75 Paabola Předoklad: 750, 7507 Pedagogická oznámka: Na všechn říklad je otřeba asi jeden a ůl vučovací hodin Paabolu už známe: matematika: Gafem každé kvadatické funkce = a + b + c je aabola fzika: Předmět, kteý hodíme z věže vodoovně, se ohbuje o aabole (odobně ři šikmém vhu) technika: Satelitní signál řijímáme omocí aabol (aabolických antén) Planimetická definice aabol: V ovině je dán bod a římka, kteá jím neochází Množina všech bodů ovin, kteé mají stejnou vzdálenost od bodu a od římk, se nazývá aabola Bod se nazývá ohnisko, římka řídící římka aabol Př : V ovině je dán bod a římka, kteá jím neochází Nakesli několik bodů aabol, o kteou je bod ohniskem a římka řídící římkou P V Sestojíme kolmici na římku, ocházející ohniskem Patu kolmice označíme P Střed úsečk P je bodem aabol, značíme ho V a říkáme mu vchol V libovolné vzdálenosti větší než je vzdálenost V naýsujeme ovnoběžku s Stejnou bavou naýsujeme kužnici ( ) ; k Půsečík kužnice s ovnoběžkou jsou další bod aabol
Stejný ostu jsme ovedli v několika bavách Získali jsme vžd dvojici bodů souměných odle os aabol římk V aabola je osově souměná odle římk V Pedagogická oznámka: Na konstukci jiných bodů než vcholu většina studentů neřijde I kdž je říklad důležitý, nemá cenu řešení říliš otahovat, leší je ukázat konstukci jedné dvojice bodů a nechat student, ab našli další Poojíme naši definici aabol s aabolou jako gafem kvadatické funkce Ukážeme si, že gafem funkce = je aabola s ohniskem Př : Uči řídící římku aabol Nakeslíme obázek: = za ředokladu, že jejím ohniskem je bod - - Vzdálenost mezi vcholem a ohniskem se ovná vzdálenosti mezi vcholem a řídící římkou vidíme, že řídící římkou je římka = Př 3: Dokaž, že gafem kvadatické funkce a řídící římkou = = je aabola s ohniskem v bodě Naíšeme si odmínku o bod na aabole: X = X
X[;] X X Učujeme vzdálenost X Vzdálenost X je složena ze dvou částí: čákovaná část se ovná -souřadnici bodu X, tečkovaná (kátká) se ovná - - Platí: X = + (absolutní hodnota zajišťuje latnost vztahu i o záoné hodnot ) Dosadíme do ovnosti X ( ) = X : 0 + = + / (umocněním se zbavíme odmocnin i absolutní hodnot) ( 0) + = + + + = + + 6 6 = Přesně v to jsme doufali Pedagogická oznámka: Je třeba dát ozo na to, ab studenti ochoili ovnici o vzdálenost X Teď si můžeme odvodit ovnici aabol, nejdřív ve seciální oloze, kteou jsme dosud oužívali Př : Osa aabol je shodná s osou, vchol aabol leží v očátku soustav souřadnic Vzdálenost mezi ohniskem a řídící římkou si označíme Uči souřadnice ohniska aabol a ovnici její řídící římk Dosazením do odmínk o bod aabol odvoď její ovnici X[;] X X V Z obázku je vidět, že latí:, = 3
X = X X = + Podobně jako v ředchozím říkladě latí: ( ) 0 + = + / + = + + + = + + = Pedagogická oznámka: Na začátku je třeba zkontolovat, zda mají studenti sávně uřčené souřadnice ohniska a ovnici řídící římk Paabola s ohniskem a řídící římkou = je dána ovnicí 0 = (kde > je vzdálenost ohniska od řídící římk) Vcholem této aabol je bod [ 0;0] osou aabol je souřadná osa a aabola leží v oloovině 0 V, Pedagogická oznámka: Se vzdáleností jsou velké oblém Studentům řijde řiozené, že b ísmenem měla být označena vzdálenost ohniska od vcholu (což bch cháal i já) nebo že b měla být dvojnásobná, abchom získali ovnici = Říkám jim, že oba náad jsou samozřejmě možné, ale volba už bla učiněna a m se ji musíme řizůsobit Je třeba však očítat s tím, že v následujících říkladech bude ůsobit mnohé oblém Př 5: Paabola je dána ovnicí načtni její obázek = Uči souřadnice ohniska, ovnici řídící římk a Uavíme si ovnici do tvau = : = V Vidíme, že latí: = Vchol aabol [ 0;0] = Ohnisko aabol: 0; [ 0;] = = Řídící římka: = = =
- - - - Př 6: Paabola je dána ovnicí načtni její obázek = Uči souřadnice ohniska, ovnici řídící římk a Téměř stejná aabola jako v ředchozím říkladě Uavíme si ovnici do tvau = : = = Sovnáme s ovnicí z ředchozího říkladu: Předchozí ovnice: = Aktuální ovnice: = Levá stana ovnice: nezáoná čísla ( ) na avé staně musí být také nezáoné Levá stana ovnice: nezáoná čísla ( ) na avé staně musí být záoné (nebo nula), ab o vnásobení mínusem všlo kladné číslo (nebo nula) Až na znaménko vhovují ovnici stejné dvojice čísel jako v ředchozím říkladě gaf aabol = bude řekloený od osu do oloovin 0 - - - - Vidíme, že latí: = Ohnisko aabol: 0; = [ 0; ] Řídící římka: = = Pedagogická oznámka: Někteří studenti mají tendenci uavit ovnici do tvau = a sát = Oět je třeba se vátit ke kořenům, kd jsme si řekli, ( ) že má význam vzdálenosti a musí být ted nezáoné Eistují ještě další dva t aabol s vcholem v očátku soustav souřadnic 5
Př 7: Uči souřadnice ohniska, ovnici řídící římk a načtni obázek aabol daných ovnicí: a) = b) = a) Paabola = Rovnice je odobná ovnici =, ouze jsou ohozen souřadnice a osou aabol bude souřadná osa Uavíme ovnici na základní tva: = okud mají souhlasit znaménka obou stan gaf bude ležet v oloovině 0 = latí: V 0;0 - - - - = Vchol aabol [ ] = Ohnisko aabol: ;0 [ ;0 ] Řídící římka: = = = b) Paabola = Rovnice je odobná ovnici =, ouze se na avé staně ovnice vsktuje mínus okud mají souhlasit znaménka obou stan gaf bude ležet v oloovině 0 Uavíme ovnici na základní tva: = latí: V 0;0 - - - - = Vchol aabol [ ] Ohnisko aabol: ;0 = [ ;0 ] Řídící římka: = = = Pedagogická oznámka: Studenti nemají s říkladem velké oblém 6
Př 8: Je dána kvadatická funkce = a Uči její ohnisko a řídící římku Rovnici řevedeme do základního tvau: = a = a = a Vidíme, že latí: a V [ 0;0 ] Ohnisko aabol: 0; = 0; a Řídící římka: = = a Př 9: Petáková: stana 7/cvičení 57 b) d) Shnutí: Paabola s vcholem v očátku je osána ovnicí = ± nebo kde aamet 0 udává vzdálenost ohniska od řídící římk = ±, 7