METODY MULTIKRITERIÁLNÍHO ROZHODOVANÍ PRO MANAŽERY

Morvsá vysoá šol Olomouc, o.p.s., Ústv formty plové mtemty METODY MULTIKRITERIÁLNÍHO ROZHODOVANÍ PRO MANAŽERY Část Studí tety Prof. Dr. Ig. Mroslv Poorý PhDr. Mgr. Zdeň Kršová, Ph.D. Olomouc, 06

06, Mroslv Poorý, Zdeň Kršová ISBN 978-80-7455-066-9

OBSAH ÚVOD... 5 TEORIE MULTIKRITERIÁLNÍHO ROZHODOVÁNÍ... 0. ZÁKLADNÍ POJMY PROCEDUR ROZHODOVÁNÍ... 0. MODELY TEORIE ROZHODOVÁNÍ... 3 METODY SPOJITÉHO ROZHODOVÁNÍ... 5 3. METODY JEDNODUCHÉHO (MONOKRITERIÁLNÍHO) SPOJITÉHO ROZHODOVÁNÍ... 5 3.. LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ... 6 3.. SIMPLEXOVÁ METODA... 6 3..3 DUÁLNÍ ÚLOHA LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ... 8 4 METODY MULTIKRITERIÁLNÍHO SPOJITÉHO ROZHODOVÁNÍ... 0 4. MULTIKRITERIÁLNÍ LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ... 4. METODY S INFORMACÍ A-PRIORI... 4.3 METODY S PRŮBĚŽNOU INFORMACÍ... 4.4 METODY S INFORMACÍ A-POSTERIORI... 4 5 METODY DISKRÉTNÍHO ROZHODOVÁNÍ... 3 5. TYPY ROZHODOVACÍCH PROCESŮ... 3 5.. ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY... 3 5.. ROZHODOVÁNÍ ZA NEURČITOSTI... 3 5..3 ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA... 34 5. GRAFICKÉ ZNÁZORNĚNÍ PROCEDURY MULTIKRITERIÁLNÍHO ROZHODOVÁNÍ... 35 6 METODY MULTIKRITERIÁLNÍHO DISKRÉTNÍHO ROZHODOVÁNÍ... 39 6. FORMULACE PREFERENCÍ ROZHODOVATELE... 39 6. FORMULACE PREFERENCÍ MEZI KRITÉRII... 39 6.. INFORMACE O ASPIRAČNÍCH ÚROVNÍCH KRITÉRIÍ... 39 6.. INFORMACE O USPOŘÁDÁNÍ KRITÉRIÍ... 4 6..3 INFORMACE O VÁHÁCH KRITÉRIÍ... 4 6.3 FORMULACE PREFERENCÍ MEZI VARIANTAMI... 45 6.3. PREFERENČNÍ RELACE... 45 6.3. KONSTRUKCE PREFERENČNÍCH RELACÍ VARIANT... 47 7 METODY ANALÝZY OBALU DAT... 5 7. DÍLČÍ MODELY... 5 7. OBECNÁ FORMULACE MODELU... 5 8 NEKONVENČNÍ METODY MULTIKRITERIÁLNÍHO ROZHODOVÁNÍ... 53 8. ROZHODOVÁNÍ A UMĚLÁ INTELIGENCE... 53 8. METODY ŘEŠENÍ ÚLOH... 54 8.. NEINFORMOVANÉ METODY PROHLEDÁVÁNÍ STAVOVÉHO PROSTORU... 55 8.. INFORMOVANÉ METODY PROHLEDÁVÁNÍ STAVOVÉHO PROSTORU... 56 8..3 METODA PRIAM... 59 8.3 EXPERTNÍ SYSTÉMY... 6 8.3. PRAVDĚPODOBNOSTNÍ EXPERTNÍ SYSTÉMY... 63 3

8.3. FUZZY LOGICKÉ EXPERTNÍ SYSTÉMY... 66 8.3.3 FUZZY SYSTÉM PRO MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ A ROZHODOVÁNÍ... 73 9 LITERATURA... 76 4

ÚVOD Proces rozhodováí e vlstí ee odboríům ve speclzových oborech v rámc ech profesoálí čost de o metálí tvtu, terou prtcy permetě provádíme v průběhu celého žvot Procesy rozhodováí sou permetím tvtm, terým e plě běžý žvot ždého z ás. I dyž e ech chrter velce rozmtý, směřuí vždy lezeí řešeí určté problémové stuce určtého systému. Je všeobecě zámo, že vlt rozhodutí e dá složtostí rozhodovcího problému, t té schopostm rozhodovtele. Složtost rozhodovcího problému shá od problémů edoduchých, přípdě tových, teré řešíme z hleds pouze edoho hleds (rozhodovcího rtér), ž po omplové, př ech řešeí musíme brát v úvhu více (mohdy protchůdých) rtérí. Tová tříd rozhodovcích problémů e řeše procedurm multrterálího rozhodováí, teré můžeme řdt do třídy problémů složtých. Schopost rozhodovtele ve smyslu lezeí elepšího (optmálího) rozhodutí (řešeí rozhodovcí úlohy) sou dáy eho obecým zlostm procesů, probíhících v oblst rozhodováí, t té eho profesoálí zušeostí, terá v dlouhodobém prcovím horzotu vede zísáí zlostí subetvích (osobích poztů, ow-how, heurst). Tyto subetví zlost profluí odborí o epert v oboru sou záldem vlty eho rozhodováí. Problemt rozhodováí moderího mžer S rostoucí složtostí s rostoucí teztou působeí stále většího počtu vtřích věších vlvů orgzce se ždý mžer setává s velým možstvím problémů, teré musí rychle vlfově řešt. Rozhodováí e čost, terá e s tvtm mžer erozlučě spt. Větš orgzcí relzue své tvty ve stále složtěších, čsto dymcy se měících stresuících podmíách. Proces rozhodováí e proto velm složtý áročý. N Obr.. e resleo, složtá e pozce mžer ve smyslu ftorů, teré ě působí []. Rostoucí ourece Složtěší provozí prostředí Složtěší obchodí prostředí Zrcováí dspoblí doby Rostoucí formčí potřeby MANAŽER Promělvost zázcých poždvů Rostoucí áldy chybých rozhodutí Klesící spolehlvost progóz Obr.. Prostředí rozhoduícího se mžer. 5 Měící se trhy

Součsé frmy musí čelt stále větší domácí zhrčí ourec, v důsledu prudého ourečího boe prtcy vymzely stblí spolehlvé trhy. Tl měících se poždvů přáí ze stry zázíů roste. Sh frem o dosžeí potřebé vlty o uspooeí zázíů musí růst. N druhé strě mí mžeř dspozc stále dooleší formčí omučí systémy, vzí metody lýzy velého možství formcí. Jsou vyvíey specálí počítčové systémy pro podporu rozhodováí (umělá telgece). Prvy rozhodovcího procesu Uveďme hed v úvodu důležté pomy, teré e třeb defovt pro správé pochopeí obecého procesu rozhodováí mžer []. V dlších ptolách budou tyto pomy používáy dále obsňováy: Cíl rozhodováí Stv frmy, ež chceme dosáhout. Cíle mohou být strtegcé ttcé ebo opertví. Cíl může být ede ebo součsě může být stoveo cílů více, teré se mohou doplňovt ebo být dooce v ofltu. Form ech vyádřeí může být číselá ebo sloví. Krtérum rozhodováí Může být vtttví ebo vlttví, výosového ebo áldového typu. Krtérum rozhodováí hre velou rol o účelová fuce rozhodovcích optmlzčích procedur. Subet obet rozhodováí Subetem může být edotlvec ebo tým. Obetem rozhodováí e orgzčí edot, v eíž rámc e zformulová problém, sou stovey cíle eho řešeí, terých se rozhodováí týá. Vrty rozhodováí Předstvuí možé způsoby edá rozhodovtele, teré mí vést e splěí cílů. Vrty řešeí mohou být v edoduchých rozhodovcích úlohách evdetí, řešeí složtých problémů vyždue vytvořeí vrt záldě procesů shromžďováí zprcováí formcí. Stv svět Budoucí stuce, teré mohou ovlvt efety relzové vrty vzhledem ěterým stoveým rtérím. Přístup řešeí rozhodovcích problémů Obecý postup př řešeí problému vícerterálího rozhodováí rozdělíme do 4 roů, terým sou: stoveí cíle rozhodováí, vyčleěí možy vrt vyčleěí možy rtérí, dílčí vyhodoceí všech vrt podle edotlvých rtérí, gregce dílčích hodoceí do výsledého celového hodoceí výběr elepší vrty. K řešeí rozhodovcích procesů e třeb přstupovt promyšleě, systemtcy rcoálě. N řešeí mohých problémů e možo se přprvt předem hvrí mmořádé stuce lze čsto předvídt. J ž bylo uvedeo v předchozí ptole, e třeb 6

shromáždt formce, provést lýzy, posoudt rz ech příčy, rozhodout o přístupech řešeí, vytvořt vrty řešeí, vyhodott ech vlstost, rcolzovt rozhodovcí proces využtím výpočetí techy vybrt řešeí optmálí. Rcoálí postupy rozhodováí sou čsto provázey pomy stučí lýz, lýz rozhodovcího problému tvorb vícerterálí hodoceí vrt [3]. Stučí lýz zhodotí rozhodovcí stuc, detfue defue rozhodovcí problémy, stoví postupy prorty ech řešeí. Stučí lýz má velý výzm zvláště v přípdech složtých ompleích rozhodovcích problémů. Alýz rozhodovcího problému se soustřeďue provedeí uzálí lýzy. Je to proces hledáí detfce příč vzu rozhodovcích problémů. Hledá vzthy mez ech příčm důsledy. Ozčeí elmce epřízvých důsledů ech příč e součástí mgemetu rz, o ěmž e poedáo dále. Přístup mžer řešeí rozhodovcích problémů musí být dferecový z hleds podmíe pro rozhodováí (rozhodováí v podmíách stoty ebo estoty, rozhodováí z rz) z hleds stupě struturovtelost problému (dobře č šptě struturové problémy). Mžer musí být schope efetvě rozhodovt záldě logcých úvh důldých vtttvích lýz, doplěých závěry plyoucí z eho vlstích zušeostí tuce předstvuící závěry lýzy vlttví. Kždý mžersý problém musí být tedy zoumá ze dvou hledse z hleds vlttvího z hleds vtttvího. Mžer přímá rozhodutí záldě formcí, teré zísává z procesů vlttví vtttví lýzy. Chrterstcým rysem rozhodovcího problému e to, že pro eho řešeí se obvyle bízí ěol přípustých řešeí (ltertv, vrt) e třeb se správě rozhodout pro edu z ch [4]. Ke stoveí přípustých ltertv řešeí musí být mžer vybve vhodým obecým postupem (lgortmem), terý mu umožňue tyto ltertvy geerovt. Přtom může ít o eho vlstí myšleové postupy ebo speclzový počítčový progrm (vtttví ebo vlttví model). Teto postup zýváme obecým řešeím problému. Jedotlvé ltertvy sou dále oceňováy hodocey z hleds rtérí ž e vybráo řešeí elepší. Toto řešeí se zývá prtulárím řešeím problému. Nlezeí elepší ltertvy e obvyle prováděo pomocí speclzových postupů, teré předstvuí řešeí optmlzčího problému rozhodováí. Optmálí řešeí se obvyle hledá s pomocí vtttvích (ebo vlttvích) výpočtů. Klíčové postveí v procesu rozhodováí zuímí formce o obetu rozhodováí. Podsttá e sutečost, že vtttví (číselé) formce mohou být šptě dostupé, eúplé ebo ztížeé větším č meším chybm. Nprot tomu formce vlttví 7

(sloví) mohou být v mohých přípdech dostupěší, správěší pro rozhodovcí proces užtečěší. V procesu rozhodováí využíváme dt, formce zlost []. Poem dt e spoe s umercým ebo lfumercým zy, tvořícím řetězce. Iformce sou dt, orgzová tovým způsobem, že sou pro příemce srozumtelá smysluplá. Zlost p můžeme defovt o sou zručeou předstvu o věc ebo událost (prtcá zušeost, dovedost, vědomost, pozáí). Podle závslost stupě bstrce možství můžeme reslt zámý pyrmdový grf Obr... ZNALOSTI INFORMACE DATA Obr.. Vzth mez stupěm bstrce možstvím dt, formcí zlostí. O výzmu zlostí (zvláště p zlostí subetvích) pro vltu rozhodováí mžer sme se ž zmíl. Problemtce využtí zlostí př ostruc počítčových systémů pro podporu rozhodováí budeme eště hovořt bude mu věová zvláští ptol. Volb stylu rozhodováí Rozhodovcí stuce může být v mžersé pr velm rozmtá. Něteré problémy sou edoduché může e úspěšě řešt edotlvec (rozhodováí dvduálí). V ých, zvláště ompleích přípdech, rozhodue ebo lespoň rozhodováí přprvue sup zteresových osob (rozhodováí supové, oletví, týmové, prtcptví). Mír účst edotlvých osob může být podle orétí stuce růzá. Čley terdscplárího řeštelsého týmu t mohou být [4]: Tech ebo techolog - speclst detly uvžového procesu. Eoom - odhdue eoomcé stráy procesu přípdě stoví rtér vlty řešeí. Vyždue se, by eoom byl součsě doole obezáme s procesem. Systémový lyt - ovládící systémové postupy, mtemtcé metody rozhodováí ech lgortmcé ztvárěí. Dlší odboríc - podle povhy problému (psycholog, práví pod.). Řeštelsý tým sestvue eho vedoucí (odpovědý řeštel), terého meue buď řídcí prcoví podu (poud pod řeší problém vlstím slm) ebo mžer ozultčí frmy (dostl-l frm řešeí problému o zázu). 8

K výběru stylu rozhodováí mohou být využty růzé metody využívící mtemtcých modelů [5], [6]. Etí metody počítčové systémy pro podporu rozhodováí Vývo vědích oborů teore systémů, eoome, eoomy, mtemty, formty výpočetí techy přesl možost podpory rozhodováí s využtí speclzových etích procedur počítčových modelů. Modely teore rozhodováí sou záldem pro ostruc systémů pro podporu rozhodováí. Jsou to speclzové počítčové progrmy, teré zprcováví řdu údů doporučuí rozhodovtel vhodá rozhodutí [7]. Teore multrterálího rozhodováí e postve mtemtcém modelováí. V součsé době e dspozc celá řd metod, teré ptří záldí teoretcé výbvě eoom mžer. Učebce uvádí ty z ch, teré odrážeí ečstěší typy rozhodovcích mžersých úloh. Bylo ž řečeo, že vlt rozhodutí zvláště v přípdech složtých vícerozměrých úloh závsí do zčé míry epertích zušeostech rozhodovtele. Př úvhách o počítčové formlzc příslušých epertích metálích procesů musíme vycházet ze sutečost, že ldsé procesy uvžováí esou umercé, mtemtcé, ýbrž eumercé zyové. Člově uvžue s využtím slov vět přrozeého zy. Chceme-l proto vytvořt systémy (počítčové progrmy), teré budou schopy řešt složté (rozhodovcí) problémy steě vltě o člově (epert v dém oboru), bude ezbyté vytvořt metody, teré umoží reprezetc vágích zyových pomů v počítč vytvořt postupy, teré opercem d těmto pomy vyproduuí vltí závěry. Teto úol e edím z posláí vědího oboru Umělá telgece [8]. Tyto metody, teré povžueme z metody eovečí poročlé, sou východsem moh prtcých počítčových systémů, teré sou určey podpoře rozhodováí zvláště v přípdech estece estoty, multrterlty vysoé ompleost. O tových systémech bude poedáo v závěrečé část učebce. Učebí tet e urče studetům, teří s osvoí záldí metody etích přístupů řešeí rozhodovcích multrterálích úloh zísí zlost dovedost, teré upltí ve své pr. Prtcé řešeé příldy, teré usdí pochopeí teoretcých prcpů prtcých plcí uvedeých metod, sou uvedey ve zvláštím učebím tetu [0]. Učebí tet [9] předstvue vybré omerčí progrmové systémy, určeé pro řešeí úloh multrterálího rozhodováí. 9

TEORIE MULTIKRITERIÁLNÍHO ROZHODOVÁNÍ. ZÁKLADNÍ POJMY PROCEDUR ROZHODOVÁNÍ Rozhodováí e proces, v ěmž e z možy přípustých řešeí (vrt) vybírá tové, teré co evíce odpovídá stoveému rtéru (rtérím) z účelem dosžeí stoveých cílů. Je to proces vybíráí edé vrty ze sezmu v dé stuc potecálě relzovtelých přípustých vrt. Rozhodovtel e rozhoduící subet, terý provádí výběr z přípustých vrt rozhodutí. Systém pro podporu rozhodováí e tertví počítčový systém pro podporu rozhodovcích procedur. Zhrue báz dt (všechy dostupé formce pro dé rozhodováí) báz modelů metod (zhrue procedury zprcováí dt, směřuící formc o rozhodutí) [7]. Modely rozhodováí sou (zedodušeé) bstrtí reproduce reálého systému (zde procesu rozhodováí), teré umožňuí smulovt modelového procesu t. mět podmíy průběhu procesu posuzovt ásledy těchto změ. Vrt rozhodutí orétí řešeí ze sezmu (rozhodovcí možy) v dé stuc potecálě relzovtelých řešeí rozhodového problému Vrt domová vrt, terá e ve všech rtérích hodoce steě lespoň v edom rtéru hodoce hůře, ež á (domuící) vrt, Vrt edomová vrt, e teré eestue v možě vrt á vrt, terá e lépe hodoceá lespoň podle edoho rtér e hůře podle osttích rtérí. Vrt pretovsá edá se o vrtu, terá e edomová. Pretovsá vrt doshue lepšího ohodoceí podle edoho rtér z ceu zhoršeí ého rtér, Vrt optmálí e vrt, reltvě edozčě doporučeá e oečému výběru ebo relzc. Vrt deálí tto vrt může být reálá ebo hypotetcá. Ve všech rtérích doshue elepších hodot, Vrt bzálí ttéž reálá ebo e hypotetcá vrt. Ve všech rtérích e eí ohodoceí ehorší. Vrt ompromsí edomová vrt, terá e o edá doporuče o řešeí problému. Výběr této vrty závsí použtém postupu řešeí. 0

Rozhodovcí rtérum e prvdlo, podle terého sou porováváy hodocey edotlvé vrty. Rozhodovtel vydřue pomocí rtér možě vrt svoe preferece. Estue-l p rterálí fuce f, terá přřzue ždé vrtě hodotu rozhodovcího rtér, potom hledáme tovou vrtu, eíž hodot rterálí fuce e etrémí (evyšší ebo ežší). Dsrétí rozhodovcí mož vrt estue v přípdě, dy lze sestvt eplctí sezm vrt, terých e oečý počet. Spotá rozhodovcí mož vrt estue v přípdě, dy vrt e popsá hodot svých p- prmetrů, teré se mohou spotě mět. Mož rozhodovcích vrt e p vyádře mplctě soustvou omezuících podmíe edotlvých eích prmetrů. Dsrétí proces rozhodováí Rozhodovcí vrtou e ždá vrt z eplctího sezmu potecálích dsrétích vrt. Rozhodovcí model e p formlzová o úloh hodoceí vrt. Spotý proces rozhodováí Rozhodovcí vrtou v přípdě ech spoté možy e ždý vetor p- proměých, terý splňue soustvu omezuících podmíe rozhodovcích vrt proto může být eoečě moho. Rozhodovcí model e p relzová o úloh mtemtcého progrmováí. Multrterálí rozhodovcí problémy Jsou popsáy možou vrt, možou rozhodovcích rtérí řdou vzeb mez rtér vrtm. Cílem rozhodovcí procedury e lézt vrtu, terá by podle všech rtérí dosáhl součsě poud možo co elepšího ohodoceí. Z hleds formy formcí o možě vrt možě rtérí e opět možo rozdělt modely multrterálího rozhodováí dsrétí spoté.. MODELY TEORIE ROZHODOVÁNÍ Úlohu rozhodovcího procesu můžeme relzovt pouze tehdy, poud estue mož vrt eího řešeí. Podle vyádřeí formce o této možě můžeme provést záldí rozděleí modelů rozhodováí modely dsrétí modely spoté. Teto studí mterál obshue v ásleduících ptolách rozprcováí metod procedur rozhodováí, teré sou vázáy s pomy úlohm, defovým v ásleduícím přehledu. Dsrétí mož vrt e eplctě popsá sezmem vrt, terých e oečý počet. Ozčíme tuto možu A budeme předpoládt, že obshue p vrt A,...,., p U spotých rozhodovcích modelů sou vrty chrterzováy hodotm svých prmetrů, teré se mohou spotě mět. Vrt e p popsá vetorem hodot těchto prmetrů,...,.,

Spotá mož vrt e vyádře mplctě soustvou omezuících podmíe Rozhodovcí vrtou e p ždý vetor proměých, terý soustvu omezuících podmíe splňue. Proto může být rozhodovcích vrt eoečě moho. Ozčme tuto možu vrt X předpoládeme, že e zdá soustvou m- omezuících podmíe de b, X R ; g ( ) b,,,..., m, 0,,,...,, g,, g,... g sou zámé fuce proměých,,..., m, hodoty, b,... b m sou hodoty prvých str omezuících podmíe. Předpoládeme, že složy vetoru,..., sou ezáporé., Dsrétí model rozhodováí, ehož rozhodovcí mož obshue p- rozhodovcích vrt, můžeme zpst ve tvru f ( ) m A,,...,. p Operátor mm p vydřue poždve hledáí etrému (zde mm) rterálích fucí. Spotý model rozhodováí můžeme zpst ve tvru f ( ) X m R ; g ( ) b,,,..., m, 0,,,..., Tto úloh se zývá úlohou mtemtcého progrmováí. Poud sou všechy fuce g, g,..., g fuce f leárí, stává se tto úloh problémem leárího m progrmováí, e edá o progrmováí eleárí. Leárí úlohy sou sáze řeštelé. Úlohu leárího progrmováí můžeme vyádřt vzthy z c T X m R A b, 0 de A e tzv. mtce struturích oefcetů, b e vetor prvých str omezuících podmíe c e vetor oefcetů rterálí fuce. V edodušším přípdě poud výběr vrty probíhá v režmu edého hodotcího rtér, lze všechy formce od rozhodovtele zhrout od zčátu řešeí o součást úlohy. Tovým příldem e obecě úloh mtemtcého progrmováí možě vrt - defové omezuícím podmím - hledá vrtu, vyzuící etrém edé rterálí fuce. Ve složtěší stuc, dy rozhodováí o výsledé vrtě probíhá záldě posouzeí více rtérí součsě, stává omplce př pousu zhrout do modelu všechy relevtí formce. Úloh p hledá ompromsí vrtu, terá zohledňue všech rtér. Multrterálí rozhodovcí úlohy sou p popsáy možou vrt, možou rozhodovcích rtérí řdou vzeb mez rtér vrtm. Součástí multrterálího rozhodovcího modelu p musí být možost vstupu dodtečé formce, terou

rozhodovtel ebyl schope zhrout přímo do záldí úlohy. Př vyádřeí rozhodovtele o možě vrt možě rtérí e p opět vhodé rozdělt multrterálí modely dsrétí spoté. Dsrétí multrterálí model rozhodováí - obsh formce spočívá v ohodoceí vrt podle edotlvých rtérí, přčemž formce mohou mít růzou formu. Výsledá vrt by měl mít co elepší ohodoceí podle všech vrt součsě. Uvžueme-l rtérí, má úloh tvr f ), f ( ),..., f ( ) " m", A ( de A e prostor rozhodovcích vrt, soustředěá do rterálího prostoru F. 3 e rozhodovcí vrt f, f,..., f Optmálí (deálí) vrtou e tová vrt, terá dosáhl elepšího ohodoceí podle všech rtérí součsě. Tová vš čsto v prostoru vrt eestue, proto e třeb přeít od poždvu optmlty poždvu edomovost. Nedomová vrt e tová, e teré eestue v možě vrt á vrt, lépe hodoceá lespoň podle edoho rtér e hůře podle osttích rtérí. Mož edomových vrt A N vš může být rozsáhlá, proto e obvyle třeb zíst dodtečé preferečí formce od rozhodovtele. Spotý multrterálí model rozhodováí má možu vrt vyádřeou mplctě soustvou omezuících podmíe o u úlohy mtemtcého progrmováí. Mož rtérí e dá možou rterálích fucí, echž etrém se hledá možě omezuících podmíe. Úloh vícerterálího progrmováí má potom tvr F ( ) f ( ), f X R ( ),..., f ( ) ; g ( ) b,,,..., m, " m" 0,,,..., de e počet proměých, m počet vlstích omezeí počet rtérí. Poud sou všechy fuce g, g,..., g fuce f leárí, stává se tto úloh problémem leárího m progrmováí, e edá o progrmováí eleárí. Leárí úlohy sou sáze řeštelé. Úlohu multrterálího leárího progrmováí můžeme vyádřt vzthy z( ) C X R " m" A b, 0 de A e tzv. mtce struturích oefcetů, b e vetor prvých str omezuících podmíe C e mtce ( ) oefcetů rterálích fucí. Nevětším problémem úloh multrterálího rozhodováí e gregce dílčích poždvů, vztžeých edotlvým rtérím, do poždvu globálího, vztžeého e všem rtérím součsě. Př řešeí tohoto problému se eobedeme bez upltňováí dodtečých formcí o výzmost rtérí. Tto formce může být vyádře formou sprčích úroví rtérí (t. velost ech hodot, teré sou poždováy pro ceptováí vrty), ve formě formce ordálí (t. vyádřeím pořdí důležtost rtérí) ebo ve formě formce rdálí (t. vyádřeím vh edotlvých rtérí).

Modely metody řešeí sou p rozděley podle toho, ve teré fáz řešeí úlohy rozhodovtel svoe vyádřeí (preferece) do procesu řešeí vládá. Modely metody s formcí pror využíví přístupu, dy rozhodovtel e schope vyádřt úloze předt preferečí formce před zpočetím eího řešeí. Iformce sou zhruty do úlohy tovým způsobem, že umoží řešt úlohu o edoduchou - moorterálí. Modely metody s formcí posteror evyžduí zvedeí preferecí před zháeím řešeí, ýbrž umožňuí rozhodovtel posytutí formcí o dlším postupu řešeí v eho závěru. Teprve po lezeí možy edomových řešeí e oečé řešeí ompromsí lezeo záldě vložeí preferecí dodtečých. Modely metody s průběžou formcí využíví prcpu tertvího doplňováí formcí v průběhu řešeí. Řešeí e typcé tertvím dlogem mez počítčem rozhodovtelem. Modely lýzy oblu dt (DEA Dt Evelopmet Alyss) evyužíví preferecí, ýbrž postupuí cestou porováváí efetvost tzv. rozhoduících edote, pro ěž e typcé použtí více vstupů výstupů (provozovy, prodey pod). Pro gregc více vstupů více výstupů do edého uztele se používí váhy. Ty sou vš poty, ež v předchozích preferečích metodách, dy sou váhy zdáy. Pomocí DEA sou totž hledáy, to tové, teré mmlzuí efetvost zoumé rozhoduící edoty. Reltví efetvost rozhodovcí edoty e stove mmlzcí poměru mez edým gregovým výstupem edým gregovým vstupem o hodot meší ebo rová edé. Efetví edoty sou p tové, teré doshuí mmálí hodoty tohoto podílu. Metod e grfcá spoeím bodů, teré předstvuí efetví edoty, dostáváme tzv. efetví hrc, terá tvoří obl dt (Dt Evelopmet). Obecá úloh DEA vede úloze leárího lomeého progrmováí. Uvedeé modely příslušé metody budou v ásleduících ptolách detlě prezetováy. 4

3 METODY SPOJITÉHO ROZHODOVÁNÍ Důležtým roem řešeí rozhodovcích úloh e určeí možy přípustých vrt. Jedím z rozhoduících spetů volby vlstí metody rozhodováí e způsob (form) zdáí této možy [9]. V prvím rou budeme předpoládt, že vrt řešeí úlohy e popsá vetorem hodot svých prmetrů, teré se mohou spotě mět. Tové rozhodovcí úlohy budeme řešt s použtím metod spotého rozhodováí. Tyto metody budou středem pozorost této ptoly. Jý přípd ste, poud e mož přípustých vrt zdá ve formě oečého sezmu, p volíme metody dsrétího rozhodováí - multrterálího hodoceí (lýzy) vrt. Těmto metodám bude věová Kp.6. 3. METODY JEDNODUCHÉHO (MONOKRITERIÁLNÍHO) SPOJITÉHO ROZHODOVÁNÍ Předpoládeme, že vrt e popsá vetorem proměých hodot svých - prmetrů [7],...,. (3.), Kždá vrt e vyádře soustvou poždvů lmtí velost edotlvých prmetrů - soustvou tzv. omezuících podmíe. Rozhodovcí vrtou e p ždý vetor hodot prmetrů (3.), terý soustvu omezuících podmíe splňue. Rozhodovcí proceduru p můžeme vyádřt o úlohu mtemtcého progrmováí f ( ) m X R ; g ( ) b,,,..., m; 0,,,..., (3.) de g, g,..., g m sou zámé fuce proměých,,...,, hodoty b, b,..., b m sou hodoty prvých str omezuících podmíe. Úloh (3.) dále předpoládá, že vetor,..., má ezáporé složy. Fuce f() e rterálí fucí, terá přřzue, edotlvým vetorům hodoty, teré sou ohodoceím vrt. Hledáme p tovou vrtu, terá rterálí fuc f() mmlzue. V této podptole budeme předpoládt přípd edoduchého (moorterálího) rozhodováí, dy rterálí fuce e edá. Vetor (A), terý splňue omezuící podmíy, předstvue řešeí přípusté (e prvem rozhodovcí možy X (3.). Přípusté řešeí, teré mmlzue hodotu rterálí fuce f() (3.), e řešeím optmálím. 5

Korétí úloh mtemtcého progrmováí e závslá vlstostech fucí g ( ) f(). Poud sou všechy tyto fuce leárí, používáme metodu leárího progrmováí. Poud e, musíme použít metodu progrmováí eleárího. Poud esou splěy podmíy lerty, e použtí metody leárího progrmováí zedodušeím, teré emusí posytout dobré výsledy. Úlohy leárího progrmováí, teré sou sáze řeštelé, sou středem pozorost ásleduící podptoly. 3.. LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ Úloh leárího progrmováí má ásleduící formulc: hledeme mmum leárí fuce z c c... c (3.3) př součsém splěí podmíe m m m 3 0,,,... 3 3 3 3....... 3... m b b b m (3.4) Uveďme ázvosloví fuc (3.3) zýváme fuce rterálí, soustvu (3.4) zýváme omezuícím podmím podmíy (3.4) sou podmíy ezáporost. Vetor,,..., ), ( vyhovuící podmíám (3.3) (3.4), se zývá přípustým řešeím úlohy leárího progrmováí. Optmálím řešeím úlohy leárího progrmováí se p zývá tové přípusté řešeí, pro teré rterálí fuce (3.3) bývá mm. 3.. SIMPLEXOVÁ METODA Smpleová metod e tertví metod řešeí úlohy leárího progrmováí, v íž e optmálí řešeí hledáo ro z roem. Bloové schém tové tertví metody e Obr.3.. 6

Nlezeí výchozího záldího řešeí Je řešeí optmálí? Koec výpočtu Změ řešeí Obr.3. Itertví metod řešeí úlohy leárího progrmováí [7] Smpleová metod vede (po oečém počtu roů) buď řešeí optmálímu, ebo závěru, že úloh emá oečé optmum. Nzčme yí ostruc lgortmu smpleové metody. Měme úlohu leárího progrmováí, eíž cílem e lezeí mm fuce (3.3) př součsém splěí podmíe (3.4). Zveďme do omezeí (3.4) m přdých proměých tových, by vzthy erovostí byly doplěy do stvu rovc (,,..., m ) Omezeí p můžeme vyádřt v océm tvru m 0, m 3 3,,... 3 m 3 3........ 3... m b b m b m (3.5) Defume yí tzv. záldí řešeí, b..., b, 0,..., m b m teré e přípusté, protože pltí předpold, že 0,,,..., m. Úplé teoretcé zdůvoděí lgortmu smpleové metody lezeme př, v [7]. V pr postupueme výpočty, teré mí vhodou formu pro ěž sou stove určtá mechcá prvdl. Výpočty sou postupě tbelováy v tzv. smpleové tbulce. Úprvy smpleové tbuly spočíví v tom, že místo řešeí soustvy rovc počítáme s orétím čísly s použtím elmčích vzorců [7]. Do hlvčy smpleové tbuly vpsueme symboly všech proměých, posledí sloupec tbuly p obshue vetor omezeí b. Posledí řád tbuly obshue oefcety rterálí fuce z. Vstupuící proměé odpovídá v tbulce tzv. líčový sloupec, vystupuící b 7

proměou obshue tzv. řád líčová. Koefcet, ležící v průsečíu líčové řády líčového sloupce, zveme líčovým prvem ozčueme e hvězdčou *. Aplc uvedeé metody formou umercého příldu lezete v tetech Řešeé příldy do cvčeí [0] o Příld. 3..3 DUÁLNÍ ÚLOHA LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ Ke ždé záldí (prmárí) úloze leárího progrmováí lze formulovt vrtí úlohu leárího progrmováí, vytvořeou z oefcetů úlohy záldí. Obě úlohy mí přtom zímvou eoomcou terpretc, řešeí obou úloh sou spt. Uvžume prmárí úlohu leárího progrmováí s poždvem mmlzce fuce z c s omezeím T 0. A b K této úloze vytvoříme tzv. úlohu duálí, složeou z oefcetů mtce A typu (m, ) - složového vetoru c m- složového vetoru b. T f b s omezeím u A T u 0. u c Místo - složového vetoru prmárích proměých e v úloze duálí zvede m- složový vetor duálích proměých u. Prmárí duálí úloh leárího progrmováí se zýví duálí úlohy symetrcy sdružeé. Řešeí duálí úlohy e možo lézt přímo v smpleové tbulce pro řešeí úlohy prmárí, to v rterálím řádu pod přídtým proměým. Aplc uvedeé metody formou umercého příldu lezete v tetech Řešeé příldy do cvčeí [0] o Příld. Eoomcá terpretce duálí úlohy Řešeí duálí úlohy přáší pozty pro rozhodováí o tom, é záshy do omezuících podmíe vyšetřového systému e třeb provést, bychom ho přzpůsobl stoveému cíl (t. hodotcímu rtéru). Hodoty duálích proměých udáví, o ol se zvýší hodot rterálí fuce prmárí úlohy, estlže se zvýší dspoblí možství dého zdroe o edotu. 8

Duálí proměé předstvuí oceěí podmíe, vyádřeých omezeím zýváme e duálím (stíovým) cem. Toto oceěí podmíe e vš reltví, to vzhledem e zvoleé rterálí fuc výchozím podmíám úlohy (změou výchozích podmíe resp. změou hodotcího rtér se měí duálí oceěí). Duálí cey sou tedy cem mrgálím, udáví, se změí optmálí hodot rterálí fuce př změě výchozích podmíe o edotu. Duálí (stíové) cey sou tedy cem mmálím, z teré může orgzce příslušé sldovcí pcty upovt (eímt), resp. cem mmálím, z teré může eště tyto pcty prodávt (proímt), by to orgzc epřeslo ztrátu. Př řešeí duálí úlohy hledáme duálí cey, teré mmlzuí celovou hodotu dspoblích pct m u b. z podmíe, že celová duálí ce pct spotřebových v dém procesu ebude žší ež oceěí edotlvých výrobů v prmárí účelové fuc. 9

0 4 METODY MULTIKRITERIÁLNÍHO SPOJITÉHO ROZHODOVÁNÍ Dosvdí úlohy mtemtcého progrmováí uvžovly pouze edou rterálí fuc f() (3.). Uvžume yí přípd, dy v úloze (3.) eí defová účelová fuce pouze edá, le tových fucí (rozhodovcích rtérí) e. V tovém přípdě budeme hovořt o úloze multrterálího progrmováí. Úlohu s proměým, m omezeím rtér p můžeme formlzovt tto: " m" ),,..., (.. ),,..., ( ),...,, (! f z f z f z (4.) př součsém splěí omezuících podmíe b g b g b g,,..., 0, ),,..., (.. ),,..., ( ),,..., ( (4.) Řešeím tové úlohy ozčme vetor proměých ),,..., (, terý splňue omezuící podmíy (3.) doshue poud možo co evyšších hodot rtérí (4.) - proto e symbol mmlzce uvede v uvozovách. Defc (4.) můžeme přtom povžovt z obecou, protože mmlzčí operce může být převede úlohu typu mmlzčího. Předpoládeme, že estue mož vetorů, terá vyhovue podmíám (4.), terá předstvue možu přípustých řešeí ozčme X. Odpovídící vetor rterálích fucí p e ) (.. ) ( ) ( ) ( f f f F Uvžume dvě přípustá řešeí X X. Nyí zvedeme poem domce řešeí. Poud pltí ) ( ) ( F F p řešeí domue řešeí. Řešeí op domue řešeí, poud pltí

F ( ) F ( ). Řešeí e edomovým řešeím úlohy multrterálího progrmováí, poud eestue é přípusté řešeí, teré by e domovlo. Poem edomového řešeí e záldím pomem teore multrterálího progrmováí. Možu edomových řešeí p ozčíme X N. 4. MULTIKRITERIÁLNÍ LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ Použtí metod leárího progrmováí předpoládá, že všechy fuce (4.) (4.) sou leárí. V prtcých přípdech de čsto o zedodušeí problému, z prtcého hleds e vš leárí metod ečstě používá vůl své edoduchost. Úlohu multrterálího leárího progrmováí budeme formulovt o z z.. z c c c s podmím c c c... c... c... c m m m (4.3).. m 0, m.........,,..., m b b b m (4.4) de můžeme vytvořt mtc struturích oefcetů A m, vetor prvých str b mtc C ceových oefcetů - rterálích fucí [7]. Jestlže mtc C zpíšeme ve formě C c c.. c () ( ) ( ) ( ) de c e řádový vetor ceových oefcetů -tého rtér, můžeme v mtcovém zázmu formulovt úlohu zedodušeě o C X " m" (4.5) R A b, 0

4. METODY S INFORMACÍ A-PRIORI Metod mmlzce vzdáleost od deálího řešeí Metod vychází ze sutečost, že deálí řešeí úlohy multrterálího leárího progrmováí, emuž odpovídí rterálí hodoty z eí obvyle prvem možy X, tz. eedá se o přípusté (reálé) řešeí [9]. Prcp mmlzce vzdáleost od deálího řešeí spočívá v lezeí tového přípustého řešeí, teré má mmálí vzdáleost od deálí vrty podle zvoleé metry d ( z, z). Ozčme z ( z, z,..., z ) - složový vetor deálích hodot rterálích fucí (H), tže můžeme úlohu formulovt o ( ) z m c,,,..., X Defume metru vzdáleost deálí vrty od reálé d ( ) p v ( z c ). ( z, z ) p. (4.6) Aprorí formc zde tvoří hodoty rterálích fucí, p e prmetr o celé číslo v 0,,,..., o váhy edotlvých p,. Potom můžeme pst, že 0 rg m d ( z, z) (4.7) X e řešeím edomovým e prvem možy X N tedy hledým ompromsím řešeím, zísým mmlzcí vzdáleost (K), Metry pro měřeí vzdáleost (4.6) sou určey velostí prmetru p. Pro p = dosteme metru leárí, pro p = metru Euldovu pro p = metru Čebyševovu. V procedurách multrterálího progrmováí e právě Čebyševov vzdáleost velm čsto používá. Úlohu můžeme defovt o leárí s dodtečým omezeím tto: d m v ( z X c ( ) ; ) d, A b,,,..., 0 Aplc uvedeé metody formou umercého příldu lezete v tetech Řešeé příldy do cvčeí [0] o Příld 3. 4.3 METODY S PRŮBĚŽNOU INFORMACÍ Záldem metod e tertví postup hledáí ompromsího řešeí, př ěmž počítč (lyt) předládá rozhodovtel průběžé řešeí poždue po ěm formc o eho přtelost, přípdě o ávrhu změ mez dosžeým hodotm rterálích fucí pro dlší postup hledáí.

Prcp spočívá v tom, že rozhodovtel emusí posytout preferečí formce součsě pro celý problém (v režmu pror), formce posytue v průběhu hledáí pouze loálě zúžeě vzhledem tuálě bídutému průběžému řešeí. V průběhu hledáí se střídí dvě fáze fáze výpočetí fáze rozhodovcí. Hledáí přtom probíhá v rterálí možě Z. Výpočetí fáze e zlože řešeí edé ze dvou ásleduících úloh: mmlzce vážeého součtu hodot rterálích fucí v f ( ) m, X (4.8) ebo mmlzce vzdáleost od deálí vrty ( ) p v z c ) ( p m, (4.9) X ; A b, 0. Pro p = p = lze úlohu (N) řešt o úlohu leárího progrmováí. Rozhodovcí fáze spočívá ve sděleí rozhodovtele, zd mu dosžeé průběžé řešeí vyhovue. Jestlže o, e toto řešeí přto o řešeí ompromsí. Poud dosžeé řešeí evyhovue, musí rozhodovtel sdělt formce o preferecích vzhledem dosžeému průběžému řešeí. Toto sděleí může mít ěol forem, my uvedeme formu metody s mplctě vyádřeou hodotou záměy (rozhodovtel určí, teré z rterálích fucí mí ceptovtelé hodoty v ých přípustých mezích se mohou hodoty rterálích fucí pohybovt). Příldem metody s mplctě vyádřeou hodotou záměy e metod STEM (Step Method) [7]. Tto metod vyžívá přístupu leárího multrterálího rozhodováí mmlzue vzdáleost od deálí vrty. V rozhodovcím rou procedury posoudí rozhodovtel tuálí hodoty rterálích fucí určí, teré hodoty mu vyhovuí teré z ch e ochote sížt o ol. Teto ro e předpoldem pro zvýšeí hodot těch fucí, teré mu evyhovuí. V prvím (úvodím) rou řeší počítč úlohu leárího progrmováí m w ( z c ( ) ) m (4.0) ( q ) () př omezeí X. V prví terc (q = ) se z X bere mož všech přípustých řešeí úlohy multrterálího leárího progrmováí vetor X () R Váhy odchyle ; A b, 0. w sou stvey o edotové. Optmálím řešeím úlohy (4.0) e ( q ) s odpovídícím hodotm rterálích fucí z ( q ) c ( ),,..., ( q ) (4.) 3

V druhém rou rozhodovtel posoudí velost hodot rterálích fucí (4.). Poud ( q ) všechy dosžeé hodoty vyhovuí, potom e vetor vybrá o ompromsí řešeí procedur e uzvře. Jestlže le ěteré hodoty rterálích fucí (4.) vyhovuí ěteré evyhovuí, určí rozhodovtel ze supy vyhovuících hodot tu hodotu ( q ) z 0, terou e ochote ížt o hodotu 0. Počítč potom formulue ovou možu přípustých řešeí X ( q ) ( ) ( q ) 0 ( 0 ) ; A b, 0, c z,, c z Položíme w 0, q q porčueme prvím roem. 0 Aplc uvedeé metody formou umercého příldu lezete v tetech Řešeé příldy do cvčeí [0] o Příld 4. 4.4 METODY S INFORMACÍ A-POSTERIORI Modely metody s formcí posteror evyžduí zvedeí preferecí před zháeím řešeí, ýbrž umožňuí rozhodovtel posytutí formcí o dlším postupu řešeí v eho závěru. Teprve po lezeí možy edomových řešeí X N e oečé řešeí ompromsí lezeo záldě vložeí preferecí dodtečých. Dále se budeme v této ptole zbývt úlohou multrterálího leárího progrmováí C X m (4.) R ; A b, 0 Nlezeí možy edomových řešeí e v úloze leárího progrmováí obtížé. Proto byl vyvut metod, terá využívá sutečost, že mož X N e sedoceím oveích polyedrcých mož, teré e možo popst edomovým rím body. Metod prcue ve třech rocích: Kro lezeí výchozího edomového rího bodu Kro určeí možy všech edomových rích bodů X KN Kro 3 určeí možy všech edomových vrt X N ve tvru tzv. mmálí reprezetce. Po určeí možy X N počítčem posoudí rozhodovtel eí struturu pro zísáí eí mmálí reprezetce e přprve plovt dodtečé formce. Způsob plce závsí vlstostech možy X N. V etrémích přípdech e mož X N buď prázdá, ebo op totožá s rozhodovcí možou X. Mož X N může být té edoprvová v tom přípdě e toto edé řešeí vybráo o řešeí ompromsí. V obecém přípdě e mož X N sedoceím oveích polyedrcých mož, teré mí žší dmez ež původí rozhodovcí mož X. Rozhodovtel p může vybrt 0 ( q ) 0. 4

edu z ch í vyádřt svoe preferece pro výběr ompromsího řešeí přímo, ebo použtím ěteré metody z dlších možých přístupů. Dlší metodou může být přístup, v ěmž e z ompromsí řešeí vybrá ede z chrterstcých bodů možy X N, o př. eí těžště resp. edomový bod eblžší těžšt v přípdě, že toto leží mmo možu X N. V dlší část ptoly bude rozprcová přístup zísáí možy edomových řešeí X N úlohy leárího multrterálího progrmováí. Nlezeí edomového rího bodu V prvím možém postupu vybereme edu z rterálích fucí úlohy multrterálího progrmováí řešíme moorterálí úlohu leárího progrmováí ( ) c X. m (4.3) Estue-l edé optmálí řešeí této úlohy, potom e edomovým rím bodem pro úlohu leárího multrterálího progrmováí. J optmlzueme podle dlší rterálí fuce s přdáím podmíy pro prví rterálí fuc td. Poud X N eí prázdá, zísáme edomový rí bod v ehorším přípdě řešeím posloupost edorterálích úloh leárího progrmováí. V druhém možém postupu využeme větu o edomovost rgmu sdružeého uztele. Určíme ldé váhy v > 0 rterálích fucí řešíme úlohu leárího progrmováí vc X. m Estue-l optmálí řešeí této úlohy, potom estue záldí optmálí řešeí, teré odpovídá rímu bodu pro úlohu leárího multrterálího progrmováí zísáme t edomový rí bod úlohy multrterálího leárího progrmováí. Pro ob uvedeé postupy pltí, že estlže mož X e eomezeá, emusí pro vybrou rterálí fuc ebo po určeé váhy estovt optmálí řešeí úloh, le dá úloh leárího multrterálího progrmováí přesto může mít edomové řešeí. Estuí metody, teré edorázově určí edomové řešeí ebo zstí, že mož X N e prázdá. Ve třetím možém postupu proto uvedeme řešeí úlohy, terá testue edomovost řešeí z e y m př omezeích T (4.4) 5

de e T C y C A b, 0, 0, y 0, 0 (,,..., ), X e ěé orétí přípusté řešeí úlohy (4.3). Jestlže úloh (4.4) má oečé optmálí řešeí (, y ), potom e X N. Poud úloh (4.4) emá oečé optmálí řešeí, p X e prázdá. N Určeí možy všech edomových rích bodů V tomto rou řešeí úlohy využeme zobecěí smpleové metody. Multrterálí smpleová metod prcue s tbulou, terá má výchozí tvr Tb 4. Tb.4. Výchozí tbul smpleové metody V obecém výpočetím rou můžeme rozdělt vetor proměých vetor záldích proměých B vetor ezáldích proměých 0 Mtc ( A I ) typu (m, + m) můžeme rozdělt mtc báze B typu (m, m) mtc N typu (m, ), terá e tvoře sloupc pod ezáldím proměým. Obdobě rozdělíme mtc (C 0) typu (, m + ) mtc ceových oefcetů záldích proměých C B typu (, m) mtc ceových oefcetů ezáldích proměých C typu (, ). N Kždé báz e edozčě přřze mož deů záldích proměých reprezetue báz. Možu deů ezáldích proměých ozčíme výpočetím rou má p multrterálí smpleová tbul tvr Tb. 4. N J N J B, terá.v obecém Tb. 4. Smpleová tbul v obecém rou výpočtu Pro určeí, zd řešeí v tbulce Tb. 4. e domové ebo edomové, estue řd postupů. Dále použeme prmetrcý přístup, terý e zlože větě o edomovost rgmu sdružeého uztele v leárím přípdě. Podle této věty estue souvslost mez řešeím úlohy leárího multrterálího progrmováí (4.3) řešeím úlohy leárího multrterálího progrmováí 6

vc X m R, A b, 0, v V, de prmetrcá mož V e defová o (4.5) V v R ; v 0, v. ( ) Řešeí úlohy (m) spočívá v rozložeí prmetrcé možy V obory stblty V lezeí eích záldích optmálích řešeí, teré odpovídí edotlvým oborům stblty. Těmto řešeím odpovídí edomové rí body pro úlohu (4.). Úlohu (m) budeme zvt prmetrcým evvletem úlohy (4.). ( ) Krím edomovým bodům sou přřzey obory stblty Nedomové vrty, teré esou rím body, odpovídí řešeím pro ty prmetry v, teré leží hrc ěol oborů stblty, t. v r v ( ). 7 ( ) V. Řešeí úlohy leárího multrterálího progrmováí (4.) můžeme pomout grfcy, dy mož uzlů grfu e reprezetová možou edomových rích bodů X, mož hr grfu e tvoře edomovým hrm možy vrt X, KN spouícím sousedí rí edomové body. Proto e možo vyít z lbovolého edomového rího bodu, pomocí smpleového lgortmu určt sousedí rí bod otestovt e edomovost. Opováím tohoto postupu lze určt celou možu X. Podle prvdel smpleové metody e v tbulce Tb.4. obsžeo edomové řešeí úlohy (4.) právě tehdy, poud estue prmetr v V tový, že sou splěy erovost vc B A vc 0, vc B 0. (4.6) B B Ozčme symbolem Z mtc, vytvořeou ze sloupců mtce ( C B B A C C B B ) pod ezáldím proměým. Pod záldím proměým sou v této mtc ulové vetory. Z C B N C B N. Podmíy (4.6) pro edomové řešeí úlohy (4.) e možo vyádřt ve tvru vz 0, v V. (4.7) Po úprvě tohoto vzthu zvedeí vetoru přídtých proměých w budeme řešt soustvu úloh ve tvru w J s omezeím m N KN

vz w 0, v, v 0, w O. Nlezeme-l tové v, m w 0 pro ěý de (4.8) 0, potom ám teto de určue 0 sousedí edomový rí bod, terý zísáme edím smpleovým roem, de určue líčový sloupec líčový řáde lezeme běžým způsobem. Estece tového v ám součsě ověřue, že původí řešeí e edomové. Pro ždý edomový rí bod emusíme určt celý obor stblty, le přřdíme mu možu vetorových prmetrů, zísou řešeí soustvy úloh (4.8). V -tém rou budeme prozoumávt sousedí rí body, e terým sou zámy všechy sousedí edomové body. Zísé úde budeme uládt v ásleduících možách: N zchycue edomové rí body, e terým sou zámy všechy edomové rí body; N zchycue edomové rí body, echž sousedí rí body e třeb D prozoumt; zchycue domové rí body; V zchycue vetorové prmetry v, teré byly vypočtey přřzey edotlvým bodům možy N rou ásleduícímu.. Jestlže N = 0, očí druhá etp, se přechází e Určeí možy všech edomových řešeí možu Ve třetí etpě vycházíme ze zlost možy X ve tvru mmálí reprezetce. N X podle určtých postupů vytváříme KN Možu X lze pomocí prmetrcého přístupu určt edoduše. Srováme vetorové N prmetry v z oečého sezmu vetorových prmetrů V. Nechť počet růzých vetorových prmetrů e s, teré ozčíme v,,,..., s ( ). Nedomové rí body, teré mí shodé vetorové prmetry v, geeruí edomovou stěu K, terá e eí oveí ombcí. Něterým edomovým rím bodům e přřze více ež ede vetorový prmetr sou tedy součástí více ež edé edomové stěy (plye to ze souvslost grfu řešeí úlohy (4.). V přípdě degeerce, dy e rímu bodu přřzeo více bází, e možo vybrt lbovolou z ch. Tímto zísáme hledou možu edomových vrt X ve tvru mmálí reprezetce N 8

v v.. K K : : () ( ),, (),..., ( ) r,..., () r, ( ), v s K s : ( s ), ( s ),..., rs ( s ). Pro úlohu multrterálího leárího progrmováí (4.) e rterálí mož Z defová o Z z R ; z C ; A b, 0. Krterálí mož Z e oveí polyedrcá mož. Je-l mož vrt X oveí polyedr, e rterálí mož oveí polyedr. Obráceé tvrzeí vš epltí. Proceduru multrterálí smpleové metody můžeme zázort pomocí vývoového dgrmu Obr. 4.. Z Výpočet výchozího edomového rího () bodu () X N e o Výpočet sousedích edomových rích bodů prmetrů v K Určeí mož N, N, D, V e N 0 o Vybráí shodých prmetrů v Určeí K X N K Obr. 4. Vývoový dgrm multrterálí smpleové metody 9

Aplc uvedeé metody formou umercého příldu lezete v tetech Řešeé příldy do cvčeí [0] o Příld 5. 30

5 METODY DISKRÉTNÍHO ROZHODOVÁNÍ 5. TYPY ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Typy rozhodovcích procesů budeme defovt proceduře dsrétího rozhodováí, ehož model můžeme formlzovt ve tvru úlohy hodoceí (dsrétích) vrt [9] f ( ) m,..., A, p de A e mož p-rozhodovcích vrt hodot přřzeých rterálí fucí f.,...,, p, teré můžeme porovávt podle 5.. ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY Poud e rterálí fuce eplctě zám, můžeme vybrt optmálí vrtu o tovou vrtu A, terá splňue podmíu f ( ) f ( ), pro všech,,..., p. Poud rterálí fuce f eí zám, bude rozhodovtel vycházet z párových srováí vrt záldě svých preferecí seství fuc užtu. Mohou stt tř přípdy: ) rozhodovtel dává edozčě předost vrtě před vrtou b relce ostré preferece P P b b) rozhodovtel hodotí obě vrty b steě relce dferece I I b c) rozhodovtel upltí eostrou preferec Q = (P,I), dy vrtu povžue z lespoň t dobrou o vrtu b přípdě lepší o vrtu b Q b. N záldě těchto posouzeí ostruueme fuc užtu. Jeí hodoty f() sou ormováy do tervlu <0,> odrážeí velost užtu, terý vrt rozhodovtel přáší (Obr.5.) 3

Obr. 5. Fuce užtu f() [9] Pomocí fuce užtu můžeme modelovt ee preferece vrt ech teztu, le sílu preferece. Poud pltí u( ) u( b) u( c) u( d ), p vrt e preferová před vrtou b více, ež vrt c před vrtou d. Pro výběr vrty e p doporuče t, terá celé možě rozhodovcích vrt vyzue mmum fuce užtu. 5.. ROZHODOVÁNÍ ZA NEURČITOSTI Uvžume stuc, dy ohodoceí důsledu rozhodutí ( tím eho preferece) závsí omžtém stvu systému s, přčemž výsyt stvu e áhodý ev s ezámým prvděpodobostím rozložeím. Tovou stuc můžeme vyádřt rozhodovcí mtcí. p. p 3 3....... p 3 de řády odpovídí vrtám mtce. p,...,,,,..., p,,..., předpoldu, že stl stv, p sloupce možým stvům s, s,..., s (5.). Prvy, vydřuí ohodoceí důsledu vrty z s. Rozhodováí o evhoděší vrtě e p závslé růzých prcpech, teré odrážeí vtří postoe rozhodovtele, míru eho optmsmu č pesmsmu. Metod evvletí prvděpodobost (Lplceovo rtérum) Je dá předpoldem rozhodovtele, že př chyběící formc o prvděpodobostím rozděleí stvů e dobrým řešeím brát u všech stvů steou prvděpodobost ech výsytu p,,,..., 3

P e vybrá tová vrt z výběru - té rozhodovcí vrty, terá mmlzue středí hodotu, plyoucí m. Metod mmu Optmstcý přístup rozhodováí - e dá předpoldem rozhodovtele, že ste epřízvěší stv vybírá vrtu, terá mmlzue hodotu plyoucí z výběru rozhodovcí vrty. Výběr vrty e p urče evětší hodotou v mtc m (m ) Metod mmu Pesmstcý přístup rozhodováí - e dá předpoldem rozhodovtele, že vždy ste eméě přízvý stv, terý mu zstí př výběru éolv vrty vždy tu emeší hodotu. To zmeá, že výběr vrty e dá mmálích prvů v řádcích z těch hodot e vybrá hodot evětší podle vzthu m (m ) Metod ombce mmu mmu (Hurwtzovo rtérum) Metod vychází z evětší hodoty emeší hodoty v řádu mtce = m = m oefcetu optmsmu 0,. terým rozhodovtel vydřue stupeň svého optmsmu. Pro 0 e rozhodovtel zcel pesmstcý používá metodu mmu. Pro e zcel optmstcý používá metodu mmu. V osttích přípdech s rozhodovtel vybírá vrtu, terá mmlzue ombovou hodotu m[. + ( ). ] Metod mmu ztráty (Svgeovo rtérum) předstvue přístup ztrceé příležtost. Ztrát vzá výběrem špté vrty pro dý stv. Vycházíme z mtce ztrát Z s prvy stoveým podle vzthu 33

z m To zmeá, že od evětšího prvu v ždém sloupc mtce A odčítáme eí prvy. Pro ždou vrtu vybíráme evětší ztrátu p vybereme tovou vrtu, eíž ztrát e emeší m (m z ). Aplc uvedeé metody formou umercého příldu lezete v tetech Řešeé příldy do cvčeí [0 ] o Příld 6. 5..3 ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA Př rozhodováí z rz předpoládáme - možých áhodých stvů S,...,, S S, echž prvděpodobostí rozděleí p,,,..., ezáme. Pro řešeí tové úlohy využeme opět zámou mtc rozhodováí př eurčtost (5.). Metod mmlzce očeávé hodoty vzthem Podle této metody e vybrá vrt, terá mmlzue rtérum EV dé EV m p Problémem použtí vzthu ()sou le ezámé hodoty prorích prvděpodobostí Teto problém řešíme tzv. Byesovsou lýzou, terá ám umoží zíst prvděpodobost stvů posterorích. Předpoldem tového postupu e možost provedeí epermetů, echž možé výsledy sou doplěy zlostí podmíěých prvděpodobostí výsledu I, =,,,m z podmíy, že ste stv p. s,,,...,. N záldě tových epermetů lze zpřest prorí prvděpodobost prvděpodobost posterorí de p ( s I p ( I ) p ( s ) p ( I p ( I ) p ( s ) p ( I s ). ) s ) Tto vypočteé posterorí prvděpodobost stvů použeme pro zpřesěí rozhodováí z rz zísáme očeávé hodoty EVB př edotlvých výsledcích epermetu, =,,,m. Celová očeává hodot záldě Byesovsé lýzy e EVB p ( I ). EVB. 34

Aplc uvedeé metody formou umercého příldu lezete v tetech Řešeé příldy do cvčeí [0 ] o Příld 7. 5. GRAFICKÉ ZNÁZORNĚNÍ PROCEDURY MULTIKRITERIÁLNÍHO ROZHODOVÁNÍ Proceduru multrterálího rozhodováí (MKR) lze dobře edoduše zázort grfcy [9]. Uvžume úlohu MKR, v íž hodotíme vrty řešeí pomocí - rtérí. Stuc zázoríme hvězdcovým grfem o - osách, chž zázoríme hodoty edotlvých - rtérí. Osy svírí úhel / opsá ružce c. Úloh MKR s = 5 e zázorě Obr.5.. protíí se v bodě S, olem ěž e c H 5 H 5 H S H 3 4 H 4 3 Možu rtérí A ozčíme Obr. 5. Úloh MKR pro = 5, K K, (5.) A K,..., hodoty ech deálích vrt sou dáy možou A H, H,..., H H. N ždé z os vyzčíme stupc, dy 0 bude v bodě S H průsečíu osy s ružcí. - tá vrt řešeí e p reprezetová - tcí,,...,, echž hodoty vyeseme příslušé osy. Spoíme-l body osách, příslušeící edé vrtě (-tc bodů), úsečm, dosteme pětúhelí, reprezetuící vrtu řešeí. Ideálí vrt e dá pětúhelíem, vzlým spoeím bodů H,...,, H H ružc c. Kždá vrt předstvue ede reálý obet. N Obr.5.3 sou body osách, odpovídící ždé vrtě, spoey v ede obrzec polygo (zobrzeí polygoálí). 35

5 4 3 Obr. 5.3 Polygoálí zobrzeí úlohy N Obr.5.4 vytvářeí spoeé body hvězdu (zobrzeí hvězdcové). 5 4 3 Obr. 5.4 Hvězdcové zobrzeí úlohy V polygoálím zobrzeí e e obrzem deálí vrty prvdelý -úhelí, vepsý do ružce C. Obrzem bzálí vrty e střed S. Dvě vrty sou edomové, estlže se ech polygoálí zobrzeí protíí (Obr.5.5).. 5 4 3 Obr.5.5 Polygoálí zobrzeí dvou edomových vrt 36

Obr. 5.6 zázorňue stuc, dy vrt domue vrtu. 5 4 Obr. 5.6 Polygoálí zobrzeí domce dvou vrt Poem ompromsí vrty řešeí p defueme pomocí vzdáleost vrty deálí od vrty tuálí. Př polygoálím zázorěí vrt v hvězdcovém grfu p můžeme vzdáleost defovt velostí rozdílu ploch těchto vrt (tmvší ploch Obr.5.7). 3 5 4 3 Obr. 5.7 Polygoálí zázorěí rozdílu ploch vrt Uvžueme-l ružc c z edotovou, můžeme plochu polygou vrty vzthem [9] vyádřt de P ( ).s b. b, (5.3) b (5.4) H K K sou hodoty, ormové do tervlu 0,. Vzdáleost tuálí vrty od vrty deálí e p 37

D.s P ( ) Optmálí (ompromsí) vrtou e p tová vrt (5.4), tedy tová, terá mmlzue vzth (5.5), terá mmlzue výrz D m b. b (5.6) m, Této vrtě p odpovídí příslušé ompromsí hodoty rtérí (5.). Vzth (5.4) řešíme pomocí vhodé optmlzčí procedury. 38

6 METODY MULTIKRITERIÁLNÍHO DISKRÉTNÍHO ROZHODOVÁNÍ 6. FORMULACE PREFERENCÍ ROZHODOVATELE Řešeí složtých úloh e vždy efetvěší, poud v ch lze upltt subetví zlost užvtele. V přípdě rozhodovcích úloh vycházíme z možy rozhodovcích vrt souboru rtérí, podle terých sou edotlvé vrty z hleds ech vlstostí ohodocováy. V této souvslost mohou být velm užtečé předstvy užvtele, čemu dává v oečém řešeí předost. Tyto předstvy sou formlzováy eho preferecem [9] ) vydřuícím eho ázor důležtost edotlvých rtérí (modelováí preferecí mez rtér); b) vydřuícím eho ázor užtečost edotlvých vrt (modelováí preferecí mez vrtm) c) vydřuícím eho ázor možost gregce hledse pro vyádřeí preferece celové. 6. FORMULACE PREFERENCÍ MEZI KRITÉRII Záldím přístupy formlzce preferecí rozhodovtele sou vyádřeí sprčích úroví rtérí, formce o uspořádáí rtérí (formce ordálí) formce o váhách edotlvých rtérí (formce rdálí). Asprčím úrověm rtérí rozumíme ech hodoty, terých by měl rtér lespoň doshovt u těch vrt, teré ozčíme o vrty ceptovtelé. Změou sprčích úroví (v průběhu řešeí úlohy) může rozhodovtel zpřesňovt svoe preferece tím doít e ompromsí vrtě řešeí. Ordálím formcem o rtérích rozumíme ech uspořádáí od evíce důležtého po eméě důležté. Krdálím formcem o rtérích rozumíme formce o reltví důležtost edotlvých rtérí, teré můžeme formlzovt pomocí vetoru ech vh. Čím e důležtost rtér větší, tím e větší eho váh. Pro volbu metody multrterálího progrmováí e důležté, v é fáz výpočtu sou dodtečé formce od rozhodovtele pro lezeí ompromsího řešeí do úlohy zčleěy. Z tohoto hleds může ít o formce zdé pror, formce zdávé průběžě během řešeí úlohy ebo formce posteror. 6.. INFORMACE O ASPIRAČNÍCH ÚROVNÍCH KRITÉRIÍ Rozhodovtel určí poždové sprčí úrově rtérí y,,,...,. Možu vrt A p můžeme záldě těchto hodot rozdělt vrty ceptovtelé 39

vrty eceptovtelé. R určeí obou sup můžeme použít dv přístupy, reprezetové metodm outvím metodm dsutvím. Koutví metod určí z ceptovtelé tové vrty, teré pro všech rtér splňuí zdé sprčí úrově, tz. tové vrty, pro teré pltí y y,,,..., Počet ceptovtelých vrt závsí volbě hodot y (6.). Jsou-l přílš ízé, bude mož ceptovtelých vrt rozsáhlá (přípdě úplá), sou-l op přílš vysoé, emusí podmíu (6.) splt vrt žádá. Koutví metod umožňue určeí tových hodot y, teré zručí vyloučeí stoveého počtu eceptovtelých vrt. Uvžume, že úloh má - steě důležtých vzáemě ezávslých rtérí. Poždový podíl eceptovtelých vrt u celovému počtu vrt ozčme r. Prvděpodobost, že áhodě vybrá vrt e (z hleds edoho rtér) ceptovtelá ozčme q. Prvděpodobost, že áhodě vybrá vrt e ceptovtelá z hledse všech rtérí e p q prvděpodobost že eí ceptovtelá e ( q ). Pltí r q ( q ( r ) ). Hodot q udává té podíl vrt, teré musí sprčí úrově y splňovt, by podíl eceptovtelých byl r ceptovtelých ( - r). Z toho e možo určt poždové sprčí úrově rtérí y, =,,,. T př. pro = 4, r = 4/5 dosteme q ( 4 / 5) / 4 0,67. Potom e uto volt sprčí úrově rtérí mělo hodoty rtérí vyšší, ež y,,,...,. y,,,..., t, by 67% vrt rtérí Koutví metod má dvě fáze. V prví fáz stoví rozhodovtel sprčí úrově y,,,...,, v druhé fáz počítč určí odpovídící možu ceptovtelých vrt. Rozhodovtel ásledě možu posoudí zvýší, resp. síží ěteré sprčí úrově. Teto tertví postup se opue t dlouho, ž se dospěe e ompromsí vrtě. Aplc uvedeé metody formou umercého příldu lezete v tetech Řešeé příldy do cvčeí [0 ] o Příld 8. Dsutví metod vybírá do ceptovtelé možy tové vrty, teré splňuí zdé sprčí úrově y,,,..., lespoň pro edo rtérum, tedy y y pro lespoň edo =,,,. Rozsh možy ceptovtelých vrt závsí opět zvoleých hodotách sprčích úroví y. Dsutví metod opět umožňue stovt 40