Transkript

1 POZN AMKA K V YPO CTU BAYESOVSKEHO RIZIKA Ales LINKA TU Liberec, KPDM Abstrakt. V teto praci porovame dva bayesovske odhady fukce spolehlivosti v expoecialm rozdele z pohledu bayesovskeho rizika vypo- cteeho vzhledem k apriormu gamma rozdele ;(a p) v situaci, kdy jsme vprpade jedoho z odhadu eprese urcili hodoty parametru apriorho rozdele. Jako astroj pro porova odhadu pouzijeme asymptotickou de- ciecy staoveou a zaklade asymptotickych rozvoju probayesovske riziko uvazovaych odhadu. Abstract: I this paper we are iterested i two Bayes estimators of reliability fuctio i expoetial distributio which have dieret a priori parameters. The asymptotic expasios of Bayes risk, computed with respect to the a priori distributio of gamma-type, are derived. For detailed compariso we use limit risk deciecy accordig to Lehma (193). Rezme: V to stat~e my zaimaems sraveiem dvuh baesovskih oceok fukcii adosti v kspoecial~om raspredeleii po vidu baesovskogo riska isqisleogo vzgldom k aprioromu gamma-raspredelei. Baesovskovie oceki otliqats vyborom aprioryh parametrov. Dl sravei my ispol~zuem asimptotiqesku deficieci po Lemau (193). 1. Uvod Uvazujme klasickou situaci, kdy vysledkem experimetu je uply ahody vyber X = (X 1 ::: X ) z expoecialho rozdele shustotou f(x ) = < : 1 ; exp x x>, jiak, kde 2 ( 1) je ezamy parametr. Necht' c je klade cslo. Jestlize X je ahoda velicia s hustotou (1), pak odpovdajc fukce spolehlivosti ma tvar R(c) =R(c ) =P (X >c) = exp f;c=g : (2) (1)

2 Dale predpokladejme, ze ztratova fukce ma tvar L(R(c) b R)=[R(c) ; b R]2, kde R(c) ozacuje ezamou spolehlivost a b R jej odhad. Riziko prsluse odhadu b R, je-li skuteca hodota spolehlivosti R(c), deujeme vztahem r R(c) b R = E L R(c) b R : (3) V tomto claku budeme uvazovat bayesovsky odhad spolehlivosti a studovat jeho vlastosti. Predpokladejme proto, ze parametr = ;1 je ahoda velicia s aprior hustotou q( p a) = < : a p ;(p) p;1 e ;a > a> p> jiak. (4) Bayesovsky odhad R(c) dostaeme jako stred hodotu e ;c aposteriormurozdele, coz vede a odhad vzhledem k br 3 b R3 (c) = T + a T + a + c +p : (5) Pozameejme, ze ozace prvho idexu bylo zvoleo v souladu s ozacem bayesovskeho odhadu v praci Hurt (197) a v praci Atoch, Brzezia a Lika (199), druhym idexem budeme rozlisovat ruze bayesovske odhady. Bayesovske riziko odhadu R b je deovao jako stred hodota rizika r vzhledem k apriormu rozdele q, vasem prpade deovaem hustotou (4), tj. q b R Z = E q r R(c) R b ZIR = R(c) b L R f(x ) dx q( p a) d () kde f(x ) je sdruzea hustota ahodeho vektoru (X 1 ::: X ). 2. Asymptoticky rozvoj bayesovskeho rizika Vtomto odstavci budeme studovat chova bayesovskeho odhadu vzhledem k bayesovskemu riziku. Pro dva ruze bayesovske odhady urcme asymptoticke rozvoje pro jejich bayesovska rizika vzhledem ke kvadraticke ztratove fukci L a aprior hustote (4). Oba odhady potom porovame pomoc asymptoticke deciece. Uvazujme ejprve situaci, kdy hledame asymptoticky rozvoj pro bayesovske rizikobayesovskeho odhadu R3 b,pricemz toto bayesovske rizikopoctame

3 vzhledem k apriormu rozdele deovaemu hustotou (4). Je-li X 1 ::: X ahody vyber z expoecialho rozdele shustotou (1) a = ;1, potom ahoda velicia T = 1 X i=1 X i ma hustotu h(t ) = < : ;() t;1 e ;t t> > jiak. (7) Ze zamych vlastost gamma rozdeleazrejmych upravach pro bayesovske riziko odhadu b R3 dostavame (q b R3 )= = = Z 1 Z 1 t+ a a a +2c t+ a + c p ; ap ;( + p) p ;();(p) +p 2 ; expf;cg h(t )q( p a) d dt = Z 1 p;1; x 1+ ax 1+ (a+c) x +p 2(+p) dx: () Kostrukce asymptotickeho rozvoje pro bayesovske riziko odhadu R3 b fukce spolehlivosti vyuzva Taylorovu a Lebesquovu vetu. Protoze itegrady vystupujc v itegralch vyjadrech pro bayesovska rizika, jako fukce v 1=, ejsou deovay vule, tz. v bode, ve kterem provadme kostrukci odhadu, je ute odvodit modikaci Taylorovy vety profukce spojite dodeovatelevtomto bode. Po alezerozvojeitegradu aplikujeme Lebesquovu vetu. Jeda seopostuptechicky arocy a je ezbyte dokazat radu dlcch tvrze. Vysledek je uvede v asledujc vete. Veta 1: Necht' aprior hustota q je deovaa vztahem (4), echt' 2 IN a p a c 2 ( 1). Polozme 1 (q R3 b )= ap c 2 (p +1)p (9) (a +2c) p+2 2 (q b R3 )= ap c 2 p (1 + p) ; ;2a 2 +2c 2 ; 2a 2 p ; 5c 2 p ; 4acp ; c 2 p 2 2(a +2c) p+4 : (1)

4 Potom pro asymptoticky rozvoj bayesovskeho rizika odhadu b R3 plat (q b R3 ) = 1(q b R3 ) + 2(q b R3 ) 2 + O p a c ( ;3 ) pro!1: (11) Dukaz. Podroby dukaz viz Atoch, Brzezia a Lika (199). 2 Predpokladejme y, ze parametr je ahoda velicia s aprior hustotou (4) s parametry p 1 a a 1. Potom prslusy bayesovsky odhad fukce spolehlivosti R(c) ma tvar br 31 b R31 (c) = T + a 1 T + a 1 + c +p 1 : (12) To odpovda situaci, kdy jsme eprese urcili aprior parametry. Jako aprior parametry parametry jsme zvolili p 1 a 1, ale sprave jsme meli pouzt p a. Ny vypocteme asymptoticky rozvoj bayesovskeho rizika odhadu b R31 vzhledem ke kvadraticke ztratove fukci L a aprior hustote (4). Po kratkem vypoctu pro riziko odhadu b R31 dostavame (q b R31 )= = = Z 1 Z 1 t+ a1 a a +2c 2 4 t+ a 1 + c p + ap ;( + p) p ;();(p) ; 1+ a1 x +p 1 (+p) ; 2 1+ (ax +p 1 Z 1 ; expf;cg 2 h(t )q( p a) d dt = 1+ (a1+c) x 1+ ((a+c) x p;1; x 1+ a1 x 1+ (a1+c) x +p (+p) +p 1 2(+p 1) 5 dx: (13) Pro odvoze asymptotickeho rozvoje pouzijeme podobeho postupu jako jsme pouzili pro odhad b R3. Dostaeme asledujc tvrze. Veta 2 Necht' aprior hustota q je deovaa vztahem (4), echt' 2 IN a p a c 2 ( 1). Polozme 1 (q b R31 )= ap c 2 (p +1)p (a +2c) p+2 2 (q b R31 )=

5 = ; 12a 2 +a 4 ; 12a 1 2 ; 12a 2 a 1 2 +a ac +4a 3 c ; 4a 1 c; ; 4a 2 a 1 c ; 4aa 1 2 c +4a 1 3 c +a 2 c 2 ; 192aa 1 c 2 +9a 1 2 c 2 + +c 4 +1a 2 p +5a 4 p ; 1a 1 2 p ; 1a 2 a 1 2 p +5a 1 4 p +4acp + +4a 3 cp ; 4a 1 cp ; 4a 3 cp ; 4a 1 cp ; 4a 2 a 1 cp ; 4aa 1 2 cp + +4a 1 3 cp +4a 2 c 2 p ; 12aa 1 c 2 p +a 1 2 c 2 p ; ac 3 p +4a 1 c 3 p ; ; 2c 4 p +2a 2 p 2 + a 4 p 2 ; 2a 1 2 p 2 ; 2a 2 a 1 2 p 2 + a 1 4 p 2 +acp 2 + +a 3 cp 2 ; a 1 cp 2 ; a 2 a 1 cp 2 ; aa 1 2 cp 2 +a 1 3 cp 2 +a 2 c 2 p 2 ; ; 1aa 1 c 2 p 2 +1a 1 2 c 2 p 2 +32a 1 c 3 p 2 +2c 4 p 2 +32a 2 c 2 p 1 ; ; 32aa 1 c 2 p 1 +4ac 3 p 1 ; 4a 1 c 3 p 1 ; 1aa 1 c 2 pp 1 ; 32ac 3 pp 1 ; ; 32a 1 c 3 pp 1 ; 4c 4 pp 1 +a 2 c 2 p 1 2 +a 2 c 2 p ac 3 p c 4 p 1 2 a p (a +2c) ;4;p p (1 + p) : (14) Potom asymptoticky rozvoj bayesovskeho rizika odhadu b R31 je da vztahem (q b R31 ) = 1(q b R31 ) + 2(q b R31 ) 2 + O p a c ( ;3 ) pro!1: (15) Dukaz. Detail odvoze viz Lika (199) Vypocet asymptoticke deficiece Vzhledem k tomu, ze odhady b R3 a b R31 jsou tzv. asymptoticky sile eciet vzhledem k stred kvadraticke odchylce, asymptoticke rozvoje bayesovskeho rizika pro odhady b R3 a b R31 maj tvar (q R3i b ) = a + b 3i + 2 o p a c( ;2 ) i = 1 tj. koeciet u1= je pro oba odhady stejy. Pro detail porova odhadu b R3 a b R31 muzeme uzt decieci, blze viz Lehma (193). Zhruba receo, deciece spoctea pro jistou pevou dvojici odhadu bude v asem prpade ukazovat o kolik vce (ebo mee) pozorova vyzaduje odhad B, ma-li mt steje bayesovske riziko jako odhad A zalozey a vyberu rozsahu. V praxi se obvykle uzva asymptoticka deciece pro! 1. Jestlize ozacme (q A) a (q B) bayesovska rizika odhadu A a B, aplat-li (q A) = a r + b r+1 + o ;(r+1) (1)

6 a (q B) = a + c + r r+1 o ;(r+1) (17) pak asymptoticka deciece odhadu B vzhledem k odhadu A je deovaa vztahem d BA = c ; b ar : (1) Veta 3 Necht' p a c 2 ( 1). Pro asymptotickou decieci odhadu R3 b br 31 vzhledem k bayesovskemu riziku plat a d br31 br3 (p a p 1 a 1 c) = = ; ;12a 2 ; a 4 +12a a 2 a 1 2 ; a 1 4 ; 4ac ; 4a 3 c +4a 2 a 1 c + +4a 1 c +4aa 1 2 c ; 4a 1 3 c ; 9a 2 c aa 1 c 2 ; 9a 1 2 c 2 ; 1a 2 p ; ; 5a 4 p +1a 1 2 p +1a 2 a 1 2 p ; 5a 1 4 p ; 4acp ; 4a 3 cp +4a 1 cp + +4a 2 a 1 cp +4aa 1 2 cp ; 4a 1 3 cp ; 4a 2 c 2 p +12aa 1 c 2 p ; ; a 1 2 c 2 p +4ac 3 p ; 4a 1 c 3 p ; 2a 2 p 2 ; a 4 p 2 +2a 1 2 p a 2 a 1 2 p 2 ; a 1 4 p 2 ; acp 2 ; a 3 cp 2 +a 1 cp 2 +a 2 a 1 cp 2 + +aa 1 2 cp 2 ; a 1 3 cp 2 ; a 2 c 2 p 2 +1aa 1 c 2 p 2 ; 1a 1 2 c 2 p 2 ; ; 32a 1 c 3 p 2 ; 32c 4 p 2 ; 32a 2 c 2 p 1 +32aa 1 c 2 p 1 ; 4ac 3 p a 1 c 3 p 1 +1aa 1 c 2 pp 1 +32ac 3 pp 1 +32a 1 c 3 pp 1 +4c 4 pp 1 ; a 2 c 2 p 1 2 ; 32ac 3 p 1 2 ; 32c 4 p 1 2 ;1 c ;2 (a +2c) ;2 (19) Dukaz. Vysledek dostaeme dosazem do vzorce (1) podle vet 1 a Prklad Prklad1. Bott a Hass (197) uvad doby do poruchyvstupchtescch zaklopych vetilu pro jadere reaktory. Kombiac techto historickych dat a rostouc urove zatze byly staovey pozadovae hodoty pro 5 a 95 kvatil apriorho rozdele pro itezitu poruch. Pro hodotu 5 kvatilu byla staovea hodota 1:4 1 ;5 (poruch zahodiu) a pro 95 kvatil hodota 4:9 1 ;5. V moograi Martz a Waller (19) v kapitole muzeme alezt metodu, kterou tito autori vypracovali, pro staove parametru apriorho gamma rozdele. Na zaklade tohoto postupu staovme aprior rozdele jako gamma rozdele shustotou (4) s parametry a = 25714ap = :5.

7 Vzhledem k vyse uvedeemu rozdele budeme uvazovat odhad b R3, ktery am predstavuje odhad se sprave zvoleymi apriormi parametry. Ny porovame odhad b R3 sodhadem b R31, kdy jsme se etreli prese do apriorch parametru. K porova pouzijeme asymptotickou decieci (19). Na obrazcch 1{5 jsou zazorey grafy deciece d br31 br3 (p a p 1 a 1 c) pro a = p =:5 a c = Pro tyto hodoty c jsou rovez uvedey hodoty deciece v krajch bodech itervalu (:7 p 1:3 p) (:7 a 1:3 a) a1 p Obr.1 d br31 br3 (: p 1 a 1 21 ) Tab.1 d br31 br3 (: p 1 a 1 21 ) pro vybrae hodoty p 1 a a 1. a1.7 a.7 a 1.3 a 1.3 a p1.7 p 1.3 p.7 p 1.3 p d br 31bR

8 a1 p Obr.2 d br31 br3 (: p 1 a 1 1 ) Tab.2 d br31 br3 (: p 1 a 1 1 ) pro vybrae hodoty p 1 a a 1 a1.7 a.7 a 1.3 a 1.3 a p1.7 p 1.3 p.7 p 1.3 p br 31bR d a1 p Obr.3 d br31 br3 (: p 1 a 1 11 ) Tab.3 d br31 br3 (: p 1 a 1 11 ) pro vybrae hodoty p 1 a a 1. a1.7 a.7 a 1.3 a 1.3 a p1.7 p 1.3 p.7 p 1.3 p d br 31bR

9 a1 p Obr.4 d br31 br3 (: p 1 a 1 ) Tab.4 d br31 br3 (: p 1 a 1 ) pro vybrae hodoty p 1 a a 1. a1.7 a.7 a 1.3 a 1.3 a p1.7 p 1.3 p.7 p 1.3 p d br 31bR a1 p Obr.5 d br31 br3 (: p 1 a 1 1 ) Tab.5 d br31 br3 (: p 1 a 1 1 ) pro vybrae hodoty p 1 a a 1 a1.7 a.7 a 1.3 a 1.3 a p1.7 p 1.3 p.7 p 1.3 p d br 31bR

10 5. Zaver Z uvedeych obrazku 1{5 vyplyva, ze hlediska asymptoticke deciece ma bayesovsky odhad b R31 fukce spolehlivosti R(c), tj. odhad, kdy jsme etre- li aprior parametry, mohem hors chova s klesajc hodotou doby do poruchy c. V prpade c = 1 a prehodotme-li parametry o 3 tato deciece c dokoce 575. Naopak pro velke hodoty c se rozdly odhadu br 3 a b R31 straj. Literatura [1] Atoch J., Brzezia M., Lika A., Asymptotic approximatio of Bayes risk of estimators of reliability for expoetially distributed data, Statistics & Decisio, (199), to appear. [2] Bott T. F., Haas P. M., Iitial Data Collectio Eorts of CREDO : Sodium Value Failers, NCSR R2, (197), Natioal Ceter of Systems Reliability. [3] Hurt J., O estimatio of reliability i expoetial case, Aplikace matematiky 21 (197), [4] Lika A. Notice o Bayes estimators, Techical Report N.7, Techical Uiversity of Liberec, (199). [5] Lehma E. L., Theory of Poit Estimatio, Joh Wiley & Sos (193), New York. [] Martz H. F., WallerR. A., Bayesia Reliability Aalysis, Joh Wiley & Sos (192), New York.