Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava

Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Matematika I vyučovaný Katedrou matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava. Slouží k práci na cvičeních, případně k domácímu procvičování. Pěkné počítání přeje kolektiv autorek. V Ostravě dne 8. října 2012.

Obsah Opakování Rovnice a nerovnice.............. 1 Rovnice a nerovnice.............. 2 Rovnice a nerovnice.............. 3 Rovnice a nerovnice.............. 4 Rovnice a nerovnice.............. 5 Rovnice a nerovnice.............. 6 Funkce jedné proměnné Definiční obory................ 7 Definiční obory................ 8 Definiční obory................ 9 Funkce..................... 10 Funkce..................... 11 Funkce..................... 12 Funkce..................... 13 Funkce..................... 14 Funkce..................... 15 Funkce..................... 16 Funkce..................... 17 Graf lineární funkce - doplnit......... 18 Graf kvadratické funkce - doplnit....... 19 Graf lineární lomené funkce - doplnit..... 20 Graf exponenciální funkce - doplnit..... 21 Graf logaritmické funkce - doplnit...... 22 Graf goniometrické funkce -sinus - doplnit.. 23 Graf goniometrické funkce -kosinus - doplnit 24 Graf goniometrické funkce - tangens a kotangens - doplnit.............. 25 Inverzní funkce................ 26 Inverzní funkce................ 27 Inverzní funkce................ 28 Diferenciální počet Limity..................... 29 Limity..................... 30 Limity..................... 31 Limity..................... 32 Derivace.................... 33 Derivace.................... 34 Derivace.................... 35 Derivace.................... 36 Derivace.................... 37 Derivace.................... 38 Derivace.................... 39 Druhá derivace................ 40 Derivace - logaritmické derivování...... 41 Derivace implicitně zadané funkce...... 42 Druhá derivace implicitně zadané funkce... 43 Derivace parametricky zadané funkce.... 44 Druhá derivace parametricky zadané funkce. 45 Derivace.................... 46 Druhá derivace................ 47 Třetí derivace................. 48 Tečna ke grafu funkce............. 49 Tečna ke grafu funkce............. 50 Tečna ke grafu funkce............. 51 Tečna ke grafu funkce............. 52 Tečna ke grafu parametricky zadané funkce. 53 l Hospitalovo pravidlo............ 54 l Hospitalovo pravidlo............ 55 Taylorův polynom............... 56 Maclaurinův polynom............. 57 Monotonnost a lokální extrémy funkce.... 58 Monotonnost a lokální extrémy funkce.... 59 Monotonnost a lokální extrémy funkce.... 60 Lokální extrémy................ 61 Konvexnost, konkávnost, inflexní body... 62 Inflexní body................. 63 Asymptoty................... 64 Asymptoty................... 65 Lineární algebra Determinanty................. 66 Determinanty................. 67 Determinanty................. 68 Determinanty................. 69 Determinanty................. 70 Determinanty................. 71 Determinanty................. 72 Matice..................... 73 Matice..................... 74 Matice..................... 75 Matice..................... 76 Matice..................... 77 Matice..................... 78 Matice..................... 79 Matice..................... 80 Matice..................... 81 Matice..................... 82 Matice..................... 83 Matice..................... 84 Matice..................... 85 Matice..................... 86 Matice..................... 87 Matice..................... 88 Matice..................... 89 Matice..................... 90 Matice..................... 91 Matice..................... 92 Soustavy lineárních rovnic.......... 93 Soustavy lineárních rovnic.......... 94 Soustavy lineárních rovnic.......... 95 Soustavy lineárních rovnic.......... 96 Soustavy lineárních rovnic.......... 97 Soustavy lineárních rovnic.......... 98 Soustavy homogenních lineárních rovnic... 99 Soustavy homogenních lineárních rovnic... 100 Analytická geometrie Skalární součin vektorů............ 101

Aplikace skalárního součinu......... 102 Vektorový součin............... 103 Aplikace vektorového součinu........ 104 Smíšený součin................ 105 Aplikace smíšeného součinu......... 106 Rovnice roviny................ 107 Rovnice roviny................ 108 Rovnice přímky................ 109 Rovnice přímky................ 110 Vzdálenost útvarů v E 3............ 111 Vzdálenost útvarů v E 3............ 112 Odchylky útvarů v E 3............. 113 Vzájemná poloha útvarů v E 3........ 114 Vzájemná poloha útvarů v E 3........ 115 Vzájemná poloha útvarů v E 3........ 116 Dodatky Vlastnosti funkce: sudá a lichá........ 117 Vlastnosti funkce: sudá a lichá........ 118 Složená funkce................ 119 Průběh funkce................. 120

1 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: Zuzana Morávková, zuzana.moravkova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava a) x 2 x 2 = 0 b) x 2 x 2 < 0 c) 2x 2 + 9x 5 0 d) x 2 + 3x > 0 Kořeny kvadratické rovnice x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a

Zuzana Morávková, zuzana.moravkova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 2 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) x 2 = 3 b) x 2 > 3 c) x(x 2) > 0 d) (x + 1)(x 2) 0 e) x(3 x) 5 f) x 2 4(x + 1)

3 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) x + 1 3 x Zuzana Morávková, zuzana.moravkova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 2x 1 < 0 b) x + 3 > 1 c) 1 x 4 > 0 d) x + 1 3 2 x < 0 e) 1 + x 0 f) 2 x 1 3 x + 7 0 2

Zuzana Morávková, zuzana.moravkova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 4 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) 5x 8 5 x < 2 b) (x + 1)(5 x) x > 0 c) x + 1 2x + 3 < 3 x 2x + 3 d) 3 x x + 2 < 1 x + 1

Zuzana Morávková, zuzana.moravkova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 5 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) x = 5 b) x + 2 = 0 c) x 3 < 0 d) 2x > 3 e) 3 x = 7 f) 3 x < 7

Zuzana Morávková, zuzana.moravkova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 6 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) x 1 = 5 b) x 1 > 5 c) 4 2x = 6 d) 4 2x < 6

7 - Definiční obory Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Určete podmínky a najděte definiční obor funkce. a) y = ln 2 + x x b) y = ln x(1 2x) + 4 3x x 2 ( c) y = ln 2 + 2x + 6 ) 3 x d) y = 1 (4 x) ln (x 2) Zlomek jmenovatel je různý od nuly Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π +k π 2 Kotangens argument je různý od k π Arkussinus, arkuskosinus argument je z intervalu 1, 1

8 - Definiční obory Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Určete podmínky a najděte definiční obor funkce. a) y = tan ( ) 4x π 3 b) y = x sin 2x c) y = cot 2x + π 5 d) y = 1 1 cos 2x Zlomek jmenovatel je různý od nuly Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π +k π 2 Kotangens argument je různý od k π Arkussinus, arkuskosinus argument je z intervalu 1, 1

9 - Definiční obory Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Určete podmínky a najděte definiční obor funkce. ( ) 2x + 6 a) y = arcsin 3 ( b) y = arcsin 2 x ) 2x + 3 ( ) 2x 1 c) y = arccos 3x ( d) y = arccos 1 1 ) x Zlomek jmenovatel je různý od nuly Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π +k π 2 Kotangens argument je různý od k π Arkussinus, arkuskosinus argument je z intervalu 1, 1

10 - Funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný předpis. Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava a) y = 2 b) y = 2x + 3 c) y = 2x 3 d) y = 1x + 1 e) y = 1 x + 1 f) x = 2.5 2 2 Doplňte definiční obor a obor hodnot, zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá, najděte intervaly, kde je funkce rostoucí a kde klesá, je omezená, jaké má extrémy. 1 2 3 4 5 6

Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 11 - Funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = x 2 + 1 b) y = x 2 1 c) y = 4 x 2 d) y = (x 2) 2 e) y = 1 (6 x 2 x2 ) f) y = 6 x x 2 Doplňte definiční obor a obor hodnot, zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá, najděte intervaly, kde je funkce rostoucí a kde klesá, je omezená, jaké má extrémy. 1 2 3 4 5 6

Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 12 - Funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = 1 b) y = 1 c) y = 2 d) y = 3 e) y = 2x+1 x x+1 x x 1 x f) y = 1 2x x 2 Doplňte definiční obor a obor hodnot, zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá, najděte intervaly, kde je funkce rostoucí a kde klesá, je omezená, jaké má extrémy. 1 2 3 4 5 6

13 - Funkce Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = 2 x b) y = 2 x c) y = 2 x + 1 d) y = 2 (x+1) e) y = ( ) 1 x 2 f) y = 2 + ( ) 1 (x 1) 2 Doplňte definiční obor a obor hodnot, zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá, najděte intervaly, kde je funkce rostoucí a kde klesá, je omezená, jaké má extrémy. 1 2 3 4 5 6

Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 14 - Funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = log 3 x b) y = log 1/3 x c) y = log 3 (x 2) d) y = 2 log 1/3 x e) y = 2 + log 3 x f) y = log 3 (x + 2) Doplňte definiční obor a obor hodnot, zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá, najděte intervaly, kde je funkce rostoucí a kde klesá, je omezená, jaké má extrémy. 1 2 3 4 5 6

Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 15 - Funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = sin x b) y = sin 2x c) y = sin ( ) x π d) y = 2 sin x e) y = 2 + sin x f) y = sin ( ) x + π 3 4 Doplňte definiční obor a obor hodnot, zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá, najděte intervaly, kde je funkce rostoucí a kde klesá, je omezená, jaké má extrémy. 1 2 3 4 5 6

Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 16 - Funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = cos x b) y = cos x c) y = 1 cos x d) y = cos ( ) x π e) y = cos ( ) x + π f) y = 1 cos x 3 3 4 6 Doplňte definiční obor a obor hodnot, zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá, najděte intervaly, kde je funkce rostoucí a kde klesá, je omezená, jaké má extrémy. 1 2 3 4 5 1

Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 17 - Funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = tan x b) y = tan ( ) x + π 6 c) y = tan x d) y = cot x e) y = cot 2x f) y = cot x Doplňte definiční obor a obor hodnot, zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá, najděte intervaly, kde je funkce rostoucí a kde klesá, je omezená, jaké má extrémy. 1 2 3 4 5 6

18 - Graf lineární funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava a) y = 2x 4 b) y = 4 x c) y = 1 3 x + 2 d) y = x 1 2 e) y = 1 3x 2 f) y = 4 Doplňte definiční obor a obor hodnot, zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá, najděte intervaly, kde je funkce rostoucí a kde klesá, je omezená, jaké má extrémy.

Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 19 - Graf kvadratické funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = x 2 + 2x b) y = 2x x 2 c) y = x 2 + 2x + 1 d) y = x 2 2x + 2 e) y = 3 3x 2 f) y = x 2 4x + 3 Doplňte definiční obor a obor hodnot, zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá, najděte intervaly, kde je funkce rostoucí a kde klesá, je omezená, jaké má extrémy.

20 - Graf lineární lomené funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = 1 x b) y = 2 x 1 Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava c) y = x x 1 d) y = 2x 1 x e) y = 1 1 x f) y = 1 x 2 x Doplňte definiční obor a obor hodnot, zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá, najděte intervaly, kde je funkce rostoucí a kde klesá, je omezená, jaké má extrémy.

Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 21 - Graf exponenciální funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = 3 x b) y = 1 + 3 x c) y = 3 x+1 d) y = 1 3 x e) y = 3 x f) y = 3 3 x Doplňte definiční obor a obor hodnot, zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá, najděte intervaly, kde je funkce rostoucí a kde klesá, je omezená, jaké má extrémy.

Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 22 - Graf logaritmické funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = ln x b) y = ln (2x) c) y = ln (2 + x) d) y = 2 + ln x e) y = 2 ln x f) y = 2 ln x Doplňte definiční obor a obor hodnot, zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá, najděte intervaly, kde je funkce rostoucí a kde klesá, je omezená, jaké má extrémy.

23 - Graf goniometrické funkce -sinus - doplnit Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = sin x b) y = sin ( ) x π c) y = sin (4x) d) y = sin x + 4 e) y = sin ( π x) f) y = 4 sin x 4 4 Doplňte definiční obor a obor hodnot, zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá, najděte intervaly, kde je funkce rostoucí a kde klesá, je omezená, jaké má extrémy.

24 - Graf goniometrické funkce -kosinus - doplnit Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. ( x ) a) y = cos x b) y = cos c) y = 1 2 2 cos x d) y = 2 cos x e) y = cos ( ) x π 3 f) y = cos ( x + π 3 ) Doplňte definiční obor a obor hodnot, zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá, najděte intervaly, kde je funkce rostoucí a kde klesá, je omezená, jaké má extrémy.

Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 25 - Graf goniometrické funkce - tangens a kotangens - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. ( x ) a) y = tan x b) y = cot x c) y = tan 2 ( x ) d) y = cot 2 e) y = tan ( x + π 4 ) f) y = cot ( x + π 4 ) Doplňte definiční obor a obor hodnot, zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá, najděte intervaly, kde je funkce rostoucí a kde klesá, je omezená, jaké má extrémy.

26 - Inverzní funkce Zuzana Morávková, zuzana.moravkova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Určete inverzní funkci, její definiční obor a obor hodnot. Zakreslete graf funkce a funkce inverzní. a) f : y = 2 x + 1 b) f : y = 3 4 x 2 Funkce inverzní existuje pro funkce prosté. Pro definiční obor a obor hodnot platí: D f 1 = H f H f 1 = D f Dále platí: f ( f 1 (x) ) = x f 1 (f(x)) = x

27 - Inverzní funkce Zuzana Morávková, zuzana.moravkova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Určete inverzní funkci, její definiční obor a obor hodnot. Zakreslete graf funkce a funkce inverzní. a) f : y = 4 + ln x 2 b) f : y = arctan(x 2) Funkce inverzní existuje pro funkce prosté. Pro definiční obor a obor hodnot platí: D f 1 = H f H f 1 = D f Dále platí: f ( f 1 (x) ) = x f 1 (f(x)) = x

28 - Inverzní funkce Zuzana Morávková, zuzana.moravkova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Určete inverzní funkci, její definiční obor a obor hodnot. Zakreslete graf funkce a funkce inverzní. a) f : y = 1 sin ( ) x π x 1π, 5π b) f : y = 2 3x+1 2 3 6 6 Funkce inverzní existuje pro funkce prosté. Pro definiční obor a obor hodnot platí: D f 1 = H f H f 1 = D f Dále platí: f ( f 1 (x) ) = x f 1 (f(x)) = x

29 - Limity Zadání Vypočítejte limitu a) lim x 2 x 2 + x 6 x 2 x 2 Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava x 2 9 b) lim x 3 x 2 + 5x + 6 x + 4 3 c) lim x 5 x 2 3x 10 x + 3 2 d) lim x 1 x + 1 2 Nejdříve dosad te hodnotu x do funkčního předpisu. O jaký typ limity se jedná? Typ 0 0 Kvadratický trojčlen rozložte pomocí kořenů kvadratické rovnice. Zlomek s odmocnou rozšiřte pomocí vzorce (a b) (a + b).

30 - Limity Zadání Vypočítejte limitu x a) lim x 2 x 2 b) lim x 0 x 2 9 x Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava c) lim x 5 x + 1 x 2 25 x + 1 d) lim x 5 x 2 25 Nejdříve dosad te hodnotu x do funkčního předpisu. O jaký typ limity se jedná? Typ k 0 Vyřešte jednostrannou limitu.

31 - Limity Zadání Vypočítejte limitu a) lim x 0 sin 3x x Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava b) lim x 0 tan 2x sin 4x 3x c) lim sin 2 x 5 x 0 x 2 sin x tan 3x d) lim x 0 sin 4x + tan 5x Nejdříve dosad te hodnotu x do funkčního předpisu. O jaký typ limity se jedná? Typ 0 0 Použijeme vzorec sin x lim x 0 x = 1 nebo tan x lim x 0 x = 1. Jestliže vám část vzorce v zadání chybí, rozšířte zlomek výrazem x x.

32 - Limity Zadání Vypočítejte limitu a) lim x 4x 3 + 2x 2 x + 1 5x 3 6x 2 + 3x + 8 Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava b) lim x 2x 4 10x 2 + 7 3x 3 2x + 5 c) lim x ( 2x + 3 2x ) x+1 ( ) 2x 2 + x d) lim x 4 + x Nejdříve dosad te hodnotu x do funkčního předpisu. O jaký typ limity se jedná? Typ Typ 1 V prvním případě vytkneme z čitatele i ze jmenovatele x v nejvyšší mocnině, zlomky k jdou k nule. V druhém případě upravte zlomek na tvar ( 1 + k x) a použijte vzorec ( lim 1 + 1 x = e. x x)

33 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci explicitní funkce a výsledek upravte: a) y = 2x 5 x3 3 + x 2 b) y = 1 x2 x + x 6 ln 2 + 3 ln x Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava c) y = x 5 1 4 x + x 2 x x 3 x x 3 [x n ] = n x n 1 [c] = 0 x m x n = x m+n (x m ) n = x m n x m x = n xm n 1 x n = x n n xm = x m n

34 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci explicitní funkce a výsledek upravte: a) y = (x 5 2x 3 ) (x 2 1) b) y = x sin x + cos x Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava c) y = x 2 + 1 + x2 2 arctan x [f (x) g (x)] = f (x) g (x) + f (x) g (x) [x n ] = n x n 1 [c] = 0 [sin x] = cos x [cos x] = sin x [arctan x] = 1 1 + x 2

35 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci explicitní funkce a výsledek upravte: a) y = x + 3 x 2 + 1 b) y = x2 2 x Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava c) y = x ln x 1 + ln x [ ] fx = f (x) g (x) f (x) g (x) gx (g (x)) 2 [f (x) g (x)] = f (x) g (x) + f (x) g (x) [x n ] = n x n 1 [c] = 0 [a x ] = a x ln a [ln x] = 1 x

36 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci explicitní funkce a výsledek upravte: a) y = arctan x 2 Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava b) y = 2 cos 4 (4x) c) y = ln x 2 + 1 [f (g(x))] = f (g(x)) g (x) [ln (g(x))] = 1 g(x) g (x) [(g(x)) n ] = n (g(x)) n 1 g (x) [cos (g(x))] = sin (g(x)) g (x) [arctan (g(x))] 1 = 1 + (g(x)) 2 g (x) [c] = 0

37 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci explicitní funkce a výsledek upravte: a) y = 2 3 (x 6) 3 + x b) y = sin 4 x + sin x 4 Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava c) y = tan 5 x 5 + 1 [f (g(x))] = f (g(x)) g (x) [f (x) g (x)] = f (x) g (x) + f (x) g (x) [(g(x)) n ] = n (g(x)) n 1 g (x) [sin (g(x))] = cos (g(x)) g (x) [tan (g(x))] 1 = sin 2 g (x) g (x) [c] = 0

38 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci explicitní funkce a výsledek upravte: a) y = x arcsin x + 1 x 2 b) y = e 2x+3 c) y = 2 Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 1 cos x [f (g(x))] = f (g(x)) g (x) [f (x) g (x)] = f (x) g (x) + f (x) g (x) [arcsin x] 1 = 1 x 2 [(g(x)) n ] = n (g(x)) n 1 g (x) [ e g(x) ] = e g(x) g (x) [ a g(x) ] = a g(x) ln a g (x) [cos x] = sin x [c] = 0

39 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci explicitní funkce a výsledek upravte: a) y = ln 1 ln x 1 + ln x Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava b) y = arccos c) y = x 4 log x 2 2x 1 + x 2 [f (g(x))] = f (g(x)) g (x) [f (x) g (x)] = f (x) g (x) + f (x) g (x) [ ] fx = f (x) g (x) f (x) g (x) gx (g (x)) 2 [ln (g(x))] = 1 g(x) g (x) [log (g(x))] = 1 g(x) ln 10 g (x) [x n ] = n x n 1 [arccos (g (x))] 1 = g 1 (x) (g (x)) 2 [c] = 0

40 - Druhá derivace Zadání Vypočítejte druhou derivaci explicitní funkce a výsledek upravte: a) y = 1 + x 1 x Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava b) y = x ( sin (ln x) + cos (ln x) ) c) y = e sin x y = [y ] [f (g(x))] = f (g(x)) g (x) [f (x) g (x)] = f (x) g (x) + f (x) g (x) [ ] fx = f (x) g (x) f (x) g (x) gx (g (x)) 2 [x n ] = n x n 1 [c] = 0 [sin (g(x))] = cos (g(x)) g (x) [cos (g(x))] = sin (g(x)) g (x) [ln x] = 1 x [ e g(x) ] = e g(x) g (x)

Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 41 - Derivace - logaritmické derivování Zadání Logaritmickým derivováním vypočítejte derivaci funkce: a) y = x 1 cos x x c) y = x b) y = x ln x Logaritmické derivování y = f (x) g(x) ln y = ln f (x) g(x) ln y = g (x) ln f (x) 1 y y = g 1 (x) ln f (x) + g (x) f (x) f (x) [ y = y g (x) ln f (x) + g (x) y = f (x) g(x) 1 f (x) f (x) [ g (x) ln f (x) + g (x) ] 1 f (x) f (x) ] [f (g(x))] = f (g(x)) g (x) [f (x) g (x)] = f (x) g (x) + f (x) g (x) [x n ] = n x n 1 [ln x] = 1 x [cos x] = sin x

Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 42 - Derivace implicitně zadané funkce Zadání Vypočítejte první derivaci implicitní funkce: a) F : 5x 2 + 3xy 2y 2 + 2 = 0 b) F : e y sin x e x cos y = 0 c) F : arcsin x y ln x = 0 y = F x (x, y) F y (x, y)

Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 43 - Druhá derivace implicitně zadané funkce Zadání Vypočítejte druhou derivaci implicitní funkce: a) F : x 3 + y 3 3xy = 0 b) F : sin x + sin y + sin (x + y) = 0 y = F x (x, y) F y (x, y) F x (x, y) + F y (x, y) y = 0 F xx + 2F xy y + F yy ( y ) 2 + F y y = 0

Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 44 - Derivace parametricky zadané funkce Zadání Vypočítejte první derivaci parametricky zadané funkce: a) x = tan t, y = sin 2t 2 b) x = a (t cos t), y = a (1 + sin t) x = f (t) y = g (t) dx = f (t) dt dy = g (t) dt y = dy dx = g (x) f (x), f (x) 0

Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 45 - Druhá derivace parametricky zadané funkce Zadání Vypočítejte druhou derivaci parametricky zadané funkce: a) x = 1 t 1 + t, y = 2t 1 + t b) x = a cos t, y = b sin t x = f (t) y = g (t) dx = f (t) dt dy = g (t) dt y = dy dx = g (x) f (x), f (x) 0 y = [ ] g (t) dt f (t) dx = = g (t) f (t) g (t) f (t) [f (t)] 3

Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 46 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci funkce a výsledek upravte: a) y = tan2 x 2 b) y = 2 arcsin + ln (cos x) x 2 2x x 2 c) y = ( 1 ) x 1 x

47 - Druhá derivace Zadání Vypočítejte druhou derivaci funkce a výsledek upravte: a) y = sin 2 x c) y = ln (1 + cos x) b) y = 1 + x 2 Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 48 - Třetí derivace Zadání Vypočítejte třetí derivaci funkce a výsledek upravte: a) y = cos2 x 4 b) y = x ln x c) y = xe 2x

49 - Tečna ke grafu funkce Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Určete obecnou rovnici tečny t a normály n v dotykovém bodě T ke grafu funkce f dané předpisem: a) y = 8 4 + x 2, T = [2;?] b) y = ln x, T = [e;?] směrnicový tvar rovnice tečny t : y y 0 = k t (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0 ; y 0 ] směrnice tečny k t = f (x 0 ) směrnicový tvar rovnice normály t : y y 0 = k n (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0 ; y 0 ] směrnice normály k n = 1 f (x 0 ) obecná rovnice přímky ax + by + c = 0

50 - Tečna ke grafu funkce Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Určete rovnice tečen ke grafu funkce f, které jsou rovnoběžné s přímkou p: a) y = x 3 12x, p : y = 2 b) y = x 2 + 4x 5, p : x + 4y = 0 směrnicový tvar rovnice tečny t : y y 0 = k t (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0 ; y 0 ] směrnice tečny k t = f (x 0 )

51 - Tečna ke grafu funkce Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Určete rovnice tečen ke grafu funkce f, které jsou rovnoběžné s osou x: a) y = x 3 12x b) y = x 2 + 4x 5 směrnicový tvar rovnice tečny t : y y 0 = k t (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0 ; y 0 ] směrnice tečny k t = f (x 0 )

52 - Tečna ke grafu funkce Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Určete rovnice tečen ke grafu funkce f, které jsou kolmé k přímce p: a) y = x3 6 + 2, p : x + 2y + 3 = 0 b) y = x 2 + 4x 5, p : x + 4y = 0 směrnicový tvar rovnice tečny t : y y 0 = k t (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0 ; y 0 ] směrnice tečny k t = f (x 0 )

Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 53 - Tečna ke grafu parametricky zadané funkce Zadání Určete rovnici tečny t a normály n cykloidy v dotykovém bodě T, v němž t = π, jsou-li její parametrické rovnice: 2 x = a (t sin t) y = a (1 cos t) ; a > 0, t 0, 2π směrnicový tvar rovnice tečny t : y y 0 = k t (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0 ; y 0 ] směrnice tečny k t = f (x 0 ) směrnicový tvar rovnice normály t : y y 0 = k n (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0 ; y 0 ] směrnice normály k n = 1 f (x 0 )

Zuzana Morávková, zuzana.moravkova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 54 - l Hospitalovo pravidlo Zadání Spočítejte limity l Hospitalovým pravidlem: a) lim x 0 sin x x b) lim x 0 1 cos x x 2 ln x c) lim x x d) lim x 0 e x 1 x

Zuzana Morávková, zuzana.moravkova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 55 - l Hospitalovo pravidlo Zadání Spočítejte limity l Hospitalovým pravidlem: a) lim x 2 x 3 2x 4 x 2 x 2 b) lim x ln x x 0 + c) lim x 1 + ( 1 x 1 1 ) ln x e 2x d) lim x x 3

56 - Taylorův polynom Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Napište Taylorův polynom n-tého stupně T n (x) v okolí bodu x 0 pro funkci: a) f : y = ln x, x 0 = 1, n = 3 b) f : y = cos x 2, x 0 = π 2, n = 3

57 - Maclaurinův polynom Dagmar Dlouhá, dagmar.dlouha@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Napište Maclaurinův polynom n-tého stupně (n N) funkce: a) f : y = e x b) f : y = sin x

Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 58 - Monotonnost a lokální extrémy funkce Zadání Najděte intervaly monotonnosti (kde funkce roste a kde klesá) a lokální extrémy (lokální maximum a minimum). a) f (x) = x 3 + 3x 2 b) f (x) = x 3 + x 2 x + 1 1. Definiční obor. 2. První derivace. 3. Znaménko první derivace. Funkce roste f (x) > 0 a funkce klesá f (x) < 0. 4. Lokální extrémy. 5. Pozor na definiční obor. V bodech nespojitosti samozřejmě nejsou žádné extrémy!

Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 59 - Monotonnost a lokální extrémy funkce Zadání Najděte intervaly monotonnosti (kde funkce roste a kde klesá) a lokální extrémy (lokální maximum a minimum). 1. Definiční obor. a) f (x) = x 2 ln (x + 1) b) f (x) = x2 2 + 2x + ln x 2. První derivace. 3. Znaménko první derivace. Funkce roste f (x) > 0 a funkce klesá f (x) < 0. 4. Lokální extrémy. 5. Pozor na definiční obor. V bodech nespojitosti samozřejmě nejsou žádné extrémy!

Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 60 - Monotonnost a lokální extrémy funkce Zadání Najděte intervaly monotonnosti (kde funkce roste a kde klesá) a lokální extrémy (lokální maximum a minimum). a) f (x) = x 5 arctan x b) f (x) = x 2 sin x 1. Definiční obor. 2. První derivace. 3. Znaménko první derivace. Funkce roste f (x) > 0 a funkce klesá f (x) < 0. 4. Lokální extrémy. 5. Pozor na definiční obor. V bodech nespojitosti samozřejmě nejsou žádné extrémy!

61 - Lokální extrémy Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Najděte lokální extrémy (lokální maximum a minimum) funkce. a) f (x) = 3x 4 + 16x 3 + 18x 2 + 12 b) f (x) = 2x 1 x 2 1. Definiční obor. 2. První derivace. 3. Stacionární body f (x) = 0. 4. Druhá derivace. 5. Lokální minimum f (x 0 ) > 0. Lokální maximum f (x 0 ) < 0.

Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 62 - Konvexnost, konkávnost, inflexní body Zadání Najděte intervaly, kde je funkce konvexní a kde konkávní, najděte její inflexní body. a) f (x) = x 4 6x 3 + 24x 2 12 b) f (x) = x + 1 x 2 1. Definiční obor. 2. První derivace. 3. Druhá derivace. 4. Znaménko druhé derivace. Funkce konvexní f (x) > 0 a funkce konkávní f (x) < 0. 5. Inflexní body. 6. Pozor na definiční obor. V bodech nespojitosti samozřejmě nejsou žádné inflexní body!

63 - Inflexní body Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Ve kterém z uvedených bodů má zadaná funkce inflexní bod? a) f (x) = x 3 2x 2 + 3x 2 v bodě x 0 = 2, x 3 0 = 3, x 2 0 = 2, funkce nemá inflexní bod. 3 b) f (x) = x2 1 x + 2 v bodě x 0 = 5, x 4 0 = 2, x 0 = 4, funkce nemá inflexní bod. 5 1. Definiční obor. 2. První derivace. 3. Druhá derivace. 4. Znaménko druhé derivace. Funkce konvexní f (x) > 0 a funkce konkávní f (x) < 0. 5. Inflexní body. 6. Pozor na definiční obor. V bodech nespojitosti samozřejmě nejsou žádné inflexní body! 7. Porovnejte se výsledek se zadáním.

64 - Asymptoty Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Určete všechny asymptoty grafu funkce: a) y = 2x2 3x + 1 3x + 3 b) y = 2x 1 x 2 1. Definiční obor. 2. Našli jste body nespojitosti? 3. Bude zde svislá asymptota? (Asymptota bez směrnice, jen jedna?) 4. Zjistěte, zda existuje asymptota se směrnicí y = kx + q f (x) k = lim x ± x q = (f (x) kx) lim x ±

65 - Asymptoty Radka Hamříková, radka.hamrikova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Určete všechny asymptoty grafu funkce: a) y = x2 2x + 1 2x 1 b) y = 2x3 x 2 1 1. Definiční obor. 2. Našli jste body nespojitosti? 3. Bude zde svislá asymptota? (Asymptota bez směrnice, jen jedna?) 4. Zjistěte, zda existuje asymptota se směrnicí y = kx + q f (x) k = lim x ± x q = (f (x) kx) lim x ±

66 - Determinanty Zadání Vypočtěte následující determinanty 2. řádu: a) 3 1 2 5 b) sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Determinanty 2. řádu - křížové pravidlo: Součin prvků na hlavní diagonále mínus součin prvků na vedlejší diagonále.

67 - Determinanty Zadání Vypočtěte následující determinanty 3. řádu: 3 1 2 1 3 5 x 0 x a) 0 1 4 b) 2 4 3 c) 0 x 0 1 1 5 2 1 2 1 x 1 Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Determinanty 3. řádu - Sarrusovo pravidlo: Sepíšeme první 2 řádky. Prvky ležící na úhlopříčkách vynásobíme, přičemž těm, které směřují zleva doprava (hlavní diagonála) přiřadíme znaménko + a těm, které směřují zprava doleva (vedlejší diagonála) přiřadíme znaménko -.

68 - Determinanty Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Vypočtěte determinant 1 2 3 4 3 0 1 3 2 1 1 0 4 0 3 1 a) rozvojem podle vhodného řádku, b) rozvojem podle vhodného sloupce. Vhodný řádek (sloupec) je ten, který obsahuje co nejvíce nul. Laplaceův rozvoj pro matici A řádu n: a) rozvoj determinantu podle i-tého řádku det A = n ( 1) i+j a ij det A ij, j=1 b) rozvoj determinantu podle j-tého sloupce det A = n ( 1) i+j a ij det A ij, i=1 kde matice A ij vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.

69 - Determinanty Zadání Vypočtěte determinant 1 2 3 4 3 0 1 3 2 1 1 0 4 0 3 1 Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava úpravou na trojúhelníkový tvar. Vlastnosti determinantů: det A = det A T det(a B) = det A det B Má-li matice A dva řádky (sloupce) stejné, pak det A = 0. Vznikne-li matice B z A: a) vzájemnou výměnou dvou řádků (sloupců), pak: det B = det A, b) vynásobením jednoho řádku (sloupce) číslem k R, pak det B = k det A, c) přičtením k násobku, k R, jednoho řádku (sloupce) k jinému, pak: det B = det A. Jsou-li řádky (sloupce) matice A lineárně závislé, pak det A = 0. Determinant trojúhelníkové matice se rovná součinu prvků na hlavní diagonále.

70 - Determinanty Zadání Vypočtěte následující determinant: Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 3 2 0 1 1 3 2 0 0 1 3 2 2 0 1 3. Vlastnosti determinantů: det A = det A T det(a B) = det A det B Má-li matice A dva řádky (sloupce) stejné, pak det A = 0. Vznikne-li matice B z A: a) vzájemnou výměnou dvou řádků (sloupců), pak: det B = det A, b) vynásobením jednoho řádku (sloupce) číslem k R, pak det B = k det A, c) přičtením k násobku, k R, jednoho řádku (sloupce) k jinému, pak: det B = det A. Jsou-li řádky (sloupce) matice A lineárně závislé, pak det A = 0. Determinant trojúhelníkové matice se rovná součinu prvků na hlavní diagonále.

71 - Determinanty Zadání Vypočtěte následující determinant: Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 Vlastnosti determinantů: det A = det A T det(a B) = det A det B Má-li matice A dva řádky (sloupce) stejné, pak det A = 0. Vznikne-li matice B z A: a) vzájemnou výměnou dvou řádků (sloupců), pak: det B = det A, b) vynásobením jednoho řádku (sloupce) číslem k R, pak det B = k det A, c) přičtením k násobku, k R, jednoho řádku (sloupce) k jinému, pak: det B = det A. Jsou-li řádky (sloupce) matice A lineárně závislé, pak det A = 0. Determinant trojúhelníkové matice se rovná součinu prvků na hlavní diagonále.

72 - Determinanty Zadání Pro která x je determinant x 0 x 0 x 0 1 x 1 Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava roven 0? Pro sestavení rovnice s neznámou x použijte Sarrusovo pravidlo.

73 - Matice Zadání Vypočtěte matici D danou vztahem: D = 2 A B + C, 2 1 3 1 0 1 kde A = 0 4 5 3 7 6, B = 3 2 5 4 3 0 8 0 1 7 1 2 Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava, C = 2 1 0 3 7 5 4 3 1 0 3 5. Rovnici aplikujeme na jednotlivé prvky na stejných pozicích daných matic.

74 - Matice Zadání Vypočtěte matici D danou vztahem: D = 3 A + 2 B C, 2 1 3 1 0 1 kde A = 0 4 5 3 7 6, B = 3 2 5 4 3 0, C = 8 0 1 7 1 2 Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 2 1 0 3 7 5 4 3 1 0 3 5. Rovnici aplikujeme na jednotlivé prvky na stejných pozicích daných matic.

75 - Matice Zadání Transponujte matice: A = Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 1 2 3 12 4 1 2 15 0 3 8 7, B = 1 2 3 13 3 0 7 0 8 1 2 5 6 5 4 1 9 10 12 0. Transpozice: výměna řádků a sloupců matice.

76 - Matice Zadání Vypočtěte A B, B A (pokud to lze), jestliže: A = Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 2 1 3 0 0 2 5 1 4 1 3 2, B = 1 3 0 4 2 3 4 1. Součin matic: A = (a ij ) - matice typu m n, B = (b jk ) - matice typu n p. Pak C = A B = (c ik ) - matice typu m p, kde c ik = n a jn b jk = j=1 = a i1 b 1k +a i2 b 2k +...+a in b nk.

77 - Matice Zadání Vypočtěte A B, B A (pokud to lze), jestliže: A = Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava ( 2 0 1 3 4 5 ), B = 3 1 2 5 4 1. Součin matic: A = (a ij ) - matice typu m n, B = (b jk ) - matice typu n p. Pak C = A B = (c ik ) - matice typu m p, kde c ik = n a jn b jk = j=1 = a i1 b 1k +a i2 b 2k +...+a in b nk.

78 - Matice Zadání Vypočtěte A B, B A (pokud to lze), jestliže: A = Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 1 1 3 5 1 2 3 6 7, B = 1 2 3 3 2 7 5 4 1. Součin matic: A = (a ij ) - matice typu m n, B = (b jk ) - matice typu n p. Pak C = A B = (c ik ) - matice typu m p, kde c ik = n a jn b jk = j=1 = a i1 b 1k +a i2 b 2k +...+a in b nk.

79 - Matice Zadání Určete hodnost matice: A = Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 2 1 1 1 2 0 3 2 0 3 1 1. Původní matici převed te na stupňovitý tvar. Pak hodnost matice je rovna počtu nenulových řádku stupňovité matice.

80 - Matice Zadání Určete hodnost matice: B = Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 3 1 5 4 7 1 1 1 0 1 4 1 2 3 7 1 3 5 2 1. Původní matici převed te na stupňovitý tvar. Pak hodnost matice je rovna počtu nenulových řádku stupňovité matice.

81 - Matice Zadání Určete hodnost matice: C = Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 2 1 0 3 7 5 4 3 1 0 3 5 2 4 1 1 6 5. Původní matici převed te na stupňovitý tvar. Pak hodnost matice je rovna počtu nenulových řádku stupňovité matice.

82 - Matice Zadání Určete hodnost matice: D = Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 1 2 3 1 4 1 2 5 0 3 2 7. Původní matici převed te na stupňovitý tvar. Pak hodnost matice je rovna počtu nenulových řádku stupňovité matice.

83 - Matice Zadání Určete hodnost matice: E = Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 1 2 3 3 3 0 7 0 3 1 2 5 6 5 4 1 3 0 2 0. Původní matici převed te na stupňovitý tvar. Pak hodnost matice je rovna počtu nenulových řádku stupňovité matice.

84 - Matice Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Vypočtěte k dané matici A matici inverzní (A 1 ) eliminační metodou a proved te zkoušku: A = 1 2 0 3 2 0 3 1 1. Každou regulární matici A převedeme jen řádkovými (resp. sloupcovými) úpravami na jednotkovou matici E. Stejné úpravy aplikujeme na jednotkovou matici E, která tímto přejde na inverzní matici A 1. Matice A a E zapíšeme vedle sebe, tj. (A, E), jako matici typu n 2n).

87 - Matice Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Vypočtěte k dané matici A matici inverzní (A 1 ) užitím determinantu a proved te zkoušku: A = 2 3 1 1 2 5 3 2 7. A 1 = 1 det A A = 1 det A DT, kde A = (a ij) je adjungovaná matice k matici A a D = (d ij ) je matice algebraických doplňků, přičemž d ij = ( 1) i+j det A ij. Matice A ij vynikne z A vynecháním i tého řádku a j tého sloupce.

88 - Matice Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Vypočtěte k dané matici A matici inverzní (A 1 ) užitím determinantu a proved te zkoušku: A = 3 0 7 5 4 1 3 0 2. A 1 = 1 det A A = 1 det A DT, kde A = (a ij) je adjungovaná matice k matici A a D = (d ij ) je matice algebraických doplňků, přičemž d ij = ( 1) i+j det A ij. Matice A ij vynikne z A vynecháním i tého řádku a j tého sloupce.

89 - Matice Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Zadání Vypočtěte k dané matici A matici inverzní (A 1 ) užitím determinantu a proved te zkoušku: A = 3 1 5 4 1 1 1 0 1 2 3 7 3 5 2 1. A 1 = 1 det A A = 1 det A DT, kde A = (a ij) je adjungovaná matice k matici A a D = (d ij ) je matice algebraických doplňků, přičemž d ij = ( 1) i+j det A ij. Matice A ij vynikne z A vynecháním i tého řádku a j tého sloupce.

90 - Matice Zadání Řešte rovnici pro neznámou matici X a proved te zkoušku: 1 2 0 5 1 3 4 0 X = 4 7 5 8 Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 10 16 44 13 14 21 0 49 78 Využijte vhodného násobení zprava (resp. zleva) rovnice inverzní maticí tak, aby se osamostatnila matice X.

91 - Matice Zadání Řešte rovnici pro neznámou matici X a proved te zkoušku: 6 3 0 7 X 1 4 5 3 3 1 8 0 2 3 0 2 Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava = 3 43 4 5 24 30 35 16 13 13 8 17 31 13 9 48 Využijte vhodného násobení zprava (resp. zleva) rovnice inverzní maticí tak, aby se osamostatnila matice X.

92 - Matice Zadání Řešte rovnici pro neznámou matici X a proved te zkoušku: ( ) ( 4 1 5 2 4 1 X 2 3 6 1 3 5 Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava ) = ( 23 101 72 43 141 82 ) Využijte vhodného násobení zprava (resp. zleva) rovnice inverzní maticí tak, aby se osamostatnila matice X.

93 - Soustavy lineárních rovnic Zadání Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla a proved te zkoušku: 5x 1 + x 2 2x 3 = 9 3x 1 + x 2 5x 3 = 12 2x 1 x 2 x 3 = 3. Cramerovo pravidlo: 1. jen pro soustavy s regulární maticí soustavy A, tj. deta 0, 2. vypočtou se determinanty A, A i (nahradí se příslušný sloupec pravou stranou), 3. spočítájí se složky řešení x i = det A i det A.

94 - Soustavy lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí inverzní matice a proved te zkoušku: Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 5x 1 + x 2 2x 3 = 9 3x 1 + x 2 5x 3 = 12 2x 1 x 2 x 3 = 3. Soustavu můžeme napsat v maticovém tvaru A X = B Násobením zleva inverzní maticí A 1 dostaneme řešení soustavy X = A 1 B

95 - Soustavy lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic a proved te zkoušku: Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 5x 1 x 2 3x 3 = 9 x 1 + x 2 + 2x 3 = 0 4x 1 x 2 + 2x 3 = 7. Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A x = b má alespoň jedno řešení právě když h(a) = h(a/ b), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšířené. Pokud h(a) h(a/ b), pak soustava nemá řešení. Má-li soustava řešení, tj pak pro h(a) = h(a/ b) = h, h = n má soustava právě jedno řešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava -mnoho řešení závislých na n h parametrech.

96 - Soustavy lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic a proved te zkoušku: Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava x 1 2x 2 + 3x 3 = 2 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 = 2 2x 1 + 6x 2 x 3 = 0. Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A x = b má alespoň jedno řešení právě když h(a) = h(a/ b), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšířené. Pokud h(a) h(a/ b), pak soustava nemá řešení. Má-li soustava řešení, tj pak pro h(a) = h(a/ b) = h, h = n má soustava právě jedno řešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava -mnoho řešení závislých na n h parametrech.

97 - Soustavy lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic a proved te zkoušku: Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 2x 1 3x 2 2x 3 + x 4 = 3 x 1 x 2 x 3 x 4 = 2 x 1 2x 2 x 3 + 2x 4 = 1 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 1. Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A x = b má alespoň jedno řešení právě když h(a) = h(a/ b), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšířené. Pokud h(a) h(a/ b), pak soustava nemá řešení. Má-li soustava řešení, tj pak pro h(a) = h(a/ b) = h, h = n má soustava právě jedno řešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava -mnoho řešení závislých na n h parametrech.

98 - Soustavy lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic a proved te zkoušku: Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 2x 1 + x 2 + 2x 4 = 3 2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 0 x 1 x 2 + x 3 x 4 = 3 x 1 + 2x 2 2x 3 + 2x 4 = 1. Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A x = b má alespoň jedno řešení právě když h(a) = h(a/ b), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšířené. Pokud h(a) h(a/ b), pak soustava nemá řešení. Má-li soustava řešení, tj pak pro h(a) = h(a/ b) = h, h = n má soustava právě jedno řešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava -mnoho řešení závislých na n h parametrech.

99 - Soustavy homogenních lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu homogenních lineárních rovnic a proved te zkoušku: Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 2x 1 x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 x 3 = 0 4x 1 2x 2 + x 3 = 0. Soustava homogenních lineárních rovnic má vždy řešení - viz. Frobeniova věta, jejiž podmínky jsou zde vždy splněny. Lze řešit Gaussovou eliminační metodou, nebo zde přímo za pomoci determinantu soustavy (proč?).

Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 100 - Soustavy homogenních lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu homogenních lineárních rovnic a proved te zkoušku: 5x 1 2x 2 + 7x 3 4x 4 x 5 = 0 3x 1 + 4x 3 x 4 2x 5 = 0 x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 3x 5 = 0 2x 1 2x 2 + 3x 3 3x 4 + x 5 = 0. Soustava homogenních lineárních rovnic má vždy řešení - viz. Frobeniova věta, jejiž podmínky jsou zde vždy splněny. Lze řešit Gaussovou eliminační metodou.

Michaela Tužilová, michaela.tuzilova@vsb.cz, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 101 - Skalární součin vektorů Zadání Vypočtěte sklární součin a úhel vektorů u, v (tedy u v): Skalární součin dvou vektorů: a) u = ( 1, 1, 4), v = ( 1, 2, 2), b) u = (2, 5, 7), v = ( 3, 0, 6), c) u = (1, 1, 4), v = (1, 2, 2). u v = u v cosφ, kde φ je úhel svírající vektory u, v nebo u v = u 1 v 1 +u 2 v 2 +...+u n v n, kde u = (u 1, u 2,..., u n ), v = (v 1, v 2,..., v n ). Velikost (délka) vektoru u: u = a 2 1 + a 2 2 +... + a 2 n POZOR: Co je výsledkem skalárního součinu?