K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 Variační princip V této kapitole se podíváme na zcela jiné vjádření zákonů, které určují pohb soustav hmotných bodů Nebudou mít formu diferenciálních rovnic 1, ale budou vjádřen požadavkem, že jistý integrál má mít minimální (resp obecně extrémní) hodnotu To na první pohled vpadá velmi podivně le ukazuje se, že podobné princip se uplatňují i v jiných oblastech fzik příkladem je Fermatův princip v geometrické optice Trochu metaforick b se snad dal tto princip vjádřit tvrzením, že příroda má ráda extrém Co to znamená a jak se to konkrétně ukazuje v klasické mechanice, se pokusíme v dalším naznačit Nejprve se ale podíváme na úlohu, která historick bla jedním z problémů, jež vedl ke vzniku tzv variačního počtu Pojďme na skluzavku! Úvod: co nejrchlejší skluzavka aneb úloha o brachistochroně Základní problém je jednoduchý: Jaký tvar má mít skluzavka mezi dvěma pevně danými bod, abchom se po ní sklouzli co nejrchleji, ted za co nejkratší čas? Problém poněkud zpřesníme: V homogenním gravitačním poli se hmotný bod pohbuje bez tření po křivce x zadanými bod a, tj platí, x x 3 mezi dvěma pevně Pro jednoduchost zvolíme soustavu souřadnic tak, že počátek bude v bodě, jak to ukazuje obrázek; osa směřuje dolů V bodě je počáteční rchlost hmotného bodu rovna nule Otázkou je, jak zvolit křivku tak, ab čas, za který se hmotný bod m vlivem gravitace dostane do bodu, bl co nejkratší Z historie je tento problém znám jako úloha o brachistochroně 4 Že takováto křivka b měla existovat, je vcelku zřejmé Pokud bchom naši skluzavku měli zpočátku jen velmi povlovnou (křivka 1 x ), hmotný bod se bude zpočátku pohbovat velmi pomalu a čas klouzání bude dlouhý Pokud b skluzavka vedla příliš dolů (viz x ), bude zbtečně dlouhá a výsledný čas se také prodlouží V obou případech můžeme úpravou křivk čas klouzání zkrátit Někde mezi krajními možnostmi ted zřejmě existuje křivka x, po níž je čas klouzání nejkratší Jak ji ale najít? Přece nemůžeme zkoušet všechn křivk, těch je nekonečný počet! Pojďme nejprve určit, jak dlouho trvá, než bod doklouže do bodu Kdž hmotný bod dojede do místa o souřadnicích hmotného bodu je ted x, x, je jeho kinetická energie 1 m mg v 5 Rchlost klouzání 1 Dosud jsme bli zvklí, že pohbové rovnice jsou vžd rovnicemi diferenciálními Vždť i druhý Newtonův dr zákon ma F je diferenciální rovnicí m F dt Pokud jste se s ním dosud nesetkali, nemusíte se bát, pro pochopení této kapitol nebude podstatný, i kdž si ho na příslušném místě krátce připomeneme 3 Můžete si představit třeba malý korálek klouzající po drátu se zanedbatelným třením 4 Slovní základ druhé části slova, chronos, nám říká, že v úloze jde o čas rachs znamená řeck krátký, třetí stupeň tohoto slova, ted nejkratší je brachistos Proto brachistochrona píšeme s měkkým i 5 O mg klesla potenciální energie hmotného bodu, o stejnou hodnotu se ted musí zvýšit kinetická energie; ta bla na začátku nulová 1
K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 Čas v g x t, za který hmotný bod urazí kousek dráh l 1 x, kde l, je t l v Délka kousku dráh je d 6 7 Čas, za který hmotný bod překoná kousek dráh, je ted dx l 1 t x v g Celkový čas dostaneme integrací 8 : x 0 1 t dx (81) g Jak ale určit křivku, pro níž je t nejmenší? V rámci výpočtů, které známe, to zatím neumíme Musíme se proto seznámit s částí matematik, která je pro nás nová, s variačním počtem 9 Vztah (81) pro nás bude dobrým východiskem, nejprve si ale (jak bývá v matematice zvkem), náš problém trochu zobecníme Variační počet: formulace úloh Ve vztahu (81) je integrál z nějakého výrazu, který obsahuje funkci Obecně takový integrál můžeme napsat jako x a její derivaci x I F x, x, x dx (8) Přidali jsme sem ještě možnou explicitní závislost výrazu F x, x, x na x 10 Úlohou je najít funkci x takovou, pro níž integrál (8) nabývá minima, resp obecně extrému Omezujeme se přitom na funkce, pro něž platí x x tj jejichž hodnot v koncových bodech intervalu jsou pevně dané,, (83) 6 Pro konečné kousk x a l toto samozřejmě platí přibližně, přesně až v limitě x 0 nebo tehd, kdž místo konečných přírůstků píšeme diferenciál Chcete-li, pište ted dt dl v, dl 1 dx apod Pro názornost však zde i v dalších vzorcích často pracujeme s konečnými kousk, aniž bchom specielně vznačovali, že v tomto případě vztah neplatí úplně přesně 7 Pokud zapomeneme vztah pro délku kousku křivk, stačí si uvědomit, že vlastně jednoduše plne z Pthagorov vět: l x x x 1 x (Přesně toto ovšem platí opět až v limitě nekonečně malých kousků ) 8 Názorně řečeno: sečtením všech kousků času 9 Nebojte se, jen s jeho základ 10 V úloze o brachistochroně blo F x, x, x 1 g, tam daný výraz závisel jen na a, nikoli explicite na x
K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 Než se pustíme do řešení, přidejme dvě poznámk Jedna bude terminologická: Pravá strana vztahu (8) je příkladem toho, čemu se v matematice říká funkcionál Jde o operaci, do níž vstupuje nějaká funkce (zde funkce x a její derivace) a výsledkem je číslo 11 Druhá poznámka se týká zápisu Dále již většinou nebudeme stále vpisovat závislost a na x, pro stručnost ted budeme např (8) psát I F,, x dx (84) Jak hledat extrém pomocí variace funkce Jak hledat extrém veličin I? Kdb závisela jen na několika proměnných, tak bchom použili známý postup: parciální derivace podle těchto proměnných bchom položili rovn nule V (8) ale můžeme nastavovat nekonečný počet hodnot x Musíme ted extrém hledat jinak Základní nápad, jak to dělat, nám může objasnit jednoduchý příklad Uvažujme funkci jedné proměnné, viz obrázek Pokud se hodnota proměnné x změní o x, pak obecně, pokud jsme mimo extrém, se také změní hodnota funkce o f 0 Jsme-li ale v bodu, který odpovídá extrému (na obrázku je to x min ), pak posun o hodnotu praktick nezmění 1 x funkční Hledat extrém veličin I ted můžeme tak, že budeme uvažovat malé změn funkce Jsme-li mimo extrém, pak se při změnách Odpovídá-li x mění i hodnota I x x extrému, pak se při malých změnách funkce hodnota I praktick nemění Tuto mšlenku může ilustrovat i příklad skluzavk v úvodu kapitol U nevhodných skluzavek 1 x a x stačí i malá změna tvaru skluzavk k tomu, ab se výrazně prodloužil nebo zkrátil čas, za nějž dojedeme do bodu V případě optimální skluzavk x malá změna tvaru skluzavk čas sklouznutí praktick neovlivní udeme ted uvažovat funkci funkcionálu I, a funkce x, která bude odpovídat extrému x, které se od ní budou o málo lišit a v koncových bodech s ní budou splývat, ted a x x Odchlk funkcí x od označovat jako Funkce x x x budeme x x x (85) x nazýváme variace funkce x Považujeme je přitom za velmi malé to znamená, že s nimi můžeme pracovat stejně, jako s diferenciál 11 Přesněji řečeno jde o zobrazení z nějakého prostoru funkcí do prostoru reálných nebo komplexních čísel; blíže zde tento pojem nebudeme precizovat 1 Přesněji řečeno, nezmění ji o člen prvního řádu v x : f xmin x f xmin o x extrém f x x f x f x x, kde f x 0 3, zatímco mimo Ve všech těchto a následujících úvahách a odvozeních přitom předpokládáme, že funkce, o něž nám jde, jsou spojité a mají první, případně druhé derivace
K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 Variací funkcionálu I nazveme rozdíl hodnot I odpovídající funkcím x a x : 13,,,,,,,, (86) I F x dx F x dx F x dx F x dx Z předchozích úvah plne, že extrém I nastává v případě, kd variace I je nulová: I 0 (87) Přitom v koncových bodech mají funkce stále pevné hodnot To znamená, že variace funkce (85) musí být na koncích intervalu nulová: x x 14 15 Ze vztahů (86) (88) už budeme moci extrém I najít 0, 0 (88) Od variace funkcionálu k Eulerovým-Lagrangeovým rovnicím Vztah (86) můžeme upravit na,,,, I F x F x dx V hranaté závorce je rozdíl výrazů F ve dvou blízkých bodech Protože variace δ bereme jako velmi malé 16, můžeme psát F F F,, x F,, x Dostáváme ted F F I dx (89) Malost variace δ vjádříme explicite tak, že tuto variaci napíšeme jako 13 Chcete-li, můžete označit I,, F x dx, variace I pak je I I I 14 Ještě jednu poznámku: Ve vztahu (86) vstupuje také variace derivace funkce, Co to je? Variací rozumíme rozdíl oproti původní funkci; variací derivace je ted zřejmě x x x Derivujeme-li ale vztah (85), dostaneme d d d x x Je ted vidět, že dx dx dx derivace variace funkce se rovná variaci derivace funkce Jednoduše řečeno, nezáleží na tom, zda nejdříve vezmeme variaci funkce a tu zderivujeme nebo zda nejdřív funkci derivujeme a pak vezmeme její variaci 15 ještě jednu poznámku k označení a terminologii Pro variaci funkce, jak jsme ji zavedli vztahem (85), se z historických důvodů používá označení δ (ted malé delta) Přitom funkční hodnot x a x bereme ve stejném bodě x (V souvislosti s tím, že v úlohách je nezávisle proměnnou často čas, mluvíme ve fzice o těchto variacích jako o isochronních) V učebnicích teoretické mechanik můžete narazit i na další tp variací, kd se porovnávají funkční hodnot funkcí ve dvou blízkých, ale různých bodech, ted x a x x Tto variace bývá zvkem označovat smbolem Δ; v našem textu se jimi dále nebudeme zabývat a omezíme se jen na variace isochronní 16 Respektive nekonečně malé, jak jsme už uvedli, pracujeme s nimi jako s diferenciál 4
K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 x kde je libovolná funkce 17 splňující a Z (89) pak dostaneme x, x x 0, 0 (810) 1 18 x F F I dx (811) b nastal extrém, musí platit (87), ted I 0 Protože 0 19, plne z (811) F F I 0 dx 0 (81) Pravá strana (81) je ted podmínkou, ab nastal extrém Můžeme ji ještě upravit 0, abchom se v ní zbavili derivace : F F F d F d F 0 dx dx dx dx F d F d F dx dx dx dx F d F F x dx dx Poslední člen v (813) je ale roven nule Je totiž x x 0 platí (810) Podmínku na extrém ted můžeme vjádřit ve tvaru F F F (813), protože F d F dx x dx 0 (814) Tato podmínka musí přitom platit pro libovolnou funkci η(x) (spojitou, derivovatelnou a splňující (810)) 17 Pozor, termín libovolná je nutno poněkud omezit Musí jít o funkci spojitou, která má první derivaci 18 Pro zpřesnění: Ve všech výrazech, kde se vsktuje δα, budeme ponechávat jen člen prvního řádu; všechn člen (δα) a všších řádů budeme zanedbávat 19 δα je sice nekonečně malé, ale různé od nul! 0 Používáme přitom obrat tpu dg d df f f g g, kde dx dx dx 5 F f a g
K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika 8 Variační princip prozatímní učební text, verze 01 Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 Co musí platit, ab blo splněno (814)? Ukážeme, že je nezbtné, ab hranatá závorka v integrálu v (814) bla na celém intervalu x, x rovna nule Jde totiž o spojitou funkci Pokud bchom ji označili jako f x, bude (814) f x x dx 0 (815) Důkaz provedeme sporem Pokud b f x blo různé od nul, třeba kladné, v nějakém bodě x0, musí být (v důsledku spojitosti) kladné i v určitém okolí tohoto bodu, viz obrázek Funkci η(x) pak můžeme zvolit v tomto okolí také kladnou a všude jinde nulovou Je zřejmé, že integrál f x x dx b pak musel být také kladný, což je spor s (815) To znamená, že platí-li (815) pak f x musí být na celém intervalu x, x rovno nule1 K čemu jsme ted dospěli? Platí I 0 F d F 0, dx (816) jinými slov: Jestliže funkcionál I F,, x dx nabývá extrému, pak funkce x splňuje rovnici F d F 0 dx (817) Rovnice (817) se nazývá Eulerova-Lagrangeova rovnice Problém nalezení extrému funkcionálu jsme ted převedli na řešení diferenciální rovnice Poznamenejme, že podobně lze hledat i extrém funkcionálu, který závisí na více funkcích 1 x, x,, ted I F,, x dx j j Místo jediné diferenciální rovnice pak dostáváme sstém Eulerových-Lagrangeových rovnic F d F j dx j 1 0 (818) Toto tvrzení bývá někd označováno jako základní lemma variačního počtu Upřesňující poznámka: Eulerova-Lagrangeova rovnice je nutnou podmínkou, ab pro danou funkci x bl funkcionál extrémní Striktně vzato to však není podmínkou postačující Může totiž nastat případ, kd I 0, ale přesto nejde o extrém nalogií v případě funkce jedné proměnné je chování funkce x 3 v bodě x 0 : Při posunu o malý kousek doleva nebo doprava se hodnota funkce praktick nemění (protože její první derivace v daném bodě je rovna nule), přesto však nejde o minimum ani o maximum Chceme-li zahrnout i tto případ, říkáme obecně, že funkcionál má stacionární hodnotu Podmínka I 0 a ted i rovnice (817) je ted ekvivalentní tomu, že funkcionál I má stacionární hodnotu 6
K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 Hamiltonův princip Přejděme zpět k dnamice soustav hmotných bodů Podívejme se pozorněji na Eulerov-Lagrangeov rovnice (818) Nepřipomínají nám něco? Jistě, vpadají praktick stejně jako Lagrangeov rovnice druhého druhu d L L dt q j qj 0, (819) jen místo nezávisle proměnné x v Eulerových-Lagrangeových rovnicích je v (819) čas t, místo funkcí j x funkce qj t a místo F lagrangián L 3 Výše jsme odvodili, že podmínka I 0 je ekvivalentní Eulerovým-Lagrangeovým rovnicím 4 Dík analogii můžeme naopak říci, že Lagrangeov rovnice druhého druhu jsou ekvivalentní podmínce kde t S 0, (80) S L q, q, t dt (81) t j j a při variaci (80) mají zobecněné souřadnice q j pevné hodnot: q t q ( ) j j q t q ( ) j j, (8) Veličina S daná vztahem (81) se nazývá akce 5 Protože Lagrangeov rovnice druhého druhu jsou pohbovými rovnicemi soustav hmotných bodů a protože, jak vidíme, jsou ekvivalentní podmínce (80), můžeme říci, že Soustava hmotných bodů, která v čase t je v pevně dané počáteční poloze a v čase t v pevně dané koncové poloze, se mezi těmito čas pohbuje tak, že variace akce je rovna nule (ted že akce je stacionární 6 ) Tento výsledek je znám pod názvem Hamiltonův princip Hamiltonův princip většinou na první pohled připadá zvláštní a překvapující Jsme totiž zvklí formulovat zákon pro pohb částic a těles (ted pohbové rovnice) v čase lokálně Příkladem je druhý Newtonův zákon: V daném čase působí na hmotný bod celková síla F, ta působí zrchlení a F m a dík tomu se za malý časový interval Δt změní rchlost na vt t v t at Vše se děje v čase t resp v jeho těsném okolí Například při šikmém vrhu síla postupně mění směr rchlosti a výsledkem těchto postupných změn je nakonec celková trajektorie, v daném případě parabola Zápis pomocí diferenciální rovnice je jen jiným vjádřením toho, jak se rchlost a poloha mění krok po kroku 3 Navíc mají rovnice opačné znaménko, ale na něm nezáleží, vnásobení faktorem -1 rovnice nezmění 4 Ted, odvodili jsme to v případě jediné funkce x, odvození pro více funkcí b blo obdobné 5 Pozor, nemá nic společného s principem akce a reakce, jde jen o shodu jmen Lze se také setkat s názv Hamiltonova principiální funkce nebo Hamiltonova akční funkce 6 Většinou jde o extrém, ale raději zde uvádíme obecnou formulaci, viz výše poznámku 7
K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 Hamiltonův princip nám předkládá úplně jiný obrázek Mezi zadaným počátečním bodem (ted bodem, z něhož v počátečním čase t házíme) a zadaným koncovým bodem (do něhož hmotný bod v pevném koncovém čase t dopadne) se hmotný bod pohbuje tak, ab jakási veličina, kterou spočteme integrálem přes všechen čas pohbu (akce S) bla minimální 7 Naprosto přirozeně se vtírá otázka: Jak ten hmotný bod ví, jaký bude integrál (81)? to nějak za letu porovnává různé možnosti, jak letět, a výsledné hodnot akce? Hmotný bod samozřejmě nic neví a nepočítá integrál stejně jako neřeší diferenciální rovnice, kdž jeho pohb popisujeme pomocí nich od se prostě pohbuje podle zákonů klasické mechanik jak jsme ukázali, tto zákon lze vjádřit nejen pomocí diferenciálních rovnic, ale také pomocí integrálního principu (80) (resp (80) (8)) Je to nezvklé, ale je to tak Variační princip nejen v klasické mechanice Variačních principů (resp integrálních principů) blo v teoretické mechanice formulováno více 8 Co je však ještě zajímavější: variační princip se významně uplatňují i mimo oblast klasické mechanik Ukazuje se, že formulovat fzikální zákon pomocí variačních principů je velmi obecný, hluboký a přínosný přístup minimálně stejně přínosný, jako jejich formulace pomocí diferenciálních rovnic Příkladem je Fermatův princip v geometrické optice: světlo se mezi dvěma pevnými bod šíří po takové trajektorii, po níž to stihne (v porovnání s blízkými trajektoriemi) za nejkratší čas 9 Podobný princip se uplatňuje i v kvantové elektrodnamice, ted v oblasti hodně vzdálené od názorných objektů klasické mechanik 30 Variační princip se uplatňují také ve speciální a obecné relativitě a dalších oblastech teoretické fzik Nejde však vžd jen o výšin teoretické fzik, pro řadu lidí vzdálené čemukoli praktickému 31 Variační počet se užívá i v technických aplikacích Ve strojnických a stavebních konstrukcích bývá potřeba spočíst rozložení mechanických napětí 3 Tento problém popisuje soustava parciálních diferenciálních rovnic Ukázalo se, že výhodnější, než řešit přímo tto rovnice, je přeformulovat celý problém na variační úlohu, ted sestrojit příslušný funkcionál a hledat jeho minimum Ne samozřejmě fitováním hodnot v nekonečně mnoha bodech, ale ve vhodně zvolených kouscích Tohle je principem tzv metod konečných prvků, která se dnes používá i pro řešení řad dalších parciálních diferenciálních rovnic 7 Obecně: stacionární 8 Zájemce odkazujeme na učebnice teoretické mechanik, m se k trochu obecnější formulaci dostaneme ještě v kapitole 10 Zároveň je vhodné připomenout, že například teorém Noetherové, který jsme zmínili v kapitole 7, bývá odvozován právě z variačního principu 9 Přesněji řečeno, za čas, který je extremální resp stacionární v porovnání s čas po blízkých trajektoriích 30 Velmi pěkný polopopulární úvod do těchto mšlenek podává kniha R Fenmana Podivuhodná teorie světla a látk 31 Tomuhle názoru b se mimochodem dalo úspěšně oponovat, ale to teď necháme stranou 3 Nechceme přece, ab nějaký nosník praskl, protože napětí překročilo mez pevnosti Na druhou stranu, zbtečně předimenzovat konstrukci b blo neekonomické 8
K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 První integrál Eulerov-Lagrangeov rovnice a zpět ke brachistochroně Celou kapitolu jsme začali úlohou o brachistochroně Můžeme ji nní vřešit? Rozhodně můžeme sestavit příslušnou diferenciální rovnici Porovnáním (81) s obecným funkcionálem (8) vidíme, že Dosazením do Eulerov-Lagrangeov rovnice (817), ted do 1 F (83) g F d F 0 dx (84) pak získáme konkrétní rovnici, jejímž řešením b všla hledaná nejrchlejší skluzavka, ted brachistochrona Potíž je v tom, že vjde rovnice příliš složitá, kterou neumíme řešit Naštěstí však v případě, kd výraz F explicite nezávisí na proměnné x, tj kdž platí F 0, (85) x lze najít tzv první integrál rovnice (84), pomocí něhož lze často dospět k řešení v případě úloh o brachistochroně opravdu (83) na x explicite nezávisí! Pojďme se podívat, jak onen první integrál najít Kdž vnásobíme rovnici (84), můžeme výsledek postupně upravit na F d F F d F F d 0 dx dx dx F F F d F F x dx x (86) df d F F d F F F dx dx x dx x Při úpravách jsme použili často vužívaný obrat vužívající derivaci součinu funkcí 33, přičetli a odečetli jsme člen F x a navíc vužili vztah pro derivaci výrazu F podle x 34 d F Pokud F nezávisí explicite na čase, ted platí (85), plne z (86) F 0, to znamená, dx že F F konst 9 (87) Výraz na levé straně (87) je kýžený první integrál rovnice (84) (Získali jsme ho integrací této rovnice) df d dg F g f g f, kde f a g dx dx dx d F d F d F F F F F x, x, x dx dx dx x x 33 Šlo o úpravu 34 Nikoli pro parciální derivaci! Je
K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 rachistochrona: řešení Pro nalezení brachistochron nejprve v (83) vpustíme člen g ve jmenovateli 35 Vezmeme ted F ( ) 1 + =, odtud také určíme F = ( 1 + ( ) ) Po dosazení do (87) dostaneme ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) F 1+ 1+ 1 konst = F = = = 1+ 1+ 1+ ( ) Výsledný zlomek roven konstantě, takže konstantě musí být roven i výraz pod odmocninou ve jmenovateli: kde C je konstanta 36 ( ( ) ) 1+ = C, (88) Výsledná rovnice stále ještě nevpadá jako jednoduše řešitelná ale matematika nás poučí, že rovnice tohoto tpu lze řešit vhodnou substitucí za Dokonce poradí i substituci, která bude fungovat 37 : Z (88) po dosazení (89) dostáváme 38 ϕ = cotg (89) C = = C sin = C 1 cos 1 + ( ϕ ) ( ϕ) (830) Známe ted v závislosti na parametru ϕ Potřebujeme zjistit, jak na tomto parametru závisí x Derivaci x podle ϕ můžeme zapsat jako dx dx d 1 d 1 = = C ( 1 cosϕ) C sinϕ dϕ d dϕ d dϕ = = dx ( ϕ ) C ( ϕ ) ( ϕ ) C ( ϕ ) C( ϕ) = tg sin cos = sin = 1 cos Odtud už ( 1 cosϕ) ϕ ( ϕ sinϕ) x = C d = C 39 (831) 35 Výrazem 1 g se pouze násobí celkový čas Má-li být nejkratší, je jistě nejkratší i libovolný jeho násobek Jiným argumentem je skutečnost, že na levé straně (87) můžeme F násobit libovolnou konstantou a daná rovnost se nezmění (Zkuste si sami rozmslet, že vpuštěním členu g skutečně nepácháme žádnou nepřístojnost) 36 Na pravé straně (88) jsme napsali její dvojnásobek, protože faktor se v dalších úpravách výhodně zkrátí 37 Přiznejme, sami bchom ji asi nevmsleli 38 sin ( ϕ ) + cos ( ϕ ) 1 Při úpravách vužíváme vztah 1 + cotg ( ϕ ) = = a sin sin ( ϕ ) sin ( ϕ ) ( ϕ ) 10 1 cosϕ =
K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 Výsledná parametrická rovnice brachistochron je ted x 1cos C sin C (83) Jde o rovnici ckloid 40 Křivkou, po níž hmotný bod klouže k cíli za nejkratší čas, je ted ckloida Pro 0 je hmotný bod v počátečním bodě (počátku souřadnic), pro nějakou hodnotu je v koncovém bodě o souřadnicích x, ; hodnotu a konstantu C určíme právě ze souřadnic x a 41 Závěrečné poznámk Úlohu o brachistochroně bchom zřejmě bez variačního počtu nedokázali vřešit Není to samozřejmě jediný zajímavý problém, kde je variační počet užitečný S jeho pomocí můžeme například najít tvar řetězovk To je tvar, který zaujme řetěz pověšený mezi dvěma bod 4 Je jasné, že řetěz se zřejmě prověsí tak, že jeho potenciální energie bude minimální 43 Tato úloha je však poněkud složitější, protože při hledání minima potenciální energie musíme respektovat podmínku, že se řetěz neprotáhne, ted že má pevnou délku Proto zde v základním textu kapitol řešení tohoto problému neuvádíme Zásadním sdělením této kapitol bl ale Hamiltonův princip, resp obecně zjištění, že pohbové zákon nemusí mít jen tvar diferenciálních rovnic, ale také integrálních principů a že obě tato vjádření jsou rovnocenná Navíc jsou tto princip velmi užitečné i mimo oblast mechanik V poněkud volnější formulaci ted opravdu můžeme říci, že příroda má ráda extrém 39 Integrační konstantu volíme rovnu nule; odpovídá to počátečnímu bodu v počátku souřadnic ( x 0, x 0 pro 0) 40 si ji znáte, ale pro připomenutí: Ckloida je křivka, kterou opíše bod na obvodu kola valícího se po rovině 41 b se ckloida strefila do koncového bodu 4 Řetěz je homogenní, považujeme jej za nekonečně ohebný a je v homogenním gravitačním poli 43 Nebo si snad umíte představit, že b bl prověšen směrem vzhůru? 11