DIPLOMOVÁ PRÁCE. Patrik Hudec. Výpočet historické volatility FX-opcí. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Transkript

1 Univerzia Karlova v Praze Maemaicko-fyzikální fakula DIPLOMOVÁ PRÁCE Parik Hudec Výpoče hisorické volailiy FX-opcí Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí diplomové práce: Ing. Jan Srakoš Sudijní program: Finanční a pojisná maemaika

2 Děkuji panu Ing. Janu Srakošovi za podněné konzulace, poskynuí pořebných da, čas a úsilí, keré při vedení éo diplomové práce vynaložil. Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsal samosaně a výhradně s použiím ciovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce. V Praze dne 19. července 2008 Parik Hudec

3 Název práce: Výpoče hisorické volailiy FX-opcí Auor: Parik Hudec Kaedra (úsav): Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí diplomové práce: Ing. Jan Srakoš, Erse Bank, Vídeň vedoucího: jan.srakos@ersebank.a Absrak: Cílem éo diplomové práce je sesavi model pro výpoče hisorické volailiy FX-opcí založený na numerické simulaci finančního procesu zvaného dynamický dela hedging z pohledu dela-neurálního porfolia. Pro empirické výpočy jsou použia vysokofrekvenční daa měnového páru EUR/CZK za léa 2001 až 2006 a Garman- Kohlhagenova modifikace Black-Scholesova vzorce pro oceňování měnových opčních konraků. Celý model je podle zadání zpracován v sysému Mahemaica. Analyická čás se zabývá opimalizací a chováním naprogramovaného ieračního procesu na reálných daech, zaobírá se blížeji jeho vsupními paramery a zmiňuje případná úskalí. V závěru věnovaném analýze výsledků jsou ako získané volailiy porovnávány se skuečnými, na rhu kóovanými hodnoami. Klíčová slova: hisorická volailia FX-opcí, dela hedging Tile: Coun of Hisorical FX Opions Volailiy Auhor: Parik Hudec Deparmen: Faculy of Mahemaics and Physics Supervisor: Ing. Jan Srakoš, Erse Bank, Vienna Supervisor's address: jan.srakos@ersebank.a Absrac: The goal of his maser hesis is o se up a model for he coun of hisorical FX opions volailiy based on numeric simulaion of he financial process called dynamic dela hedging in view of dela-neural porfolio. For empirical calculaions here are used high frequency daa of he moneary pair EUR/CZK in years and he Garman- Kohlhagen modificaion of he Black-Scholes formula for he assessmen of moneary opion conracs. The whole model is processed by assignmen in he Mahemaica sysem. Analyical par deals wih he opimizaion and behaviour of he programmed ieraion process on real daa, i reas closely is inpu parameers and poins possible difficulies. In he conclusion engaged in he analysis of resuls here are so acquired volailiies compared wih he real, marke quoed values. Keywords: hisorical FX opions volailiy, dela hedging

4 OBSAH 1. ÚVOD FINANČNÍ DERIVÁTY Co předcházelo vzniku deriváů Klasifikace Pevné konraky Podmíněné konraky Využií Opce Hisorie opcí Základní erminologie OCEŇOVÁNÍ OPCÍ Cena opce Fakory ovlivňující eoreickou hodnou opce Sochasický poče Black-Scholesův vzorec Garman-Kohlhagenův vzorec The Greeks Volailia Hisorická volailia Implikovaná volailia Volailiy smirk (skew), volailiy smile Kóované opční sraegie Dela risk reversal Dela neural sraddle Dela srangle ANALYTICKÁ ČÁST (Dynamický) dela hedging Základní myšlenka modelu Ierační proces Ukončení ieračního procesu Vsupní daa a podmínky Spoové kurzy EUR/CZK Minimální objem zajišění, nominální hodnoa opce Bezrizikové úrokové míry Posačující přesnos hisorických volaili Den expirace v oceňovacím modelu Opimalizace Model I meoda posupných kroků Model II meoda průsečíku Aplikace modelů I a II na 25 dela call a -25 dela pu opce Rozšíření modelu I KOMPARACE DAT Dela risk reversal... 44

5 5.1.1 Srovnání vlivu 0,01 a 0,001 dela hedgingu A-he-money call Model III modifikace rozšířeného modelu I Rozbor výsledků Pin risk Srovnání vlivu 0,01 a 0,001 dela hedgingu Dela neural sradle ANALÝZA VÝSLEDKŮ Vliv limiu minimálního zajišťovacího objemu % hedging Náklady na měnové operace ZÁVĚR LITERATURA PŘÍLOHA Příklad zdrojového kódu Obsah přiloženého CD ROM... 69

6 1. Úvod 2 1. Úvod Invesiční porfolia sandardně obsahují násroje ve fondech, akciích a dluhopisech. Ovšem pole insrumenů, keré mají invesoři k dispozici, je mnohem bohaší. Opce předsavují další, dynamicky se rozvíjející segmen příležiosí pro sofisikované invesory. Kouzlo opčních konraků leží v jejich všesrannosi umožňují oiž upravi oevřenou pozici podle akuálně nasálé siuace na finančních rzích. Opce lze považova za sejně ak vysoce spekulaivní násroj jako násroj konzervaivní. To znamená, že s nimi můžeme děla všechno, od kryí nějaké pozice (hedgingu) proi jejímu případnému znehodnocení nebo ochrany již vyvořených zisků, až po oevřenou sázku na pohyb jediného konkréního akiva či celého koše s případným využiím finanční páky (leverage). Nabízí ak mnoho možnosí a sraegií, aby naplnily různé invesiční cíle. Pochopielně nemůže bý ao univerzálnos zadarmo a musí bý něčím vykoupena. Opční obchodování v sobě zahrnuje kromě možnosi velkého výnosu aké nezanedbaelné riziko značné zráy a vyžaduje hlubší znalosi celé problemaiky. To je důvod, proč se časo v jeho spojiosi zmiňuje, že je exrémně riskanní a není vhodné pro každého. Proo se mnozí invesoři éo skupině akiv raději zcela vyhýbají a zcela opomíjejí její exisenci. Na druhou sranu ignorova jakýkoli yp insrumenu zbyečně připravuje invesora o další možnos profiu. A i když dojde k závěru, že opce pro něj nejsou vhodným invesičním násrojem, měl by jim minimálně dobře rozumě a chápa jejich silné i slabé sránky. Oázka správného ocenění opcí je jeden z neriviálních problémů, kerým se inenzivně zabývají maemaici a ekonomové celá deseileí. Již roku 1973 Fischer Black spolu s Myronem Scholesem a Rober C. Meron jako první předsavili v praxi použielné oceňovací modely a sáli ak u zrodu nejen finančního inženýrsví, ale především rozmachu opčního obchodování. Ač ani jeden z rojice nebyl původním vzděláním ekonom, dosalo se Scholesovi a Meronovi roku 1997 za přínos finanční ekonomii uznání v podobě Nobelovy ceny. Black se jí žel nedožil, zemřel o dva roky dříve a Nobelova cena se in memoriam neuděluje (všichni jmenovaní se na vývoji modelů podíleli společně). Ze všech prací odměněných věhlasnou Cenou Švédské národní banky na pamáku Alfréda Nobela byla zřejmě a jejich nejrychleji do praxe zavedeným eoreickým poznakem, na kerou navázali další. Přeso ao problemaika není sále uspokojivě vyřešena. Naopak s ím, jak se pokusíme dosa více do hloubky a aplikova získané znalosi v reálném obchodování, vyvsanou oázky zcela nové, z nichž mnohé zůsávají sále nezodpovězeny. Ač vychází Black-Scholesova (Meronova) rovnice z celé řady neriviálních předpokladů, z nichž mnohé na žádném z rhů neplaí, což vede k různým anomáliím, je přeso součásí řady následných modelů, keré se snaží v maximální možné míře rozšíři její použií, případně eliminova někeré nežádoucí efeky, a spolu s nimi je základem mnoha oceňovacích sofwarových produků, keré využívá celý finanční svě. Jak velká však může bý chyba, jíž se invesoři dopouší, zanedbávají-li vsupní podmínky používaných modelů? A jak výrazně se pak samoné eoreické výsledky odlišují od realiy? Cílem éo diplomové práce je sesavi model pro výpoče hisorické volailiy FXopcí založený na numerické simulaci finančního procesu zvaného dynamický dela hedging z pohledu dela-neurálního porfolia, edy efekivně zajišěného. Pro empirické výpočy budou použia vysokofrekvenční daa z Reuers erminálu v České republice nejvíce obchodovaného měnového páru EUR/CZK za léa 2001 až 2006 a Garman- Kohlhagenova modifikace Black-Scholese pro oceňování měnových opcí. Celý model

7 1. Úvod 3 bude podle zadání zpracován v sysému Mahemaica, a o konkréně nejprve ve verzi 5.1 for Sudens a následně v dále rozšířené verzi 6.0. V analyické čási zopimalizujeme ierační proces, blížeji se podíváme na jeho vsupní paramery, zjisíme, jak se chová na reálných daech, a zmíníme případná úskalí. V závěru věnovaném analýze výsledků se podíváme na grafická srovnání ako získaných jedno-, dvou-, ří-, šesi-, devíia dvanáciměsíčních volaili opcí akzvaně na penězích se skuečnými, na rhu kóovanými ržními hodnoami a vyvodíme z nich příslušné závěry. Než se však budeme věnova samonému modelu, kerý je jádrem ohoo pojednání, vysvělíme si v následujících kapiolách 2 a 3, co o vlasně měnové opce a poažmo deriváy, kam se opce řadí, jsou, jak vznikly, k čemu se používají, jaká rizika v sobě předsavují a proč jsou mezi invesory ak (ne)populární. Současně si nadefinujeme českou erminologii s příslušnými anglickými ekvivaleny. České názvosloví jednak může auor od auora rochu kolísa a navíc v praxi se časo používají spíše jednoznačné anglické ermíny z ohoo důvodu se jim nebudeme vyhýba ani my. Řekneme si něco sručně o oceňování opcí založeném na sochasickém diferenciálním poču, v čem kví podsaa éo problemaiky a proč je zrovna volailia jedním z klíčových paramerů. Také se zmíníme o někerých jevech, ke kerým v souvislosi s ím dochází, jako jsou například volailiy smile nebo pin risk.

8 2. Finanční deriváy 4 2. Finanční deriváy Finančími deriváy rozumíme konraky, jejichž podsaou je určiá forma ermínového obchodu. Jeho základním prvkem je časový rozesup mezi daem uzavření a samoným uskuečněním. V okamžiku uzavření obchodu jsou dopředu pevně sjednány veškeré pořebné náležiosi a podmínky plnění, včeně ceny, za kerou bude realizován. V době splanosi pak dochází k dodání zv. bazických finančních insrumenů, na keré je ermínový obchod uzavřen, a jejich zaplacení. Časo můžeme vidě i jiná označení pro bazické finanční insrumeny jako podkladová, základní či podléhající akiva. Z časového hlediska jsou proikladem k ermínovým obchodům prompní obchody, kdy uzavření dohody a její následné plnění spadá do shodného časového okamžiku (resp. zde dochází pouze ke krákému prodlení především z echnických důvodů nezbyně nuných pro realizaci příslušných ransakcí). 2.1 Co předcházelo vzniku deriváů Sedmdesáá a následně osmdesáá léa minulého soleí byla pro USA nejhorším obdobím od Velké hospodářské krize z konce dvacáých le 19. soleí, země prošla dvěma ekonomickými krizemi a saglaflací při dvouciferné inflaci. V důsledku oho došlo ke změně orienace hospodářské poliiky od keynesiánské k liberální se snahou rozšíři sféru ržní regulace. Vlivem nesabiliy finančních rhů v podobě výrazného nárůsu volailiy měnových kurzů, úrokových sazeb a kurzů cenných papírů se podsaně zvýšila rizika pro všechny zúčasněné subjeky. Výsledkem hledání, jak se proi zvýšenému riziku z invesování zajisi, byl vznik a prudký rozvoj nových insrumenů, pro keré se vžil ermín finanční deriváy, proože jsou odvozeny (derivovány) od v základě ležících finančních insrumenů. Finanční insiuce a banky, keré v é době zrácely své nejlepší zákazníky v radičních odvěvích, zahrnuly nové produky do porfolia svých služeb a nabídly řízení finančního rizika s pomocí deriváů. Deriváy ovšem nejsou výsadou pouze finančních rhů, proože shodně konsruované násroje najdeme aké na komodiních rzích. Osaně s předchůdci moderních deriváů se obchodovalo od poloviny dvacáého soleí na plodinových burzách a samoný princip ermínových obchodů byl znám již z dřívějška. Změnil se však celkový způsob obchodování, zdokonalila se jejich konsrukce a nebývale rozšířilo spekrum různých varian. 2.2 Klasifikace Klasifikace finančních deriváů není zcela jednoznačná, což plyne jednak z jejich ne zcela jednoného chápání v eorii a praxi, ale především z obrovské variabiliy, vzájemného prolínání a pokračujícího rozvoje. Vyjděme z členění, jak je uvedeno ve Dvořák (1998). V základní rovině můžeme podle charakeru obchodu rozděli finanční deriváy do dvou hlavních skupin, na nepodmíněné neboli pevné konraky, kdy obě zúčasěné srany mají současně právo i povinnos sjednaný obchod splni, a podmíněné neboli opční konraky, kdy kupující subjek získává právo, nikoli však povinnos, na provedení určiého obchodu v budoucnu za předem vymezených podmínek, resp. na určié plnění, pokud nasanou sanovené okolnosi.

9 2. Finanční deriváy 5 Vsup do akového pevného ermínového konraku (oevření pozice) je obvykle pro obě srany bezplaný. Podle používané erminologie účasník, kerý by měl k dau splanosi koupi podkladové akivum, zaujímá dlouhou pozici (long posiion) a prodávající krákou pozici (shor posiion) Pevné konraky Mezi pevné ermínové konraky řadíme forwardy, fuures a swapy. Forwardy jsou pevně sjednané obchody na budoucí nákup či prodej určiého finančního insrumenu a jsou prováděny na mimoburzovních rzích (over he couner, zkráceně OTC). Přesože je škála forwardových obchodů bohaá, zahrnujeme do deriváů věšinou pouze forward rae agreemen (FRA) dohodu o ermínové úrokové sazbě. Fuures jsou ve své podsaě shodné s forwardem, zásadním rozdílem ale je, že fuures jsou ypem sandardizovaných burzovních obchodů a člení se případně dále podle ypu podkladového akiva na fuures úrokové, měnové, komodiní a na akcie či celý akciový index. Swapy předsavují dohodu o budoucí směně předem sanoveného oku peněz mezi dvěma či více subjeky v daných ermínech. Nejčasěji využívaný je devizový swap (foreign exchange swap FX, kombinace spoové a forwardové ransakce) a úrokový swap (ineres rae swap IRS, obecnějším druhem IRS pak je měnový úrokový swap, zv. cross currency swap CCS). Poznamenejme, že sandardizace deriváových obchodů na jednu sranu omezuje jejich flexibiliu, na druhou sranu podporuje likvidiu, snižuje rizikovos celé ransakce a navíc umožňuje, aby obchodníci splnili své závazky, aniž by došlo ke skuečnému fyzickému dodání podkladového akiva (physical delivery) Podmíněné konraky Mezi podmíněné ermínové konraky paří opce a jiné opční inrumeny. Opce se vyskyují jako konraky burzovní i mimoburzovní a předsavují ermínový obchod, při němž kupující získává právo, nikoliv povinnos eno obchod k dau splanosi uskuečni. Podle v základě ležícího bazického insrumenu můžeme nákupní (call) a prodejní (pu) opce členi na opce na akcie, akciové indexy, cizí měny, úrokové sazby či dluhové insrumeny. Všechny osaní opce, keré se do výše uvedené skupiny nedají zařadi, ani nejsou jejich kombinacemi, označujeme jako exoické. Zpravidla bývají obchodovány na OTC rzích a jsou konsruovány finančními insiucemi, aby uspokojily nejrozmaniější požadavky klienů. Jinými opčními insrumeny rozumíme opční lisy, cap, floor a collar. Opční lisy mají s opcemi spousu shodných či podobných rysů, narozdíl od nich však mají formu cenného papíru, obchodují se na prompní burze a mají pouze jednoho emiena s ohraničenou velikosí nabídky. Cap a floor jsou insrumeny, jejichž zakoupením získává majiel nárok na plnění ve formě úrokového rozdílu z nominálu, pokud ržní sazby vzrosou nad (cap), resp. klesnou pod (floor) pevně sjednanou sazbu.

10 2. Finanční deriváy 6 Collar je kombinací cap a floor, kdy majiel dosává plnění při růsu úrokových sazeb nad sanovenou mez a naopak poskyuje plnění při poklesu úrokových sazeb pod určenou hladinu. Jednolivé deriváy lze vzájemně nejrůznějším způsobem dále kombinova a vyváře ak nové hybridní insrumeny, jako jsou opce na fuures konrak, opce na swap (swapion) či cap (capion) nebo forwardové swapy. Kromě ěcho deriváů se objevily i nové, akzvané úvěrové (krediní). Ty se využívají k zajišění proi úvěrovému riziku emienů dluhopisů nebo dlužníků z poskynuých úvěrů. Nejpopulárnější konsrukcí je credi defaul swap (CDS). Objem a význam deriváů především v posledních leech prudce rose spolu s globalizací rhů (nejvýznamnějšími hráči jsou americké banky). Vzhledem k omu, že jejich hodnoa mnohonásobně přesahuje velikos svěové ekonomiky, zdá se, že velká čás z nich je spekulaivní povahy, edy bez vazby na jakoukoliv ekonomickou ransakci. Na druhou sranu je jejich dopad na spoový rh obrovský. 2.3 Využií Finanční deriváy lze v zásadě používa sejně jako jiné finanční insrumeny řemi způsoby k: zajišění (hedging), kdy pomocí deriváů zafixujeme cenu určiého insrumenu ke sjednanému ermínu v budoucnu, a ím redukujeme riziko spojené s obchody s podkladovými akivy, a o nejčasěji ak, že si na ermínovém rhu sjednáme k určié pozici (ať již současné či budoucí) akový obchod, jehož zisk nebo zráa se budou vyvíje zrcadlově k dané pozici. Zajišťující se subjek ak pouze zavírá svou oevřenou pozici. spekulaci (rading), kdy narozdíl od zajišění svou pozici oevíráme. Spekulan obchod sjednává za účelem profiova na předpokládaném cenovém vývoji, edy že cena sjednaná v ermínovém obchodu bude pro něj výhodnější než prompní cena podkladového akiva. Časo přiom využívá zv. pákového efeku (leverage), jehož principem je za použií malého obnosu získa násobně věší pozici, kerá může již při malém pohybu bazického insrumenu přinés obrovské zisky, ale sejně ak i zráy. Jelikož cílem spekulana není fyzické vypořádání podléhajícího akiva, snaží se ješě před dnem realizace svou pozici uzavří. arbiráži, kerá je založena na využií cenových diferencí, keré vznikají z hlediska erioriálního, kde na erioriálně odlišných rzích se může cena shodného insrumenu liši, a časového, kdy ceny na ermínovém rhu neodpovídají cenám odvozeným z cen bazických insrumenů na prompním rhu. Je-li rozdíl věší než ransakční náklady, arbiražéř na relaivně podhodnoceném rhu kupuje a na nadhodnoceném okamžiě prodává, čímž dosahuje zisku při podsoupení minimálního rizika. Rosoucí propojenos rhů však yo příležiosi sále více redukuje. 2.4 Opce Opce mohou slouži jak k ryze invesičním účelům, ak ke spíše spekulaivním obchodům. Mnoho lidí považuje opční konraky za vysoce rizikové a spíše za záležios čisě spekulaivní. Ve skuečnosi opce můžou bý výborným násrojem pojišění již

11 2. Finanční deriváy 7 vyvořených zisků a aké zajímavým prosředkem výdělku. Opce rovněž poskyují finanční páku, a o je jejich obecně možná nejznámější charakerisika. Každopádně nabízí velkou flexibiliu při invesičních rozhodnuích, především díky široké paleě opčních sraegií Hisorie opcí Opční ransakce nejsou objevem moderní doby, jejich původ sahá až do sarého Řecka, konraky obdobné svými podmínkami moderním opcím používali v námořní dopravě aké Féničané a Římané. První dochovanou zmínku najdeme zřejmě v jedenácé kapiole první Arisoelovy knihy Poliika. Podle ní předpověděly hvězdy zakladaeli řecké filozofie, chudému Thaleovi z Miléu, velkou úrodu oliv. V zimě si proo pořídil za malý obnos peněz přednosní práva na první pronájem všech lisů ve měsech Mileus a Chios hned po sklizni a když přišel čas úrody a jeho prognóza se naplnila, prodával svá práva v důsledku obrovského převisu popávky majielům olivových planáží dál za mnohem vyšší sumu a pohádkově zbohal. Ve sředověku a počákem novověku se opční konraky vyskyovaly v Benáské republice a ve Florencii. Neobchodovaly se však samosaně. Typicky byly neoddělielnou součásí jiných cenných papírů jako zv. embedded opions. Nejčasěji se jednalo o podmínky svolaelnosi dlouhodobých obligací. Toéž použií našly opce aké v 16. a 17. soleí ve Spojených provinciích nizozemských a ješě o něco později v Anglii. Přes značnou populariu však opce nedokázal nikdo korekně oceňova a jejich hodnoa byla časo opomíjena, díky čemuž invesoři podsupovali příliš velké riziko. Uplanění opcí na snížení kupónu v Nizozemí v roce 1654 dokonce vyúsilo v občanské nepokoje. Od počáku 17. soleí si pomocí kupních opcí zabezpečovali obchodníci s ulipány jejich výkupní cenu a množsví. Obdobě se pomocí prodejních opcí proi poklesu cen zajišťovali aké pěsielé. Nervalo dlouho a rh přilákal ješě další zájemce o yo opce spekulany, jejichž moivem bylo na obchodování s opcemi realizova profi. Nicméně ve chvíli, kdy se rh dosal do problémů, mnoho spekulanů nedodrželo podmínky dohody a zkrachovalo. Následky pro hospodářsví byly dalekosáhlé a významně negaivně poznamenaly vnímání opcí mezi širokou veřejnosí. Po obdobné zkušenosi v Londýně o přibližně so le později byly opce prohlášeny za nelegální. Ve Spojených sáech amerických se sice klasické opce na akcie objevily záhy po vzniku New York Sock Exchange (NYSE) roku 1792, ale ani na začáku 19. soleí se sále ješě neobchodovaly na burze a byly značně individuální. Tzv. pu-call obchodník inzeroval v odborném isku jako The Wall Sree Journal nabídku opcí pro daný den a invesor, kerý chěl koupi nebo proda opce, elefonicky jednal s ímo dealerem. Ten vysupoval pouze jako zprosředkovael a jeho provizí byl rozdíl mezi zaplacenou a prodejní cenou (spread), na jehož velikos se však nevzahovaly žádné limiy. Navíc všechny konraky musely bý realizovány osobně do 15:15 v den vypršení opce, jinak propadly jako bezcenné. Po Velké krizi se opce díky legalizaci zákonem Securiies Exchange Ac z roku 1934 dosaly pod dohled nově založeného dozorčího orgánu Securiies and Exchange Commission (SEC). Chicago Board of Trade Na konci šedesáých le, za slábnoucího zájmu o obchodování se surovinami, podpořila komodiní burza The Chicago Board of Trade (CBOT) rh s komodiami rozšířením o původně mimoburzovní rh s opcemi. Aby eliminovala slabá mísa, kerá

12 2. Finanční deriváy 8 bránila výraznému nasazení opcí v praxi, odsranila burza nejprve jejich přílišnou variabiliu sandardizací konraků a ve druhém kroku doporučila vyvoři důvěryhodného zprosředkovaele, kerý by konraky emioval a zaručil se za dodržení jejich plnění. Teno prosředník s velmi přísnými podmínkami je dnes znám jako Opions Clearing Corporaion (OCC). Aby mohli bý nahrazeni pu-call obchodníci, vyvořil CBOT sysém, v němž má vůrce rhu (marke maker) povinnos obsaráva nákupní i prodejní sranu a zaruči ím pořebnou likvidiu. Možnos získa nejlepší cenu pak zajišťovala konkurence mezi samonými vůrci, keré obvykle nezajímá dlouhodobý směr základních akiv, obchodují s vlasním kapiálem a nemají povoleno zasupova jiné invesory. Chicago Board Opions Exchange Po leech příprav oevřela burza CBOT 26. dubna 1973 první opční burzu Chicago Board Opions Exchange (CBOE), kde se zpočáku obchodovaly pouze call opce na 16 podkladových akcií. S rosoucí populariou ěcho invesičních násrojů si aké další burzy uvědomily jejich skryý poenciál. Počínaje rokem 1975 začaly posupně opční obchodování nabíze American Sock Exchange (AMEX), Philadelphia Sock Exchange (PSE), New York Sock Exchange (NYSE) a další. Po několikerém zdržení povolil SEC roku 1977 obchodování s pu opcemi na 5 podkladových akcií. Různé druhy opčních ransakcí se na burzách objevily počákem 80. le. V roce 1981 začal obchod se sandardizovanými opčními konraky znějícími na obligace a o rok později na devizy a financial fuures. Roku 1983 nabídla burza CBOE opční obchodování akciových indexů, čímž získali porfolio manažeři účinný násroj pro řízení rizika porfolia. První dva dnes známe jako S&P 100 a 500, edy jedny z nejobchodovanějších akciových indexů vůbec. O rok později dosáhl roční objem zobchodovaných opčních konraků poprvé hranice so milionů. Znovuobjevený zájem o opce neunikl ani celosáním deníkům, keré začaly uveřejňova cenu opcí. Roku 1989 bylo spušěno obchodování s opcemi na úrokovou míru. Dlouhodobé opce s dobou splanosi až 39 měsíců, zv. Long-erm Equiy Anicipaion Securiies (LEAPS), jsou rovněž produkem CBOE. V dalších leech přišla ao opční burza s indexem VIX, kerý bývá označován jako baromer nálady invesorů a ržní volailiy. V roce 2000 přesáhl denní průměrný objem jeden milión konraků. Burza CBOE se ak posarala v hisorii opčního obchodování o několik důležiých milníků a je zdaleka nejvěším rhem s opcemi. Ale ješě ve věší míře se s opcemi obchoduje na OTC rzích, kde nepodléhají ak přísné regulaci. V obou případech významně převládají úrokové opce Základní erminologie Jak jsme již uvedli výše, opční obchody řadíme do skupiny podmíněných ermínových. Každá opce má svého prodejce (upisovaele, zv. wrier) a kupce (zv. holder). Pouze jedna srana, a o prodávající, má však povinnos na požádání majiele opce splni podmínky obchodu, zaímco en má vždy možnos volby buď požadova plnění, nebo od něj odsoupi. Takové právo musí mí samozřejmě svoji cenu. Opční smlouva edy obsahuje dohodu mezi dvěma subjeky, v níž kupující opce získává za opční cenu (opční prémii) právo koupi v případě kupní opce, resp. proda v případě prodejní opce určié pevně sjednané množsví sanoveného podkladového akiva za předem dohodnuou realizační cenu v pevně sanovený den splanosi nebo kdykoli ve lhůě do ohoo dne. Není-li opční právo z jakéhokoli důvodu realizováno, propadá bez nároku na plnění a opce se sává bezcennou. V akovém případě kupující realizuje plnou zráu ve výši 100 % své invesice do opce.

13 2. Finanční deriváy 9 Podle výše uvedeného rozlišujeme u opcí yp exisují dva, a o opce kupní (call opion) a prodejní (pu opion) řídu opce sejné řídy jsou sejného ypu a vzahují se na shodný bazický insrumen (underlying) a sérii což jsou opce sejné řídy se shodnou realizační cenou (excercise price, časo aké srike price nebo jen srike) a dnem splanosi (expiraion day). Pokud lze opci realizova pouze v jeden přesně sanovený den splanosi, pak hovoříme o zv. evropské opci (European syle), pokud může bý zavolána kdykoli během lhůy do splanosi (expiraion period), jedná se o americkou opci (American syle). Too geografické rozlišení má svůj hisorický původ, v současnosi se ale na celém svěě obchoduje s oběma druhy. Jakýmsi kompromisem jsou bermudské opce (Bermudan syle), keré mohou bý uplaněny pouze v předem definované časové okamžiky. Tzv. bariérové opce (barrier syle) zase obsahují navíc podmínku, že podkladové akivum musí nejprve dosáhnou určié hladiny (knock-in), aby se sala akivní a mohla bý vůbec realizována. Resp. může jako akivní začína a pak nesmí pronou zv. knock-ou hladinu, jinak se sává definiivně neakivní. Výjimkou nejsou ani opce s dvojí bariérou v podobě horního a dolního limiu. Poznamenejme jen, že přesněji se rozlišuje daum vypršení opce (expiraion dae), kdy opce opravdu vyprší, daum realizace opce (exercise dae) časo shodné s daem vypršení, kdy proběhne sjednaná ransakce s bazickým insrumenem, a daum zúčování provedené ransakce (selemen dae). Podle podkladového akiva můžeme opce rozděli na akciové opce, jichž se na svěových burzách obchoduje velké množsví jak evropského ak amerického sylu. Podkladovým akivem je už podle názvu akcie. Důležié (především v USA) jsou opce na zaměsnanecké akcie, kerými společnosi odměňují své pracovníky. měnové opce na zahraniční měnu (FX-opce), keré bývají aké obého sylu. Arakivní jsou všechny hlavní svěové měny, edy americký dolar, euro, briská libra, japonský jen, švýcarský frank, kanadský či ausralský dolar. Uplaňovací cenou je dohodnuý měnový kurz. indexové opce, z nichž nejpopulárnější jsou na výše zmíněné indexy S&P 500 (americký syl) a S&P 100 (evropský syl). Při uplanění opce dochází vždy pouze k peněžnímu vyrovnání. Dalšími indexovými opcemi jsou například NYSE Composie Index a Dow Jones Indusrial Average Index. Rovněž lze naléz opce na specializované indexy, jako drahé kovy nebo sekory (farmacie, polovodiče, ap.). opce na fuures, keré v současné době exisují na věšinu fuures konraků. Kupní opce fuures dává držieli právo vsoupi do fuures konraku v dlouhé pozici a podobně prodejní opce dává právo vsoupi do fuures konraku v kráké pozici. Pokud držiel opce chce okamžiě po uplanění zruši získanou pozici ve fuures, obdrží rozdíl uplaňovací a fuures ceny. Čas expirace opcí je věšinou kráce před expirací fuures. Nejpopulárnějšími podkladovými fuures jsou Treasury bond fuures, dále kovy, zahraniční měny, zemědělské komodiy, ropné produky a akciové indexy.

14 2. Finanční deriváy 10 a úrokové opce, edy opce na vládní dluhopisy. Taková opce dává právo koupi (proda) dluhopis v dohodnuém čase za předem sjednanou cenu, což vede ve svém důsledku k zajišění úrokové míry. Úrokové opce jsou však mnohem likvidnější než opce na úrokové fuures. Kupující opce má svoji možnou zráu omezenou výší zaplacené prémie. V případě opcí na akcie či akciový index ji musí zaplai celou bezprosředně při zakoupení opce, v případě například opcí na fuures se plaí pouze určiá záloha (marže), kerá na principu mark-o-marke slouží k dennímu vyrovnávání zisků a zrá. Celá prémie s případnými zisky a zráami se vyúčuje až v den expirace. Naproi omu vypisovaeli opce z jeho oevřené pozice plynou poměrně velká rizika a jeho zisk je omezen obdrženou opční prémií. Má-li svou pozici kryou (covered shor posiion), deponuje příslušná podkladová akiva nebo peníze ve 100% výši odpovídající dané pozici. V opačném případě je jeho pozice nekryá (naked shor posiion) a musí bý v případě sandardizovaných opcí zajišěna formou marží u clearingového domu, aby její výše pokryla náklady na případné uzavření pozice. Je-li neposačující, je subjek vyzván k doplnění marže (margin call). Nákupem a prodejem call nebo pu opce můžeme zaujmou celkem čyři různé základní pozice (long call, long pu, shor call a shor pu). Kromě oho exisuje celá řada dalších sraegií z nich složených, keré se dále vzájemně kombinují (sraddle, srangle, spread, covered call, condor, ) a reflekují rozdílné nároky a pohledy invesorů (býčí sraegie, medvědí či neurální). Každá opční sraegie však bude v reálu dobře fungova, jen pokud se podkladové akivum pohne předpokládaným směrem a v předpokládaném čase.

15 3. Oceňování opcí Oceňování opcí Současné oceňování opcí je výsledkem výzkumu moderních financí. Oceňovací modely vyvinué pro opce se chovají velice dobře a jejich sudium je pro obchodníky důležié. Abychom jim lépe porozuměli, je nuné chápa, z čeho se opční cena skládá a keré fakory a jak významně ji ovlivňují. Rozhodování držiele opce o jejím prodeji nebo realizaci v čase vychází z porovnání realizační ceny opce X s prompní cenou bazického insrumenu S, za kerou jej může pořídi. Podle vzahu, v jakém jsou yo ceny vůči sobě, pak daná opce je v penězích (in-he-money, ITM), je-li realizační cena pro držiele opce výhodnější než cena bazického insrumenu, edy X < S pro call opci, resp. X > S pro pu, na penězích (a-he-money, ATM), je-li realizační cena rovna ceně bazického insrumenu, j. X = S a mimo peníze (ou-of-he-money, OTM), je-li realizační cena pro držiele opce méně výhodná než cena bazického insrumenu, edy X > S pro call opci, resp. X < S pro pu. Pokud X << S nebo X >> S, hovoříme analogicky o opcích hluboko v penězích (deep-in-he-money), keré se svým chováním přibližují forwardům, a hluboko mimo peníze (deep-ou-of-he-money). Je samozřejmé, že do invesorova rozhodnuí se promíají aké ransakční náklady, a edy ne na každé opci v penězích může invesor skuečně realizova profi. 3.1 Cena opce Opční prémii dělíme na dvě složky: vniřní hodnou (inrinsic value) a časovou hodnou (ime value). Vniřní hodnoa je a čás opční ceny, kerá je v penězích. Předsavuje edy zisk, kerého by majiel docílil jejím okamžiým uplaněním bez zohlednění ransakčních nákladů, a jako aková nabývá pouze nezáporných hodno. Časová hodnoa je a čás opční ceny, kerá vyjadřuje odměnu za případné uplanění opce až do její expirace, je rovna rozdílu opční ceny a její vniřní hodnoy a je vždy nezáporná. Tao hodnoa v čase klesá a v den expirace se rovná vždy nule. Nemění se edy se změnou kurzu podkladového akiva. Opce a- a in-he-money mají pouze časovou hodnou rovnou prémii a vniřní hodnoa je nulová. V čase expirace T je edy hodnoa call opce dána vzahem CT = max( ST X ; 0) a cena pu P = max( X S ; 0). T T 3.2 Fakory ovlivňující eoreickou hodnou opce Mnohem zajímavějším a obížnějším úkolem však bude urči cenu v čase < T. Je zřejmé, že čím věší případný profi v sobě opce skrývá, ím věší prémii za ni bude prodejce požadova. Při výpoču eoreické hodnoy opce vchází do oceňovacího modelu krom realizační ceny a prompní ceny podléhajícího akiva aké další paramery, konkréně

16 3. Oceňování opcí 12 bezriziková úroková sazba, čas zbývající do splanosi opce a volailia ceny bazického insrumenu. Cena podkladového akiva Opce samozřejmě odráží změny v ceně podkladového akiva, s rosoucí cenou rose prémie call opce a klesá prémie pu opce. V případě poklesu ceny je o obráceně. Realizační cena Prémie call opce se klesající realizační cenou zmenšuje, naproi omu vzrůsá prémie pu opce. Pro rosoucí realizační cenu je omu obráceně. Bezriziková úroková míra Soupající úrokové sazby způsobují nárůs hodnoy call opcí a pokles hodnoy pu opcí. Kupující call opce plaí sjednanou cenu až v době realizace, a ak mu příslušný kapiál do splanosi přináší úrok. Naproi omu u pu opcí znamená úrok eoreické náklady navíc ze zakoupení a držení podkladového akiva. Při klesajících sazbách je vliv opě opačný. Nuno ale podoknou, že jejich vliv je dos malý, jak si názorně ukážeme na výsledcích konsruovaného modelu. Přispívá k omu především fak, že sazby vyspělých ekonomik jsou dnes v porovnání s minulosí nízké (rozumějme jednociferné). Čas zbývající do expirace Načasování je v opčním obchodování jedním z klíčových momenů v rozhodování. Čím delší je doba do splanosi, ím je věší pravděpodobnos, že se opce dosane do peněz. S přibližujícím daem vypršení opčního práva hodnoa obou ypů opcí klesá. Průběh však nemá lineární charaker, nejvěší pokles nasává v závěru s blížící se expirací s ím, jak lze mnohem přesněji předpovída vývoj kurzu podkladového akiva. Volailia Jde o klíčový vsupní paramer vyjadřovaný pomocí rozpylu, resp. směrodané odchylky pohybu kurzu bazického insrumenu, kerý má obrovský dopad na správnou cenu opce. Přeso je ze všech nejproblemaičější, neboť není přímo pozorovaelný. Obchod s opcemi se někdy označuje jako obchod s volailiou, proože právě volailia je předměem řady opčních sraegií. Vyšší volailia znamená věší pravděpodobnos pohybu ceny podkladového akiva, bez ohledu na o, kerým směrem pohyb nasane, což je výhodné pro jejího držiele. Vzah volailiy a opčních cen je edy přímý. Hodnou opcí, byť pouze okrajově a zprosředkovaně, ovlivňují aké regulaorní a ržní podmínky, daňové zákony a invesorova averze k riziku. Předím, než deailněji rozebereme problemaiku oceňování opcí, zmiňme dva důležié vzahy mezi opcemi na bezdividendové akcie se shodnou realizační cenou a dobou splanosi. Víme, že americká opce umožňuje narozdíl od evropské uplani právo kdykoli během doby do splanosi. Jak se však aková výhoda promíne do její ceny? Jelikož je opční prémie call opce vždy vyšší než její vniřní hodnoa, nepřináší předčasné uplanění vyšší zisk, než je opční prémie je výhodnější opci proda. Opční prémie amerických call

17 3. Oceňování opcí 13 opcí je edy shodná s evropskými. V případě amerických pu opcí je však závěr jiný. Držíme-li oiž krom pu opce aké příslušné podkladové akivum, pak prosředky získané z předčasného uplanění opce můžeme uloži do dne splanosi opce a ako zúročená invesice za určiých předpokladů může přinés věší užiek než prompní kurz bazického insrumenu. Opční prémie akovýcho amerických pu opcí edy bude minimálně rovna evropským. V případě vyplácení dividend už může bý výhodné předčasně uplani i americkou call opci, například před vznikem nároku na její výplau (zv. ex-dividend day). Druhý vzah plaí mezi cenami kupních a prodejních evropských opcí na bezdividendové akcie a vychází z oho, že invesiční variany se shodným výnosem při zachování sejné rizikovosi by měly bý aké sejně oceněny. Uvažujme porfolio r ( T ) obsahující evropskou call opci a hoovos ve výši X e a další porfolio složené z evropské pu opce a podkladového akiva. Jelikož si je hodnoa obou porfolií v čase T rovna a opce nemohou bý uplaněny před daem splanosi, nejinak omu musí bý i v čase. Neboli plaí zv. pu-call paria r( T ) C + X e = P + S. (3.1) r( T ) V případě dividend plaí rovnos aké, jen je hoovos X e navýšena o současnou hodnou dividend v čase, keré budou vyplaceny v průběhu živonosi opce. Vyjdeme-li z oho, že hodnoa americké call opce je shodná s evropskou a americké pu vždy vyšší nebo maximálně rovna evropské, dosáváme pro americké opce na bezdividendové akcie pouze nerovnos r( T ) C + X e P Sochasický poče S. (3.2) Nechť náhodná veličina X označuje sav sousavy v čase 0 a dynamika sledovaného náhodné procesu { X, 0} je definovaná vzahem X + Λ X = f (, X ) Δ + σ (, X )[ W + Λ W ], (3.3) kde { W, 0} je Wienerův proces, edy proces se spojiou rajekorií ( W ~ N(0, ) ), nezávislými přírůsky W W ~ N(0, s) a nezávislými na jevech, keré nasaly do doby + s. V limiě můžeme (3.3) pro Δ 0+ přepsa jako dx = f, X ) d + σ (, X ) dw, (3.4) ( ovšem výrazy dx a dw zde mají jiný, specifický význam. Lze oiž ukáza, že rajekorie Wienerova procesu není hladká, j. není s pravděpodobnosí 1 diferencovaelná v žádném svém bodě, a proo W +Λ W lim Λ 0+ Λ v klasickém smyslu neexisuje.

18 3. Oceňování opcí 14 Řekneme, že proces { X,0 T} má sochasický diferencíál dx daný (3.4), jesliže pro 0 T plaí X = X + f ( s, X ) ds + σ ( s, X ) dw. (3.5) 0 s s s 0 0 Poslední člen (3.5), zv. sochasický inegrál v Iôově smyslu, se zavádí jako limia podle pravděpodobnosi inegrálů z náhodných schodoviých funkcí a vede k diferenciálnímu poču s pravidly odlišnými od počíání s diferenciály v maemaické analýze. Např. pro násobení diferenciálů plaí ( d) = 0, dw d = 0, ( dw ) = d, d( W ) = 2W dw d. (3.6) + Výpoče akového sochasického diferenciálu procesu je založen na Iôově lemmau. 2 y y y Iô: Nechť y :[0, T ] R R je spojiá funkce se spojiými derivacemi, a 2 x x a { X, 0 T} je proces se sochasickým diferenciálem podle (3.5). Položme Y = y, X ), pak {, 0 T} má sochasický diferenciál a plaí kde ( dy Y 1 2 y y y = d + dx ( ) 2 + dx. 2 (3.7) x 2 x 2 2 y ( y y = y, X ), = y(, X ), = 2 x x x x 2 Dosazením za (3.7) napsa ve varu y(, X dx podle (3.4) a vzhledem k (3.6) pak lze sochasický diferenciál 2 y y 1 y 2 y dy = [ + f (, X ) + σ (, X )] (, ). 2 d + σ X dw (3.8) x 2 x x 3.4 Black-Scholesův vzorec Modely opčních sraegií a obecněji spojiého obchodování jsou charakerisickým příkladem použií sochasických modelů se spojiým časem ve finanční eorii. Pro pochopení a správnou funkčnos původního Black-Scholesova modelu oceňování evropských opcí na akcie nevyplácející dividendy je nuné brá na zřeel předpoklady, jejichž neznalos může vés k chybám při jeho použií. Transakční náklady na nákup nebo prodej akcie a opce jsou nulové; Výpůjční a zápůjční úroková míra jsou si rovny a konsanní v čase; Všechny cenné papíry jsou neomezeně dělielné; Neexisuje žádné omezení krákého prodeje (shor selling), j. prodeje akiva, keré invesor nevlasní se záměrem pozdějšího dokoupení; ).

19 3. Oceňování opcí 15 Cena akcie vykonává geomerický Brownův pohyb s konsanní očekávanou mírou výnosu a sandardní odchylkou výnosu. Navíc rozdělení možných cen na konci libovolného konečného inervalu je log-normální; Obchodování se uskuečňuje ve spojiém čase. Posledním předpokladem, o kerém se v eorii málo hovoří, je zanedbání krediního rizika. Za pomoci diferenciálního poču pak Black se Scholesem odvodili vzorec C = S Φ P = X e ( 2 rτ ( 2 d1 rτ d1) X e Φ( d ), Φ d ) S Φ( ), (3.9) kde 2 S σ ln( ) + ( r + ) τ d1 = X 2, d 2 = d1 σ τ (3.10) σ τ a Φ (d) je kumulaivní disribuční funkce sandardizovaného normálního rozdělení N (0,1), edy 2 x 1 2 Φ( d) = e 2π d dx. σ je zv. volailia ceny akcie a spolu s bezrizikovou úrokovou mírou r při spojiém úročení 1 odpovídá ročnímu vyjádření (p. a.), doba do splanosi τ = T je určena v leech. Členu Φ ( d 1 ) se říká koeficien zajišění (hedge raio). Člen Φ ( d 2 ) odpovídá pravděpodobnosi, že call opce bude realizována. Empirický es na velkém množsví da provedený Blackem a Scholesem odhalil, že prodávající srana dosává za opci čásku přibližně na úrovni své eoreické hodnoy. Naproi omu kupci plaí cenu vyšší, než předikuje jejich vzorec. Tao diference navíc rose s klesajícím rizikovosí podkladové akcie. Nicméně vyvozený závěr zněl, že akováo sysemaická chyba vzhledem k vysokým ransakční nákladům neimplikuje pro spekulany příležios k zisku. Meronův model, publikovaný prakicky současně, zahrnuje ješě výplay dividend s konsanní procenuální výší. Black-Scholesův vzorec zůsává nadále v planosi, pouze spoová cena akcie se sníží o současnou hodnou dividend k okamžiku. 3.5 Garman-Kohlhagenův vzorec Pro účely ohoo pojednání budeme pořebova umě oceni evropské měnové opce. Za předpokladu, že se měnové kurzy řídí sejným modelem jako ceny akcií, lze odvodi 1 Mezi úrokovou sazbou i a jí odpovídajícím vyjádřením úrokové inenziy r při spojiém úročení plaí e r τ = / 360 i τ.

20 3. Oceňování opcí 16 modifikovaný Black-Scholesův vzorec založený na Meronově modelu. Podkladovým akivem je spoový kurz dvou měn S (hodnoa jednoky cizí měny vyjádřená v domácí měně), kerý odpovídá akcii přinášející spojiou dividendu s výnosem ekvivalenním bezrizikové výnosové míře v cizí měně q, r předsavuje bezrizikovou výnosovou míru domácí měny. Roku 1983 vypracovali pro evropské FX-opce Mark Garman a Seven Kohlhagen oceňovací model vycházející z následujících předpokladů: Spoový měnový kurz se řídí geomerickým Brownovým pohybem, edy pro Δ 0 máme ds = μ S d + σ S dw, kde μ značí očekávaný pohyb spoového kurzu v čase, σ je volailia spoové ceny a W zv. zobecněný Wienerův proces; Opční prémie je funkcí pouze jediné proměnné, a o spoového kurzu S ; Neexisují ransakční náklady spojené s obchodováním; Úrokové sazby na domácím i zahraničním rhu jsou konsanní (přesože sami auoři uvádějí, že model lze bez věších obíží poměrně snadno rozšíři na sochasické úrokové míry). Výpůjční a zápůjční úroková míra jsou si rovny a konsanní v čase. Klíčem k pochopení hlavní myšlenky modelu je role obou měr. Na bezarbirážním rhu musí bý z hlediska ekonomické rovnováhy čisý výnos akiv splňujících výše vyjmenované podmínky na jednoku rizika sejný, edy α i r = λ pro všechna i, (3.11) δ i kde α je očekávaná míra výnosu akiva, δ sandardní odchylka výnosu a λ nezávisí na zvoleném insrumenu. Aplikujeme-li (3.11) na držbu cizí měny, máme ( μ + q) r = λ. (3.12) σ Označíme-li α C a δ C očekávanou míru výnosu a sandardní odchylku éhož u evropské call opce, C její cenu a τ čas zbývající do mauriy, pak obdobně α C r δ C = λ a podle Iôova lemmau C C C α C C = σ S + μ S 2 2 S S τ (3.13) (3.14) C a δ C S = σ S. (3.15) S Subsiucí (3.14) a (3.15) do (3.13) dosáváme

21 3. Oceňování opcí σ 2 2 C C C + μ S r C S S τ = λ, (3.13 ) C σ S S 2 S 2 což spolu s rovnosí (3.12) a (3.13) dává 2 2 σ 2 C C C S r C + ( r S q S) =. (3.16) 2 2 S S τ (3.16) musí v době expirace T splňova ješě podmínku CT = max( ST X ; 0). Řešením pak je Garman-Kohlhagenův vzorec kde C = S e qτ rτ Φ( d1) Xe Φ( d 2 ), (3.17a) 2 S σ ln( ) + ( r q + )τ d 2 1 = X a d 2 = d 1 σ τ. (3.18) σ τ Obdobně za podmínky P = max( X S ; 0) pro evropskou pu opci T T rτ qτ P = Xe Φ( d 2 ) Se Φ( d1). (3.17b) Jen pro úplnos zmiňme ješě jiné oceňovací modely. Jakýmsi inuiivním úvodem ke spojiému Black-Scholesově modelu je diskréní binomický model J. Coxe, S. Rosse a M. Rubinseina z roku Základní myšlenka je, že dobu do splanosi opce rozdělíme do velkého poču malých časových inervalů a v libovolném z nich může hodnoa akcie ze své počáeční hodnoy S buď vzrůs na hodnou Su, u > 1 s pravděpodobnosí p, nebo poklesnou s pravděpodobnosí doplňku 1 p na Sd, d < 1. Výsledkem je binomický srom pravděpodobnosí cenových úrovní, na kerých může skonči bazický insrumen v době expirace. Saisická simulace Mone Carlo je numerická meoda, kerá se nezaměřuje na diferenciální rovnice procesu popisujícího cenu opčního práva ve vzahu ke svému podkladovému akivu, nýbrž pracuje s náhodně vygenerovanými ekonomickými scénáři vycházejícími z hisorických da. 3.6 The Greeks Navzdory předpokladu konsanních úrokových sazeb a volailiy se ve skuečnosi aké yo vsupní paramery v čase mění. Přesože víme, jak a keré základní fakory ovlivňují cenu opce, ak narozdíl od obchodování např. s akciemi nesačí pouze odhadnou správně směr, ale aké rychlos ohoo pohybu. A právě o činí opční obchodování olik zrádné. Cilivosi změny ceny opce na jednolivých proměnných se označují řeckými písmeny, proo hovoříme o řeckých mírách (v angličině souhrnně The Greeks) a jejich znalos je vysoce důležiá pro úspěšné opční obchodování. Dela Δ měří vzah mezi cenou opce a podkladového akiva a udává se nejčasěji v procenních bodech. Jelikož je cena opce nelineární funkcí ceny bazického insrumenu,

22 3. Oceňování opcí 18 ak změna v jeho různých úrovních se nesejně promíá ve výši prémie. Dela je v rozmezí od 0 pro deep-ou-of-he-money po 1 deep-in-he-money call opce a od 0 pro deep-ou-ofhe-money po 1 pro deep-in-he-money pu opce. Pro zjednodušení se dela časo vyjadřuje v procenních bodech, j. od 0 do 100 a od 0 do 100. Více o chování míry dela vypovídají grafy 3.1, 3.2 a 3.3. Graf 3.1: Vliv času a volailiy na delu kupní FX-opce v penězích (vlevo; S = 30 a X = 28 ) a mimo peníze (vpravo; S = 28 a X = 30 ) při r = 2 % a q = 4 % (zdroj \Osaní_daa\Grafy.nb) Graf 3.2: Vliv času a volailiy na delu kupní FX-opce na penězích při X = S = 30, r = 2 % a q = 4 % (vlevo), resp. r = 4 % a q = 2 % (vpravo) (zdroj \Osaní_daa\Grafy.nb) Graf 3.3: Vliv domácí bezrizikové sazby r a cizí sazby q na jednoměsíční kupní opci

23 3. Oceňování opcí 19 na penězích při X = S = 30 a σ = 8 % (vlevo). Vliv volailiy a realizační ceny na jednoměsíční kupní opci při S = 30, r = 2 % a q = 4 % (zdroj \Osaní_daa\Grafy.nb) Vega měří poměr změny volailiy bazického insrumenu v závislosi na hodnoě opce. Pokud je vega vysoká, hodnoa opce je velmi cilivá i na malé změny volailiy. Nejcilivěji reagují a-he-money opce. Navíc vega klesá v čase. Proože jako jediná ze všech měr není vega řecké písmeno, je k němu alernaivou kappa Κ. Rho Ρ předsavuje poměr změny opční ceny v závislosi na úrokové sazbě a plaí za nejméně významný ukazael. Nejcilivější na úrokovou míru jsou opční práva hluboko v penězích. V případě FX-opcí máme dvě míry r Ρ a q Ρ (jednu pro každou úrokovou sazbu). Thea Θ měří cilivos hodnoy opce na čase. Nejcilivější jsou a-he-money opce. S blížícím se okamžikem splanosi se hea přibližuje k nule. Vyšší volailia znamená aké věší heu. Gamma Γ popisuje chování dely v závislosi na změně ceny podkladového akiva. Maemaicky vyjádřeno je gamma první derivací dely podle S. Věší hodnoa znamená vyšší cilivos, nejvěší hodnou mají opce na penězích. Jak se změní hodnoa evropské FX-opce při malých změnách základních proměnných, udávají níže uvedené parciální derivace (3.17a, b) podle jednolivých fakorů: Δ C C = S = e qτ P P qτ Φ d1 ) > 0, Δ = = e ( Φ( d ) 1) < 0 ; S ( 1 (3.19) C 2 qτ C Δ C e P Γ = = = ϕ( d 1 ) = Γ > 0 ; 2 S S Sσ τ (3.20) C C qτ P Κ = = Se ϕ( d 1 ) τ = Κ > 0 ; σ (3.21) C C rτ P P rτ r Ρ = = Xτ e Φ( d 2 ) > 0, rρ = = Xτ e Φ( d 2 ) < 0 ; r r (3.22) C C rτ P P rτ q Ρ = = Sτ e Φ( d1 ) < 0, qρ = = Sτ e Φ( d1) > 0 ; q q (3.23) Φ Φ C P 3.7 Volailia qτ C Se ϕ( d1) σ = = + qse τ 2 τ qτ P Se ϕ( d1) σ = = qse τ 2 τ qτ qτ Φ( d 1 Φ( d ) rxe 1 ) + rxe rτ rτ Φ( d 2 ), Φ( d 2 ). (3.24) Předpoklad konsanní volailiy ve výše zmiňovaných oceňovacích modelech je velice důležiý, ve skuečnosi se oiž volailia akiv na rzích v průběhu času mění. Navíc je volailia jedinou proměnnou, kerou není možné přímo zjisi na základě znalosi osaních paramerů, řešení oiž nejde analyicky vyjádři a je proo pořeba ho hleda numericky. Znalos problemaiky volailiy je edy pro úspěšné obchodování nesmírně důležiá.

24 3. Oceňování opcí Hisorická volailia Hisorickou volailiou (hisorical volailiy) rozumíme průběh cenových změn (denních, ýdenních, ) podkladového akiva za určié časové období v minulosi. Je vypočena jako směrodaná odchylka logarimů výnosů a bývá označována jako saisická volailia. n n 1 Si 2 1 Si σ = (ln μ), kde μ = ln (3.25) n 1 S S i= 1 i 1 n i= 1 i 1 Výše uvedená volailia je za měřené časové období. Abychom získali čísla navzájem dobře porovnaelná, uvádí se volailia zpravidla na roční bázi (per annum). σ = σ, kde h je poče obchodních časových období za rok 2. (3.26) p. a. h Jedná se o přímý ukazael, jenž se časo používá ke kvanifikaci rizikovosi bazického insrumenu. K výpoču do opčního modelu ale pořebujeme předpokládanou budoucí ržní volailiu. Jednou z možnosí, jak ji odhadnou, je pomocí saisického odhadu rozpylu. Není ovšem jasné, jak velký poče pozorování použí příliš velký poče vede k přeceňování hisorických da, nízký zase ke saisicky méně kvalinímu odhadu. Navíc akový odhad je rerospekivní, a edy spoléhá na opakování hisorie Implikovaná volailia Proo se používá zv. implikovaná volailia (implied volailiy), kerá nereflekuje hisorická ale akuální ržní daa. Mělo by edy sači zjisi volailiu správně oceněné opce na idenické podkladové akivum se sejnou nebo alespoň podobnou dobou splanosi. Graf implikovaných volaili opcí lišících se pouze v realizační ceně však vykazuje jisé defeky, keré sále nebyly uspokojivě vysvěleny, a navíc jeho var do jisé míry závisí na druhu rhu, na němž se nacházíme. Empiricky bylo prokázáno, že dosačující je odhad budoucí volailiy implikovanou volailiou kupní opce, kerá je nejblíže na penězích Volailiy smirk (skew), volailiy smile Jednou z poruch grafu implikovaných volaili je, že křivka klesá s rosoucí dodací cenou. Opce na akcie a akciové indexy jsou charakerisické křivkou, kerá se označuje jako volailiy smirk či volailiy skew a klesá neusále. Deep-in-he-money call opce sojí více, než predikuje Black-Scholesův vzorec, zaímco deep-ou-he-money call opce jsou levnější. Primárně jsou oiž invesoři v podléhajícím akivu v dlouhé pozici (sází edy na růs jeho ceny), a proo je vypisování kryých call opcí mimo peníze nejpopulárnější jednoduchou opční sraegií. To však slačuje hodnou ěcho opcí, což znamená nižší implikovanou volailiu pro vyšší realizační ceny. Jednou z dalších uváděných příčin bývá fak, že se ím zrcadlí obava invesorů na akciových rzích z výrazného propadu. Ve snaze ochráni svá porfolia proo především velcí insiucionální hráči kupují pu opce v penězích a ao akivia zvyšuje jejich prémii, a edy implikovanou volailiu pro realizační ceny nad úrovní a-he-money. 2 Akuální poče obchodních dní v roce se v závislosi na různých fakorech jako víkendy, sání sváky pro danou zemi, přesupný rok, ad. mění. Sandardně pohybuje okolo 250 dní.

25 3. Oceňování opcí 21 Naproi omu především měnové opce vykazují jev nazývaný volailiy smile křivka od určiého bodu zase rose a svým varem připomíná úsměv odud její název. Teno bod bývá velice blízko realizační ceně opce na penězích, nejčasěji se minimum nachází napravo od ní. Opce s krákou splanosí jsou charakerisické více prohnuou křivkou než opce s delší živonosí. To je důvod, proč se někdy používají sofisikovanější modely vycházející z Black-Scholese, keré za pomoci různých numerických posupů efek volailiy smile zohledňují. Teno fenomén se začal objevova až po krizi kapiálového rhu v roce Z pohledu chování invesorů o znamená, že předpokládají časější výsky exrémních cenových výkyvů, než odhaduje log-normální rozdělení, a o jednak v důsledku nekonsannosi volailiy měnových párů a aké kvůli možnému výrazněji skokoviému cenovému pohybu, časo mezi jednolivými obchodními seancemi nebo v reakci na kroky cenrálních bank v průběhu obchodování. Ješě poznamenejme, že komodiy se vyznačují inverzním vzahem vůči akciím. Implikovaná volailia u komodiních opcí je proo nejvyšší u vysokých dodacích cen a nejnižší u nízkých. Tvar křivky aké deformují vysoké bezrizikové úrokové míry. 3.8 Kóované opční sraegie Implikovaná volailia je ukazael nejméně sejně ak důležiý jako samoná ržní cena opčního práva. Pokud je opce držena jako součás dela-neurálního porfolia, j. porfolia zajišěného proi malým změnám v ceně bazického insrumenu, bude implikovaná volailia pravděpodobně ím nejdůležiějším fakorem. Je dokonce naolik důležiým ukazaelem, že obchodníci časo opce nekóují v ceně, nýbrž přímo ve volailiě. V praxi pochopielně invesoři nedrží pouze jeden konrak, ale disponují celým porfoliem různých opcí o rozličných sraegiích 3. Krom obchodování s oběma ypy opcí (ať již na, v nebo mimo peníze), exisují ři obzvlášě likvidní a kóované sraegie, keré by bylo vhodné zmíni. Jsou o jmenoviě 25 dela risk reversal, dela neural sraddle a 25 dela srangle Dela risk reversal Risk reversal je kombinací opačných pozic v nákupní a prodejní opci na idenický bazický insrumen, se sejným daem expirace a rozdílnou realizační cenou, přičemž rozlišujeme long risk reversal, edy long call se srikem X 1 a shor pu se srikem X 2, kde X 1 > X 2, a zrcadlovou pozici shor risk reversal. Kupující sraegie profiuje na růsu ceny podkladového akiva nad X 1, zaímco při poklesu ceny bazického insrumenu pod X 2 dochází ke zráě. Navíc se dá pomocí risk reversal měři pozice na měnovém rhu FOREX a předsavuje další užiečnou informaci pro učinění invesičního rozhodnuí. Velmi časo se realizační ceny volí ak, aby se prémie obou opcí sobě rovnaly vsup do pozice při uzavření konraku je pro obě srany bezplaný. Proo je ao sraegie olik populární a můžeme ji považova za poměrně agresivní. 25 dela risk reversal je pak další speciální případ: kombinace opačných pozic v kupní opci s delou 0,25 (25 dela call) a prodejní s delou -0,25 (-25 dela pu) a volailia (cena) éo sraegie je jednoduše rozdíl 3 Proces dela hedgingu se pak aplikuje na celý soubor konraků.

26 3. Oceňování opcí 22 volaili (cen) ěcho dvou konraků. Teoreicky by se obě yo opce měly kóova při sejné volailiě a cena éo sraegie by ak měla bý rovna nule. Přeso omu ak vlivem ržních mechanismů, nabídky a popávky není a poskyuje nám další informaci navíc, a o kerým směrem je vychýlen názor rhu na budoucí vývoj bazického insrumenu. Kladný risk reversal edy říká, že volailia call opcí (a v důsledku oho i cena) je věší než u pu více účasníků rhu sází na vzesup kurzu podléhajícího akiva než na pokles Dela neural sraddle Klasická sraegie sraddle se skládá z dlouhé pozice v kupní a prodejní opci na shodné podkladové akivum se sejným srikem a daem expirace. Její držiel profiuje z pohybu ceny podkladového akiva bez ohledu na jeho směr a poom hovoříme o long sraddle, prodávající éo sraegie je v pozici shor sraddle. Do sraddle pozice samozřejmě můžeme vsoupi za libovolnou realizační cenu, nejčasěji o ale bývá v podobě opcí na penězích. O pozici sraddle řekneme, že je dela-neurální, jesliže je výsledná dela pozice rovna nule Dela srangle Srangle odpovídá sraegii sraddle, jen při různých realizačních cenách. Obecně je proo ao sraegie levnější než sraddle, naproi je profiabilní až při věších pohybech v ceně bazického insrumenu. 25 dela srangle je složena ze sejné pozice ve 25 dela call a -25 dela pu opci. Volailiou éo sraegie se pak rozumí rozdíl průměru volaili ěcho dvou práv a volailiy ATM opce. 25 dela risk reversal a 25 dela srangle spolu volailiou ATM opce jsou základními savebními kameny při konsrukci křivky volailiy smile, kerá následně slouží k odhadování dalších volaili pro jiné realizační ceny.

27 4. Analyická čás Analyická čás Vraťme se ke koeficienu zajišění (hedge raio, kapiola 3.4). Black a Scholes do svého modelu zakomponovali koncep bezrizikového zajišění (riskless hedge), podle něhož exisuje eoreicky ke každé opční pozici ekvivalenní pozice v podléhajícím akivu, a o aková, že malá změna v jeho ceně povede k zrcadlově opačnému posunu v ceně opce. Pokud edy exisuje nesprávně oceněná opce, ak k využií éo výhody je nuné provés bezrizikové zajišění vzájemnou kompenzací opční pozice a příslušné pozice v bazickém insrumenu. Správný poměr podkladového akiva pořebného k omuo kroku vyjadřuje právě koeficien zajišění. 4.1 (Dynamický) dela hedging Proože však výše popsaná cilivos na změnu ceny není nic jiného než míra dela, kerá je u podkladového akiva zjevně rovna jedné, vyjadřuje koeficien zajišění a dela oéž. Neboli k zajišění opční pozice s kladnou (resp. zápornou) delou musí invesor (ať už v podobě prompního nebo ermínového obchodu) proda (resp. koupi) dela-násobek objemu příslušného bazického insrumenu. Výsledkem éo sraegie, kerá je mezi obchodníky velice rozšířená, bude porfolio s celkovou delou rovnou nule, zv. delaneurální. Zajišťovacímu procesu využívajícímu korelaci mezi dvěma insrumeny se říká dela hedging a poprvé jej popsali v roce 1967 Edward Thorp a Sheen Kassouf. Jak již víme, dela se mění se změnou libovolné vsupní proměnné a její chování v závislosi na změně ceny bazického insrumenu popisuje míra gamma, jež je pro bazický insrumen rovna nule. Proo je pořeba neusále udržova delu porfolia na hodnoě co nejblíže nule opakovaným rebalancováním, zv. dynamickým dela hedgingem. 4.2 Základní myšlenka modelu Invesor si v čase T 1 zakoupí opci. Hodnoa její implikované volailiy je pak aková, aby při jejím vsupu do oceňovacího Garman-Kohlhagenova modelu byla výsledná cena opce rovna zaplacené prémii. Nyní invesor aplikuje principy dela-neurálního porfolia. Dynamickým dela hedgingem edy bude nákupy a prodeji bazického insrumenu až do expirace v čase T 2 udržova celkovou dela expozici porfolia složeného z éo opce a jejího základního akiva v libovolném okamžiku < T ; T 1 2 > rovnu nule. V den, kdy opce vyprší, zná z celé operace svůj celkový příjem en je roven souču hodnoy pozice v podkladovém insrumenu ze zajišťovacího procesu a případného uplanění opce, skončí-li v penězích. Je-li ao čáska vyšší než zaplacená prémie vzažená do času vypršení T 2, pak invesor realizoval zisk nad výnos bezrizikové úrokové míry, rovný rozdílu ěcho čásek (v případě, že by byl zisk menší než výnos bezrizikové sazby, nemělo by pro invesora opční obchodování význam podsupoval by zbyečné riziko při nižším profiu). V řeči volailiy edy byla zaplacená implikovaná volailia nižší než pak skuečná pozorovaná. Naopak, jeli výsledný rozdíl záporný, invesor akcepoval nadhodnocenou implikovanou volailiu, zaplail za právo více a v důsledku oho realizoval zráu. Hledáme-li skuečnou, hisorickou volailiu opce, pak je o z našeho pohledu aková, že po zaplacení jí odpovídající prémie nedosáhneme při dodržení výše uvedených pravidel pro dela-neurální porfolio ani zisku ani zráy, edy zaplaíme férovou hodnou (fair value). A zde leží jádro problému. Abychom určili výslednou volailiu, musíme nejprve

28 4. Analyická čás 24 nají férovou cenu práva a k omu pořebujeme zná celkový příjem z obchodování. Jedním z paramerů ovlivňujících řeckou míru dela je však právě volailia. Změní-li se volailia opce, změní se aké její dela, což se promíne do procesu dynamického dela hedgingu a v konečném důsledku pak do příjmu z celého procesu. 4.3 Ierační proces Jádrem modelu je ierační proces simulující dynamický dela hedging. Na začáku simulace máme pro daný den opci na měnu a nedisponujeme bazickým insrumenem (pozice v podléhající měně je nulová). Dále si zvolíme domácí a zahraniční bezrizikovou úrokovou míru a vsupní volailiu 4. Pro první spoový kurz z ohoo dne vyjádříme delu celého porfolia, v omo případě rovnu pouze samoné delě opce. Je-li dela porfolia kladná, prodáme zahraniční měnu v objemu dela-násobku nominálu opce a proi omu dosaneme ekvivalenní množsví domácí měny přepočíané ímo spoovým kurzem. Provedli jsme první dela zajišění. Nyní ierační krok zopakujeme pro všechny další spoové kurzy. Na konci každého obchodního dne zjisíme pozici v bazickém insrumenu, edy objem domácí a zahraniční měny. Celý objem měny v dlouhé pozici uložíme a úročí se do dalšího obchodního dne bezrizikovou mírou pro danou měnu. Krákou pozici pokryjeme zapůjčením celého objemu do příšího obchodního dne za příslušnou bezrizikovou sazbu 5. V den vypršení opce považujeme za závěrečný kurz poslední nám známý z ohoo dne a po provedení posledního zajišění opci za eno kurz, je-li v penězích, uplaníme. Nyní edy máme v porfoliu pouze podkladové akivum a můžeme v domácí měně vyčísli konečný příjem z opčního obchodování. Jeho zdiskonováním přes domácí bezrizikovou míru ke dni zakoupení opce pak dosaneme opční prémii, k níž numericky najdeme odpovídající volailiu. Celý proces dynamického dela hedgingu ohoo konkréního konraku pak simulujeme znovu s ako nově získanou volailiou Ukončení ieračního procesu V ideálním případě ierační proces skončí a nalezne řešení úlohy, pokud pro do ierace vsupující volailiu získá sejný příjem z obchodování jako v ieraci předchozí, zn. opě uo volailiu. Ta je pak onou hledanou hisorickou hodnoou. Nikde však nemáme zajišěno, že ierační proces vždy ke správnému řešení konverguje. Ve výjimečných případech, jak si ukážeme později, dokonce úloha při definovaných vsupních podmínkách nemusí mí řešení. Proo je pořeba sanovi si podmínky, za nichž se proces ukončí. Ierační procedura se edy přeruší: (i) nalezne-li volailiu, kerá se již v někeré z předchozích ierací objevila, (ii) nebo nebude-li možno k dané prémii (zdiskonovanému příjmu z obchodování) přiřadi volailiu, (iii) nejpozději však po padesái krocích. 4 Volbě ěcho vsupních paramerů se věnují následující subkapioly. 5 Technicky úložku a zápůjčku řeší cash managamen formou jednodenního zajišťovacího měnového swapu.

29 4. Analyická čás 25 Výše uvedené body jsou seřazeny sesupně podle čenosi jejich výskyu. Nejčasěji se ierační proces ukončí z důvodu dupliciního výskyu volailiy v sérii nalezených hodno sekvence volaili mezi ěmio dupliciními hodnoami se opakuje a vede k zacyklení celého procesu, kerý by se ak podle (iii) ukončil až po padesái krocích a zvyšoval by časovou náročnos programu. Ve výjimečných případech může bý výše opční prémie (resp. zdiskonovaný příjem) dokonce nekladná a úloha nemá smysl. Pak se simulace ukončí a poslední zaznamenanou hodnoou bude nula, abychom idenifikovali eno problém. Blíže se jím budeme zaobíra v opimalizační čási. Poslední podmínka (iii) v našem případě nenasane nikdy, proces se ve všech simulacích ukončil vždy dříve na základě (i) nebo (ii) a limi padesá byl sanoven s více než dosaečnou rezervou až zpěně právě na základě získaných výsledků. Dela hedging obecně generuje profi invesor při zajišťování kupuje bazický insrumen s jeho klesající cenou a naopak prodává při rosoucím kurzu. Vzhledem k omu, výnos ze samoné opce je nezáporný (opce se buď realizuje, pak přináší zisk, nebo propadne jako bezcenná), měl by bý příjem z opčního obchodování z pohledu delaneurálního porfolia aké kladný. Po vypršení/realizaci práva drží invesor zrcadlovou pozici v podkladovém akivu. Pokud skončila opce v penězích, má invesor díky zajišťovacímu procesu prodáno podléhající akivum v objemu jejího nominálu. V opačném případě by měl aké invesor (opě ze sejných příčin) skonči s nulovou pozicí v bazickém insrumenu. V obou varianách pak příjem z opčního obchodování předsavuje zisk na domácí měně z průběhu zajišťovacích operací. Je pořeba si ale uvědomi, že delu ovlivňuje krom ceny základního akiva ješě jedna proměnná, a ou je čas. Jeho efek je polačen v případě opcí na penězích. Při vzrůsu kurzu nad cenu, kerou měl bazický insrumen v okamžiku vsupu do opčního konraku 6, se opce dosává do peněz, zaímco při poklesu se z ní sává opce mimo peníze. Problém však může nasa například u koupě call opce mimo peníze. Pokud od prvoního zajišění cena podkladového akiva pouze porose, ale nepřekročí realizační cenu, pak právo propadne bezcenné a během růsu kurzu budeme muse celý původně prodaný objem v podléhajícím insrumenu dokoupi dráž s ím, jak nakonec převáží vliv kráící se živonosi opce nad růsem spoové ceny a její dela se bude blíži nule. Ve výsledku edy bude příjem z obchodování záporný. 4.4 Vsupní daa a podmínky Spoové kurzy EUR/CZK Podkladovým akivem pro simulace bude nejpoužívanější uzemská cizí měna, euro 7. Zdrojová vysokofrekvenční daa spoových kurzů měnového páru EUR/CZK máme 6 což je současně realizační cena. 7 Euro (symbol, podle ISO měnový kód EUR) společná měna členských sáů Evropské hospodářské a měnové unie vzniklo v krediní podobě 1. ledna 1999 a fyzicky pak přesně o ři roky později. V současnosi se používá celkem v 15 zemích Evropské unie a jejich výče se bude v budoucnu plánovaně dál rozšiřova. Oficiálním plaidlem se euro salo aké mimo EU. Další země k němu mají sanoven pevný přepočíací kurz a je ak po americkém dolaru druhým nejdůležiějším plaidlem na svěě. Navíc jeho role sále sílí. Měnovou poliiku řídí Evropská cenrální banka (European Cenral Bank, ECB) z německého Frankfuru nad Mohanem. Se vznikem nové měny samozřejmě vyvsala pořeba referenční mezibankovní sazby. Pro peněžní a kapiálové rhy jí je sazba EURIBOR a EONIA.

30 4. Analyická čás 26 k dispozici pro období od 17. ledna 2001 do 30. lisopadu Jedná se o hodno v inervalu 27,852 až 35,568 CZK za 1 EUR, odečíaných v krákých inervalech (řádově minuy) z českého devizového rhu přes excelovský doplněk Reuers 8 erminálu České spořielny, a. s. a imporovaných do sysému Mahemaica. Za účelem eliminace nadbyečných operací došlo k vyloučení všech v řadě za sebou sejných kurzů pro daný obchodní den a jejich nahrazení pouze jediným záznamem. Takovýmo způsobem opakující se údaje jsou zcela nadbyečné a pouze zvyšují časovou náročnos programu. Znamenají oiž neměnnos vsupních paramerů, a edy i dely opce. Výsledkem je exový soubor na přiloženém CD ROM \Vsupní_daa\EUR-CZK_Spo\EURCZK.x reprezenovaný řádkovým vekorem dvojic ve varu {daum, příslušný FX-kurz} ak, jak přicházely z erminálu, bez nějaké bližší časové specifikace. Celkově disponujeme kurzy pro obchodních dní, zn. v průměru 119 kurzů připadajících na jeden obchodní den, což již předsavuje dosaečně relevanní soubor da 9. Bližší pohled na srukuru dosupných kurzů EUR/CZK poskyují níže uvedené grafy 4.1 a 4.2. Graf 4.1: Vývoj měnového kurzu EUR/CZK od do (zdroj \Osaní_daa\EURCZK_info.nb) 8 V říjnu roku 1851 založil v Londýně německý imigran Paul Julius Reuer agenuru Reuers. Zpočáku přenášela koace mezi burzami v Londýně a Paříži pomocí nově položeného kabelu mezi anglickým Doverem a francouzským Calais. S rosoucí populariou rozšířila působnos na další evropské země a obohaila svůj obsah o hlavní ekonomické zprávy z celého svěa. Posupně se z ní sala nejvěší, mezinárodní, mulimediální společnos poskyující zpravodajsví. Přeso je v současnosi více než 90 % příjmů generováno z finančních služeb. Terminály Reuers a jejich sada produků jsou považovány za nepsaný sandard, ať již ve vzahu obchodník-obchodník nebo obchodník-zákazník. Roku 1984 vsoupila agenura na burzu. 9 Při zpracování daové složky je pořeba mí na paměi rozdílný způsob inerpreace daa a času v programech Excel a Mahemaica, jehož důsledkem je v pořadovém vyjádření kalendářního daa posun o dva dny. Zaímco Excel přiřazuje :00 hodnou 1, Mahemaica začíná nulou. Navíc Microsof Excel nesprávně považuje rok 1900 za přesupný (viz průkazné soubory \Osaní_daa\1900_02_29.xls a 1900_02_29.nb), což spolu s rozdílným začákem daování vyváří výše zmíněnou diferenci dva dny.

31 4. Analyická čás 27 Graf 4.2: Čenos výskyu poču spoových kurzů v jednom obchodním dni (zdroj \Osaní_ daa\eurczk_info.nb) V čási jsme zmínili jev volailiy smile a jeho možné příčiny. Podívejme se na procenuální změnu dvojic za sebou jdoucích FX-kurzů a pokusme se nají příklad výrazného skokoviého pohybu. Současně s ím ověříme, zda soubor neobsahuje anomálii, kerá by mohla simulaci poškodi. Žádný z kurzů se od svého předchůdce neliší o více než 1,6 % jeho hodnoy, ke změně věší než 1,5 % dochází v jednom případě (v sérii da z ) 10. Podívejme se na všechny pohyby věší než 1 %, přehledně je s učně zvýrazněnými přechody uvádí abulka 4.3, kde jsou pro posouzení rendu navíc ješě na každém řádku vypsány aké dvě předcházející a dvě následné hodnoy. Tabulka 4.3: Kurzové změny věší než 1 % (zdroj \Osaní_daa\EURCZK_info.nb) Objevili jsme šes podezřelých dvojic, z oho ve čyřech případech došlo ke skokovié změně kurzu o více než 1 % v průběhu obchodního dne ( , , a ) v krákém inervalu mezi dvěma po sobě jdoucími odečy z erminálu a ve dvou případech se o více než 1 % odlišovala nám první známá hodnoa z daného dne od poslední hodnoy ze dne předešlého (z na a z na ). Ve všech případech však hodnoy, keré změně předchází a po ní následují, povrzují, že se nejedná o daový šum, nýbrž o nový rend. 10 Viz \Osaní_daa\EURCZK_info.nb.