpiňského trojúhelík a jeu z rostli geerovaou L-systémem. b) Používat algoritmy áhoé již ze své postaty. Ve 0. letech miulého století moeloval Norbert Wieer Browův pohyb tzv. metoou přesouváí střeího bou (Mipoit isplacemet Metho - MM). V jeorozměrém přípaě je pricip metoy ásleující: zvolme úsečku AB, ajěme její stře a jeho y - ovou souřaici změňme o áhoé číslo. Na vziklé vě úsečky aplikujme tetýž postup, at., teoreticky o ekoeča. Vziklá křivka je příklaem grafu fukce, která je a aém itervalu spojitá, ale emá ike erivaci. V praktických situacích algoritmus opět ukočíme tehy, jestliže se rozíl x - ových souřaic souseích boů ostae po rozlišovací schopost výstupího zařízeí. Výslekem je křivka, která e áhoou připomíá profil či horizot reálé krajiy 06
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text. Hurstův expoet: Jak jsme kostatovali v přechozím ostavci, při geerováí áhoých fraktálů je třeba velmi pečlivě volit rozpětí resp. rozptyl geerátoru áhoých čísel. Tyto parametry ovlivňují čleitost výsleého fraktálu, a tím i jeho fraktálí imezi. Při geerováí fraktálů metoou přesouváí střeího bou lze pomocí vhoě voleého rozptylu gaussovského geerátoru vygeerovat fraktál s přeem aou fraktálí imezí. Použijeme-li totiž geerátor, jehož rozptyl v -té iteraci je á vztahem σ ( ) + H = σ0 ke σ 0 je počátečí rozptyl, pak fraktálí imeze fraktálu vygeerovaého metoou MM je = H. Číslo H 0; je tzv. Hurstův exproet čím je jeho hoota meší, tím větší je imeze vygeerovaé křivky a tím je tey fraktál čleitější. Na připojeém obrázku je ěkolik křivek s růzými hootami H.. MM ve : Výše popsaý algoritmus pro úsečku je možé rozšířit a obélík. V tomto přípaě vytváříme áhoě fukci vou proměých apř. moel teréu. V tom ejjeoušším přípaě efiujeme fukčí hooty ve vrcholech obélíka, poté jsou počítáy a áhoě přesouváy alší boy. Možostí, jak je postupě procházet, je víc. Nejčastěji se ajou a posuou střey obvoových úseček aktuálě zpracovávaého obélíka a pomocí ich se áhoě přesue jeho stře. Poobě jako v jeorozměrém přípaě je možo ovlivňovat fraktálí imezi volbou Hurstova koeficietu. 07
Fraktály ÚM FSI VUT v Brě Stuijí text Popsaé rekurziví ěleí čtverce je možé využít jak pro vytvářeí prostorových moelů teréu (viz připojeý obrázek), tak i pro tvorbu výstupů, kterým se v počítačové grafice říká plasma. Ta se používá pro moelováí ejrůzějších objektů oblačosti, barevých ostíů půy apo. Na připojeém obrázku si můžeme prohléout obrázek kapraiy, k jehož vygeerováí bylo použito ěkolik výše popsaách techik. Půí profil byl vytvoře metoou MM v. Barva půy a obloha je plasma vytvořeá metoou MM ve. Listy jsou projektiví IFS vytvořeé le ost. 6 kpt.., koečě kořeový systém je L- systém le kpt.. 4. 08