2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic



Podobné dokumenty
( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306

2.8.5 Lineární nerovnice s parametrem

Říkáme, že přímka je tečnou elipsy. p T Přímka se protíná s elipsou právě v jednom bodě.

Větu o spojitosti a jejich užití

Logaritmické rovnice I

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu

Lineární nerovnice a jejich soustavy

{ } ( ) ( ) Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

Logaritmus. Předpoklady: 2909

( a) Okolí bodu

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice Řeš v R rovnici: = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

x + F F x F (x, f(x)).

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:

3. Kvadratické rovnice

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

Neurčité výrazy

Obvody a obsahy obrazců I

2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

Hyperbola a přímka

2.7.7 Obsah rovnoběžníku

Konstrukce na základě výpočtu I

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT listopad r r. . b = A

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Vzdálenost roviny a přímky

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

13. Exponenciální a logaritmická funkce

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

1.3.8 Množiny - shrnutí

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

Diferenciální počet. Spojitost funkce

3. ROVNICE A NEROVNICE Lineární rovnice Kvadratické rovnice Rovnice s absolutní hodnotou Iracionální rovnice 90

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

( ) Mechanická práce II. Předpoklady: 1501

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

8. cvičení z Matematiky 2

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

Definice limit I

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Digitální učební materiál

Konstrukce na základě výpočtu I

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

Výpočet obsahu rovinného obrazce

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)

Hledání hyperbol

Přednáška 9: Limita a spojitost

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

Konstrukce na základě výpočtu II

1.7.4 Výšky v trojúhelníku II

Repetitorium z matematiky

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE

Středová rovnice hyperboly

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

ANALYTICKÁ GEOMETRIE

Úlohy krajského kola kategorie A

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci

Matematika II: Testy

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

7.5.8 Středová rovnice elipsy

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

Přijímací test studijních předpokladů

II. kolo kategorie Z5

Obsah rovinného obrazce

Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic

Grafické řešení rovnic a jejich soustav

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná

( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky II. Předpoklady: 7312

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace

Riemannův určitý integrál.

Transkript:

..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci nkreslíme obě funkce (v grfu budou dvě přímky). y=x+ - hodnot pro x=- - - - - - hodnot pro x=- - y=-x Hodnoty funkcí udávjí hodnoty výrzů n obou strnách rovnice. Při řešení rovnice se snžíme zjistit, kdy se výrzy n obou strnách rovnice rovnjí stejnému číslu u grfů hledáme, kdy mjí obě funkce stejnou hodnotu (místo, kde mjí obě funkce v grfu body stejně vysoko) hledáme průsečík obou funkcí (bod, kde mjí stejnou hodnotu x i y). y=x+ - -- - - y=-x Z obrázku je vidět, že řešením rovnice je x =. Pro toto x vyjdou hodnoty výrzů n obou strnách stejně y =, jk je vidět i ze zkoušky: L : x + = ( ) + = P x = ( ) = + = : L = P

Podobně můžeme řešit i nerovnice. Př. : Řeš početně i grficky nerovnici 0,5x + < x. Početně: Už umíme. 0,5x + < x <,5x < K = ( ; ) x Grficky: Kždá ze strn nerovnice je výrzem pro lineární funkci nkreslíme obě funkce (v grfu budou dvě přímky). - - - y=x- y=0,5x+ 0,5 - hodnot pro x=- - - hodnot pro x=- Hodnoty funkcí udávjí hodnoty výrzů n obou strnách nerovnice. Hledáme, kdy má výrz vprvo větší hodnotu než výrz vlevo hledáme x, pro která má funkce y = x body výše než funkce y = 0,5x +. y=x- y=0,5x+ - - - - Z obrázku je vidět, že řešením nerovnice je intervl ( ; ). Př. : Řeš grficky rovnici x = x. Výsledek potvrď výpočtem. Levá strn: y = x Prvá strn: y = x

y y=x- - - x - - y=-x Zdá se, že K = { }. x = x = x = x x = K = { } Př. : Zhodnoť výhody nevýhody grfické metody řešení rovnic nerovnic. Nevýhody: Při normálním rýsování čsto pouze přibližný výsledek. Většinou čsově náročnější. Pokud by strny rovnice obshovly složitější výrzy, museli bychom uprvovt. Výhody: Sndno získáme předběžnou předstvu o řešitelnosti i u příkldů, které nejsou početně řešitelné v rámci středoškolské mtemtiky. Názornost celkový přehled o řešení, více toho vidíme. Pedgogická poznámk: Jednou z věcí, která studentům činí znčné problémy, je schopnost posoudit výhodnost různých postupů. Řešení podobných úkolů by jim snd mohlo pomoci. Př. 5: Řeš početně i grficky nerovnici x + b 0, < 0. Početně: x + b 0 x b / : (dělíme záporným číslem, obrcíme znménko) b b x K = ; Grficky: Funkce y = x + b je pro < 0 klesjící. Hledáme x, pro která jsou hodnoty menší než nul.

b - K b = ; Pedgogická poznámk: I když příkld není nový, zse se njdou někteří, kteří zpomenou obrátit znménko nebo nkreslit klesjící funkci. Dlším problémem bývá, že klesjící funkci je možné nkreslit jkkoliv, někteří se dokonce snží spočítt dv body grfu, které by mohli spojit. Nejdůležitější je, by se obě řešení shodovl. U mnoh studentů je běžné, že jim vyjdou nprosto odlišné výsledky nijk je to nevzrušuje. To je zásdní chyb, protože nutnost dospět ke stejnému výsledku po libovolné správné cestě je zcel zásdní vlstností mtemtiky. Pedgogická poznámk: Dv následující příkldy mjí z cíl procvičovt schopnost úvhy spojování pozntků. Mjí smysl pouze v přípdě, že studenti budou postupovt podle zdání, tedy nejdříve vypočítt, pk odhdnou pk ověřit. Zejmén při řešení prvního z nich byli pro mě ž nečekně úspěšní. Př. 6: Vyřeš početně rovnici x x ( x ) + = +. Po početním vyřešení odhdni, jk bude vypdt grfické řešení rovnice. Svůj odhd poté ověř grfickým řešením. ( ) x + = x x + x + = x x + + x + = x + 0x = K = Rovnice nemá řešení grfy funkcí pro obě strny se nesmí nikde protnout při grfickém řešení musíme získt dvě rovnoběžné přímky. Grfické řešení: Levá strn: y x y = x x + = x x + + = x + y=x+ = + Prvá strn: ( ) y y=x+ - - x - - Přesně, jk jsme odhdovli. N obrázku jsou dvě rovnoběžné přímky.

Př. 7: x x x + + + + x + 6 Vyřeš početně rovnici x + =. N zákldě výsledku řešení rovnice urči bez výpočtu uprvený tvr výrzu n prvé strně. Odhd potvrď výpočtem. x x x + + + + x + 6 x + = / x + x + x + + x + 8 = x + 6 6x + + x + 8 = 6 / 9x + = + + x 9x + = + + x 0x = 0 K = R V grfickém řešení musí být obě strny reprezentovány shodnými přímkmi prvá strn rovnice se musí tké rovnt výrzu x +. x x x x + x + x 6x + + + + + + + + x + 6 x + 6 x + 6 = = = + + x 9x + x + x + x + x + 8 x + 8 = = = = = x + Shrnutí: Strny lineární rovnice (nerovnice) můžeme znázornit pomocí lineárních funkcí tk získt grfické řešení. 5