Spojitost a limity - 7 - Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Spojitost a limity Defiice -okolím bodu a azýváme iterval ( a a ) Redukovaým -okolím bodu a azýváme sjedoceí itervalů a a a a Spojitost Defiice Nechť je fukce f defiováa a ějakém okolí bodu a Řekeme že fukce f je v bodě a spojitá právě když 0 0 : D f platí a f( ) f( a) Dále řekeme že fukce f je spojitá a otevřeém itervalu ( ab ) v každém bodě uvedeého itervalu D f pokud je spojitá Defiice spojité fukce popisuje matematicky přesě to co máme a mysli když říkáme že graf fukce je reprezetová epřerušovaou (spojitou) křivkou To jest takovou křivkou kterou můžeme akreslit aiž zvedeme tužku z papíru ebo křídu z tabule Limity Defiice (vlastí limita ve vlastím bodě) Nechť je fukce f defiováa a ějakém redukovaém okolí bodu a Řekeme že fukce f má v bodě a vlastí limitu A A právě když 0 0 : D f platí 0 a f( ) A Zkráceě teto fakt zapisujeme symbolem A lim f( ) Všiměte si že fukce f emusí být v bodě a v ěmž vyšetřujeme její limitu vůbec defiováa Výše uvedeá defiice totiž popisuje pouze kam směřují fukčí hodoty f když se s ezávislou proměou blížíme eomezeě blízko bodu a (aiž jej ovšem dosáheme) Pokud je fukce f v bodě a defiováa emusejí být obecě její fukčí hodota a její limita v tomto bodě totožé a Všiměte si že spojitost fukce f v bodě a můžeme vyjádřit zkráceě vztahem lim f ( ) f( a) a Symbolem ozačujeme možiu všech reálých čísel
- 8 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé Defiice (evlastí limity ve vlastím bodě) Nechť je fukce f defiováa a ějakém redukovaém okolí bodu a Řekeme že fukce f má v bodě a evlastí limitu právě když K 0 0 : D f platí 0 a f( ) K Zkráceě teto fakt vyjadřujeme symbolem lim f( ) a Řekeme že fukce f má v bodě a evlastí limitu právě když K 0 0 : D f platí 0 a f( ) K Zkráceě teto fakt vyjadřujeme symbolem lim f( ) a Defiice evlastích limit popisuje situaci kdy fukčí hodoty fukce f rostou ade všechy meze ebo pod všechy meze klesají pokud se její ezávislá proměá blíží k hodotě a Zatím jsme v defiicích limity předpokládali že se ezávislá proměá blíží k zadaé hodotě z obou stra současě - zleva i zprava Často bývá užitečé umět popsat situaci kdy je toto přibližováí jedostraé tj buď zleva ebo zprava Pak hovoříme o jedostraých limitách Uveďme si jejich přesé defiice a příkladu vlastí limity Zobecěí a případ limit evlastích je pak přímočaré Defiice (jedostraé vlastí limity ve vlastím bodě) Nechť je fukce f defiováa a otevřeém itervalu a a kde a je reálé číslo Řekeme že fukce f má v bodě a zleva vlastí limitu A A právě když 0 0 : D f platí 0 a f( ) A Zkráceě teto fakt zapisujeme symbolem lim f ( ) A a Nechť je fukce f defiováa a otevřeém itervalu aa kde a je reálé číslo Řekeme že fukce f má v bodě a zprava vlastí limitu A A právě když 0 0 : D f platí 0 a f( ) A Zkráceě teto fakt zapisujeme symbolem lim f ( ) A a Má-li fukce f v bodě a limitu (vlastí či evlastí) má v tomto bodě zřejmě obě jedostraé limity které jsou avíc této limitě rovy Naopak pokud eistují obě jedostraé limity a jsou si avzájem rovy má utě fukce f v bodě a limitu Pokud si ale rovy ejsou limita fukce v daém bodě eeistuje
Spojitost a limity - 9 - Podobě jako jedostraé limity můžeme defiovat i spojitost fukce zleva a zprava Stačí se omezit ve výše uvedeé defiici spojitosti a hodoty ezávislé proměé splňující 0 a (resp 0 a ) Pokuste se obě defiice zformulovat sami! Kromě chováí fukcí v blízkosti reálého bodu a ás často zajímá chováí fukce v případě že se ezávislá proměá blíží k ekoeču Pro teto účel defiujeme limity v evlastích bodech reálé osy tj v a Defiice (vlastí limity v evlastích bodech) Nechť je fukce f defiováa a itervalu ( b ) Řekeme že má v vlastí limitu A právě když 0M 0 : D f platí M f( ) A Používáme též zkráceý zápis lim f ( ) A Nechť je fukce f defiováa a itervalu ( b) Řekeme že má v vlastí limitu A právě když 0M 0 : D f platí M f( ) A Používáme též zkráceý zápis lim f ( ) A Zcela aalogickým způsobem se defiují i evlastí limity v evlastích bodech Pokuste se tyto defiice (celkem čtyři) zformulovat sami! Věty o limitách (erovost mezi limitami) Nechť fukce f a g defiovaé a ějakém redukovaém okolí bodu a splňují pro všecha z tohoto okolí erovost f ( ) g( ) Eistují-li limity těchto fukcí v bodě a (vlastí či evlastí) platí lim f ( ) lim g( ) a a Speciálě tedy můžeme psát lim f( ) lim g( ) a a lim g ( ) lim f( ) a a Nechť fukce f g a h defiovaé a ějakém redukovaém okolí bodu a splňují pro všecha z tohoto okolí erovost f ( ) g( ) h( ) Eistují-li vlastí limity fukcí f a h v bodě a které jsou si avíc rovy eistuje v tomto bodě i limita fukce g a platí lim f ( ) lim g( ) lim h( ) a a a
- 0 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé Právě uvedeé věty o erovostech mezi limitami je možo přeformulovat i pro jedostraé limity a limity v evlastích bodech ( a ) Proveďte sami! (algebra limit) Limity v této větě mohou být vlastí i evlastí (tj koečé i ekoečé) ve vlastích i evlastích bodech (tj a může abývat koečých i ekoečých hodot) Pokud mají výrazy a pravé straě rovostí smysl platí lim f ( ) g( ) lim f( ) lim g( ) a a a lim f ( ) g( ) lim f( ) lim g( ) a a a lim f ( ) g( ) lim f( )lim g( ) a a a lim f ( ) / g( ) lim f( ) / lim g( ) a a a se velmi sado pamatuje: Limita součtu je rova součtu limit atd Důležitou součástí věty je předpoklad že pravé stray mají smysl To především zameá že limity a pravých straách eistují a avíc limita ve jmeovateli v posledím vztahu je eulová Vzhledem k tomu že tyto limity mohou být obecě evlastí musíme respektovat ěkterá speciálí pravidla pro počítáí s ekoečy: c c ( ) ( ) c c (0 ) c c ( 0) ( )( ) ( )( ) ( )( ) c /( ) 0 Výrazy ( )0 ( ) /( ) a 0/0 ejsou defiováy emají tudíž smysl! Jejich výsledkem může být v závislosti a charakteru fukcí vyskytujících se v počítaých limitách jakékoliv reálé číslo i ebo prostě výsledek emusí eistovat Podobě eí defiová výraz A/0 kde A je eulové reálé číslo ai výraz ( ) / 0 Možých výsledků je však v těchto případech přece je trochu méě K uvedeým eurčitým výrazům vedou totiž limity (často jedostraé) lim f ( ) / g( ) kde lim f ( ) A (resp lim f( ) ) a lim g ( ) 0 a výsledky k imž a a a a můžeme dospět závisejí pouze a zaméku A (či evetuálí evlastí limity fukce f) a a zaméku fukce g abývaému a ějakém redukovaém okolí (popř jedostraém redukovaém okolí) bodu a Shruje je ásledující tabulka A > 0 popř lim f( ) A < 0 popř lim f( ) a g ( ) 0 g ( ) 0 a Měí-li fukce g své zaméko a libovolě malém redukovaém okolí (jedostraém redukovaém okolí) bodu a příslušá limita (jedostraá limita) eeistuje A také pouze jedostraé
Spojitost a limity - - Počítáí limit je obvykle poměrě obtížou záležitostí U ěkterých fukcí vycházíme přímo z defiice Jidy můžeme použít pravidla pro základí algebraické operace s limitami Často však musíme použít pokročilejší metody (apř L Hospitalovo pravidlo) o ěkterých se zmííme později Některé důležité a často používaé výsledky které můžeme získat přímým použitím defiic a vět uvedeých v této kapitole jsou kostatí fukce lieárí fukce kvadratická fukce a obecě polyomy jsou spojité a možiě všech reálých čísel celočíselé mociy a odmociy jsou spojité a svých defiičích oborech epoeciálí a logaritmické fukce jsou spojité a svých defiičích oborech goiometrické a cyklometrické fukce jsou spojité a svých defiičích oborech lim lim pro přirozeá lim pro sudá pro lichá lim pro přirozeá lim pro lichá lim 0 pro přirozeá lim 0 pro reálá > 0 lim 0 pro všecha přirozeá lim 0 pro sudá lim 0 pro lichá lim pro reálá > 0 0 lim a pro reálá a > lim a 0 pro reálá a < lim a 0 pro reálá a < lim a pro reálá a < limity goiometrických fukcí v evlastích bodech eeistují lim tg /2 lim tg /2 lim cotg lim cotg Jejich limity jsou tedy v každém bodě defiičího oboru rovy fukčím hodotám
- 2 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé 2 Derivace Zavedeí pojmu derivace bylo ispirováo potřebou řešit ěkteré kokrétími a avýsost praktické problémy jako apř určeí směrice tečy ke grafu zadaé fukce v zadaém bodě určeí okamžitých hodot rychlosti a zrychleí Derivace Defiice Nechť je fukce f () defiováa a ějakém okolí bodu a Řekeme že tato fukce má v bodě a vlastí derivaci pokud eistuje vlastí limita lim a f ( ) f( a) a Tuto limitu pak azýváme vlastí derivací fukce f v bodě a a užíváme pro i obvykle df ozačeí f ( a) ebo též ( a) Je-li uvedeá limita evlastí hovoříme o evlastí derivaci fukce f v bodě d a Jedostraou limitu lim a f ( ) f( a) a resp lim a f ( ) f( a) a azýváme derivací fukce f v bodě a zleva resp zprava V moha učebicích je derivace fukce f v bodě a defiováa zcela ekvivaletím způsobem jako f ( a) f( a) lim 0 Defiice O fukcích které mají v bodě a vlastí derivaci se často hovoří jako o fukcích (jedekrát) diferecovatelých v zadaém bodě Fukce které mají vlastí derivaci v každém bodě ějakého otevřeého itervalu se azývají (jedekrát) diferecovatelé a itervalu Derivaci df v libovolém bodě zadaého itervalu pak obvykle začíme f ( ) ebo též ( ) d Fukce diferecovatelá v zadaém bodě je v tomto bodě spojitá Fukce diferecovatelá a ějakém otevřeém itervalu je spojitá a tomto itervalu Fukce f která je diferecovatelá a ějakém otevřeém itervalu má vlastí derivaci v každém jeho bodě Derivováím získáme tedy z fukce f fukci ovou f ( ) Tu se můžeme pokusit opět derivovat v každém bodě zmíěého itervalu Ve všech bodech v ichž bude teto pokus úspěšý získáme tzv druhou derivaci Graf diferecovatelé fukce je a zadaém itervalu hladký a evyskytují se a ěm žádé "rohy"
Derivace - 3 - fukce f f ( ) Dalším derivováím můžeme získat derivaci třetí f ( ) čtvrtou f (4) ( ) a obecě ( až derivaci řádu f ) ( ) O těchto derivacích hovoříme obvykle jako o derivacích vyšších Používáme pro d f( ) ě kromě právě uvedeého také ozačeí d Věty o derivacích (algebra derivací) Pokud mají pravé stray rovostí smysl platí f g ( a) f( a) g( a) f g ( a) f( a) g( a) kf ( a) kf ( a) f g ( a) f( a) g( a) f( a) g( a) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f a g a a f a g a 2 g g( a) (derivace iverzí fukce) Nechť má fukce f fukci iverzí a v bodě a eistuje její prví derivace f ( a) která je eulová Pak eistuje prví derivace fukce f v bodě b f( a) a platí f ( b) f a f f b ( ) ( ( )) Větu o derivováí iverzí fukce (tetokrát v obecém bodě ) můžeme zapsat i ve tvaru f ( ) f( y) y f ( ) a číst: Iverzí fukci derivuj tak že derivuješ fukci k íž je tato fukce iverzí podle její ezávislé proměé (zde ji začíme y) z výsledku udělej reciprokou hodotu a za proměou y akoec dosaď f ( ) (derivace složeé fukce) Nechť fukce g a f mají prví derivace g ( b) a f ( a) kde b f( a) Pak eistuje i a platí derivace složeé fukce f g ( a) ( a ) g ( b ) f ( a ) g ( f ( a )) f ( a ) d f g d Větu o derivováí složeé fukce (v obecém bodě ) můžeme zapsat i ve tvaru f ( g ( )) f ( y) g ( ) yg( )
- 4 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé a číst: Složeou fukci derivuj tak že ejdříve derivuješ vější fukci podle její ezávislé proměé (zde ji začíme y) a za proměou y dosadíš g( ) a pak vše vyásob derivací vitří fukce podle její ezávislé proměé () Derivace všech základích fukcí je možo získat ať již přímo pomocí defiice ebo pomocí výše uvedeých vět Shruje je ásledující tabulka Derivace elemetárích fukcí f() f () f() f () c (= kost) 0 cos si si cos tg 2 cos cotg 2 si e e arcsi 2 a a 0 a l a arccos 2 l arctg 2 log a l a arccotg 2 3 Lokálí a globálí etrémy V ásledující kapitole si ukážeme jak je možo difereciálího počtu použít při vyšetřováí průběhu zadaé fukce jedé reálé proměé V této kapitole věujeme pozorost jedomu dílčímu v aplikacích však velmi výzamému problému - alezeí etrémů reálé fukce jedé reálé proměé Lokálí etrémy Defiice Nechť je fukce f defiováa a okolí bodu a Řekeme že tato fukce má v bodě a lokálí maimum 0 ( a a): f( ) f( a) ostré lokálí maimum 0 ( a a) ( a a): f( ) f( a)
Lokálí a globálí etrémy - 5 - lokálí miimum 0 ( a a): f( ) f( a) ostré lokálí miimum 0 ( a a) ( a a): f( ) f( a) Lokálí maimum a lokálí miimum azýváme souhrě lokálími etrémy ostré lokálí maimum a ostré lokálí miimum ostrými lokálími etrémy Nechť má fukce f v bodě a prví derivaci Má-li f v bodě a lokálí etrém je utě tato derivace ulová Nechť má fukce f v bodě a prví a druhou derivaci Je-li prví derivace ulová a druhá derivace eulová má fukce f v bodě a ostrý lokálí etrém Je-li f( a) 0 jedá se o lokálí maimum je-li f( a) 0 jedá se o lokálí miimum Předcházející dvě věty ám poskytují ávod jak lokálí etrémy reálých fukcí jedé reálé proměé hledat Nejdříve alezeme body možého výskytu lokálích etrémů řešeím rovice f( ) 0 V každém z takto alezeých bodů určíme dále zaméko druhé derivace Je-li druhá derivace kladá abývá studovaá fukce v tomto bodě svého lokálího miima v opačém případě se jedá o lokálí maimum Pokud je však současě ulová prví i druhá derivace emůžeme o chováí fukce poblíž takového bodu a základě výše uvedeých vět říci ic určitého a musíme užít věty obecější: Platí-li ( ) f( a) f( a) f ( a) 0 a ( f ) ( a) 0 kde je liché abývá fukce f v bodě a lokálího etrému: pro ( f ) ( a) 0 lokálího miima a pro ( f ) ( a) 0 lokálího maima Je-li aopak sudé emá fukce f v bodě a žádý lokálí etrém Globálí etrémy Defiice Nechť je fukce f defiováa a ějaké podmožiě reálých čísel A Řekeme že fukce f abývá v bodě a A maima a A A: f( ) f( a) ostrého maima a A A\ a : f( ) f( a) miima a A A: f( ) f( a) ostrého miima a A A\ a : f( ) f( a) Maima a miima fukce f a možiě A obvykle ozačujeme souhrým ázvem globálí etrémy Etrémy zadaé fukce vyšetřujme zpravidla a ějakém itervalu reálé osy Obecě však emusí fukce ai jede z etrémů a daém itervalu mít Pro uzavřeé itervaly je však eistece globálích etrémů jak azačuje ásledující důležitá věta zaručea
- 6 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé Spojitá fukce abývá a uzavřeém itervalu svého maima i miima Pokud hledáme etrémy fukce f a uzavřeém itervalu ab je zřejmé že je musíme hledat buď v krajích bodech a b ebo uvitř tohoto itervalu tj v bodech otevřeého itervalu ab V druhém případě se bude ovšem utě jedat o etrémy lokálí Ve všech bodech ab v ichž má f prví derivaci je utou podmíkou pro eisteci lokálího etrému její ulovost Kromě toho se mohou lokálí etrémy vyskytovat v bodech v ichž fukce derivaci emá ebo je dokoce espojitá Jaká je tedy strategie kterou musíme zvolit při hledáí etrémů fukce f a uzavřeém itervalu? Především alezeme body v ichž by fukce mohla etrému abývat Mezi ě patří krají body itervalu body v ichž má studovaá fukce ulovou derivaci body v ichž fukce derivaci emá ebo je dokoce espojitá Takových bodů je zpravidla koečě moho obvykle je ěkolik málo Dále sestavíme tabulku fukčích hodot studovaé fukce v alezeých bodech Pomocí této tabulky již můžeme učiit koečé rozhodutí V bodech odpovídajících ejvětší fukčí hodotě abývá fukce svého maima v bodech s ejmeší fukčí hodotou pak svého miima Podle počtu těchto bodů již sado rozhodeme zda se jedá o etrémy ostré Uvedeý postup můžeme zobecit i a vyšetřováí etrémů spojité fukce a koečém sjedoceí uzavřeých itervalů Hledáme-li etrémy fukce f a itervalu polouzavřeém či otevřeém dozá výše astíěý postup ěkterých změ Především musíme z možiy bodů v ichž můžeme výskyt etrému očekávat vyloučit krají body itervalu které do ěj epatří Ostatí body zachováme Podobě jako výše alezeme v těchto bodech odpovídající fukčí hodoty a porováme je Navíc je ale musíme porovat i s odpovídajícími jedostraými limitami fukce v krajích bodech které do vyšetřovaého itervalu epatří (pokud ovšem tyto limity eistují) Budeli ejvětší z těchto limit větší ež ejvětší fukčí hodota abývaá v ostatích vyšetřovaých bodech fukce svého maima a studovaém itervalu eabývá Naopak bude-li ejvětší z těchto limit meší ež ejvětší fukčí hodota abývaá v ostatích bodech fukce svého maima a studovaém itervalu v ěkterém z těchto bodů abývá Podobé závěry můžeme formulovat i pro eisteci či eeisteci miima Proveďte sami! Mohem obtížější je aalýza v případě že v ěkterém z krajích bodů které epatří do vyšetřovaého itervalu odpovídající jedostraá limita vůbec eeistuje Pak musíme velmi podrobě vyšetřit chováí studovaé fukce poblíž takového bodu Jak - a to odpovídá ásledující kapitola 4 Průběh fukce Často potřebujeme získat celkovou představu jak zadaá fukce závisí a své ezávislé proměé - vyšetřit její průběh Koečým cílem takového sažeí pak obvykle bývá áčrt grafu zkoumaé fukce Systematické zkoumáí fukce zahruje ěkolik kroků které v koečém důsledku umožňují cíle dosáhout Jedá se zejméa o alezeí: maimálího defiičího oboru fukce průsečíků s osou a y itervalů a ichž je fukce spojitá jakož i bodů espojitosti limit (i jedostraých) v krajích bodech defiičího oboru a v bodech v ichž eí fukce spojitá
Průběh fukce - 7 - itervalů mootoie tj itervalů a ichž je fukce klesající rostoucí či kostatí lokálích etrémů fukce itervalů a ichž je fukce kokáví či koveí a ifleích bodů asymptot Splěí ěkterých bodů tohoto programu by emělo čiit žádé potíže Nezbytá vysvětleí defiice a věty byly podáy v předcházejících kapitolách ebo jsou zámy ze středí školy V této kapitole si vysvětlíme obsah bodů zbývajících Itervaly mootoie Nechť je fukce f spojitá a itervalu ab a má a itervalu ab prví derivaci Pak platí a a f ( ) 0 f ( ) 0 ab je f a ab rostoucí ab je f a ab klesající f je a ab eklesající f ( ) 0 f je a ab erostoucí f ( ) 0 a a ab ab Nalezeí itervalů mootoie tedy v prai zameá řešit erovice f( ) 0 a f( ) 0 Záme-li itervaly mootoie zadaé fukce umíme určit body v ichž tato fukce abývá svých lokálích etrémů popř charakter těchto etrémů aiž počítáme její vyšší derivace - tedy tak jak uvádíme v předcházející kapitole Je-li fukce v zadaém bodě spojitá vlevo od ěj rostoucí a vpravo klesající abývá v ěm svého ostrého lokálího maima Je-li aopak tato fukce vlevo od zadaého bodu klesající a vpravo od ěj rostoucí abývá v ěm ostrého lokálího miima V případě fukce vlevo eklesající a vpravo erostoucí můžeme v zadaém bodě zaručit pouze eisteci (eostrého) lokálího maima a pro fukci vlevo erostoucí a vpravo eklesající eisteci (eostrého) lokálího miima V ostatích případech fukce v daém bodě etrém emá Koveost a kokávost fukce ifleí bod Defiice Nechť je fukce f defiováa a itervalu ab Řekeme že fukce f je a tomto itervalu f( 2) f( ) f ( 3) f( ) koveí 2 3 a b 2 3: 2 3 f( 2) f( ) f ( 3) f( ) ryze koveí 2 3 a b 2 3: 2 3 f( 2) f( ) f ( 3) f( ) kokáví 2 3 a b 2 3: 2 3 f( 2) f( ) f ( 3) f( ) ryze kokáví 2 3 a b 2 3: 2 3
- 8 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé Geometricky zameá koveost fukce f a itervalu ab že pro libovolou volbu 3 a b 3 ( ) 3 f( 3) a itervalu 3 ad grafem fukce f Kokávost aopak zameá že tatáž úsečka leží pod grafem fukce f leží úsečka s kocovými body f a S mešími ároky a přesost můžeme též říci že koveí fukce zatáčí a zadaém itervalu proti směru hodiových ručiček kokáví pak ve směru hodiových ručiček Nechť je fukce f spojitá a itervalu ab a má a ab druhou derivaci Pak platí a a f ( ) 0 f ( ) 0 ab je f a ab ryze koveí ab je f a ab ryze kokáví f je a ab koveí f ( ) 0 f je a ab kokáví f ( ) 0 a a ab ab Nalezeí itervalů koveosti (kokávosti) fukce f v prai zameá utost řešit erovice f( ) 0 ( f( ) 0) Defiice Nechť má fukce f v bodě a vlastí derivaci Řekeme že fukce f má v a ifleí bod pokud eistuje 0 takové že platí jeda z ásledujících podmíek f( ) f( a) f( a)( a) ( a a) f( ) f( a) f( a)( a) ( a a ) f( ) f( a) f( a)( a) ( a a) f( ) f( a) f( a)( a) ( a a ) V ifleím bodě prochází teča ke grafu studovaé fukce z jedé jeho stray a strau druhou Je-li v hraičím bodě mezi itervalem a ěmž je fukce ryze koveí a itervalem a ěmž je fukce ryze kokáví studovaá fukce současě diferecovatelá je teto bod jejím ifleím bodem Ifleí body tedy od sebe oddělují koveí a kokáví oblouky grafu diferecovatelé fukce Má-li fukce v zadaém bodě ulovou druhou derivaci a eulovou derivaci třetí má v ěm ifleí bod Obecěji - má-li fukce v zadaém bodě ulové všechy derivace od derivace druhé až do derivace řádu kde je sudé a eulovou derivaci řádu má v ěm ifleí bod Asymptoty Defiice Fukce má v bodě a vertikálí asymptotu má-li v ěm alespoň jedu jedostraou limitu evlastí Vertikálí asymptota v bodě je svislá přímka a k íž se graf fukce eomezeě blíží když se ezávislá proměá blíží k a zleva ebo zprava
Průběh fukce - 9 - Defiice Asymptotou fukce v rozumíme přímku y k q která splňuje lim f( ) kq 0 Asymptotou fukce v rozumíme přímku y k q která splňuje lim f( ) kq 0 Asymptoty v ekoeču se eomezeě blíží ke grafu fukce pokud ezávislá proměá roste ade všechy meze ebo klesá pod všechy meze Přímka y k q je asymptotou fukce f v právě když její parametry splňují k f ( ) lim q lim f( ) k 5 Prví difereciál Taylorův rozvoj V této kapitole si ukážeme jak je možo obecou dostatečě diferecovatelou fukci ahradit přibližě fukcí jedodušší - polyomem Teto postup je velmi užitečý v praktických aplikacích a je základem velmi rozšířeé metody přibližého řešeí obecých často velmi komplikovaých úloh tzv poruchového počtu Defiice Symbolem o ( ) ozačujeme libovolou fukci která splňuje podmíku lim o ( ) / 0 0 Jedá se tedy o takovou fukci která se blíží k ule pokud se ezávislá proměá blíží k ule rychleji ež Prví difereciál Nechť je fukce f ( ) defiováa a ějakém okolí bodu a a má v ěm prví derivaci Pak je možo a tomto okolí psát f ( ) f( a) f( a) a o( a) Podle této věty je možo obecou fukci f ahradit a ějakém malém okolí bodu a tj pro ta která se od a příliš eliší jedodušší fukcí lieárí Můžeme tedy pro taková psát s přibližou platostí ( ) ( ) ( ) f f a f a a Chyby kterých se při této přibližé áhradě dopustíme budou až druhého řádu tj úměré a 2 odhady velikosti těchto chyb je možo ajít v každé pokročilé učebici matematické aalýzy 2 Kokrétí Sado můžeme ahlédout že tato áhrada odpovídá v grafickém vyjádřeí áhradě grafu fukce f a okolí bodu a jeho tečou v tomto bodě 2 Viz apř Jarík [3]
- 20 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé Defiice df ( ; a) f ( a) a se azývá prvím difereciálem fukce f v bodě a Výraz o prvím difereciálu umožňuje ahradit ěkteré komplikovaé výrazy výrazy sice přibližými leč začě jedoduššími které se s úspěchem využívají jak při rychlých umerických výpočtech tak i v rámci poruchového počtu při zjedodušováí komplikovaých teoretických schémat Hovoříme pak vzhledem k řádu chyb kterých se těmito úpravami dopouštíme o přiblížeí prvího řádu ebo též o lieárím přiblížeí Uveďme si pro ilustraci ěkteré z přibližých výrazů pro počítáí s čísly blízkými ule : 2 2 si e cos tg l( ) Taylorův rozvoj (Taylorova) Nechť je fukce f defiováa a ějakém okolí bodu a a má v tomto bodě derivace až do řádu včetě Pak je možo a tomto okolí psát k f f a a o a ( k) ( ) ( ) k 0 k! ( ) Podle této věty je možo a ějakém malém okolí bodu a tj pro ta která se od a příliš eliší ahradit obecou fukci f jedodušším polyomem Můžeme tedy pro taková psát s přibližou platostí f ( ) f ( a) a k! ( k ) k k 0 Chyby kterých se při této přibližé áhradě dopustíme budou až řádu tj úměré a Hovoříme proto o přiblížeí -tého řádu Kokrétí odhady velikosti těchto chyb je možo ajít v každé pokročilejší učebici matematické aalýzy 2 Všiměte si že pro přechází Taylorova věta ve větu o prvím difereciálu Taylorova věta je tedy zobecěím věty o prvím difereciálu Defiice Pro výraz ( k T ( ; f a) / k! f ) ( a) a k 0 používáme obvykle ázev Taylorův poly- k om stupě fukce f v bodě a Výraz ( k d f( ; a) f ) ( a) a k se ěkdy též azý- k! vá difereciálem k-tého řádu fukce f v bodě a Další užitečé vzorce může čteář ajít v libovolé příručce vyšší matematiky viz apř Rektorys [5] 2 Viz apř již zmíěý Jarík [3]
Prví difereciál Taylorův rozvoj - 2 - Taylorovy rozvoje fukcí výzamých pro aplikace jsou shruty ve všech učebicích matematické aalýzy a souhrých příručkách a moografiích Zde uveďme je ěkteré z ich: k k ( ) o( ) k 0 k o( ) k 0 k o( ) kde a k 0 k ( )( k ) k k! k e o( ) k! k 0 k k l( ) ( ) o( ) k k 3! 5! 7! (2 )! 3 5 7 2 23 si ( ) o( ) 2! 4! 6! (2 )! 2 4 6 2 22 cos ( ) o( ) 6 L Hospitalovo pravidlo V této kapitole si ukážeme jak počítat limity které po bezprostředím použití věty o limitě podílu (viz kapitola ) přecházejí a eurčité výrazy 0 / 0 a / Zmííme se i o ěkterých dalších typech limit u ichž rověž eí přímá aplikace algebraických pravidel možá Nechť f ( ) a g( ) jsou fukce diferecovatelé a ějakém okolí bodu a (a může být vlastí i evlastí) které avíc splňují ebo lim f( ) lim g( ) 0 a a lim g ( ) a Eistuje-li lim f ( ) / g ( ) pak eistuje i lim f ( ) / g( ) a a a platí f ( ) f( ) lim lim a g( ) a g( ) Uvedeé limity mohou být i jedostraé Viz apř již zmíěá učebice Jaríkova [3] ebo příručka Rektorysova [5]
- 22 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé Předcházející věta dává ávod jak si poradit s eurčitými limitami typu 0 / 0 a v případě druhé podmíky zejméa s eurčitými limitami typu / Při jejím použití však musíme být obezřetí Vždy totiž musí být splěy uvedeé předpoklady Především obě fukce musí mít v zadaém bodě buď současě ulovou limitu ebo limita absolutí hodoty fukce ve jmeovateli musí být ekoečá Jiak větu použít elze! Větu je možo stručě formulovat tak že při splěí výše uvedeých podmíek je limita podílu rova limitě podílu derivací Všiměte si že ve vzorci se skutečě vyskytuje podíl derivací ikoliv derivace podílu! Často se stává že po aplikaci L Hospitalova pravidla dospějeme opět k eurčité limitě typu 0 / 0 a / Při jejím výpočtu můžeme uvedeého pravidla použít zovu a teto postup opakovat tak dlouho dokud ezískáme hledaý výsledek L Hospitalovo pravidlo můžeme použít i při výpočtu jedostraých limit typu 0 / 0 a / Kromě uvedeých typů eurčitých výrazů eistuje celá řada dalších limit k jejichž výpočtu elze větu o algebře limit (viz kapitola ) rověž bezprostředě použít V ásledujících příkladech si ěkteré takové limity uvedeme a ukážeme si jak je možo tyto limity počítat pomocí L Hospitalova pravidla Příklad Limity typu 0 Nechť lim f( ) 0 a lim g ( ) a a g( ) lim f( ) g( ) lim a a f ( ) limity typu 00 popř / L Hospitalovo pravidla Pak úprava f g převádí eurčitou limitu f g f ( ) lim ( ) ( ) lim popř a a g ( ) lim ( ) ( ) 0 a eurčitou a K výpočtu obou ových limit již ale můžeme použít Příklad 2 Limity typu Nechť lim f( ) a lim g ( ) Pak úprava lim g ( )l f ( ) g( ) a lim f( ) e převádí a a eurčitou limitu a eurčitou limitu 0 kterou počítáme podle příkladu a Příklad 3 Limity typu 0 0 Nechť lim f( ) lim g( ) 0 Pak úprava 2 lim g ( )l f ( ) g( ) a lim f( ) e převádí eurčitou a a a limitu 0 0 a eurčitou limitu 0 kterou počítáme podle příkladu Příklad 4 Limity typu 0 Nechť lim f( ) a lim g ( ) 0 Pak úprava 3 lim g ( )l f ( ) g( ) a lim f( ) e převádí a a eurčitou limitu 0 a eurčitou limitu 0 kterou počítáme podle příkladu Zde využíváme spojitosti fukce e 2 Zde využíváme spojitosti fukce e a faktu že lim l 0 3 Zde využíváme spojitosti fukce e a faktu že lim l a
L'Hospitalovo pravidlo - 23 - Příklad 5 Limity typu Limita typu se dá obvykle zapsat ve tvaru lim a f ( ) g ( ) kde lim f( ) lim g( ) 0 úprava a a tak že lim/ f( ) lim/ g( ) a a g( ) f( ) f ( ) g( ) f( ) g( ) Pak ovšem převádí výpočet eurčité limity typu a výpočet eurčité limity 0/0 a kterou můžeme aplikovat L Hospitalovo pravidlo přímo 7 Vektorové fukce Defiice Pod reálou vektorovou fukcí jedé reálé proměé (stručě - vektorová fukce) rozumíme zobrazeí f : kde je ějaké přirozeé číslo Vektorová fukce f je zadaá uspořádaou -ticí reálých fukcí f f2 f Těmto fukcím budeme říkat ve shodě s obvyklou termiologií složky vektorové fukce f V přírodovědých a techických aplikacích volíme obvykle 2 ebo 3 V těchto případech je grafem zadaé vektorové fukce křivka v roviě či v prostoru Typickým představitelem vektorové fukce může být apř trajektorie hmotého bodu v roviě či prostoru Defiice Nechť je vektorová fukce f defiováa a okolí bodu 0 Řekeme že je spojitá v tomto bodě právě když 2 0 0: D f platí 0 f( ) f ( 0) Vektorová fukce f je spojitá v bodě 0 právě když jsou v tomto bodě spojité všechy její složky Defiice Řekeme že vektorová fukce f má v bodě 0 a jehož redukovaém okolí je defiováa 3 vlastí limitu A právě když 0 0: D f platí 0 0 f( ) A Vektorové veličiy začíme v tomto tetu tučým tiskem 2 Symbolem a ozačujeme eukleidovskou ormu vektoru a 3 V samotém bodě 0 tedy být defiováa emusí 2 a k k a Viz též Apedi 4
- 24 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé Obdobým způsobem můžeme defiovat i limity jedostraé a vlastí limity v evlastích bodech Nevlastí limity ejsou ale pro vektorové fukce defiováy Vektorová fukce f f f2 f má v bodě 0 má v tomto bodě limitu každá její složka Navíc platí limitu A A A A 2 právě když lim f ( ) A k 0 k k Defiice Nechť je vektorová fukce f defiováa a okolí bodu 0 Pod prví derivací fukce f v bodě 0 rozumíme f( ) f( ) 0 f ( 0) lim 0 0 df Pro derivaci vektorové fukce f v bodě 0 budeme též používat ozačeí ( 0) d Vektorová fukce f má v bodě 0 prví derivaci právě když mají v tomto bodě prví derivaci všechy její složky Navíc platí f ( 0) f ( 0) f ( 0) Vektorové fukce můžeme tedy derivovat po složkách V kokrétích výpočtech můžeme proto využít všech pozatků které jsme získali pro reálé fukce jedé reálé proměé (algebra derivací pro vektorové fukce) Nechť f a g jsou vektorové fukce defiovaé a ějakém okolí bodu 0 Mají-li smysl pravé stray platí ásledující rovosti f g ( ) f( ) g ( ) 0 0 0 fg ( ) f ( ) g( ) f( ) g ( ) 0 0 0 0 0 Jsou-li avíc f a g trojrozměré vektorové fukce f g ( ) f( ) g( ) f( ) g ( ) 0 0 0 0 0 3 f : můžeme dále psát 2 Obdobě jako v případě reálých fukcí můžeme i pro fukce vektorové zavést pojem vyšších derivací Ty opět můžeme počítat po složkách Tečkou ozačujeme skalárí souči fg fg f2g2 fg fg f g f g f g f g f g f g 2 Symbolem ozačujeme vektorový souči 2 3 3 2 3 3 2 2
Kompleí fukce -25-8 Kompleí fukce Defiice Pod kompleí fukcí jedé reálé proměé rozumíme zobrazeí f : Kompleí fukce f je jedozačě defiováa svou reálou a imagiárí částí f f if2 Na kompleí 2 fukci je možo též pohlížet jako a vektorovou fukci : f f f f Spojitost limitu (ve vlastím i evlastím bodě oboustraou i jedostraou) i derivaci kompleí fukce jedé reálé proměé defiujeme bezezbytku stejě jako v případě fukcí reálých 2 Pouze tam kde se vyskytou kompleí čísla a kompleí fukčí hodoty musíme použít azačeých operací (sčítáí odečítáí ásobeí děleí či absolutí hodoty) tak jak jsou defiováy a možiě všech kompleích čísel 2 Kompleí fukce f imagiárí část je spojitá v bodě a právě když je v tomto bodě spojitá její reálá i Kompleí fukce f f if2 má v bodě a limitu A A ia2 právě když platí lim f ( ) A lim f ( ) A 2 2 a a Kompleí fukce f f if2 má v bodě a prví derivaci právě když má v tomto bodě prví derivaci její reálá i imagiárí část Navíc platí f ( a) f ( a) if 2 ( a) Derivace kompleí fukce jedé reálé proměé je tedy jedozačě dáa derivacemi její reálé a imagiárí části V kokrétích výpočtech můžeme proto bezezbytku využít všech pozatků které jsme získali pro reálé fukce jedé reálé proměé Obdobě jako v případě reálých fukcí můžeme i pro fukce kompleí zavést pojem vyšších derivací Jistě epřekvapí že platí ( ) ( ) ( ) f ( a) f ( a) if ( a) 2 Je vlastí! Nevlastí limity ejsou pro kompleí fukce defiováy 2 Pokuste se sestavit všechy ezbyté defiice sami