Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe.

Kapitola Neurčitý integrál Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe.. Primitivní funkce... Primitivní funkce Funkce F se nazývá primitivní k funkci f na intervalu J, jestliže F (x) = f(x) pro všechna x J. Všimněme si, že předchozí přiřazení (k funkci přiřadíme její primitivní funkci, pokud existuje) je definováno jen na intervalech. Později budeme schopni definici mírně zobecnit, ale požadavek intervalu zůstane. Protože se jedná o inverzní operaci k derivaci, místo primitivní funkce se někdy používá termín antiderivace. Z definice vyplývají následující pozorování (třetí tvrzení je důsledkem Lagrangeovy věty o střední hodnotě): Pozorování. Nechť F je primitivní funkce k f na intervalu J. Potom:. F je spojitá na J. 2. Pro libovolné c R je F + c primitivní funkce k f na J. 3. Je-li G primitivní funkce k f na J, pak existuje c R tak, že je G = F + c. K dané funkci tedy buď na daném intervalu existuje nekonečně mnoho primitivních funkcí nebo žádná. Protože všechny existující primitivní funkce se liší o konstantu, stačí najít jen jednu primitivní funkci a všechny ostatní získáme přičítáním reálných čísel (tj., posouváním grafu funkce po ose y). Pro zjednodušení zápisů se tato množina primitivních funkcí k funkci f značí f(x) dx, x J a čte se neurčitý integrál funkce f na J. Aby se zdůraznilo, že se jedná o množinu funkcí, při výpočtech píšeme f(x) dx = F (x) + C nebo f(x) dx = C F (x),. března 204

KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 2 kde C značí libovolné reálné číslo (je možné použít jiné písmeno). Interval J se často určuje až při výpočtu nebo po výpočtu. První rovnost je vhodnější při řešení diferenciálních rovnic. Každá primitivní funkce F k f na J je dána svou hodnotou v některém bodě J. Např. hledáme primitivní funkci F k f(x) = sin x na (, ) s hodnotou 4 v bodě 0: sin x dx = cos x+c, položíme cos(0) + C = 4 a dostaneme C = 5 hledaná primitivní funkce F (x) je rovna 5 cos x. Symbol se čte integrál, f(x) je integrovaná funkce (občas se používá přejatý výraz integrand). V tuto chvíli budeme chápat symbol dx pouze jako určení proměnné x, podle které integrujeme. Později si ozřejmíme, proč je tam i písmeno d, které s proměnnou x udává nekonečně malou veličinu nebo změnu proměnné x (jak jsme poznali v diferenciálním počtu). Je samozřejmě vhodné udávat proměnnou, podle které se integruje, protože jinak bychom nevěděli jak počítat např. zy. Nicméně, někdy se používá zkrácený zápis f, pokud nemůže dojít k nedorozumění. Jsou i jiné zápisy primitivní funkce. Samozřejmě lze vždy použít zápis pro derivaci, tj. místo 2x dx = x 2 + C psát (x 2 ) = 2x, což nebývá vždy praktické. Zápis d x dx vycházející z antiderivací se používal málo, ale v současné době se podobná značení pro primitivní funkce používají v některých matematických programech. Např. program Mathematica má pro primitivní funkci (kromě příkazu Integrate) příkaz Derivative[ ][f][x]. Toto značení má výhodu pro opakování výpočtu, např. Derivative[ 2][f][x] je primitivní funkce k primitivní funkci k f (navíc lze tohoto zápisu výhodně použít i pro integraci funkcí více proměnných, jak uvidíme později). Ze znalosti derivací elementárních funkcí lze snadno integrovat některé funkce. Uvedeme je v tabulce (neuvádíme tam konstanty C). funkce f(x) interval J f(x) dx na J sin x R cos x cos x R sin x cos 2 x ( π/2 + kπ, π/2 + kπ) tg x sin 2 x (kπ, π + kπ) cotg x x a, a (0, + ), R,... x a+ a+ x (, 0), (0, + ) log x e x R e x a x, a > 0 R a x log a x (, ) arcsin x 2 +x 2 R arctg x Na příkladě funkce /x lze uvést, proč je důležité brát primitivní funkce na intervalu a nikoli na celém definičním oboru, který není intervalem. Vezmeme-li f (x) = log x na (, 0) (0, + ) a f 2 (x) = log x na (, 0), f 2 (x) = +log x na (0, + ), je f (x) = f 2(x) = /x na (, 0) (0, + ). Tyto dvě funkce se ale neliší na svém definičním oboru o konstantu a s tím by byl velký problém pro výpočet určitých integrálů. Ukážeme později, jak lze tuto nevýhodu obejít. Lze samozřejmě těžko očekávat, že každá funkce na nějakém intervalu bude mít na tomto intervalu primitivní funkci. Charakterizovat funkce, které mají primitivní funkci, je velmi obtížné. Uvedeme několik vlastností, která nám pomohou při zjišťování existence primitivní funkce. Nejdříve tři nutné podmínky, z nichž ta prvá je důsledkem tvrzení o vlastnosti derivace z.kapitoly, druhá podmínka na první pohled mnoho neříká a třetí je důsledkem druhé podmínky. Připomeňme, že funkce f je bodovou limitou posloupnosti funkcí {f n } na množině M, jestliže pro každé x M je f(x) = lim n f n (x).

KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 3... Existence primitivní funkce Nechť f má na intervalu J primitivní funkci. Potom Důkaz. f má na J Darbouxovu vlastnost (tj. zobrazuje intervaly z J na intervaly nebo body); 2. f je bodovou limitou posloupnosti spojitých funkcí; 3. f je spojitá na husté podmnožině J (tj., každý interval v J obsahuje bod spojitosti f). Předchozí tvrzení se používá pro ověření, že zkoumaná funkce nemá primitivní funkci. Např. funkce sgn nemá na intervalu (, ) Darbouxovu vlastnost a tedy nemá na tomto intervalu primitivní funkci (tentýž postup platí pro funkce se skokem). Funkce, která na každém intervalu nabývá všech reálných hodnot, má Darbouxovu vlastnost, ale není spojitá v žádném bodě a tedy nemůže mít primitivní funkci. Uvedené nutné podmínky v.. nejsou postačující. Existují funkce. které splňují uvedené podmínky ale primitivní funkci nemají. Nicméně, spojité funkce na intervalu mají uvedené vlastnosti a mají i primitivní funkce, jak ukážeme v následujícím tvrzení. Existují ale i nespojité funkce, které mají primitivní funkci standardním příkladem nespojité funkce, která má primitivní funkci na R je 2x sin(/x) cos(/x) = ( x 2 sin(/x) ), x 0; f(x) = 0, x = 0...2. Integrál spojité funkce Každá spojitá funkce definovaná na intervalu má na tomto intervalu primitivní funkci. Důkaz Konstrukce v důkazu je návodem ke grafické integraci funkce (a k přibližnému výpočtu určitého integrálu, jak uvidíme později). Existence ovšem neznamená, že dovedeme příslušnou primitivní funkci napsat. Kdybychom si dříve nezadefinovali funkci arctg, nemohli bychom napsat, čemu se integrál z funkce /( + x 2 ) rovná. Např. funkce sin(x 2 ), sin(x)/x, e x2 jsou spojité na R a mají tam tedy primitivní funkce, ale tyto funkce nelze napsat pomocí námi definovaných funkcí. Tak jako je vhodná geometrická ilustrace derivace, je vhodné mít představu o významu primitivní funkce. Nejdříve uvedeme přepis Lagrangeovy věty o střední hodnotě do řeči primitivních funkcí...3. Lagrangeova věta o střední hodnotě Nechť funkce f má na intervalu J primitivní funkci F a [a, b] J je kompaktní interval. Pak existuje c (a, b) tak, že F (b) F (a) = f(c)(b a). Tvrzení znamená (alespoň za předpokladu f > 0), že rozdíl funkčních hodnot primitivní funkce k f je roven obsahu obdélníku, který má za jednu stranu interval [a, b] a jeho výška je rovna funkční hodnotě funkce f v nějakém bodě intervalu [a, b]. Zvolme nyní libovolně body x 0 = a < x <... < x n < x n = b. Potom F (b) F (a) = n (F (x i ) F (x i )) = i= n f(c i )(x i x i ), kde c i jsou nějaké body z (x i, x i ). Rozdíl F (b) F (a) lze tedy geometricky interpretovat (opět pro f > 0) jako součet obsahů obdélníků nad úsečkami [x i.x i ] a s výškami rovnými funkční hodnotě f v některém bodě těchto úseček. i=

KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 4 Jestliže zvětšujeme počet dělících bodů x i a zmenšujeme všechny délky intervalů [x i, x i ], budou se součty obsahů příslušných obdélníků opticky blížit k obsahu rovinného obrazce omezeného nad intervalem [a, b] grafem funkce f. Slovo opticky vyjadřuje situaci, kdy se díváme na obrázek a tedy funkce f je hezká, tedy její graf je nakreslitelný. Obecně se může stát, že při jinak zvolených intervalech [x i, x i+ ] a jejich zmenšování dostaneme různá čísla. Nestane se to, pokud je f spojitá...4. Geometrický přístup Nechť f je spojitá funkce na kompaktním intervalu [a, b] a F je na tomto intervalu její primitivní funkce. Zvolme pro každé n N dělení x 0 = a < x <... < x kn < x kn = b a v každém intervalu [x i, x i+ ] bod c i. Nechť lim n max{x i+ x i ; i = 0,..., k n } = 0. potom F (b) F (a) = lim n k n i=0 f(c i )(x i+ x i ). Důkaz Dostáváme tedy následující geometrický význam primitivní funkce. Nechť F je primitivní funkce ke kladné spojité funkci f na kompaktním intervalu [a, b]. Pak rozdíl F (b) F (a) vyjadřuje obsah obrazce vymezeného intervalem [a, b], grafem funkce f a přímkami x = a, x = b. Vrátíme se nyní k významu onoho výrazu dx v integrálu f(x) dx. Rozdíly x i+ x i se často značí symbolem x i. Vysvětlili jsme si v diferenciálním počtu, že pokud se x i+ blíží k x, značíme limitu x jako dx. V uvedené geometrické interpretaci je tedy F (b) F (a) součet nespočetně mnoha obdélníků s nekonečně malou stranou dx a výškou f(x). Ostatně, symbol vznikl úpravou písmene S (z latinského Summa). K tomuto pohledu na integrály se vrátíme později. Velmi často se využívá pro aplikace integrálního počtu..2 Obecná tvrzení pro výpočet primitivních funkcí.2. Linearita Protože přiřazení derivace funkcím je lineární, musí být i opačné přiřazení lineární. Důkaz je tak jednoduchý, že ho nebudeme uvádět..2.. Linearita Jsou-li a, b reálná čísla a F, G jsou primitivní funkce na intervalu J k funkcím f, g resp., je af + bg primitivní funkce k af + bg na J. Symbolicky lze tvrzení znázornit jako (af(x) + bg(x)) dx = a f(x) dx + b g(x) dx,

KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 5 kde na levé straně je množina funkcí, na pravé straně součet množin funkcí a jedná se tedy o rovnost množin. (Jsou-li M, N množiny funkcí, je M + N = {f + g; f M, g N}.) Linearita umožňuje integrovat polynomy a podobné kombinace funkcí po jednotlivých sčítancích: (3x 2 7x + 4) dx = x 3 7 2 x2 + 4x + C, (2 sin x 8x 3 ) dx = 2 cos x 2x 4 + C. POZOR. Integrál součinu nebo podílu není součin nebo podíl integrálů: f f (f g) f g, g g (stačí v obou případech volit f(x) = x, g(x) = ). V některých zvláštních případech lze najít vzorec pro integraci součinu nebo podílu funkcí. Tyto případy jsou speciálním případem věty o substituci a jsou proto uvedeny jen v příkladech. Příklad.2.2 Integrace po částech Za zvláštní případ integrace součinu lze považovat i integraci využívající vzoreček pro derivaci součinu. Postup se nazývá integrace po částech proto, že se u součinu dvou funkcí nejdříve najde primitivní funkce jen jedné z nich a pak se hledá primitivní funkce k součinu té jedné primitivní funkce a derivace druhé funkce. Místo českého termínu se často používá latinský termín integrace per partes..2.2. Integrace po částech Nechť funkce F, G mají derivace na intervalu J. Pak platí: funkce H je na J primitivní k F.G právě když F.G H je na J primitivní k F.G Důkaz plyne přímo ze vzorce (F.G) = F.G + F.G. Symbolicky lze integraci per partes zapsat jako F (x)g (x) dx = F (x)g(x) F (x)g(x) dx existuje-li jedna strana, kde se opět jedná o rovnost množin funkcí. Vzorec lze zapsat i následujícím způsobem, kde G je primitivní funkce k funkci g: fg = fg f G. Není vždy jednoduché určit, kterou z obou výchozích funkcí máme integrovat a kterou derivovat. Chce to trochu praxe. Použití integrace po částech je zhruba trojího druhu. Ten první způsob jsme již zmínili: integrál z F.G může být jednodušší než integrál z F.G. Např. v x sin x dx zvolíme F (x) = x, G (x) = sin x musíme tedy znát primitivní funkci k funkci, kterou pokládáme za G, což je v našem případě snadné: G(x) = cos x. Dále máme F (x) =, takže dostáváme x sin x dx = x( cos x).( cos x) dx = x cos x + cos x dx = x cos x + sin x + C. Konstantu přidáváme až na konec, nepřidává se v průběhu počítání, tj. nepíšeme G(x) = cos x + C (i když to samozřejmě je možné).

KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 6 Někdy je nutné postup opakovat (viz druhý hlavní řádek v následující tabulce, x 2 sin x dx). Pak je nutné volit stejné pořadí při volbě funkce, kterou derivujeme, tj. pokud volíme F (x) = x 2, musíme při opakování postupu volit F (x) = x a nikoli F (x) = cos x. V posledním řádku tabulky je uveden důležitý příklad primitivní funkce, která se počítá dvojím použitím integrace per partes. Nedostaneme pak sice hned výsledek, ale dostaneme rovnici, v níž je neznámou hledaná primitivní funkce. Druhý způsob může být chápán jako obrácený postup k prvnímu způsobu. Zdánlivě integrál na pravé straně uděláme složitější. Máme vypočítat log x dx. Uděláme z log x součin. log x a položíme F (x) = log x, G (x) =, takže F (x) = /x, G(x) = x. Tím jsme se zbavili transcendentní funkce a musíme doufat, že integrál na pravé straně spočítáme: log x dx = x log x x. x dx = x log x = dx = x log x x + C. Podobně se počítá primitivní funkce k arctg x. Třetí způsob je získání rekurentního vzorce pro některé integrály, např. pro I n (x) = x n e x dx, n N, kde položíme F (x) = x n, G (x) = e x : I n (x) = x n e x dx = x n e x nx n e x dx = x n e x = ni n (x). V příkladech jsou uvedeny složitější a důležité příklady. funkce f(x) interval J f(x) dx na J.2.3 Substituce x sin x R x cos x + sin x x 2 sin x R x 2 cos x + 2x sin x + 2 cos x xe x R e x (x ) log x (0, + ) x(log x ) arctg x R x arctg x log( x 2 + ) e ax sin(bx) R e ax a 2 +b 2 (a sin(bx) b cos(bx)) Z derivace známe ještě jeden důležitý vzorec, a to pro výpočet derivace složené funkce: ( F (ϕ(x)) ) = F (ϕ(x))ϕ (x). To znamená, že k funkci F (ϕ(x))ϕ (x) je primitivní funkce F (ϕ(x)). Toto jednoduché, ale důležité tvrzení uvedeme jako tvrzení:.2.3. Integrace pomocí substituce Nechť funkce f(y) má na intervalu J primitivní funkci F (y) a funkce ϕ(x) má na intervalu I derivaci a zobrazuje I do J. Potom složená funkce (F ϕ)(x) je primitivní k f(ϕ(x))ϕ (x) na intervalu I. Symbolicky a srozumitelněji lze tvrzení vyjádřit jako f((ϕ(x))ϕ (x) dx = F (ϕ(x)) + C, tj. f((ϕ(x))ϕ (x) dx = f(y) dy, a dosadíme y = ϕ(x).

KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 7 Tímto způsobem lze počítat integrály funkcí, které jsou vyjádřeny jako f((ϕ(x))ϕ (x), známe-li primitivní funkci k f. Např. hledáme primitivní funkci k sin 2 x cos x. Víme, že cos x je derivace funkce sin x, takže stačí položit f(y) = y 2, y = ϕ(x) = sin x. V následujícím zápisu musíme mít na paměti, že y je funkce x; sice přejdeme v určitém kroku z proměnné x na proměnnou y, ale posléze se k x vrátíme, tj. za y musíme dosadit ϕ(x). sin 2 x cos x dx = y 2 dy = y 3 /3 + C = sin3 x 3 + C. Následující zápis (nebo jeho různé modifikace) je přesnější, ale po získání zkušenosti se příliš nepoužívá. [ ] [ ] sin 2 x cos x dx = sin x = y = y 2 dy = y 3 /3 + C = y = sin x = sin3 x + C. 3 Někdy nebývá na první pohled jasné, že funkce, kterou chceme integrovat je tvaru f((ϕ(x))ϕ (x) viz např. třetí nebo poslední řádek v následující tabulce. funkce f interval prim.funkce k f substituce 2x sin x 2 R cos x 2 y = x 2 xe x2 R e x2 /2 y = x 2 x +x 4 R (arctg x 2 )/2 y = x 2 log x x (0, + ) (log 2 x)/2 y = log x x log 2 x (0, + ) / log x y = log x tg x ( π/2, π/2) + kπ log cos x y = cos x I když není integrovaná funkce tvaru f(ϕ(x))ϕ (x) nebo tento tvar nepoznáme, dá se substituce (tj. vzorec pro derivaci složené funkce) použít, ale postupujeme z druhé strany. Integrovaná funkce je f(x) a my za x dosadíme funkci ϕ(t). Pokud najdeme primitivní funkci G(t) k f(ϕ(t))ϕ (t) a známe inverzní funkci k ϕ(t), bude hledaná primitivní funkce k f(x) rovna G(ϕ (x))..2.4. Integrace pomocí substituce 2 Nechť f je funkce na intervalu J a ϕ zobrazuje interval I na interval J a má na I vlastní nenulovou derivaci. Je-li G(t) primitivní funkce na I k f(ϕ(t))ϕ (t), je G(ϕ (x)) primitivní funkce k f(x) na J. Důkaz Opět je výstižnější symbolický zápis: f(x) dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt, a dosadíme t = ϕ (x). Můžeme poznamenat, že tvrzení.2.4 platí obecněji. Místo ϕ (x) 0 stačí existence funkce ψ na J takové, že ϕ ψ je identita na J (místo ϕ se pak použije ψ). Nemusí být vůbec snadné najít vhodnou substituci ϕ pro daný integrál f(x) dx. Chce to praxi v počítání. V příští části uvedeme obecné situace, kdy se nemusí substituce hledat, je pro velkou třídu funkcí už známa. Následující tabulka uvádí několik případů substituce. V některých případech se místo funkce x = ϕ(t) zadává její inverzní funkce t = ϕ (x). Při substituci x = ϕt do integrálu f(x) dx musíme všechna x v integrálu nahradit funkcí proměnné t. Uvědomme si, že výraz pro f může být složitý a proměnná x se může vyskytovat na mnoha místech. Musíme nahradit i x ve výrazu dx; je vhodné si pamatovat, že dx = dϕ(t) = ϕ (t) dt, což se dá chápat jako vynásobení rovnosti dx dt = ϕ (t) jmenovatelem dt.

KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 8 funkce f interval prim.funkce k f substituce sin(2x 3) R 2 cos(2x 3) 2x 3 = t x x 2 (, ), (, ) arctg x 2 x 2 = t 2 4 x 2 ( 2, 2) arcsin(x/2) x = 2 sin t 2x 2 +3 R 6 arctg(x 2/3) x = t 3/2 (2x 2 +3) 2 R x 6(2x 2 +3) + 6 6 arctg(x 2/3)) x = tg(t) 3/2 Uvedli jsme nejobecnější pravidla pro výpočty primitivních funkcí. V následující sekci uvedeme méně obecné, ale užitečné postupy, které se dají použít na výpočty primitivních funkcí dosti velkých tříd funkcí. Samozřejmě existuje hodně metod, které jsou vhodné jen pro malou třídu funkcí. Některé uvádíme v příkladech Příklad Na toto místo můžeme zařadit i dříve slibované speciální případy integrace součinu nebo podílu, a to funkcí ff, f /f Příklad

KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 9.3 SHRNUTÍ.3. DEFINICE Funkce F se nazývá primitivní k funkci f na intervalu J, jestliže F (x) = f(x) pro všechna x J..3.2 TVRZENÍ Nechť F je primitivní funkce k f na intervalu J. Potom:. F je spojitá na J. 2. Pro libovolné c R je F + c primitivní funkce k f na J. 3. Je-li G primitivní funkce k f na J, pak existuje c R tak, že je G = F + c. Nechť f má na intervalu J primitivní funkci. Potom. f má na J Darbouxovu vlastnost (tj. zobrazuje intervaly z J na intervaly nebo body); 2. f je bodovou limitou posloupnosti spojitých funkcí; 3. f je spojitá na husté podmnožině J (tj., každý interval v J obsahuje bod spojitosti f). Každá spojitá funkce definovaná na intervalu má na tomto intervalu primitivní funkci. Nechť f je spojitá funkce na kompaktním intervalu [a, b] a F je na tomto intervalu její primitivní funkce. Zvolme pro každé n N dělení x 0 = a < x <... < x kn < x kn = b a v každém intervalu [x i, x i+ ] bod c i. Nechť lim n max{x i+ x i ; i = 0,..., k n } = 0. potom F (b) F (a) = lim n k n i=0 f(c i )(x i+ x i ). (af(x) + bg(x)) dx = a f(x) dx + b F (x)g (x) dx = F (x)g(x) f(x) dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt g(x) dx, F (x)g(x) dx