ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ

Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost odporu vzorku rtut. V okolí teploty 4, K aměřl skokový pokles odporu o čtyř řády (vz obrázek, který je hstorckým orgálím zázamem epermetu, a ose je vyesea teplota v Kelvech (K)). Jev, který byl pozděj potvrze a aleze př žších teplotách a jých kovech, apř. cíu a olovu, byl terpretová jako fázový přechod látky do kvaltatvě ového stavu, který byl azvá stavem supravodvým. Podrobost a hstorcké souvslost epermetu jsou uvedey apř. v čláku C. J. Gortera (Rev. Mod. Phys. (964)). Za teto výsledek a další prác v oblast fyzky a techky ízkých teplot byl prof. H. Kamerlgh Oes oceě v roce 93 Nobelovou ceou za fyzku.

JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ matfyzpress PRAHA 006

Balstcký galvaoměr a obálce byl součástí polarografu, který byl zkostruová podle ávrhu prof. J. Heyrovského. Prof. Heyrovský, jako dosud jedý vědec české árodost, získal v roce (959) Nobelovu ceu právě za objev a rozvoj metody polarografcké aalýzy. Automatzovaé verze polarografů, které obsahovaly teto galvaoměr, byly vyráběy frmou Dr. V. & J. Nejedlý v letech 99 946. Všecha práva vyhrazea. Tato publkace a žádá její část esmí být re pro du ko vá a ebo šířea v žádé formě, elektrocké ebo mechacké, včetě fotokopí, bez písemého souhla su vydavatele. Jří Eglch, 006 MATFYZPRESS, vydavatelství Matematcko-fyzkálí fakulty Uverzty Karlovy v Praze, 006 ISBN 80-8673-93-

OBSAH. Fyzkálí velčy a jejch jedotky. Systematka fyzkálích velč. Jedotky fyzkálích velč 3.3 Metrologcké rovce 4.4 Soustavy jedotek 8. Nejstota měřeí 4. Základí pojmy 5. Odhad mamálí ejstoty epřímých měřeí 8.3 Nejstota metody, ejstoty měřdel 30.4 Zaokrouhlováí kostat 36 3. Vybraé základí pojmy matematcké statstky 39 3. Statstcký epermet, áhodý jev, pravděpodobost 40 3. Rozděleí pravděpodobost, dstrbučí fukce 45 3.3 Středí hodota, momety áhodé velčy, medá 60 3.4 Rozděleí pravděpodobost více áhodých velč 65 3.5 Cetrálí lmtí věta 7 4. Prcp mamálí věrohodost 75 4. Odhad parametrů rozděleí z jedého epermetu 75 4. Opakovaé ezávslé epermety 78 4.3 Zpracováí výsledků měřeí jedé velčy 88 4.4 Přeos ejstoty 9 4.5 Zpracováí výsledků epřímých měřeí 9 4.6 Příspěvek ejstoty typu B 95 4.7 Příklad - měřeí vskozty 97 5. Iterpolace fukčích závslostí 0 5. Přímka procházející počátkem 05 5. Příklad - měřeí tuhost pružy 0 5.3 Polyom k-tého stupě 4 5.4 Obecá přímka 5 5.5 Možost využtí trasformace souřadc 0 5.6 Alteratví řešeí 3 v

6. Přílohy 9 6. Defce základích jedotek SI 9 6. Měřeí odporu metodou přímou 30 6.3 Prcp oa 33 6.4 Rozděleí pravděpodobost součtu áhodých velč 34 7. Semárí úlohy 37 8. Lteratura 45 v

PŘEDMLUVA Teto tet vzkal postupě jako základí lteratura pro semárí výuku předmětu Úvod do praktcké fyzky, kterou autor řadu let vede v prvím semestru magsterského a v současé době bakalářského studa fyzky a matematcko-fyzkálí fakultě (MFF) UK v Praze. Předmět je teoretckým úvodem, který má posluchačům přést v prvé řadě základí formac a podat kokrétí ávody pro zpracováí výsledků měřeí. Součástí této část výuky je podrobější rozbor systému fyzkálích jedotek. V současé době jsou výstupem rozhodující část měřcích metod ve všech oblastech epermetálí fyzky elektrcké velčy, jejchž aalogové hodoty se ásledě převádějí do číslcového formátu s možostí dalšího zpracováí s využtím stále zdokoalovaé výpočetí techky. Neméě výzamou součástí úvodu k praktcké výuce epermetálích fyzků je proto formace o metodách měřeí základích, zejméa elektrckých velč, a způsobech jejch dgtalzace. Vzhledem k tomu, že v současé době je výuka Úvodu do praktcké fyzky dotováa pouze jedou hodou týdě, bylo uto se omezt pouze a oblast zpracováí výsledků měřeí. Pro tuto výuku je také kokrétě urče teto tet, přčemž jeho teoretcká úroveň musela být přzpůsobea úrov zalost matematky v prvím semestru studa. Skrptum bylo proto pojmeováo Úvod do praktcké fyzky I, s podttulem Zpracováí výsledků měřeí, aby byla zdůrazěa potřeba dalšího pokračováí, ve kterém by mohla být podroběj a a vyšší úrov zpracováa problematka statstckých metod zpracováí výsledků měřeí, a dále zmíěá problematka měřcích metod základích fyzkálích velč. V eposledí řadě by teto druhý díl měl obsahovat kokrétější formac o způsobu realzace základích jedotek systému SI, protože problematce metrologe, ač je pro epermetálí fyzku důležtá, eí ve výuce a MFF UK z růzých důvodů věováa odpovídající pozorost. Doufejme je, že se druhý díl dočká v brzké době své realzace. V prví kaptole předkládaého tetu se autor saží překoat dojem, který s ve své většě studet přášejí ze středí školy, totž že estující systém fyzkálích jedotek SI je jedou možou alteratvou a v systému obsažeé (u- v

verzálí) kostaty jsou eměou součástí příslušých fyzkálích zákoů. Podrobější studum této část tetu je zároveň cvčeím k metodě rozměrové aalýzy vyložeé v prví kaptole. Druhá kaptola je věováa základím představám a pravdlům prezetace výsledků fyzkálích měřeí. Ve smyslu moderích evropských orem je zde saha zavést pojem ejstoty výsledku v kotrastu s tradčě užívaým pojmem chyba. Důležtým aspektem této část je oddělt ejstotu statstckého charakteru od ejstoty způsobeé omezeou přesostí měřících přístrojů. Právě v této oblast je uté další prohloubeí, zejméa v otázkách zdrojů chyby u růzých typů měřeí elektrckých velč. Zde by tedy mělo být těžště problematky předpokládaé druhé část skrpta. Ve třetí kaptole jsou jedoduchým způsobem, bez ároků a úplost, zavedey základí pojmy matematcké statstky, uté pro výklad statstckých metod odhadu výsledků měřeí jedé velčy, kterým se zabývá kaptola čtvrtá, a výsledků terpolace měřeí fukčích závslostí v kaptole páté. Tet je v ěkterých odstavcích doplě jedoduchým příklady a v kaptole čtvrté potom podrobě zpracovaým měřeím dyamcké vskozty kapaly s využtím epermetálích výsledků z praktka mechaky a molekulové fyzky a MFF UK. Pro potřeby semárí výuky jsou v kaptole sedmé uvedey semárí úlohy, jejchž řešeí má čteář usadt pochopeí tetu. Jako semárí úlohy jsou též zařazey důkazy ěkterých tvrzeí, použtých v tetu. Pro řešeí všech úloh je v tetu příslušých kaptol dostatek formací a aalogckých postupů. Úlohy jsou ozačey číslem kaptol, ke kterým se vztahují. Autor chce touto cestou poděkovat řadě kolegů a studetů MFF UK, kteří se růzou formou zúčastl přípravy rukopsu. Výzamý podíl a vzku a kvaltě tetu má RNDr. H. Valetová, CSc. (v současost FgÚ AV ČR), která díky svým zkušeostem získaým během své dlouholeté čost v základí fyzkálím praktku a MFF UK mohla poskytout výzamé poděty a přpomíky, zejméa vzhledem ke kokrétím potřebám studetů př praktkálí výuce. Dále patří dík dalším kolegům a MFF UK, zejméa doc. RNDr. J. Nedbalov, CSc., RNDr. J. Čížkov, CSc., doc. RNDr. Z. Práškové, CSc. a prof. RNDr. B. Sedlákov, DrSc. za přečteí tetu a řadu stmulujících přpomíek a dskusí. V eposledí řadě děkuje autor recezetce doc. RNDr. I. Stulíkové, CSc., která svým zájmem a podporou výzamě přspěla ke koečé realzac tohoto tetu. Praha, lstopad 006 Jří Eglch v

. FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY. SYSTEMATIKA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN V řadě oblastí přírodích a techckých věd, v techcké a obchodí pra, ale v běžém žvotě se vyskytuje potřeba charakterzovat objektví vlastost a stav předmětů a okolího prostředí, popsat průběh růzých procesů apod. K tomu se zavádí systém velč, které uvedeé vlastost a stav charakterzují. Potřebé formace potom získáváme pozorováím, tedy specálím postupem, př ěmž staovíme kvattatví, popřípadě kvaltatví parametry příslušých velč, evetuálě jejch vztahy k velčám ostatím. Pozorovat můžeme a jedé straě jevy a procesy, které probíhají bez ašeho zásahu a bez možost jejch průběh ovlvňovat, a a druhé straě stav, děje a procesy, které cujeme, řídíme, volíme podmíky jejch průběhu apod. V prvím případě jsou typckým příkladem pozorováí astroomcká, ve druhém případě pak hovoříme o pokusu ebo epermetu. Podle charakteru výsledku můžeme pokus dále dělt a pokus kvaltatví a pokus kvattatví. Kvaltatvím pokusem může být apříklad staoveí charakteru ph roztoku zbarveím lakmusového papírku ebo zjštěí, že pozorovaá kapala dosáhla teploty varu. Jako kvattatví chápeme takové pokusy, kdy lze výsledek, tedy objektví stav studovaé velčy, vyjádřt v číselé formě srováím s obecě zavedeou jedotkou. V takovém případě hovoříme o měřeí. Defcí pojmu fyzkálí velčy se ldé zabýval od samých počátků svých obchodích, hospodářských, techckých a vědeckých aktvt. Jako příklad je možé uvést defc, kterou podal Leoard Euler ve svém díle Algebra z roku 766:. velčou rozumíme vše to, co se může zvětšovat ebo zmešovat, ebo to, k čemu můžeme ěco přdat ebo ubrat (hmotost, čas, délka, teplota, tlak, teplo, úhel,...),. estují velčy růzého druhu, jejchž studem se zabývají růzé oblast vědy (fyzky). Každá oblast vědy má své charakterstcké velčy. Fyzka je aukou o velčách, 3. měřeí je srováváí daé velčy s vybraou velčou téhož druhu (jedotkou).

Prví část Eulerovy defce se v současé době obvykle ahrazuje moderější defcí: Velčou popsujeme objektví vlastost (stav) předmětu ebo fyzkálího jevu, kterou lze kvaltatvě odlšt a kvattatvě popsat. Druhá část defce se ahrazuje klasfkací velč a a) etezví (možství, kvatty) - adtví (hmotost, áboj, teplo,...) b) tezví (kvalty) - velčy stavové (teplota, apětí, tlak,...) c) protezví (stále plyoucí) - (čas) Charakterstka pojmu měřeí se od dob Eulerových ezměla a výsledek měřeí velčy, tedy srováí její velkost s velkostí daé jedotky, zapsujeme ve tvaru, c [ ] = ( µ ± u ), (.) kde µ je ejpravděpodobější hodota měřeé velčy, číslo u c, je vyjádřeím ejstoty výsledku měřeí a hraatá závorka v (.) je obecým symbolem pro ozačeí použté jedotky měřeí, pokud je toto ozačeí platou ormou zavedeo (vz apř. []). Jedotky měřeí dělíme dále a jedotky základí a jedotky odvozeé. Jedotky základí, tedy jedotky velč, které byly v daém systému jedotek za základí vybráy, defují tzv. systém (soustavu) jedotek a jejch volba je ovlvěa spíše tradcí a požadavky techcké prae, ež ějakým rgorózím požadavky fyzkálím. V každém případě by však měl estovat pokud možo všeobecě akceptovaý systém poměrě sado realzovatelých, dobře reprodukovatelých a časově stablích základích jedotek, protože v opačém případě by se zkomplkovaly eje podmíky komukace uvtř vědeckých komut, což je problém prcpálě řeštelý, ale hlavě by se zemožly procesy stadardzace ve výrobě, techcké pra a v obchodě, což by praktcky eřeštelým způsobem zemožlo rozvoj všech rozhodujících oblastí techckých a hospodářských aktvt moderí společost. V současé době je až a drobé výjmky všeobecě akceptová a árodím ormam uzákoě mezárodí systém jedotek ( System Iteratoal (SI) - vz odst..4). Jedotkam odvozeým jsou pak jedotky velč, které jsou s velčam základím spojey pokud možo jedoduchým defčím vztahy (vz dále). V případě měřeí jedotek odvozeých, kdy eí ormou zavedeo ozačeí jedotky, má hraatá závorka v (.) výzam tzv. rozměru. Rozměr je vyjádřeím jedotky

měřeé jedotkam základím pomocí defčího vztahu. Například pro jedotku rychlost eí v systému SI zavedeo ozačeí a proto se podle defčího vztahu v = s/t ozačeí jedotky rychlost ahrazuje rozměrem [v] m s.. JEDNOTKY FYZIKÁLNÍCH VELIČIN Jedotky fyzkálích velč se, jak jž bylo řečeo, vytvářely hstorcky, hlavě vzhledem k potřebám obchodu a rozvoj techcké prae. Od začátku byla hlavím krtérem praktčost a sadá dostupost jedotky, pozděj se rozvíjely sahy o objektvtu. Příkladem může být saha o objektvzac jedotky délky. Stadardě používaé jedotky palec ebo loket byly samozřejmě závslé a tělesé kostrukc kokrétích osob. Proto jž v 6. století avrhl Jakob Köble ve svém díle Geometre, které bylo vydáo ve Frakfurtu (a.m), jako jedotku délky středí stopu, která měla být středí hodotou délky choddla šestáct áhodě vybraých osob. Proces hledáí systému základích jedotek byl postupem času završe vytvořeím mezárodě uzávaých stadardů, od kterých byly dále odvozováy stadardy árodí. Vzhledem k tomu, že člověk žje v prostoru a čase, je pochoptelé, že mez základí jedotky v každém systému patřly vždy jedotky pro měřeí délky a času, k mž byla pro potřeby mechaky, která byla hstorcky prví z výzamě se rozvíjejících oblastí fyzky, přdáa jedotka hmotost. Vlastí způsob realzace jedotek délky a času se vzhledem ke vzrůstajícím árokům a přesost a objektvtu postupě poměrě rozmatě měl. Způsob realzace jedotky hmotost formou stadardu vytvořeého jž v roce 889 aprot tomu všechy reformy přečkal v ezměěé podobě až do doby moderí. Podrobost o způsobu současé realzace eje základích jedotek délky, času a hmotost, ale všech ostatích fyzkálích jedotek v současě užívaém systému SI je možo ajít apř. v ormě [] ebo publkac []. S rozvojem dalších oblastí fyzky se systém základích jedotek postupě rozšřoval. Způsob tohoto rozšřováí však eí jak rgorózě defová, ve volbě dalších základích jedotek je začá lbovůle, takže dosažeí všeobecě uzávaého kosezu je áročé. V současé době je hlavím krtérem pro evetuálí zásahy do systému jedotek ekoomcká áročost případé změy. 3

Blíže bude o pravdlech a ěkterých zákotostech výstavby systému základích jedotek pojedáo v odstavc.4..3 METROLOGICKÉ ROVNICE Jako metrologcké rovce se souhrě ozačují matematcké formulace vztahů mez fyzkálím velčam, jejch jedotkam a rozměry. V prvím případě mluvíme o rovcích velčových, dále pak o rovcích jedotkových a rozměrových. Velčové rovce popsují zkoumaé přírodí zákoy ebo zavádějí ové velčy. Například velčová rovce F = dp dt (.) je obecou formulací. Newtoova zákoa, která popsuje vztah mez působící slou F a časovou změou hybost p. Já velčová rovce F = q( E + (v B)) (.3) popsuje slové působeí elektrckého ( E ) a magetckého pole ( B ) a pohybující se elektrcký áboj q, zatímco rovce dm ρ =, (.4) dv kde M začí hmotost a V objem, zavádí hustotu látky (ρ ). Jedotkové rovce popsují vztahy mez jedotkam studovaých velč a formulují se v co ejjedodušší formě, bez dferecálích, tegrálích, popř. jých složtějších operátorů. Pro jž uvedeé příklady velčových rovc (..) (.4) jsou jedotkovým rovcem postupě 4

j p j F =, j F = j q.j E, j F = j q.j v.j B, j ρ = j t j j m V, (.5) kde symbolem j F je ozačea jedotka síly a obdobě v ostatích případech jedotky dalších použtých velč. Rozměrovým rovcem jsou jedotkové rovce rozepsaé pomocí jedotek základích, tedy bez užtí případých specálích ozačeí jedotek zavedeých v daém systému. Například v systému SI je rozměrovou rovcí velčové rovce (.) rovce - - - [ F] = kg m s =[ p][ t ]= kg m s s. V případě rovce (.3) pro slové působeí a áboj pohybující se v magetckém pol máme rozměrovou rovc - - - - [ F ] = kg m s = [ q][v][ B] =As ms kgs A. Rovost pravé a levé stray rozměrových rovc je možé využít pro kotrolu správost formulace rovc velčových. Tomuto postupu říkáme rozměrová aalýza. Protože však rozměrové rovce eobsahují bezrozměré číselé kostaty, je případé splěí rovc rozměrových pro celkovou správost rovc pouze podmíkou utou, kolv postačující. Uveďme dále ěkolk příkladů pro užtí rozměrové aalýzy. Prví z možostí je kotrola odvozeých formulí. Předpokládejme, že jsme užtím defčího vztahu J r dv = V ρ (.6) vypočetl, že momet setrvačost homogeího válce o poloměru R a hmotost M je dá vztahem = J MR. (.7) Z defčího vztahu je zřejmé, že rozměr mometu setrvačost v soustavě SI je [J] = kg m. Potom ale pro výsledý vzorec (.7) v této soustavě skutečě platí kg m = J = [ M][ R ] = kg m [ ] 5

a odvozeý vzorec je rozměrovou aalýzou potvrze. Další možostí je tzv. kotrola stupě mocých závslostí. V řadě případů jsou výsledé fyzkálí formule dáy jedoduchým mocým závslostm, př čemž eí vždy a pror jasý stupeň příslušých moc. Předpokládejme apříklad, že se sažíme formulovat vztah pro dobu kyvu matematckého kyvadla (T ). Předpokládáme, že doba kyvu bude záležet a gravtačím zrychleí g, délce kyvadla l a jeho hmotost m, přčemž eí předem jasé, v jakých mocách se budou příslušé velčy ve výsledé formul vyskytovat. Napíšeme tedy α β γ T ~ g l m. (.8) Rozměr levé stray rovce (.8) v soustavě SI je [T ] = s. Rozměr pravé stray je - - g α l β M γ m α s α m β kg γ =m α + = β s α kg γ. Srováím rozměrů levé a pravé stray rovce (.8) α + β -α γ s=m s kg dostáváme podmíky pro epoety α, β, γ α + β = 0, α =, γ = 0. (.9) Z rovc (.9) je okamžtě vdět, že předpoklad o závslost doby kyvu a hmotost kyvadla byl mylý, protože γ = 0 a dále sado ajdeme α =, β =. Formule (.8), která eí v rozporu s rozměrovou aalýzou, má tedy tvar l T. g Jako další případ uveďme formul pro sílu, kterou a sebe působí pólové ástavce elektromagetu se vzduchovou mezerou a s uzavřeým jádrem. Předpokládejme, že vzduchová mezera je úzká a síla bude tedy úměrá ploše ástavců S, magetcké dukc v mezeře elektromagetu B a permeabltě µ. Hledáme tedy formul ve tvaru F µ α B β S γ. (.0) 6

Rozměr levé stray formule (.0) je v soustavě SI Rozměr pravé stray potom [ F ] kg ms =. [ α ][ B β ][ S γ ] kg α m α s α A α kg β s β µ = A β m γ = kg α + β m α + γ s α β A α = β. Srováí rozměru pravé a levé stray formule (.0) dostaeme pro α, β, γ podmíky: α+ β=, α+ γ =, α β= 0. (.) Řešeím soustavy rovc (.) jsou hodoty epoetů α =, β =, γ =. Formule (.0) eodporující rozměrové aalýze má tedy tvar F B S. µ Některé další možost aplkace rozměrové aalýzy jsou podroběj probráy apříklad v prác [3]. Popsaá ejjedodušší metoda užtí rozměrové aalýzy pro kotrolu fyzkálích rovc je prcpálě omezea počtem základích jedotek, kterým je urče počet možých ezávslých rovc pro koefcety mocých závslostí. Užtí rozměrové aalýzy má však mohem šrší oblast možostí využtí. Je zejméa důležtou součástí teore fyzkálí podobost a modelováí, kde se používá př řešeí základích rovc matematcké fyzky, apříklad v mechace stavebích kostrukcí, mechace tekut, termomechace, modelováí elektrckých polí apod. Blíže jsou základy této problematky vyložey apříklad v kze [4]. 7

.4 SOUSTAVY JEDNOTEK Výstavba všeobecě akceptovatelé soustavy fyzkálích jedotek probíhala postupě. Důležtým mezíkem bylo uzavřeí mezárodí metrcké kovece v roce 875 a ásledující aktvty jejího ejvyššího orgáu Geerálí koferece pro míry a váhy. Tato koferece přjala a svém zasedáí v roce 960 Mezárodí soustavu jedotek (SI). Předchůdc soustavy SI byly všeobecě užívaé soustavy CGS, CGSE, CGSM, soustava Gaussova, MKS a koečě MKSA. Hstorcké aspekty postupého zaváděí zmíěých soustav jedotek jsou blíže rozebráy apř. v publkac [] ebo v kze [5]. V ozačeí soustav vystupují zkratky ozačeí základích jedotek. Tak v případě CGS je to cetmetr, gram, sekuda a podobě metr, klogram, sekuda a ampér u soustavy MKSA. Soustava CGS byla vytvořea pro použtí v mechace a její další použtí v ostatích oblastech fyzky vyžadovalo buď doplěí o další základí jedotky ebo, př poecháí tří základích jedotek, zavedeí jedotek všech dalších užívaých velč jako jedotek odvozeých. Například v oblast elektřy a magetzmu se jako prví odvozeá jedotka používala jedotka pro elektrcký áboj, odvozeá z Coulombova zákoa. Všechy ostatí jedotky elektrcké magetcké byly jedotkam odvozeým. Vzkla soustava jedotek ozačovaá jako CGSE (absolutí soustava elektrostatcká). Př opačém postupu, kdy prví odvozeou jedotkou byla jedotka pro hypotetcké magetcké možství odvozeá z formálě platého Coulombova zákoa pro slové působeí magetckých možství, byla vytvořea soustava jedotek CGSM (absolutí soustava elektromagetcká). Výhodou těchto soustav bylo to, že apř. př použtí soustavy CGSE eobsahovaly rovce vyjadřující vztahy mez velčam elektrckým žádé číselé faktory. Podobě v soustavě CGSM byly rovce popsující vztahy mez magetckým velčam bez číselých faktorů. V rovcích, ve kterých vystupovaly společě velčy jak elektrcké, tak magetcké, se však v obou soustavách kostaty úměrost vyskytovat musely. Př epermetálím zkoumáí těchto faktorů bylo objeveo, že vesměs jde o kostaty s číselou hodotou a rozměrem moc rychlost světla ve vakuu. Tato skutečost vedla pozděj k úvahám o elektromagetcké povaze světla (vz apř. [5]). 8

Spojeím soustav CGSE a CGSM vzkla soustava Gaussova, v íž byly jedotky elektrckých velč převzaty z CGSE a jedotky magetckých velč z CGSM. Základí zákoy tím získaly symetrckou podobu, cméě ve smíšeých vztazích se kostaty velkost a rozměru moc rychlost světla stále vyskytují. Nevýhodou uvedeých soustav elektrckých a magetckých jedotek (odvozeých od soustavy CGS), je epraktčost velkost jedotek běžě užívaých velč. Například pro jedotku proudu v soustavě CGSE (sa statampér) platí sa 3.0 0 A, pro jedotku odporu (sω statohm) dostaeme sω 9.0 Ω. Podobě je v absolutí soustavě elektromagetcké apříklad pro jedotku apětí (av abvolt) av = 0 8 V a v soustavě Gaussově aprot tomu pro (sv statvolt) sv 3.0 V. Proto byla dále avržea soustava MKSA, která pro oblast elektřy a magetzmu opustla prcp výstavby užtím pouze tří základích jedotek a zavedla ovou základí jedotku pro elektrcký proud (A ampér). Tato soustava se pozděj stala základem pro současě používaou soustavu SI. Podroběj je o jedotkách používaých v elektřě a magetzmu pojedáo apř. v učebc [5]. Prcp výstavby soustavy jedotek s využtím pouze tří základích jedotek ostatě ebyl dodrže a u soustavy CGS a ostatích (CGSE, CGSM a Gaussova), protože pro další oblast fyzky byly zavedey další základí jedotky. Například pro termodyamku a auku o teple byla jako základí jedotka zavedea jedotka pro teplotí stupeň, v optce jedotka pro svítvost, v molekulové fyzce jedotka molekulového možství. Způsob realzace jedotek jedotlvých fyzkálích velč, zejméa jedotek základích, je předmětem metrologe a eí cílem tohoto tetu zabíhat do detalů, v kokrétích otázkách je možo odkázat a jž zmíěou khu [] ebo publkac []. Dále přesto uveďme dvě základí vlastost, které by všeobecě užívaá soustava jedotek měla mít. Soustava jedotek by předě měla být koheretí, což zameá, že velčové (a jedotkové) rovce používaé jako defčí pro velčy odvozeé, by eměly obsahovat číselé koefcety. Například velčovou rovc zavádějící rychlost hmotého bodu je možo formulovat jako dr = v k dt, v tedy rychlost je úměrá časové změě polohového vektoru. Zjedodušeí této rovce pro rovoměrý přímočarý pohyb 9

= v s v k t je defčím vztahem pro rychlost a v koheretím systému jedotek musí být kostata úměrost k v = a bezrozměrá. V tomto případě by ovšem mělo být v přesém slovím vyjádřeí defčího vztahu uvedeo: rychlost rovoměrého přímočarého pohybu je číselě rova poměru dráhy a času. V defčích vztazích, které vyhovují kulové ebo válcové symetr se v ěkterých případech zavádějí faktory 4π(π) s cílem odstrat ásobky π z praktcky užívaých formulí. Takové soustavy jedotek se azývají racoalzovaé. Příkladem může být soustava SI. Coulombův záko pro slové působeí mez dvěma bodovým áboj o velkost q ve vzdáleost r má zde zámý tvar q F = kc. r Použjeme-l dále stadardí postup a ajdeme vztah pro kapactu deskového kodezátoru s plochou desek S ve vzdáleost d (ve vakuu), dostaeme S C =. π kd 4 c Má-l kostata k c racoalzovaý tvar k c =, 4π ε 0 dostaeme běžě používaý vztah ε0 S C =, d ve kterém jž faktor 4π evystupuje. Praktcky užívaá formule tak obsahuje pouze jedu kostatu. Racoalzace se používá v případech, které mají podobě jako teto příklad určtý praktcký výzam. V jých případech formulí s kulovou symetrí, kde eí potřeba odstrat faktory úměré π přílš výrazá, se racoalzace epoužívá. Příkladem může být gravtačí záko Newtoův, jehož kostata úměrost (gravtačí kostata) se v SI faktorem 4π eormuje. Soustava SI, jakož větša dřívějších soustav jedotek, eí tedy důsledě racoalzovaá. Pro volbu základích jedotek daé soustavy fyzkálích jedotek, tzv. báze, eestují žádá pevá pravdla. Hlavím požadavkem a jejch výběr je mož- 0

ost sadé realzace příslušých stadardů, jejch dostupost pro srovávací a kalbračí měřeí a samozřejmě časová stablta. Základích jedotek by emělo být přílš moho, aby se ekomplkovalo vyjádřeí odvozeých jedotek formou rozměru. Hstorcky byly proto jako prví dvě základí jedotky realzováy jedotky pro délku (L) a čas (T). Stejě potřebá (a eje pro fyzku) byla jedotka pro hmotost (M). Pomocí těchto tří základích jedotek pak bylo možo vytvořt celý koheretí systém jedotek pro mechaku. Jedotka síly je v této tříjedotkové báz (L,T,M) jedotkou odvozeou. Dále záleží a tom, který fyzkálí záko použjeme pro odvozeí jedotky síly (F). V systému SI se využívá II. Newtoův záko ve zjedodušeém tvaru F = M a, kde jedotka pro zrychleí a je staovea jako jedotka odvozeá z jedotek rychlost a času. Postup je zázorě v tab... Př formulac dalších zákoů, které obsahují velčy, jejchž jedotky jž byly zavedey, musíme příslušé kostaty úměrost staovt epermetálě. Například v Newtoově gravtačím zákoě př vyjádřeí velkost slového působeí mez dvěma hmotým body M, M ve vzdáleost r MM F = κ (.) r musíme epermetálě staovt číselou hodotu kostaty úměrost κ (gravtačí kostaty). Tato číselá hodota závsí ovšem a velkost jedotek síly, hmotost a délky. Například př vyjádřeí jedotkam soustavy SI je (epermetálě staoveá) gravtačí kostata 3 κ 6, 673.0 kg m s. (.3) Př přechodu k soustavě s jou tříjedotkovou bází, apř. CGS se velkost gravtačí kostaty změí κ CGS = 6,673.0 8 g cm 3 s. Pokud by se př přechodu k ové soustavě eměly jedotky pouze řádově, změl by se samozřejmě v hodotě gravtačí kostaty eje řád. Podobě je uto Plackovu hypotézu o vztahu mez eergí a kmtočtem elektromagetcké vly formulovat obecě ve tvaru E = hν

Tab.. Tříjedotková báze Velča Ozačeí Defčí vztah Rozměr Velkost jedotky (v jedotkách SI) základí délka s L m čas t T s hmotost M M kg odvozeé rychlost v = s/ t LT m.s zrychleí a = v/ t LT m.s síla F = Ma MLT kg.m.s (N) práce A = Fs ML T kg.m.s (J) kmtočet ν = /T T s (Hz)... a kostatu úměrost h (Plackovu kostatu) s rozměrem [h] = ML T staovt epermetálě. V soustavě SI aměříme h 6,63.0 34 kg m s. Velkost kostaty opět závsí a volbě velkost jedotek báze. Jako posledí příklad uveďme zámý Esteův vztah pro ekvvalec eerge a hmotost E = kem. Z rozměru kostaty úměrost [k] = L T plye, že kostata má rozměr čtverce rychlost. Číselá hodota kostaty je obdobě jako v předchozích případech závslá a volbě jedotek daé soustavy, cméě podle výsledku specálí teore relatvty platí, že je rova čtverc rychlost světla ve vakuu c, takže v soustavě mechackých jedotek s bází (L,T,M), kostruovaé postupem podle tab.. platí E = c M, bez ohledu a formu realzace jedotlvých jedotek báze. Dále ukážeme, že teto populárí tvar Esteovy formule se změí eje př změě báze systému jedotek, ale př změě zákoů vybraých pro defc jedotek odvozeých, apříklad jedotky síly. Kostaty úměrost, které je potřeba vložt do vztahů, které ejsou vztahy defčím, jsou často azýváy uverzálím kostatam. Role uverzáích kostat bývá ěkdy poěkud přeceňováa a objevují se sahy hledat

v jejch estec a velkost ějaký hlubší výzam. Ukažme dále, jak by se změl hypotetcký systém jedotek mechaky s tříjedotkovou bází (LTM) v případě, že by se pro defc jedotky síly epoužl II. Newtoův záko (tab..), ale záko jý, apříklad Newtoův záko gravtačí. Tab.. Alteratví tříjedotková báze Velča Ozačeí Defčí vztah Rozměr základí délka s (r) L m čas t T s hmotost M M kg odvozeé rychlost v = s/ t LT m.s zrychleí a = v/ t LT m.s Velkost jedotky (v jedotkách SI) síla F M r = / M L κ N 6.67.0 N práce A = Fs M L κ J 6.67.0 J kmtočet ν = /T T s (Hz)... Stuace je dokumetováa v tabulce.. Velkost síly v alteratví soustavě s tříjedotkovou bází se změí. Jedotkou síly bude yí síla, kterou a sebe působí jedotkové hmotost v jedotkové vzdáleost. Poecháme-l pro porováí jedotky báze ze soustavy SI (L,T,M) = (m,s,kg), je jedotkovou slou síla o velkost jf κ N 6,673.0 N =. (.4) Newtoův gravtačí záko bude v alteratvím systému jedotek zapsá bez kostaty úměrost (gravtačí kostaty) ve tvaru MM F =, r 3

zatímco ve II. Newtoově zákoě musíme yí zavést ovou kostatu úměrost (uverzálí kostatu k N, kterou azveme apříklad Newtoovou kostatou ) F= k Ma. (.5) N Rozměrovou aalýzou s využtím tab.. sado ukážeme, že rozměr Newtoovy kostaty je [k N ] = ML 3 T což odpovídá převráceé hodotě rozměru gravtačí kostaty κ. Pokud by byl ový (alteratví) systém systémem původím, bylo by uté Newtoovu kostatu staovt epermetálě. Ncméě s ohledem a vztah mez rozměry a ovou velkost jedotky síly je zřejmé, že pro velkost kostaty k platí N k N =, (.6) κ a pokud je velkost gravtačí kostaty z původího systému jedotek záma, stačí Newtoovu kostatu, potřebou v ovém systému, pouze přepočítat. Newtoova kostata bude v alteratvím tříjedotkovém systému vystupovat apříklad v defcích ketcké a potecálí eerge: kn E k = Mv a Ep = kn M gh, zatímco třetí Keplerův záko o vztahu mez dobam oběhu (T) a velkostí hlaví poloosy (a) oběžé dráhy plaet pohybujících se okolo cetrálího tělesa o hmotost (M) bude v alteratví soustavě bez gravtačí kostaty T 4π =. 3 a M V dalším zákoě, uváděém jako příklad v této dskus, v zákoě Plackově, se samozřejmě změí jak velkost, tak rozměr kostaty úměrost (k (3) p ) a záko bude mít tvar (3) E = k ν. Zde zavádíme v kostatě úměrost horí de jako ozačeí dmeze báze základích jedotek mechaky. Srováím s tab.. sado ajdeme, že [k p (3) ] = M L T, což odpovídá poměru rozměrů Plackovy a gravtačí kostaty v báz původí. Přestože rozměrová aalýza eí schopa určt velkost ko- p 4

staty k (3) p, lze rozborem velkost jedotky eerge, podobě jako v případě dskuse velkost Newtoovy kostaty (.6), sado ukázat, že platí (3) h k p =, κ kde h a κ jsou Plackova a gravtačí kostata v báz původí. Koečě pro Esteův vztah mez hmotostí a eergí dostaeme (3) E = ke M s kostatou úměrost s rozměrem [k E (3) ] = ML. Chceme-l ovou kostatu úměrost vyjádřt pomocí kostat úměrost v původí tříjedotkové báz se základím jedotkam SI (L,T,M) = (m,s,kg), je srováím rozměrů zřejmé, že v tomto případě platí (3) c ke = κ a kostatou úměrost mez eergí a hmotostí v tomto případě eí čtverec rychlost světla ve vakuu. Způsob defce jedotky síly tedy změl systém uverzálích kostat. Místo gravtačí kostaty se v systému achází ová kostata Newtoova a u ostatích uverzálích kostat se měí jak jejch rozměr, tak velkost. Neměí se však jejch celkový počet. Celkový počet uverzálích kostat se měí až s počtem základích jedotek, s velkostí báze. Př zvětšeí počtu základích jedotek dochází obecě ke zvětšeí počtu uverzálích kostat. V ašem hypotetckém systému základích jedotek mechaky můžeme jako další základí jedotku zavést apříklad jedotku síly. Realzujeme j ějakým stadardem, apříklad deálí pružou. Postup odvozováí dalších mechackých jedotek je podobý jako v soustavě s tříjedotkovou bází a je zázorě v tab..3. Př formulac Newtoova pohybového zákoa je zde třeba uvážt, že všechy velčy v zákoě vystupující už mají v tomto případě jedotky zavedey, záko tedy eí defčím vztahem a musí obsahovat uverzálí kostatu F = k M a. (.7) (4) N Velkost uverzálí kostaty (Newtoovy) k (4) N, je závslá a velkost základích jedotek a musí být staovea epermetálě. Její rozměr je (4) - - [ k ] = FM L T. N 5