357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Poslouposti a řady ucí Bodová overgece poslouposti ucí Deiice (odová overgece) Nechť je posloupost ucí : S, S Říáme, že posloupost ucí overguje uci a odově a zapisujeme ěterým z avzájem evivaletích symolů a, lim a, lim ( ) ( ) a, ( ) ( ) a, právě dyž overguje číselá posloupost ( ) číslu ( ), tj platí-li ěterý z dále uvedeých, vzájemě evivaletích výroů (platí-li jede, platí i všechy ostatí) ( lim ( ) ( ) ), () ( lim ( ) ( ) ), () ( ε ) ε ( ) ( ) <, (3) ( ( ) ( ) ε pro s v ) ε < (4) Fuce se azývá limití uce poslouposti a možiě Možia se azývá oor overgece poslouposti, je-li tvořea všemi ody S, pro teré je číselá posloupost ( ) overgetí Symol a užíváme ve smyslu posloupost je a (odově) overgetí, tj jao zratu za výro : ( a ) K ozačeí poslouposti se používají i jié symoly, apř, { }, { } apod Bodová overgece poslouposti ucí je dáa overgecí číselých posloupostí ( ), teré jsou určey výěrem odů S Pro vyšetřováí odové overgece poslouposti ucí je tudíž možé použít vše, co lze použít pro vyšetřováí overgece číselé poslouposti Přílad Je dáa posloupost ucí ( ) Fuce echť jsou deiováy a s hodotami v Vyšetřeme oor overgece poslouposti ucí a staovme limití uci [ ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Klademe si otázu, pro jaá čísla má číselá posloupost oečou limitu Podoou otázu jsme již řešili v příladu 9 při vyšetřováí geometricé řady, můžeme převzít výsledy Jestliže <, je lim lim, tj lim Iterval (,) tedy patří do ooru overgece poslouposti Jestliže >, je lim poslouposti, eoť lim, limití uce má a itervalu (,) hodotu lim, tj čísla > epatří do ooru overgece emůže ýt oečá Je-li, je ( ) ( ) a lim ( ) eeistuje, číslo epatří do ooru overgece poslouposti Je-li, je () a lim Číslo tedy patří do ooru overgece poslouposti, limití uce má v odě hodotu Oorem overgece poslouposti je tedy iterval (,, pro limití uci platí (,) ( ), () Na dále uvedeém orázu jsou aresley gray ěolia čleů poslouposti a modře je vyzače gra limití uce Všiměme si, že všechy čley poslouposti jsou spojité uce ( ), zatímco limití uce spojitá eí, je deiováa v odě ale eí v odě spojitá Přílad Uvažujme posloupost reálých ucí, uce jsou deiováy vztahy [ ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí pro (, ), ( ) jide v Pa posloupost overguje odově a celé možiě, limití uce je ulová Je-li totiž, pa ( ) a tudíž lim ( ) lim Je-li <, pa eistuje taové, že <, pa pro je ( ) a tudíž opět lim ( ) Všiměme si, že lim lim a tudíž lim, zatímco lim, je tedy Z uvedeých příladů vyplývá, že emůžeme říci moho o vlastostech limití uce a záladě vlastostí ucí V příladu, ač všechy uce ( ) jsou spojité, limití uce spojitá eí V příladu, ač všechy uce měly itegrály rovy jedé,, limití uce měla itegrál ulový Tato epřeositelost vlastostí z čleů a limití uci ( ) lim ( ) je typicou vlastostí odové overgece Je proto užitečé studovat jié typy overgece, teré y dovolovaly říci více o vlastostech limití uce a záladě vlastostí čleů poslouposti Kovergece je závislá a tom, ja jsou deiováy metricé či topologicé vlastosti prostoru ucí, tj a tom, ja je v ěm deiováa vzdáleost, ja jsou deiováy systémy oolí U odové overgece, ač se jedá o poslouposti ucí, je prolém převede a overgeci číselé poslouposti () Spojitost uce v odě je ovšem určováa chováím uce v jistém oolí odu a ioliv je hodotou () Nemůže ýt proto převapeím, že se spojitost právě u odové overgece epřeáší a limití uci V ásledujícím odstavci zavedeme jiý druh overgece, terý více ere v úvahu chováí uce jao celu Stejoměrá overgece poslouposti ucí Deiice (stejoměrá overgece) Nechť je posloupost ucí : S, S Říáme, že posloupost ucí overguje uci a stejoměrě, udeme používat symolicý zápis a, platí-li jede z dále uvedeých vzájemě evivaletích výroů (platí-li jede, platí i druhý) [ 3 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí ( ε ) ε ( ) ( ) <, (5) lim, (6) de h sup h( ) je tzv suprémová orma uce h a, D( h) Symol a užíváme ve smyslu posloupost overguje stejoměrě a, tj jao zratu za výro : ( a ) Uažme, že výroy (5), (6) jsou evivaletí Nechť platí (5) Zvolme ε, podle (5) eistuje taové, že pro je ( ) ( ) < ε, odtud sup ( ) ( ) ε, tj lim Nechť platí (6) Zvolme ε, podle (6) eistuje taové, že pro je < ε Protože ( ) ( ) sup ( ) ( ), máme ( ) ( ) < ε, tj platí (5) Porovejme deiice odové a stejoměré overgece Hodí se tomu ormule (3) a (5), teré se liší je přesuem vatiiátoru, ja je vyzačeo íže: ( ε ) ε ( ) ( ) <, ε ( < ε ) ( ) ( ) U odové overgece číslo, rom závislosti a ε, může ýt závislé i a volě odu, zatímco u stejoměré overgece je závislé pouze a ε Teto jemý rozdíl mezi odovou a stejoměrou overgecí má vša zásadí důsledy Jestliže je u stejoměré ( ) ( ) < ε splě pro všechy ody a overgece výro ( ) číslo je závislé pouze a ε a ezávislé a, mohli jsme přejít suprémové ormě v (6), terá lépe vystihuje podstatu věci Suprémová orma a možiě umožňuje deiovat vzdáleost ρ dvou ucí ěžým způsoem ρ (, g) g a dovoluje chápat uce jao ějaé ody prostoru a terém je deiováa vzdáleost (metricý prostor) Máme-li deiováu vzdáleost dvou ucí a možiě, podívejme se, co zameá oolí uce o poloměru ε Je to možia ucí U(, ε ), pro terou platí U (, ε ) { g g < ε} Ja uazuje dále uvedeý oráze, gray ucí, teré patří do ε-oolí uce, leží v pásu šířy ε jehož středová čára je gra uce [ 4 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí ε ε g g U (, ε ) Pozáma (vlastosti suprémové ormy) Nechť, g : S, S, λ Pa platí: a, (7) g g, (8) < λ λ λ, (9) Re( ), Im( ), Re( ) Im( ) () (7) Jestliže, potom ( ) sup ( ) Odtud a (8) platí ( ) g( ) ( ) g( ) sup ( ) sup g( ) g Odtud sup ( ) g( ) g, tj platí (8) (9) Jestliže λ a < eo λ, pa platí λ sup λ ( ) sup λ ( ) λ sup ( ) λ () Nechť u jv, u, v : S Potom u( ) u( ) jv( ) ( ), v( ) u( ) jv( ) ( ) pro všecha, odtud sup u( ) sup ( ), sup v( ) sup ( ), tj u, v Komiací (8), (9) dostaeme u jv u j v u v Důslede Ze stejoměré overgece vyplývá overgece odová Přesěji, mějme posloupost ucí : S, S Potom platí: a a () Nechť Jeliož ( ) ( ) a lim, je utě lim ( ) ( ), tj ( lim ( ) ( ) ), tj podle () a [ 5 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Přílad 3 Vyšetřeme stejoměrou overgeci poslouposti ucí ( ) Podle důsledu, poud posloupost : S overguje a stejoměrě ějaé uci, overguje téže uci odově Podle příladu overguje posloupost ( ) odově a itervalu (, uci, pro terou platí (,) ( ), () (a) Nejprve uažme, že posloupost ( ) overguje stejoměrě uci a aždém eprázdém uzavřeém itervalu, terý leží v itervalu (,) Nechť tedy a, (,) Na itervalu (,) je limití uce ulová, počítejme, sup ( ) a, sup a, a ma{ a, } Protože a <, <, je lim ma{ a, } a tedy lim, tudíž a a, (,) a, () Na eprázdých itervalech (, (,), a,), a, už posloupost ucí ( ) stejoměrě eoverguje Platí totiž (, taže lim Odoě (, a, a,) a,) sup (, a,) sup, tj opět lim, lim, lim, a Věta (stejoměrá limita spojitých ucí je spojitá uce) Nechť : S, S ( ) Jestliže uce jsou spojité a a a, potom je spojitá a Nechť, a, pa platí: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Máme tedy ( ) ( ) ( ) ( ) (i) Zvolme liovolě ε Protože Protože a, eistuje taové, že je spojitá v odě, eistuje oolí U( ) taové, že ε U ( ) ( ) ( ) < Podle (i) pa dostáváme pro U ( ) erovost ( ) ( ) Odtud plye spojitost uce a ε < ( ) ( ) < ε ε 4 ε, tj je spojitá v odě 4 [ 6 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Deiice 3 (BC podmía stejoměré overgece) Posloupost ucí : S, S splňuje a Bolzaovu Cauchyovu podmíu stejoměré overgece (rátce BC podmíu stejoměré overgece) právě dyž je posloupost ucí : S cauchyovsá vzhledem suprémová ormě, tj platí-li alespoň jeda z dále uvedeých vzájemě evivaletích podmíe (platí-li jeda, platí i druhá): ( ε ) & m ε m m <, () ( ε ) ε p < (3) p Platí-li () a položíme-li pro liovolé p, m : p, :, dostaeme (3) Platí-li (3) a je-li ε liovolé, eistuje ε taové, že p ( p < ) Pa ovšem pro liovolá čísla m,, taová, že m,, eistují p, p, taová, že m p, p Odtud plye podle (3) a pozámy m ε ε ε p p p p < p p Věta (BC ritérium stejoměré overgece) Posloupost ucí : S, S overguje stejoměrě a právě dyž splňuje BC podmíu stejoměré overgece a Nechť a Zvolme ε Podle (6) eistuje taové, že ε < Odtud pro liovolé p platí p p p < ε ε ε, tj platí (3) Nechť platí BC podmía Pa podle (3), vzhledem erovosti p ( ) ( ) p, splňuje číselá posloupost ( ) BC podmíu overgece číselé poslouposti pro aždé, eistuje proto limita lim ( ) pro aždé, ozačme ji ( ) : lim ( ) Nyí uažme, že Podle () eistuje a, tj lim Zvolme ε taové, že m, ( m, m < ε ) ( m ) m, m, ( ) ( ) < ε Odtud ( lim m ( ) ( ) ε ), avša lim m ( ) ( ) m m lim ( ) ( ) ( ) ( ), tj platí ( ( ) ( ) ε ), pa m m ovšem ( sup ( ) ( ) ε ), tj ( ε ), tj lim, tj [ 7 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Řady ucí V tomto odstavci uvedeme deiice a ěteré oecé vlastosti eoečých řad ucí Můžeme postupovat stručěji, záladí myšley yly již ormulováy u eoečých číselých posloupostí a řad a v předchozích odstavcích pro poslouposti ucí Deiice 4 (eoečé řady ucí) Nechť, s jsou poslouposti ucí,, s : S a jsou svázáy vztahy s, eo evivaletě s, s s Pa platí: Neoečá řada ucí (učí řada) je symol, (4) terý lze zapsat v moha evivaletích ormách, podoě jao u řad číselých Posloupost ucí s se azývá posloupost částečých součtů řady (4), hodota s se azývá tý částečý součet řady (4) Fuce :, S se azývá součet řady (4) a právě dyž s a (odová overgece) Používáme zápis a, eo (4) součet (oečý) a, říáme, že a overguje (odově) a Má-li řada Možia se azývá oor overgece řady (4), je-li tvořea všemi ody S, pro teré je číselá posloupost s( ) overgetí, tj pro teré posloupost ucí s overguje odově a Je-li součet řady (4) a jejím ooru overgece, deiujeme : Říáme, že řada (4) overguje stejoměrě e svému součtu a právě dyž s a V tom případě píšeme a Říáme, že řada (4) overguje asolutě a právě dyž řada (odově) overguje a Říáme, že řada (4) overguje asolutě stejoměrě a právě dyž řada overguje stejoměrě a [ 8 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Přílad 4 Vyšetřete oor overgece řady reálé proměé, předpoládáme, že ( ) jsou reálé uce Podle Cauchyova limitího ritéria dostaeme lim lim Podle tohoto ritéria je řada overgetí (asolutě) pro čísla, pro terá je < a divergetí pro čísla, pro terá > Zývá vyšetřit řadu v rajích odech itervalu (,) Je-li, jedá se o zámou divergetí harmoicou řadu Je-li, jedá se o overgetí (easolutě) alterující řadu, ja plye z Leiizova ritéria overgece Oorem overgece daé řady je tedy iterval,) Deiice 5 (BC podmía stejoměré overgece pro řady ucí) Nechť : S, S Řada, s, splňuje BC podmíu stejoměré overgece a právě dyž platí alespoň jede z dále uvedeých vzájemě evivaletích výroů (platí-li jede, platí i druhý) ε m ( m & s s < ε ), (5) p m ε p < ε (6) Evivalece podmíe (5), (6) se doazuje stejě jao v deiici 3 Věta 3 (BC ritérium stejoměré overgece pro řady ucí) Nechť : S, S Řada overguje stejoměrě svému součtu a právě dyž a splňuje BC podmíu stejoměré overgece pro řady ucí Řada splňuje BC podmíu (6) a právě dyž posloupost částečých součtů s splňuje BC podmíu (3) pro poslouposti, tj podmíu (5), terážto je podle věty evivaletí stejoměré overgeci poslouposti s a, což podle deiice 4 je evivaletí stejoměré overgeci řady a [ 9 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Věta 4 (vlastosti overgece odové, asolutí, stejoměré, asolutě stejoměré) Nechť : S, S (a) Jestliže řada () Jestliže řada stejoměrě a overguje asolutě a pa overguje a overguje asolutě stejoměrě a pa overguje asolutě i (c) Kovergece řady ompleích ucí (odová i stejoměrá) je overgecí po složách Platí tedy a a a a a, (7) Re( ) a & Re( ) Im( ) a, (8) j Im( ) a, (9) a a, () a a, () Re( ) a & Im( ) a () Pro zvoleé tvrzeí (7), (8) a (9) plyou z podoých tvrzeí věty 97 pro číselé řady Tvrzeí () plye z tvrzeí () důsledu ormulovaého pro posloupost částečých součtů K důazu () stačí ověřit, že z platosti BC podmíy (6) pro řadu platost BC podmíy (6) pro řadu liovolé : plye p p sup ( ) ( ) p p p p ( ) Platí ásledující erovosti pro p sup ( ) p, pa ovšem platí ( ) < ε ( ) < ε, z čehož plye doazovaé tvrzeí plye p Dále odtud [ ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Protože p ( ) dostáváme erovosti p p p Re( ( )) p Re( ) p p j Im( ( )), podle () pozámy p, p Im( ) p a Re( ) Im( ), ze terých vyplývá, že řada splňuje BC podmíu stejoměré overgece právě dyž tuto podmíu splňují oě řady Re( ), Im( ) Věta 5 (Weierstrassovo ritérium stejoměré overgece) Nechť : S, S Jestliže eistuje posloupost a : taová, že (a) ( ) a pro s v, () řada a overguje, potom (c) a Pozáma Podle (c) tedy řada overguje asolutě i stejoměrě overguje asolutě stejoměrě, tj podle věty 4 Pro dostatečě velé a liovolé platí pro > ( ) a, a tedy pro liovolé p máme p p ( ) a, odtud sup ( ) Jestliže číselá řada s ezáporými čley BC podmíu pro číselé řady Na záladě odvozeé erovosti splňuje BC podmíu (6) řada p p p a a podle předpoladu () overguje, splňuje p, tedy podle věty 3 platí (c) p a [ ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Přílad 5 cos( ) Uažte, že řada overguje asolutě stejoměrě a, tedy i asolutě a stejoměrě cos( Je zřejmé, že ) pro všecha a číselá řada overguje, apřílad cos( ) podle itegrálího ritéria overgece Podle věty 5 odtud plye a a tedy cos( ) cos( ) ja a podle (), ta a podle () Výzam stejoměré overgece vyiá ejlépe v dále ormulovaých větách Věta 6 (itegrace čle po čleu řady ucí reálé proměé) Nechť : I je posloupost ucí deiovaých a itervalu I, a, I Jestliže (a) () a I, eistují a, potom (c) (d) eistuje, a a a a Protože řady ompleích ucí jsou podle (8), (resp ()) overgetí, (resp stejoměrě overgetí) a I právě dyž jsou overgetí, (resp stejoměrě overgetí) a I řady, jejich čley jsou reálé a imagiárí části poslouposti, podoě eistece itegrálu ompleí uce reálé proměé je evivaletí eisteci itegrálů z reálé a imagiárí části dotyčé uce, můžeme ez ztráty oecosti předpoládat, že uce jsou reálé Doázaá tvrzeí pa automaticy platí pro oě složy ompleích ucí a tedy pro samoté ompleí uce Stručě řečeo, itegrály a sumace v (a), (), (c), (d) jsou itegrály a sumace po složách Mějme tedy : I Nejprve uažme, že platí (c) Nechť s, podle předpoladu (a) s I Dále ( ) s ( ) s I, odtud plye I s ( ) s ( ) s ( ) s I (i) I I Bez újmy a oecosti předpoládejme a < Ja y se postupovalo v případě a je totiž zřejmé Nechť, D {,,, m } je ějaé děleí itervalu a,, uvažujme ějaý iterval I, děleí D Pa podle (i) platí i s ( I ) s i ( I ) sup ( I ) sup s ( I ) s (ii) I I [ ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Z předpoladu () vyplývá omezeost ucí s a I a podle (i) i omezeost uce, tj supréma a iima v (ii) jsou oečá čísla Násoíme-li erovosti (ii) délou itervalu I a vzilé erovosti sečteme pro,, m, dostaeme erovosti pro dolí a horí Riemaovy itegrálí součty S( s, D) s ( a) S(, D) S (, D) S ( s, D) s ( a) Odtud plye I I S (, D) S(, D) S ( s, D) S( s, D) s ( a) (iii) I Zvolme yí ε Protože s, eistuje ide I taový, že ε s ( a) < I Protože podle () itegrál eistuje, eistuje tudíž taové děleí D, pro teré je s a S ( s, D) S( s, D) < ε Z erovostí (iii) pa vyplývá, že pro aždé ladé ε eistuje děleí D taové, že S (, D) S(, D) < ε, tj platí (c) Víme-li, že eistuje, z erovostí (i) dostaeme itegrací a s ( ) d s ( a ) ( ) d s ( ) d s ( a ) I, I a a a a a I odtud plye ( ) d s ( ) d s ( a ) a, tj a Jeliož s, plye odtud lim ( ) d s ( ) I d lim s( ) d ( ) d a, což se mělo doázat a Věta 7 (derivace podle reálé proměé řady ucí čle po čleu ) Nechť : I je posloupost ucí deiovaých a itervalu I Jestliže (a) jsou spojitě dierecovatelé a I, () I taové, že ( ) overguje, (c) a aždém omezeém itervalu J, J I, potom (d) (e) ( ) a I, a aždém omezeém itervalu J, J a I I, [ 3 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Protože řady ompleích ucí jsou podle (8), (resp ()) overgetí, (resp stejoměrě overgetí) a I právě dyž jsou overgetí, (resp stejoměrě overgetí) a I řady, jejich čley jsou reálé a imagiárí části posloupostí,, podoě spojitost a eistece derivace ompleí uce reálé proměé je evivaletí spojitosti a eisteci derivace z reálé a imagiárí části dotyčé uce, můžeme ez ztráty oecosti předpoládat, že uce jsou reálé Doázaá tvrzeí pa automaticy platí pro oě složy ompleích ucí a tedy pro samotou ompleí uci Stručě řečeo, spojitost, derivace, overgece a sumace v (a), (), (c), (d), (e), () je spojitost, derivace, overgece a sumace po složách Mějme tedy : I Ozačme g( t) ( t) Fuce g je deiováa a itervalu I, aždý od t I zároveň patří do ějaého omezeého itervalu J, apřílad J I U ( t), a terém podle (c) řada derivací overguje stejoměrě a tedy overguje odově Fuce g je spojitá v aždém odě t I Nechť t I, podle (c) a I U ( t), tj podle věty je uce g spojitá a I U ( t), tj v aždém odě možiy I U ( t), tj v odě t, terý do I U ( t) patří Nyí uážeme, že platí ( ) Nechť, I, de od vyhovuje podmíce () Pa eistuje omezeý iterval J taový, že, J Protože g je spojitá uce a I, eistuje itegrál g ( t ) dt ( t) dt Na posledí itegrál apliujme větu 6, předpolady jsou splěy a itervalu J, eoť eistují, protože jsou spojité Dostaeme ( ) ( ) overguje podle () Máme tedy a J a itegrály ( t) dt ( t) dt ( t) dt ( ) ( ), posledí ro je možý, protože ( ) Řada g ( t ) dt ( ) ( ), de I je liovolé (i) ( ) tedy overguje pro všecha I a rovici (i) můžeme derivovat podle, protože g je spojitá a I Dostaeme rovost ( ) Zývá ověřit stejoměrou overgeci g( ) ( ), to je vša doazovaá a aždém omezeém itervalu J, J I Podle věty a deiice 4 stačí uázat, že posloupost částečých součtů [ 4 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí s je cauchyovsá vzhledem ormě J Nechť J je omezeý iterval, J I Pa eistuje omezeý iterval K taový, že J K I a K Platí sm( ) s( ) ( sm s)( ) ( sm s)( ) ( sm s)( ) ( sm s)( ) ( sm s)( ) ( sm s)( ) ( s m s )( ξ ) ( sm s)( ), de ξ leží podle Lagrageovy věty mezi a Protože, K a K je iterval, leží ody,, a ξ pro aždé J v itervalu K a tedy platí ( s m s )( ξ ) sup ( s s )( ξ ) sup s s diam( K), de diam( K) sup y je tzv ξ K m K m K, y K průměr možiy K, v ašem případě je to oečé číslo rové délce itervalu K Pro aždé J platí tedy erovost s ( ) s ( ) s s diam( K) ( s s )( ), tj s m J m m K s s s diam( K) s ( ) s ( ) (ii) m K m m Protože číselá posloupost s ( ) je podle () cauchyovsá vzhledem ormě daé asolutí hodotou a s je podle (c) cauchyovsá vzhledem suprémové ormě, K ε daému ε lze ajít taové, že pro m, platí sm( ) s( ) < a ε s s diam( K) <, tj podle (ii) ε m, N m K m, sm s J < ε, tj s je cauchyovsá vzhledem ormě což se mělo J uázat Přílad 6 Staovte součet řady ( ) ( ) 3 4 3 pro (i) Hlaví idea itegrováím přeměíme zadaou řadu a řadu geometricou, jejíž součet je zám Formálě provedeý výpočet vypadá tato: () t ( ) d t t t t t t () ( ) d t ( ) d t t ( ) d ( ) (3) t, pro t < Potom d ( t) dt ( ) d d t dt t ( t) (ii) y výpočet měl smysl, je potřea prověřit jedotlivé roy výpočtu Je třea prověřit, zda je rovicí ( ) ( ) deiováa vůec ějaá uce v oolí odu Podle d lemertova ritéria asolutí overgece platí pro lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) Řada tedy overguje pro < a diverguje pro > (overgeci v, terou jsme vyloučili, je sadé ověřit zvlášť ) [ 5 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Jestliže, potom lim ( ), tudíž eí splěa utá podmía overgece, řada je tedy divergetí pro Oorem overgece řady a tedy i deiičím oorem uce je proto iterval (,) Dále je třea prověřit, zda eistuje itegrál z uce a ějaém oolí v rou () a zda je možá záměa itegrace a sumace v rou () Uážeme, že jsou splěy předpolady věty 6 a aždém uzavřeém itervalu J, (,) Pro liovolé J platí ( ) sup ( ) ( ) Jeliož číselá řada J apřílad podle d lemertova ritéria overgetí, je řada ucí ( ) je ( ) stejoměrě overgetí a J podle Weierstrassova ritéria Jeliož pro aždé t (,) eistuje taové, že t, J, (,), jsou splěy předpolady věty 6, itegrál v () eistuje a záměa itegrace a sumace v () je možá Zývá uázat, že eistuje derivace itegrálu podle horí meze v rou (3) Taová derivace eistuje v aždém odě spojitosti uce Uažme, že uce je spojitá a itervalu (,) Protože čley řady (i) jsou spojité uce ( ) ( ) a řada (i) stejoměrě overguje a aždém itervalu J, (,), je součet řady spojitá uce a itervalu J podle věty apliovaé a posloupost částečých součtů řady (i) Jeliož pro aždé t (,) eistuje taové, že t, J, (,), je uce spojitá v aždém odě t itervalu (,) V předchozím příladu yl výpočet poměrě složitě zdůvodňová Bylo to dáo tím, že jsme se a uvedeou řadu dívali jao a řadu s oecými čley a ija jsme evyužívali atu, že čley řady yly jedoduché mocié uce ( ) ( ) V ásledující apitole uážeme, že v případě řad tohoto typu lze postupovat daleo jedodušeji Mocié řady Deiice 6 (mociá řada) Nechť a : ;, c Potom učí řada a( c) a a( c) a( c) (3) se azývá mociá řada Je to eoečá řada ucí se čley ( ) ( ) a c, čley poslouposti a jsou tzv oeiciety mocié řady, číslo c se azývá střed řady V mociých řadách vždy lademe ( ) a ( c) a, tj vždy Věta 8 (záladí pozaty o overgeci mocié řady) Nechť a : ;, c Pa pro mociou řadu a ( ) c platí: () Řada vždy overguje ve svém středu, tj v odě c [ 6 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí () Jestliže řada overguje v odě, pa overguje asolutě v aždém odě pro terý platí c < c (3) Jestliže řada diverguje v odě, pa diverguje v aždém odě pro terý platí c > c c c overguje diverguje () Je-li c, pa a ( c) a ( ) c c a, řada tedy overguje () Nechť řada overguje v odě Jestliže c, pa možia všech pro teré c < c je prázdá a tedy tvrzeí () platí Jestliže c, pa řada v odě splňuje utou podmíu overgece, tj lim a ( c), odtud plye a( c) < pro s v Vezměme yí taové, že c < c Pat lze c c psát a( c) a ( c) pro s v Protože geometricá řada c c c je overgetí, eoť c c c <, je overgetí i řada a ( c) podle srovávacího ritéria pro číselé řady, věta 98 (3) Jestliže řada diverguje v odě a c > c potom utě diverguje i v odě Kdyy v odě overgovala, musela y overgovat i v podle odu () Věta 9 (poloměr overgece mocié řady) Nechť c,, a, r, Ozačme: K( c, r) { c r} uzavřeý ruh v se středem v odě c a poloměrem r, K ( c, r) { c < r} vitře ruhu K( c, r ), oor overgece mocié řady, tj a ( ) c overguje Pa eistuje číslo r, taové, že platí K ( c, r) K( c, r) (4) [ 7 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Číslo r, se azývá poloměr overgece mocié řady a ( ) c Položme r sup{ c }, uažme, že tato deiovaé číslo r je poloměrem overgece mocié řady, tj že platí (4) Nejprve ověřme platost levé iluze v (4) Vezměme y K ( c, r) { c < r}, potom y c < r Z vlastosti supréma vyplývá eistece čísla taového, že y c < c, podle věty 6 tvrzeí () mociá řada overguje v odě y, odtud plye y, tj K ( c, r) Uažme sporem platost pravé iluze (4) Nechť K( c, r ), pa eistuje y taové, že y K( c, r), tj y c > r Jeliož y a r sup{ c } platí y c r Podtržeé erovosti dávají spor Pozáma Nechť r je poloměr overgece mocié řady (3) Pa platí: r právě dyž řada overguje pouze ve svém středu, oor overgece je možia {c} r právě dyž řada overguje asolutě v celém, oor overgece je tedy r (, ) právě dyž řada v odech c < r overguje asolutě a v odech c > r diverguje Přílad 7 Staovte střed a poloměr overgece mocié řady (34) Pomocí apřílad d lemertova ritéria pro 3 4 dostaeme lim ( ) ( ) lim (34) (34) 3 4 lim 3 4 Podle tohoto ritéria řada overguje asolutě pro ta, pro ěž < 3 4 < a diverguje v těch odech, v ichž 3 4 > Nerovosti je možé vyjádřit evivaletě ve tvaru < c < r a c > r ze terého sado zjistíme střed a poloměr overgece řady Tedy < 3 4 < 4 4 < < Odtud plye: Střed overgece řady je číslo c, poloměr overgece 3 3 řady je číslo r 3 (Mociá řada vždy overguje ve svém středu, tj oor overgece 4 jistě osahuje všechy ody pro ěž < ) 3 3 Zoumaou řadu je možé hed zpočátu upravit do tvaru overgece c ihed zřejmý, tedy (34) 3 4 3 3 a ( c), ze terého je střed ( ) Přílad 8 Staovte střed a poloměr overgece mocié řady! [ 8 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Pomocí d lemertova ritéria pro dostaeme lim ( ) ( )! lim ( )! lim < Řada tedy podle d lemertova ritéria overguje asolutě v aždém odě {}, zde pro poloměr overgece lademe r Z tvaru řady!! ( ) vidíme, že středem overgece je číslo (Protože je střed overgece, řada overguje asolutě v celé ompleí roviě ) Přílad 9 Staovte střed a poloměr overgece mocié řady Pomocí d lemertova ritéria dostaeme lim ( ) ( )! lim ( )!! lim ( ) D lemertovo limití ritérium můžeme použít v případě, dy eistuje limita lim ( ), tj jistě je v těch odech, ve terých je zlome ( ) ( ) ( ) deiová pro s v Proto lim ( ), eoť jsme museli předpoládat, že Jestliže tedy, pa lim ( ) > a tedy řada diverguje v aždém eulovém odě V odě ( ) ovšem řada overguje, protože je střed overgece V tomto případě lademe pro poloměr overgece r Následující věta sumarizuje způsoy overgece mocié řady Věta (způsoy overgece mocié řady) Nechť c, a, Nechť r (, je poloměr overgece mocié řady (3) Ozačme: K( c, r) { c r} uzavřeý ruh v se středem v odě c a poloměrem r, K ( c, r) { c < r} vitře ruhu K( c, r ), platí tedy speciálě K( c, ) K ( c, ) Pa pro mociou řadu platí: a ( ) c, a( c) a K ( c, r), (5) ( ) a c a K ( c, r), (6) a( c) a K( c, r ) r (, r), (7) a ( ) c a K( c, r ) r (, r) (8) [ 9 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Podle (7) z asolutí overgece plye overgece, tj z (5) plye (6) a podle () z asolutě stejoměré overgece plye stejoměrá overgece, tj z (7) plye (8) Dále uažme, že z (7) plye (5) a z (8) plye (6) Nechť platí (7) Vezměme liovolý prve K ( c, r) Pa eistuje r (, r) taové, že K c r (, ) Protože a( c) a K( c, r ), podle () K( c, r ) a tedy a ( c) (6) Máme tedy doázáy dále uvedeé impliace: a( c) a, tj platí (5) Odoě se doáže, že z (8) plye (7) (5) (8) (6) Stačí doázat (7) a máme tím doázáa všecha ostatí tvrzeí Nechť r (, r) Jestliže r (, r), pa pro aždé K( c, r ) můžeme psát: a ( c) a r ( c) r a r (i) Jeliož r je poloměr overgece a c r K ( c, r), řada, podle pozámy, overguje asolutě v odě, tj řada a ( c) a( c r c) ar overguje Ze vztahu (i) a z Weierstrassova ritéria, věta 5, máme a( c) a K( c, r ) Pozáma 3 p Nechť a, p, c, a lim, potom mocié řady p a ( ) c, a ( ) p c, mají stejý poloměr overgece Nechť r (, je poloměr overgece řady vlevo Vezměme K ( c, r) { z z c < r}, potom eistuje r (, ) taové, že c < r < r Pa ovšem c r K ( c, r) a řada vlevo (podle pozámy ) asolutě overguje v odě, tj [ ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí a( c r c) a r řada a ( c) overguje Jestliže řada a r overguje, potom utě posloupost a r je omezeá, tj eistuje M taové, že ( a r M ) Pa pro čley řady vpravo lze psát ( c) r a p ( c) a p r M p r ( c) (i) vša řada s čley M p r ( c), tj řada M p ( c) r c limitího d lemertova ritéria, lim M p r M p r lim p p c r c r, overguje, apřílad podle ( ) ( c) < Ze srovávacího ritéria a erovostí (i) vyplývá overgece (asolutí) řady vpravo Doázali jsme tedy tvrzeí K ( c, r) a p ( c) overguje (ii) Jestliže poloměr overgece řady vpravo je r, pa podle (ii) a (4) máme r r vša řada vlevo se dá zapsat ve tvaru a ( c) a ( ) p q c, de čísla q p q splňují podmíu lim, potom ovšem stejým způsoem uážeme, že r r, platí tedy rovost r r q Je zřejmé, že má-li jeda řada ulový poloměr overgece, emůže mít druhá řada poloměr overgece ladý Věta (derivováí a itegrováí mocié řady) Nechť a,, c, a r (, je poloměr overgece mocié řady ( ) a ( ) c Pa pro aždé K ( c, r) platí: ( ) ( ) ( ) ( )( ), (9) a c a c a c a ( t) dt a( t c) dt ( c) c c (3) Poloměr overgece mocié řady se derivováím a itegrováím eměí [ ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí (a) Uvažme ejprve variatu reálé proměé, tj echť, c a derivaci chápejme ve smyslu derivace podle reálé proměé Za těchto předpoladů můžeme využít již doázaá tvrzeí, tj větu 6 a větu 7 Doažme (9) Protože ( ) a ( c) jsou spojitě dierecovatelé a ( c r, c r), mociá řada vždy overguje ve svém středu a podle věty ( ) a ( c) a ruhu overgece K( c, r ) o oečém poloměru r < r, tj a aždém oečém itervalu J ( c r, c r), (oečý iterval J ( c r, c r) vždy leží v ějaém ruhu K( c, r ) ), jsou tím splěy předpolady věty 7 a tvrzeí (9) z í ihed vyplývá Doažme (3) Podle věty a ( ) c a ruhu overgece K( c, r ) o oečém poloměru r < r, tj a ějaém oečém itervalu I ( c r, c r) terý osahuje ody t, c I Z věty 6 pa ihed vyplývá (3) () Tvrzeí (9), (3) mohou ýt doázáa přímo pro ompleí proměou Nechť tedy a,, c Nejprve uažme, že ( c) a, ( c) a Platí Dále odtud ( ) a ( c) ( ) ( c) c a a( c) a a ( c) a ( c c) a a ( c) ( c) a ( c) Protože řada overguje podle (i) pro aždé K ( c, r), uce, (i) a ( c) a ( c) ( ) a ( c ) jsou spojité a a aždé K ( c, r) je zároveň prvem K( c, r ) pro ějaé < r < r, přičemž ( ) a c a K c r (, ), je podle věty uce spojitá a g( ) a ( c) K( c, r ), tj je spojitá v odě c Pa platí lim a ( c) lim g( ) c a c c ( ) a a c Odtud oečě lim ( ) a g ( c ) a c ( c) lim c c ( ) ( ) c Platí tedy (9) v odě c c g( c ) lim a a ( c) c Uažme dále, že (9) platí i v liovolém odě y K ( c, r), y c Jestliže y K ( c, r), eistuje oolí U( y) taové, že U ( y) K ( c, r) Vezměme liovolé U ( y), pa platí ( ) ( ) a c ( ) a y y c a ( y) ( y c) Ve výpočtu yla [ ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí použita iomicá věta Dodeiujeme-li omiačí číslo ta, že <, lze psát () ( ) a ( y) ( y c) a ( y) ( y c) a ( y) ( y c) ( y) a ( ) ( ) y c yc ( ) y Fuci se tedy podařilo zapsat jao mociou řadu se středem v odě y, podle předchozího výpočtu je ( y) ( yc) a ( y c) ( ) ( ) yc a y c ( ) a y c Ve zytu důazu se udeme věovat zdůvoděí, proč v rou () výpočtu je možá záměa sumačích symolů Uvažujme zoecěou řadu a ( y) ( y c), podle (, ) věty 96 uážeme, že je overgetí Protože y K ( c, r), y c, U ( y) K ( c, r), U ( y), od c y c y leží v K ( c, r), viz dále uvedeý oráze U( y) y c y c y c r K ( c, r) Protože řada ( ) a c je podle věty asolutě overgetí a K ( c, r), řada a c overguje Ozačme M : a c a ( ) y c y Nyí echť J, J je oečá možia Pa eistuje číslo taové, že J {,,, } {,,, } Platí a ( y) ( y c) (, ) J a y y c a y y c (, ) {,, } {,, } a y y c a ( y y c ) [ 3 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí a ( ) y y c M Zoecěá řada a ( y) ( y c) je tedy (, ) podle věty 96 overgetí (asolutě), podle věty 97 (sčítáí řady po locích) můžeme ideovou možiu liovolě rozložit Rozložme ejprve, de {(, ) }, pa dostaeme a ( y) ( y c) (, ) m m am ( y) ( y c) a ( y) ( y c) ( m, ) a ( y) ( y c), což je výraz před rovostí () Dále rozložme B, de B {(, ) }, yí dostaeme a ( y) ( y c) (, ) m m a ( y) ( y c) a ( y) ( y c) (, m) B m a ( y) ( y c), což je výraz za rovostí () Oa výrazy jsou ale součtem jedé a téže overgetí zoecěé řady, jsou si tedy rovy Důaz vztahu (3) v ompleím ooru vyžaduje ejprve deiovat itegrál, což je předmětem pozdějších urzů matematiy Nyí si jede z možých způsoů pouze azačíme Itegrál ( t ) dt v ompleím ooru je itegrál řivový, ve výraze (3) c stačí, chápeme-li jej jao itegrál přes úseču spojující ody c a ve směru od c do Tvoří-li ody D {,, }, děleí úsečy c a jsou-li a úsečce c vyráy ody ξ i ta, že ξ i leží mezi i - a i, viz oráze, je itegrál deiová jao limita itegrálích součtů pro stále se zjemňující děleí (tj pro ν ( D) ma i i, ν ( D) ), poud tato limita ezávisí a i {,, } výěru odů děleí i a a výěru odů ξ i, v tom případě píšeme ( ) lim ( )( ) t dt ξ c i i i ν ( D) i ξ ξ c ξ [ 4 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Stejě jao v reálé aalýze dá se doázat, že uce F( ) ( t) dt je primitiví ucí e spojité uci, v ašem případě a ruhu overgece K ( c, r), tj F ( ) ( ) K ( c, r), avíc F( c ) Podle již doázaého vztahu (9) pro uci a platí ( ) ( a ) G ( c) a G( ) ( c) c ( )( c) a( c) ( ), opět G( c ) Odtud plye rovost G F, tj platí (3) Důslede Nechť a, c, a mociá řada r (, ( ) a ( ) c má ladý poloměr overgece (a) Pa a ruhu K ( c, r) má uce všechy derivace a platí ( ) ( )! ( ) a! ( c) (3) ( () Z rovice (3) vyplývá ) ( c) a!, tj oeiciety mocié řady (3) s ladým poloměrem overgece jsou jedozačě určey jejím součtem, eoť ( ) ( c)! a (3) (c) Jestliže tedy pro dvě mocié řady s ladými poloměry overgece platí ( ) a ( ) c, g( ) ( ) c a g a ějaém oolí U ( c), pa a a g a společém ooru overgece (d) Mociá řada s oeiciety (3) se azývá Taylorova řada uce se středem v odě c Čley poslouposti částečých součtů Taylorovy řady jsou zámé Taylorovy polyomy (e) Z oecé teorie ucí ompleí proměé vyplývá, že má-li ějaá ompleí uce ompleí proměé derivaci (podle ompleí proměé) a ějaém oolí odu c, má tam pa derivace (podle ompleí proměé) všech řádů a je součtem své Taylorovy řady (a svém ooru overgece) (e) Má-li ějaá reálá uce reálé proměé všechy derivace v odě c, pa pro tuto uci lze sestavit Taylorovu řadu Tato řada ovšem emusí overgovat uci Je vidět, že v reálém ooru je situace poěud složitější Platí ásledující tvrzeí [ 5 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Věta (Taylorova řada reálé uce) Nechť uce má všechy derivace a ějaém oolí U ( c, r), odu c, ( ) r Nechť a : je taová posloupost, že U ( c, r) ( ) a r Jestliže lim a! pa ( ) ( c)! ( ) ( c) U ( c, r) Stačí uázat, že lim ( ) s ( ) pro všecha U ( c, r) Pro aždé U ( c, r) uce splňuje a itervalu c,, případě, c, předpolady Taylorovy věty pro liovolé, ( ) ( c)! s( ) ( c) je Taylorův polyom, rozdíl ( ) s ( ) je tzv zyte po -tém čleu Taylorovy řady Podle Taylorovy věty se teto zyte dá vyjádřit ve tvaru ( ) s ( ) ( ) ( ξ ) ( )! ( c), de číslo ξ leží mezi čísly, c, tj leží v oolí U ( c, r ) ( ) ( ξ ) ( )! c Pa platí pro liovolé U ( c, r) erovosti ( ) s( ) ( ) ( ) ( ξ ) ( )! r a ( )! r r Jestliže yí lim a!, pa ovšem a ( )! r lim, a tedy lim ( ) s ( ) Pozáma 4 () Posloupost a : ve větě splňující podmíu ( ) ( ) ( ) U ( c, r) ( ) a eistuje právě dyž sup ( ) pro všecha Pa můžeme volit ( ) U ( c, r ) a U ( c, r ) U ( c, r ) ( ) () Jestliže eistuje ostata M taová, že U ( c, r) ( ) M, je uce ve větě součtem své Taylorovy řady V tomto případě ostatí posloupost a M splňuje předpolady věty a lim r r a! lim M! Posledí limita je ulová apřílad podle toho, že řada r! je podle d lemertova ritéria overgetí a tudíž r splňuje utou podmíu overgece, lim! Přílad Příladem ucí majících omezeé derivace všech řádů společou ostatou a splňujících ta podmíu () pozámy 4 v liovolém oolí uly jsou elemetárí uce ( ) ep( ) e, si, cos, sih, cosh Pro jejich derivace dostáváme ep (), ( ) si () ( ) sih () ( ), si () ( ),, ( ) cosh (), ( ) cos () ( ), ( ) cosh () Platí tedy ( ) cos () ( ), sih (), e 3 4! 6 4, (33) [ 6 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí 3 5 7 ( )! 6 54, (34) si( ) ( ) 4 6 ( )! 4 7, (35) cos( ) ( ) 3 5 7 ( )! 6 54 sih( ), (36) 4 6 ( )! 4 7 cosh( ) (37) Řady uvedeé v příladu slouží moha účelům, zejméa je účelé považovat je přímo za deiice jedotlivých elemetárích ucí, eje v reálém ale i v ompleím ooru Přestože jsme se již setali s odvozováím růzých vlastostí uvedeých elemetárích ucí, apřílad s tím, že jsou spojité, mají všechy derivace ap, odvozeí těchto vlastostí ylo často založeo a ituici, ějaém geometricém ázoru (apřílad ěteré vlastosti goiometricých ucí yly odvozey z vlastostí ružice), eo yly vlastosti ucí postulováy ez důazů V příladu 9 již yla vzpomeuta Moivrova ormule, dále odtud vyplývá eistece derivací a záladí vztahy, apřílad ( ) 3 5 7 6 54 si ( ) 4 6 3 5 7 6 54 4 6 4 7 cos(), odoě lze odvodit cos ( ) si( ), sih ( ) cosh( ), cosh ( ) sih( ), lim si( ) 3 5 7 lim ( 6 54 ) lim( ) 4 6 6 54, 4 6 6 54 eoť aždá mociá řada je spojitou ucí a vitřu svého ruhu overgece Uvedeé řady mohou sloužit výpočtu hodot ucí s liovolou přesostí Přílad Staovme ze vztahu (33) hodotu čísla e s chyou meší ež ychom mohli chyu sáze odhadout, přejděme reciproé hodotě Číslo /e je pa dáo alterující řadou ( ) ( ) pro íž platí jedoduchý odhad chyy s s a, de s V tomto e! případě dostáváme Z vlastostí alterující řady dále víme, že posloupost e s ( )! s je elesající a m s je erostoucí, proto sm e s Z posledí erovosti volou m dostáváme odhad s s, tj, tedy e 3 3 6 e 3 e 3 s Rověž pro 3 z mootoie posloupostí s, m s, vyplývá Z erovosti odhademe, oli ude potřea sečíst čleů řady, aychom dosáhli e s ( )! požadovaé přesosti aproimace Ozačme ε ( )!, erovost e s ε přepišme evivaletě do tvaru s ε s ε, odtud e, tj s ε s s sε s e s ε s ε ε e Chya aproimace tedy eude větší ež! s ε s ε s ε [ 7 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí ε ε Požadujeme tedy ( ) ε ( ) ε 3 ε dostaeme ( ) 3 ε 3 ε Pro vychází ( ) 696 Sečtěme tedy čleů řady, tj s s ude hledaá aproimace čísla e s chyou meší ež, Pro ε 3, potom hodota ( )! 7 Numericý výpočet dává s 367879447443595569, s 788884594535363 Pro porováí uveďme hodotu e s přesostí a 5 míst, e 7888845945353687 Odtud vypočteá chya aproimace čií 3 c Při sestavováí Taylorových řad postupujeme podle vzorce a! je výjimečě Taylorovy řady ývají pro moho elemetárích ucí taelováy, můžeme jejich sestavováí využívat itegrováí a derivováí a rověž operací součtu, rozdílu a součiu mociých řad Deiice 7 (operace s mociými řadami) Nechť a,,, c, λ, echť ( ) ( ) ( ) a ( ) c, ( ) g( ) ( ) c ( g ) jsou mocié řady s poloměry overgece po řadě r, r, Říáme, že řada: g ( a )( ) c je součtem mociých řad ( ) a ( g ), ( a )( ) c je rozdílem mociých řad ( ) a ( g ), c ( ) c je součiem mociých řad ( ) a ( g ), poud λa ( ) c je λ-ásoe mocié řady ( ) a, c Pro poloměry overgece těchto řad platí (začeí je zřejmé): mi{ r, r } r, r, r, r g g g g r λ, rλ r λ Dále platí ( a )( c) ( ) g( ), (38) ( a )( c) ( ) g( ), (39) [ 8 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí λa( c) λ ( ), (4) c( c) ( ) g( ) (4) Každá z těchto rovostí platí v těch odech, pro teré je deiováa její pravá straa U posledí rovice (4) je potřea avíc předpoládat, že alespoň jeda z řad ( ), ( g ) v odě overguje asolutě (což je ovšem uvitř ruhu overgece řady splěo, viz věta ) Jestliže resp g ozačuje oor overgece řady ( ) resp ( g ), pa pravá straa rovice pro součet a rozdíl je deiováa v aždém odě průiu g Je-li g, pa odpovídající poslouposti částečých součtů overgují, tj s ( ) ( ), s g ( ) g( ) g g a tedy overgují poslouposti s ( ) s ( ) ( ) g( ), s ( ) s ( ) ( ) g( ), g viz důslede 9 Platí s ( ) ± s ( ) a ( c) ± ( c) ( a ± )( c) ± g ± g s ( ), tedy s ( ) ( ) ± g( ) Platí tedy rovice (38) a (39) Zároveň odtud plye iluze pro oory overgece g ± g Uvážíme-li, že podle věty 9 platí K ( c, r ) K( c, r ), K ( c, r ) K( c, r ), máme K ( c, r ) K ( c, r ) g g K ( c,mi{ r, r }) g g g ± K( c, r ± ), de K ( c, r ) K ( c, r ) g g K( c, r ± ), tj mi{ r, r } r, r g g g g g K ( c,mi{ r, r }) Odtud plye Jestliže λ, pa řada (4) má ulové čley a tedy overguje v celém ooru, proto r λ, a tedy utě r r λ λ Jestliže λ, pa z rovostí s ( ) λ ( ) λs ( ) λ ( ) λ λ s ( ) ( ) vyplývá, že s ( ) λ ( ) právě dyž s ( ) ( ), tj λ, tedy r r λ Nechť resp g ozačuje oor asolutí overgece řady ( ) resp ( g ) Podle věty 97 pro platost rovice (4) je uté, ay alespoň jeda z řad ( ), ( g ) overgovala asolutě, tj rovice (4) platí v odech g, eo g Podle (5) i v tomto případě K ( c, r ), K ( c, r ), tj opět K ( c, r ) K ( c, r ) g g ( g ) ( g ) g K( c, r g ), de K ( c, r ) K ( c, rg ) K ( c,mi{ r, rg }) Odtud plye K ( c,mi{ r, rg }) K( c, r g ), tj mi{ r, rg } r g g g g Přílad Uveďme ěteré další Taylorovy řady ( ) 3 5 7 3 5 7 arctg( ), pro < (4) [ 9 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Stačí uvážit, že arctg( ) dt a staovit Taylorovu řadu uce Vyjdeme-li ze t vztahu pro součet geometricé řady t ( ) t pro ( ) t dt q q, pro t q <, dosazeím t < Máme tedy podle (3) arctg( ) dt ( ) t q t dostaeme 3 4 3 4, pro l( ) ( ) Protože l( ) dt, opět využijme vztahu dostaeme t ( ) t dt t q q, pro < (43) q <, dosazeím q ( ) t pro t < Opět podle (3) l( ) t dt ( ) t dt ( ) pro < t l( ) 3 5 7 ( 3 5 7 ), pro < (44) Podle předchozího výsledu a (39) máme l( ) l( ) l( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Přílad 3 Při hledáí Taylorovy řady racioálí uce využíváme atu, že ryze lomeou racioálí uci můžeme rozložit a součet parciálích zlomů z ichž pro aždý lze staovit Taylorovu řadu pomocí ormule pro součet geometricé řady a derivováí Uažme, že pro Taylorovu řadu se středem c, c a, uce ( ) platí: ( a) ( a ) ( c) (45) ( ) ( ca) Nejprve staovme řadu pro Platí a ( ) ( ca) a c c a c a c ca ( c ) ca ca ca ( ) ( c), pro c < Dále je potřea rovici a ( c) -rát ( ca) ( ) d d d derivovat Dostaeme a ( ) d c Platí ( ca) d ( )! d a ( a ) d, ( c) d c ( ) ca [ 3 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí ( )! pro, potom! ( ( )! ) c ( a ) ( )! ( ca) ( )! ( c), odtud ( a ) ( )! ( ) ( ) ( ) ( )!! ( c) ca ( c) ( ca) ( ca) ( c) Přílad 4 5 Staovte vzorec pro -tou derivaci uce ( ) v odě Podle vztahu (3) stačí 6 sestavit Taylorovu řadu se středem v odě c Nejprve uci rozložíme a součet 5 5 parciálích zlomů Dostaeme Jedotlivé zlomy vyjádříme 6 ( 3)( ) 3 řadou postupem z předchozího příladu Mohli ychom rovou použít tam odvozeý vzorec (45), odvozeí je vša ta jedoduché, že ho raději zopaujeme Dostaeme ( ) ( ) 4 4 ( ) 4 4 ( ) 4 4 ( ) 5 Potom Odtud dostáváme výslede ( 3)( ) ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) Odoě ( ) 4 () ( )! ( ) 5, tedy ( ) ( ) ( ) ( ) 6 4 3 4 ( )! ( ) ( )( ) 4 Z Taylorových řad můžeme zísávat součty číselých řad vhodým výěrem argumetu, eo vyšetřováím hodot a hraici overgečího ruhu K tomu účelu se hodí dále ormulovaá věta Věta 3 (elova věta) Nechť a,, c, echť řada a ( ) c má ladý a oečý poloměr overgece r Nechť pro ějaé α řada overguje i v hraičím odě ruhu overgece c j re α Pa řada součet j ( c re α ) a ( ) c overguje stejoměrě a úsečce { c te jα t, r } a její ( ) a ( ) j c je a této úsečce spojitou ucí, tj zejméa lim ( c te α ) j ar e α t r Přílad 5 π Platí 3 5 7 9 4 [ 3 ]
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Podle (4) je a ruhu overgece < ( ) 3 5 7 3 5 7 arctg( ) Podle Leiizova ritéria řada overguje i v hraičím odě Potom 3 5 7 () () ( ) lim lim arctg( ) (3) arctg() π 4 ( ) () Použita elova věta, () použit vztah (4), (3) použita spojitost uce arctg Pozáma K výpočtu čísla π se řada ehodí, overguje příliš pomalu Přílad 6 Platí 3 4 5 6 Podle (43) je a ruhu overgece < l() (46) 3 4 3 4 l( ) ( ) Podle Leiizova ritéria řada overguje i v hraičím odě Potom 3 4 () () lim ( ) lim l( ) (3) l() ( ) () Použita elova věta, () použit vztah (43), (3) použita spojitost uce l Přílad 7 Platí ( 3 5 7 9 3 3 3 5 3 7 3 9 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) l() (47) Tuto rovost dostaeme přímým dosazeí do vztahu (44) za 3 Řada (47) ovšem overguje daleo rychleji, ež (46) [ 3 ]