Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých jasě defovaých případech se omezíme a jejch podobory ejčastěj N resp. N +. Víme jž že celá čísla tvoří algebrackou strukturu (ozačovaou jako eukledovský obor tegrty) která je uzavřeá vzhledem k operac sčítáí odčítáí a ásobeí tj. součet rozdíl souč lbovolých dvou celých čísel je opět celé číslo. Vzhledem k operac děleí však celá čísla tuto vlastost obecě emají. Obsahem této kaptoly budou právě vlastost celých čísel vzhledem k operac děleí a hlaví výsledky které se dotýkají problematky děltelost prvočísel a kogruecí mají zásadí výzam apř. v oblast výpočetí techky moderí teore kódováí stochastckého modelováí apod.. Defce a základí pojmy Defce.. - děltelost Řekeme že eulové celé číslo b dělí a píšeme V opačém případě píšeme b a a říkáme že b edělí a. b a jestlže exstuje celé číslo q takové že a b q. (.) Pokud b dělí a říkáme také že a je děltelé b. V tomto případě číslo q azýváme podílem číslo a ásobkem čísla b a číslo b děltelem čísla a. Děltele b azveme vlastím děltelem čísla a jestlže b a b. Děltele který eí vlastí azýváme evlastím děltelem. Věta.. Relace děltelost má ásledující vlastost: a) a Z platí a b) a Z platí a c) a Z platí a a d) a b Z platí a b b a a b a b e) a b c Z platí a b b c a c f) a b c Z platí a b a b c g) a b c d Z platí a b c d a d c d b. Pozámka.. Přpomeňme že vlastost a) se azývá reflexvta a c) traztvta relace děltelost. Pokud bychom ve větě.. ahradl číselý obor Z oborem přrozeých čísel N dostal bychom místo b) ásledující vlastost: b * ) a b N platí a b b a a b 5
která se azývá atsymetre. Je tedy zřejmé že v oboru přrozeých čísel je relace děltelost (částečým) uspořádáím které však eí leárí (lbovolá dvojce přrozeých čísel a b emusí být v relac tj. emusí platt a b a b a). Vlastost g) předcházející věty lze zobect ásledujícím způsobem: g * ) Je-l zámo že číslo d dělí všechy čley rovost m a b utě dělí zbývající čle. Jako zřejmý důsledek vlastost g * ) dostáváme: Jestlže a b potom pro lbovolá x Z j j kromě jedého platí a b x b x. Příklad.. Nalezěte všecha celočíselá řešeí rovce x 84 x 35 x3 3. Řešeí. Předpokládejme že exstují celá čísla x x x3 která jsou řešeím uvedeé rovce. Vzhledem k tomu že 7 7 84 a 7 (-35) utě musí platt (dle výše uvedeé pozámky) 7 3. Spor tedy rovce emá v oboru celých čísel řešeí. Příklad.. Nechť x y jsou lbovolá celá čísla taková že 5 7 y Řešeí. Sado ahlédeme že exstuje alespoň jeda dvojce y x. Potom 8 y x. x s vlastostí 5 x 7 y x y 3. Dále zřejmě platí x y 6 5 x 7 y. Z pozámky.. dostáváme x y 6 5 x 7 y sadé úpravě 8 x y. apř. a vzhledem k předpokladu a po Pro další úvahy o děltelost má zásadí výzam ásledující tvrzeí ozačovaé jako věta o děleí se zbytkem. Věta.. Děleí se zbytkem Pro každé a Z b N exstuje jedé q r Z takové že platí a b q r kde r b. (.) Pozameejme že pro čísla a b q r z věty.. se běžě používá ásledující termologe: a děleec b děltel q eúplý podíl r zbytek. Příklad..3 Zřejmě platí: a = 8 b = 3 8 = 3 5 + 3 tj. q = 5 r = 3 a = -8 b = 3-8 = 3 (-6) + tj. q = -6 r = a = 9 b = 54 9 = 54 + 9 tj. q = r = 9 a = -9 b = 54-9 = 54 (-) + 35 tj. q = r = 35 a = b = 9 = 9 + tj. q = r =. 6
Jak dokumetuje ásledující příklad achází věta o děleí se zbytkem využtí př převodech z desítkové soustavy do ostatích číselých soustav. Přpomeňme že v soustavě o základu b (b přrozeé větší ež jeda) vyjadřujeme přrozeá čísla ve tvaru r r b r b r b (.3) kde r b N a používáme zkráceý záps r r r b soustavy kde b = azýváme jedotlvé cfry ejvýzamější bt) a řetězec osm btů bytem. Příklad..4 Převeďte číslo 686 do číselé soustavy o základu a) b) 8 c) 6. Řešeí. 686 = () = (536) 8 = (ACE) 6. V případě dvojkové (bárí) r bty ( r ejméě výzamý bt Pozámka.. K vyjádřeí čísel v oblast výpočetí techky se používají růzé číselé formáty jejchž velkost bývá ásobkem bytů tj. osm btů. Například pomocí osm btů lze ve dvojkové soustavě vyjádřt přrozeá čísla 55 pomocí 6 btů čísla 65 535 a 3 btů 4 94 967 95. Sado zjstíme že pomocí btů lze ve dvojkové soustavě vyjádřt r přrozeých čísel přčemž u čísel je ejvýzamější bt astave a a u zbývajících čísel tj. je ejvýzamější bt astave a. Této skutečost se využívá k vyjádřeí záporých čísel ve tvaru tzv. dvojkových doplňků čísel tak že u záporých čísel je ejvýzamější bt astave a. V tomto případě se pomocí btů vyjadřují celá čísla z možy. Například využtím čtyř btů lze zapsat čísla 8 7. Jejch vyjádřeí je uvedeo v ásledující tabulce: Nezáporé číslo Vyjádřeí ve dvojkové soustavě Vyjádřeí ve tvaru dvojkového doplňku Záporé číslo 7-8 6-7 5-6 4-5 3-4 -3 - - Formát záporého celého čísla k kde k lze popsat ásledově: ) Vypočt přrozeé číslo k k. 7
) Přrozeé číslo k vyjádř pomocí btů ve dvojkové soustavě tj. k b b b (Jelkož k je ejvýzamější bt zřejmě astave a ulu tj. b ).. 3) Hledaé vyjádřeí záporého celého čísla k pak dostáváme astaveím ej-výzamějšího k b b b. btu a jedčku tj.. Společý děltel společý ásobek Defce.. společý děltel společý ásobek Neulové přrozeé číslo d azveme společým děltelem celých čísel a b jestlže d a d b tj. d dělí obě čísla. Neulové přrozeé číslo D azveme společým ásobkem eulových celých čísel a b jestlže a D b D tj. D je děltelé oběma čísly. Zdůrazěme skutečost že v souladu s výše uvedeou defcí.. vyšetřujeme pouze kladé společé děltele a kladé společé ásobky. Příklad.. Jedí společí děltelé čísel a = 4 b = 36 jsou 3 4 6. Čísla tvaru jsou všechy společé ásobky čísel a b. Pro lbovolá zjstíme že moža moža a b Z ozačme a b a b 6 kde N d možu všech společých děltelů čísel a b. Sado d je shora omezeá eboť žádý z děltelů emůže být větší ež m a b a tedy d a b má vzhledem k přrozeému uspořádáí ejvětší prvek. Stejě sado zjstíme že D a b všech společých ásobků eulových čísel a b je zdola omezeá eboť žádý společý ásobek emůže být meší ež a b max a tedy moža D a b má vzhledem k přrozeému uspořádáí ejmeší prvek. Tyto skutečost ás opravňují k zavedeí ásledujících pojmů. Defce.. ejvětší společý děltel ejmeší společý ásobek esoudělost Největším společým děltelem celých čísel a b z chž alespoň jedo je růzé od uly azveme takového jejch společého děltele který je ze všech společých děltelů ejvětší (exstuje vždy a jedý). Nejmeším společým ásobkem eulových celých čísel a b azveme takový jejch společý ásobek který je ze všech společých ásobků ejmeší (exstuje vždy jedý). Řekeme že celá čísla a b jsou esoudělá jestlže jejch ejvětší společý děltel je rove jedé. 8
Pro ejvětší společý děltel čísel ejmeší společý ásobek a b NSD a b resp. a b. a b se vžlo ozačeí a b NSD resp. b a a pro jejch NSN. Nesoudělost čísel a b vyjadřujeme obvykle zápsem Nyí přrozeě vzká otázka jak ejvětšího společého děltele efektvě alézt. Odpověď dává ásledující algortmus jehož základem je věta o děleí se zbytkem. Eukledův algortmus určeí NSN a b Nechť a b N. Jestlže aplkujeme ásledující postupé děleí se zbytkem a b q r r b b r r q r r r r q r3 r3 r r r q r r r r r r r q r r r q potom ejvětší společý děltel čísel uvedeém postupu tj. NSDa b r. a b je rove posledímu od uly růzému zbytku ve výše Příklad.. NSD kde N. Určete: a) NSD 436 b) 8 35 Řešeí. Aplkací Eukledova algortmu dostáváme: ad a) 4 = 36 + 4 36 = 4 + 4 = tedy 436 ad b) 8 3 5 3 5 3 3 tedy NSD 8 35 a pro lbovolé N jsou uvažovaá čísla esoudělá. NSD. V prax se osvědčlo zapsovat Eukledův algortmus pomocí ásledujícího schématu kde čísla psaá kurzívou jsou podíly q a čísla psaá tučě zbytky r. Výpočet probíhá ásledově: 4 36 396 q 36 4 4 q 4 r 4 q r3 9
Věta.. základí vlastost NSD Pro ejvětší společý děltel dvou čísel platí: NSD a b NSD b a. (.4) a) b) NSD k a k b k NSDa b kde c) Jestlže d a d b potom NSD a d k N. (.5) b d d) Jestlže NSD a b potom NSD a c b NSDc b Jako užtečé důsledky věty.. dostáváme: d a d b d NSDa b NSD a b. (.6) d. (.7). (.8) NSD a b b a c b c. (.9) NSD a b NSDa b NSDa b (.) a tedy každá dvě eulová přrozeá čísla a b lze vyjádřt ve tvaru kde NSD a b a b b b NSDa b a a NSD (.). Tuto skutečost budeme často využívat. Kromě Eukledova algortmu exstuje celá řada dalších způsobů výpočtu ejvětšího společého děltele. Např. z věty.. lze sado odvodt ásledující tzv. dvojkový NSD algortmus (další způsob který využívá prvočíselé rozklady je uvede v kaptole věovaé problematce prvočísel). Dvojkový NSD algortmus - určeí NSN a b Největšího společého děltele lbovolých dvou eulových celých čísel opakovaou aplkací ásledujících pravdel (dokažte!): a b NSD a b NSD. ) Jsou-l a b sudá potom a NSD a b NSD b. ) Je-l a sudé b lché potom a b. 3) Jsou-l a b lchá potom NSD a b NSD b 4) NSD a b NSDb a. Algortmus ukočíme v stuac kdy Příklad..3 Pomocí dvojkového NSD algortmu určete NSD 5878. a b lze alézt a b (zdůvoděte že astae!) a využjeme NSDa a a. Řešeí. Postupou aplkací pravdel dvojkového NSD algortmu dostáváme (použté pravdlo je uvedeo ad rovítkem): NSD 5878 ) NSD9864 ) NSD9 7 3) NSD57 3) NSD 7 ) ) 3)4) ) NSD 37 NSD3 NSD33 3 tj. 5878 6 NSD.
V celé řadě případů je velm užtečá ásledující charakterstka ejvětšího společého děltele: Jsou-l a b eulová celá čísla potom jejch ejvětší společý děltel je rove (dokažte!) ejmešímu kladému přrozeému číslu tvaru a x b kde x Z. (.) x Jak dokumetuje ásledující příklad umožňuje Eukledův algortmus takové vyjádřeí efektvě alézt. Příklad..4 Vyjádřete ejvětšího společého děltele ásledujících čísel 583 a 3 ve tvaru (.): Řešeí. Nejprve aplkujeme Eukledův algortmus: 583 3 r 3 r r tedy 5833 r 3 NSD. 3 Nyí ejvětšího společého děltele r 3 ve tvaru (.) získáme postupým vyjádřeím zbytků r 583 3 r 3 r 3 a jejch zpětým dosazováím dostáváme 3 3 583 3 3 583 3 5 tedy x 5 x a 583 3 583 3 5 NSD. Přrozeým rozšířeím pojmů společý děltel a ejvětší společý děltel dvou čísel je ásledující defce. Defce..3 společý děltel ejvětší společý děltel Společým děltelem celých čísel kde a a které dělí beze zbytku všecha čísla děltelem celých čísel a a a a azveme každé eulové přrozeé číslo d d a. Největším společým tj. a a z chž alespoň jedo je růzé od uly azveme takového jejch společého děltele který je ejvětší (exstuje vždy a jedý). Pozámka.. Úlohu a výpočet ejvětšího společého děltele více ež dvou čísel a a převádíme a opakovaý výpočet ejvětšího společého děltele dvou čísel dle schématu: d NSDa a 3 NSD d a3 d d 4 NSD d3a4 d NSD d a
kde NSDa a d. Největší společý děltel eulových celých čísel a a je rove ejmešímu kladému přrozeému číslu tvaru a x kde x Z. (.3) V případě více ež dvou čísel se dále zavádějí pojmy esoudělost (ěkdy ozačovaá jako sdružeá esoudělost) a esoudělost po dvou. Řekeme že čísla a a jsou esoudělá jestlže a NSD a řekeme že jsou esoudělá po dvou jestlže jsou esoudělé a všechy dvojce tj. j NSDa a j. Je zřejmé že z esoudělost po dvou vyplývá esoudělost a jak dokládá ásledující ukázka obráceé tvrzeí eplatí. Například trojce čísel 4 5 je esoudělá po dvou eboť 4 5 NSD 4 NSD5 a tedy esoudělá tj. NSD 4 5. Trojce čísel 5 35 je esoudělá tj. NSD 5 35 eboť 5 3 NSD 35 NSD5 35 5 NSD. Příklad..5 Nalezěte ejvětšího společého děltele čísel 694 346 858 3. NSD ovšem eí esoudělá po dvou Řešeí. Strukturu výpočtu lze zázort ásledově (mezvýpočty jsou realzováy pomocí Eukledova algortmu): 694 3 46 858 3 d NSD 694 346 4 d 3 NSD d 858 d 4 NSD d 3 3 Tedy 694 346 858 3 d 4 NSD. Aalogckým postupem jako v příkladu..4 zjstíme hodoty celočíselých koefcetů vztahu (.3). Dostáváme x x x x 77 tedy NSD 3 4 694 346 858 3 694 346 858 3 77. x ze Nyí se krátce zastavme u společých ásobků dvou eulových přrozeých čísel. Ozačme D lbovolý společý ásobek čísel a b. Lze tedy psát D a q kde q N. Vzhledem k tomu že čísla a b lze vyjádřt ve tvaru a a NSDa b b b NSDa b kde NSD a b je číslo D NSD a b a q přrozeé a avíc q je děltelé (beze zbytku) b. Lze tak psát a q a kde b
N a tedy a q a b. Několka sadým úpravam získáme obecé vyjádřeí všech společých ásobků čísel a b ve tvaru a b D NSDa b (.4) kde N. Navíc je zřejmé že pro ejmeší společý ásobek dvou čísel platí a b NSNa b. (.5) NSD a b V případě kdy čísla a b jsou esoudělá dostáváme NSN a b a b Příklad..6 Určete: a) ejmeší společý ásobek čísel 4 a 36 b) ejmeší společý ásobek D větší ež 333 333. Řešeí. ad a) Přímou aplkací vztahu.5 dostáváme NSN436 3. 4 36. Z příkladu NSD 436.. část a) víme že NSD 436 tedy 436 6 NSN. ad b) Ze vztahu (.4) vyplývá že všechy společé ásobky jsou tvaru 6 N a hledaému společému ásobku tak odpovídá které je ejmeším řešeím (v oboru přrozeých čísel) erovce 6 333 333. Odtud 333 333 65 6 tedy D 333 9. Aalogcky jako v případě společého děltele a ejmešího společého děltele lze rozšířt pojmy společý ásobek a ejmeší společý ásobek a případ více ež dvou čísel. Defce..4 společý ásobek ejmeší společý ásobek Společým ásobkem eulových celých čísel číslo D které je děltelé každým z čísel ásobkem eulových celých čísel ejmeší (exstuje vždy a jedý). a a a a kde a a tj. a D azveme eulové přrozeé. Nejmeším společým a a pak azveme takový jejch společý ásobek který je Pozámka.. Úlohu a výpočet ejmešího společého ásobku více ež dvou přrozeých čísel a a převádíme a opakovaý výpočet ejmešího společého ásobku dvou čísel dle schématu: D NSN a a 3 NSN Da3 D D 4 NSN D3a4 D NSN D a kde NSN a a D.
POZOR! Nejmeší společý ásobek více ež dvou čísel elze obecě počítat jako v případě dvou čísel tj. jejch souč děleý jejch ejvětším společým děltelem. Jsou-l čísla a a po dvou esoudělá potom NSN a a a a. POZOR! Předpoklad esoudělost po dvou elze pro ahradt předpokladem pouhé esoudělost. Sado zjstíme že pro ejmeší společý ásobek tří čísel platí a b c NSD a b c NSN a b c. (.6) NSD a b NSD a c NSD b c Příklad..7 Vypočtěte ejmeší společý ásobek čísel a) 4 66 848 b) 694 3 46 858 a 3. ad a) Sado zjstíme že NSD 466 6 NSD 4848 84 66848 3 NSD 466848. Aplkací vztahu (.6) dostáváme 4 66 848 NSD 466848 NSN 466848 9 4. NSD466 NSD4848 NSD66848 NSD a ad b) Postup výpočtu ejmešího společého ásobku čtyř čísel lze zázort ásledujícím schématem jehož jedotlvé kroky spočívají ve výpočtu ejmešího společého ásobku dvou čísel a které realzujeme dle vztahu (.5): 694 3 46 858 3 D NSN 694 346 D3 NSN D 858 66 66 D4 NSN D 3 3 66 66 Tedy 694 346 858 3 D 4 66 66 NSN..3 Prvočísla a prvočíselé rozklady Zkoumáme-l počet děltelů kladých přrozeých čísel sado zjstíme že ěkterá přrozeá čísla větší ež jeda mají pouze dva děltele - číslo jeda a sebe sama (evlastí děltelé) kdežto ostatí mají vlastí děltele. Odtud ásledující defce pojmu prvočíslo. Defce.3. prvočíslo složeé číslo Přrozeé číslo p azveme prvočíslem jestlže tj. číslo p má pouze evlastí děltele. a N a p a a p 4
Ostatí kladá přrozeá čísla větší ež jeda azýváme čísla složeá. Příklad.3. Čísla 3 5 7 jsou prvočísla eboť všecha mají pouze evlastí děltele. Naopak čísla 4 6 89 jsou čísla složeá eboť mají vlastí děltele apř. 4 3 6 7 89 37. Ovšem mohem obtížější je zjstt že číslo 6 59 76 89 3 363 39 578 88 7 je prvočíslo kdežto 34 8 366 9 938 463 463 374 67 43 768 457 je číslo složeé. Věta.3. Eukledes Exstuje ekoečě moho prvočísel. Pozameejme že exstuje celá řada dalších růzě rafovaých důkazů exstece ekoečě moha prvočísel které odkrývají mohdy překvapvé souvslost. Pozámka.3. Nejmeší od jedčky růzý děltel složeého čísla je prvočíslo které je ejvýše rovo. Je-l p prvočíslo takové že p a b potom p a ebo p b. (Dokažte!) Všecha prvočísla vyskytující se v možě lze alézt pomocí algortmu (azývaého Eratostheovo síto) který lze formulovat ásledově:. V posloupost ozač prví evyškrtuté a ještě eozačeé číslo. Toto číslo p je prvočíslo. Je-l p právě všecha hledaá prvočísla.. Vyškrt všechy ásobky čísla p počíaje jd a krok. jak ukoč algortmus a evyškrtutá čísla jsou 5 p. Po jejch vyškrtutí jd a krok. Výše popsaý algortmus (Eratosthees 76 95 př.. l.) je pravděpodobě hstorcky prví metoda umožňující geerovat posloupost prvočísel. Příklad.3. Pomocí Eratostheova síta alezěte všecha prvočísla která jsou meší ebo rova 5. Řešeí. V tabulce obsahující čísla 5 aplkujeme výše popsaý algortmus. Dostáváme tak ásledující tabulky jejchž obsah postupě odpovídá jedotlvým krokům algortmu: Vyškrtutí ásobků (počíaje od ) Vyškrtutí ásobků 3 (počíaje od 3 ) 3 5 7 3 5 7 9 3 5 3 7 9 7 9 3 5 7 9 3 5 9 3 33 35 3 35 37 39 4 43 37 4 43 45 47 49 47 49 Vyškrtutí ásobků 5 (počíaje od 5 ) Vyškrtutí ásobků 7 (počíaje od 3 5 7 3 5 7 3 3 7 )
7 9 7 9 3 9 3 9 3 3 37 4 43 37 4 43 47 49 47 Všecha prvočísla v řadě 5 jsou alezea po vyškrtutí ásobků čísla 7 a jsou obsažea v posledí tabulce. V dalších úvahách hraje klíčovou rol ásledující věta ozačovaá často jako Základí věta artmetky. Věta.3. Každé přrozeé číslo větší ež jeda lze rozložt a souč prvočísel a to jedozačě epřhlížíme-l k pořadí prvočísel. Jako zřejmý důsledek věty.3. dostáváme že každé přrozeé číslo a lze jedozačě vyjádřt ve tvaru kde a p k p k (.7) p k jsou všecha avzájem růzá prvočísla (seřazeá vzestupě) která se vyskytují v rozkladu čísla a N k (tzv. ásobost prvočísla p v rozkladu a). Výraz (.7) se azývá kaocký rozklad přrozeého čísla a. (Často budeme používat kratší ozačeí rozklad místo kaocký rozklad.) Věta.3.3 Nechť a p k l pk b q q l jsou kaocké rozklady. Potom platí: a) Každý děltel d čísla a má kaocký rozklad kde N k. b) Největší společý děltel čísel a b má kaocký rozklad kde h k d p (.8) p k h b r NSD a (.9) r r jsou prvočísla společá kaockým rozkladům čísel a b je mmum z expoetů se kterým se prvočíslo r vyskytuje v kaockých rozkladech čísel a b. c) Nejmeší společý ásobek čísel a b má kaocký rozklad kde r h m b r NSN a (.) r r jsou prvočísla vyskytující se v alespoň jedom kaockém rozkladu m je maxmum z expoetů se kterým se prvočíslo r vyskytuje v kaockých rozkladech čísel a b. r m 6
Příklad.3.3 Pomocí kaockých rozkladů čísel a 7 875 b 3 9 c 8 5 určete všechy děltele čísla a NSD a b c NSN a b c. Řešeí. Nejprve je třeba alézt kaocké rozklady uvedeých čísel. Tyto rozklady určíme tak že uvedeá čísla zkoušíme dělt prvočísly (děleí zvoleým prvočíslem opakujeme dokud je zbytek ulový). 3 4 Dostáváme tak a 3 5 7 b 3 5 3 c 35. Všechy děltele čísla a jsou 3 tvaru d 3 5 7 kde 3 a jsou obsažey v ásledující tabulce. 3 3 5 7 9 5 5 35 45 63 75 5 5 75 5 35 375 55 875 5 575 65 7875 Z věty.3.3 víme že kaocký rozklad NSD a b c obsahuje pouze prvočísla společá oběma kaockým rozkladům tj. 3 a 5. Expoety jsou rovy mmu z expoetů se kterým se vyskytují v kaockých rozkladech čísel a b c. Odtud a b c 35 75 NSD. (Nalezěte všechy společé děltele čísel a b c.) NSN a b c obsahuje všecha prvočísla která se Dále víme (opět věta.3.3) že kaocký rozklad vyskytují v kaockém rozkladu alespoň jedoho z čísel a b c tj. 3 5 7 a 3. V tomto případě se expoety rovají maxmu z expoetů. Odtud 4 a b c 3 5 7 3 5 5 NSN. Pozámka.3. Jedím z fudametálích problémů teore čísel je otázka rozložeí prvočísel v možě všech přrozeých čísel. Některé základí výsledky lze formulovat ásledově (tabulka v příloze obsahuje prvích 84 prvočísel): Exstuje ekoečě moho lbovolě dlouhých posloupostí po sobě jdoucích složeých čísel tj. eobsahující žádé prvočíslo (dokažte!). Pro lbovolá esoudělá přrozeá čísla a m exstuje ekoečě moho prvočísel p která př děleí číslem m dávají zbytek a tedy jsou tvaru p m q a kde q N (C. F. Gauss). Ozačíme-l počet prvočísel meších ebo rových přrozeému číslu platí (.) l kde symbol chápeme jako přblžou rovost (přesěj lmta podílu obou stra je pro rova ). Hodoty obou stra vztahu (.) jsou pro vybraá obsažey v ásledujících tabulkách: l l 4 4 9 59 8 686 8 7 7 984 6 385 3 9 3 5 997 3 788 4 4 33 86 3 5 5 3 5 4 538 38 3 7
6 7 5 6 49 98 45 97 7 9 6 7 56 543 5 8 8 8 63 95 58 857 9 4 9 7 74 65 645 5 78 498 7 38 Příklad.3.4 Dokažte specálí varatu obecého Gaussova tvrzeí (pozámka.3.) že exstuje ekoečě moho prvočísel tvaru 4q 3. Řešeí. Důkaz provedeme aalogcky k důkazu věty.3. tj. sporem. Nejprve s uvědomme že každé prvočíslo větší ež dává př děleí číslem 4 zbytek ebo 3. Nyí předpokládejme že exstuje pouze koečě prvočísel p p uvažovaého tvaru 4q 3 (určtě taková exstují apř. 3 7 9 3 apod.) a položme p 4 p p. Je zřejmé že číslo p dává př děleí 4 zbytek 3 avíc eí děltelé žádým z prvočísel p p (jak by daé prvočíslo muselo dělt ). Vzhledem k tomu že souč čísel tvaru 4q je opět číslo téhož tvaru (dokažte!) musí být číslo p děltelé prvočíslem tvaru 4q 3 růzým od p p. Spor exstuje tedy ekoečě moho prvočísel tvaru 4q 3. Velm výzamou rol v teor čísel a v celé řadě aplkací apř. moderí teore šfrováí testy superpočítačů apod. (podrobost přesahují rámec těchto skrpt relevatí teretovské odkazy vz příloha) hraje problematka kaockých rozkladů velkých čísel resp. testy jejch prvočíselost. V tomto kotextu se ejčastěj vyskytují čísla specálích tvarů apř. Fermatova Merseova a Cughamova čísla. Defce.3. - Fermatova a Merseova čísla Fermatovým čísly azýváme čísla F kde N a Merseovým čísly azýváme čísla M kde N. Pozámka.3.3 - Fermatova a Merseova prvočísla Fermatova čísla F F 5 F 7 F 57 F 65 537 jsou prvočísla (tzv. Fermatova 3 3 4 prvočísla). Tato skutečost vedla vykajícího fracouzského matematka Perre de Fermat (6-695) k vysloveí hypotézy že všecha Fermatova čísla jsou prvočísla. Teprve pozděj byla tato hypotéza vyvrácea Leoardem Eulerem který ukázal že číslo F 4 94 967 97 je složeé. Nyí pauje obecé přesvědčeí že všecha Fermatova čísla F 5 jsou čísla složeá. Ovšem a v deší době výpočetí techky eí sadé prokázat že pro ěkterou kokrétí hodotu je F číslo složeé. Například doposud ebylo zjštěo zda F 4 je skutečě číslo složeé a u F (o kterém je prokázáo že je složeé) ebyl aleze jeho kaocký rozklad. Hstorcky eméě zajímavá a z hledska aplkací velm výzamá jsou tzv. Merseova p prvočísla (Mar Mersee 588-648) tj. prvočísla tvaru kde p je prvočíslo (jde tedy p o specálí Merseova čísla). Lze ukázat že pokud p eí prvočíslo emůže být a 8 5
prvočíslo. Obráceé tvrzeí ovšem eplatí (je-l p prvočíslo potom p být prvočíslem může ale emusí). V současé době se předpokládá (eí ovšem dokázáo) že mez všem p čísly tvaru kde p je prvočíslo exstuje ekoečě moho Merseových prvočísel ale čísel složeých. Například čísla M M 3 M 5 M 7 M3 M7 M9 M 3 jsou Merseova prvočísla kdežto M M 67 M 57 jsou čísla složeá. Největší v současé době (rok ) zámé Merseovo prvočíslo je M 6 97593 (to ovšem ezameá že o všech číslech p 6 97593 M kde p je prvočíslo meší ež 6 97 593 je zámo zda jsou prvočíslem). Vzhledem k tomu že pro Merseova čísla exstují efektví testy jejch prvočíselost (apř. Lucas- Lehmerův test) může jít opět o zajímavý ámět pro studety (vz teretovské odkazy v příloze). Pro zajímavost uveďme že prvočíselost M 57787 byla prokázáa a superpočítač Cray T-94 ovšem prvočíselost M 6 97593 jž a pouhém PC Petum 35MHz..4 Základí artmetcké fukce V teor čísel a v jejch aplkacích hrají výzamou rol fukce jejchž defčí obory tvoří kladá přrozeá čísla N. Pro takové fukce se vžlo ozačeí artmetcké fukce. Defce.4. multplkatví fukce Řekeme že artmetcká fukce f je multplkatví jestlže: N takové že f m N platí NSDm f m f m f. (.) Základí vlastost multplkatvích fukcí popsuje ásledující věta. Věta.4. a) Je-l f multplkatví fukce potom f. b) Souč multplkatvích fukcí je multplkatví fukce. k c) Je-l f multplkatví p p k kaocký rozklad potom d f k d f p f p f p f p f p f p. (.3) (Součet a levé straě se provádí přes všechy děltele d čísla.) Pozámka.4. počet děltelů součet děltelů r Artmetcká fukce d f r N je multplkatví (dokažte!) a dle vztahu (.3) platí d r r r r r r kr p p p p p p. Odtud volbou r dostáváme vztah pro počet děltelů čísla tj. d k k k k k k k 9
. (.4) k Volbou r dostáváme vztah pro součet děltelů čísla tj. S k d p p p pk pk pk d S p p Příklad.4. Určete počet a součet všech děltelů čísla 5. Řešeí. k p k. (.5) pk 4 3 Sado zjstíme že kaocký rozklad daého čísla je 5 3 5 7. Pro počet děltelů tak dostáváme a součet děltelů 5 4 3 8 4 3 3 5 7 S 3 5 7 Defce.4. - Möbova fukce 5 59 5 Artmetckou fukc defovaou vztahy pokud exstuje přrozeé číslo d takové že d k v ostatích případech kde k je počet prvočísel vyskytujících se v kaockém rozkladu azýváme Möbovou fukcí. Z defce je patré že hodoty Jsou-l totž všecha k sado určíme z kaockého rozkladu čísla p potom k a pokud alespoň jedo. je. p k. Věta.4. Möbova fukce je multplkatví a pro platí d. d Defce.4.3 - Eulerova fukce Artmetckou fukc defovaou vztahy k kde k je počet čísel v řadě která jsou esoudělá s azýváme Eulerovou fukcí. Z defce sado zjstíme že pro lbovolé prvočíslo p platí p složeých čísel je výpočet hodoty Eulerovy fukce obtížější. p (zdůvoděte!). V případě
Věta.4.3 k a) Je-l p p k kaocký rozklad potom k k p p p k p k. (.6) b) Eulerova fukce je multplkatví. c) Platí d. (.7) d Příklad.4. Určete hodotu Möbovy a Eulerovy fukce v bodech 3 799 47 a 4 538 437. Řešeí. Prvím krokem je určeí kaockých rozkladů. Platí 3 3 799 47 3 7 3 4 47 4 538 437 3 7 9 37. Přímo z defce Möbovy fukce dostáváme 3 799 47 6 eboť v kaockém rozkladu se vyskytuje 6 prvočísel a každé s expoetem dále 4 538 437 eboť v kaockém rozkladu se vyskytuje alespoň jedo prvočíslo s expoetem větším ež (prvočísla 3 a ). Hodotu Eulerovy fukce určíme ze vztahu (.6). Dostáváme tak 3 799 47 3 7 3 4 47 6 64 a 3 4 538 437 3 3 7 9 37 975 4 Pozameejme že v příloze lze alézt tabulky s hodotam Möbovy a Eulerovy fukce pro hodoty 83 které lze spolu s multplkatvtou vhodě využít k výpočtům. Například 35 35 eboť NSD 35. V tabulkách sado alezeme 35 6 a 4 35 8 64.. tedy Kromě artmetckých fukcí hrají v dskrétí matematce výzamou rol také fukce azývaé dolí celá část horí celá část a lomeá část. Jsou defováy ásledově: Fukce dolí celá část x kde x R je defováa jako ejvětší celé číslo meší ebo rové x. Tuto fukc budeme ozačovat symbolem x a lze j defovat ásledujícím vlastostm: - x R x Z - R x x x x. Fukce horí celá část x kde x R je defováa jako ejmeší celé číslo větší ebo rové x. Tuto fukc budeme ozačovat symbolem x a lze j defovat vlastostm: - x R x Z - x R x x x. Fukc lomeá část x kde x R vztahem x x x. budeme ozačovat symbolem x. Tato fukce je defováa
Příklad.4.3 5 5 5 5 5 5 5 5 475 4 475 5 475 5 475 4 6 6 6 7 6 7 6 6 5 3 8 5 3 5 3 9 5 3 48 34 8 48 34 7 48 34 9 48 34. Pozámka.4. Některé často využívaé vlastost fukcí dolí a horí celá část jsou (dokažte!): x x x x x x x x x x x N x x N x x x x. Pro ázorost ásledují grafy fukcí dolí celá část horí celá část a lomeá část. 3 x 3 x -3 - - - x 3-3 - - x 3 - - - -3-3 x -3 - - - x 3 -
.5 Řetězové zlomky Je všeobecě zámé že př umerckých výpočtech vždy pracujeme s racoálím čísly resp. s jejch jstou podmožou. V tomto kotextu hraje důležtou rol problematka tzv. dofatcké aproxmace která zjedodušeě řečeo zkoumá jak přesě lze daé číslo (ejčastěj racoálí) aproxmovat pomocí racoálích čísel určtých vlastostí. K této problematce má úzký vztah tato podkaptola týkající se řetězových zlomků. Sado totž zjstíme že každé číslo R Z (v případě celých čísel je stuace trválí) lze vyjádřt jedým způsobem ve tvaru q kde q Z (ejvětší celé číslo meší ebo rové ) a. Pokud eí přrozeé číslo lze postupovat aalogcky v tomto případě tj. psát q q a. Odtud kde q. q Nazačeý postup lze samozřejmě opakovat dokud v ěkterém kroku (apř. v prvím) edostaeme N k pojmu rozvoj čísla v řetězový zlomek. (jak uvdíme pozděj tato stuace emusí astat). Tím se jž dostáváme Defce.5. Řetězovým zlomkem azveme (koečý ebo ekoečý) výraz tvaru q (.8) q q kde q Z q N. q Čísla q se azývají čley rozvoje (v řetězový zlomek) a výrazy q q q q q q q (.9) 3
se azývají přblžým zlomky. Pro zjedodušeí budeme častěj využívat záps ve tvaru q q q q q q Dále řekeme že číslo má koečý (ukočeý) rozvoj v řetězový zlomek jestlže exstuje takové že př postupu popsaém v úvodu je celé číslo (tj. pro případě zřejmě platí q q q tj. q. q q q N ). V tomto Věta.5. Reálé číslo má koečý rozvoj v řetězový zlomek právě tehdy je-l racoálí. Obecý postup jak sestrojovat řetězové zlomky je popsá v úvodu. Následující pozámka ukazuje a souvslost s jž dobře zámým Eukledovým algortmem. Pozámka.5. Řetězové zlomky a Eukledův algortmus Je-l b a racoálí číslo potom užtím Eukledova algortmu dostáváme ásledující:. krok a b q r r b tj.. krok b r q r r r tj. tedy a b q q r 3. krok r r q r3 r3 r tj. r tedy a b q q. q 3. a b b r q q b kde. r q 3 r kde r r kde 3 r Vzhledem k tomu že zbytky tvoří klesající posloupost přrozeých čísel je zaručea koečost uvedeého postupu a musí astat stuace kdy jsté r je posledí eulový zbytek r. krok r r q r r r tj. r q 3 r kde r P Každý přblžý zlomek lze vyjádřt ve tvaru zlomku s právě jedou zlomkovou čarou tj. Q 4
tedy a b q. krok r r q q q r r q q tj. a b q. q q Vdíme tedy že jedotlvé čley rozvoje racoálího čísla b a eúplé podíly z Eukledova algortmu. Věta.5. základí vlastost přblžých zlomků a) Mez čtatel P a jmeovatel Q přblžých zlomků platí P q P P kde P P q q. v řetězový zlomek tvoří právě (.3) Q q Q Q kde Q Q. (.3) b) Pro lbovolé dva sousedí přblžé zlomky platí Q Q c) Přblžé zlomky jsou v základím tvaru tj. NSD P Q.. (.3) Je zřejmé že eúplé podíly q a rekuretí vztahy (.3) (.3) s počátečím podmíkam umožňují efektví výpočet přblžých zlomků. Teto výpočet se často realzuje pomocí tzv. tabulky přblžých zlomků jejíž schéma ásleduje: - q - - - q q q q P q P P P Q Q Q Q Příklad.5. 78 Číslo rozvňte v řetězový zlomek a sestavte tabulku přblžých zlomků. 654 Řešeí. Pomocí Eukledova algortmu zjstíme potřebé eúplé podíly: 78 654 q 654 7 5q 9 7 9 6q 3 7 5
3 q 6 3 6 q 4 6 6q 9 3 Odtud hledaý rozvoj v řetězový zlomek 78 654 5 6 6 a tabulka přblžých zlomků: - 3 4 5 q - - - 5 6 6 P 6 37 43 3 78 Q 5 3 36 3 654 Nyí lze sado ověřt základí vlastost přblžých zlomků uvedeé ve větě.5.. Pozámka.5. Lze ukázat (dokažte) že mez všem racoálím čísly jejchž jmeovatel je ejvýše rove Q je právě přblžý zlomek ejlepší aproxmací rozvíjeého čísla. Přesěj platí: Je-l P přblžý zlomek rozvoje reálého čísla v řetězový zlomek Q racoálí číslo takové že b potom. Q 5 a lbovolé b Pro zajímavost jsou v ásledující tabulce uvedey (ekoečé) řetězové zlomky ěkterých vybraých racoálích čísel. Číslo e Řetězový zlomek [468 ] [375934 ] [ ] 5 [444 ] [3666 ] 7 [4888 ] Jako důsledek dostáváme že ásledující racoálí čísla ejlépe aproxmují (ve smyslu prví odrážky této pozámky) číslo. P 3 333 355 3 993 Q 7 6 3 33 4E- 6E-3 83E-5 67E-7 578E- Posledí řádek obsahuje horí hrac chyby aproxmace tj. P. Q 6
.6 Kogruece Z věty o děleí se zbytkem víme že celá čísla dávají př děleí přrozeým číslem m zbytky pouze z možy m. Z pohledu děltelost lze proto čísla dávající stejý zbytek považovat za totožá. Odtud ásledující defce. Defce.6. Řekeme že celá čísla př děleí číslem m stejý zbytek. a b jsou kogruetí modulo m kde m N jestlže obě čísla mají Skutečost že čísla a b jsou kogruetí modulo m vyjadříme ěkterým z ásledujících zápsů: a b mod m a b m resp. a b. V opačém případě (a b emají př děleí číslem m stejý m zbytek) píšeme a b mod m budeme používat záps a b mod m a říkáme že uvedeá čísla ejsou kogruetí modulo m. Dále děleí čísla b číslem m. Například 8 mod 3 kterým vyjádříme skutečost že číslo a je rovo zbytku př 7 8 mod 3. Pozámka.6. Přes svou jedoduchost achází výše zavedeý pojem kogruece velm šroké využtí v celé řadě oblastí. Vzhledem k rozsahu skrpt se stručě zmííme pouze o geerováí áhodých (přesěj řečeo pseudoáhodých) čísel a ěkterých způsobech šfrováí. Efektví metodou geerováí posloupost pseudoáhodých čísel x jsou leárí kogruece. Jedotlvé čley posloupost jsou počítáy rekuretě ze vztahu x a x c mod m (.34) kde m a c x jsou vhodá přrozeá čísla taková že a m c m x m (m modul a multplkačí koefcet c kremet x počátečí hodota). Větša stadardích počítačů des využívá pro geerováí pseudoáhodých čísel modul 3 5 m multplkačí koefcet a 7 a avíc specálí varatu vztahu (.34) tzv. ryze multplkatví geerátor kde c. (V případě kdy požadujeme pseudoáhodá čísla z tervalu x použjeme posloupost ) m Jedím z ejstarších způsobů šfrováí je tzv. Caesarovo šfrováí které spočívalo v cyklckém posuutí celé abecedy o tř zaky vpřed A D B E Z C. Z pohledu kogruecí lze toto šfrováí popsat vztahem y x 3 mod 6 (.35) kde x je pořadové číslo šfrovaého zaku (v rámc aglcké abecedy počet zaků 6) y je pořadové číslo zašfrovaého zaku a 3 je posuutí. Dešfrováí se pak provádí zpětým posuutím tj. dle vztahu y 3 mod 6 x y 3 mod 6 (.36) x resp. kde x je původí zak a y zašfrovaý zak. Pozameejme že výše popsaý způsob šfrováí eí přílš bezpečý proto se des používají sofstkovaější metody (vz pozámka.7.3). x 7
Věta.6. Následující tvrzeí jsou ekvvaletí: a b mod m a) b) m a b c) a b mt kde t Z. Příklad.6. Zřejmě platí 76 3 mod 3 obě čísla dávají př děleí číslem 3 zbytek tedy ekvvaletě platí 3 76 3 76 3 3 6. 76 3 mod 7 př děleí číslem 7 dává 76 zbytek 4 a 3 zbytek 5 tedy 76 pro každé t Z. ekvvaletě 7 76 3 3 7 t 3 435 mod obě čísla dávají př děleí číslem zbytek 3 tedy ekvvaletě 3 435 4 platí 3 435. Jak dokládá ásledující věta jsou početí pravdla pro kogruece mající stejý modul podobá početím pravdlům pro rovce. Věta.6. stejý modul a b mod m a Jestlže b mod m a) a a b b mod m b) a a b b mod m potom platí:. (.37). (.38) c) Jestlže d a d b NSDd m potom mod m a b. (.39) d d Jako sadý důsledek pak dostáváme: K oběma straám kogruece lze přčíst resp. od ch odečíst lbovolé celé číslo. Obě stray kogruece lze vyásobt lbovolým číslem. Čley z jedé stray kogruece lze převést a druhou pokud u ch změíme zaméko. Obě stray kogruece lze umoct a -tou kde N. Jak dokládá ásledující ukázka je ve větě.6. část c) předpoklad NSD d m podstatý eboť 44 78. 6 6 44 78 mod 33 ovšem mod 33 Věta.6.3 změa modulu a) Jestlže a b mod m potom a k b k m k b) Jestlže a b mod m d m mod kde m potom a b mod. d c) Jestlže a b mod m d NSDa b m k N. a b m potom mod. d d d a b mod m a b mod m potom a b mod NSN m m. d) Jestlže 8
Příklad.6. Pro určeí de v týdu (podělí eděle) který přpade a daé datum lze využít tzv. Zellerovy kogruece r s x d 6m r s mod 7 (.4) 4 4 kde x je detfkace de v týdu dle tabulky 3 4 5 6 NE PO ÚT ST ČT PÁ SO d je de v měsíc m je detfkace měsíce dle tabulky 3 4 5 6 7 8 9 březe dube květe červe červeec srpe září říje lstopad prosec lede úor s je století příslušé N kde N je pro lede a úor předcházející rok zjšťovaého data a v ostatích případech jde o aktuálí rok r jsou jedotky a desítky let (bez století) příslušé N. Sado apříklad zjstíme že de:.. byla středa N d m 9 r s x 7 3.. bude sobota d m r s x 6 N 7. Pro další úvahy je podstaté že vztah být kogruetí modulo m tvoří bárí relac a Z s vlastostm a Z a a mod m (reflexvta) a b Z a b mod m b a mod m a b c Z a b mod m b c mod m a c mod m (symetre). (traztvta) Jde tedy o relac ekvvalece která dukuje rozklad Z mající m ásledujících tříd ekvvalece m m mm k m k Z m m m m k m k Z m m m m k m k Z m m m m 3m m k m k Z azývaé zbytkové třídy modulo m resp. třídy zbytků modulo m. Každá třída zbytků obsahuje právě všechy avzájem modulo m kogruetí celá čísla (tj. čísla mající př děleí m stejý zbytek). Pro možu všech takto vzklých zbytkových tříd modulo m se vžlo ozačeí Z m tj. m Z m. Pozameejme že v dalších částech skrpt kde by jž emělo dojít k edorozuměí budeme běžě používat zjedodušeý záps a místo a a m Nyí a možě a ásobeí Z m defujme operac sčítáí a b a b a b a b. Z m. 9
(Dokažte že obě operace jsou defováy korektě tj. pokud a a b b a b a a a b a.) b b potom Kromě obvyklých vlastostí obou operací (asocatvta komutatvta dstrbutvta exstece ulového opačého a jedotkového prvku) platí: V Z m lze dělt právě tehdy je-l m prvočíslo tj. a b Z a b Z m m právě tehdy je-l m prvočíslo. (V tomto případě používáme ozačeí a místo b a mluvíme o verzím prvku.) V Z m exstují vlastí děltelé uly právě tehdy je-l m číslo složeé tj. a b Z b m a právě tehdy je-l m číslo složeé. Příklad.6.3 Algebracká struktura Z 5 obsahuje ásledujících pět zbytkových tříd (a tvoří rozklad Z): 5 5 5 k k Z 9 4 6 5 k k Z 8 37 5 k k Z 3 7 383 5 k 3 k Z 4 6 494 5 k 4 k Z čísla děltelá pět tj. dávající zbytek čísla dávající př děleí pět zbytek čísla dávající př děleí pět zbytek čísla dávající př děleí pět zbytek 3 čísla dávající př děleí pět zbytek 4 kde operace sčítáí a ásobeí jsou defováy ásledujícím tabulkam: + [] [] [] [3] [4] [] [] [] [3] [4] [] [] [] [] [3] [4] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [3] [4] [] [] [] [] [] [3] [4] [] [] [3] [4] [] [] [] [] [] [4] [] [3] [3] [3] [4] [] [] [] [3] [] [3] [] [4] [] [4] [4] [] [] [] [3] [4] [] [4] [3] [] [] Nyí sado ověříme že v Z 5 je možé provádět stejé výpočty jako v Q resp. R eboť lze dělt pomocí ásobeí verzím prvkem avíc platí 3 3 4 4 a b a b. Například pokud máme určt zbytkovou třídu x takovou aby x 4 ásledově: Odtud Dále tedy x. 3 lze postupovat 3 x 4 3 využíváme 3 3 x 4. x 4 4 3 4 využíváme 4 4
Algebracká struktura Z 6 obsahuje ásledujících šest zbytkových tříd: 66 6 k k Z 5 73 6 k k Z 4 84 6 k k Z 3 9 3395 6 k 3 k Z 4 8 46 6 k 4 k Z 5 7 57 6 k 5 k Z čísla děltelá šest tj. dávající zbytek čísla dávající př děleí šest zbytek čísla dávající př děleí šest zbytek čísla dávající př děleí šest zbytek 3 čísla dávající př děleí šest zbytek 4 čísla dávající př děleí šest zbytek 5 kde operace sčítáí a ásobeí jsou defováy ásledujícím tabulkam: + [] [] [] [3] [4] [5] [] [] [] [3] [4] [5] [] [] [] [] [3] [4] [5] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [3] [4] [5] [] [] [] [] [] [3] [4] [5] [] [] [3] [4] [5] [] [] [] [] [] [4] [] [] [4] [3] [3] [4] [5] [] [] [] [3] [] [3] [] [3] [] [3] [4] [4] [5] [] [] [] [3] [4] [] [4] [] [] [4] [] [5] [5] [] [] [] [3] [4] [5] [] [5] [4] [3] [] [] V 6 Z eexstuje 3 4 3 3 4 ). a avíc může platt a b přesto že a b (apř. Odtud jž motvace pro ásledující defc úplé a redukovaé soustavy zbytků. Defce.6. úplá a redukovaé soustava zbytků Úplou soustavou zbytků modulo m azveme každou možu obsahující m modulo m ekogruetích celých čísel. Redukovaou soustavou zbytků modulo m azveme takovou podmožu úplé soustavy zbytků modulo m která obsahuje právě všechy zbytky esoudělé s modulem m. Pozámka.6. Z defce Eulerovy fukce vyplývá že počet prvků redukovaé soustavy zbytků modulo m je rove m. Pro daý modul m exstuje ekoečě moho úplých ( redukovaých) soustav zbytků eboť každá zbytková třída je v úplé soustavě zastoupea lbovolým svým prvkem (tzv. reprezetat zbytkové třídy). Nejpoužívaější je však úplá soustava ejmeších ezáporých zbytků modulo m tj.: m resp. úplá soustava absolutě ejmeších zbytků modulo m tj.: m m pro m lché m m resp. m m pro m sudé. 3
Příklad.6.4 Příklady úplých a redukovaých soustav zbytků modulo 5: 3 4 úplá soustava ejmeších ezáporých zbytků modulo 5 úplá soustava absolutě ejmeších zbytků modulo 5 7 8 9 9 8 7 4 6 8 5 3 638 další příklady úplých soustav zbytků modulo 5. Jelkož 5 4 má každá redukovaá soustava zbytků modulo 5 právě 4 prvky. 3 4 4 6 8 5 3 6 38 příklady redukovaých soustav zbytků modulo 5. Příklady úplých a redukovaých soustav zbytků modulo 6: 3 4 5 úplá soustava ejmeších ezáporých zbytků modulo 6 3 3 3456 9 8 7 6 5 7 4 8 35 4 73 6 8 9 45 úplé soustava absolutě ejmeších zbytků modulo 6 další příklady úplých soustav zbytků modulo 6. Jelkož 6 má každá redukovaá soustava zbytků modulo 6 právě prvky. 5 3 9 73 Věta.6.4 a b m Z kde m NSD a m příklady redukovaých soustav zbytků modulo 6. Nechť. Potom platí: a) Je-l x úplá soustava zbytků modulo m potom a x b a x b x m m tvoří také úplou soustavu zbytků modulo m. b) Je-l x xm redukovaá soustava zbytků modulo m potom a x a xm tvoří také redukovaou soustavu zbytků modulo m. Věta.6.5 - Eulerova věta Pro lbovolé m Z m a kde a m NSD platí mod m a m. (.4) Jako sadý důsledek Eulerovy věty dostáváme ásledující tzv. malou Fermatovu větu. 3
Věta.6.6 Malá Fermatova věta Je-l p prvočíslo a přrozeé číslo takové že a p p a potom platí mod p. (.4) Jako cvčeí zdůvoděte že pro lbovolé prvočíslo p a lbovolé přrozeé číslo a platí Příklad.6.5 a p 88 Určete zbytek př děleí čísla 3 číslem 97. Řešeí. Pro hledaý zbytek který ozačíme x platí Z Eulerovy věty 97 97 a mod p. x mod 97. 388 NSD 3 96 víme že a jelkož 88 3 96 dává číslo zbytek x 9. 3 96 mod 97 88 3 př děleí 97 stejý zbytek jako 3. Odtud hledaý Pozámka.6.3 Staří číští matematc se chybě domíval že číslo p je prvočíslo právě tehdy jestlže platí p mod p. () Z malé Fermatovy věty vyplývá že pro všecha prvočísla větší ež dvě vztah () skutečě platí a jelkož jm ebylo zámé žádé složeé číslo které by mělo stejou vlastost učl jž zmíěý chybý závěr (ostatě obdobého omylu se dopustl Fermat v případě tzv. Fermatových čísel). V deší době výpočetí techky lze sado zjstt že ejmeší složeé číslo pro které platí () je 34 3 tj. mod 34 34. Lze dokoce ukázat že takových složeých čísel (azývaých pseudoprvočísla) exstuje ekoečě moho. Na druhé straě lze ukázat že jejch výskyt je v porováí s prvočísly řídký tz. je relatvě velká pravděpodobost že číslo s vlastostí () bude opravdu prvočíslo. Této skutečost využívají tzv. pravděpodobostí testy prvočíselost a číslo které tímto testem úspěšě projde je s vysokou pravděpodobostí (tj. kolv utě) prvočíslo..7 Řešeí kogruecí. stupě a jejch soustav V tomto odstavc se budeme zabývat úlohou která má v oblast dskrétí matematky šroké využtí totž řešeím kogruecí. Pro tyto účely budeme pod pojmem kogruece rozumět výraz f x mod m (.43) kde m Z m je modul a f x ax ax a je eulový polyom s celočíselým koefcety pro který m a (číslo azýváme stupěm kogruece). Hlavím cílem bude alézt všecha celá čísla pro která platí (.43). V tomto kotextu je důležté s uvědomt (dokažte!) že platí f x mod m t Z f x mt mod m (.44) 33
a tedy pokud kogruec (.43) vyhovuje jsté číslo x vyhovují jí také všecha celá čísla která jsou s x kogruetí modulo m tj. x x mod m. Z těchto důvodů je rozumé (a dále tak číme) považovat za jedo řešeí celou zbytkovou třídu x x m t t Z. Zřejmým důsledkem pak je skutečost že kogruece (.43) má ejvýše m řešeí (řádě zdůvoděte!) která lze alézt metodou hrubé síly tj. postupým dosazováím čísel m. Na druhé straě je celá řada relevatích důvodů pro které je vhodé alézt efektvější způsoby řešeí (.43). Vzhledem k rozsahu skrpt se dále omezíme a metody řešeí kogruecí. stupě tj. a x b mod m (.45) a jejch specálích soustav. Věta.7. Nechť NSD m a m. Potom kogruece (.45) má pro lbovolé b Z právě jedo řešeí. Toto řešeí je tvaru P b mod m x (.46) m kde P je čtatel předposledího přblžého zlomku rozvoje v řetězový zlomek. a Příklad.7. Nalezěte řešeí kogruece 69 mod 379 Řešeí. Jelkož NSD m a NSD379 69 x. má uvedeá kogruece právě jedo řešeí které určíme ze vztahu (.46). Aplkací Eukledova algortmu dostáváme (hodoty v Eukledově algortmu a P počítáme rekuretě dle vztahu (.3)). Odtud P P 3 b - 3 4 q - - - 4 P 3 7 3 379 4 3 a hledaé řešeí je 34 mod 379 34 x. q jsou eúplé podíly Jak vyplye z ásledující pozámky má věta.7. základí výzam pro řešeí obecých kogruecí. stupě kde NSD m a. Pozámka.7. řešeí obecých kogruecí. stupě d NSD m a. V stuac kdy d Uvažujme yí obecou kogruec (.45) a ozačme postupujeme dle věty (.7) proto předpokládejme že d. V tomto případě platí: a) Jestlže d b potom kogruece (.45) emá řešeí (řádě zdůvoděte!). b) Jestlže d b potom kogruece (.45) má právě d ásledujících řešeí kde d m mod m x x; x m; ; x (.47) x je jedé řešeí kogruece a x b mod m a a d b b d m m d.
(Zdůvoděte! Využjte pravdlo že obě stray kogruece modul lze vydělt jejch společým děltelem čímž dostaeme kogruec a x b mod m kde NSD m a. Dle věty.7. má tato kogruece řešeí x vyjádříme pomocí zbytků modulo m.) Příklad.7. x mod m Nalezěte všecha řešeí kogruece: a) x 57 mod 385 b) 6 6 mod 48 Řešeí. které x. ad a) Pomocí Eukledova algortmu zjstíme že NSD m a NSD385 35 35 57 emá dle pozámky.7. část a) uvedeá kogruece řešeí. ad b) Aplkací Eukledova algortmu zjstíme že m a NSD486 4. Jelkož NSD a jelkož 4 6 má dle pozámky.7. část b) uvedeá kogruece právě čtyř řešeí tvaru (.47). Nyí převedeme řešeí původí kogruece a řešeí ekvvaletí kogruece kterou dostaeme vyděleím obou stra modulu čtyřm. Dostáváme tak 9x 5 mod 37 () kde 37 9 NSD a kterou řešíme dle věty.7.. - 3 4 5 q - - - 3 P 4 5 9 4 37 Jako řešeí kogruece () tak dostáváme mod 37 x a koečě ze vztahu (.47) pak dostáváme hledaá čtyř řešeí původí kogruece x ; 49; 86; 3 mod 48. Na závěr tohoto odstavce se ještě zmííme o řešeí soustavy kogruecí x b mod m x b mod m (.48) kde NSD m m j pro všecha j. Tyto soustavy achází využtí apříklad př prováděí rychlých výpočtů s velkým čísly (vz ásledující pozámka.7.) ebo př jedom z ejbezpečějších způsobů šfrováí tzv. RSA metodě (vz pozámka.7.3). Věta.7. Soustava (.48) má pro lbovolé hodoty kde (.49) M x M M m x b M m M a m x b b b jedé řešeí. Toto řešeí je tvaru x x mod M x je (lbovolé) číslo vyhovující kogruec M x mod m. 35
Příklad.7.3 Nalezěte řešeí soustavy x mod 5 x 3 mod 8 x 6 mod x 4 mod 9. Řešeí. Dle věty.7. vypočteme M 396 M 79 M 495 M 3 36 M 4 44. Čísla x 4 určíme z ásledujících kogruecí 79 x mod 5 tedy 3 36x 3 mod tedy 7 x 495 mod x 44 mod 4 3 36 x tedy x 7 x tedy x 8. Ze vztahu (.49) dostáváme x 79 3 495 7 3 36 7 6 44 8 4 44 348 a odtud 4 hledaé řešeí (v soustavě ejmeších ezáporých zbytků) 787 mod 396 x. Pozámka.7. artmetka velkých čísel Procesory jsou schopy provádět rychlé artmetcké operace s čísly které lze uložt do pamět určté velkost (apř. 64 btů). Výpočty s velkým čísly se proto realzují pomocí tzv. modulárí artmetky která je založea a větě.7.. Z této věty vyplývá že pokud máme dáy moduly m m (po dvou esoudělé pochoptelě ejčastěj tvaru ) lze každé číslo a z možy M kde M m m ejmeší ezáporý zbytek modulo jedozačě reprezetovat -tcí a a m tj. m k kde a je a. Tuto -tc azýváme modulárí reprezetací čísla a. Nyí lze provádět výpočty v modulárí reprezetac a to po složkách (vzhledem k jejch velkost velm rychle) ásledově: Ozačme a a modulárí reprezetac čísla a b b modulárí reprezetac čísla b potom modulárí reprezetace a b je rova a b mod m a b mod m a modulárí reprezetace a b je rova a b mod m a b mod m. Na závěr pozameejme že převody mez stadardí a modulárí reprezetací se provádí pouze a začátku a koc výpočtu avíc tyto převody jsou vzhledem k obvyklé volbě modulů rychlé. Příklad.7.4 3 Pomocí modulárí artmetky využívající moduly m 47 m 89 a m 5 3 767 vypočtěte 3 b d c a kde a 454 545 b 33 3 c 888 888 3 d 7 77. Řešeí. Nejprve alezeme odpovídající modulárí reprezetace čísel s kterým budeme provádět výpočty. Dostáváme a a mod m a mod m a mod m3 44 8574 b mod m b mod m b mod m3 987 873 88 c mod m c mod m c mod m3 64 35 6845 d m d mod m d mod m 86 7897 788 b c d mod 3. Nyí sado provedeme po složkách příslušé modulárí výpočty.
Prví složka: 3 987 86 64 376 mod 47. Druhá složka: 3 873 7897 35 44 84 mod 89. Třetí složka: 3 88 788 6845 8574 738 mod 3767. Jako modulárí reprezetac výsledku tak dostáváme 3b d c a 376 84 738. Posledím krokem je převedeí výsledku z jeho modulárí reprezetace do stadardí. Tu alezeme jako řešeí soustavy x 376 mod 47 x 84 mod 89 x 738 mod 3767. Aplkací věty.7. tak dostáváme výsledek 3b d c a 5 83 838. 78 Pozámka.7.3 (metoda RSA - šfrováí s veřejým klíčem) Metoda RSA (Rvest Shamr Adlema jméa autorů metody) je moderí a velm bezpečý způsob šfrováí který je vyvíje od polovy sedmdesátých let. století. Na rozdíl od klasckého šfrováí kde odeslatel příjemce je schope zprávy jak šfrovat tak dešfrovat je v případě RSA metody stuace zásadě odlšá. Každý zájemce má k dspozc tzv. veřejý klíč tj. dvojc čísel e která mu umožňuje zprávy jedoduše šfrovat kolv však dešfrovat. K dešfrováí je totž potřeba zát kaocký rozklad čísla které je záměrě kostruováo jako souč dvou velkých prvočísel majících obvykle stovky dekadckých míst. Velm vysoká bezpečost tohoto způsobu šfrováí je pak založea a skutečost že doposud eí zám žádý dostatečě efektví algortmus umožňující alézt kaocký rozklad extrémě velkých čísel (vz pozámka.3.3 týkající se Fermatových a Merseových prvočísel) a praktcky jedá možost jak rozklad čísla alézt je postupě testovat jeho děltelost přrozeým čísly. Sado se přesvědčíme (číslo mívá kolem 4 dekadckých míst) že teto postup je mmo možost jakékolv současé výpočetí techky. Nyí podroběj k RSA metodě. RSA šfrováí. Pro šfrováí máme k dspozc jž zmíěý veřejý klíč tj. dvojc čísel e. Nejprve šfrovaou právu převedeme do podoby čísla B (apř. každému zaku přřadíme jeho pořadí v rámc abecedy) které pak rozdělíme a bloky B B (blok je apříklad tvoře čtyřm cfram). Nyí jedotlvé bloky zašfrujeme dle vztahu mod l l e K B. (.5) Původí zprávě pak odpovídá zašfrovaý text skládající se z bloků RSA dešfrováí. Pro dešfrováí máme k dspozc trojc čísel p q e a samozřejmě zprávu l K K. l kde e p q NSD p q K K zašfrovaou dle (.5). K dešfrováí použjeme vztah mod l d B K (.5) kde d je ejmeší ezáporý zbytek vyhovující kogruec d e mod p q. (.5) Z podmíky e p q NSD vyplývá (vz věta.7.) že číslo d exstuje a je určeo jedozačě. Odtud dostáváme 37
e d t p q B B d K. (Přpomeňme že.5 lze přepsat a t p q 38 de pro jsté t Z.) Z malé Fermatovy věty dostáváme (vzhledem k volbě prvočísel p a q) B p mod p B q mod q tedy K d B p t B q d q t B mod p K B B p B mod q d Z věty.6.3 část d) vyplývá že K B p q k dešfrováí. Příklad.7.5 Pomocí RSA metody: mod a tedy uvedeý postup skutečě vede a) zašfrujte slovo KRALOVKA použjte veřejý klíč e 3337 9 b) dešfrujte slovo 349 883 77 máte-l klíč q e 67 83 3 p. Řešeí. Pozameejme že jde pouze o prezetac prcpu RSA metody proto je hodota veřejého klíče (tedy prvočísel p q) malá. Skutečě používaé hodoty mívají stovky cfer. ad a) Nejprve slovo KRALOVKA převedeme do posloupost čísel které vyjadřují pořadí jedotlvých zaků v rámc (aglcké) abecedy. Dostáváme tak 8 5. Tato čísla seskupíme do bloků (apříklad po dvou číslech) 8 5 a tyto bloky yí zašfrujeme (vyjádříme v soustavě ejmeších ezáporých zbytků modulo 9 ) dle vztahu (.5) tj. mod 3337 Dostáváme tak 55 86 K. B 9 9 8 mod 3337 58 mod 3337 9 9 5 mod 3337 54 mod 3337. Slovu KRALOVKA proto odpovídá šfrový text 55 58 86 54. ad b) Nejprve z klíče q e 67 83 3 čísla p vypočteme dešfrovcí klíč d. Pozameejme že p q zá pouze příjemce zprávy a tedy pouze o je schope určt dešfrovací klíč (odeslatelé zají veřejý klíč tj. hodotu souču p q a číslo e což jm umožňuje zprávy šfrovat kolv dešfrovat). V souladu s pozámkou.7.3 určíme dešfrovací klíč d jako řešeí (ejmeší ezáporý zbytek) ám jž dobře zámého typu kogruece e mod p q 3d mod 54. Aplkací věty.7. dostáváme d tj. 49 d 49. Nyí provedeme vlastí dešfrováí dle vztahu (.5) tj. mod 556 Dostáváme tak 5 49 49 349 mod 556 9 883 mod 556 49 77 mod 556 54 B. K a tedy pořadová čísla jedotlvých zaků původí zprávy jsou 5 9 5 4. Nyí jž sado zjstíme že ezašfrovaé slovo bylo JESTED..
Platí (zobecěá číská věta o zbytku) Soustava kogruecí má řešeí právě tehdy jestlže právě jedo řešeí modulo. Toto řešeí je tvaru. V tomto případě má daá soustava kde jsou přrozeá čísla taková že jsou přrozeá čísla taková že a. Lteratura K. H. Rose: Hadbook of Dscrete ad Combatoral Mathematcs. CRC Press. K. H. Rose: Elemetary Number Theory ad Its Applcatos. Addso-Wesley 999. K. H. Rose: Dscrete Mathematcs ad Its Applcatos. McGraw-Hll 999. N. R. Scott: Computer Number Systems ad Arthmetc. Pretce Hall 985. I. M. Vogradov: Základy theore čísel. ČSAV Praha 953 (překlad z rušty). 39