MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 016 PAVLA HOLUBÍKOVÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Goniometrické funkce na co v přednášce z analýzy nezbývá čas Bakalářská práce Pavla Holubíková Vedoucí práce: doc. RNDr. Martin Čadek, CSc. Brno 016

Bibliografický záznam Autor: Název práce: Studijní program: Studijní obor: Vedoucí práce: Pavla Holubíková Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Goniometrické funkce na co v přednášce z analýzy nezbývá čas Matematika Finanční a pojistná matematika doc. RNDr. Martin Čadek, CSc. Akademický rok: 015/016 Počet stran: viii + 40 Klíčová slova: goniometrické funkce; definice; jednotková kružnice; nekonečná řada; určitý integrál

Bibliographic Entry Author: Title of Thesis: Degree Programme: Field of Study: Supervisor: Pavla Holubíková Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics Trigonometric functions on what there is no time in the basic course Mathematics Financial and Insurance Mathematics doc. RNDr. Martin Čadek, CSc. Academic Year: 015/016 Number of Pages: viii + 40 Keywords: trigonometric functions; definition; unit circle; infinite series; definite integral

Abstrakt V této bakalářské práci se zabýváme různými definicemi goniometrických funkcí. Studenti středních škol a úvodních kurzů matematické analýzy musí při zavádění goniometrických funkcí vycházet z dosud probraného učiva. Vynechání některých důležitých definic je však příčinou toho, že goniometrické funkce nestojí na pevných základech. Cílem bakalářské práce je tedy nabídnout několik ucelených a náležitých definic goniometrických funkcí. První kapitola, která tvoří jádro celé práce, definuje funkce sinus a kosinus pomocí šesti axiomů. Existence a jednoznačnost těchto funkcí je poté dokázána v závěru kapitoly. Ve druhé až čtvrté kapitole jsou odvozeny další tři definice goniometrických funkcí, které mají svou podstatu ve středoškolském přístupu, nekonečných řadách a určitých integrálech. Závěr každé kapitoly je věnován důkazu ekvivalence definovaných funkcí a funkcí sinus a kosinus z první kapitoly. Abstract This thesis deals with the various definitions of trigonometric functions. Since secondary school students and basic calculus students are limited by what they have learned in mathematics so far, trigonometric functions are not built on solid foundations as some important definitions are omitted. Therefore, this thesis offers a few coherent and correct definitions of trigonometric functions. The first chapter, which is the core of the thesis, provides six axioms that define the sine and cosine functions. The existence and uniqueness of these functions is proved at the end of the chapter. Chapters two through four develop three more definitions based on a secondary school approach, infinite series and definite integrals. The correspondence of these trigonometric functions with the sine and cosine functions, as defined in the first chapter, is proved at the end of each chapter.

Poděkování Na tomto místě bych chtěla poděkovat vedoucímu bakalářské práce doc. RNDr. Martinu Čadkovi, CSc. za jeho odbornou pomoc, rady a připomínky při psaní práce a za vstřícný přístup, trpělivost a množství času, které vynaložil na konzultace. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracovala samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 1. května 016.......................... Pavla Holubíková

Obsah Úvod....................................................................... viii Kapitola 1. Axiomatická definice............................................ 1 1.1 Axiomatická definice funkcí sinus a kosinus..................... 1 1. Vlastnosti funkcí sinus a kosinus............................. 1.3 Definice funkcí tangens a kotangens........................... 9 1.4 Vlastnosti funkcí tangens a kotangens.......................... 9 1.5 Důkaz věty 1.1 pomocí teorie diferenciálních rovnic................ 11 Kapitola. Zavedení goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice.... 15.1 Oblouková míra a délka křivky.............................. 15. Definice funkcí pomocí jednotkové kružnice..................... 17.3 Důkaz vlastností z věty 1.1................................. 17 Kapitola 3. Zavedení goniometrických funkcí pomocí nekonečných řad....... 5 3.1 Některé vlastnosti nekonečných řad........................... 5 3. Definice exponenciální funkce a goniometrických funkcí pomocí řad....................................... 7 3.3 Důkaz vlastností z věty 1.1................................. 9 Kapitola 4. Zavedení goniometrických funkcí pomocí integrálů............... 31 4.1 Definice a vlastnosti funkce arctg x............................ 31 4. Definice a vlastnosti funkce tangens........................... 33 4.3 Definice funkcí sinus a kosinus.............................. 34 4.4 Důkaz vlastností z věty 1.1................................. 36 4.5 Definice a vlastnosti funkce arcsinx........................... 36 4.6 Definice goniometrických funkcí............................. 38 Seznam použité literatury................................................... 40 vii

Úvod Na střední škole se goniometrické funkce zavádějí pomocí jednotkové kružnice. Nejprve se uvedou pojmy jako stupňová a oblouková míra a orientovaný úhel. Samotná definice poté vychází z rozšíření definic goniometrických funkcí ostrého úhlu jako poměrů stran pravoúhlého trojúhelníku, jak se to učí na základní škole. Tato středoškolská definice goniometrických funkcí se opírá o pojem obloukové míry, který ovšem zůstává nedefinován a pracuje se s ním pouze na základě intuice. Z definice se odvodí všechny vlastnosti goniometrických funkcí až na vztah sinx lim x 0 x = 1, který je potřeba pro výpočet derivace. V univerzitním kurzu matematické analýzy je nezbytné hned od počátku pracovat s velkou škálou funkcí, tedy i s goniometrickými funkcemi, a to dříve než se mohou zavést pojmy jako délka křivky a obsah kruhové výseče. Proto se goniometrické funkce zavádějí axiomaticky jako funkce s jistými vlastnostmi viz věta 1.1 z první kapitoly. Z těchto vlastností se odvodí všechny další vlastnosti i derivace goniometrických funkcí. Později již však není čas se ke goniometrickým funkcím vracet. V bakalářské práci se pokusíme podat několik uspokojivých definic goniometrických funkcí. U každé definice ukážeme, že zavedené funkce splňují větu 1.1. Z její jednoznačnosti plyne, že všechny tyto definice určují stejné funkce. V první kapitole tedy uvedeme axiomatickou definici funkcí sinus a kosinus, jejichž existenci a jednoznačnost poté dokážeme v závěru této kapitoly pomocí věty o existenci a jednoznačnosti řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Dále odvodíme všechny podstatné vlastnosti obou funkcí, což nám umožní definovat také zbylé dvě goniometrické funkce tangens a kotangens a zmínit některé jejich vlastnosti. Druhá kapitola se bude věnovat středoškolskému pohledu tak, jak byl popsán výše, ovšem s tím, že doplníme vše potřebné pro korektní definici goniometrických funkcí. Ve třetí kapitole k definici funkcí sinus a kosinus využijeme nekonečných řad a exponenciální funkce. Navíc se budeme pohybovat i v oboru komplexních čísel. Poslední, čtvrtá kapitola bude mít dvě části. V první bude definice goniometrických funkcí založena na určitém integrálu, jenž definuje funkci arctg x. Druhým způsobem poté bude použití určitého integrálu určujícího funkci arcsin x. V obou případech pomocí inverzních funkcí zavedeme funkci tangens pro první část kapitoly a sinus pro její druhou část. viii

Kapitola 1 Axiomatická definice V této kapitole definujeme goniometrické funkce sinus a kosinus, a to pomocí šesti hlavních axiomů, ze kterých budeme odvozovat všechny další vlastnosti obou funkcí. Na základě toho budeme moci definovat i zbývající dvě goniometrické funkce tangens a kotangens a dokázat jejich vlastnosti. 1.1 Axiomatická definice funkcí sinus a kosinus Funkce sinus a kosinus vezmeme jako funkce splňující jisté podmínky. Následující věta, která bude ústřední větou celé bakalářské práce, postuluje, že takové funkce existují a jsou určeny jednoznačně. Ve standardním kurzu matematické analýzy se tato věta nedokazuje, proto o ní hovoříme také jako o axiomatické definici goniometrických funkcí. Podmínky, které jsme zvolili, vychází ze základních vlastností uvedených v [], kapitola VI. Věta 1.1. Existuje právě jedna dvojice funkcí ϕ a ψ a právě jedno kladné reálné číslo, které označíme π, tak, že: (1) ϕ a ψ jsou definovány na celém R, () ϕ(0) = 0, (3) ϕ je rostoucí na intervalu 0, π, (4) pro všechna x,y R platí funkcionální rovnice ϕ(x + y) = ϕ(x)ψ(y) + ϕ(y)ψ(x), (5) pro libovolné x R platí ψ(x) = ϕ( π x), (6) platí ϕ(x) lim = 1. x 0 x Definice 1.. Funkci ϕ z věty 1.1 nazýváme sinus a značíme sinx. Funkci ψ nazýváme kosinus a značíme cosx. 1

Kapitola 1. Axiomatická definice 1. Vlastnosti funkcí sinus a kosinus V této části budeme postupně odvozovat a dokazovat význačné vlastnosti funkcí sin x a cos x. Podkapitola je zpracována především podle druhého oddílu kapitoly VI knihy Vojtěch Jarníka Diferenciální počet I []. Začneme tím, že z páté vlastnosti věty 1.1, tj. dostaneme po dosazení x = π y vzorec cosx = sin( π x), siny = cos ( π y ), který budeme dále často využívat. Funkcionální rovnice ze čtvrté podmínky, která se dá přepsat jako sin(x + y) = sinxcosy + sinycosx, (1.1) se nazývá součtovým vzorcem. Pomocí něho můžeme odvodit také součtový vzorec funkce cosx: cos(x y) = sin ( π (x y) ) = sin (( π x ) + y ) = = sin ( π x ) cosy + siny cos ( π x ) = = cosx cosy + siny sinx. (1.) Pro odvození zbylých dvou součtových vzorců potřebujeme nejdříve uvést některé další vlastnosti funkcí sinx a cosx. Významné je proto následující lemma, které dává informaci o funkčních hodnotách v několika základních bodech. Lemma 1.3. Platí cos π = 0, cos 0 = 1 a sin π = 1. (1.3) Důkaz. Podle věty 1.1 je sin 0 = 0 a cosx = sin( π x). Vezměme x = π, potom Pro důkaz další části lemmatu uvažujme cos π = sin( π π ) = sin 0 = 0. sinx = sin(x + 0) = sinx cos 0 + sin 0 cosx = sinx cos 0 + 0 cosx = sinx cos0. Pokud zvolíme x (0, π ), bude sinx > 0. Z rovnice sinx( 1 cos 0 ) = 0 plyne, že cos 0 = 1. Konečně sin π = sin( π 0 ) = cos 0 = 1. Dále určíme paritu zavedených goniometrických funkcí. Věta 1.4. Funkce cosx je sudá funkce a funkce sinx je lichá funkce, tj. platí pro ně cos( x) = cosx a sin( x) = sinx. (1.4)

Kapitola 1. Axiomatická definice 3 Důkaz. Platí, že cosx = sin( π x). Proto použijeme-li součtový vzorec (1.1) a vzorce (1.3), dostaneme cosx = sin ( π x ) = sin ( π + ( x) ) dle (1.1) = = sin π cos( x) + sin( x)cos π = cos( x). (1.3) = 1 cos( x) + sin( x) 0 = Důkaz druhé části věty bude komplikovanější. Víme, že podle vlastnosti (6) věty 1.1 funkce sinx není konstantní, proto existuje takový bod x 0 R, že sin(x 0 ) 0. Navíc také funkce cosx není konstantní, což by se dokázalo sporem ze součtového vzorce (1.). Dále předpokládejme, že funkce sin x je sudá funkce. Dosazením y = y do součtového vzorce (1.) dostaneme pro cos(x ( y)) = cos(x + y) rovnost cos(x + y) = cosx cos( y) + sinx sin( y) = cosx cosy + sinx siny = cos(x y). Volbou y = x pro libovolné x R obdržíme cosx = cos0, tedy fakt, že funkce cosx je konstantní. Tento spor tak ukazuje, že sinx není sudá, proto existuje takové x 1 R, pro které je sinx 1 sin( x 1 ) a můžeme předpokládat, že sinx 1 0. Již jsem ukázali, že cosx je sudá funkce, proto pro x, y R platí cosx cosy + sinx siny = cos(x y) = cos(y x) = cosy cosx + sin( y)sin( x). Z této rovnosti plyne Dosazením y = x navíc obdržíme rovnici sinx siny sin( y)sin( x) = 0. (1.5) sinx sinx sin( x)sin( x) = 0, tj. (sinx sin( x))(sinx + sin( x)) = 0. Z předchozího víme, že sinx 1 sin( x 1 ) 0, takže musí být sinx 1 + sin( x 1 ) = 0. Volbou y = x 1 v rovnici (1.5) dostáváme tvrzení věty, tedy že sin( x) = sinx, což platí pro všechna x R. Nyní již můžeme přistoupit k odvození zbylých součtových vzorců. Věta 1.5. Pro funkce sinx a cosx platí součtové vzorce: sin(x + y) = sinx cosy + siny cosx, sin(x y) = sinx cosy siny cosx, (1.6) cos(x + y) = cosx cosy sinx siny, (1.7) cos(x y) = cosx cosy + sinx siny. (1.8) Důkaz. První vzorec je tvrzením z věty 1.1. Čtvrtý vzorec jsme zase odvodili v úvodu této podkapitoly. Dokazujme proto pouze druhý a třetí vzorec:

Kapitola 1. Axiomatická definice 4 sin(x y) = sinx cosy siny cosx : sin(x y) = sin ( x + ( y) ) (1.1) = = sinx cos( y) + sin( y)cosx (1.4) = = sinx cosy siny cosx; cos(x + y) = cosx cosy sinx siny : cos(x + y) = sin ( π x y ) ) ( = sin( π x) y = sin ( π x ) cosy siny cos ( π x ) = = cosx cosy sinx siny. (1.6) = Součtové vzorce zaujímají významné místo mezi vlastnostmi goniometrických funkcí a využijeme je v důkazech dalších vět. Nyní uvedeme význačný vzorec známý také pod názvem goniometrická jednička. Věta 1.6. Platí sin x + cos x = 1. (1.9) Důkaz. Pro důkaz budeme potřebovat vzorec (1.8), ve kterém položíme y = x, a vlastnost cos 0 = 1. Dostáváme, že 1 = cos 0 = cos(x x) = cosx cosx + sinx sinx = cos x + sin x. V následujících třech větách uvedeme další podstatné vzorce pro počítání s goniometrickými funkcemi. Věta 1.7. Pro dvojnásobný argument funkcí sinx a cosx platí sin x = sinx cosx a cos x = cos x sin x. (1.10) Důkaz. Vezměme vzorec (1.1) a y = x. Potom sin x = sin(x + x) = sinx cosx + sinx cosx = sinx cosx. Druhou část věty dokážeme ze vzorce (1.7) obdobně: cos x = cos(x + x) = cosx cosx sinx sinx = cos x sin x. Věta 1.8. Pro poloviční argument funkcí sinx a cosx platí sin x = 1 cosx a cos x = 1 + cosx.

Kapitola 1. Axiomatická definice 5 Důkaz. Mějme vzorec (1.10) pro dvojnásobný argument cos x : cos y = cos y sin y (1.9) = 1 sin y sin y = 1 sin y. 1 cos y Odtud sin y =. Pokud položíme y = x, obdržíme požadovaný vzorec. Podobně bychom postupovali pro cos x: Dostáváme cos y = cos y = cos y sin y (1.9) = cos y 1 + cos y = cos y 1. 1+cos y. Pro y = x získáme požadovaný vzorec. Věta 1.9. Platí následující vztahy sinx + siny = sinx siny = cosx + cosy = sin x + y cos x + y cos x + y cosx cosy = sin x + y cos x y, sin x y, cos x y, sin x y. (1.11) Důkaz. Pro důkaz této věty opět vyjdeme ze součtových vzorců. Sečtením (1.1) a (1.6) obdržíme sin(α + β) + sin(α β) = sinα cosβ. Pokud jsou x,y dvě libovolná čísla a zvolíme-li α a β tak, že x = α + β a y = α β, tj. α = x+y a β = x y x+y, dostáváme sinx + siny = sin cos x y. U ostatních rovností bychom postupovali obdobně, pouze bychom vzorce (1.1) a (1.6) odečetli, případně je nahradili vzorci (1.7) a (1.8). Lemma 1.10. Pro funkce sinx a cosx platí: sin(x + π ) = cosx, cos(x + π ) = sinx, (1.1) sin(x + π) = sinx, cos(x + π) = cosx, (1.13) sin(x + π) = sinx, cos(x + π) = cosx. (1.14) Důkaz. Ve vzorci (1.1) položme y = π. Dostáváme, že sin(x + π ) = sinx cos π + sin π cosx = sinx 0 + 1 cosx = cosx. Pro cos(x + π ) uděláme totéž, pouze použijeme rovnost (1.7): cos(x + π ) = cosx cos π sinx sin π = cosx 0 sinx 1 = sinx.

Kapitola 1. Axiomatická definice 6 Z těchto dvou vzorců dokážeme rovněž platnost (1.13): sin(x + π) = cos(x + π ) = sinx a cos(x + π) = sin(x + π ) = cosx. Obdobně z (1.13) vychází také rovnosti (1.14): sin(x + π) = sin(x + π) = sinx a cos(x + π) = cos(x + π) = cosx. Z tohoto lemmatu vyplývá následující důsledek týkající se podstatné vlastnosti goniometrických funkcí, kterou je periodicita. Důsledek 1.11. Funkce sinx a cosx jsou periodické funkce s periodou π, tj. platí sinx = sin(x + kπ) a cosx = cos(x + kπ) pro k Z. Goniometrické funkce jsou definovány na celé množině R. Periodicita tedy umožňuje, že se při sledování jejich vlastností stačí omezit pouze na interval 0,π). Dále nás bude zajímat, na kterých intervalech jsou sinx a cosx rostoucí a na kterých naopak klesající. Další věta tedy popisuje intervaly monotónnosti obou funkcí. Věta 1.1. Funkce sinx je rostoucí na intervalech 0 + kπ, π + kπ a 3π + kπ,π + + kπ, k Z, a klesající na intervalech π + kπ, 3π + kπ, k Z. Funkce cosx je rostoucí na intervalech π + kπ,π + kπ, k Z, a klesající na intervalech 0 + kπ,π + kπ, k Z. Důkaz. Z věty 1.1 víme, že sinx je rostoucí na intervalu 0, π. Naopak funkce sin( x) je zde klesající. Z lichosti sinx poté plyne, že sinx roste na π,0. Tedy funkce sinx je rostoucí na intervalu π, π. Navíc podle rovnosti (1.13) platí, že sin(x + π) = sinx, je proto zřejmé, že funkce sinx musí být klesající na intervalu π, 3π. Dále se stoupání a klesání střídá podle periodicity. Důkaz jsme uvedli pro interval π, 3π, a to proto, že právě periodicita zaručuje, že vlastnosti sinx na intervalu 3π,π jsou stejné jako na intervalu π,0. Pro funkci cosx platí podle (1.1) vztah cosx = sin(x + π ), tedy hodnoty funkce cosx jsou stejné jako u sinx posunuté o π doleva. Pokud proto v intervalu, kde je sin x rostoucí, odečteme π, dostáváme interval, kde je cos x rostoucí: pro přehlednost posuneme o jednu periodu: π π, π π = π, 0 ; π + π,0 + π = π, π. Pro interval, kde je cosx klesající, uděláme totéž: π π, 3π π = 0,π.

Kapitola 1. Axiomatická definice 7 Nyní uvedeme lemma, které je doplněním lemmatu 1.3. Obě dohromady nám poskytují bližší představu o průběhu funkcí sinx a cosx. Lemma 1.13. Platí: sinπ = 0, cosπ = 1, sin 3π = 1 a cos 3π = 0. Důkaz. První vzorec odvodíme následovně: sinπ = sin( π + π ) = sin π cos π + sin π cos π = 1 0 + 1 0 = 0. Pro druhou rovnost použijeme vztah cosx = sin( π x). Takže cosπ = sin( π π) = sin( π ) = sin π = 1. Další dva vzorce odvodíme obdobně: sin 3π = sin( π + π) = sin π cosπ + sinπ cos π = 1 ( 1) + 0 0 = 1, cos 3π = sin( π 3π ) = sin( π) = sinπ = 0. Lokální extrémy funkcí se nachází v bodech, kde dochází ke změně monotónnosti. Proto z předchozího lemmatu, ze vztahů (1.3) a z věty 1.1 vyplývá následující důsledek. Důsledek 1.14. Funkce sinx nabývá svého maxima 1 v bodech π + kπ, k Z, a svého minima 1 v bodech 0 + kπ, k Z. Funkce cosx nabývá svého maxima 1 v bodech 0 + kπ, k Z, a svého minima 1 v bodech π + kπ, k Z. Zároveň platí, že sinx 1 a cosx 1. Mezi základní pojmy diferenciálního počtu patří spojitost a derivace funkce v bodě. Na závěr této podkapitoly bychom proto uvedli věty o spojitosti a derivaci funkcí sinx a cosx. Věta 1.15. Funkce sinx a cosx jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru. Důkaz. Z druhé a šesté vlastnosti věty 1.1 plyne, že funkce sinx je spojitá v bodě x = 0. Pro důkaz spojitosti sinx v libovolném bodě x 0 R uvažujme funkci g(x) = sin(x 0 + x) sin x 0. Ze vzorce (1.11) a vlastnosti cosx 1 z předchozího důsledku zřejmě platí: g(x) = sin x cos x 0+x sin x. Funkce g(x) je spojitá v bodě x = 0, tedy sin(x 0 + x) je spojitá v bodě x = 0, a proto sinx musí být spojitá v bodě x 0. Spojitost bude rovněž důležitá v části důkazu následující věty. Věta 1.16. Funkce sinx a cosx mají derivace v každém bodě x R a platí, že (sinx) = cosx a (cosx) = sinx.

Obrázek 1.: Graf funkce cosx Kapitola 1. Axiomatická definice 8 Důkaz. Při důkazu využijeme vztahu z rovností (1.11), tj. sinx siny = sin x y cos x + y, spojitosti funkce cosx a vlastnosti (6) z věty 1.1, tedy lim y 0 siny y = 1. Dostáváme (sinx) sin(x + h) sinx (1.11) sin h = lim = lim h 0 h h 0 = lim sin h h 0 h cos x+h h x + h lim cos = 1 cosx = cosx. h 0 Jelikož platí cosx = sin( π x) a sinx = cos( π x), z věty o derivaci složené funkce plyne: (cosx) = ( sin( π x)) = cos ( π x ) ( 1) = sinx. = Na základě všech výše uvedených vlastností jsme schopni sestrojit grafy obou funkcí. Obrázek 1.1: Graf funkce sinx

Kapitola 1. Axiomatická definice 9 1.3 Definice funkcí tangens a kotangens Kromě funkcí sinx a cosx patří mezi goniometrické funkce ještě další dvě, kterými se budeme v této a následující podkapitole krátce zabývat. Můžeme tedy uvést jejich definice. Definice 1.17. Necht x R { π + kπ, k Z }. Funkci definovanou jako tg x = sinx cosx nazýváme tangens. Dále necht x R {kπ, k Z}. Funkci definovanou jako nazýváme kotangens. cotg x = cosx sinx Oproti funkcím sinx a cosx nejsou tg x a cotg x definovány na celém oboru R. Je to dáno právě definicemi tg x a cotg x jako podílů sinx a cosx, kde jmenovatel musí být různý od nuly, a tak vyloučením těchto nulových bodů získáme definiční obory obou funkcí. 1.4 Vlastnosti funkcí tangens a kotangens Vlastnosti funkcí tg x a cotg x jsou důsledkem vlastností funkcí sinx a cosx, proto nebudeme uvádět k jednotlivým vzorcům důkazy. Omezíme se tedy pouze na stručný výčet charakteristik obou funkcí. Uvedené vlastnosti vychází především z [1], oddíl 3.3. Pro funkce tg x a cotg x platí: z definice lze snadno ukázat, že cotg x = 1 tg x, a navíc z vlastností funkcí sinx a cosx je rovněž cotg x = tg( π x); jsou periodické s periodou π, tg(x + kπ) = tg x a cotg(x + kπ) = cotg x pro k Z; tg x nabývá nulové hodnoty v bodech kπ, k Z, a cotg x v bodech π + kπ, k Z, tedy zejména tg 0 = 0 a cotg π = 0; jsou liché: tg( x) = tg x a cotg( x) = cotg x; tg x je spojitá a rostoucí v každém intervalu ( π + kπ, π + kπ), k Z, a cotg x je spojitá a klesající v každém intervalu (0 + kπ,π + kπ), k Z; pro tg x platí pro cotg x platí lim tg x = + a lim tg x =, x π x π + lim x π cotg x = a lim x 0 + cotg x = + ;

Kapitola 1. Axiomatická definice 10 platí součtové vzorce tg(x ± y) = cotg(x ± y) = sinx cosy ± siny cosx cosx cosy sinxsiny = tg x ± tg y 1 tg x tg y, cosx cosy sinx siny cotg x cotg y 1 = sinx cosy ± siny cosx cotg y ± cotg x tam, kde jsou všechny výrazy vystupující v rovnostech definovány; pro x π + kπ, k Z, existuje derivace funkce tg x (tg x) = 1 cos x, pro x kπ, k Z, existuje derivace funkce cotg x (cotg x) = 1 sin x. Na základě všech uvedených vlastností jsme schopni sestrojit grafy obou funkcí. Obrázek 1.3: Graf funkce tg x

s počáteční podmínkou ϕ(0) = 0, ψ(0) = 1. Podle věty 1.18 má tato soustava ře Kapitola 1. Axiomatická definice 11 Obrázek 1.4: Graf funkce cotg x 1.5 Důkaz věty 1.1 pomocí teorie diferenciálních rovni Větu 1.1 lze relativně snadno dokázat s použitím teorie diferenciálních rovnic. Tato te však na začátku kurzu matematické analýzy není k dispozici a vybuduje se až poté, c definuje derivace a odvodí se její základní vlastnosti. Závěr této kapitoly proto věnuj důkazu existence a jednoznačnosti funkcí sinx a cosx formulovaných větou 1.1. Věta 1.18. Necht A je matice rozměrů. Pak existuje právě jedna funkce y : R R splňující diferenciální rovnici s počáteční podmínkou y(0) = ( v1 v ). y = Ay Důkaz. Tento důkaz lze najít v [5], kapitola II, věta 3.3. Důkaz existence funkcí ϕ a ψ ve větě 1.1 Uvažujme soustavu diferenciálních rovnic ϕ = ψ ψ = ϕ (1

Kapitola 1. Axiomatická definice 1 Lemma 1.19. Existuje takové číslo x 0 > 0, že ψ(x 0 ) 0. Důkaz. Důkaz provedeme sporem. Necht ψ > 0 na intervalu (0, ). Pak ϕ je rostoucí na (0, ), a tudíž kladná. Dále ψ = ϕ je záporná a zároveň klesající, nebot Necht x > 1. Potom ψ(x) = ψ(1) + x Protože ψ (1) < 0, existuje x 0 tak, že To ale znamená, že což je spor s tím, že ψ > 0 na (0, ). 1 ψ = ( ϕ) = ψ < 0. x ψ (t)dt ψ(1) + ψ (1)dt = ψ(1) + ψ (1)(x 1). 1 ψ(1) + ψ (1)(x 0 1) < 0. ψ(x 0 ) ψ(1) + ψ (1)(x 0 1) < 0, Z lemmatu je zřejmé, že musí existovat nějaké x 1 (0,x 0 tak, že ψ(x 1 ) = 0, nebot ψ(0) = 1 a ψ(x 0 ) 0. Definice 1.0. Číslo π je takové nejmenší kladné reálné číslo, že Důkaz (1) Vlastnost (1) plyne přímo z věty 1.18. ψ( π ) = 0. Důkaz () Vlastnost () je počáteční podmínkou soustavy (1.15). Důkaz (3) Víme, že funkce ψ je kladná na intervalu 0, π ) a že ϕ = ψ. Proto platí ϕ > 0 na 0, π ), tedy ϕ je na tomto intervalu rostoucí. Důkaz (4) Pro libovolné x R uvažujme funkci Její derivace je f (x) = ϕ (x) + ψ (x). f (x) = ϕ(x)ψ(x) ψ(x)ϕ(x) = 0, a f (x) proto musí být konstantní na celém R. Zároveň je f (0) = 1, tedy pro každé x R platí ϕ (x) + ψ (x) = 1. Dále vezmeme y R pevné a definujeme funkci g(x) = ( ϕ(x + y) ϕ(x)ψ(y) ϕ(y)ψ(x) ) + ( ψ(x + y) ψ(x)ψ(y) + ϕ(x)ϕ(y) ).

Kapitola 1. Axiomatická definice 13 Podobně jako funkci f ji zderivujme: g (x) = ( ϕ(x + y) ϕ(x)ψ(y) ϕ(y)ψ(x) ) (ψ(x + y) ψ(x)ψ(y) + ϕ(x)ϕ(y) ) + + ( ψ(x + y) ψ(x)ψ(y) + ϕ(x)ϕ(y) ) ( ϕ(x + y) + ϕ(x)ψ(y) + ϕ(y)ψ(x) ). Tedy g (x) = 0 a funkce g(x) je konstantní na R. Zároveň po dosazení počátečních podmínek ϕ(0) = 0 a ψ(0) = 1 dostáváme g(0) = 0, tj. pro všechna x, y R platí g(x) = 0. Proto musí být ϕ(x + y) ϕ(x)ψ(y) ϕ(y)ψ(x) = 0, ψ(x + y) ψ(x)ψ(y) + ϕ(x)ϕ(y) = 0. Obdrželi jsme tak požadovaný součtový vzorec ϕ(x + y) = ϕ(x)ψ(y) + ϕ(y)ψ(x). Důkaz (5) Dopočítejme nejdříve hodnotu ϕ v bodě π. Ze vztahu ϕ (x) + ψ (x) = 1 po dosazení ψ( π ) = 0 a následné úpravě plyne, že ϕ( π ) = ±1. Jelikož je ale ϕ( π ) > 0, dostáváme ϕ( π ) = 1. Nyní ukážeme, že dvojice funkcí f (x) = ψ( π x), g(x) = ϕ( π x) (1.16) splňuje soustavu diferenciálních rovnic (1.15) s počáteční podmínkou f (0) = 0, g(0) = 1. Počáteční podmínka je ověřena pouhým dosazením x = 0 do (1.16): f (0) = ψ( π 0) = ψ( π ) = 0, g(0) = ϕ( π 0) = ϕ( π ) = 1. Funkce (1.16) jsou skutečně řešením soustavy (1.15), nebot Z jednoznačnosti řešení poté plyne a vlastnost (5) je dokázána. f (x) = ψ ( π x) = ( ϕ( π x)) = g(x), g (x) = ϕ ( π x) = ψ( π x) = f (x). f (x) = ϕ(x), g(x) = ψ(x)

Kapitola 1. Axiomatická definice 14 Důkaz (6) Z definice derivace vyplývá, že ϕ(x) ϕ(x) ϕ(0) lim = lim = ϕ (0) = ψ(0) = 1. x 0 x x 0 x 0 Důkaz jednoznačnosti Necht ϕ a ψ splňují vlastnosti (1) až (6) věty 1.1. Pak rovněž vyhovují soustavě diferenciálních rovnic (1.15) s počáteční podmínkou ϕ(0) = 0, ψ(0) = 1. Podle věty 1.18 je tato soustava řešitelná jednoznačně.

Kapitola Zavedení goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice V této kapitole se budeme zabývat zavedením goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice. S touto geometrickou definicí se studenti seznamují již na středních školách, a to tak, že se nejprve zavedou pojmy stupňové a obloukové míry a orientovaného úhlu. Samotná definice poté vychází z rozšíření definic goniometrických funkcí ostrého úhlu jako poměrů stran pravoúhlého trojúhelníku, jak se to učí na základních školách. V našem postupu se o tuto konstrukci budeme opírat, ovšem přidáme definici délky oblouku a v závěru kapitoly také definici obsahu kruhové výseče..1 Oblouková míra a délka křivky Před tím, než k samotné definici goniometrických funkcí přistoupíme, musíme tedy vymezit některé potřebné pojmy. Přitom budeme vycházet především z knihy [3], kapitoly V,. Velikosti úhlů budeme měřit pomocí obloukové míry, která se zavádí následovně. Uvažujme kružnici k s jednotkovým poloměrem a středem O. Potom střed O je vrcholem úhlu a délka oblouku příslušného středového úhlu se nazývá obloukovou mírou tohoto úhlu. Jednotkovým úhlem je radián, který odpovídá oblouku délky 1. K definici délky oblouku a délky křivky potřebujeme pojem suprema. Uved me proto nejdříve jeho definici. Definice.1. Nejmenší horní závora množiny A se nazývá supremum množiny A a značí se supa. Věta.. Necht A je neprázdná a shora omezená množina reálných čísel. Potom mezi všemi jejími horními závorami existuje jedna, která je ze všech nejmenší. S odvozením definice délky křivky začneme tak, že vezmeme křivku C jako množinu všech bodů [x,y] vyhovujících podmínkám a x b, y = f (x) na intervalu a, b, kde f je spojité zobrazení z a, b do R. Nyní sestrojme libovolné dělení D intervalu a,b s dělicími body a = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b; n N. 15

Kapitola. Zavedení goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice 16 Uvažujme body P 0 = [x 0, f (x 0 )], P 1 = [x 1, f (x 1 )],..., P n = [x n, f (x n )]. Z úseček P 0 P 1, P 1 P,..., P n 1 P n zkonstruujme lomenou čáru, jejíž délka bude m(c,d) = P 0 P 1 + P 1 P + + P n 1 P n. Takto je každému dělení D intervalu a,b přiřazeno kladné číslo m(c,d). Pak mohou nastat dvě situace, a to že množina všech m(c,d) nebude shora omezená, v tom případě řekneme, že křivka C nemá konečnou délku. V opačném případě je tato množina shora omezená, má tedy supremum a budeme říkat, že křivka C má konečnou délku. Její velikost definujeme jako toto supremum. Nyní budeme chtít ukázat, že délka čtvrtkružnice o poloměru 1 je shora omezená, konkrétně, že je menší než. Uvažujme tedy takovouto čtvrtkružnici a pomocí bodů takových, že [x 0,y 0 ] = [0,0], [x 1,y 1 ],...,[x n 1,y n 1 ], [x n,y n ] = [1,1] 0 = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = 1, 0 = y 0 < y 1 < < y n 1 < y n = 1, ji rozdělme na n částí. Označme α i = x i x i 1 a β i = y i y i 1. Jistě je délka lomené čáry vzniklé z těchto bodů menší než polovina obvodu čtverce hrany 1, do kterého je lomená čára vepsána. Právě toto tvrzení je obsahem následujícího lemmatu. Lemma.3. Necht α i > 0,β i > 0 a n i=1 α i = 1, n i=1 β i = 1. Pak platí Důkaz. Zřejmě platí, že n i=1 α i + β i <. α i + β i < α i + β i, nebot α i + β i < α i + α i β i + β i = (α i + β i ) a (α i + β i ) = α i + β i. Tedy n i=1 α i + β i < n i=1 (α i + β i ) = n i=1 α i + n i=1 β i = 1 + 1 =. Množina délek lomených čar, které aproximují čtvrtkružnici o poloměru 1, je shora omezená, proto má tato množina supremum, a tedy čtvrtkružnice má konečnou délku. Důsledek.4. Půloblouk kružnice s jednotkovým poloměrem má konečnou délku, která je menší než 4. Definice.5. Číslem π označíme délku oblouku půlkružnice.

Kapitola. Zavedení goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice 17 Obrázek.1: Jednotková kružnice. Definice funkcí pomocí jednotkové kružnice Nyní již můžeme přistoupit k samotnému zavedení goniometrických funkcí. V soustavě souřadnic s osami u,v mějme kružnici se středem v počátku O a o poloměru 1. Necht x π,π. Od bodu P = [1,0] nanesme na kružnici oblouk délky x, a to tak, že pro kladné x se po kružnici pohybujeme proti směru hodinových ručiček, pro záporné x zvolíme směr opačný. Necht Q je koncový bod tohoto oblouku. Definice.6. Za výše uvedených podmínek první souřadnici bodu Q nazýváme cosx a druhou souřadnici nazýváme sinx. Navíc pro ně platí, že cos(x+kπ) = cosx a sin(x+kπ) = sinx, kde k Z. Funkce tg x a cotg x jsou definovány stejně jako v definici 1.17 v první kapitole..3 Důkaz vlastností z věty 1.1 Nyní postupně ukážeme, že takto definované funkce mají vlastnosti (1) až (6) z věty 1.1. Při zpracování podkapitoly jsme u důkazů vlastností (),(3) a (6) čerpali zejména z [] z kapitoly VI, 1 a, a u důkazu vlastnosti (4) z [6] z kapitoly. Důkaz (1) Vlastnost (1) je zřejmá z definice. Důkaz () a (3) Z obrázku.1 je zjevné, že pokud se x zvětšuje od nuly do π, bod Q se od bodu P vzdaluje

Kapitola. Zavedení goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice 18 a přibližuje se k bodu R, takže hodnota druhé souřadnice bodu Q, tedy sinx, roste, neboli funkce sinx je rostoucí na intervalu 0, π. Zřejmě také platí, že sin 0 = 0. Naopak lze vidět, že při průchodu bodu Q k bodu R se hodnota první souřadnice bodu Q, tedy cosx, zmenšuje. Funkce cosx je proto klesající na intervalu 0, π. V bodě R = [0,1], který odpovídá hodnotě x = π, navíc platí, že cos π = 0. Takto je ověřena druhá a třetí vlastnost. Důkaz (4) Důkaz součtového vzorce funkce sin x odvodíme pomocí kosinového vyjádření úhlu jako skalárního součinu, proto k tomu nejdříve musíme přichystat vše potřebné. Lemma.7. Necht F : R R je zobrazení, které zachovává délky úseček. Pak F převádí kružnici na kružnici a zachovává délky oblouků. Definice.8. Necht u = (u 1,u ) T,v = (v 1,v ) T jsou dva vektory v rovině. Skalárním součinem vektorů u,v rozumíme číslo u,v = u 1 v 1 + u v. Poznámka. Jelikož u,v = u 1 v 1 + u v = (u 1,u ) (v 1,v ) T = u T v, můžeme skalární součin zapisovat také ve tvaru u,v = u T v. Definice.9. Necht u = (u 1,u ) T je vektor v rovině. Pak velikost vektoru u je dána vztahem u = u 1 + u. Definice.10. Čtvercová reálná matice A s vlastností A T A = A A T = E, kde E je jednotková matice, se nazývá ortogonální matice. Lemma.11. Ortogonální matice A zachovává skalární součin. Důkaz. Chceme dokázat, že Au, Av = u,v pro nějaké vektory u,v. Tedy A u, A v = (Au) T A v = u T A T A v = = u T E v = u T v = = u,v. Poznámka. Jelikož u = = u. u 1 + u = u,u, platí Au = Au, Au = u,u = Věta.1. Necht u = (u 1,u ) T, v = (v 1,v ) T jsou dva nenulové vektory v rovině svírající úhel ϕ 0,π. Pak platí cosϕ = u,v u v. (.1)

Kapitola. Zavedení goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice 19 Důkaz. Necht u a v jsou dva nenulové vektory se společným počátečním bodem O a koncovými body U, V. Nejdříve uvažujme případ, kdy máme vektory Skalární součin je roven Odtud je u = ( u, 0) T, v = ( v cosϕ, v sinϕ) T. u,v = u v cosϕ + 0 v sinϕ = u v cosϕ. cosϕ = u,v u v. Nyní uvažujme vektory u = (u 1,u ) T se souřadnicí u 0 a v = (v 1,v ) T, které svírají úhel ϕ = (u,v). Matice A = 1 ( ) u1 u u u 1 +u u 1 je ortogonální. Tedy zobrazení u Au zachovává délky, proto podle lemmatu.7 platí ϕ = (Au, Av) = (u,v). Protože je podle prvního případu Au = ( u 1 +u, 0) T = ( u, 0) T, což je podle lemmatu.11 rovno cosϕ = cos (Au, Av) = u,v u v. Au, Av Au Av, Nyní ve třech krocích odvodíme součtový vzorec pro funkci cos x. Nejdříve uvažujme dva jednotkové vektory u = (cosα, sinα) T a v = (cosβ, sinβ) T, které svírají úhel ϕ 0,π, tzn. platí ϕ = β α. Pro úhel dvou vektorů, který spadá do intervalu 0,π, platí podle vztahu (.1) kosinové vyjádření pomocí skalárního součinu, v našem případě cosϕ = cos(β α) = Dostali jsme tak součtový vzorec u,v cosα cosβ + sinα sinβ = u v 1 1 = cosα cosβ + sinα sinβ. cos(β α) = cosα cosβ + sinα sinβ. (.) Ve druhém kroku ukážeme, že tento vzorec platí i pro úhel ϕ = α β π,0. K tomu uved me následující větu.

Kapitola. Zavedení goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice 0 Obrázek.: Parita funkcí sinx,cosx Věta.13. Funkce sinx je lichá a funkce cosx je sudá, tj. sin( x) = sinx a cos( x) = cosx. (.3) Důkaz. Tyto vlastnosti goniometrických funkcí lze snadno vyčíst z jednotkové kružnice, jak je to ukázáno v [7], Obr..7. Vezměme dva oblouky, jeden délky x a druhý délky x. Nanesme je na jednotkovou kružnici například tak, jak je to na obrázku.. Potom je zřejmé, že velikosti sinx a sin( x) jsou v absolutní hodnotě shodné a velikosti cosx a cos( x) jsou shodné, tedy platí (.3). Užitím této věty tak dostáváme součtový vzorec pro úhel ϕ cos( ϕ) = cosϕ = cosα cosβ +sinα sinβ. V posledním kroku již jen zbývá rozšířit platnost vzorce i pro úhly ϕ = β α z intervalu π + kπ,π + kπ, k Z. Vzhledem k periodicitě cosx a sinx platí: cosϕ = cos(ϕ kπ) = cos(β (α + kπ)) = = cos(α +kπ)cosβ +sin(α +kπ)sinβ = cosαcosβ +sinαsinβ. Je tak dokázáno, že součtový vzorec funkce cosx je definován pro libovolný úhel. Na závěr uved me ještě následující lemma. Lemma.14. Platí sinx = cos( π x). (.4)

Kapitola. Zavedení goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice 1 Důkaz. Využijeme právě odvozený součtový vzorec: cos( π x) = cos π cosx + sin π sinx. Hodnoty obou funkcí v bodě π snadno vyčteme z jednotkové kružnice obrázku.1, tedy sin π = 1, cos π = 0. Po dosazení proto dostáváme, že cos( π x) = sinx. Nyní již máme přichystáno vše nezbytné a dostáváme se k samotnému důkazu čtvrté vlastnosti. S pomocí (.4) a (.) můžeme odvodit součtový vzorec pro funkci sinx: sin(α + β) =cos ( π (α + β) ) =cos ( ( π α) β) =cos( π α) cosβ + sin( π α) sinβ =sinα cosβ + cos( π π + α) sinβ =sinα cosβ + sinβ cosα. Důkaz (5) Vlastnost (5) jsme již vlastně použili v předchozím odvození, tedy sin( π x) = cos( π ( π x)) = cosx. Důkaz (6) Zbývá nám dokázat poslední vlastnost věty 1.1. K tomu musíme definovat obsah kruhové výseče. Definice.15. Uvažujme oblouk kruhové výseče s délkou x 0,π, který n + 1 body rozdělíme na n částí, přičemž tyto body budou spolu s počátkem tvořit vrcholy n rovnoramenných trojúhelníků. Pak supremum součtu obsahů těchto trojúhelníků nazýváme obsahem kruhové výseče. Věta.16. Obsah kruhové výseče o oblouku délky x 0,π je 1 x. Důkaz. V jednotkové kružnici vezmeme kruhovou výseč s obloukem délky x, zvolíme libovolné dělení D takové, že 0 = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = 1, 0 = y 0 < y 1 < < y n 1 < y n = 1, kde (x j,y j ), j = 0,...,n, leží na oblouku. Pomocí bodů P 0 = [x 0,y 0 ], P 1 = [x 1,y 1 ],..., P n = [x n,y n ], z výseče vytvoříme n rovnoramenných trojúhelníků. Bereme-li i = 1,...,n, pak pro obsah i-tého rovnoramenného trojúhelníku OP i P i 1 se základnou s i (x) = (x i x i 1 ) + (y i y i 1 )

Kapitola. Zavedení goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice Obrázek.3: Rozdělení kruhové výseče na tři trojúhelníky a výškou k základně v i (x) platí vzorec S OPi P i 1 = 1 s i(x) v i (x), přičemž výška se dá vyjádřit pomocí s i (x) tak, že dostaneme ( S OPi P i 1 = 1 s i(x) 1 ) s i (x) 4. Pro obsah rovinného útvaru vytvořeného z n trojúhelníků určených dělením D je poté ( Z předchozího jistě platí n S(x,D) = OPi P i 1 = i=1s 1 S(x,D) n i=1 n i=1 s i (x) 1 ) s i (x) 4. 1 s i 1 x. (.5) Vidíme, že suma obsahů všech trojúhelníků je shora omezená. Má tedy supremum, které je obsahem kruhové výseče. Abychom hodnotu tohoto suprema konkrétně určili, zvolme

Kapitola. Zavedení goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice 3 ekvidistantní dělení D určené n + 1 body. Potom nebot lim n S(x,D ) = lim n 1 n s n(x) v n (x) = lim n 1 n s n(x) ( 1 = 1 lim n n s n(x) lim n = 1 x, ) s n (x) 4 ( ) s n (x) 1 4 lim n s n(x) = x a lim s n (x) = 0. n n Tedy plocha kruhové výseče je větší nebo rovna 1 x. Z tohoto výsledku a z (.5) plyne závěr, že obsah kruhové výseče musí být roven 1 x. Obrázek.4: Kruhová výseč k důkazu šesté vlastnosti Takto již máme vše potřebné k důkazu vlastnosti (6). Uvažujme 0 < x < π. Z obrázku.4 můžeme vidět, že plocha kruhové výseče OP 0 P n, jejíž velikost je podle předchozího 1 x, je jistě větší než plocha trojúhelníku OQ 0Q n a zároveň menší než plocha trojúhelníku OR 0 R n, nebot obsah libovolného trojúhelníku OP i 1 P i je menší než obsah trojúhelníku OR i 1 R i a větší než obsah trojúhelníku OQ i 1 Q i pro i = 1,...,n. Také víme, že OQ 0 = cosx, Q 0 Q n = sinx, OP 0 = 1. Z podobnosti poté plyne R 0 R n = Q 0Q n OQ 0 OP 0 = sinx cosx.

Kapitola. Zavedení goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice 4 Tudíž pro obsahy trojúhelníku OQ 0 Q n, kruhové výseče OP 0 P n a trojúhelníku OR 0 R n platí 1 sinx cosx < 1 x < 1 Úpravou dostáváme cosx < sinx x Z obrázku.4 je rovněž zřejmé, že lim cosx = 1, tedy x 0 + sinx cosx. < 1 cosx. (.6) 1 lim x 0 + cosx = 1. Proto z věty o třech limitách a z nerovností (.6) vyplývá, že Vzhledem k lichosti funkce sinx je Jelikož jsme dokázali, že sinx lim = 1. x 0 + x sinx sin( x) siny lim = lim = lim = 1. x 0 x x 0 ( x) y 0 + y sinx sinx lim = 1 a lim = 1, x 0 x x 0 + x platí a vlastnost (6) je dokázána. sinx lim = 1 x 0 x Tímto jsme ověřili ekvivalenci goniometrických funkcí zavedených pomocí jednotkové kružnice a goniometrických funkcí formulovaných větou 1.1.

Kapitola 3 Zavedení goniometrických funkcí pomocí nekonečných řad V této kapitole se budeme věnovat odvození definic goniometrických funkcí pomocí nekonečných řad. Poté, co zformulujeme nezbytné vlastnosti nekonečných řad a zavedeme exponenciální funkci, definujeme pomocí nekonečných řad funkce sinus a kosinus. Téměř po celou dobu se budeme pohybovat pouze na oboru komplexních čísel, což nám umožní odvodit vztah goniometrických funkcí a exponenciální funkce. Toho využijeme v posledním odstavci při důkazech vlastností (1) až (6) tam, kde by odvození z nekonečných řad bylo příliš komplikované. 3.1 Některé vlastnosti nekonečných řad Nekonečné řady mají mnoho vlastností, které jsou pro další počítání s nimi důležité. Před samotným zavedením goniometrických funkcí pomocí řad zde proto definujeme některé potřebné pojmy jako je stejnoměrná konvergence posloupností funkcí nebo absolutní konvergence řad. Při zpracování této podkapitoly jsme čerpali z [9] z kapitol 1 a a z [4] z kapitol 1 a. Definice 3.1. Necht { f n } n=1 je posloupnost komplexních funkcí definovaných na množině Ω C. Potom posloupnost { f n } n=1 konverguje stejnoměrně na Ω k funkci f, je-li splněna podmínka: ε > 0 n 0 N tak, že n N, n n 0, a z Ω platí f n (z) f (z) < ε. Zapisujeme f n f. Posloupnosti nás přivádí k pojmu nekonečných komplexních řad funkcí f n (z) = f 1 (z) + f (z) + + f n (z) +..., n=1 kde n N a f n (z) jsou komplexní funkce. Posloupnost {s n } n=1, kde s n (z) = n f j (z), j=1 5

Kapitola 3. Zavedení goniometrických funkcí pomocí nekonečných řad 6 nazýváme posloupností částečných součtů řady. Definice 3.. Řada funkcí n=1 f n(z) konverguje stejnoměrně na množině Ω C ke svému součtu f (z), konečné funkci definované na Ω, pokud na Ω stejnoměrně konverguje posloupnost částečných součtů řady {s n } n=1 k funkci f (z). Důležitou vlastností je, že stejnoměrná konvergence zachovává spojitost. Věta 3.3. Necht f n jsou spojité komplexní funkce a f n f na Ω C. Potom funkce f je rovněž spojitá na Ω C. Důkaz. Tento důkaz lze najít např. v [4], věta.4.4. Dále připomeneme absolutní konvergenci řad. Definice 3.4. Říkáme, že řada n=1 z n konverguje absolutně, jestliže konverguje řada n=1 z n. Poznámka. Jestliže řada konverguje absolutně, pak konverguje. Speciálním případem funkčních řad jsou mocninné řady tvaru a n (z z 0 ) n = a 0 + a 1 (z z 0 ) + a (z z 0 ) + + a n (z z 0 ) n +..., n=0 kde často volíme střed z 0 = 0. Pro každou mocninnou řadu navíc existuje číslo ρ, 0 ρ, které definujeme jako ( ρ = lim n sup a n+1 a n a nazýváme poloměrem konvergence mocninné řady. Věta 3.5. Necht z,z 0,a n C, n=0 a n(z z 0 ) n je mocninná řada a ρ je poloměr konvergence. Pak daná řada konverguje absolutně pro z z 0 < ρ a diverguje pro z z 0 > ρ. Pro libovolné kladné r < ρ konverguje stejnoměrně pro z z 0 r. Důkaz. Tento důkaz lze najít např. v [4] u věty.5.. U mocninných řad používáme stejné početní úkony jako u běžných nekonečných řad. Uvedeme větu, ve které ukážeme, jak se spočítá součin dvou konvergentních řad, ovšem k tomu nejdříve musíme definovat Cauchyův součin dvou řad. Definice 3.6. Cauchyovým součinem řad n=0 a n a n=0 b n rozumíme řadu n=0 c n takovou, že c n = n i=0 a i b n i. Věta 3.7. Jestliže řady n=0 a n a n=0 b n konvergují absolutně k A a B, pak jejich Cauchyův součin konverguje rovněž absolutně k A B. Důkaz. Tento důkaz lze najít např. v [4], věta 1.5.6. ) 1

Kapitola 3. Zavedení goniometrických funkcí pomocí nekonečných řad 7 3. Definice exponenciální funkce a goniometrických funkcí pomocí řad V předchozí části jsme si vybudovali stabilní základy pro zavedení exponenciální funkce a goniometrických funkcí. Můžeme se tedy nyní věnovat jejich definicím a některým vybraným vlastnostem. Začneme exponenciální funkcí. Definice 3.8. Pro komplexní číslo z C je předpisem e z = z n n=0 n! = 1 + z 1! + z zn + + +... (3.1)! n! definována funkce, kterou nazýváme exponenciální funkcí. Musíme ovšem ukázat, že daná nekonečná řada konverguje. Podle věty 3.5 je její poloměr konvergence ρ = ( lim sup a n+1 n a n ) 1 ( = lim n! sup n (n+1)! ) 1 ( = lim sup 1 1 n n+1) =. Exponenciální funkce proto absolutně konverguje pro každé z. Poznámka. Funkce e z je spojitá v C. Dále odvodíme některé základní vzorce, které později využijeme. Věta 3.9. Platí e z1 e z = e z 1+z. (3.) Důkaz. Jelikož jsme ukázali, že je e z absolutně konvergentní, můžeme podle věty 3.7 ukázat, že e z1 e z = = k=0 n=0 z k 1 k! 1 n! l=0 n m=0 z l l! = n=0 ( ) n m n m=0 z m 1 zn m = 1 m!(n m)! zm 1 zn m = (z 1 + z ) n = e z 1+z. n=0 n! Přímo z definice exponenciální funkce vyplývá, že e 0 = 1. (3.3) Z rovnice (3.) plyne vztah nebot e z e z = e z z = e 0 = 1. Věta 3.10. Platí e z e z = 1, (3.4) e z 1 lim = 1. (3.5) z 0 z

Kapitola 3. Zavedení goniometrických funkcí pomocí nekonečných řad 8 Důkaz. Z definice víme, že Úpravou pro nenulové z dostáváme e z = 1 + z 1! + z! + z3 zn + + 3! n! +... e z 1 z = 1 + z! + z zn 1 + + +... 3! n! Pokud budeme počítat limitu tohoto výrazu pro z 0, pak využijeme toho, že vpravo máme řadu spojitých funkcí, která konverguje stejnoměrně k funkci f (z) pro všechna z r a každé r > 0. Podle věty 3.3 dostáváme e z 1 lim = f (0) = 1. z 0 z Jako poslední vlastnost odvod me derivaci exponenciální funkce. Z definice derivace je Tedy platí (e z ) = e z. (e z ) e z+h e z (3.) = lim = e z e h 1 (3.5) lim = e z. h 0 h h 0 h Nyní se již dostáváme k samotným goniometrickým funkcím. Definujme funkce sin z a cosz jako nekonečné řady. Definice 3.11. Necht z C. Funkce sinz, cosz definujeme předpisem sinz = z z3 3! + z5 5! + z n+1 ( 1)n (n + 1)! + = ( 1) n z n+1 n=0 (n + 1)!, cosz = 1 z! + z4 zn + ( 1)n 4! (n)! + = ( 1) n zn n=0 (n)!. (3.6) Navíc lze snadno ukázat, že platí tzv. Eulerův vzorec e iz = cosz + isinz, (3.7) ze kterého obdržíme ekvivalentní definici goniometrických funkcí. Definice 3.1. Necht z C. Funkce sinz, cosz jsou definovány předpisy sinz = eiz e iz i a cosz = eiz + e iz. (3.8) Funkce sinz, cosz jsou lineárními kombinacemi řad s poloměrem konvergence ρ =, tedy i jejich poloměr konvergence bude ρ =. Proto podle věty 3.5 konvergují absolutně pro libovolné z C.

Kapitola 3. Zavedení goniometrických funkcí pomocí nekonečných řad 9 Poznámka. Funkce sinz a cosz jsou spojité v C. Pro takto zavedené goniometrické funkce také platí (sinz) = cosz a (cosz) = sinz pro z C, (3.9) což lze lehce dokázat: ( e (sinz) iz e iz ) = = ieiz + ie iz i i Obdobně bychom to dokázali i pro funkci cosz. = eiz + e iz = cosz. 3.3 Důkaz vlastností z věty 1.1 V této podkapitole se budeme věnovat důkazu vlastností z věty 1.1 z první kapitoly na základě definice 3.11, případně definice 3.1. Důkaz (1) První vlastnost vyplývá z faktu, že funkce sinz, cosz jsou definovány na celém oboru C, proto jsou definovány i na oboru R. Důkaz () Druhou vlastnost snadno ověříme dosazením z = 0 do výrazu (3.8), kdy obdržíme, že sin0 = 0. Podobně bychom také odvodili, že cos0 = 1. Důkaz (3) Při tomto důkazu jsme vycházeli z prologu knihy [8]. V následující části budeme uvažovat proměnnou t R. Vezměme mocninnou řadu (3.6) cost = 1 t! + t4 tn + ( 1)n 4! (n)! +..., ve které položíme t =. Potom absolutní hodnoty členů od druhého počínaje tvoří klesající posloupnost. Zároveň se jedná o alternující řadu. Proto platí, že cos je menší než součet prvních tří členů, neboli cos < 1 3. Z vlastnosti cos0 = 1 a spojitosti reálné funkce cost plyne existence takového nejmenšího t 0 R +, že cost 0 = 0. Definujme číslo π jako π = t 0. Jelikož e it je komplexně sdruženým číslem k číslu e iț jistě platí Proto tedy sint 0 = ±1. Pro t (0,t 0 ) je e it = e it e it = e it e it = e it it = e 0 = 1. e it 0 = cost 0 + isint 0 = isint 0 = 1, (sint) = cost > 0.

Kapitola 3. Zavedení goniometrických funkcí pomocí nekonečných řad 30 Vezmeme-li navíc v úvahu, že sin0 = 0, dostáváme sint 0 > 0, a tedy sint 0 = 1. Ve výsledku jsme obdrželi sin π = 1 a cos π = 0. (3.10) Zároveň jsme ověřili třetí vlastnost, tj. že sint je rostoucí na intervalu 0, π. Důkaz (4) Čtvrtá vlastnost, tedy součtový vzorec sin(z + w) = sinz cosw + sinw cosz, plyne z rovnic (3.8) a vztahu (3.), a to následovně: sinz cosw + sinw cosz = = eiz e iz eiw + e iw i + eiw e iw eiz + e iz = i = ei(z+w) + e i(z w) e i( z+w) e i(z+w) + ei(z+w) + e i( z+w) e i(z w) e i(z+w) 4i 4i = (ei(z+w) e i(z+w) ) = ei(z+w) e i(z+w) = sin(z + w). 4i i V další části ještě budeme potřebovat součtový vzorec který by se odvodil obdobně. sin(z w) = sinz cosw sinw cosz, (3.11) Důkaz (5) Vlastnost cost = sin( π t), vyplývá ze součtového vzorce (3.11), nebot = sin( π t) = sin π cost sint cos π = 1 cost sint 0 = cost. Důkaz (6) Pro důkaz šesté vlastnosti použijeme vyjádření sinz jako mocninné řady sinz = z z3 3! + z5 5! + ( 1)n z n+1 (n + 1)! +... Vydělíme-li celý výraz nenulovým číslem z, obdržíme sinz z = 1 z 3! + z4 5! + ( 1)n z n (n + 1)! +... Řada vpravo je řadou spojitých funkcí, která konverguje stejnoměrně na každém okolí 0. Tedy její součet je podle věty 3.3 spojitá funkce f (z). Proto sinz lim = f (0) = 1. z 0 z Dokázali jsme, že goniometrické funkce zavedené pomocí nekonečných řad mají všechny vlastnosti funkcí ϕ a ψ z věty 1.1. Tím jsme jiným způsobem dokázali existenční část této věty.

Kapitola 4 Zavedení goniometrických funkcí pomocí integrálů Goniometrické funkce se dají definovat také pomocí integrálů, a právě to bude náplní této kapitoly, kterou rozdělíme na dvě části. Nejdříve se budeme zabývat zavedením goniometrických funkcí pomocí určitého integrálu x 0 dt 1 +t, jenž definuje funkci arctg x. Funkci tg x poté definujeme jako funkci inverzní k arctg x. Po rozšíření jejího definičního oboru definujeme i funkce sinx a cosx. Ve druhé části kapitoly goniometrické funkce zavedeme jiným způsobem, kdy zvolíme určitý integrál x dt, 1 t 0 a definujeme tak funkci arcsin x. Po odvození některých jejích vlastností definujeme funkci sinx jako inverzní funkci k arcsinx a funkci cosx danou vztahem, ve kterém vystupuje sinx. Následně rozšíříme definiční obor obou goniometrických funkcí. Při zpracování kapitoly budeme vycházet zejména z 3 a 4 kapitoly VII knihy Vojtěcha Jarníka Integrální počet I [3]. 4.1 Definice a vlastnosti funkce arctg x Definice funkce arctg x je založena na úvaze o integraci racionálních funkcí. Vezměme neurčitý integrál dx 1 + x. Z nekonečně mnoha primitivních funkcí k racionální funkci 1 1+x vyberme takovou, která nabývá hodnoty 0 pro x = 0. Definice 4.1. Necht x, t R. Pak integrálem x dt 1 +t (4.1) 0 31

Kapitola 4. Zavedení goniometrických funkcí pomocí integrálů 3 definujeme funkci, kterou budeme značit arctg x. Dále odvodíme některé vlastnosti arctg x, které poté budou nezbytné pro existenci její inverzní funkce. Lemma 4.. Platí neboli arctg x je lichá funkce. Důkaz. Uvažujme substituci t = s. Potom arctg ( x) = arctg ( x) = arctg x, x 0 dt x 1 +t = ds = arctg x. 1 + s 0 Věta 4.3. Funkce arctg x je rostoucí na intervalu (, ). Důkaz. Pro libovolné x R je ( x ) (arctg x) dt = 1 +t = 1 1 + x, což je jistě kladný výraz, tedy arctg x musí být rostoucí. 0 V důkazu jsme navíc ukázali, že pro všechna x R existuje derivace arctg x, proto je tato funkce spojitá na celém oboru R. Také platí, že arctg 0 = 0. Proto pro x > 0 je arctg x > 0 a pro x < 0 je arctg x < 0. Věta 4.4. Funkce arctg x je omezená na intervalu 0, ). Důkaz. Pro x 0 je 0 arctg x <, nebot pro x 0,1 je pro x > 1 je arctg x = 1 0 arctg x dt 1 +t + x 1 x 0 dt = x 1, dt 1 +t 1 0 x dt dt + 1 t = 1 x <. Definice 4.5. Funkce arctg x je rostoucí a omezená na 0, ), proto existuje Tuto limitu nazveme π. lim arctg x = sup arctg x. x x 0, ) Na závěr poznamenejme, že pro libovolné x 0, ) je arctg x < π. Vidíme tedy, že se interval 0, ) zobrazuje na interval 0, π ). Z lichosti arctg x navíc vyplývá, že je tato funkce omezená na celém oboru R, a zobrazuje jej tak na interval ( π, π ).