PES Petriho sítě p. 1/34 Petriho sítě PES 2007/2008 Prof. RNDr. Miln Češk, CS. esk@fit.vutr.z Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. vojnr@fit.vutr.z Sz: Ing. Petr Novosd, Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. (verze 06.04.2010) FIT, VUT v Brně, Božetěhov 2, CZ-612 66 Brno
Jzyky Petriho sítí PES Jzyky Petriho sítí p. 2/34
PES Jzyky Petriho sítí p. 3/34 1. Zákldní pojmy Formálně lze pojem jzyk Petriho sítě zvést s využitím zoeněné přehodové funke Petriho sítě: Definie 1: Neht N = (P, T, F, W, K, M 0 ) je Petriho sít [M 0 její množin dosžitelnýh znčení. Přehodovou funkí Petriho sítě N nzveme funki δ: δ: [M 0 T [M 0, pro kterou t T : M, M [M 0 : δ(m, t) = M def. M[t M Přehodová funke δ může ýt zoeněn n posloupnosti přehodů: δ: [M 0 T [M 0 tkto: δ(m, tτ) = δ(δ(m, t), τ), τ T, t T δ(m, ε) = M, kde ε je prázdný řetěze
PES Jzyky Petriho sítí p. 4/34 Posloupnost (řetěze) τ T + nzveme výpočetní posloupností sítě N, je-li definován hodnot δ(m 0, τ). Množin všeh výpočetníh posloupností Petriho sítě N je zákldem pro definii jzyk Petriho sítě. Příkld 1: N: L(N) = {ε,, }
PES Jzyky Petriho sítí p. 5/34 Definie jzyků Petriho sítí Vedle množiny přehodů T zvedeme eedu Petriho sítě Σ zorzení λ: T Σ {ε}, které kždému přehodu sítě přiřdí symol eedy Σ neo prázdný symol ε. Zorzení λ udeme nzývt ohodnoením přehodů (leling) příslušnou Petriho sít ohodnoenou Petriho sítí. Podle tvru zorzení λ rozlišujeme 3 typy ohodnoenýh Petriho sítí: 1. Nejomezenější typ je dán injektivním ohodnoením λ: T Σ: t, t T : λ(t) = λ(t ) t = t Tyto sítě jsou oznčovné jko free-leled Petri nets. 2. Druhý typ nepřipouští ohodnoení prázdným symolem ε: 3. Třetí typ připouští liovolné ohodnoení: λ: T Σ λ: T Σ {ε}
PES Jzyky Petriho sítí p. 6/34 Počáteční stv počáteční místo Petriho sítě Dosud jsme z počáteční stv Petriho sítě povžovli liovolné znčení M 0. Pro opere nd jzyky Petriho sítí je vhodné, y počáteční stv yl spojen se znčkou v jediném speiálním místě - počátečním (strtovím) místě p s : M 0 (p s ) = 1 p P \{p s }: M 0 (p) = 0 Ukážeme, že tto modifike fktiky neomezuje výěr počátečního stvu Petriho sítě.
PES Jzyky Petriho sítí p. 7/34 Popis trnsforme Uvžujme liovolnou Petriho sít N = (P, T, F, W, K, M 0 ). Ekvivlentní sít N = (P, T, F, W, K, M 0) s počátečním místem p s vytvoříme tkto: 1. P = P {p s } 2. T = T {t s } 3. F = F F ts, kde F ts = {< p s, t s >} {< t s, p > M 0 (p) 0} 4. W je rozšíření váhové fune W : W (p s, t s ) = 1 W (t s, p) = k M 0 (p) = k, k N \{0} 5. K je rozšíření K: K (p s ) = 1 6. M 0: P {p s } N, M 0(p s ) = 1 p P : M 0(p) = 0
PES Jzyky Petriho sítí p. 8/34 Příkld 2: Počáteční místo Petriho sítě p s t s w w w i1 i2 ik.. p p p i1 i2 ik N počátku je proveditelný pouze přehod t s. Množiny výpočetníh posloupností sítí N N se liší pouze tím, že kždá výpočetní posloupnost sítě N zčíná symolem t s. Při ohodnoení λ (t s ) = ε t T : λ (t) = λ(t) jsou jzyky sítí N N shodné.
PES Jzyky Petriho sítí p. 9/34 Konové stvy typy jzyků Petriho sítě V závislosti n koneptu konového stvu sítě yly definovány 4 typy jzyků Petriho sítí: L,G,T,P Definie 2: Neht N je Petriho sít s počátečním znčením M 0, s ohodnoením přehodů λ: T Σ {ε}, s přehodovou funkí δ: [M 0 T [M 0 s množinou konovýh stvů (znčení) Q f [M 0. Jzyk L(N) Σ Petriho sítě N definovný jko se nzývá jzykem typu L. L(N) = {λ(α) α T δ(m 0, α) Q f } Tto definie není zel v souldu se zákldní filozofií Petriho sítí, speiálně s prvidly provádění přehodů sítě. Je-li přehodová funke δ(m, t) definován pro znčení M, pk je tké definován δ(m, t) pro kždé M M.
PES Jzyky Petriho sítí p. 10/34 Definie 3: Neht N je Petriho sít s počátečním znčením M 0, s ohodnoením přehodů λ, s přehodovou funkí δ s množinou konovýh stvů Q f. Jzyk L(N) Petriho sítě N definovný jko se nzývá jzykem typu G. L(N) = {λ(α) α T M f Q f : δ(m 0, α) M f } Definie 4: Neht N je Petriho sít s počátečním znčením M 0, s ohodnoením přehodů λ přehodovou funkí δ. 1. Jzyk L(N) Petriho sítě N definovný jko L(N) = {λ(α) α T δ(m 0, α) [M 0 t T : δ(δ(m 0, α), t) = nedef.} se nzývá jzykem typu T. 2. Jzyk L(N) Petriho sítě N definovný jko se nzývá jzykem typu P. L(N) = {λ(α) α T δ(m, α) [M 0 }
PES Jzyky Petriho sítí p. 11/34 Uvžujeme-li nyní,že pro kždou ze tříd L ž P mohou ýt vymezeny tři třídy jzyků Petriho sítí podle typu ohodnoení λ, dostáváme elkem dvnát speifikýh tříd. Mezi těmito třídmi existují vzthy vyjádřitelné množinovou inkluzí. Příkld 3: Třídy jzyků Petriho sítí podle typu ohodnoení λ jejih vzájemné vzthy T T T L G P e e e e L G P L G P f f f f Orientovná hrn z A do B vyjdřuje inkluzi B A. Zákldní vzthy: L f L L ε G f G G ε T f T T ε P f P P ε L ε, resp. L, resp. L f znčí třídu jzyků s ohodnoením λ: T Σ {ε}, resp. λ: T Σ, resp. λ: T Σ s injektivním λ (free-leled).
PES Jzyky Petriho sítí p. 12/34 Příkld 4: Ilustre různýh typů jzyků Petriho sítí p2 Uvžujme: Q f = {(0, 0, 1, 0)} M 0 = (1, 0, 0, 0) p1 p3 d p4 L-typ: L = { n n n 0} G-typ: L = { m n m n 0} T-typ: L = { m n d m n 0} P-typ: L = { m m 0} { m n m n 0} { m n d m n 0}
PES Jzyky Petriho sítí p. 13/34 2. Vlstnosti jzyků Petriho sítí typu L Definie 5: Petriho sít N = (P, T, F, W, M 0, p s, Σ, λ, P f, Q f ) nzveme ohodnoenou Petriho sítí ve stndrdním tvru, jestliže: 1. Složky P, T, F, W, M 0, Σ, Q f mjí dosud užívný význm 2. p s P je počáteční místo tkové, že () M 0 (p s ) = 1 p P \{p s }: M 0 (p) = 0 () t T : < t, p s >/ F 3. λ: T Σ je ohodnoení přehodů sítě 4. P f P je množin konovýh míst { {p f, p s }, jestliže ε L(N) () P f = {p f }, jestliže ε / L(N) () () t T : < p f, t >/ F Je-li M(p f ) > 0 pro nějké M [M 0, pk δ(m, t) je nedefinován pro všehn t T
PES Jzyky Petriho sítí p. 14/34 Vět 1: Ke kždé ohodnoené Petriho síti N (typu L) existuje ekvivlentní ohodnoená Petriho sít N ve stndrdním tvru tková, že L(N) = L(N ). Důkz: Viz. skript str. 53-55 Příkld 5: Konstruke Petriho sítě ve stndrdním tvru p r t4 t 5 t3 p f p s Petriho sít N t2
PES Jzyky Petriho sítí p. 15/34 Uzávěrové vlstnosti jzyků Petriho sítí Vět 2: Neht L 1 L 2 jsou dv jzyky generovné Petriho sítěmi. Pk jzyk L = L 1.L 2 je tké jzykem generovným Petriho sítí. Vět 3: Neht L 1 L 2 jsou dv jzyky generovné Petriho sítěmi. Pk jzyk L = L 1 L 2 je tké jzykem generovným Petriho sítí. Vět 4: Neht L 1 L 2 jsou dv jzyky generovné Petriho sítěmi. Pk jzyk L = L 1 L 2 je tké jzykem generovným Petriho sítí. Vět 5: Jzyky Petriho sítí jsou uzvřeny vzhledem k reverzi, tj. je-li L = L(N) jzyk generovný Petriho sítí N, pk existuje Petriho sít N, L(N ) = L R.
PES Jzyky Petriho sítí p. 16/34 Příkld 6: Ilustre konktene Petriho sítí, L(N) = L(N 1 ).L(N 2 ) N : 1 N : 2 P s1 P f1 P s2 P f2 N: P s P f P f1 = P s2
PES Jzyky Petriho sítí p. 17/34 Příkld 7: Ilustre sjednoení Petriho sítí, L(N) = L(N 1 ) L(N 2 ) N : 1 N: P s1 P f1 P s P f N : 2 P s2 P f2
PES Jzyky Petriho sítí p. 18/34 Příkld 8: Ilustre průniku Petriho sítí, L(N) = L(N 1 ) L(N 2 ) N : 1 2 3 N : 2 3 2 P s1 L(N 1 ) = { 3n 2n n > 0} P f1 P s2 L(N 2 ) = { 2n 3n n > 0} P f2 N: 2 3 P s P f 3 2
PES Jzyky Petriho sítí p. 19/34 Pro modelování prlelní činnosti dvou Petriho sítí zvedeme speiální operátor prlelní kompozie řetězů jzyků (onurreny opertor), který se oznčuje symolem Definie 6: Neht x 1, x 2 Σ jsou dv řetěze nd eedou Σ neht, Σ. Prlelní kompozii (spojení) dvou řetězů definujeme rekurentně: x 1 x 2 = (x 1 x 2 ) + (x 1 x 2 ) ε = ε = Prlelní kompozie L 1 L 2 jzyků L 1 L 2 je definován předpisem: L 1 L 2 = {x y: x L 1 y L 2 } Příkld 9: Je-li L 1 = {} L 2 = {}, pk L 1 L 2 = {,, } Vět 6: Neht L 1 L 2 jsou dv jzyky generovné Petriho sítěmi. Pk jzyk L = L 1 L 2 je tké jzykem generovným Petriho sítí.
PES Jzyky Petriho sítí p. 20/34 Příkld 10: Ilustre prlelní kompozie Petriho sítí, L(N) = L(N 1 ) L(N 2 ) N : 1 P s1 P f1 N: P s1 P f1 P s P f N : 2 2 3 2 3 P s2 P f2 P s2 P f2
PES Jzyky Petriho sítí p. 21/34 Vět 7: Jzyky Petriho sítí (typu L) jsou uzvřeny vzhledem ke konečnému počtu plikí operí: sjednoení konkteni průniku prlelní kompozii reverzi jzyk Vět 8: Jzyky Petriho sítí nejsou uzvřeny vzhledem k operi itere jzyk. Důležitou operí, popisujíí prinip strke je opere sustitue. Neht L je jzyk do něhož provádíme sustitui, tj. nhrzujeme kždý symol Σ kždé věty x L. Můžeme rozlišit tři typy sustitue: 1. oená sustitue (L je liovolný formální jzyk) 2. konečná sustitue (L je konečný jzyk) 3. homomorfismus (L je tvořen jediným řetězem)
PES Jzyky Petriho sítí p. 22/34 Vět 9: Jzyky Petriho sítí nejsou uzvřeny vzhledem k oené sustitui. Důkz: Uvžujme jzyk L = { n n n 1} sustituovný do jzyk L = { i i 1}. L i L jsou zřejmě jzyky Petriho sítí. Výsledkem sustitue je jzyk L = { m 1 m 1... m k m k m i 1, k 1} = L +, ož podle Věty 8 není jzyk Petriho sítí. Vět 10: Neht L 1 je jzyk generovný Petriho sítí L 2 je regulární jzyk. Pk jzyk L, který vznikne konečnou sustituí jzyk L 2 do jzyk L 1, je jzyk generovtelný Petriho sítí.
PES Jzyky Petriho sítí p. 23/34 Vzth jzyků Petriho sítí k Chomského hierrhii jzyků Vět 11: Kždý regulární jzyk je jzykem generovným Petriho sítí. Důkz: Je tře ukázt, že ke kždému konečnému utomtu M lze sestrojit ohodnoenou Petriho sít N tk, že L(M) = L(N). Prinip konstruke: p q p = (t) q t Konečný utomt Petriho sít
PES Jzyky Petriho sítí p. 24/34 Studujme nyní vzth jzyků Petriho sítí k vyšším třídám Chomského hierrhie. Příkld 11: N: P s P f L(N) = { n n n 1} Příkld 12: N: L(N) = { n n n n 1} P s P f
PES Jzyky Petriho sítí p. 25/34 Lemm 1: Jzyk L = {w w R w Σ } není jzykem Petriho sítí. Důkz: Nejprve odvodíme nutnou podmínku pro mohutnost stvového prostoru Petriho sítě generujíí jzyk L pk ukážeme, že tto podmínk nemůže ýt splněn. Předpokládejme tedy, že existuje Petriho sít N tková, že L = L(N). Neht Σ = k, k > 1 uvžujme řetěze xx R L, x = r. Protože existuje k r různýh možnýh řetězů x, musí stvový prostor Petriho sítě N oshovt lespoň k r různýh stvů (dostupnýh znčení) tk, y provedení r přehodů generujííh řetěze x vedlo k jednoznčnému zpmtování struktury řetěze x. Skutečně, pokud yhom disponovli menším počtem stvů, pk y pro jisté řetěze x 1 x 2 pltilo δ(m 0, x 1 ) = δ(m 0, x 2 ) pro x 1 x 2. Pk le δ(m 0, x 1 x R 2 ) = δ(δ(m 0, x 1 ), x R 2 ) = δ(δ(m 0, x 2 )x R 2 ) = δ(m 0, x 2 x R 2 ) Q f tedy y pltilo x 1 x R 2 L pro x 1 x 2, ož je spor s definií jzyk L.
PES Jzyky Petriho sítí p. 26/34 Důkz: (pokrčování) Nyní všk ukážeme, že podmínk, y provedení výpočetní posloupnosti délky r ktulizovlo liovolný ze stvů množiny o mohutnosti k r, je nesplnitelná. Uvžujme tkovouto výpočetní posloupnost: M 0 [t 1 M 1 [t 2... [t r M r předpokládejme, že množin přehodů T Petriho sítě N má mohutnost T = m. Znčení M r můžeme vyjádřit ve tvru: M r = M 0 + N.u kde N je mtie změn Petriho sítě u je vektor u : T N se složkmi u(t) = {i t i = t 1 i r} Zřejmě pltí: u(t) = r t T
PES Jzyky Petriho sítí p. 27/34 Důkz: (pokrčování) V nejlepším přípdě kždý z vektorů u splňujíí tuto podmínku generuje různý stv M r. K vyčíslení počtu různýh vektorůu použijeme vzth pro počet rozkldů čísl r N n m nezápornýh eločíselnýh členů (dávjíí v součtu r), který je roven kominčnímu číslu: ( r + m 1 m 1 ) Protože ( r + m 1 m 1 ) = (r + m 1)... (r + 1) (m + 1)! < (r + m) m je počet dosžitelnýh stvů po provedení r přehodů ostře menší než (r + m) m. Pro dosttečně velké r pk pltí (r + m) m < k r nutná podmínk pro generování řetěze xx R tedy není splněn (spor s poždovnou velikostí stvového prostoru). Jzyk L tedy není jzykem Petriho sítí.
PES Jzyky Petriho sítí p. 28/34 Důkz: (pokrčování) Závěr: Nekomptiilit stvovýh prostorů Petriho sítí zásoníkovýh utomtů: Petriho sítě - komintoriky rostouí počet dostupnýh stvů Zásoníkové utomty - exponeniálně rostouí počet dostupnýh stvů N druhé strně odlišnosti v řízení : Petriho sítě - liovolný čítč (místo) Zásoníkové utomty - vrhol zásoníku
PES Jzyky Petriho sítí p. 29/34 Definie 7: Bezkontextový jzyk L se nzývá omezeným ezkontextovým jzykem (ounded ontext free lnguge) nd eedou Σ, jestliže existují řetěze w 1, w 2,..., w n Σ tkové, že L w 1w 2... w n Vět 12: Tříd omezenýh ezkontextovýh jzyků je nejmenší tříd jzyků splňujíí podmínky: (1) Je-li B konečná podmnožin množiny Σ, pk B je omezený ezkontextový jzyk. (2) Jsou-li B 1 B 2 omezené ezkontextové jzyky, pk B 1 B 2, B 1.B 2 jsou omezené ezkontextové jzyky. (3) Je-li B omezený ezkontextový jzyk x, y Σ, pk jzyk {x i By i i 0} je omezený ezkontextový jzyk.
PES Jzyky Petriho sítí p. 30/34 Vět 13: Kždý omezený ezkontextový jzyk je jzykem generovným Petriho sítí. Důkz: K důkzu využijeme tvrzení předhozí Věty 12. Ukážeme, že kždá z podmínek (1) ž (3) pltí v určité podtřídě jzyků Petriho sítí tudíž existuje podtříd jzyků Petriho sítí, které generují právě omezené ezkontextové jzyky. () () () Jzyk splňujíí (1) je regulární tedy je jzykem Petriho sítí. Podmínk (2) je splněn pro všehny jzyky Petriho sítí. Ayhom ukázli, že je splněn i podmínk (3), popíšeme konstruki Petriho sítě generujíí jzyk {x i By i i 0}. Předpokládejme, že jzyk B je generován Petriho sítí N (Příkld 13) ve stndrdním tvru neht x = x 1 x 2... x n y = y 1 y 2... y m.
PES Jzyky Petriho sítí p. 31/34 Příkld 13: Petriho sít generujíí omezený ezkontextový jzyk P s... Petriho sít N x 1 p x 2 x n L(N) = B y 1 y 2 y m P f... Pomoné místo p má funki čítče. Kždé generování řetěze x = x 1 x 2... x n zvýší počet znček míst p o jedničku. Protože konový stv sítě vyžduje znčku pouze v místě p f, je tedy řetěze y = y 1 y 2... y m generován právě tolikrát, kolikrát yl generován řetěze x.
PES Jzyky Petriho sítí p. 32/34 Vět 13: Všehny jzyky Petriho sítí jsou kontextové jzyky. Důkz: Ukžme, že jzyk L Petriho sítě N může ýt přijímán lineárně omezeným Turingovým strojem. Neht pásk Turingov stroje uhovává momentální znčení kždého míst Petriho sítě N. Po přečtení vstupního symolu je simulováno provedení příslušného přehodu, tj. změn znčení některýh míst. Kvntifikujme využívnou část pásky elkovým součtem S všeh znček všeh míst zkoumejme, jk se tento součet mění v závislosti n déle vstupního řetěze. Neht vstupnímu řetězi délky k 1 odpovídá výpočetní posloupnost t 1 t 2... t k provedenýh přehodů Petriho sítě N. Oznčme d t počet znček, kterým přispívá přehod t (jeho provedení) k elkovému počtu znček sítě. Zřejmě pltí: d t = p t W(t, p) p t W(p, t)
PES Jzyky Petriho sítí p. 33/34 Důkz: (pokrčování) Pk počet znček S po provedení výpočetní posloupnosti t 1... t k lze vyjádřit ve tvru: S = 1 + k i=1 d ti Z definie Petriho sítě plyne existene mxim: m = mx t T d t S jehož využitím lze hodnoty S ohrničit v závislosti n déle výpočetní posloupnosti k tudíž i vstupního řetěze funkí: S(k) 1 + k.m Což je lineární funke nezávislé proměnné k příslušný Turingův stroj je tedy lineárně omezený.
PES Jzyky Petriho sítí p. 34/34 Příkld 14: Vzth jzyků Petriho sítí jzyků Chomského hierrhie Jzyky typu 0 Kontextové jzyky Omezené ezkontextové jzyky Jzyky Petriho sítí Bezkontextové jzyky Regulární jzyky Otázk: Čím lze rozšířit modeloví shopnost Petriho sítí?