VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FREKVENCNÍ METODY PRO VYŠETROVÁNÍ DISKRÉTNÍCH REGULACNÍCH SYSTÉMU

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF AUTOMATION AND COMPUTER SCIENCE FREKVENCNÍ METODY PRO VYŠETROVÁNÍ DISKRÉTNÍCH REGULACNÍCH SYSTÉMU FREQUENCY METHODS USED TO DISCRETE CONTROL SYSTEMS DIPLOMOVÁ PRÁCE MASTER S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR Bc. JAKUB GRENAR doc. Ing. IVAN ŠVARC, CSc. BRNO 9

2 Strn 5 Prohlšui že sem tuto práci vyprcovl smosttně pouze z použití doporučené litertury dle rd pokynů vedoucího diplomové práce Doc. Ing. Ivn Švrce,CSc., kterému touto cestou děkui. V Brně dne Jkub Grenr

3 Strn 6

4 Strn 7 ABSTRAKT Témtem této diplomové práce e Frekvenční metody pro vyšetřování diskrétních regulčních systémů. Zbývá se konstrukcí hlvně frekvenčních chrkteristik diskrétních systémů. Práce e rozdělen n dvě části. V první části e uveden teorie zákldní vzthy pro obsnění konstrukce frekvenčních chrkteristik spoitých i diskrétních regulčních systémů. Druhá část obshue hlvní náplň práce zdnou vedoucím této diplomové práce. T se skládá z vytvoření ktlogu některých zákldních frekvenčních chrkteristik diskrétních regulčních systémů s vytvoření progrmu pro výpočet konstrukci těchto systémů. ABSTRACT The subect of this mster s thesis is Frequency method for investigtion discreet regultion systems. It s primry conversnt of constructing frequency chrcteristics for discreet systems. The works hs two prts. The firs prt indictes provides theoreticl informtion nd the bsic reltions needed to clrify construction of frequency chrcteristics continuous nd discrete systems too. The second prt includes min ob description given by the hedmn of this thesis. It s consisting of constructing ctlogue of the frequency discrete chrcteristics for discrete systems nd cretion progrm for clcultion nd construction of this systems.

5 Strn 8

6 Strn 9 OBSAH: Zdání závěrečné práce.. 3 Licenční smlouv... 5 Abstrkt.. 7 Úvod... Sttické dynmické vlstnosti regulčních členů 3 3 Frekvenční přenos spoitých systémů Frekvenční chrkteristiky spoitých systémů Frekvenční chrkteristiky v komplexní rovině Amplitudová fázová chrkteristik v lineárních souřdnicích Amplitudová fázová chrkteristik v logritmických souřdnicích... 5 Frekvenční přenos diskrétních systémů. 3 6 Frekvenční chrkteristiky diskrétních systémů Frekvenční chrkteristiky v komplexní rovině Amplitudová fázová chrkteristik v lineárních souřdnicích Amplitudová fázová chrkteristik v logritmických souřdnicích Progrm pro konstrukci frekvenčních chrkteristik 9 7. Popis progrmu ChrDS Schém progrmu ChrDS Testování progrmu ChrDS 3 8 Ktlog frekvenčních chrkteristik Závěr... 6 Seznm použité litertury.. 63

7 Strn

8 Strn Úvod: Tto diplomová práce se zbývá problemtikou diskrétních regulčních obvodů, eich popisem, konstrukcí frekvenčních chrkteristik stbilitou. V teoretické části bude nedříve vysvětlen teorie uvedeny nedůležitěší vzthy pro popis spoitých regulčních systémů, následně i pro diskrétní regulční systémy. Dále bude vysvětlen význm konstrukce frekvenčních chrkteristik v komplexní rovině tké konstrukce mplitudové fázové chrkteristiky v lineárních logritmických souřdnicích. V prktické části bude vytvořen ktlog některých typových příkldů frekvenčních chrkteristik diskrétních systémů. Ktlog bude obshovt položek. Kždá položk bude obshovt příslušný odvozený vzth pro Frekvenční přenos, frekvenční chrkteristiku v komplexní rovině frekvenční-mplitudovou frekvenční-fázovou chrkteristiku v logritmických souřdnicích. Součástí diplomové práce e tké progrm pro výpočet vykreslení grfů frekvenčních chrkteristik diskrétních systémů.

9 Strn

10 Strn 3 Sttické dynmické vlstnosti regulčních členů: Pro posuzování vlstností regulčních obvodů i ednotlivých regulčních členů slouží dvě zákldní kritéri. Budeme se zbývt regulčními členy s přenosem G(s s ednou vstupní veličinou u(t ednou výstupní veličinou y(t. Pokud posuzueme vlstnosti regulčních členů v ustáleném stvu, hovoříme o sttických vlstnostech. Druhým způsobem e vyšetřování regulčních členů při změnách vstupních i výstupních veličin, pk hovoříme o dynmických vlstnostech. vstupní veličin u (t G (s výstupní veličin y (t Odr.. Schém regulčního systému Sttické vlstnosti se nečstěi vydřuí sttickou chrkteristikou. Sttická chrkteristik vydřue vzth mezi vstupní veličinou v ustáleném stvu výstupní veličinou v ustáleném stvu. Při snímání sttické chrkteristiky musíme vždy počkt n ustálení, k vstupní, tk výstupní veličiny, tzn. musí proběhnout tzv. přechodový dě. Teprve poté lze hodnoty vstupní výstupní veličiny odečíst vynést e do grfu. Znlost sttických chrkteristik systémů usndňue linerizci umožňue posoudit použitelnost lineárního modelu [ŠVARC I, ŠEDA M, VÍTEČKOVÁ M. Automtické řízení. 7]. y lim y(t u lim u(t Odr.. Příkld sttické chrkteristiky V regulci e všk důležité chování regulčního členu v průběhu přechodového děe, proto se budeme dále zímt o dynmické vlstnosti regulčních členů regulčních systémů. Dynmické vlstnosti lze popst dvěm různými způsoby:

11 Strn 4 vnitřní popis systému vněší popis systému Vnitřní popis systému e popis eho stvově přechodové struktury. Vnitřní popis systému e vyádření dynmických vlstností systému vzthy mezi vstupem, stvem systému výstupem. Je známo, že výstupní veličin nezávisí pouze n vstupní veličině, le tké n stvu systému n počátku děe. Tyto počáteční podmínky tvoří přibližně počáteční stv děe systému. Pro zvedení vnitřního popisu systému musíme znát eho strukturu veškeré fyzikální děe, které v něm probíhí. Vnitřní popis systému se vydřue stvovými rovnicemi ve stvovém prostoru, e to nedokonleší popis systému. Vněší popis systému vydřue dynmické vlstnosti systému závislostí mezi vstupní výstupní veličinou. Při tomto popisu systému nás nezímá ni struktur, ni děe uvnitř systému, systém zkoumáme pouze podle rekcí výstupní veličiny n vstupu. I přes istou omezenost se používá vněší popis více než dokonleší popis vnitřní to hlvně proto, že vněší popis můžeme získt rozborem experimentálně nměřených průběhů vstupních výstupních veličin. Dlšími výhodmi sou ednoduchost názornost [ŠVARC Ivn, ŠEDA Miloš, VÍTEČKOVÁ Miluše. Automtické řízení. 7]. Způsobů vněšího popisu systému e několik, všemi lze systém ednoznčně popst většinou lze z ednoho popisu odvodit dlší. Způsoby vněšího popisu systému: diferenciální rovnice systému přenos impulsní funkce chrkteristik přechodová funkce chrkteristik frekvenční přenos chrkteristiky poloh pólů nul systému

12 Strn 5 3 Frekvenční přenos spoitých systémů: Frekvenčním (nebo tké kmitočtovým přenosem frekvenčními metodmi nlýzy rozumíme posuzování systémů n odezvy hrmonického signálu přivedeného n vstup systému. Neběžněším typem tkového hrmonického signálu e sinusový signál. U stbilních lineárních systému e po odeznění přechodových evů, odezv n tento signál opět sinusová funkce. Tento výstupní signál má stenou frekvenci ko vstupní signál, má všk zprvidl větší mplitudu e fázově posunut - viz obr. 3.. u(t y(t u t y t T T u Odr. 3. Průběh vstupního výstupního signálu u ( t y y sin( t ϕ sin (3. Vzhledem k vlstnostem vstupních výstupních funkcí se ko výhodněší eví vyádření těchto funkcí v komplexním tvru: u u e t ( t ϕ y y o e (3. Vyádřením poměru těchto dvou hrmonických funkcí získáme první definici frekvenčního přenosu: G ( y u ( t ( t y u e e ( t ϕ t y u e ϕ (3.3 Jk iž bylo dříve zmíněno, ednotlivé typy přenosu mezi sebou úzce souvisí. Nyní si tedy vyádříme souvislost mezi frekvenčním přenosem diferenciální rovnicí systému, vydeme přitom z obecné diferenciální rovnice: y ( n ( m... y y bmu... bu b n u (3.4 Z vstupní výstupní veličiny dosdíme hrmonické funkce v komplexním tvru (3. i příslušnými derivcemi vstupní výstupní funkce podle čsu

13 Strn 6 ( t t t e u u e u u e u u ( t m m e u u ( ( ( ( ϕ ϕ ϕ t t t e y y e y y e y y ( ( ϕ t n n e y y (3.5 Dostneme rovnici: ( ( ( ( ( t t t m m t t t n n e u b e b u e u b e y e y e y ϕ ϕ ϕ (3.6 Po vytknutí hrmonických funkcí y e (tϕ u e t získáme tvr: ( ( [ ] ( [ ] b b b e u e y m m t n n t ϕ (3.7 Vyádřením podílu vstupní výstupní funkce z rovnice (3.7 dostneme dlší tvr frekvenčního přenosu, který umožňue převod diferenciální rovnice n frekvenční přenos nopk: ( (... ( (... ( b b b s G n n m m (3.8 Tento vzth e formálně shodný se vzthem pro přenos G(s: ( s s b s b s b s G n n m m (3.9 Jk e ptrné ze vzthů (3.8 (3.9 relce mezi přenosem systému frekvenčním přenosem téhož systému e dán formální záměnou komplexní proměnné s z, nebo nopk. ( ( s G s G ( ( s G s G (3. Druhá definice frekvenčního přenosu e obecněší, nepředpokládá n vstupu ni výstupu hrmonickou funkci. Vychází z Fourierovy trnsformce, kdy můžeme podobně ko při Lplceově trnsformci získt obrz poždovné funkce. Vzth mezi Fourierovou Lplceovou trnsformcí e dán tkto:

14 Strn 7 F ( f ( t t e dt (3. Fourierov trnsformce přímá i zpětná se symbolicky zpisue tímto způsobem: ( F{ f ( t } f ( t F { F( } F (3. kde f (t e originál funkce v čsové oblsti, F ( e obrz této funkce ve frekvenční oblsti, F F - sou operátory přímé zpětné Fourierovy trnsformce. Fourierův obrz získáme z Fourierov integrálu, který dostneme ze vzthu pro Fourierův rozvo periodické funkce v komplexním tvru. Aby integrál existovl, musí být funkce f (t spoitá v intervlu (-, bsolutně integrovtelná. Fourierův integrál má tvr: Frekvenční přenos systému e dán podílem Fourierov obrzu vstupního výstupního signálu při nulových počátečních podmínkách. Y G ( U ( ( (3.4 Ze vzthu mezi Fourierovou Lpleceovou trnsformcí e ptrné, že frekvenční přenos lze získáme z přenosu pouhou formální záměnou z s. Lze e všk tké získt Fourierovou trnsformcí impulsní funkce. G ( g( t e t dt (3.5 Zvedení frekvenčního přenosu má velký význm pro řešení regulčních problémů. Znázornění frekvenčního přenosu ve tvru frekvenčních chrkteristik umožňue i pro obvody vysokých řádů řešit otázky stbility kvlity regulce používt explicitně zištěných chrkteristik [ŠVARC Ivn, ŠEDA Miloš, VÍTEČKOVÁ Miluše. Automtické řízení. 7].

15 Strn 8

16 Strn 9 4 Frekvenční chrkteristiky spoitých systémů 4. Frekvenční chrkteristik v komplexní rovině Frekvenční chrkteristik e grfické vyádření frekvenčního přenosu G ( v komplexní rovině, kdy z úhlovou frekvenci doszueme hodnoty ž. [ŠVARC Ivn, ŠEDA Miloš, VÍTEČKOVÁ Miluše. Automtické řízení. 7] Im Re 5 4. Příkld frekvenční chrkteristiky v komplexní rovině Než e možné prkticky sestroit frekvenční chrkteristiku e nutné uprvit si frekvenční přenos G (. Frekvenční přenos e možno uprvit n složkový tvr komplexního čísl. Tto úprv frekvenčního přenosu G ( spočívá v následuícím doszení: s cos ϕ sin ϕ (4. Zprvidl e nutné přenos G ( rozšířit číslem komplexně sdruženým ke menovteli. Složkový tvr komplexního čísl má pk tvr: G ( Re ( Im( (4. Dále e možno čsto se i používá vyádření frekvenčního G ( přenosu v exponenciálním tvru komplexního čísl. Převod goniometrického tvru n exponenciální e podle Eulerov vzthu: ϕ e cosϕ sinϕ (4.3 Exponenciální tvr frekvenčního přenosu má pk tvr

17 Strn ϕ( ( A( e G (4.4 kde se k voleným hodnotám úhlového kmitočtu počítí příslušné hodnoty zesílení bsolutního frekvenčního přenosu A ( G( (4.5 fázového posunutí ϕ ( rctg Im Re ( ( (4.6 Frekvenční chrkteristiku lze zkonstruovt ze známého frekvenčního přenosu G ( pro kýkoliv systém. Velkou výhodou těchto chrkteristik e tké to, že e lze získt prktickým měřením n reálných systémech. Postup pro experimentální získávání frekvenčních chrkteristik e následuící: N vstup dného systému přivedeme sinusový signál u u sin(t. Zpisueme výstupní signál tk dlouho, dokud se n výstupu neustálí sinusové kmity y y sin(t ϕ. ze záznmu vstupního výstupního signálu určíme poměr mplitud y /u fázový posun. z definice frekvenčního přenosu (3.3 dostneme bod frekvenční chrkteristiky podle obr. 4. Vzdálenost příslušného bodu e dán poměrem y /u leží n přímce svírící s kldnou reálnou poloosou úhel ϕ. Změníme hodnotu frekvence vstupního signálu celý postup opkueme [ŠVARC Ivn, ŠEDA Miloš, VÍTEČKOVÁ Miluše. Automtické řízení. 7]. Im ϕ Re y u Obr. 4. Sestroení bodu frekvenční chrkteristiky v komplexní rovině

18 Strn 4. Amplitudová fázová chrkteristik v lineárních souřdnicích Frekvenční chrkteristik v komplexní rovině e běžně oznčován ko mplitudovo-fázová frekvenční chrkteristik. Tuto chrkteristiku e možné rozdělit n dvě smosttné chrkteristiky to mplitudovou chrkteristiku, která vydřue závislost průběhu mplitudy A( dného systému n frekvenci fázovou chrkteristiku, která udává závislost fázového posunu ϕ téhož systému n frekvenci. Dnou mplitudu i fázový posun můžeme odečíst z exponenciálního tvru rovnice (4.3 pro vyádření frekvenčního přenosu G(. ϕ( ( A( e G A[ - ],,,3,4 [/s],,,3, ϕ [ ] [/s] Obr. 4. Amplitudová fázová chrkteristik v lineárních souřdnicích Tyto chrkteristiky se le používí zřídk, protože znázorňuí e úzké frekvenční pásmo. Toto pásmo by se dlo sice rozšířit, pk by le došlo k nhuštění nedůležitěších částí s podsttnými změnmi do úzkého pásm frekvencí odečítání by bylo znčně zkresleno. Z těchto důvodů těchto omezení se zčly používt tyto chrkteristiky v logritmických souřdnicích. 4.3 Amplitudová fázová chrkteristik v logritmických souřdnicích Nevětší výhodou logritmických frekvenčních chrkteristik oproti lineárním e především eich konstrukce, která e sndněší poskytue lepší přehled o průbězích mplitudy fázového posunutí v širším pásmu frekvencí. V přípdě těchto chrkteristik e n vodorovnou osu vynášen úhlová frekvence v logritmickém měřítku, čímž e dosženo zobrzení onoho většího pásm frekvencí. N svislou osu se v přípdě mplitudové frekvenční chrkteristiky vynáší mplitud frekvenčního přenosu G(:

19 Strn A ( G( y u e ϕ y u (4.6 nikoli všk v bezrozměrných ednotkách, le v poměrných ednotkách decibel [db], což e dvcetinásobek dekdického logritmu zesílení. Amplitud e v podsttě podíl mplitud vstupního výstupního vstupního signálu, zesílení e tedy: A [ db] log A[ ] y log u (4.7 U fázových frekvenčních chrkteristik se n svislou osu vynáší fázový posun ve stupních nebo v rdiánech to v lineárním měřítku[švarc Ivn, ŠEDA Miloš, VÍTEČKOVÁ Miluše. Automtické řízení. 7]. A [db] - -4,,, [/s],,, [/s] ϕ [ ] Obr. 4.3 Amplitudová fázová chrkteristik v logritmických souřdnicích

20 Strn 3 5 Frekvenční přenos diskrétních systémů Diskrétní systémy sou tkové systémy, u nichž lespoň eden prvek prcue v diskrétním režimu. Tkové prvky neprcuí se spoitými signály, le ke své činnosti potřebuí diskrétní hodnoty signálů. Původně spoitý signál e nutné nvzorkovt v určitých (nelépe rovnoměrných čsových okmžicích, tkto uprvený signál má pk tvr posloupnosti diskrétních impulzů. Pk se tto posloupnost diskrétních hodnot může přivést n vstupy diskrétně prcuících prvků (npř. číslicových počítčů. u(kt y(kt kt kt π/ ϕ π/ u(kt G (z y(kt Obr. 5. Průběh vstupního výstupního diskrétního signálu u diskrétního prvku Frekvenční přenos ednorozměrných diskrétních systémů e oznčován symbolicky G (T e definován vzthem: G Y U ( T ( T ( T (5. kde výrz Y (T U (T předstvuí symbolické zobrzení diskrétní hrmonické vstupní výstupní funkce systému. Diskrétní frekvenční přenos e komplexní funkce bezrozměrné frekvence T t, kde T předstvue normovnou frekvenci. Diskrétní frekvenční přenos lze popst následuícími vzthy: G ( T P( T Q( T (5. kde vystupue sudá funkce: lichá funkce: P ( T P( T Re[ G( T ] (5.3

21 Strn 4 Q ( T Q( T Im[ G( T ] (5.4 Ze Z-přenosu G(z lze získt příslušný diskrétní frekvenční přenos G(T doszením: z e T (5.5 frekvenční přenos lze potom tké vydřue ve tvru: G T ( T G( z z e (5.6 N rozdíl od přenosu spoitých systémů e diskrétní frekvenční přenos periodickou funkcí frekvence T s periodou π: ( T G[ ( T kπ ] G (5.7

22 Strn 5 6 Frekvenční chrkteristiky diskrétních systémů Frekvenční přenos diskrétních systémů e n rozdíl od spoitých systémů periodická funkce proměnné T s periodou π. ( T G[ ( T kπ ] G (6. tkže doszením Tkπ místo T do G(T nutně dostneme vždy totožné výsledky. Z proměnnou T doszueme tedy hodnoty v intervlu T,π. Dále by se průběh frekvenční chrkteristiky opkovl, neboť e to periodická funkce, frekvenční chrkteristik e tedy souměrná podle reálné osy. Vzhledem k této souměrnosti k periodičnosti G(T i stčí počítt znázorňovt chrkteristiky v rozshu T,π viz obrázek 6.. Im.T π.t π.t Re Obr. 6. Souměrnost frekvenční chrkteristiky. Důležitěší všk e si uvědomit, co vlstně znmení hodnoty T π, π eventuelně hodnoty vyšší. Při T π má totiž vstupní sinusová funkce tkovou frekvenci, že n eí periodu připdí en dv členy vstupní posloupnosti (obrázek 6.. Při T π už dokonce en ediný. Frekvencím T > π odpovídá situce, kdy n periodu kmitů o této frekvenci připdá méně než eden člen posloupnosti, tkže tto posloupnost nemůže prkticky tyto kmity vůbec reprezentovt. Z toho plyne, že proměnnou T má smysl z prktického hledisk uvžovt pouze n intervlu T,π, neboť pro T π,π e vyádření kmitů posloupnosti pochybné pro přílišnou řídkost vzorků [KALVODA Petr. 4].

23 Strn 6 6. Frekvenční chrkteristik v komplexní rovině Frekvenční chrkteristik v komplexní rovině, též mplitudo-fázová frekvenční chrkteristik G(T se využívá npř. k návrhu číslicových korekčních členů regulátorů frekvenčními metodmi, známými ze spoité regulce, ko e npříkld dosžení poždovné fázové nebo modulové bezpečnosti ve stbilitě. Pro sestroení frekvenční chrkteristiky v komplexní rovině vycházíme steně ko v přípdě spoitých chrkteristik buď z frekvenčního přenosu G(T vyádřeného ve složkovém tvru komplexního čísl G ( T Re [ G( T ] Im[ G( T ] (6. kde k voleným hodnotám T,π počítáme reálnou imginární složku diskrétního frekvenčního přenosu. Nebo můžeme rovněž využít exponenciální tvr komplexního čísl frekvenčního přenosu G(T G ϕ ( T ( T A( T e Zesílení A(T pk získáme z frekvenčního přenosu G(T tkto:. (6.3 A ( T G( T (6.4 fázové posunutí ϕ(t ϕ ( T rctg Im Re [ G( T ] [ G( T ]. (6.5 Hodnoty reálné imginární složky pro různé hodnoty T z intervlu,π vyneseme do grfu získáme frekvenční chrkteristiku v komplexní rovině pro dný diskrétní systém. 6. Amplitudová fázová frekvenční chrkteristik v lineárních souřdnicích Steně ko u spoitých systémů můžeme i diskrétní mplitudovo-fázovou frekvenční chrkteristiku rozdělit n dvě smosttné chrkteristiky. Amplitudová frekvenční chrkteristik slouží k posuzování chování diskrétního systému vzhledem k hrmonickým složkám vstupního signálu, dále npř. k návrhu číslicových filtrů. Sestroení mplitudové chrkteristiky lze provést ze vzthu (nít pro výpočet mplitudy frekvenčního přenosu

24 Strn 7 A ( T G( T Re Im (6.6 Fázovou frekvenční chrkteristiku zkonstruueme podle vzthu pro výpočet fázového posunutí frekvenčního přenosu (nít: Im rg rctg Re ( T G( T ϕ [ G( T ] [ G( T ] (6.7 Hodnoty mplitudy zesílení fázového posunutí v závislosti n dné frekvenci pk vynášíme do smosttných grfů s lineárním měřítkem n obou osách. 6.3 Amplitudová fázová frekvenční chrkteristik v logritmických souřdnicích I u mplitudových fázových chrkteristik diskrétních systémů v lineárních souřdnicích se setkáváme se stenými omezeními ko v přípde spoitých systémů,sou to hlvně problémy spoené se zobrzením en velmi omezeného pásm frekvencí. Steně ko u spoitých systémů by zobrzení širšího pásm frekvencí vedlo ke zkreslení výsledných chrkteristik v důsledku příliš hustého měřítk. Proto se s výhodou používá čstěi zobrzení mplitudové fázové frekvenční chrkteristiky v logritmických souřdnicích. K sestroení mplitudové fázové chrkteristiky v logritmických souřdnicích se používá trnsformční vzth z bilineární trnsformce: z w w z w. (6.8 z Doszením vzthu z T e cos T sint (6.9 do rovnice (6.8 dostneme vzth pro převod ednotkové kružnice z-roviny n celou levou komplexní polorovinu T e T w tg T e (6. což znmená, že ednotková kružnice z-roviny se zobrzí n imginární osu w-roviny vnitřek ednotkové kružnice se zobrzí do levé komplexní poloviny w-roviny. Proměnná ve vzthu (6., e oznčován ko tzv. reltivní trnsformovná frekvence: tg T. (6.

25 Strn 8 Součsně se tké frekvenční rozsh reálných frekvencí T,π trnsformue n frekvenční rozsh trnsformovných frekvencí,. Logritmická mplitudová fázová chrkteristik se sestroí n zákldě frekvenčního přenosu, který získáme ze z přenosu [KALVODA Petr. 4] G ( G( z. (6. z N vodorovnou osu mplitudové i fázové chrkteristiky vynášíme hodnoty iž zmiňovné trnsformovné frekvence, logritmickém měřítku. N svislou osu mplitudové frekvenční chrkteristiky vynášíme v lineárním měřítku bsolutní hodnotu frekvenčního přenosu G( v decibelech, což sou ednotky definovné ko dvcetinásobek dekdického logritmu poměru obrzu vstupního výstupního signálu: G ( log G( db (6.3 Podobně ko u spoitých systémů e rovněž možné použít symptot pro vyádření logritmické mplitudové frekvenční chrkteristiky. Skutečný průběh se přímkám symptoticky blíží. Postup sestroení těchto symptot e shodný ko v přípdě spoitých systémů, pouze místo úhlové frekvence se zde používá trnsformovná frekvence. V Přípdě fázové frekvenční chrkteristiky vynášíme n svislou osu hodnoty fázového posunutí ϕ( v lineárním měřítku.

26 Strn 9 7 Progrm pro konstrukci frekvenčních chrkteristik Součástí této diplomové práce e progrm pro výpočet vykreslení frekvenčních chrkteristik diskrétních systémů v komplexní rovině mplitudové fázové frekvenční chrkteristiky v lineárních souřdnicích. Pro výpočet hodnot frekvenčních chrkteristik progrm využívá mtemtické teorie lgoritmy popsné v předchozích kpitolách. Progrm e vytvořen v prostředí progrmovcího zyk Delphi 7 od firmy Borlnd e určen pro tvorbu plikcí n pltformě MS Windows. Tento progrmovcí zyk umožňue vizuální návrh grfického uživtelského rozhrní, n ehož zákldě e utomticky vytvářen kostr zdroového kódu. Delphi sou zykem obektově orientovným. Obekt e v tomto smyslu chápán ko soubor určitých vlstností (dt, který e tké schopen vykonávt určitou činnost. Je možné vytvářet instnce těchto obektů s těmi různě mnipulovt. Progrm vytvořený k této práci se nzývá ChrDS e umístěn n přiloženém CD- ROMu. Pro běh progrmu e nutný operční systém Windows 95/98/NT/XP nebo Linux. 7. Popis progrmu ChrDS Progrm ChrDS slouží k výpočtu hodnot modelování frekvenčních chrkteristik diskrétních systémů. Výpočty sou prováděny pro konstrukci frekvenčních chrkteristik v komplexní rovině, nebo pro mplitudovou fázovou frekvenční chrkteristiku v lineárních souřdnicích. Zdání počítného diskrétního systému se provádí ve tvru z-přenosu s kldným posunutím podle vzthu (3.9 G b ( z m n b z... b z... n z z m. Konstrukce progrmu umožňue zdávt polynomy v čitteli i menovteli mximálně 5. řádu. Vývoové prostředí Delphi totiž neumožňue výpočty v oblsti komplexně sdružených čísel, ednotlivé výpočty sou tedy prováděny pomocí nprogrmovných procedur obecných vzorců pro výpočet dného z-přenou. Po zdání koeficientů progrm zkontrolue eho fyzikální relizovtelnost, e-li přenos zdán správně, proběhne výpočet, ink e uživtel upozorněn n chybu v zdání. Kždý výpočet pro sestroení frekvenční chrkteristiky v komplexní rovině zde vychází z frekvenčního přenosu G(T vyádřeného ve složkovém tvru podle vzthu (6. G ( T Re [ G( T ] Im[ G( T ]. Hodnoty reálných imginárních složek sou počítány pro rozsh frekvencí ž π. Z těchto hodnot sou tké v poždovných přípdech počítány hodnoty mplitudy fázového posunutí. Kždý nově zdný z-přenos e uložen ko nová instnce do seznmu z-přenosů, ze kterého

27 Strn 3 lze kdykoliv znovu vypočítt npř. porovnt s dlšími přenosy. Vykreslené grfy vypočtené hodnoty lze ukládt do souborů e možné e i tisknout.

28 Strn 3 7. Schém progrmu ChrDS Spuštění progrmu Zdání nového z-přenosu Chyb v zdání VÝPOČET Vybrt z-přenos ze seznmu Výpis hodnot Vykreslení grfu Uložení z-přenosu do seznmu Uložit nebo tisknout hodnoty Uložit nebo tisknout hodnoty Konec progrmu 7.3 Testování progrmu ChrDS Příkld Řešení: ověření správné funkce správnosti vypočtených hodnot progrmu ChrDS n zdném přenosu. G( z z,8z neprve si převedeme zdný z-přenos n frekvenční přenos v goniometrickém tvru: G ( T ( cos( T sin( T,8( cos( T sin( T

29 Strn 3 Po vynásobení frekvenčního přenosu číslem komplexně sdruženým ke menovteli rozdělíme přenos n reálnou imginární část: Re Im [ G( T ] [ G( T ] cos( T,8cos( T,6cos( T, 64 sin(t,8sin( T,6cos T, ( 64 Do tkto uprvených vzorců postupně dosdíme několik hodnot z intervlu (-π, pro které spočítáme hodnoty reálné imginární složky zdného frekvenčního přenosu, ze kterých následně sestroíme frekvenční chrkteristiku. w Re Im 5,,74-3,,46 -,54 -,3,7 -,7 -,,96 -, -,39, -,96,8,46 -,73,39,7 -,46,57,96 -,8,64,,7,6,46,9,5,7,45,35,96,54,6 3,4,56

30 Strn 33 Nyní zdáme hodnoty koeficientů ze zdání příkldu do progrmu ChrDS, provedeme výpočet námi vypočítné hodnoty můžeme srovnt s hodnotmi vypočtené progrmem. G(z ,8z z frekvence Re 5 Im frekvence, Re,7387 Im -3,67 frekvence,46 Re -,538 Im -,347 frekvence,7 Re -,699 Im -,95 frekvence,96 Re -,87 Im -,3935 frekvence, Re -,968 Im,88 frekvence,46 Re -,77 Im,393 frekvence,7 Re -,4567 Im,573 frekvence,96 Re -,87 Im,648 frekvence, Re,78 Im,665 frekvence,46 Re,87 Im,543 frekvence,7 Re,445 Im,3539 frekvence,96 Re,5357 Im,555 frekvence 3,4 Re,5556 Im,4 Už z vypočtených hodnot e ptrné, že i tvry frekvenční chrkteristiky musí být shodné.

31 Strn 34 Příkld porovnní výsledků vypočítných progrmem Mtlb s výsledky dosženými progrmem ChrDS pro zdný z-přenos. G ( z z 4 z 3,4z,z 3,8z,3z,,5z, Hodnoty reálné imginární složky zdného z-přenosu vypočítné progrmem Mtlb: Frekvence RE IM Grf frekvenční chrkteristiky v komplexní rovině vykreslený progrmem Mtlb

32 Strn 34 Hodnoty reálné imginární složky vypočítné progrmem ChrDS: frekvence Re,557 Im frekvence, Re,554 Im -,3 frekvence,6 Re,565 Im -,94 frekvence,4 Re,587 Im -,466 frekvence,56 Re,643 Im -,644 frekvence,7 Re,6855 Im -,84 frekvence,86 Re,7896 Im -, frekvence, Re,9834 Im -,69 frekvence,6 Re,3944 Im -,35 frekvence,3 Re,39 Im -,543 frekvence,46 Re -,9 Im -,5388 frekvence,6 Re -,647 Im -,3973 frekvence,76 Re -,56 Im -,393 frekvence,9 Re -,545 Im -,969 frekvence,6 Re -,599 Im -,854 frekvence, Re -,73 Im -,785 frekvence,36 Re -,85 Im -,674 frekvence,5 Re -,8958 Im -,53 frekvence,66 Re -,937 Im -,368 frekvence,8 Re -,933 Im -,3 frekvence,96 Re -,978 Im -,3 frekvence 3, Re -,993 Im -,85 frekvence 3,4 Re -,99 Im -,8 Grf frekvenční chrkteristiky v komplexní rovině vykreslený progrmem ChrDS V předchozích příkldech sme se přesvědčili o správné funkci progrmu ChrDS. Výpočty souhlsí s teoretickými vzthy výsledné hodnoty i grfické vyádření grfů e srovntelné s profesionálním nástroem Mtlb. Progrm ChrDS lze tedy požít pro běžné konstrukce frekvenčních chrkteristik.

33 Strn 35 8 Ktlog frekvenčních chrkteristik: Pro konstrukci frekvenčních chrkteristik byl použit progrm Mtlb. Pro nlýzu návrh lineárních systémů k spoitých tk diskrétních se využívá plikční knihovn Control System Tolbox (využíví k klsické přechodové chrkteristiky, tk i popisy systémů ve stvovém prostoru. Ke konstrukci frekvenčních chrkteristik byly použity následuící funkce: dnyquist dbode vykreslí frekvenční chrkteristiku v komplexní rovině vykreslí mplitudovou fázovou chrkteristiku k v lineárních tk logritmických souřdnicích Dlší možností e využití nástvby Mtlbu SIMULINK. Simulink e subsystém pro kompletní návrh, řešení vizuální vyádření výsledků dynmických systémů s dokonlým uživtelským rozhrním. Zákldem toolboxu Simulink sou bloky, které reprezentuí elementární dynmické systémy. Z ednotlivých elementárních bloků lze sestvit simulovt libovolný regulční obvod. K výpočtům prmetrů lze užít všech forem výrzů volání funkcí, které Mtlb umožňue. Následuící schém znázorňue zpoení bloků pro výpočet vykreslení frekvenčních chrkteristik diskrétních systémů. Obr. 8. Schém zpoení funkčních bloků v Simulinku Ktlog obshue položek nečstěších typových příkldů diskrétních systémů. Kždá položk obshue odvozený Z-přenos, pro který e vždy nmodelován frekvenční chrkteristik v komplexní rovině frekvenční-mplitudová frekvenční-fázová chrkteristik v komplexních souřdnicích. Kvůli názornosti e kždá chrkteristik vykreslen pro několik hodnot koeficientů.

34 Strn 36 G z z. Přenos ( n Frekvenční přenos: G( T cos( nt sin( nt Reálná část: Re[ G( T ] cos( nt Imginární část: Im[ G( T ] sin( nt Frekvenční chrkteristik v komplexní rovině G z ( z G ( z G ( z 3 z 3 z

35 Strn 37 Frekvenční přenos pro trnsformovnou frekvenci : G( ( ( n n Amplitudová fázová chrkteristik v logritmických souřdnicích

36 Strn 38. Přenos G( z z Frekvenční přenos: G( T cos( T sin( T Reálná část: Re[ G( T ] Imginární část: Im[ G( T ] ( T cos cos( T sin( T cos( T Frekvenční chrkteristik v komplexní rovině,5,8,

37 Strn 39 Frekvenční přenos pro trnsformovnou frekvenci : G ( ( ( ( k k Amplitudová fázová chrkteristik v logritmických souřdnicích

38 Strn 4 3. Přenos G( z z ( z Frekvenční přenos: G( T Reálná část: Re[ G( T ] Imginární část: Im[ G( T ] ( cos( T sin( T ( cos( T sin( T ( T cos cos( T cos( T sin( T sin( T cos( T Frekvenční chrkteristik v komplexní rovině,8,3,6

39 Strn 4 Frekvenční přenos pro trnsformovnou frekvenci : ( ( ( ( ( ( k G k Amplitudová fázová chrkteristik v logritmických souřdnicích

40 Strn 4 4. Přenos G( z z ( z Frekvenční přenos: G( T Reálná část: Re[ G( T ] Imginární část: Im[ G( T ] ( cos( T sin( T ( cos( T sin( T ( 3T cos cos( T cos( T sin 3 T sin T cos( T ( ( Frekvenční chrkteristik v komplexní rovině -,8,,5

41 Strn 43 Frekvenční přenos pro trnsformovnou frekvenci : ( ( ( ( ( ( ( ( k G k Amplitudová fázová chrkteristik v logritmických souřdnicích

42 Strn Přenos G( z ( z Frekvenční přenos: G( T ( cos( T sin( T Reálná část: Re[ G( T ] Imginární část: Im[ G( T ] cos sin ( T cos( T ( cos( T ( T sin( T cos( T ( Frekvenční chrkteristik v komplexní rovině -,,6,7

43 Strn 45 Frekvenční přenos pro trnsformovnou frekvenci : ( ( ( ( ( ( k k G k Amplitudová fázová chrkteristik v logritmických souřdnicích

44 Strn Přenos G( z ( z ( z b Frekvenční přenos: G( T Reálná část: Re[ G( T ] Imginární část: Im[ G( T ] ( cos( T sin( T ( cos( T sin( T b cos ( T ( b cos( T cos( T bcos T sin( T ( b sin( T cos( T b cos T b ( ( ( b ( ( ( b Frekvenční chrkteristik v komplexní rovině -,5 b -,5, b,, b,

45 Strn 47 Frekvenční přenos pro trnsformovnou frekvenci : ( ( ( ( ( ( ( l k b G k b b l Amplitudová fázová chrkteristik v logritmických souřdnicích

46 Strn Přenos G( z z ( z ( z b Frekvenční přenos: G( T cos( T sin( T ( cos( T sin( T ( cos( T sin( T b Reálná část: Re[ G( T ] Imginární část: Im[ G( T ] cos ( T b cos( T ( T b cos sin( T b sin( T ( T b cos b ( cos ( ( T b ( cos ( ( T b Frekvenční chrkteristik v komplexní rovině -,5 b -,, b,5,7 b -,

47 Strn 49 Frekvenční přenos pro trnsformovnou frekvenci : ( ( ( ( ( ( ( l k b G k b b l Amplitudová fázová chrkteristik v logritmických souřdnicích

48 Strn 5 8. Přenos G( z z zb Frekvenční přenos: G( T cos( cos T sin( T ( T sin( T b Reálná část: Re[ G( T ] Imginární část: Im[ G( T ] ( T ( b cos b b cos( T b sin( T ( b b cos( T b Frekvenční chrkteristik v komplexní rovině -, b -,, b,5 -, b -,8

49 Strn 5 Frekvenční přenos pro trnsformovnou frekvenci : ( ( ( ( ( l b k G k b b l Amplitudová fázová chrkteristik v logritmických souřdnicích

50 Strn 5 9. Přenos G( z z z ( zb Frekvenční přenos: G( T cos( T sin( T ( cos( T sin( T ( cos( T sin( T b Reálná část: Re[ G( T ] Imginární část: Im[ G( T ] ( T b cos( T cos( T cos b cos( T b sin T b sin T sin T b cos( T b ( ( ( b Frekvenční chrkteristik v komplexní rovině,5 b,,3 b,4 -, b -,

51 Strn 53 Frekvenční přenos pro trnsformovnou frekvenci : ( ( ( ( ( ( ( l b k G k b b l Amplitudová fázová chrkteristik v logritmických souřdnicích

52 Strn 54. Přenos G( z z ( z b( z c Frekvenční přenos: G( T cos( T sin( T ( cos( T sin( T b ( cos( T sin( T c cos( T cos( T Reálná část: [ ( ] ( c b bc bc b Re G T ( b cos( T b ( c cos( T c sin( T sin( T Imginární část: [ ( ] ( b c bc Im G T b cos( T b c cos T c ( ( ( c Frekvenční chrkteristik v komplexní rovině,9 b,6 c,4,3 b,4 c, -,4 b -,7 c -,5

53 Strn 55 Frekvenční přenos pro trnsformovnou frekvenci : ( G ( ( k ( ( b ( c ( l ( m k l b b c m c Amplitudová fázová chrkteristik v logritmických souřdnicích

54 Strn 56. Přenos G( z ( z ( z b ( z c( z d Frekvenční přenos: G( T Reálná část: Re Imginární část: [ G( T ] Im cos [ G( T ] ( cos( T sin( T ( cos( T sin( T b ( cos( T sin( T c ( cos( T sin( T d ( 3T ( b c d cos( T ( bc bd b cos( T b c cos T c ( ( ( sin bcd ( 3T ( b c d sin( T ( cd bcd b cos( T b c cos T c ( ( ( Frekvenční chrkteristik v komplexní rovině -,3 b,3 c -,4 d,5,8 b,9 c, d,3,4 b,5 c,4 d,6

55 Strn 57 Frekvenční přenos pro trnsformovnou frekvenci : ( G ( ( b ( k ( l ( c ( d ( m ( n k l b b c m c n d d Amplitudová fázová chrkteristik v logritmických souřdnicích

56 Strn 58. Přenos G( z Frekvenční přenos: G ( T Reálná část: Re [ G( T ] z( z ( z b( z c( z d ( cos( T sin( T ( cos( T sin( T b ( cos( T sin( T b ( cos( T sin( T c ( cos( T sin( T d Imginární část: Im [ G( T ] cos( 5T cos( T ( bc bd cd ( T b c cos T c ( b cos ( ( ( c cos( T d sin ( 5T sin( 3T ( bc bd cd sin( T ( cd bd bc cos( T b c cos T c c cos T ( b ( ( ( ( d Frekvenční chrkteristik v komplexní rovině,4 b,5 c,4 d,5,3 b,3 c,4 d,5 -,8 b,9

57 c, d,3 Strn 3

58 Strn 59 Frekvenční přenos pro trnsformovnou frekvenci : ( G ( ( k ( ( b( c ( d ( l ( m ( n k b l b c m c n d d Amplitudová fázová chrkteristik v logritmických souřdnicích

59 Strn 6

60 Strn 6 Závěr Cílem diplomové práce bylo seznámení s problemtikou frekvenčních chrkteristik diskrétních regulčních obvodů dále seznámení se z eich konstrukcí. Hlvním úkolem bylo sestvit ktlog typových frekvenčních chrkteristik některých zákldních diskrétních systémů. Pro přiblížení problemtiky diskrétních systémů se první část zbývá popisem spoitých systémů. Jsou uvedeny zákldní vzthy teorie pro konstrukce frekvenčních chrkteristik spoitých systémů, z nichž vycházíme tké při konstrukci frekvenčních chrkteristik diskrétních systémů. Druhá část už e věnován popisu diskrétních systémů. Je zde opět přiblížen teorie odvozeny zákldní výpočetní vzthy sou ukázány rozdíly mezi spoitými diskrétními regulčními systémy. Dále e vysvětlen význm postup při konstrukci frekvenčních chrkteristik.diskrétních systémů. Teoretických znlostí e pk využito v hlvní části této diplomové práce, kterou e ktlog frekvenčních chrkteristik. Ktlog se skládá z položek typových přenosů diskrétních systémů. Pro kždý zdný z-přenos e zkonstruován frekvenční chrkteristik v komplexní rovině mplitudová fázová frekvenční chrkteristik v logritmických souřdnicích. V grfu sou vždy 3 průběhy chrkteristik pro různé hodnoty koeficientů v dných z-přenosech. Ke kždé položce v ktlogu e tké odvozen příslušný frekvenční přenos vzthy pro výpočet reálné imginární složky pro konstrukci frekvenčních chrkteristik v komplexní rovině. Pro konstrukci chrkteristik byl použit progrm pro modelování regulčních obvodů MATLAB. Součástí této diplomové práce e tké progrm pro výpočet konstrukci frekvenčních chrkteristik diskrétních systémů, který sem vytvořil tím splnil eden z bodů zdání. Progrm nese název ChrDS byl vytvořen ve vývoovém prostředí DELPHI 7 od firmy Borlnd. Experimentováním srovnáváním s progrmem MARLAB sem ověřil správnost přesnost prováděných výpočtů přesnost vykreslovných frekvenčních chrkteristik. MATLAB e profesionální mtemtický nástro, který disponue velkou řdou mtemtických funkcí toolboxů pro kompletní návrh řešení regulčních systémů. Má tké nástvbu SIMULINK pro rychlou, ednoduchou přehlednou simulci všech řídících systémů. Při porovnávání progrmu ChrDS s progrmem MATLAB v oblsti frekvenčních chrkteristik diskrétních systémů všk bylo dosženo srovntelných, tím e tedy progrm ChrDS v této oblst regulčních systémů plně použitelný. Domnívám se že tímto sem vyčerpl všechny body zdání tk splnil cil této diplomové práce.

61 Strn 6

62 Strn 63 Seznm použité litertury [] ŠVARC Ivn, ŠEDA Miloš, VÍTEČKOVÁ Miluše. Automtické řízení.. vyd. Brno: Akdemické nkldtelství CERM s.r.o., s. ISBN [] BALÁTĚ Jroslv. Automtické řízení.. vyd. Prh: BEN technická litertur, s. ISBN [3] ŠVARC Ivn. Teorie utomtického řízení : sbírk příkldů.. vyd. Brno: Rektorát Vysokého učení technického, s. ISBN [4] DAVIDOVÁ Olg. Využití frekvenčních metod pří nvrhování diskrétních systémů řízení.. vyd. Brno: Edice PhD Thesis, 4. 3 s. ISBN [5] KALVODA Petr. Frekvenční metody pro vyšetřování diskrétních regulčních systémů. Brno, s. Diplomová práce n Fkultě stroního inženýrství n VUT v Brně, Ústv utomtizce informtiky. Vedoucí diplomové práce Doc.Ing. Ivn Švrc, CSc. [6] SKOUPÝ Pvel. Mtemtické popisy diskrétních systémů eich plikce n počítči. Brno,. 76 s. Diplomová práce n Fkultě stroního inženýrství n VUT v Brně, Ústv utomtizce informtiky. Vedoucí diplomové práce Doc.Ing. Ivn Švrc, CSc.