V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál 5 4.1 Dvojnýintegrálnaměřitenýchmnožinách.... 6 5 Geometrické aplikace dvojného integrálu 7 6 Substituce ve dvojném integrálu 7
1 Základní pojmy a definice Dvojný integrál zavedeme nejdříve pro funkci dvou proměnných na obdélníku. Formální postup bude stejný jako u funkce jedné proměnné na intervalu. Geometrickou motivací zavedení dvojného integrálujeúlohaurčitobjemtělesaspodstavou vrovině(xy)ahornístěnoutvořenoučástígrafu nezáporné omezené funkce f(na množině ). Integračním oborem jednorozměrného integrálu byl vždy interval. U dvourozměrného integrálu mohou být integrační obory rozmanitější, např. obdélník, čtverec, lichoběžník, kruh, kruhová výseč atd. (Analogický postup, kterým zavedeme dvojný integrál, lze uplatnit také na případ obecného n- rozměrného integrálu, kde n N.) Uvažujmeuzavřenýobdélník R 2,kde jekartézskýmsoučinemuzavřenýchintervalů[a,b] naose xa[c,d]naose y,tj. =[a,b] [c,d]. Definice1.1 Nechťposloupnostbodů D x = {a=x o < x 1 < x 2 <... < x m = b}jedělenímintervalu [a,b]ad y = {c=y o < y 1 < y 2 <... < y n = d}jedělenímintervalu[c,d].uspořádanoudvojici D=(D x,d y )nazývámedělenímobdélníku.obdélník ij =[x i 1,x i ] [y j 1,y j ],kde i=1,2,... m a j=1,2,... n,senazýváčástečnýinterval(obdélník)dělení D.Je-li ν(d x )normadělení D x a ν(d y ) normadělení D y,pakmaximumztěchtodvoučíseloznačímejako ν(d)anazvemehonormoudělení D,tj. ν(d)=max{ν(d x ),ν(d y )}. Uvažujmenynídělení Dobdélníku na m nobdélníků ij, i=1,2,... m, j=1,2,... n. Označme µ( ij )obsah(míru)obdélníku ij,tj. µ( ij )= x i y j =(x i x i 1 ) (y j y j 1 ). Definice1.2 Nechť fjefunkcedvouproměnnýchdefinovanáaomezenánaobdélníku =[a,b] [c,d] anechť D=(D x,d y )jedělení.provšechna i=1,2,... maj=1,2,... noznačme m ij =inf{f(x,y);(x,y) ij =[x i 1,x i ] [y j 1,y j ]}a M ij =sup{f(x,y);(x,y) ij =[x i 1,x i ] [y j 1,y j ]}. (Tzn.číslo m ij (resp. M ij )jeinfimum(resp.supremum)funkce fnaobdélníku ij =[x i 1,x i ] [y j 1,y j ].)Potomčíslo m n s(f,d)= m ij µ( ij ) i=1 j=1 2
nazývámedolnísoučetfunkce fnaobdélníku přidělení Dačíslo m n S(f,D)= M ij µ( ij ) i=1 j=1 hornísoučetfunkce fnaobdélníku přidělení D. Poznámka: Předpoklad omezenosti funkce f na zaručuje existenci infima a suprema funkce na obdélnících ij,tj.zaručujeexistencičísel m ij a M ij provšechna i=1,2,... m, j=1,2,... n. Poznámka:Vpřípadě,žefunkce fjenezápornánaobdélníku M,majíčísla s(f,d)as(f,d)následující význam(viz obrázek): Číslo m ij µ( ij )jeobjemkvádruvepsanéhoplošenaobdélníku ij a s(f,d)součetobjemů kvádrů vepsaných ploše na všech jednotlivých dělících obdélnících. Číslo M ij µ( ij )jeobjemkvádruopsanéhoplošenaobdélníku ij a S(f,D)součetobjemů kvádrů opsaných ploše na všech jednotlivých dělících obdélnících. Věta1.1 Platí m µ() s(f,d 1 ) S(f,D 2 ) M µ() kde m=inf{f(x,y);(x,y) }, M =sup{f(x,y);(x,y) }ad 1 a D 2 jsoulibovolnádělení obdélníku. Na daném obdélníku můžeme zvolit nekonečně mnoho různých dělení; množinu všech dělení obdélníka označme D().Prokaždédělení D D()můžemeurčithorníadolnísoučet s(f,d)a S(f,D),tzn.žedostanememnožinu {s(f,d); D D()}všechdolníchsoučtůamnožinu {S(f,D); D D()} všech horních součtů funkce f na obdélníku. Podle předchozí věty jsou obě tyto číselné množiny omezené a to nás opravňuje k vyslovení definice: Definice 1.3 Nechť funkce f je definovaná a omezená na obdélníku. Označme f(x,y)dxdy=sup{s(f,d); D D()} a f(x,y)dxdy=inf{s(f,d); D D()}. Číslo f(x,y)dxdy senazývádolníriemannůvintegrálfunkce f na ačíslo f(x,y)dxdy horní Riemannův integrál funkce f na. Jestliže se obě tato čísla rovnají, nazýváme jejich společnou hodnotudvojnýriemannůvintegrálfunkce fna aznačímeji f(x,y)dxdy. 3
Poznámka: Z předpokladu omezenosti a z předchozí věty plyne, že horní a dolní součet, horní a dolní integrál i dvojný integrál jsou konečná reálná čísla. Poznámka:Někdysedvojnýintegrálznačípouzejako f(x,y)dxdy.žesejednáodvojnýintegrál (a nikoli o jednorozměrný integrál) pak poznáme podle toho, jak vypadá množina a podle symbolů dxdyvintegrálu. 2 Podmínky existence dvojného integrálu Označme jako R() množinu všech funkcí definovaných na obdélníku, pro něž existuje dvojný Riemannův integrál na, tj. zápis f R() znamená, že existuje dvojný Riemannův integrál funkce fna.vtompřípadětakéříkáme,žefunkce fjeriemannovskyintegrovatelnánaobdélníku. Věta2.1 Nechťjefunkce fspojitánaobdélníku R 2.Potom f R(). Věta2.2 Nechťjefunkce fomezenáaskorovšudespojitánaobdélníku R 2.Potom f R(). Poznámka: Funkce se nazývá skoro všude spojitá na, jestliže má nejvýše konečný počet bodů nespojitosti nebo jestliže všechny body nespojitosti leží na nejvýše konečném počtu grafů spojitých funkcí. 3 Vlastnosti dvojného integrálu Dvojný Riemannův integrál má obdobné vlastnosti jako jednorozměrný R-integrál. Věta3.1 Nechť f R(), g R(), c R.Potom f+ g R()aplatí(linearita) [f(x,y)+g(x,y)]dxdy= f(x,y)dxdy+ g(x,y)dxdy c f R()aplatí f g R() c f(x,y)dxdy= c f(x,y)dxdy jestliže f(x,y) g(x,y)provšechna(x,y),platí(monotonie) f(x,y)dxdy g(x,y)dxdy f R()aplatí f(x,y)dxdy f(x,y) dxdy jestližeexistujíkonstanty A,B Rtakové,žeprovšechna(x,y) platí A f(x,y) B,pak A µ() f(x,y)dxdy B µ() jestliže = 1 2,kde 1 a 2 jsoudvaobdélníkysvlastností 1 2 =,pak f R( 1 ), f R( 2 )aplatí(aditivitavzhledemkintegračnímuoboru) f(x,y)dxdy= f(x,y)dxdy+ f(x,y)dxdy 1 2 4
Poznámka:Prvnídvěvlastnostilzerozšířitnakonečnýpočetfunkcí:Jestliže f s R()ac s Rpro všechna s=1,2,... S, S N,pak c 1 f 1 + c 2 f 2 + +c S f S R()aplatí (c 1 f 1 + c 2 f 2 + +c S f S )dxdy= c 1 f 1 dxdy+ c 2 f 2 dxdy+ + c S f S dxdy Poznámka:Uvažujeme-likonstantnífunkci f(x,y)=c Rna,potom cdxdy= c dxdy= c µ() Tedyspeciálněpro f(x,y)=1dostaneme 1dxdy= Platí také, že dxdy= µ()...obsah 0dxdy=0 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál Dvojný, stejně jako jednorozměrný integrál, nelze prakticky počítat podle definice. Proto se výpočet dvojného integrálu převádí na výpočet dvou jednorozměrných integrálů, na tzv. dvojnásobný integrál. Přitom musíme zohlednit různé typy množin, pro něž daný integrál počítáme. Návod, jak tento převod uskutečnit, nám dává tzv. Fubiniova věta. Věta4.1(Fubiniovaproobdélník) Nechťfunkce fjespojitánauzavřenémobdélníku =[a,b] [c, d]. Potom platí f(x,y)dxdy= b a ( d c ) f(x,y)dy dx= d c ( b a ) f(x,y)dx dy Z výše uvedeného je vidět, že počítáme dva jednorozměrné integrály. Nejdříve integrujeme podle jedné z proměnných(druhou přitom považujeme za konstantu) a výsledek potom zintegrujeme podle zbývající proměnné. Pořadí integrování je možno zvolit libovolně, výsledek se nebude lišit. Volba pořadí ale může hrát zásadní roli pro samotný výpočet, protože při nevhodné volbě pořadí integrace můžeme dospět buď k dosti složitému integrálu nebo dokonce k takovému, který neumíme vypočítat. Geometrický náhled: Nechťfunkce f jespojitáanezápornánaobdélníku. Pro pevné x vyjadřuje integrál d c f(x,y)dy=f(x)obsahřezutělesarovinou x=konstanta.promalé xje x F(x)= x d c f(x,y)dyobjemmalévrstvyuvažovaného tělesa. Tuto vzniklou funkci F(x)(vnitřní integrál) nyní zintegrujeme podle proměnné x na intervalu[a, b] a tím dostaneme objem tělesa, které má za podstavu obdélník, jeho stěny jsoutvořenyčástmirovin x=a, x=b, y=c a y= dahornípodstavajetvořenačástígrafu funkce f(x, y). e stejnému výsledku bychom dospěli, kdybychom dané těleso rozřezali rovinami y = konstanta. 5
4.1 Dvojný integrál na měřitených množinách Doposud jsme integrovali funkce pouze na obdélníku. Pro praxi to ale nestačí, potřebuje počítat integrály přes obecnější množiny. I v tomto případě se bude dvojný integrál převádět na dvojnásobný, pouze s tím rozdílem, že integračními mezemi nebudou konstanty, ale funkce. Přestosealemusímeomezitpouzenatzv.měřitelnémnožiny.Vpraxisealepraktickysjinými nesetkáváme.mírajezobecněnímpojmuobsahu(v R 2 ),resp.objemu(v R 3 ).Množina R 2 je měřitelná, jestliže existuje její obsah, tj. jestliže existuje integrál dxdy= µ() R. Definice4.1 Existuje-liintegrál dxdy,paksemnožina nazýváměřitelnávjordanověsmyslu ačíslo µ()= dxdysenazývámíramnožiny. Věta4.2 Omezenámnožina R 2 jeměřitelnáprávětehdy,kdyžjejejíhranicetvořena grafy spojitých funkcí jedné proměnné definovaných na uzavřených intervalech. Nejčastěji se budeme setkávat s následujícími množinami, které se nazývají elementární a rozdělujemejenatřizákladnítypy: Elementární množina vzhledem k proměnné x je množina tvaru = {(x,y) R 2 ;x [a,b],f(x) y g(x)}, kde f a g jsou funkce jedné reálné proměnné spojiténa[a,b]takové, žeprovšechna x (a,b)platí f(x) < g(x). Elementární množina vzhledem k proměnné y je množina tvaru = {(x,y) R 2 ;y [c,d], ϕ(y) x ψ(y)}, kde ϕaψjsou funkcejednéreálné proměnnéspojiténa[c,d]takové, žeprovšechna y (c,d)platí ϕ(y) < ψ(x). Elementární množina je uzavřená množina, kterou lze vyjádřit jako sjednocení konečně mnoha disjunktních elementárních množin vzhledem k x nebo y. Poznámka: Někdy máme více možností jakým způsobem integrační obor rozdělit na elementární množinyvzhledemkxnebo y.stanovenífunkcí f a g,resp. ϕaφjeprodanýintegračníoborvelmi důležité, neboť tyto funkce budou mezemi dvojnásobného integrálu. Při určování těchto funkcí je užitečné nakreslit si obrázek. 6
Věta 4.3(Fubiniova pro měřitelnou množinu) Nechťjefunkce fspojitánauzavřenéelementárnímnožině vzhledemkproměnné x,tj. = {(x,y) R 2 ;a x b,g(x) y h(x)}.potomplatí f(x,y)dxdy= b a ( ) h(x) f(x,y)dy dx g(x) Nechťjefunkce fspojitánauzavřenéelementárnímnožině vzhledemkproměnné y,tj. = {(x,y) R 2 ;c y d,ϕ(x) x ψ(x)}.potomplatí f(x,y)dxdy= d c ( ) ψ(x) f(x,y)dx dy ϕ(x) Poznámka: Pro výpočet je důležité správné určení mezí. Pořadí integrace na elementární množině je třeba volit tak, aby meze v posledním integrálu byly konstanty. 5 Geometrické aplikace dvojného integrálu Věta5.1 Nechť R 2 jerovinnáoblast(obrazec).potomplocha jedánavztahem µ()= dxdy. Věta5.2 Nechť fjespojitáfunkcenamnožině R 2 anechť f(x,y) 0provšechna(x,y). PotomobjemkolméhoválceΩ R 3 ohraničenéhozdolamnožinou vrovině(xy)ashoračástígrafu funkce fjeroven v(ω)= f(x,y)dxdy Věta5.3 Nechťjsoufunkce f, f xa f yspojitéfunkcenamnožině R 2.Potomobsahplochy P tvořenégrafemfunkce fnadmnožinou jeroven S(P)= 6 Substituce ve dvojném integrálu 1+(f x) 2 +(f y) 2 dxdy Dále budeme uvažovat pouze takové množiny v rovině, které jsou souvislé a jejichž hranice je uzavřená křivka, která se nikde neprotíná a kterou můžeme popsat konečným počtem hladkých funkcí jedné proměnné(tj. funkcí, které jsou spojité a mají spojité první derivace). V praxi se setkáváme téměř jen s množinami, které mají tyto vlastnosti. Jsou to mj. čtverec, mnohoúhelník(i křivočarý), vnitřek elipsy, kruh, mezikruží apod. Některé množiny ale nejsou příliš vhodné jako integrační obory a proto se používá tzv. transformace souřadnic. Místo původní množiny používáme vhodnější transformovanou množinu. Věta 6.1(Transformace souřadnic ve dvojném integrálu) Nechť se uzavřená omezená množina N R 2 (proměnných u,v)zobrazípomocísoustavyrovnic x=g(u,v) a y= h(u,v) 7
vzájemnějednoznačněnauzavřenouomezenoumnožinu M R 2 (proměnných x,y),přičemžfunkce gahjsouvn spojitéspolusesvýmiparciálnímiderivacemi g u, g v, h u a h v aprotzv.jacobiův determinant(jakobián) platí g g u v J= 0 vevšechbodechmnožiny N.Dálenechťfunkce f= f(x,y)jespojitána M.Potomplatí f(x,y)dxdy= f(g(u,v),h(u,v)) J dudv, kde J je absolutní hodnota jakobiánu. M h u N Jednou z nejčastějších transformací je transformace dvojného integrálu z kartézských do polárních souřadnic, kde příslušné převodní rovnice mají tvar h v x=ρcos ϕ a y= ρsin ϕ (PS) (Místo u a v se u této transformace tradičně používají proměnné s označením ρ a ϕ.) Jakobián této transformace má potom tvar J= cos ϕ ρsin ϕ sin ϕ ρcos ϕ = ρ(cos2 ϕ+sin 2 ϕ)=ρ>0 všude kromě počátku(pólu). Potom platí f(x,y)dxdy= M N f(ρcos ϕ,ρsin ϕ) ρ dρdϕ V některých případech je lepší použít tzv. zobecněné polární souřadnice x=aρcos ϕ a y= bρsin ϕ (zps) 8