VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M05, GA0 M04 DIFERENCIÁLNÍ POČET I LIMITA A SPOJITOST FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
0 Typeset by L A TEX ε c O. Dlouhý, V. Tryhuk, Brno 004
Obsah Úvod 5. Cíle.................................. 5. Požadované znalosti.......................... 6.3 Doba potřebná ke studiu....................... 6.4 Klíčová slova............................. 6.5 Metodický návod k práci s textem.................. 6 Limita a spojitost funkce 7. Posloupnost reálných čísel...................... 7.. Vlastnosti posloupností.................... 8. Limita posloupnosti.......................... 9.. Základní vlastnosti limit posloupností............ 0.. Algebra limit posloupností...................3 Pojem limity funkce......................... 3.4 Definice limity funkce......................... 5.5 Spojitost funkce............................ 7.6 Základní vlastnosti limity funkce...................6. Testovací úlohy........................ 7.7 Kontrolní otázky........................... 8.8 Výsledky cvičení, Testy ke zpracování.......................... 9 Rejstřík................................... 33 Literatura.................................. 33
4 OBSAH
Kapitola Úvod. Cíle Cíle jednotlivých odstavců tohoto modulu jsou následující:. Seznámit se s vlastnostmi posloupností, které jsou souhrně uvedeny v tabulce. Na uvedených příkladech si promyslet, že jsou skutečně splněny podmínky, které charakterizují jednotlivé druhy posloupností.. Umět definovat limitu posloupnosti. Seznámit se se základními vlastnostmi limit a s algebrou limit posloupností. Umět řešit jednoduché úlohy na výpočet limit posloupností..3 Dobře si prostudujte úvodní motivační příklady, které vám pomohou pochopit definici limity funkce..4 Umět Heineovu definici limity funkce. Pochopení definice si ověřte na určování limit u uvedených obrázků. Zvládnout výpočet jednoduchých limit funkcí užitím posloupností..5 Znát definici spojitosti funkce v bodě. Porozumět vztahu mezi existencí limity a spojitostí funkce v bodě. Umět definovat jednostranné limity, jednostrannou spojitost a spojitost na otevřeném či uzavřeném intervalu. Je zde také uvedena Cauchyova definice limity, kterou však nemusíte znát..6 Znalost vlastností limit nám umožní řešit složitější úlohy na výpočet limit. Pro jejich správné používání je nezbytné znát tzv. neurčité výrazy, které nejsou definovány. K důležitým tvrzením patří věta o limitě složené funkce a věta o limitě výrazů typu, které se budou využívat při určování asymptot a průběhu 0 funkce. Vyřešte si autotest a podrobně si zdůvodněte postup výpočtu na základě teoretických poznatků uvedených v odstavci.
6 Úvod. Požadované znalosti Pro potřeby zvládnutí tohoto modulu předpokládáme znalosti studentů v rozsahu modulu Matematika I: BA0 M04..3 Doba potřebná ke studiu Čas potřebný ke zvládnutí tohoto modulu je odhadnut pro průměrného studenta jako hodnota nejméně 8 hodin..4 Klíčová slova Posloupnost reálných čísel, limita posloupnosti, algebra limit posloupností, limita funkce, limita složené funkce, spojitost funkce. Na konci modulu zařazen Rejstřík, ve kterém jsou další klíčová slova přehledně uspořádána i s odkazy na odpovídající stránky..5 Metodický návod k práci s textem Text je uspořádán podle stejných zásad, jako ostatní dříve studované moduly předmětu Matematika.
Kapitola Limita a spojitost funkce. Posloupnost reálných čísel Posloupnosti patří k nejzákladnějším pojmům matematické analýzy. Využívají se například při definování: limity funkce, součtu nekonečné číselné řady, různých typů integrálů, v numerické matematice a podobně. Jak již víte ze střední školy, posloupností reálných čísel (dále jen posloupností), rozumíme funkci f : N R (též píšeme f : n a n, n N), jejímž definičním oborem je množina N přirozených čísel a oborem hodnot je podmnožina reálných čísel R. Funkční hodnotu f(n) značíme obvykle a n a nazýváme ji n tým členem posloupnosti. Samotnou posloupnost pak označujeme symbolem (a n ) n= nebo zkráceně (a n ) nebo jen (a n ), n N. Lze ji též zapsat v rozepsaném tvaru (a, a,..., a n,...). Často nám může pomoci grafické znázornění posloupnosti. Mějme například posloupnost (n ) n=. Pak a n = n a tedy a =, a = 3, a 3 = 5, a 4 = 7, a 5 = 9,.... Následující obrázek ukazuje možnosti grafického znázornění a) v rovině, b) na reálné ose. y a) 9 8 7 6 5 4 3 3 4 5 n b) a a 0 3 4 5 a 3 n
8 Limita a spojitost funkce.. Vlastnosti posloupností vlastnost podmínka příklad. (a n ) je shora ohraničená existuje číslo k R takové, a n = n n že a n k pro všechna n N. (a n ) je zdola ohraničená existuje číslo h R takové, a n = +n n že a n h pro všechna n N 3. (a n ) je ohraničená existují čísla h, k R taková, že a n = cos nπ h a n k pro všechna n N 4. (a n ) je rostoucí platí a n < a n+ a n = n n pro všechna n N 5. (a n ) je klesající platí a n > a n+ a n = +n n pro všechna n N 6. (a n ) je neklesající platí a n a n+ a n = n +( )n pro všechna n N 7. (a n ) je nerostoucí platí a n a n+ a n = +( )n n pro všechna n N 8. (a n ) je monotónní (a n ) je nerostoucí a n = n +( )n nebo neklesající 9. (a n ) je ryze monotónní (a n ) je rostoucí a n = n n nebo klesající 0. (a n ) je stacionární a n = a n+ pro všechna n N a n = ( ) n+4. (a n ) je aritmetická a n = a + (n )d, d R a n = 5n pro všechna n N (d diference). (a n ) je geometrická a n = a q n, q R a n = 3n 5 n pro všechna n N (q kvocient) Příklad..: Pro posloupnosti vypsané v tabulce vytvořte tabulku prvních šesti členů posloupnosti a výsledky graficky znázorněte na reálné ose.
. Limita posloupnosti 9 Příklad..: Zjistěte, zda posloupnost (a n ) = klesající posloupností. ( +n n ) bodu 5. tabulky je Řešení: Potřebujeme porovnat n tý člen posloupnosti a n = +n n = + n s (n + ) ním členem posloupnosti a n+ = + (n+). Pro každé n N platí a n+ = + a proto je posloupnost posloupností klesající. (n + ) < + n = a n, Příklad..3: Zjistěte, zda posloupnost (a n ) = je neklesající posloupností.. Limita posloupnosti Komentář..: ) (n +( )n bodu 6. tabulky Uvažujme nyní například posloupnost (a n ) = ( ) n n. Všimněte si toho, že a n = n a že s rostoucím n se a n neomezeně přibližuje k číslu, tj. a n se blíží k nule. To lze potvrdit například tak, že zvolíme-li si libovolně malé kladné číslo ε např. ε = 0.00, pak pro všechny členy a n posloupnosti, kde n > 000, platí a n = n = n < 0.00. Je pak přirozené říci, že posloupnost ( ) n n má limitu rovnou dvěma. Píšeme lim n a n = nebo lim a n = nebo a n pro n. Dostáváme se tak k definici limity posloupnosti. Definice..: Říkáme, že posloupnost (a n ) má limitu a R, jestliže ke každému ε R, ε > 0, existuje n 0 N tak, že pro všechna n N, n n 0 platí a n a < ε. Říkáme, že posloupnost (a n ) má limitu (event. ), jestliže ke každému h R existuje n 0 N tak, že pro všechna n N, n n 0 platí a n > h (event. a n < h). Posloupnost, která má vlastní limitu, se nazývá konvergentní, má nevlastní limitu, se nazývá divergentní, limitu nemá, se nazývá oscilující. ( Cvičení..: Zkuste si sami podle definice ověřit, že posloupnost ( ) diverguje a posloupnost +( ) n osciluje. ) n + n
0 Limita a spojitost funkce.. Základní vlastnosti limit posloupností Je-li (a n ) posloupnost a (k n ) je rostoucí posloupnost přirozených čísel (indexů), pak posloupnost (a kn ) se nazývá vybraná posloupnost z posloupnosti (a n ). Příklad..: Posloupnosti (a n ) = (,,...,,... ), (a n ) = (0, 0,..., 0,... ) jsou vybrané ( ) posloupnosti sudých a lichých členů z posloupnosti (a n ) = +( ) n.. Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.. Je-li lim a n = a, pak pro každou vybranou posloupnost (a kn ) z posloupnosti (a n ) platí lim n a kn = a. 3. Monotónní posloupnost je konvergentní právě tehdy, když je ohraničená. 4. Je-li lim a n = a, lim b n = b a pro všechna n N, n > k 0 N platí a n b n, pak také a b. 5. Změníme-li v posloupnosti konečný počet členů, pak se její limita nezmění. 6. Je-li (b n ) ohraničená posloupnost a lim a n = 0, pak lim a n b n = 0. 7. Je-li a n > 0 pro n N, pak lim a n = 0 lim a n =. Cvičení..: Promyslete si odpovědi na následující otázky:. Co můžete říci o neklesající shora ohraničené posloupnosti?. Pomocí vybraných posloupností zdůvodněte oscilaci posloupnosti (cos nπ) n=. Komentář..: Nyní si uvedeme důležitý výsledek o konvergenci posloupnosti (q n ), q R. Platí lim n qn = 0 pro q (, ), pro q =, pro q >, neexistuje pro q.
. Limita posloupnosti Tento výsledek znáte již ze střední školy. Jeho platnost například pro q > vyplývá z toho, že lze psát q n = (+h) n > +nh, kde h > 0. Odtud lim n nh = a tedy lim n q n =. Ostatní výsledky lehce obdržíte využitím vlastností, 7... Algebra limit posloupností Je-li lim a n = a, lim b n = b, přičemž a, b R, pak platí ) lim (a n ± b n ) = a ± b, ) lim (a n b n ) = a b, 3) lim an b n = a, b 4) lim a n = a, pokud mají výrazy na pravých stranách smysl. Jak se tyto vlastnosti odvozují, ukážeme si na důkazu vlastnosti ) pro a, b R. Je-li lim a n = a, lim b n = b, pak pro libovolné ε > 0 existuje index n N tak, že pro všechna n > n je a n a < ε a index n N takový, že pro všechna n > n je b n b < ε. Položíme-li n 0 = max{n, n }, pak pro n > n 0 je (a n + b n ) (a + b) = (a n a) + (b n b) a n a + b n b < ε + ε = ε. Odtud (a n + b n ) a + b. Poznámka: Abychom mohli tyto vlastnosti bezchybně využívat, potřebujeme dobře znát, které operace s nevlastními čísly jsou definovány (tj. můžeme přímo určit výsledek, a to tak, jak jsme zvyklí u počítání s konečnými reálnými čísly) nebo zda jde o tzv. neurčité výrazy (výrazy, které nejsou definovány), které se snažíme převést různými úpravami na výrazy s definovanými operacemi. Mezi definované operace pro reálná čísla k R a nevlastní čísla a patří: ) + =, =, ) k ± = ± + k = ±, 3) =, ( ) = ( ) =, ( ) ( ) =, ( ) =, 4) k (± ) = (± ) k = ± pro k > 0, k (± ) = (± ) k = pro k < 0, 5) k ± = 0, 6) k = 0 pro 0 < k < k = pro k > =.
Limita a spojitost funkce Naopak nejsou definovány (tzv. neurčité) výrazy:, +, 0, 0 ( ), 0 0,, k pro k < 0. ± ±, ±, k 0, ± 0, (± )0, Komentář..3: limit. Příklad. Nyní si spočítáme několik příkladů na užití vlastností lim n 3n + 5n + 4n = lim n přičemž lim n a n =, lim n b n = a tedy nelze použít vlastnost 3 o limitě podílu, neboť výraz není definován. Proto podíl upravíme na tvar lim n 3 + n 5 + 4 n n = 3 5. Abychom u dalších příkladů nemuseli slovně vypisovat o jaké typy výrazů se jedná, zapíšeme určený typ do hranaté závorky. Příklad. lim n Příklad 3. Příklad 4. lim n n 3 3n + 4 = [ ] = lim n n 3 + n + lim = n 5n ( n n 3 n = lim n ( ) n 3 n n ( ) = lim 3 + 4 n [ ] = lim ( + n + n 3 ) n 5 n a n b n, ( n 3 + n n ( ) = ( 5 ( ) 3 n n ( ) = 3 + 4 = 0. n n + n 3 ) n 5 ) = =. ) n n [ ] = [ ] = lim n + 4 n n + 5n = = = lim n + 5 =. n n ( 4n + 3n n) = [ ] = Příklad 5. lim n ( 4n + 3n n ) ( 4n + 3n + n ) = lim n 4n + 3n + n [ = ] 3 = lim = n 4 3 + 3n + 4. 3n = lim n 4n + 3n + n =
.3 Pojem limity funkce 3 Cvičení..3: Vypočítejte limity posloupností: ) lim n n +n 3n +n, ) lim n (5n 3n), 3n 3) lim 3 7n n 4n +5n+, 4) lim n n+5 4n +3n 6, ( 5) lim n + n n n 4n, 6) lim 4 n 7) lim n n + ( n n + ), 8) lim n ( n n + n )..3 Pojem limity funkce n +n+ n3 n+ Pojem limity funkce hraje v matematické analýze důležitou roli. Využívá se například při definování derivace, parciální derivace, nevlastního integrálu, součtu nekonečné řady funkcí a podobně. Z hlediska praktických výpočtů budeme limity potřebovat zejména při vyšetřování průběhů funkcí, výpočtech nevlastních integrálů, určování oborů konvergence funčních řad. Proto cílem této kapitoly je zejména pochopení pojmu limita, zvládnutí základních pravidel pro počítání s limitami a výpočet jednodušších limit potřebných při řešení úloh výše uvedených partií matematické analýzy. Výklad limity funkce založíme na vlastnostech limit číselných posloupností, které byly probrány v předchozím odstavci. Uvažujme například funkce g : y = tg 3x a h : y = sin π, které nejsou definovány v nule, ale v blízkém okolí nuly x x jsou všude definovány. Můžeme proto získat určitou informaci o chování zadaných funkcí v blízkosti nuly vytvořením tabulek funkčních hodnot v číslech blížících se k nule a rozdílných od nuly. Zvolme si například posloupnost (x n ) n= = (0., 0.0, 0.00, 0.000,...) = (( ) n+ 0 n ) n=. Pak x n 0 a x n 0 pro všechna n N. Pro funkce g, h pak získáme následující tabulky: ), x n 0. -0.0 0.00-0.000 g(x n ).5466848.5004506.5000045.500000045 x n 0. -0.0 0.00-0.000 h(x n ) 0 0 0 0 Z tabulek je vidět, že posloupnost g(x n ) má pravděpodobně za limitu číslo.5 a posloupnost h(x n ) má limitu rovnu nule (neboť jde vlastně o posloupnost sinů
4 Limita a spojitost funkce celočíselných násobků čísla π.) Pokud by číslo.5 mělo být limitou funkce g v nule, pak by zřejmě mělo platit, že když si zvolíme libovolnou jinou posloupnost čísel (x n) konvergující k nule, x n 0 pro všechna n N, pak odpovídající posloupnosti funkčních hodnot budou opět konvergovat k číslu.5. To tedy znamená, že limita funkce g v nule (pokud existuje) nesmí záviset na volbě posloupnosti (x n ) 0, x n 0. Zvolme si proto ještě například posloupnost (x n) n= = (,,,...) = 3 9 ( ), která má také limitu rovnou nule a přitom 8k 5 x n 0 pro všechna n N. Dostaneme tyto tabulky: x n /3 /... /55 /787 g(x n).3366.5383309....50087333.50000766 x n /3 /... /55 /787 h(x n) - -... - - Z tabulek pro funkci h už můžeme prohlásit, že funkce h nemá v nule limitu, protože jsme našli dvě různé posloupnosti (x n ), (x n) konvergující k nule, pro které odpovídající posloupnosti h(x n ), h(x n) konvergují k různým číslům. Druhá tabulka pro funkci g zatím potvrzuje naši domněnku, že funkce g by mohla mít v nule limitu rovnu číslu.5. Je ale jasné, že po vyzkoušení dvou posloupností to ještě tvrdit nemůžeme. Pro ilustraci uvádíme přibližné grafy funkcí g, h. f y g y 4 3 x.5 π 6 π 6. = 0.5 x
.4 Definice limity funkce 5 Cvičení.3.:. Jaký vliv na naše úvahy o limitě funkce g v bodě nula by mělo následující dodefinování funkce g v nule, jestliže a) g(0) = 7, b) g(0) =.5?. Vytvořením tabulek funkčních hodnot odhadněte, zda a případně jakou sin x+ limitu mají funkce g : y =, h : y = cos πx v bodech a), b). x+ [Doporučujeme posloupnosti a) ( + ), ( + ), b) (n), ( + n).] 0 n 0n 3. Podobně jako ve. úloze odhadněte limity funkce f : y = x+ x a), b) 0, c). v bodech.4 Definice limity funkce Na základě našich úvah je logické říci, že funkce f má v bodě x 0 limitu tehdy, když limita posloupnosti funkčních hodnot (f(x n )) nezávisí na volbě posloupnosti (x n ), přičemž x n x 0, x n x 0. Tuto společnou limitu posloupnosti funkčních hodnot nazveme limitou funkce f v bodě x 0. Uvědomte si, že nás přitom nezajímá, jak se funkce chová přímo v bodě x 0. Nezáleží na tom, je-li funkce v bodě x 0 definovaná, ani jakou má eventuálně funkční hodnotu f(x 0 ). Proto píšeme x n x 0. Dostáváme se tak k tzv. Heineho definici limity. Definice.4.: Řekneme, že funkce f : y = f(x) má v bodě x 0 R limitu rovnu číslu b R, jestliže ) funkce f je definovaná v nějakém prstencovém okolí P(x 0 ) bodu x 0 R, ) pro každou posloupnost (x n ) P(x 0 ) s vlastností lim n x n = x 0 platí lim n f(x n ) = b. Pak píšeme lim n f(x n ) = b. Stručněji lze psát: lim x x0 f(x) = b, jestliže pro všechny posloupnosti platí (x n ) x 0, x n x 0 = f(x n ) b (n ). Z Heineho definice vyplývá, že funkce má v bodě x 0 R nejvýše jednu limitu (tato vlastnost je důsledkem jednoznačnosti limity konvergentní posloupnosti). Všimněte si, že v definici limity mohou být čísla x 0 i b i nekonečná (nevlastní) reálná čísla + a. Pak se často hovoří o různých typech limit, například nevlastní limitě ve vlastním bodě, vlastní limitě ve vlastním bodě, nevlastní limitě v nevlastním bodě. Jednotlivé varianty limit si znázorníme graficky:
6 Limita a spojitost funkce y y f f(x 0 ) b f x 0 x x 0 x x 0 R, b R, lim x x0 f(x) = b x 0 R, b R, b = + lim x x0 f(x) = y y f b f x 0 =, b R, lim x f(x) = b x x x 0 =, b = + lim x f(x) =............................................................................ Ještě si ukážeme grafy funkcí, které v uvedených bodech nemají limitu. y y y g h k f l x 0 x x x 0 a) x x 0 b) Funkce f, g, h nemají v bodě x 0 limitu, neboť jistě například existují posloupnosti (x n ), (x n), x n x 0, x n x 0, x n x 0, x n x 0 s následujícími vlastnostmi c)
.5 Spojitost funkce 7 a) f(x n ) k, f(x n) l pro funkci f b) f(x n ) 0, f(x n) pro funkci g c) f(x n ), f(x n) + pro funkci h Cvičení.4.: Graficky znázorněte další typy limit funkcí: a) lim x x0 f(x) =, x 0 R b) lim x f(x) = b, b R c) lim x f(x) = +. Nyní si ukážeme, jak je možné pro výpočet limit funkcí využívat vlastností limit posloupností. Příklad.4.: Užitím Heineho definice limity vypočítejte lim x 3 4x x. Řešení: Místo konkrétních posloupností konvergujících k číslu 3 uvažujeme obecně libovolnou posloupnost (x n ) konvergující k číslu 3 (x n 3). Z vlastností limit posloupností víme, že jestli x n 3, pak 4x n 4 9 = 35. Podobně x n 3 = 5. Celkem 4x n x n 35 5 = 7. Vidíme tedy, že pro každou posloupnost (x n ) konvergující k číslu 3, odpovídající posloupnost (f(x n )) konverguje k číslu 7. Proto Cvičení.4.: 4x lim x 3 x = 7. Pomocí Heineho definice limity vypočtěte a) lim x 3 (x 3 x + 7), b) lim x 3 4x x + x +, c) lim. x x x.5 Spojitost funkce Možná jste si všimli, že ve všech příkladech ve cvičení.4. se výsledná limita rovná funkční hodnotě ve studovaném čísle. Dostáváme se tak k dalšímu důležitému pojmu spojitosti funkce.
8 Limita a spojitost funkce Definice.5.: Funkce f je spojitá v bodě x 0 R, jestliže a) f je definovaná v nějakém okolí U(x 0 ), b) lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Z této definice si hned můžeme ujasnit vztah mezi limitou a spojitostí funkce v bodě. Je třeba si uvědomit, že z existence limity funkce v bodě x 0 R, ještě nemusí vyplývat spojitost funkce v tomto bodě. O tom nás jistě přesvědčí následující obrázky. y 4 f y 5 f x x 3 lim x 3 f(x) =, f(3) = 4 lim x 5 f(x) = f není v 5 definovaná Pro výpočet limit je důležité, že je-li funkce spojitá v bodě x 0, pak má v tomto bodě také limitu rovnou funkční hodnotě f(x 0 ). Přitom často využíváme toho, že všechny elementární funkce jsou v každém bodě svého definičního oboru spojité (viz. grafy funkcí). Odtud například lim x cos πx = cos π =, lim x ln x = ln = 0, lim x arctg x = arctg = π/4, a podobně Všimněme si nyní podrobněji chování funkce f : y = /x v okolí nuly. y x Vidíme, že tato funkce nemá v nule limitu. Zvolíme-li totiž posloupnost kladných čísel (x n ), jejíž limita je nula, pak f(x n ) má limitu +. Má-li posloupnost (x n) samá záporná čísla konvergující k nule, pak f(x n) má limitu rovnu. Těmito úvahami se dostáváme k tzv. jednostranným limitám.
.5 Spojitost funkce 9 Definice.5.: Číslo b R se nazývá limitou zprava (pravostrannou limitou) funkce f v bodě x 0 R, jestliže ) funkce f je definovaná v nějakém okolí P + (x 0 ), ) pro každou posloupnost (x n ) P + (x 0 ), (x n ) x 0, platí lim n f(x n ) = b. Pak píšeme b = lim x x0 + f(x) = f(x 0 +). Poznámka: Pro nevlastní body jednostranné limity nezavádíme. Cvičení.5.:. Zformulujte si sami analogickou definici limity zleva funkce f v čísle x 0.. Zapište matematicky čemu se rovnají limity zleva a zprava funkce f v čísle x 0 = prvního, x 0 = druhého obrázku. y y 3 4 x x 3. Na základě grafů funkcí určete limity a) lim x 0+ log 7 x, b) lim x 0+ log 0.7 x, c) lim x π tg x, + d) lim x π tg x, e) lim x 7π + cotg x, f) lim x 7π cotg x, g) lim x arcsin x, h) lim x arccos x. Poznámky:. Pomocí limity zprava definujeme spojitost zprava funkce f v bodě x 0, tj., požadujeme, aby funkce f byla definovaná v U + (x 0 ) a aby platilo lim x x0+ f(x) = f(x 0 ). Analogicky definujeme spojitost zleva. y y f(x 0 ) f(x 0 ) x 0 x x 0 x
0 Limita a spojitost funkce. Řekneme, že funkce f je spojitá na otevřeném intervalu (c, d) D(F ), je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Spojitostí funkce f na uzavřeném intervalu c, d D(f) budeme rozumět spojitost funkce f v intervalu (c, d) a současně spojitost funkce f zprava v bodě c a zleva v bodě d. y c x d Cvičení.5.: Na základě grafů funkcí určete intervaly spojitosti těchto funkcí a) f : y = x +, b) f : y =, x c) f 3 : y = log x, d) f 4 : y = arcsin x, e) f 5 : y = sin x, f) f 6 : y = tg x, g) f 7 : y = e x. Komentář.5.: Než-li uvedeme příklad základních vlastností limit, seznámíme se ještě s tzv. Cauchyovou definicí limity funkce o níž se dá dokázat, že je ekvivalentní s Heineovou definicí limity. Uvádíme ji mimo jiné proto, že v mnohé literatuře se při definování limity funkce v bodě právě z této definice vychází. Jde o následující tvrzení. Funkce f má v bodě x 0 R limitu rovnou číslu b R, když pro každé ε R, ε > 0, existuje δ R, δ = δ(ε) > 0 takové, že pro všechna x P(x 0 ) splňující podmínku 0 < x x 0 < δ platí nerovnost f(x) b < ε. Tento přístup k limitě si vysvětlíme opět na příkladu 4x lim x x. Má-li být limita funkce f v čísle rovna dvěma (viz graf funkce g : y = x +, která se pro x rovná funkci f), pak musí být funkční hodnoty f(x) libovolně blízké číslu, a to pro všechna x rozdílná od a dostatečně blízká číslu. Vyjádříme-li míru blízkosti (vzdálenosti) užitím zavedených okolí bodů, pak musí pro libovolně zvolené malé kladné číslo ε platit nerovnice f(x) < ε, tj. f(x) U(, ε), pro všechna x z nějakého prstencového okolí čísla. Bude proto existovat číslo δ = δ(ε) > 0 takové, že nerovnice f(x) < ε bude platit pro všechna x P(, δ), tj. x ( δ, +δ) { }, tedy 0 < x < δ. Graficky lze situaci znázornit takto:
.6 Základní vlastnosti limity funkce + ε ε y δ + δ x Kdybychom si například zvolili ε = 0.0, pak pro to, aby platila nerovnice f(x) < 0.0, stačí vzít taková x, pro která platí x a 4x x < 0.0, tj. x+ < 0.0. Odtud x < 0.0 a tedy x < 0.005 = ε/. Stačí tedy za δ zvolit libovolné číslo, pro které platí 0 < δ ε/ (například δ = 0.005). Domníváme se však, že Heineova definice je pro studenty technických fakult názornější a přístupnější a proto jsme jí dali přednost..6 Základní vlastnosti limity funkce V následujícím přehledu základních vlastností limit budeme stále předpokládat, že uvedené funkce jsou definovány v potřebném prstencovém okolí P(x 0 ) uvažovaného bodu x 0. Věta: (Vlastnosti limit) Je-li lim x x0 f(x) = r R, lim x x0 g(x) = s R, x 0 R, pak pokud má pravá strana rovnosti smysl, platí: a) lim x x0 (f(x) + g(x)) = r + s, b) lim x x0 (f(x) g(x)) = r s, f(x) c) lim x x0 g(x) = r s, d) lim x x0 f(x) = r. Pokud x 0 R, platí uvedená tvrzení i pro jednostranné limity.
Limita a spojitost funkce Jednotlivá tvrzení se lehce dokazují pomocí analogických tvrzení pro posloupnosti, např. pro důkaz tvrzení b) si stačí uvědomit, že pro každou posloupnost (x n ) P(x 0 ) (D(f) D(g)), pro kterou lim n x n = x 0, platí lim n (f(x n ) g(x n )) = lim n f(x n ) lim n g(x n ) = r s, pokud je r s definováno. Protože posloupnost (x n ) byla zvolena libovolně, platí lim x x0 (f(x) g(x)) = r s. Komentář.6.: Při použití výše uvedené Věty je nezbytné respektovat požadavek, že pravá strana rovnosti musí mít smysl. Proto je zapotřebí znovu si důkladně zopakovat, že mezi výrazy, které nejsou definovány, patří například výrazy typu (± ) + ( ), (± ) (± ), ± ±, ±, 0 (± ), a 0 pro a R. Pro takové hodnoty pravých stran uvedená tvrzeni a), b), c) neplatí. Například kx lim x x, kde k 0 je konstanta, je limita typu ± a je rovna číslu k R {0}. Cvičení.6.: Uvedeme několik řešených příkladů jako vzor pro počítání. Příklad. lim x Příklad. Příklad 3. (( ) x + arctg x) ( ) x = lim + lim x arctg x = 0 + π x = π, lim (x + x x ) = lim x + lim x x x = + 0 =, lim x (x3 x + ) = lim x 3 x ( x + x ) = =, 3 Příklad 4. lim x 4x 3 + x + + x 3x = lim x 3 (4 + + ) x x 3 x x ( + 3) = x x = lim x lim 4 + + x x 3 x x + 3 = x x ( 4 ) =, 3
.6 Základní vlastnosti limity funkce 3 Příklad 5. lim x ( x x ) x3 x 3 + x = [ ] = lim x + x (x )(x + ) = = lim x x 3 ( + x ) x 3 ( x + x x 3 ) =. Nyní si uvedeme důležité tvrzení o limitě složené funkce. Věta: Mějme složenou funkci h = f(g) = f g, tj. h(x) = f(g(x)), přičemž lim x x0 g(x) = u 0, lim u u0 f(u) = b, kde x 0 R, u 0 R, b R. Pak platí: a) Existuje-li prstencové okolí P(x 0 ) bodu x 0 takové, že pro všechna x P(x 0 ) je g(x) u 0, pak lim x x0 h(x) = b. b) Je-li funkce f spojitá v bodě u 0, tj. lim u u0 f(u) = f(u 0 ) = b, pak lim x x0 f(g(x)) = f(lim x x0 g(x)) = f(u 0 ) = b. Pokud x 0 R, platí uvedená tvrzení i pro jednostranné limity. Komentář.6.: Obsahuje tři poznámky: (a) Ukážeme si nejprve příklad, který vysvětlí nutnost požadavku g(x) u 0 v tvrzení a) Věty. Zvolme si například funkce f, g takto: { 3 pro u, u R, g(x) = pro x R, f(u) = pro u =. u g x y f y = 3 u Pak h(x) = f(g(x)) = pro všechna x R. Odtud lim x h(x) =, přičemž u 0 = lim x g(x) =, lim u u0 f(u) = lim u f(u) = 3. Je tedy vidět, že Věta by bez předpokladu g(x) u 0 v okolí P(x 0 ) neplatila. (b) Pokud je uvedený předpoklad splněn, pak při výpočtu postupujeme tak, že nejprve nalezneme limitu u 0 vnitřní složky g a v této hodnotě
4 Limita a spojitost funkce u 0 pak nalezneme limitu vnější složky f. (c) Je-li splněn předpoklad spojitosti funkce f v bodě u 0 (tvrzení b) Věty), pak výslednou limitu vypočteme jako funkční hodnotu funkce f v limitě vnitřní složky g v bodě x 0. Cvičení.6.:. lim x x+ x. Řešené úlohy Položíme-li g(x) = x+ pro x a f(u) = u pro u < 0, ), můžeme x zadanou funkci h psát jako složenou funkci h = f g = f(g) s definičním oborem D(h) = {x R; x + x 0} = (, > (, ). Funkce g je v bodě x 0 = spojitá a tedy lim x g(x) = g() = 4 = u 0. Funkce f je v bodě u 0 = 4 rovněž spojitá a podle tvrzení b) Věty můžeme psát lim x h(x) = f(lim x g(x)) = f(4) = 4 =.. lim x x+ x. Užijeme-li označení složek z příkladu, pak funkce g není spojitá v bodě +, ale platí lim x x+ x = = u 0. Funkce f je opět v bodě u 0 = spojitá a tedy opět podle b) Věty platí lim x h(x) = f(lim x g(x)) = f() = =. 3. lim x e x x+. Označíme-li g(x) = x, f(u) = x+ eu, pak platí lim x g(x) = = u 0, přičemž funkce f není spojitá v u 0. Je však jasné, že pro všechna x P( ) platí g(x) a tedy dle a) Věty lze psát lim h(x) = x lim f(g(x)) = lim f(u) = x u u 0 Cvičení.6.3: Vypočítejte limity 3 x 5. lim x 4,. lim 5x+7 x sin x, x +x 3. lim x ln x +3, 4. lim x +x x arctg x. x+ lim u eu = 0. Později, při vyšetřování průběhu funkce budeme využívat následující tvrzení: Věta: Jestliže lim x x0 f(x) = 0, kde x 0 R, a existuje-li prstencové okolí P(x 0 ) v němž pro všechna x P(x 0 ) platí f(x) > 0, resp. f(x) < 0, pak lim =, resp. lim x x0 f(x) x x =, 0 f(x) Pokud x 0 R, platí uvedená tvrzení i pro jednostranné limity.
.6 Základní vlastnosti limity funkce 5 Poznámka. U limit tohoto typu tedy stačí zjistit znaménko funkčních hodnot f(x) v nějakém okolí P(x 0 ) a limita je pak rovna buď + nebo. Pokud je x 0 R a znaménka funkčních hodnot f(x) se v okolích P + (x 0 ) a P (x 0 ) liší, je zapotřebí uvažovat příslušné jednostranné limity, neboť lim x x0 f(x) neexistuje. Příklad.6.: ) lim x (x ) 4. Řešení: lim x f(x) = lim x (x ) 4 = 0 a tedy jde o limitu typu. Protože 0 znaménko znam f(x) > 0 v P(), můžeme psát lim x = +. (x ) 4 ) lim x ( 3x). 3 3 + Řešení: Opět jde o limitu typu, přičemž znam f(x) je v P( ) záporné. 0 3 Odtud lim x =. 3 + ( 3x) 3 g(x) Poznámka. Pokud máme vypočítat limitu lim x x0 f(x), kde x 0 R, lim x x0 g(x) = b R {0}, lim x x0 f(x) = 0, pak stačí tuto limitu uvažovat ve tvaru lim x x0 g(x) f(x) a použít větu o limitě součinu funkcí. Cvičení.6.4: Řešené příklady. lim x 4x 3 (x ) = lim x (4x 3) (x ) = 5 =,. lim x 3 e x 3 x = lim x 3 e x 3 x = e3 =, 3. lim x 0+ ln x x 3 = lim x 0+ x 3 ln x = ( ) =, 4. lim x arctg x e x = lim x e x arctg x = π =.
6 Limita a spojitost funkce Cvičení.6.5: Vypočítejte limity funkcí: ) lim x x 3 +x +x+ x +x ) lim x x 4+ x x 3) lim x 3 x x 3 x+3 3 4) lim x x x3 5) lim x 6x +x x +x 6) lim x 3+ x x +5x 3 7) lim x x x arccotg x 8) lim x 4+ ln 3x+ x 4x 9) lim x (x 3 x + ) 0) lim x 3x 4 x 4 +x+3 ) lim x arctg x 3 x +x+ ) lim x e x x
.6 Základní vlastnosti limity funkce 7.6. Testovací úlohy AUTOTEST.6.: Limity. úloha a b c lim x x 4 x = neexistuje 4 x lim 4 x x = -4 neexistuje 4 3 lim x 0 x = neexistuje 0 4 lim x 0 3 x = neexistuje - 5 lim x x = neexistuje - x+ 6 lim x 0 arctg x = - neexistuje ( ) 7 lim x 3+ x 3 = neexistuje 0 x 9 8 lim x x x = 0 x 9 lim x = / x 3 x 0 lim 3 x = /4 4x + ( ) lim x x x x3 = 0 x lim x ( x + x ) = 0 3 lim x x x++ x = 0
8 Limita a spojitost funkce.7 Kontrolní otázky Kdy má posloupnost (a n ) limitu rovnou číslu a R? Co je to oscilující posloupnost? Uveďte příklad takové posloupnosti. Jak je definovaná geometrická posloupnost a kdy konverguje? Které vlastnosti patří k tzv. algebře limit posloupností? Co jsou to neurčité výrazy? Které operace s nevlastními čísly patří mezi definované operace? Uveďte Heineovu definici limity funkce. Kdy je funkce f spojitá v bodě x 0? Co rozumíme jednostrannými limitami a jednostrannou spojitostí? Kdy řekneme, že je funkce spojitá v uzavřeném intervalu? Co platí pro limity součinu a podílu funkcí? Jak lze vypočítat limitu složené funkce? Co lze říci o limitě lim x x0 f(x), jestliže lim x x 0 f(x) = 0?
.8 Výsledky cvičení, Testy ke zpracování 9.8 Výsledky cvičení, Testy ke zpracování Cvičení..3 ), ), 3), 4) 0, 5), 6), 7) 3, 8)............................................................................. Cvičení.3. ) žádný ) lim x g(x) =, lim x h(x) =, lim x g(x) = 0, lim x h(x) neexistuje. 3) lim x f(x) = 0, lim x 0 f(x) neexistuje, lim x f(x) =............................................................................. Cvičení.4. a) 3, b) 5 3, c) 4 3............................................................................. Cvičení.5. 3a), 3b), 3c), 3d), 3e), 3f), 3g) π, 3h) 0............................................................................. Cvičení.5. a) R, b) (, 0), (0, ), c) R +, d) ;, e) R, f) ( π + kπ, π + kπ), k Z, g) R............................................................................. Cvičení.6.3 ) 3, ) sin 3, 3) ln, 4) π............................................................................. Cvičení.6.5 ) 3, ) 3, 3), 4) 3, 5) 7 3, 6), 7), 8), 9), 0) 3, ) π, )............................................................................. Autotest.6. c, a, 3 b, 4 b, 5 c, 6 a, 7 c, 8 b, 9 b, 0 c, c, b, 3 c.
30 Limita a spojitost funkce Test I. Jméno a příjmení: Adresa: E-mail: Telefon:. Nakreslete graf funkce f : y = x 3 3x +.. Určete základní periodu, tabulku vybraných základních hodnot a znázorněte graf funkce f : y = 3 ( sin 3 x π ). 6 3. Určete definiční obor funkce f : y = x x + 6 + arcsin x x +. 4. Najděte obor, na kterém je funkce f prostá, určete inverzní funkci f a obory D(f ), H(f ) jestliže a) f : y = + sin(3x ), b) f : y = 3 + ln(x + ). 5. Vypočítejte limity posloupností a) ( ) n ( n + 3 n), n= ( ) b). n 3 + 5n n 3 +3 5n+ 6. Vypočítejte limity funkcí n= a) lim x arcsin x+ x, b) lim x e x+ x x+, c) lim x 0 +x x, d) lim x ( + x x ). Tabulka hodnocení.. 3. 4. a 4. b 5. a 5. b 6. a 6. b 6. c 6. d Σ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 body Opravil:
.8 Výsledky cvičení, Testy ke zpracování 3 Test I. Jméno a příjmení: Adresa: E-mail: Telefon: I. Určete a) rozklad polynomu f v reálném oboru, b) znaménko sgn f(x) polynomu f je-li:. f : y = x 4 + 3x 3 7x 9x +,. f : y = x 4 + x 3 x 9x + 8, 3. f : y = 9x 5 x 4 9x 3 + 9x + 6x, 4. f : y = x 5 8x 3 8x + 3. II. Určete.. a) rozklad racionální funkce f na součet polynomu a parciálních zlomků, b) znaménko sgn f(x) racionální funkce f je-li: f : y = f : y = x 3x x + 6, 4 x 3 4x 3 + 7x x. III. Určete rozklad racionální funkce f na součet polynomu a parciálních zlomků je-li:.. Tabulka hodnocení f : y = x5 4x 4 5x 3 + 37x 4x + 57, x 4 x 3 7x + 9x 8 f : y = x5 4x 4 + x 3 + 6x 3x 5. x 4 x 3 3x + 4x + 4 I I I 3 I 4 II II III III Σ 4 4 4 4 body Opravil: Poznámka: k nalezení celočíselných kořenů použijte Hornerova schématu
Rejstřík funkce limita Cauchy, 0 Heine, 5 vlastnosti, zleva, 9 zprava, 9 složená limita, 3 spojitost, 7 na intervalu, 0 v bodě, 8 zleva, 9 zprava, 9 rostoucí, 8 stacionární, 8 vybraná, 0 základní vlastnosti, 0 reálná čísla posloupnost, 7 limita funkce, 3 posloupnost, 9 posloupnost, 7 aritmetická, 8 divergentní, 9 geometrická, 8 klesající, 8 konvergentní, 9 limita, 9 algebra, neurčité výrazy, monotónní, 8 ryze, 8 neklesající, 8 nerostoucí, 8 ohraničená, 8 shora, 8 zdola, 8 oscilující, 9
Literatura [] Anton H., Calculus with Analytic Geometry, John Wiley, 995. [] Brabec J., Martan F., Rozenský Z., Matematická analýza I, SNTL, Praha 989. [3] Daněček J. a kolektiv, Sbírka příkladů z matematiky I, VUT, FAST, CERM, Brno 000. [4] Drábek P., Míka S., Matematická analýza I, Západočeská univerzita v Plzni, Fakulta aplikovaných věd, Plzeň 999. [5] Jankovský Z., Průcha L., Diferenciální počet I, ČVUT, Fakulta elektrotechnická, Praha 996. [6] Jarník V., Diferenciální počet I, NČSAV, Praha 963. [7] Novák V., Diferenciální počet v R (skripta), Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, Brno 997. [8] Tryhuk V., Matematika I, Reálná funkce jedné reálné proměnné, VUT, FAST, CERM, 00. [9] Veverka J., Slatinský E., Matematika I 3, Diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné, VUT, FAST, CERM, Brno 995.