PLOŠNÝ A KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

PLOŠNÝ A KŘIVKOVÝ INTERÁL JAN MALÝ Obsah 1. Plochy a křivky 1 2. Křivkový a plošný integrál prvého druhu 1 3. Křivkový integrál druhého druhu 3 4. Elementy teorie pole 4 5. Plošný integrál kodimenze 1 5 6. Věta o divergenci 6 7. Integrování přes variety 7 8. Stokesova věta 8 9. Praktické hledání parametrizace a určování orientace 9 1. Plochy a křivky Pojmy plocha a křivka se v matematice používají v mnoha různých významech. V této sekci je zavedeme tak, jak se hodí pro účely integrace. 1.1. Křivka. Křivka (přesněji C 1 -křivka) v R d je spojitě diferencovatelné zobrazení γ intervalu a, b R do R d. Derivace γ v krajních bodech a, b chápeme jako jednostranné. Interval a, b nazveme referenčním intervalem křivky γ. 1.2. Plocha, zobecněná křivka. Nyní bychom chtěli definovat něco jako křivka ve vyšší dimenzi. Definiční obor by v tomto případě mohl být vícerozměrný interval, ale takové pojetí je přecijen někdy příliš omezující. Budeme tedy definovat n-rozměrnou plochu v R d, n 1, jako spojitě diferencovatelné zobrazení otevřené množiny R n do R d. Množinu nazveme referenčním oborem plochy. 1-rozměrnou plochu budeme nazývat zobecněnou křivkou. Každé křivce γ : a, b R d odpovídá zobecněná křivka γ = γ (a, b), tedy ořízneme hodnoty v krajních bodech referenčního intervalu. Ztráta informace je jen zdánlivá, chybějící krajní body křivky můžeme znovu zrekonstruovat jako limity v krajních bodech referenčního intervalu. Zobecněná křivka zobecňuje pojem křivky ve dvou směrech: v krajních bodech nepožadujeme existenci jednostranných limit, referenční obor nemusí být souvislý. Křivky a plochy jsou definované jako zobrazení, ale intuitivně je často vnímáme jako množiny, tj. plochu vnímáme jako množinu (). Při takové intuitivní představě je třeba zachovávat opatrnost, například v definici plochy jsme nepožadovali prostotu, tj. plocha se může křížit sama se sebou nebo někde dokonce třeba zdvojit. Nějčastěji se však prostota objeví v dodatečných předpokladech. Zdůrazněme, že (zobecněné) křivky pokládáme za zvláštní případ ploch a zformulujeme-li tvrzení (definici, poznámku,...) pro plochy, máme tím na mysli i aplikaci na křivky. Pojem křivka používáme jen mluvíme-li o specifikách jednorozměrného případu. 1.3. Regularita. Řekneme, že plocha je regulární v bodě t, jestliže Jacobiho matice (t) má hodnost n. Regulární plocha znamená regulární v každém bodě. 2. Křivkový a plošný integrál prvého druhu 2.1. Motivace. Naším cílem je vybudovat integrál (úhrn veličiny) přes n-rozměrné množiny v R d. Nejschůdnější cestou je vhodná volba křivočarých souřadnic, což odpovídá tomu, že neintegrujeme přes množiny, ale přes plochy. 1

2.2. rammův determinant. Nechť : R d je n-rozměrná plocha v R d. Máme ( (t) T (t) = (t) ) k (t). t i t j Determinant z této matice se nazývá rammův determinant, jeho odmocnina se používá jako jakobián pro plošné integrály druhého druhu a značí J(t). Tedy J(t) := (t) T (t). Symbol... zde je použit k zdůraznění faktu, že jde o nezápornou veličinu, na rozdíl od obyčejného objemového jakobiánu. Také si lze správně myslet, že samotnému výrazu J lze také přiřadit smysl, tím se však budeme zabývat později. 2.3. Plošný integrál prvého druhu. Nechť : R d je n-rozměrná plocha v R d a f je funkce na (). Definujeme (1) f ds = f(x) ds(x) := f((t)) J(t) dt. Definici (a podobným definicím v dalším) rozumíme tak, že integrál vlevo má smysl, když má smysl integrál vpravo. 2.4. Definice (Nulové množiny). Řekneme, že množina N R d je k-nulová, jestliže pro každé ε > 0 existují koule B(x j, r j ), j N, tak, že N B(x j, r j ) a rj k < ε. j Jako příklady k-nulových množin slouží např. variety nižší dimenze, nebo obrazy (A), kde A je Lebesgueovsky k-nulová a je k-rozměrná plocha. Je-li N k-nulová, pak všechny její k-rozměrné projekce jsou Lebesgueovsky k-nulové. Pro k = d pojmy k-nulovosti a lebesgueovské nulovosti splývají. 2.5. Parametrizace. Nechť M R d a : R d je n-rozměrná plocha. Řekneme, že je (n-rozměrná) lokální parametrizace M, jestliže je prostá, regulární a relativně otevřená do M (To znamená, že () M a zobrazuje otevřené podmnožiny na relativně otevřené podmnožiny M. Inverzní zobrazení je potom spojité.) Řekneme-li, že je globální parametrizace M, znamená to, že navíc () = M. Užitečný kompromis mezi lokální a globální parametrizací je zobecněná parametrizace, to je taková lokální parametrizace M, že M \ () je n-nulová množina. 2.6. Věta (nezávislost plošného integrálu na parametrizaci). Nechť M R d a f : M R je funkce. Nechť : R d, ψ : H R d jsou zobecněné parametrizace M. že () = ψ(h) = M. Potom buď f ds = f ds, nebo žádný z těchto integrálů nemá smysl. 2.7. Integrál prvého druhu přes množinu. Nechť M R d a f : M R je funkce. Potom definujeme (n-rozměrný) plošný integrál f přes M předpisem f ds = f ds, M kde je zobecněná parametrizace M. Pokud žádná zobecněná parametrizace M neexistuje nebo integrál vpravo nemá smysl, zůstává integrál vlevo nedefinovaný. Z předchozí věty plyne, že taková definice je korektní. 2.8. Křivkový integrál prvého druhu. Nechť : R d je zobecněná křivka. Potom Jacobiho matice (t) má d řádků a jen jeden sloupec, je to tedy vlastně jen svislý vektor. Potom J = a pro křivkový integrál prvého druhu funkce f platí vzorec f ds = f(x) ds(x) = f((t)) (t) dt. 2 ψ j i,j=1

Všimněte si, že pro křivkovou integraci se zpravidla píše diferenciál ds místo ds. Integrál ds = (t) dt má geometrický význam délky (zobecněné) křivky. (Bez ohledu na to, zda křivka je prostá či ne, může se i protínat či dokonce probíhat některé úseky vícekrát. V takovém případě se ovšem i délka příslušného úseku objeví ve výsedku vícekrát a délka křivky se může lišit od délky množiny ().) 2.9. Vektorový součin. Vektorový součin vektorů u 1,..., u d 1 R d je vektor d u 1 u d 1 := det(e i, u 1,..., u d 1 ) e i. i=1 Vektorový součin je kolmý na své činitele. Při liché permutaci činitelů změní vektorový součin znaménko, při sudé zůstane zachován. V dimenzi tři je vektorovým součinem vektorů u = (u 1, u 2, u 3 ) a v = (v 1, v 2, v 3 ) vektor ( ( ( ( u2, v 2 u3, v 3 u1, v 1 u v = det u 3, v 3 ), det u 1, v 1 ), det u 2, v 2 V dimenzi 2 má vektorový součin jen jednoho činitele. Roli vektorového součinu plní zde operátor otočení o pravý úhel proti směru hodinových ručiček [u 1, u 2 ] = [ u 2, u 1 ]. Vektorový součin přiřadí vektoru u vektor u (pozor na znaménko!). 2.10. Vektorový jakobián a plošný integrál kodimenze jedna. Vektorový jakobián (d 1)-rozměrné plochy : R d v bodě t R d 1 definujeme předpisem J(t) = (t) (t). t 1 t d 1 Podle tzv. Cauchy-Binetovy formule je J(t) = J(t), tedy jakobián pro kalkulus plošného integrálu prvého druhu lze v kodimenzi 1 počítat alternativním způsobem f ds = f(x) ds(x) := f((t)) J(t) dt. Integrál ds = J(t) dt má geometrický význam obsahu (area) plochy. Podobně jako u křivky, o obsahu plochy můžeme mluvit i tehdy, když plocha není prostá, pak se ale může lišit od obsahu množiny (). 3. Křivkový integrál druhého druhu 3.1. Křivkový integrál druhého druhu. Nechť = ( 1,..., d ): R d je zobecněná křivka a f = (f 1,..., f d ) : () R d je vektorové pole. Definujeme b (2) f ds = f((t)) (t) dt. Také pro index i a skalární funkci u: () R d píšeme b (3) u dx i := u((t)) i(t) dt. Definice (2), (2) chápeme tak, že integrál vlevo má smysl, pokud má smysl integrál vpravo. Zřejmě můžeme přepsat f ds = f 1 dx 1 + + f d dx d. a a Křivkový integrál (2) má velký význam ve fyzice, křivkovým integrálem druhého druhu se integrují veličiny, u nichž není zajímavý úhrn celkové velikosti, ale úhrn tečné složky. Například práce je křivkový integrál druhého druhu síly po dráze. 3 ) ).

3.2. Pole. Pojmy skalární pole, vektorové pole se používají jako synonyma pro skalární, resp. vektorovou funkci. Jejich používání v některých situacích je dáno zvyklostmi. 3.3. Tečné pole. Nechť : R d je prostá regulární zobecněná křivka. Je-li x = (t), t, definujeme (4) τ (x) = (t) (t). Funkce τ : () R d se nazývá pole jednotkových tečných vektorů (zkráceně tečné pole) ke křivce. Zahrnuje v sobě informaci o tečném prostoru v každém bodě a směru probíhání křivky. Je-li interval a má-li prosté spojité rozšíření do, existují jen dvě možnosti jak může vypadat tečné pole na (), tedy každá jiná parametrizace ψ dá jednu z těchto možností: jestliže ψ 1 je rostoucí, pak původní τ, jinak τ. 3.4. Věta (Vztah mezi křivkovým integrálem prvého a druhého druhu). Nechť M R d má n-rozměrnou zobecněnou parametrizaci : R d. Nechť f : M R d je vektorové pole. Potom f ds = f τ ds, má-li integrál aspoň na jedné straně smysl. M 4. Elementy teorie pole 4.1. Divergence, gradient, rotace. Nechť U R d je otevřená množina, u : U R je spojitě diferencovatelná funkce a f = (f 1,..., f d ) : U R d je spojitě diferencovatelné vektorové pole (vektorové pole znamená zobrazení s hodnotami v R d ). Nechť (e 1,..., e d ) je kanonická báze v R d. Definujeme curl f := u = grad u := ( f3 f ) 2 e 1 + x 2 x 3 div f := d i=1 d i=1 u x i e i, (gradient u), f i x i, (divergence f) curl f := f 2 f 1 (rotace f, d = 2), x 1 x 2 ( f1 f ) 3 e 2 + x 3 x 1 ( f2 f ) 1 e 3 (rotace f, d = 3). x 1 x 2 4.2. Věta o potenciálu. Nechť W R d je otevřená množina. Nechť ψ : a, b R d je křivka, ψ W, A = ψ(a), B = ψ(b). Nechť u : W R je spojitě diferencovatelná funkce. Potom u(b) u(a) = u ds, pokud integrál vpravo konverguje. 4.3. Definice (Hvězdovitá množina). Řekneme, že množina U R d je hvězdovitá, jestliže existuje a U tak, že pro každý bod x U je celá úsečka {a + t(x a): t 0, 1 } podmnožinou U. Každá konvexní množina je hvězdovitá. 4.4. Věta (Hlavní věta teorie pole). Nechť W R d je otevřená množina a f = (f 1,..., f d ) : W R d je spojité vektorové pole. Uvažujme následující podmínky: (i) (Existence potenciálu.) Existuje spojitě diferencovatelná funkce u : W R tak, že f = u. (ii) (Nezávislost integrálu na dráze.) Pro každé dva body A, B W existuje číslo c = c(a, B) tak, že a každou křivku ψ : a, b W s počátečním bodem A = ψ(a) a koncovým bodem B = ψ(b) je f ds = c. (iii) (Nulová rotace.) Pro každou dvojici i, j indexů z {1,..., d} je ψ ψ Potom platí následující vztahy: f i x j = f j x i. 4

(a) (i) (ii), (b) Je-li f spojitě diferencovatelná, pak (i) = (iii). (c) Je-li f spojitě diferencovatelná a W hvězdovitá, pak pak (iii) = (ii). 4.5. Poznámka. Nulovost rotace je rovnost curl f = 0 v dimenzi 2 a rovnost curl f = 0 v dimenzi 3. 5. Plošný integrál kodimenze 1 5.1. Plošný integrál druhého druhu. Nechť : R d je (n 1)-rozměrná plocha v R n. Nechť f = (f 1,..., f n ): () R n je vektorové pole. Potom definujeme (5) f ds := f((t)) J(t) dt. Integrály typu (5) se hojně vyskytují ve fyzice, mají např. význam toku plochou. 5.2. Zápis pomocí diferenciálů. Jestliže n = 2, je zobecněná křivka a integrál uvedený výše lze přepsat ve tvaru f ds = f 1 dx 2 f 2 dx 1. Zde velikost symbolu S v diferenciálu hraje významnou roli. Musíme striktně rozlišovat mezi integrálem f ds a integrálem f ds = f 1 dx 1 + f 2 dx 2. V dimenzi tři, pro dvourozměrnou plochu = ( 1, 2, 3 ): R 3, skalární pole u a dvojici indexů (i, j) {1, 2, 3} 2 definujeme u dx i dx j = u((t)) ( i, j ) (t 1, t 2 ) dt. Všimněne si, že takový integrál závisí znaménkem na pořadí diferenciálů a pro i = j je nulový! Pak lze psát f ds = f 1 dx 2 dx 3 f 2 dx 1 dx 3 + f 3 dx 1 dx 2. Podobně lze zapisovat různé integrály ve vyšších dimenzích, a nejen pro plochy dimenze či kodimenze jedna, podrobněji se však tomuto tématu budeme věnovat později. 5.3. Normálové pole. Nechť : R n je prostá regulární (n 1)-rozměrná plocha. Je-li x = (t), t, definujeme (6) ν(x) = J(t) J(t). Funkce ν : () R n se nazývá pole jednotkových normálových vektorů (zkráceně normálové pole) k ploše. Zahrnuje v sobě informaci o tečném prostoru v každém bodě a orientaci ve smyslu rub nebo líc. Je-li souvislá otevřená množina a má-li prosté spojité rozšíření do, existují jen dvě možnosti jak může vypadat normálové pole na (), tedy každá jiná parametrizace ψ dá jednu z těchto možností: původní ν nebo ν. 5.4. Věta (Vztah mezi integrálem prvého a druhého druhu). Nechť M R n má zobecněnou (n 1)- rozměrnou parametrizaci : R n. Nechť f : M R n je vektorové pole. Potom f ds = f ν ds, M pokud aspoň jeden z integrálů má smysl. 5

6. Věta o divergenci 6.1. Ohraničení otevřené množiny. Buď n > 1. Nechť Ω R n je omezená otevřená množina a : R n je prostá regulární (n 1)-rozměrná plocha v R n. Řekneme, že ohraničuje Ω v bodě z = (t) Ω, jestliže existuje okolí U bodu z a spojitě diferencovatelná rozhraničující funkce h: U R tak, že h(z) 0, J(t) je kladným násobkem h(z) (test orientace) a [ ] x Ω h(x) < 0, x U =. x () h(x) = 0 Při našem způsobu orientace směřuje normála ν ke vždy ven z Ω. Proto se jí říká vnější normála. Řekneme, že ohraničuje Ω až na (n 1)-nulovou množinu, jestliže je zobecněná parametrizace Ω a ohraničuje Ω v každém bodě (). 6.2. Věta o divergenci. Nechť Ω R n je omezená otevřená množina a : R n je (n 1)-rozměrná plocha ohraničující Ω až na (n 1)-nulovou množinu. Nechť f je spojitě diferencovatelné vektorové pole na Ω (). Potom (7) f ds = div f(x) dx, pokud integrály na obou stranách konvergují. Ω 6.3. Poznámky. Věta o divergenci se také nazývá aussova, auss-reenova nebo Ostrogradského. Často se zapisuje ve tvaru f ν ds = div f(x) dx. Ω 6.4. Test orientace pro reenovu větu. Následující varianta je důsledek věty o divergenci. Jedná se o to, že v dimenzi 2 je mno6ina Ω ohraničena zobecněnou křivkou, takže integrál přes kraj můžeme vnímat i jako křivkový integrál. V tom případě je přirozenější integrovat s tečným polem než s normálovým, ale tomu se musí uzpůsobit diferenciální operátor na druhé straně rovnosti. Test orientace v tomto případě v bodě a = (t) je det( h(a), (t)) > 0. kde h je rozhraničující funkce v a. 6.5. reenova věta. Nechť Ω R 2 je omezená otevřená množina ohraničená zobecněnou křivkou : R 2 až na 1-nulovou množinu. Nechť f je spojitě diferencovatelné vektorové pole na Ω (). Potom f ds = curl f(x) dx pokud integrály na obou stranách konvergují. 6.6. Příklad (Koule). Buď Ω = {x R 3 : x < 1}. K ohraničení použijeme sférické souřadnice: 2 α 3 α 3 γ 1 = cos γ cos α, 2 = cos γ sin α, 3 = sin γ, Ω Ω (α, γ) ( π, π) ( π/2, π/2) 2-nulová množina {x Ω : x 2 = 0, x 1 0} je nepokryta. Vektorový jakobián v bodě (α, γ) je 1 1 α γ cos γ sin α sin γ cos α cos γ cos α 2 γ = cos γ cos α sin γ sin α = cos γ cos γ sin α. 0 cos γ sin γ Rozhraničující funkce v bodě x = (α, γ) je h(x) = x 2 1 = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 1, tedy h(x) = 2x. Přesvědčili jsme se, že jakobián je kladný násobek normály, test orientace prošel. 6.7. Příklad (Čtverec). Buď Ω = (0, 1) 2 čtverec v R 2. Nechť zobecněná křivka je definována na (0, 1) (1, 2) (2, 3) (3, 4) předpisem [t, 0], t (0, 1), [0, t 1], t (1, 2), (t) = [3 t, 0], t (2, 3), [0, 4 t], t (3, 4). 6

Potom ohraničuje Ω. Vrcholy čtverce Ω zůstávají nepokryty, ale ty tvoří 1-nulovou množinu. Podmínky definice ověříme třeba na straně {1} (0, 1), pokryté úsekem na (1, 2). Rozhraničující funkce na (0, 2) (0, 1) je h(x) = x 1 1. Normála v bodě [1, x 2 ] je e 1 = [1, 0]. Test orientace v bodě x = (t) = [0, t 1] je ( 0 <? h det( h(x), (t)) = det x 1 (0, t 1), ) ( ) 1(t) 1, 0 h x 2 (0, t 1), = det = 1 2(t) 0, 1 6.8. Příklad (Krychle). Abychom ohraničili krychli Ω = (0, 1) 3, potřebujeme plochu, která by nám nakryla všechny stěny. Za tímto účelem zvolíme jako sjednocení šesti disjunktních čtverců, např. (k 1, k) (0, 1), k = 1,..., 6, a každý z nich přiřadíme jedné stěně krychle. Například, stěnu (0, 1) {0} (0, 1) můžeme nakrýt zobrazením (t 1, t 2 ) [t 1, 0, t 2 ], t (4, 5) (0, 1). Rozhraničující funkce je h(x) = x 2, x (0, 1) ( 1, 1) (0, 1). Vektorový jakobián v bodě t je 1 0 0 0 0 1 = což by měl být v případě správné orientace kladný násobek h(t 1 4, t 2 ). Snadno se přesvědčíme, že výsledek testu orientace je kladný. 0 1 0, 7. Integrování přes variety 7.1. Mapa. Nechť M R d. Inverzní zobrazení k lokální parametrizaci množiny M se nazývá (nrozměrná) mapa na M. Definiční obor mapy µ budeme značit D µ. 7.2. Atlas. Nechť Γ R d a A je množina map na Γ. Řekneme, že A je atlas (přesněji C 1 -atlas) na Γ, jestliže Γ = D µ. µ A V tom případě se dvojice (Γ, A) nazývá n-rozměrná varieta v R d (přesněji varieta třídy C 1 ). Struktura variety se dá budovat i na vhodné množině Γ která není dána jako část R d, pak je nutno definici uzpůsobit. I nadále, pokud budeme mluvit o mapě na varietě, nemusí být nutně prvkem daného atlasu. 7.3. Orientovaná varieta. Nechť (Γ, A) je varieta. Řekneme, že lokální parametrizace : Γ je kladná. jestliže µ má kladný jakobián pro každou mapu µ A. (Jako definiční obor µ bereme přirozeně {t : (t) D µ }.) Inverzní zobrazení ke kladné lokální parametrizaci se nazývá kladná mapa. V obecném případě kladné mapy nemusí existovat. Řekneme, že (Γ, A) je orientovaná varieta, jestliže každá mapa z A je kladná. 7.4. Příklady. (a) Nechť : R d je prostá regulární n-rozměrná plocha v R d a Γ = (). Předpokládejme, že 1 je spojité zobrazení. Potom (Γ, { 1 }) je n-rozměrná orientovaná varieta v R d, tzv. parametrická varieta. (b) Nechť je speciálního tvaru : t (t, ψ(t)) R d, t H, kde H R n je otevřená množina a ψ : H R d n je C 1 zobrazení. Buď Γ graf ψ, tedy Γ = {x R d : x i = ψ i n (x 1,..., x n ), i = n + 1,..., d}. Potom (Γ, { 1 }) je n-rozměrná orientovaná varieta v R d, tzv. explicitní varieta. (c) Nechť W R d je otevřená množina a g : W R d n je C 1 zobrazení. Předpokládejme, že g má v celém W hodnost d n. Buď Γ = {x W : g(x) = 0}. Řekneme, že n-rozměrná prostá regulární plocha : R d je kladná lokální parametrizace Γ vzhledem k implicitní funkci g, jestliže pro každý bod x = (t) () je ( det g 1 (x),... g d n (x), (t) t 1 (t),..., (t) ) (t) > 0. t n Nechť A = { 1 : je kladná lokální parametrizace Γ.} Potom (Γ, A) je n-rozměrná orientovaná varieta v R d, tzv. implicitní varieta. 7.5. Poznámka. Implicitní popis variet vypadá dost složitě, přesto má nesporné výhody: 7

Může být pro danou množinu přirozený, např. pro sféru v R n je přirozený popis pomocí implicitní rovnice x 2 = 1, naopak parametrické popisy, např. pomocí polárních či (zobecněných) sférických souřadnic, jsou umělé. Sféra R n nemá globální parametrizaci, dá se parametrizovat pouze po kouskách lokálně. I sférické souřadnice ponechávají nepokrytý poledník. Implicitní popis je výhodný v kodimenzi 1, protože pak soustava rovnic g(x) = 0 se redukuje na jednu (skalární) rovnici. 7.6. Věta (o zobecněné parametrizaci). Nechť (Γ, A) je n-rozměrná varieta v R d. Pak Γ má zobecněnou parametrizaci. Jestliže Γ je orientovaná, existuje kladná zobecněná parametrizace Γ. 7.7. Příklad. Sférické souřadnice x 1 = cos γ cos α x 2 = cos γ sin α, (α, γ) ( π, π) ( π/2, π/2) x 3 = sin γ tvoří zobecněnou parametrizace sféry S = {x R 3 : x = 1}. 2-nulová množina {x S : x 2 = 0, x 1 0} je nepokryta. Tento příklad je typický. 7.8. Integrál druhého druhu. Nechť : R d je n-rozměrná plocha, u je funkce na () a α = (α 1,..., α n ) {1,..., d} n je uspořádaná n-tice indexů (tzv. multiindex). Potom definujeme u dx α1... dx αk = u((t)) ( α 1,..., αn ) (t) dt. (t 1,..., t n ) Je-li (Γ, A) orientovaná n-rozměrná varieta v R d, u je funkce na () a α = (α 1,..., α n ) je multiindex, definujeme u dx α1... dx αk = u dx α1... dx αk, Γ kde je kladná parametrizace Γ. Podle věty 7.6 definice nezávisí na volbě. 8. Stokesova věta 8.1. Ohraničení variety. Buď n > 1. Uvažujme n-rozměrnou varietu v R d a její podvarietu (tj. relativně otevřenou podmnožinu) Ω. Nechť : R d je prostá regulární (n 1)-rozměrná plocha v R d. Řekneme, že ohraničuje Ω v bodě z = (t), jestliže existuje kladná mapa µ k tak, že z D µ a µ ohraničuje µ(d µ Ω) v µ(z). Řekneme, že ohraničuje Ω až na (n 1)-nulovou množinu, jestliže je zobecněná parametrizace množiny Ω \ Ω a ohraničuje Ω v každém bodě (). Množina Ω \ Ω hraje roli hranice. Zde zdůrazněme, že Ω je absolutní uzávěr (vzhledem k R d ), může přesáhnout ven z. Z předpokladu však plyne, že její přesah přes musí být (n 1)-nulový. 8.2. Stokesova věta. Nechť R d je n-rozměrná orientovaná varieta a Ω je její omezená relativně otevřená podmnožina. Nechť : R d je (n 1)-rozměrná plocha ohraničující Ω až na (n 1)-nulovou množinu. Nechť u spojitě diferencovatelná funkce na okolí a (α 1,..., α n 1 ) je uspořádaná (n 1)-ice indexů z {1,..., d}. Potom Γ u dx α1... dx αn 1 = pokud integrály na obou stranách konvergují. d i=1 u x i dx i dx α1... dx αn 1, 8.3. Test orientace pro speciální Stokesovu větu. Nejdůležitější případ Stokesovy věty je d = 3 a n = 2. Pak bývá zpravidla zadaná jako implicitní varieta rovnicí g = 0 a orientovaná normálovým polem ν(x) = g(x) g(x) Její podvarieta Ω je ohraničená zobecněnou křivkou : R 3 a ke každému bodu z () najdeme jeho okolí U v R 3 a na něm spojitě diferencovatelnou rozhraničující funkci h tak, že g(z) h(z) 0 a [ ] x Ω h(x) < 0, x U =. x () h(x) = 0. 8

Test orientace v takovém bodě se dá vyjádřit tak, že je ψ (t) je kladným násobkem g(x) h(x), nebo že det( g(x), h(x), (t)) > 0. 8.4. Speciální Stokesova věta. Nechť R 3 je omezená 2-rozměrná orientovaná varieta a Ω je její podvarieta, ohraničená zobecněnou křivkou ψ až na 1-nulovou množinu. Nechť f je spojitě diferencovatelné vektorové pole na okolí. Potom f ds = curl f ds, ψ Ω pokud integrály na obou stranách konvergují. 9. Praktické hledání parametrizace a určování orientace 9.1. Poznámka. Sehranost orientací pro reenovu a Stokesovu větu se heuristicky kontroluje pomocí názorných pomůcek. Kladná parametrizace kraje otevřené množiny Ω R 2 je křivka, která obíhá proti směru hodinových ručiček. Kladná parametrizace kraje 2-rozměrné variety R 2 orientované pomocí normály se pozná podle pravidla pravé ruky: směřuje-li palec ve směru normály příslušné, pak zakřivené prsty ukazují směr obíhání křivky, která parametrizuje kraj. Zde používáme konvenci, že osa x směřuje doprava, osa y dozadu a osa z nahoru. Tyto pomůcky nemůžou nahradit výpočet, ale mohou nám naznačit, zda jsme při výpočtu neudělali numerickou chybu. 9.2. Poznámka. Je-li : R d plocha, o níž chceme rozhodnout, zda ohraničuje množinu nebo zda je kladnou lokální parametrizací variety, pak platí, že pokud je souvislá (např. interval), stačí provést test orientace v jednom bodě. V některých následujících cvičeních budeme ze cvičných důvodů ověřovat znaménko ve všech bodech. Samostatně zkontrolujte, zda nalezené parametrizace jsou prostá regulární zobrazení do dané množiny a nepokrytá čast je nulová. 9.3. Poznámka. Pokud nám test orientace dá, že nalezená parametrizace je záporná, nezoufejme. Kladnou parametrizaci lze vyrobit prohozením pořadí proměnných (u plochy) nebo záměnou proměnných s = t (u křivky). 9.4. Cvičení. Nechť 0 < r < R a M = {( x 2 + y 2 R) 2 + z 2 = r 2 }. Najděte zobecněnou parametrizaci a rozhodněte o znaménku, víte-li, že kladná jednotková normála v bodě [R + r, 0, 0] je [1, 0, 0]. Řešení. Použijeme-li válcové souřadnice Φ: x = ρ cos ᾱ, y = ρ sin ᾱ, z = z, [ ρ, ᾱ, z] (0, ) ( π, π) R, rovnice se nám převede na ( ρ R) 2 + z 2 = r 2. Tuto varietu můžeme parametrizovat posunutými polárními souřadnicemi ψ: ρ = R + r cos β, z = r sin β, ᾱ = α, takže složením parametrizací Φ ψ dostáváme : x = (R + r cos β) cos α, y = (R + r cos β) sin α, z = r sin β, [α, β] ( π, π) 2, [α, β] ( π, π) 2. Znaménko parametrizace určíme z pravidla, že vektorový jakobián kladné parametrizace v [α, β] je kladným násobkem jednotkové normály v (α, β). Stačí tedy kontrolovat x-ovou souřadnici J(α, β), a to je ( ) (y, z) (R + r cos β) cos α, r sin β sin α (α, β) = det. (α, β) 0, r cos β Jelikož náš bod [R + r, 0, 0] je (0, 0), počítáme ( ) (y, z) R + r, 0 (0, 0) = det = r(r + r) > 0. (α, β) 0, r 9

Tedy nalezená parametrizace je kladná. 9.5. Cvičení. Nechť g = x 2 + y 2 + z 2 1 a M = {g = 0} je orientovaná implicitní funkcí g ve smyslu příkladu 7.4 (c). Spočtěte x dy dz. M Řešení. Použijeme-li sférické souřadnice x = r cos γ cos ᾱ, y = r cos γ sin ᾱ, z = r sin γ, [ r, ᾱ, γ] (0, ) ( π, π) ( π 2, π 2 ), dostaneme z rovnice g = 0 podmínku r = 1. Tedy zvolíme zobecněnou parametrizaci, Potom x = cos γ cos α, y = cos γ sin α, z = sin γ, [α, γ] := ( π, π) ( π 2, π 2 ). M \ () = M {x < 0} {y = 0}, což je 2-nulová množina. Pro [x, y, z] = (α, γ) máme takže g(x, y, z) = [2x, 2y, 2z] = [2 cos γ cos α, 2 cos γ sin α, 2 sin γ] ( det g, α, ) 2 cos γ cos α, cos γ sin α, sin γ cos α = det 2 cos γ sin α, cos γ cos α, sin γ sin α = 2 γ 2 sin γ, 0, cos γ. Tedy parametrizace je kladná a x dy dz = M = π/2 (cos γ sin α, sin γ) cos γ cos α dα dγ (α, γ) ( π ) cos 3 γ cos 2 α dα dγ = 4 3 π. π/2 π 9.6. Cvičení. Nechť g = x 2 +y 2 +z 2 1, h = 3 2 x. Nechť = {[x, y, z] R3 : g(x, y, z) = 0}, orientace implicitní funkcí g (tedy normálové pole je identita na sféře). Nechť Ω = {[x, y, z] : h(x) < 0}. Najděte křivku, která ohraničuje Ω. Řešení. Varieta je daná implicitně rovnicí g = 0, rozhraničující funkce je h. Hledaná křivka má parametrizovat varietu g = h = 0. Použijeme-li válcové souřadnice x = x, y = ρ cos ᾱ, z = ρ sin ᾱ, [ ρ, ᾱ, x] (0, ) ( π, π) R, vyjádříme danou soustavu rovnic jako x 2 + ρ 2 = 1, 3 x = 2. Odtud dostaneme zobecněnou parametrizaci : x = 3 2, y = 1 2 cos α, α z = 1 2 sin α, ( π, π). Zobecněná křivka pokrývá {g = h = 0} až na bod [ 3 2, 1 2, 0]. Máme g = [2x, 2y, 2z] = [ 3, cos α, sin α], h = [ 1, 0, 0], = [0, 1 2 sin α, 1 cos α]. 2 10

Test orientace je kladnost determinantu 3, 1, 0, det ( g, h, ) = det cos α, 0 1 2 sin α 1 sin α, 0, 2 cos α = 1 ( ) cos α, sin α 2 det = 1 sin α, cos α 2, takže nalezená parametrizace je kladná. 11