8. Určitý integrál 8.1. Newtonův integrál Definice 8.1 Buďte,b R. Řekneme,žeNewtonůvintegrálzfunkce fnintervlu(,b) existuje(znčímejej(n) f(x)dx),jestliže 1.existuje primitivní funkce F k f n intervlu(, b), 2. existují vlstní lim F(x), lim F(x) x + x b R. Pk (N) f(x)dx= lim F(x) lim F(x). x b x + Množinu všech funkcí f, jejichž Newtonův integrál n(, b) konverguje, znčíme N(,b). Znčení 1. Rozdíl limit v definici integrálu budeme stručněji zpisovt tkto [F(x)] b = lim F(x) lim F(x) x b x + 8.2.Riemnnův integrál Vtomtoodstvcibudemevždypředpokládt,že,b Rfunkce fjeomezená n[,b]. Definice 8.2: Dělením Dintervlu[,b]nzvemekonečnouposloupnost x 0,x 1,...,x n [,b] tkovou,že =x 0 < x 1 <... < x n = b. Zpisujeme D={=x 0 < x 1... < x n = b}. Body x 0,...x n nzvemedělícímibodydělení D,číslo ν(d)=mx{x i x i 1 ;i= 1,...,n}nzvemenormoudělení D. Množinu všech dělení intervlu[, b] budeme znčit D. Dělení D jezjemněnímdělení D,jestliže D D. Definice 8.3: Buď D={=x 0 < x 1... < x n = b}.pro,...,noznčme m i =inf{f(x);x [x i 1,x i ]},M i =sup{f(x);x [x i 1,x i ]}. Hornímsoučtemprofunkci fdělení Dnzveme n S(D,f)= M i (x i x i 1 ), dolním součtem pro funkci dělení nzveme n s(d,f)= m i (x i x i 1 ). Poznámk 1.Buď m=inf{f(x);x [,b]},m=sup{f(x);x [,b]}, D D.Pk m(b ) s(d) S(D) M(b ). 2. Pokud nedojde k nejsnostem, budeme horní dolní součty znčit pouze s(d),s(d). 1
2 Lemm 8.1(Vzthy mezi horními dolními součty) 1.Buďte D,D D,D jezjemněním D.Pkpltí s(d) s(d ),S(D) S(D ); 2.Prokždádvědělení D,D Dpltí s(d) S(D ). Definice 8.4: Horním Riemnnovým integrálem funkce f n intervlu[, b] nzveme f(x)dx=inf{s(d);d D}, dolním Riemnnovým integrálem funkce f n intervlu[, b] nzveme f(x)dx=sup{s(d);d D}. Jestliže f(x)dx= f(x)dx,nzvemetutospolečnouhodnoturiemnnovým integrálem znčíme (R) f(x)dx= Množinu všech funkcí, které mjí Riemnnův integrál n intervlu[, b] budeme znčit R(, b). Poznámk Vždy pltí f(x)dx f. Vět 8.1:(Nutná postčující podmínk existence Riemnnov integrálu) f R(,b)právětehdy,kdyžprokždé ǫ >0existujedělení D Dtk,že 0 S(D) s(d) < ǫ. Poznámk f R(,b)právětehdy,kdyžexistujeposloupnostdělení(D n ) Dtk,že lim (S(D n) s(d n ))=0. n Vět 8.2:(Linerit nezápornost Riemnnov integrálu) R(, b)(s obvyklým sčítáním funkcí násobením funkce konstntou) je vektorový prostorzobrzeníψ, kteréfunkci f R(,b)přiřdí f(x)dxjen R(,b) lineární. ZobrzeníΨjenezáporné,tj. prokždoudvojicifunkcí f,g R(,b) tkovou,žeprovšechn x (,b)je f(x) g(x)pltí,že f(x)dx g(x)dx. Vět 8.3:(Aditivit Riemnnov integrálu jko funkce intervlu) Buďte,b,c R, < c < b. Pk f R(,b)právětehdy,když f R(,c) R(c, b). Dále pltí f(x)dx= c f(x)dx+ c
Definice 8.5: Řekneme,žefunkce f jestejnoměrněspojitánmnožině M, jestliže ǫ >0 δ >0 x,y M, x y < δ: f(x) f(y) < ǫ. Vět 8.4:(Spojitost stejnoměrná spojitost) Buď fspojitánomezenémuzvřenémintervlu I=[,b]. Pkje fstejnoměrně spojitá n I. Vět 8.5:(Riemnnův integrál spojité nebo monotonní funkce) 1.Buď fspojitán[,b].pkje f R(,b). 2.Buď fmonotonníomezenán[,b].pkje f R(,b). Poznámky 1. Buď m N,K= {c 1,...,c m } [,b], fspojitán[,b] \ Komezenán [,b].pkje f R(,b). 2. Buď m N,K = {c 1,...,c m } [,b],f R(,b). Nechť g :[,b] R tková,že g(x)=f(x)provšechn x [,b] \ K.Pkje g R(,b) f(x)dx= b g(x)dx. 3. Obecnějipltí,že f Rprávětehdy,je-limnožin M bodůnespojitosti funkce f nulovávtomtosmyslu: prokždé ǫ >0existujeposloupnostintervlů (I n =( n,b n )) n=1tková,že (M n=1i n ) ( (b n n ) < ǫ). n=1 4. ZdefiniceRiemnnovintegrálulzedokázt,žeje-li f R(,b),pki f R(,b)pltí f(x)dx f(x) dx 3 Úmluv Definujeme pro > bje f(x)dx= f(x)dx=0, b Vět 8.6: (Neurčitý Riemnnův integrál jeho vlstnosti) Buď f R(,b),c (,b).definujmepro x [,b] F(x)= x c f(t)dt. Funkci F nzveme neurčitým Riemnnovým integrálem. Pk pltí 1. Fjestejnoměrněspojitán[,b]. 2. Je-li f spojitávbodě d (,b),existuje F (d)pltí F (d)=f(d). (V krjních bodech pltí nlogické tvrzení s jednostrnnou spojitostí f derivcí F.)
4 Důsledek Důsledkem věty 8.6 je postčující podmínk pro existenci primitivní funkce. Jelitotižfunkce fspojitánintervlu(,b)zvolíme-li c (,b)jefunkce Fzvěty 8.6primitivnífunkcíkfn(,b). Vět 8.7: (Vzth mezi Riemnnovým Newtonovým integrálem ze spojité funkce) Buď fspojitán[,b]. Pk fmánewtonůviriemnnůvintegráln[,b] pltí (R) f(x)dx=(n) 8.3. Užití určitého integrálu I.Vět 8.8: (Existence jednoznčnost logritmu) Existuje jediná funkce f (nzveme ji přirozený logritmus znčíme f(x) = ln(x)), která splňuje poždvky 1. definičním oborem je intervl(0, ), 2. fjerostoucín(0, ), 3. x,y (0, ):f(x.y)=f(x)+f(y), 4. f(1)=0, f(x) 5. lim x 1 x 1 =1. II.Vět 8.9: (Integrální kritérium konvergence řd) Buď f spojitá,nerostoucínezápornán[1, ). Pk n=1 f(n)konverguje právětehdy,kdyžkonverguje(n) 1 III. Délk grfu funkce Definice 8.6: Buď φspojitézobrzeníintervlu I=[,b] Rdo R. Množinu K= {[x,φ(x)],x I}nzvemekřivkou,zobrzení x [x,φ(x)]prmetrizcí křivky K. Buď D={=x 0 < x 1 <... < x n = b}děleníintervlu I. Lomenou črou L(D) odpovídjící dělení D nzveme sjednocení úseček s krjnímibody[x i 1,φ(x i 1 )],[x i,φ(x i )]pro,...,n,délkoulomenéčáry L(D)je pk n d(l(d))= (xi x i 1 ) 2 +(φ(x i ) φ(x i 1 ))2. Definujeme délku křivky d(k) tkto d(k)=sup{d(l(d))}, kde supremum se bere přes všechny lomené čáry odpovídjící dělením D intervlu I. Vět 8.10: (Délk křivky) Buď funkce f spojitě diferencovtelná n uzvřeném intervlu I. Pk délk křivky K= {[x,f(x)],x I} d(k)= 1+(f (x)) 2 dx. I
Poznámk 1.Buď φ:i=[,b] R n diferencovtelnáfunkcenintervlu I.Pkjedélk křivky {[φ(t)];t [,b]}dánvzorcem D(Φ)= φ (t) dt= n φ i (t) 2 dt, pokud integrál n prvé strně existuje jko Newtonův nebo Riemnnův. 2.Buďte f,gspojitén[,b], M= {[x,y];x [,b],y [g(x),f(x)]}, buď Ttělesovzniklérotcímnožiny Mkolemosy x,tj. T= {[x,y,z] R 3 ;x [,b],g 2 (x) y 2 + z 2 f 2 (x)}. Pkjeobjem V(T)těles Tdánvzorcem V(T)=π ((f(x) 2 (g(x) 2 )dx. 3. Buď fspojitědiferencovtelnáfunkcenintervlu I=[,b],buď P ploch vzniklárotcímnožiny M= {[x,f(x)],x [,b]}kolemosy x,tj. P= {[x,y,z] R 3 ;x [,b],y 2 + z 2 = f 2 (x)} Pk je velikost plochy P dán vzorcem 2πf(x) 1+(f (x)) 2 dx. 5