INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci využit, to je souvislost s křivkovým integrálem jeho nezávislost n cestě. Pokud nebude uvedeno jink, uzvřená křivk je orientován kldně. Nejdříve je nutné vysvětlit, jk bude vypdt odpovídjící křivkový integrál. Necht f je funkce n otevřené množině G. Pole jí odpovídjící je komplexní pole f, if). Potřebuje se vyjádřit křivkový integrál 2.druhu tohoto pole po křivce v G vyjádřené prmetricky funkcí Φ =, ψ) : [, b] G: f dx + if dy) = = f x, y) + if 2 x, y) ) dx + if x, y) f 2 x, y) ) dy f x, y) dx f 2 x, y) dy + i f 2 x, y) dx + f x, y) dy b f t), ψt)) t) f 2 t), ψt))ψ t) ) dt + = b + i f2 t), ψt)) t) + f t), ψt))ψ t) ) dt b = f t), ψt)) + if 2 t), ψt)) ) t) dt + b + f t), ψt)) + if 2 t), ψt)) ) iψ t) dt b b = ft) + iψt)) t) + iψ t)) dt = fφt))φ t) dt. DEFINIE. Integrály v předchozí rovnosti se znčí fz) dz nzývjí se integrál funkce f po křivce nebo, pokud křivk není podsttná, křivkový integrál funkce f. Tedy b fz) dz = fφt))φ t) dt. Připomeňte si, že křivkový integrál prvního druhu funkce f po téže křivce je roven b f ds = ft), ψt)) 2 t) + ψ 2 t) dt = Smotný výpočet křivkového integrálu je podle vzorečku typu kuchřk sndný. b fz) dz = fφt))φ t) dt b fφt)) Φ t) dt. Klsická záležitost bude nzávislost tohoto integrálu n zvolené prmetrizci dné křivky.
Protože definice fz) dz je vlstně známý křivkový integrál 2.druhu, je sndné přepst pro tento speciální přípd jeho vlstnosti: VĚTA. Necht f, g jsou funkce definovné n příslušných orientovných křivkách,, 2. Následující 3 rovnosti pltí, jkmile mjí smysl prvé strny. Čtvrtá vlstnost pltí, jkmile má smysl levá strn.. αfz) + βgz)) dz = α fz) dz + β gz) dz; 2. + fz) dz = 2 fz) dz + fz) dz; 2 3. fz) dz = fz) dz; 4. fz) dz fz) ds L) mx z fz), kde L) je délk křivky. Poznámky Příkldy Otázky PRIMITIVNÍ FUNKE Bude potřeb z teorie pole převést ještě jeden pojem, to pojem potenciální funkce. Dostne se pojem primitivní funkce, který je sice dosttečně jsný, le je lépe ho definovt i pro komplexní obor. DEFINIE. Funkce F se nzývá primitivní k funkci f n otevřené množině G, jestliže pro kždé z G pltí F z) = fz). VĚTA. Necht n oblsti U má funkce f derivci f. Pk pltí f z) dz = fβ) fα) pro libovolnou křivku jdoucí z bodu α do bodu β. Nyní je již možné uvést druhou část chrkterizce vektorového pole. Protože vnitřky uzvřených křivek ležících v G musí tké ptřit do G, je nutné předpokládt, že G je jednoduše souvislá. VĚTA. Následující podmínky jsou ekvivlentní pro funkci f mjící spojité prciální derivce.řádu svých složek n jednoduše souvislé oblsti G:. f je holomorfní n G; 2. integrály z f po křivkách ležících v G nezávisí n cestě tj. závisí jen n počátečním koncovém bodě křivky); 3. kždý integrál z f po jednoduché uzvřené křivce v G je nulový; 4. f má n G primitivní funkci F. Poznámky 2 Otázky 2 2 AUHYOVA VĚTA Předchozí větu přeformulujeme. Je to velmi důležité tvrzení proto bude zformulováno znovu z obecných předpokldů: 2
VĚTA. uchy) Necht f je holomorfní n jednoduché uzvřené křivce n jejím vnitřku. Potom je fz) dz = 0. Poznmenejme jk již bylo zmíněno v Poznámkách 2), je možné dokázt Greenovu větu bez předpokldu spojitosti použitých prciálních derivcí, nebo je možné dokázt přímo, že v implikci ) 3) není tto spojitost potřeb. Použije-li se obecná Greenov vět i pro vícenásobně souvislé oblsti, dostne se následující tvrzení: VĚTA. uchy) Necht,..., n jsou jednoduché uzvřené kldně orientovné křivky, přičemž,..., n leží uvnitř vnitřky křivek,..., n jsou nvzájem disjunktní. Necht f je holomorfní n jednoduché uzvřené křivce n jejím vnitřku kromě vnitřků křivek,..., n. Potom je n fz) dz = fz) dz. i= i uchyov vět se dostne pro n = 0. Tvrzení pro n = je velmi důležité, je vhodné ho zformulovt jko důsledek. DŮSLEDEK. Jestliže jednoduchá uzvřená křivk obshuje ve svém vnitřku jednoduchou uzvřenou křivku D obě jsou kldně orientovné, pk fz) dz = D fz) dz pro kždou funkci f holomorfní n obou křivkách mezi nimi. Tohoto důsledku se používá pro nhrzení komplikovné křivky jednodušší křivkou D, npř. kružnicí. Následující důležité tvrzení tkovéto náhrdy v důkzu využívá. Je to tzv. uchyův vzorec, z kterého vyplývá, že hodnoty holomorfní funkce uvnitř křivky jsou určeny hodnotmi n křivce. VĚTA. uchyův vzorec) Necht je jednoduchá uzvřená křivk f je holomorfní uvnitř n. Potom pro kždý bod w ležící ve vnitřku pltí fz) dz = fw). 2πi z w Vzoreček fz) dz = fw) 2πi z w počítá hodnotu funkce ve vnitřním bodě integrcí přes obvod množiny. Z pohledu diferenciálních rovnic zde uchyovy Riemnnovy podmínky) je to v pořádku. Řešení existuje je jednoznčné. Poznámky 3 Příkldy 3 Otázky 3 3 DŮSLEDKY AUHYOVA VZORE uchyův vzorec má mnoho důsledků. Nejdříve je vhodné si uvědomit, že lze používt větu z kpitoly o integrálech s prmetrem, která uvádí podmínky pro záměnu derivce integrálu: LEMMA. Necht fw, z) je komplexní funkce dvou komplexních proměnných, která je je spojitá ve druhé proměnné n jednoduché uzvřené křivce, holomorfní v první proměnné v oblsti G má v G spojité prciální derivce podle složek první proměnné. Potom funkce F w) = fw, z) dz je holomorfní v G pltí F w) = f w w, z) dz. Nyní slíbené důsledky uchyov vzorce. DŮSLEDEK. 3
. Holomorfní funkce v oblsti G má v G derivce všech řádů, pro které pltí vzorec f n) w) = n! fz) dz, 2πi z w) n+ kde je libovolná jednoduchá uzvřená křivk ležící i s vnitřkem v G bod w leží ve vnitřku. 2. Je-li f holomorfní v kruhu z w r, pk f n) w) n! rn mx{ fz); z w = r}. 3. Liouville) Kždá omezená celistvá funkce je konstntní. 4. Je-li nekonstntní funkce f holomorfní n uvnitř jednoduché uzvřené křivky, pk pro kždý bod w z vnitřku je fw) < mx{ fz) ; z }. Důsledkem předchozího prvního tvrzení je jednk fkt, že holomorfní funkce má spojité prciální derivce svých složek všech řádů), že hrmonické funkce mjí derivce všech řádů, že funkce mjící primitivní funkci je holomorfní. Tto poslední vlstnost dává již dříve slibovnou Morerovu větu bez předpokldu spojitosti prciálních derivcí): VĚTA. Morer) Necht c fz) dz = 0 pro kždou jednoduchou uzvřenou křivku ležící i s vnitřkem v otevřené množině G. Pk je f holomorfní. Liouvillov vět má jko jednoduchý důsledek zákldní větu lgebry: VĚTA. Kždý polynom P stupně spoň má nulový bod, tj. existuje z tk, že P z) = 0. Poznámky 4 Příkldy 4 Otázky 4 4 5 6 STANDARDY z kpitoly INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL DEFINIE. Zápisem b fz) dz = fφt))φ t) dt. definujeme integrál funkce f po křivce prmetrizovné Φ nebo, pokud křivk není podsttná, nzýváme jej křivkový integrál funkce f. VĚTA. Necht f, g jsou funkce definovné n příslušných orientovných křivkách,, 2. Následující 3 rovnosti pltí, jkmile mjí smysl prvé strny. Čtvrtá vlstnost pltí, jkmile má smysl levá strn.. αfz) + βgz)) dz = α fz) dz + β gz) dz; 2. + fz) dz = 2 fz) dz + fz) dz; 2 3. fz) dz = fz) dz; 4
4. fz) dz fz) ds L) mx z fz), kde L) je délk křivky. PRIMITIVNÍ FUNKE DEFINIE. Funkce F se nzývá primitivní k funkci f n otevřené množině G, jestliže pro kždé z G pltí F z) = fz). VĚTA. Necht n oblsti U má funkce f derivci f. Pk pltí f z) dz = fβ) fα) pro libovolnou křivku jdoucí z bodu α do bodu β. VĚTA. Následující podmínky jsou ekvivlentní pro funkci f mjící spojité prciální derivce.řádu svých složek n jednoduše souvislé oblsti G:. f je holomorfní n G; 2. integrály z f po křivkách ležících v G nezávisí n cestě tj. závisí jen n počátečním koncovém bodě křivky); 3. kždý integrál z f po jednoduché uzvřené křivce v G je nulový; 4. f má n G primitivní funkci F. AUHYOVA VĚTA VĚTA. uchy) Necht f je holomorfní n jednoduché uzvřené křivce n jejím vnitřku. Potom je fz) dz = 0. VĚTA. uchy) Necht,..., n jsou jednoduché uzvřené kldně orientovné křivky, přičemž,..., n leží uvnitř vnitřky křivek,..., n jsou nvzájem disjunktní. Necht f je holomorfní n jednoduché uzvřené křivce n jejím vnitřku kromě vnitřků křivek,..., n. Potom je n fz) dz = fz) dz. i= i DŮSLEDEK. Jestliže jednoduchá uzvřená křivk obshuje ve svém vnitřku jednoduchou uzvřenou křivku D obě jsou kldně orientovné, pk fz) dz = D fz) dz pro kždou funkci f holomorfní n obou křivkách mezi nimi. Tohoto důsledku se používá pro nhrzení komplikovné křivky jednodušší křivkou D, npř. kružnicí. VĚTA. uchyův vzorec) Necht je jednoduchá uzvřená křivk f je holomorfní uvnitř n. Potom pro kždý bod w ležící ve vnitřku pltí fz) dz = fw). 2πi z w Vzoreček fz) 2πi z w dz = fw) 5
počítá hodnotu funkce ve vnitřním bodě integrcí přes obvod množiny. DŮSLEDKY AUHYOVA VZORE LEMMA. Necht fw, z) je komplexní funkce dvou komplexních proměnných, která je je spojitá ve druhé proměnné n jednoduché uzvřené křivce, holomorfní v první proměnné v oblsti G má v G spojité prciální derivce podle složek první proměnné. Potom funkce F w) = fw, z) dz je holomorfní v G pltí F w) = f w w, z) dz. Důsledky uchyov vzorce: DŮSLEDEK.. Holomorfní funkce v oblsti G má v G derivce všech řádů, pro které pltí vzorec f n) w) = n! fz) dz, 2πi z w) n+ kde je libovolná jednoduchá uzvřená křivk ležící i s vnitřkem v G bod w leží ve vnitřku. 2. Je-li f holomorfní v kruhu z w r, pk f n) w) n! rn mx{ fz); z w = r}. 3. Liouville) Kždá omezená celistvá funkce je konstntní. 4. Je-li nekonstntní funkce f holomorfní n uvnitř jednoduché uzvřené křivky, pk pro kždý bod w z vnitřku je fw) < mx{ fz) ; z }. Důsledkem předchozího prvního tvrzení je jednk fkt, že holomorfní funkce má spojité prciální derivce svých složek všech řádů), že hrmonické funkce mjí derivce všech řádů, že funkce mjící primitivní funkci je holomorfní. Tto poslední vlstnost dává již dříve slibovnou Morerovu větu bez předpokldu spojitosti prciálních derivcí): VĚTA. Morer) Necht c fz) dz = 0 pro kždou jednoduchou uzvřenou křivku ležící i s vnitřkem v otevřené množině G. Pk je f holomorfní. Liouvillov vět má jko jednoduchý důsledek zákldní větu lgebry: VĚTA. Kždý polynom P stupně spoň má nulový bod, tj. existuje z tk, že P z) = 0. K trdičnímu výkldu uchyovy věty ptří důkz uchyovy věty pro trojúhelník: VĚTA. Necht je funkce f holomorfní n otevřené množině U křivk popisuje obvod trojúhelník T U. Pk fz) dz = 0. Existuje jeden pěkný trikový důkz principu mxim modulu: Při výpočtu integrálu z dz pro křivku neprocházející počátkem můžeme křivku lokálně nhrzovt částmi jednotkové kružnice díky předchozí větě. 6
elkem můžeme přetvořit křivku n cestu procházející pouze jednotkovou kružnicí. Tkto integrci převedeme n známý integrál přes jednotkovou kružnici, který je roven 2πi. Tedy vidíme, že výsledek bude roven n-krát 2πi, kde n udává počet oběhů křivky okolo počátku proti směru hodinových ručiček). Obecně počítáme tento počet oběhů křivky cesty, cyklu) okolo dného bodu z 0 jko integrál dz 2πi z z 0 tomuto číslu říkáme index bodu z 0 ke křivce, znčíme indz 0, ). Index je spojitá, celočíselná užitečná funkce. Index vzroste o jedničku, pokud přeskočíme přes křivku zprv dolev. Vlstnost o nbývání mxim bsolutní hodnoty holomorfní funkce f n hrnici je možné použít i n nbývání minim stčí vzít /f. Je-li nekonstntní funkce f holomorfní n uvnitř jednoduché uzvřené křivky nenbývá tm nikde hodnoty 0, pk pro kždý bod w z vnitřku je fw) > min{ fz) ; z }. Příkld. Spočtěte z w)n dz pro n Z, kde je kružnice se středem v bodě w. Řešení. Popis kružnice je w + re it, t [0, 2π], výsledek je 0 pro n, 2πi pro n =. Příkld. Spočtěte pomocí obecné uchyovy věty integrál dz zz 2 + 6), kde se skládá ze dvou kružnic: z = orientovné kldně z = 3 orientovné záporně. Příkld. Pomocí uchyovy věty spočtěte z2 ) dz přes kružnici o středu 0 poloměru 2. Řešení. Zlomek z 2 ) se rozloží: z 2 = 2 z ) z + podle obecné uchyovy věty nyní stčí spočítt integrály zlomků /z ) /z +) přes kružnice z = z + = vyjde 2πi) odečíst je. Příkld. Pomocí derivce uchyov vzorce vypočtěte integrály jsou jednoduché uzvřené křivky obshující 0 ve svém vnitřku): cosh z cos z e z2 z 4 dz, z 3 dz, z 2 dz. Příkld. Funkce /z je holomorfní n \ {0}. Ukžte, že nemá n svém definičním oboru primitivní funkci. Příkld. Ukžte, že dvě primitivní funkce k f n oblsti G se liší o konstntu. Příkld. Spočítejte křivkový integrál kde je kldně orientovný obvod jednotkového kruhu z dz, {z : z < }. Řešení. Budeme integrovt po křivce t) = e it pro t [0, 2π]. 2π z dz = 2π 0 e it ieit dt = i dt = 2πi. 0 7
Příkld. Vypočítejte integrál ze z dz, ψ podél křivky ψt) = t + it 3, 0 t, orientovné ve směru vzrůstu prmetru t. Řešení. Můžeme sice postupovt jko dříve, tj. doszením prmetrizce do integrndu, le jednodušší bude použít větu o integrci primitivní funkce. Funkce ze z je holomorfní n, tkže k ní existuje primitivní funkce F. Tu nvíc sndno spočítáme per-prtes. Tedy F z) = z )e z, hledný integrál je roven ze z dz = F ψ)) F ψ0)) = F + i) F 0) ψ = + ie i+ = e sin + ie cos. Příkld. Spočítejte integrál e 2z z + ) 4 dz, kde = {z : z = 3}. Řešení. Oznčme fz) = e 2z, pk podle uchyov integrálního vzorce máme f n ) = n! fz) dz. 2πi z + ) n+ Pro n = 3 je f z) = 8e 2z, podle uvedeného vzorce dostneme vzth 8e 2 = 3! 2πi f ) = 8e 2 e 2z z + ) 4 dz. Odtud již sndno zjistíme, že zdný integrál má hodnotu e 2z z + ) 4 dz = i8 3 πe 2. Příkld. Spočítejte integrál 2xy x 2) dx + x + y 2) dy, kde je uzvřená pozitivně orientovná křivk ohrničující oblst vymezenou funkcemi y = x 2, x = y 2. Řešení. Zbývejme se nejdříve prvním přípdem, tj. y = x 2. Integrál prmetrizujeme: 0 2x)x 2 ) x 2) dx + x + x 2 ) 2) dx 2 ) = Podobně tomu bude pro x = y 2 : 0 2y 2 )y) y 2 ) 2) dy 2 ) + y 2 + y 2) 0 dy = elkový výsledek tedy bude 2xy x 2) dx + x + y 2) dy = 7 6 7 5 = 30. 0 2x 3 + x 2 + 2x 5) dx = 7 6. 4y 4 2y 5 + 2y 2) dy = 7 5. 8