ALOKAČNÍ ÚLOHY V TURBULENTNÍM PROSTŘEDÍ

Transkript

1 UNIVEZITA PADUBICE DOPAVNÍ FAKULTA JANA PENEA ALOKAČNÍ ÚLOHY V TUBULENTNÍM POSTŘEDÍ DISETAČNÍ PÁCE 20 Ing. Flp Vízner

2 UNIVESITY OF PADUBICE JAN PENE TANSPOT FACULTY THE ALLOCATION POBLEM IN THE TUBULENT ENVIONMENT DOCTOAL DISSETATION 20 Ing. Flp Vízner

3 Prohlašu: Tuto prác sem vypracoval samostatně. Veškeré lterární prameny a nformace, které sem v prác využl, sou uvedeny v seznamu použté lteratury. Byl sem seznámen s tím, že se na mo prác vztahuí práva a povnnost vyplývaící ze zákona č. 2/2000 Sb., autorský zákon, zeména se skutečností, že Unverzta Pardubce má právo na uzavření lcenční smlouvy o užtí této práce ako školního díla podle 60 odst. autorského zákona, a s tím, že pokud dode k užtí této práce mnou nebo bude poskytnuta lcence o užtí nému subektu, e Unverzta Pardubce oprávněna ode mne požadovat přměřený příspěvek na úhradu nákladů, které na vytvoření díla vynaložla, a to podle okolností až do ech skutečné výše. Souhlasím s prezenčním zpřístupněním své práce v Unverztní knhovně. V Pardubcích dne Ing. Flp Vízner

4 ANOTACE Práce řeší metodku svozně-rozvozního problému s obsluhou hran ve vazbě na čštění komunkací a svoz komunálního odpadu ve větších městech a průmyslových aglomeracích. Problematka e řešena s využtím aparátu metod teore grafů a lneárního programování s počítačovou podporou tvorby tras obslužných vozdel s aplkací v prostředí GIS. Metodka sestavování tras obslužných vozdel e vytvořena na základě analýzy a vyhodnocení současných trendů v oblast výpočtů svozně-rozvozních problémů. Aplkační část práce e zaměřena na výpočet vícekrterálních svozně-rozvozních úloh na vektorovém mapovém podkladu s možností vzualzace výsledných tras v GIS. KLÍČOVÁ SLOVA svozně-rozvozní problém s obsluhou hran, GIS, GPS, plány tras, software, operační výzkum, lneární programování, teore grafů, čstění a údržba pozemních komunkací TITLE The Allocaton Problem n the Turbulent Envronment ANNOTATION The dssertaton s focused on Arc outng Problem n attachment to route sweepng and waste collecton n towns and ndustral agglomeratons. The questons are solved wth utlzng of computer supported route plannng usng GIS and also wth applcaton of lnear programmng and graph theory. The methodology of the route plannng s constructed wth regard to analyss and evaluaton of actual trends n solvng Arc outng Problems. The applcaton part of dssertaton s focused on solvng of mult-crretal Arc outng Problem wth the vector map as enterng data wth possblty to route vsualzaton n the GIS. KEYWODS Arc outng Problem, GIS, GPS, oute Plannng, Software, Operaton esearch, Lnear Programmng, Graph Theory, Street Sweepng

5 Poděkování: V úvodu dsertační práce bych chtěl vyslovt poděkování mému školtel doc. Ing. Josefu Volkov, CSc. za odborné vedení, cenné přpomínky a rady, kterých se m v průběhu celého studa dostávalo. Autor

6 OBSAH Úvod... Současný stav problému...2. Technologe ČUPK Současná právní stuace v oblast ČUPK Cíle dsertační práce Metody zkoumání Teoretcký aparát metod zkoumání Aparát teore grafů Aparát matematckého programování Složtost algortmů Analýza metod pro výpočet svozně-rozvozních úloh s obsluhou hran Problém čínského pošťáka Neorentovaný problém čínského pošťáka (UCPP Undrected Chnese Postman Problem) Orentovaný problém čínského pošťáka (DCPP Drected Chnese Postman Problem) Nesouměrný problém čínského pošťáka (WPP Wndy Postman Problem) Smíšený problém čínského pošťáka (MCPP Mxed Chnese Postman Problem) Stupňovtý problém čínského pošťáka (HCPP Herarchcal Chnese Postman Problem) Problém příměstského pošťáka (PP ural Postman Problem) Neorentovaný problém příměstského pošťáka (UPP Undrected ural Postman Problem) Orentovaný problém příměstského pošťáka (DPP Drected ural Postman Problem) Problém regálového nakladače (SCP - Stacker Crane Problem) Kapactně omezený svozně-rozvozní problém (CAP Capacted Arc outng Problem) Orentovaný kapactně omezený svozně-rozvozní problém (DCAP Drected Capacted Arc outng Problem) Neorentovaný kapactně omezený svozně-rozvozní problém (UCAP Undrected Capacted Arc outng Problem)...69

7 3.6 Smíšený kapactně omezený svozně-rozvozní problém (MCAP Mxed Capacted Arc outng Problem) Matematcký model MCAP Identfkace podmínek v metodě sečných nadrovn pro MCAP Řešení úkolu a eho výsledky Přístup k řešení Metodka tvorby tras obslužných vozdel prováděících ČUPK Konstruktvní heurstky pro MCAP Úprava heurstk řešících MCAP Heurstka Path-Scannng (PS) Heurstka Augment-Merge (AM) Ulusoyova heurstka (Splt procedura) Genetcké algortmy a svozně-rozvozní úlohy s obsluhou hran Memetcký algortmus Upravený MA pro MCAP rozšířený o další omezení Řešení svozně-rozvozního problému s využtím GIS GIS software GIS data ako vstup pro výpočet metodam operačního výzkumu Zdroe vektorových dat astrová data Vektorová data ako vstup pro výpočet Určování polohy míst obsluhy pomocí GPS a přenesení údaů do grafu sítě NetOpt a exstuící GIS software pro řešení AP Postup sestavení, verfkace a mplementace metodky Implementace metodky do SW NetOpt Verfkace navržené metodky Vyhodnocení a dskuse výsledků Návrhy na využtí výsledků... Závěr...2 Seznam použtých nformačních zdroů...4 Publkační čnnost autora...7 Seznam tabulek...8 Seznam obrázků...9 Seznam příloh...2

8 SEZNAM ZKATEK 3-D AM APS AP a.s. CAD CAP CAP-TW CCPP CPP Č ČUPK DCAP DCPP DPH DPP GA GIS GPS GSM HCPP 3-Dmensonal (trorozměrný) Augment-Merge heurstka (konstruktvní heurstka) Automatc Poston eportng System (radoamatérská dgtální komunkace) Arc outng Problem (svozně-rozvozní problém s obsluhou hran) akcová společnost Computer Aded Desgn (typ aplkace pro vektorové kreslení) Capacted Arc outng Problem (kapactně omezený svozně-rozvozní problém s obsluhou hran) Capacted Arc outng Problem wth Tme Wndows (kapactně omezený svozně-rozvozní problém s obsluhou hran s časovým okny) Capacted Chnese Postman Problem (kapactně omezený problém čínského pošťáka) Chnese Postman Problem (problém čínského pošťáka) Česká republka Čštění a údržba pozemních komunkací Drected Capacted Arc outng Problem (orentovaný kapactně omezený svozně-rozvozní problém s obsluhou hran) Drected Chnese Postman Problem (orentovaný problém čínského pošťáka) daň z přdané hodnoty Drected ural Postman Problem (orentovaný problém příměstského pošťáka) Genetc algorthm (genetcký algortmus) Geographc Informaton System (geografcký nformační systém) Global Poston System (globální polohový systém) Global System for Moble Communcaton (globální systém pro moblní komunkac) Herarchcal Chnese Postman Problem (stupňovtý problém čínského pošťáka)

9 ILP Integer Lnear Programmng (celočíselné lneární programování) IM Improved Merge procedure (vylepšená Merge heurstka) LP Lnear Programmng (lneární programování) LOX Lnear Order Crossover (lneární křížení v genetckém algortmu) MA Memetc Algorthm (memetcký algortmus) MCEOP Mnmum Cost Euleran Orentaton Problem (problém mnmální Eulerovské orentace) MCAP Mxed Capacted Arc outng Problem (smíšený kapactně omezený svozně-rozvozní problém s obsluhou hran) MCPP Mxed Chnese Postman Problem (smíšený problém čínského pošťáka) MIP Mxed Integer Programmng (smíšené celočíselné programování) MS Mcrosoft (amercká softwarová společnost) OX Order Crossover (typ křížení v genetckém algortmu) PC Personal Computer (osobní počítač) PDA Personal Dgtal Assstent (osobní dgtální zařízení s oprečním systémem) PS Path-Scannng algortmus (konstruktvní heurstka) PP ural Postman Problem (problém příměstského pošťáka) S-42 geodetcký souřadncový systém 942 SCP Stacker Crane Problem (problém regálového zakladače) SHP Shapefle (přípona souboru vektorových GIS dat) S-JTSK souřadncový systém ednotné trgonometrcké sítě katastrální SW software TIFF Tag Image Fle Format (formát dgtálního rastrového obrázku) TSP Travelng Salesman Problem (problém obchodního cestuícího)

10 UCAP UCPP UPP USA VP WGS-84 WPP Undrected Capacted Arc outng Problem (neorentovaný kapactně omezený svozně-rozvozní problém s obsluhou hran) Undrected Chnese Postman Problem (neorentovaný problém čínského pošťáka) Undrected ural Postman Problem (neorentovaný problém příměstského pošťáka) Spoené státy amercké Vehcle outng Problem (problém okružních ízd) World Geodetc System 984 (geodetcký elptcký souřadncový systém) Wndy Postman Problem (problém větrného pošťáka)

11 ÚVOD Řešení svozně-rozvozních úloh s obsluhou hran e eden z nenáročněších kombnatorckých optmalzačních problémů, který byl podrobně zkoumán ž před 50 lety. Problém spočívá v nalezení optmálního souboru tras pro vozový park, za účelem obsluhy souboru zákazníků. Svozně-rozvozní problém e úloha zkoumaná pro své časté praktcké využtí, steně ako pro svou složtost. Exstue mnoho algortmů, řešících svozně-rozvozní problém, kde sou obsluhovaným prvky grafu dopravní sítě vrcholy. V stých případech e vhodné řešt úlohu s obsluhou hran, například svoz komunálního odpadu, čštění a údržbu pozemních komunkací, svoz, rozvoz školním autobusem, doručování záslek atd. Z toho e patrné, že svozně-rozvozní problém e často řešen právě na sít městských komunkací. To s sebou nese řadu komplkací. Graf sítě není homogenní, může obsahovat ak orentované hrany (ednosměrné komunkace), tak neorentované hrany (obousměrné komunkace), popřípadě kruhové obezdy, ostrůvky pro chodce atd. Tento fakt výrazně komplkue řešení problému. Každý rok sou na tyto služby vynakládány nemalé fnanční prostředky, a to zeména z důvodu špatného plánování. Odborníc v oblast operačního výzkumu tyto problémy zkoumaí a navrhuí realzovatelná řešení, která přnášeí značné úspory. V této dsertační prác e navržena metodka pro řešení svozně-rozvozního problému s obsluhou hran na sít městských komunkací s využtím vícekrterálního modelu pro tvorbu tras vozdel s kapactním a doezdovým omezením, násobným umístěním deponovacích míst pro vykládku vozdel a edním depem. Př analýze, sestavování a popsu modelu byla využta teore grafů a metody celočíselného lneárního programování. Stanovení souboru optmálních tras vozdel e řešeno prostřednctvím upraveného genetckého algortmu, který ve svém ádru zahrnue konstruktvní heurstcké metody a metody lokálního prohledávání. Tento metaheurstcký algortmus e eden z neefektvněších prostředků řešení svozně-rozvozního problému s ohledem na fakt, že řešení metodam exaktním, zpravdla matematckým modely lneárního programování, e omezeno obtížným a někdy neúplným defnováním omezuících podmínek modelu a rostoucím množstvím podmínek v závslost na velkost grafu dopravní sítě, respektve v závslost na počtu obsluhovaných hran. Řešení získána touto metaheurstkou odpovídaí ve většně případů optmálním řešením, získaným exaktním metodam, nebo se lší en mnmálně. Tato metodka e mplementována do SW nástroe, který umožňue sestavovat trasy obslužných vozdel prováděících čštění a údržbu pozemních komunkací ve větších městech a průmyslových aglomeracích.

12 SOUČASNÝ STAV POBLÉMU Ve větších městech a průmyslových aglomeracích v Č, zašťuí čštění a údržbu pozemních komunkací (dále ČUPK) a dalších ploch smluvně frmy, ve kterých vlastní většnový podíl město, nebo soukromé frmy bez podílu města. V některých případech se o tuto čnnost dělí více frem. Například v Praze prováděí ČUPK Pražské služby a.s., kde e většnovým vlastníkem město. V Pardubcích sou to Služby města Pardubc a.s. Tyto frmy poskytuí další služby ako například péč o zeleň, nstalac a údržbu dopravního značení, správu veřeného osvětlení, opravu pozemních komunkací ve městě, provoz sběrných dvorů atd. Na ČUPK e každý rok z rozpočtu města vyhrazena nemalá částka v řádu desítek mlónů Kč, která e v mnoha případech překročena. ozpočet se sestavue na základě zkušeností z předchozích let a e přímo závslý na celkové délce čštěných komunkací a velkost čštěných ploch. Jednotlvé položky rozpočtu sou zpravdla rozděleny podle čnností prováděných př čštění města. Ve statutárním městě Pardubce se edná o čnnost uvedené v tabulce.. Z této tabulky sou patrné náklady na tyto čnnost a výkon v podobě vyčštěných metrů a m 2. Tabulka.: Celkové náklady na ČUPK ve statutárním městě Pardubce za rok 200 čnnost výkon [m], [m 2 ] [Kč/m] ednotka náklady [Kč] metení vozovek ,43 m metení chodníků ,74 m stroní čštění s dopravním značením ,00 m blokové čštění komunkací ,00 m² mytí chodníků ,50 m čštění podchodů ,25 m čštění cyklostezek ,74 m lkvdace plevele ,00 m² splachování vozovek ,4 m rezerva náklady na ČUPK náklady včetně DPH Zdro: data Služeb města Pardubc a.s. Podle datových podkladů z roku 200 poskytnutých Pražským službam a.s. byla výše nákladů vynaložených na ČUPK např. v Praze-Jžní Město 685,3 ml. Kč. Snahou každého města e tyto náklady mnmalzovat. Možným řešením e vytvoření vhodné metodky pro optmalzac tras vozdel prováděících ČUPK, př zachování požadovaného výkonu, 2

13 a to mnmalzováním bezobslužných naetých km. Předmětem optmalzace e pouze stroní čštění pozemních komunkací. V Č se v současné době nepoužívaí žádné SW optmalzační nástroe na tvorbu tras obslužných vozdel prováděících ČUPK. An hlavní město Praha a Pražské služby a.s. nedsponuí žádným takovýmto nástroem. Trasy vozdel se sestavuí na základě zkušeností z předchozích let metodou pokusů a omylů. Výsledné trasy obslužných vozdel nemuseí být optmální. Podmínky pro ČUPK se každým rokem mění, e to dáno například požadavky města, obyvatel, technkou, ale vlvem zanteresovaných subektů. Proto e nutné sestavovat plány tras obslužných vozdel na každý rok. Frmy zašťuící ČUPK se snaží nalézt vhodné řešení v podobě SW nástroů využívaících metodku řešení svozně-rozvozních úloh, avšak žádný takovýto SW nástro české produkce zatím není k dspozc. V USA sou dostupné dva SW nástroe řešící tento problém. Jedním e Fleetoute od frmy CIVIX a druhým e outesmart od frmy oute Smart Technologes. Pouze první z nch e dostupný v Evropě, ale edná se o velce drahý SW nepřzpůsobený podmínkám ČUPK v Č. Jeho adaptace pro použtí v Č by vyžadovala určtý čas a samozřemě fnanční prostředky. Dsertační práce se zabývá navržením vhodné metodky pro ČUPK, která se lší od metodky použté v amerckých SW produktech, a eí mplementací do SW nástroe.. Technologe ČUPK Čštěné úseky a plochy se dělí podle vlastnctví, druhu a způsobu čštění. Úseky a plochy mohou být ve vlastnctví města, správy a údržby slnc příslušného krae, nebo Ředtelství slnc a dálnc Č. Podle druhu de o vozovky, chodníky, podchody, cyklostezky, pěší zóny a ostatní plochy. Podle způsobu čštění de o metení, stroní čštění, mytí chodníků, lkvdac plevele, splachování vozovek a blokové čštění pozemních komunkací, kde probíhá čštění komunkace chodníku včetně zaštění odtahu vozdel, které se v dané oblast nemaí nacházet. Pro bezproblémové provedení služby e zapotřebí, aby v čštěné lokaltě nebyla zaparkována žádná vozdla a netvořla tak překážku samotnému čštění. Proto se 7 dní před výkonem rozmísťuí dopravní značky s nformací, aký den a v kolk hodn bude čštění probíhat. Pro řdče e toto nformace, že maí svá vozdla přeparkovat, nak rskuí odtah. Dále se provádí čštění buď levé část, pravé část, nebo obou částí komunkace. Stroní čštění pozemních komunkací zametacím vozdly e prováděno samosběrným zametacím vozdly. Nečstota se ukládá tíhovou slou ve sběrné skřín 3

14 nástavby a smetky sou ukládány na skládce (pro Pardubce e tato skládka umístěna v Dražkovcích). Stroní metení chodníků a cyklstckých stezek e prováděno chodníkovým zametacím vozy s vysáváním. Čštění e prováděno samosběrným zametacím vozdly. Protběžné zametací talířové kartáče smetaí nečstoty přímo před edoucí vozdlo a smetené nečstoty sou následně odsávány přes sací hubc slným proudem vzduchu do sběrného zásobníku nástavby. Oběhový vodní systém zašťue stenoměrné zvlhčování smetených nečstot a snžue množství pevných částeček ve vzduchu (prašnost). Smetky sou ukládány na skládce. Stroní čštění (splachování-mytí) pozemních komunkací a chodníků e prováděno kropícím vozy (vz příloha ). K mytí se používá zpravdla užtková voda z řeky. Úkld komunálním vysavačem e prováděn ručně, komunálním vysavačem (vz příloha 2). uční vysavač vysává odpadky a psí exkrementy z náměstí a chodníků v centrech měst a míst, která sou těžko přístupná. Díky svým kompaktním rozměrům může být využíván také k průběžnému čštění pozemních komunkací a chodníků. Pohotovostní úkld e prováděn například po dopravních nehodách, př lkvdac drobných ekologckých havárí, odstraňování znečštění z pozemních komunkací a odstraňování důsledků žvelných katastrof..2 Současná právní stuace v oblast ČUPK Pozemní komunkace e podle zákona o pozemních komunkacích č. 3/997 Sb. [] dopravní cesta určená k užtí slnčním a ným vozdly a chodc, včetně pevných zařízení nutných pro zaštění tohoto užtí a eho bezpečnost. Může mít charakter stavby (praktcky vždy u dálnc a slnc, ve většně případů u místních komunkací), která e podle současné české právní úpravy samostatnou nemovtou věcí nezapsovanou do katastru nemovtostí, nebo se může ednat o pozemek č eho část (typcké u účelových komunkací). V České republce se pozemní komunkace dělí na tyto kategore: dálnce, určená pro rychlou dálkovou a mezstátní dopravu slnčním motorovým vozdly, která e budována bez úrovňových křížení, s odděleným místy napoení pro vezd a výezd, a která má směrově oddělené ízdní pásy, slnce, kterou e veřeně přístupná pozemní komunkace určená k užtí slnčním a ným vozdly a chodc. Jedná se o netypčtěší kategor pozemních komunkací, v běžném azyce se pro pozemní komunkace používá označení slnce, 4

15 místní komunkace, kterou e veřeně přístupná pozemní komunkace, která slouží převážně místní dopravě na území obce. Místní komunkací IV. třídy může být samostatná pěší komunkace, účelové komunkace, která slouží ke spoení ednotlvých nemovtostí pro potřeby vlastníků těchto nemovtostí nebo ke spoení těchto nemovtostí s ostatním pozemním komunkacem nebo k obhospodařování zemědělských a lesních pozemků. Dělí se na veřeně přístupné, které maí v některých ohledech obdobný režm ako místní komunkace nebo slnce, a veřeně nepřístupné. Vyústění účelové komunkace na ný druh komunkace se nepovažue za křžovatku. V České republce rozlšueme podle zákona o pozemních komunkacích č. 3/997 Sb. tř třídy slnc: slnce I. třídy e určena zeména pro dálkovou a mezstátní dopravu. Označue se ednomístným nebo dvomístným číslem, před nímž se někdy uvádí eště římské číslo I oddělené lomítkem. V současné době sou čísla 7. Ve steném systému sou číslovány rychlostní slnce a dálnce, před echž číslo se vkládá písmeno nebo D. Slnce I. třídy vystavěná ako rychlostní slnce má obdobné stavebně techncké vybavení a provozní podmínky ako dálnce. Zpravdla e z hledska provozu označená ako slnce pro motorová vozdla, slnce II. třídy e určena pro dopravu mez okresy. Označue se tromístným číslem, před nímž se někdy uvádí římské číslo II oddělené lomítkem. V současné době e ech počet přblžně 450, slnce III. třídy e určena k vzáemnému spoení obcí nebo ech napoení na ostatní pozemní komunkace. V terénu an v mapách se zpravdla číslem neoznačuí. V úředních dokumentech a specalzovaných mapách se označuí čtyřmístným nebo pětmístným číslem, před nímž se někdy uvádí římské číslo III oddělené lomítkem. Číslo obvykle vychází z některé slnce II. třídy, na kterou se napoue (např. u slnce II/28 e III/280), výmečně z čísla slnce I. třídy (např. u slnce I/9 e III/0924). Obdobně se rozlšuí třídy (I. až IV.) a funkční třídy A D, a to u místních komunkací. Vlastníkem dálnc a slnc I. třídy e stát. Vlastníkem slnc II. a III. třídy e kra, na ehož území se slnce nacházeí. Vlastníkem místních komunkací e obec. Slnce a místní 5

16 komunkace sou za stanovených podmínek veřeně přístupné na základě zákonem daného práva obecného užívání ( 9 zákona č. 3/997 Sb.). U většny úseků dálnc e užívání podmíněno dálnčním poplatkem. Místní komunkace e v České republce podle 6 zákona o pozemních komunkacích č. 3/997 Sb. označení pro kategor pozemní komunkace, do které má slnční správní úřad zařazovat veřené přístupné pozemní komunkace, které slouží převážně místní dopravě na území obce. Vlastníkem e podle zákona obec. Místní komunkace se podle 6 zákona č. 3/997 Sb. a 3 vyhlášky č. 04/997 Sb. [2] rozděluí podle dopravního významu, určení a stavebně technckého vybavení do těchto tříd: místní komunkace I. třídy, kterou e zeména rychlostní místní komunkace, podle prováděcí vyhlášky též dopravně nevýznamněší sběrné komunkace ve městech, místní komunkace II. třídy, kterou e dopravně významná sběrná komunkace s omezením přímého přpoení sousedních nemovtostí, která spoue část měst navzáem nebo napoue město nebo eho část na pozemní komunkac vyšší třídy nebo kategore, místní komunkace III. třídy, kterou e obslužná komunkace ve městě nebo né obc běžně přístupná provozu motorových vozdel a umožňuící přímou dopravní obsluhu ednotlvých obektů, místní komunkace IV. třídy, kterou e komunkace nepřístupná provozu slnčních motorových vozdel nebo na které e umožněn smíšený provoz, například samostatné chodníky, stezky pro pěší, cyklstcké stezky, cesty v chatových oblastech, podchody, lávky, schody, pěšny, zkldněné komunkace, obytné a pěší zóny apod. O zařazení pozemní komunkace do kategore dálnce, slnce nebo místní komunkace nebo o změně zařazení rozhodue příslušný slnční správní úřad na základě eího určení, dopravního významu a stavebně technckého vybavení. O zařazení do kategore místní komunkace nebo vyřazení z ní rozhodue obec, na eímž území se komunkace nachází. Za místní komunkace se nepovažuí tzv. průezdní úseky slnc a dálnc, tedy úseky dálnc a slnc vedoucí zastavěným nebo zastavtelným územím obce. Průezdní úseky sou 6

17 vymezeny v územně plánovací dokumentac nebo e určí příslušný stavební úřad na návrh příslušného slnčního správního úřadu a po předchozím proednání s obcí. Krtéra stanoví 8 odst. 3 zákona č. 3/997 Sb. a 4 vyhlášky 04/997 Sb. Umístění dopravních značek Obec a Konec obce nemusí být totožné s hrancem průezdního úseku slnce. ČUPK průezdních úseků slnc a dálnc e prováděno ve většně případů smluvně službam města. Místním komunkacem nesou rozuměny účelové komunkace. Dopravní značky an běžné mapy č plány pro veřenost však neoznačuí an nerozlšuí, které pozemní komunkace sou místním komunkacem a které účelovým komunkacem. Účelovou komunkací e zpravdla taková komunkace, kterou nevlastní obec (an městská část nebo městský obvod) an nede o slnc nebo dálnc. Účelové komunkace však, steně ako místní komunkace IV. třídy, nepodléhaí specální evdenc podle 5 vyhlášky č. 04/997 Sb., a proto rozlšení mez nm nemusí být zřemé an z ofcálních mapových a evdenčních podkladů. Směrodatné by podle zákona mělo být, zda slnční správní úřad rozhodl o zařazení do kategore místní komunkace pokud o zařazení komunkace do kategore nerozhodl, může být taková komunkace en účelovou komunkací. Zásadní praktcký rozdíl mez místní a účelovou komunkací e ten, že zatímco vyústění účelové komunkace na nou komunkac se nepovažue za křžovatku, vyústění místní komunkace (např. pěší komunkace IV. kategore pěšny č schodště, pokud nede o označenou pěší nebo obytnou zónu) podle zákona č. 36/2000 Sb. [3], o provozu na pozemních komunkacích a o změnách některých zákonů (zákon o slnčním provozu), křžovatkou e. Chodník e část pozemní komunkace nebo samostatná pozemní komunkace, která slouží chodcům k přesunu po délce komunkace. Chodníkem zpravdla bývaí vybaveny místní komunkace, případně průezdní úseky slnc, v zastavěných částech obcí, a to buď po edné, nebo po obou stranách. Podle 2 odst. 4 zákona č. 3/997 Sb., o pozemních komunkacích, sou přlehlé chodníky, chodníky pod podloubím, podchody a zařízení pro zaštění a zabezpečení přechodů pro chodce součástí místních komunkací, pokud nesou samostatným místním komunkacem. Jech vlastníkem e vždy obec. Podle 34 zákona č. 28/2000 Sb. [4], o obcích, sou veřeně přístupné chodníky veřeným prostranstvím bez ohledu na to, kdo e vlastníkem. Podle 2 odst. 4 zákona č. 3/997 Sb., o pozemních komunkacích e stezka pro cyklsty (cyklostezka, cyklstcká stezka) pozemní komunkace nebo eí ízdní pás, 7

18 vyhrazený dopravní značkou, pro ízdu na ízdním kole. Je určena pouze pro cyklstckou dopravu. Automoblová a motocyklová doprava e z ní vyloučena. Pravdla slnčního provozu též povoluí užtí cyklostezky například ezdcům na kolečkových bruslích apod. Pěší zóna e ulce uzpůsobená tak, že na ní nesou ízdní pruhy, celá šířka pozemní komunkace e určena pro chodce a ulce e označena příslušnou dopravní značkou. Dopravní značka označuící pěší zónu může povolt vezd vybraným druhům vozdel, nebo dopravní provoz v omezeném období. ychlost vozdel v pěší zóně nesmí překročt 20 km/h. Termíny pro arní a podzmní čštění pozemních komunkací I. až III. třídy sou dány vyhláškou č. 04/997 Sb., 47, stená ustanovení platí pro místní komunkace. ČUPK ednotlvých místních komunkací (I. IV. třídy) a ostatních ploch probíhá několkrát za dané období (dáno požadovanou četností), zpravdla od dubna do lstopadu. V období od prosnce do března e prováděna zmní údržba pozemních komunkací. 8

19 2 CÍLE DISETAČNÍ PÁCE Základem práce e podrobná analýza současných metod řešení svozně-rozvozního problému s obsluhou hran, pops ednotlvých typů úloh, ech časová a výpočetní složtost a vhodnost ech použtí k optmalzac na městské nfrastruktuře (kaptola 3). Dsertační práce se zabývá aplkací těchto metod v prostředí GIS a demonstrací obecných prncpů začlenění řešení svozně-rozvozních úloh do prostředí GIS (kaptola 4). Cílem dsertační práce e návrh modelu, na kterém sou popsány prncpy začlenění metod řešení svozně-rozvozního problému do prostředí GIS a který bude nástroem na eho řešení. Model e aplkován na problém čštění pozemních komunkací a veřených prostranství větších měst a průmyslových aglomerací, kde se doposud optmalzační metody operačního výzkumu používaí mnmálně. Druhým, neméně významným cílem dsertační práce e vytvoření uceleného systému algortmů optmalzace s využtím nenověších možností dopravní telematky a GIS (kaptola 4). Hypotéza: Navržení vhodné metodky na řešení svozně-rozvozního problému s obsluhou hran a eí aplkace v softwarovém nástro s podporou GIS povede k raconalzac stávaícího řešení problému čštění a údržby pozemních komunkací ve větších městech. 9

20 3 METODY ZKOUMÁNÍ Návrhu vhodné metodky řešící optmalzac tras obslužných vozdel, které prováděí čštění a údržbu pozemních komunkací ve vetších městech a průmyslových aglomeracích, předchází podrobná analýza současných metod řešení svozně-rozvozního problému s obsluhou hran. V analýze sou popsány ednotlvé typy úloh a ech časová složtost z pohledu teore grafů a matematckého programování. Matematcké značení e možné nalézt v [5]. 3. Teoretcký aparát metod zkoumání V této podkaptole e popsán teoretcký aparát, který e využt v analýze metod řešících svozně-rozvozní úlohy s obsluhou hran (dále AP Arc outng Problem) a v metodce sestavování tras obslužných vozdel prováděících ČUPK. Jedná se o metody teore grafů, matematckého programování a teor složtost. 3.. Aparát teore grafů V tomto oddílu e ctováno z [6]. AP e obecně defnován na smíšeném grafu ( V, E p) G =,, E = X Y, kde prvky množny V nazýváme vrcholy grafu G, prvky množny X neorentovaným hranam grafu G, prvky množny Y orentovaným hranam, nebo také or-hranam grafu G a p ncdencí grafu G. Pokud nebude řečeno nak, budou hrany a polyhrany obecně označovány písmeny h a l, vrcholy písmeny v a u. O grafu G hovoříme ako o neorentovaném grafu v případě, že = { 0/ } Y, o orentovaném grafu (dgrafu), pokud X = { 0/ } a o smíšeném pokud { 0 /} Y { 0/ } X. Obvykle, pokud nebude řečeno nak, počet vrcholů grafu budeme značt n. Počet hran grafu budeme značt m, počet neorentovaných hran v grafu m X a počet orentovaných hran v grafu m Y. Incdence p přřazue každé hraně grafu uspořádanou nebo neuspořádanou dvoc vrcholů. Pokud e hrana neorentovaná, edná se o neuspořádanou dvoc, pokud e hrana orentovaná, edná se uspořádanou dvoc. Platí-l pro ncdenc hrany h X p ( h) = ( u, v), nebo h Y p [ h] = [ u, v], hovoříme, že hrana h ncdue s vrcholem u s vrcholem v. 20

21 Vrcholy u, v nazýváme přlehlým vrcholy, pokud h X : p( h) = ( u, v). Budeme říkat, že tyto vrcholy sou sousední, nebo také že spolu sousedí. Hrany, ncduící se steným vrcholem se nazývaí přlehlé hrany (sousední hrany). Vrcholy u, v nazýváme kraním vrcholy polyhrany h. Polyhranám ( u, v), resp. [ u, v], není ncdence p přřazována a o vrcholech u, v hovoříme pouze ako o kraních vrcholech polyhrany, resp. počátečním a koncovém vrcholu polyhrany. Protože každá hrana v neorentovaném grafu může být vyádřena ako neuspořádaná dvoce sousedních vrcholů, e záps p ( h) = ( u, v) ekvvalentní se zápsem p ( h) ( v, u) U or-hran tato ekvvalence neplatí. =. Ve všeobecnost ncdence p nemusí být prostým zobrazením, ale může více různým hranám h X, nebo h Y,, 2,..., k = přřadt stenou dvoc ( u, v), resp. [ v] u,. Tyto hrany se nazývaí násobné hrany (multhrany). Pokud přpustíme, že ncdence přřadí některé hraně h dvoc ( u, u), resp. [ u] u,, potom takovéto hraně říkáme smyčka. Grafy, obsahuící násobné hrany se nazývaí multgrafy. Nesouměrnou hranou nazýváme hranu, která má v každém směru odlšné ohodnocení. Graf G ( V, E, p) exstue pro vrchol = nazýváme vrcholově/hranově ohodnoceným grafem, pokud or-hranu funkce c [ h], resp. [ u v] každému vrcholu v V funkce c ( v) /pro hranu E h funkce c ( h), resp. ( u v) c,, nebo pro c, ve vztahu ke kraním bodům u, v hrany h, která přřadí v V /hraně h E nezáporné číslo vyadřuící určtou kvanttatvní nebo kvaltatvní vlastnost vrcholu/hrany. Toto nezáporné číslo budeme nazývat ohodnocením vrcholu/hrany. Grafy mohou být vrcholově hranově ohodnocené. Pokud e ohodnocení hrany př obsluze né než př průchodu hranou, označíme ohodnocení př obsluze c ( h) průchodu c ( h). Nechť pro dvoc vrcholů vrcholů a hran: { u h, u, h, u,..., u, h u } 0, 2 2 n a př u, v grafu G = ( V, E, p) exstue střídavá posloupnost T =,, (3.) n n kde h E, p ( h ) ( u, u ) =, resp. p [ h ] [ u, u ] =, pro =, 2,..., n, u V pro =, 2,..., n, u 0 = u, u n = v, 2

22 potom T nazýváme sledem, resp. orentovaným sledem grafu G mez vrcholy u, v. Sled, resp. orentovaný sled, ve kterém se neopakue žádná hrana, resp. or-hrana, nazýváme tahem, resp. orentovaným tahem. Tah, resp. orentovaný tah, ve kterém se neopakue žádný vrchol, nazýváme cestou, resp. orentovanou cestou (dráhou). Uzavřenou cestu (t. cestu, ve které počáteční a koncový vrchol sou totožné) nazýváme kružncí. Uzavřenou orentovanou cestu nazýváme cyklus. Označme M množnu všech cest m ( u, v), resp. [ u v] v grafu G ( V, E, p) =. m,, z vrcholu u do vrcholu Nekratší (mnmální) cestou, resp. polyhranou, mez vrcholy = ( V, E p) e cesta m *( u, v) M, resp. m [ u, v] M G, *, pro kterou platí: u, v v grafu c ( h) = mn c( h). (3.2) m( u, v) M h m ( u, v h m ( u, v) ) Délku mnmální (nekratší) cesty, resp. ohodnocení polyhrany mez vrcholy grafu G budeme značt d ( u, v), resp. d [ u, v] a e rovna d ( u v) m *( u, v) [ u v] m *[ u v] d, =,. u, v v, =, resp. Množnu neorentovaných hran ( u, v) ncduících s vrcholem u označueme X ( u). Množnu or-hran [ u, v], vycházeících z vrcholu u označueme Y + ( u) or-hran [ v, u] vcházeících do vrcholu u označueme ( u) Y.. Množnu Počet hran ncduících s vrcholem v nazýváme stupeň vrcholu a označueme st ( v). Matcí mnmálních vzdáleností, nebo také dstanční matcí grafu G = ( V, E, p) D rozumíme matc ( ) n = d, kde n e počet vrcholů grafu a ednotlvé prvky matce d, = sou rovny délce mnmální cesty mez vrcholy v a v, d d( v, v ) =. Prvky této matce na hlavní dagonále sou vždy nulové. O symetrcké dstanční matc hovoříme, pokud sou eí prvky souměrné podle hlavní dagonály, tedy pokud sou všechny hrany grafu neorentované. Množnu, E, nazýváme množnou hran obsluhy. Prvky této množny tvoří hrany, které maí být obslouženy na grafu G a maí nezáporný celočíselný požadavek obsluhy w ( h). Ve vztahu k vrcholům ncduícím s h e požadavek označen w, pro ( h) = ( ), p [ h] [, ] p v, v = v v. Množnu V nazýváme množnou vrcholů obsluhy na grafu G. Mohutnost množny budeme označovat m a mohutnost množny V budeme 22

23 označovat označovat platí n. Mohutnost množny neorentovaných hran obsluhy X budeme m X. Mohutnost množny or-hran obsluhy Y budeme označovat m Y. Přčemž = X Y. Pokud pro hranu h Y platí p [ h] = [ u, v], potom vrchol u nazýváme výchozí (počáteční) vrchol a vrchol v koncový vrchol hrany h. Pokud nebude řečeno nak, budou tyto vrcholy značeny v poč [ h] a [ h] v kon. I-tou trasou na smíšeném grafu G ( V, E, p) = rozumíme množnu hran obsahuící pouze hrany obsluhy, mez kterým sou mplctně předpokládány mnmální cesty (sou spoeny polyhranam). I-tou trasou na neorentovaném grafu G ( V, X, p) množnu hran T = rozumíme X T obsahuící pouze hrany obsluhy, mez kterým sou mplctně předpokládány mnmální cesty. Množnu všech tras na grafu G ( V, E, p) { T T } T,..., =, na grafu G ( V, X, p) m Úplnou trasou = označme X X X = označme tuto množnu T { T,..., T } =. T budeme nazývat trasu pokrývaící všechny hrany obsluhy grafu = ( V, E p). Délku -té trasy budeme označovat ( ) G, X c nebo ( ) T c. T mx Graf nazýváme souvslým, pokud mez lbovolnou dvocí eho vrcholů v, v exstue alespoň edna cesta. Strom e souvslý graf, který neobsahue ako podgraf kružnc. Kostra grafu T e podgraf grafu G ( V, X, p) G =, ehož množna vrcholů e totožná s množnou vrcholů grafu G, množna hran grafu e podmnožnou množny hran grafu G, a tento podgraf e stromem 2. Neorentovaný graf G ( V, X, p) =, ehož každý vrchol má sudý stupeň, nazýváme eulerovským grafem (dále E-grafem), nebo také uncursálním grafem, E-graf lze vyádřt ako sednocení soustavy vzáemně hranově dsunktních kružnc: UK, I = {0 / K K } G pro. (3.3) = Graf G ( V, E, p) = nazýváme sudým grafem, pokud pro každý vrchol grafu platí, že počet hran, které s tímto vrcholem ncduí, e sudý. Dále ako graf symetrcký, pokud pro Stromy e možné defnovat také ako souvslé grafy, kde pro lbovolnou dvoc vrcholů v, v V exstue právě edna cesta m ( v, v ). 2 Protože množna vrcholů kostry grafu e shodná s množnou vrcholů původního grafu, e kostra faktorovým podgrafem. 23

24 každý vrchol grafu platí, že počet vcházeících or-hran do vrcholu e roven počtu vycházeících or-hran z tohoto vrcholu. Pokud e graf zároveň sudý a symetrcký nazýváme tento graf vyváženým. Orentovaný graf G ( V, Y, p) graf G ( V, E, p) = nazýváme E-grafem, pokud e grafem sudým. Smíšený = e E-grafem, pokud e vyvážený. Navíc pro lbovolnou množnu vrcholů S V v tomto grafu musí platt, že rozdíl mez počtem orentovaných hran z S do V \ S a počtem orentovaných hran z spouících S a množn. V \ S do S e menší nebo roven počtu neorentovaných hran V \ S. Tato podmínka e také někdy nazývána podmínkou vyváženost Orentovaný graf, který neobsahue cyklus, nazýváme acyklcký graf. Bparttním grafem nazýváme graf G ( V, E, p) =, ehož množnu vrcholů e možné rozdělt na dvě dsunktní množny V,V 2 tak, že žádné dva vrcholy ze stené množny nesou spoeny hranou, V V V2 =, V V2 = { 0/ }, ( u, v ) E : u V, v V 2. Eulerovský tah (E-tah), který e výsledkem řešení problému čínského pošťáka, může, ale nemusí začínat a končt v témže vrcholu a obsahue každou hranu právě ednou. Podle toho hovoříme o otevřeném, nebo uzavřeném E-tahu. Nutnou a zároveň postačuící podmínkou k tomu, aby konečný souvslý graf G ( V, X, p) = mohl být sestroen edním uzavřeným E-tahem e, aby byl E-grafem. Uzavřený E-tah e popsán vektorem ( v, h, v2,..., h n, v n ), kde hrana p ( h ) = ( v, v+ ) náleží do množny X, nebo hrana [ h ] [ v v ] p =, + náleží do množny Y, pro =,..., n a v n = v. Řešením problému čínského pošťáka na orentovaném, neorentovaném nebo smíšeném grafu e získán E-tah. a platí: Podgrafy G, =, 2,..., k grafu G nazýváme komponentam, pokud sou souvslé U k = G = G, (3.4) G I G = 0 /,. (3.5) Mostem nazýváme hranu, eímž odstraněním se graf G rozpadne na dvě komponenty. Kompletním (úplným) grafem nazýváme graf, ve kterém e každý vrchol přlehlý k ostatním vrcholům grafu. Tyto grafy označueme K 24 n, kde n e mohutnost množny

25 vrcholů V. Kompletní graf e v řešení AP používán k určení hran perfektního mnmálního párování, kde množnu vrcholů grafu G ( V, X, p) V L kompletního grafu K n VL tvoří vrcholy lchého stupně =, na kterém chceme určt E-tah, a množna hran X L obsahue hrany, echž ohodnocení e rovno délce mnmální cesty v G mez těmto vrcholy. Hrany určené mnmálním párováním označueme X P. Kapactu s-tého vozdla, označueme Q s, vozového parku totožnou kapactu, označueme Q. Maxmální doezdovou vzdálenost vozdla označueme L. s =,..., k. Pokud maí všechna vozdla Depem rozumíme místo na sít, kde e umístěno středsko obsluhy 3. Pokud nebude řečeno nak, bude vrchol s depem označován v. Deponovacím místem rozumíme místo na sít, kde dochází k vykládce vozdla Aparát matematckého programování Tvorbu tras obslužných vozdel v AP lze řešt také ako úlohu matematckého programování. V tomto oddílu e popsán základní aparát lneárního programování, který do matematckého programování patří. Lneární programování (dále LP Lnear Programmg) e způsob řešení problémů, ehož základem e matematcké modelování, využívaící pro řešení modelů exaktní matematcké postupy. Aby bylo možné AP řešt metodam LP, musí být matematcky popsán. To znamená z verbální formulace problému sestavt matematcký model, který zahrnue krtérum (účelovou funkc) a soustavu omezení (omezuící podmínky). Krtérem u AP e mnmalzace součtu ohodnocení hran (délek úseků pozemních komunkací) v trase obslužného vozdla. Omezením může být například kapacta vozdel, doezdová vzdálenost vozdel, selekce hran obsluhy atd. Matematcký model úlohy lneárního programování e tvořen lneární účelovou funkcí (3.6) a soustavou lneárně nezávslých omezuících podmínek (lneárních rovnc nebo nerovnc (3.7) (3.9)). Matematcké modely AP maí následuící obecný tvar (pro přehlednost sou podmínky (3.7) a účelová funkce (3.6) rozepsány vpravo ako součet ednotlvých koefcentů a strukturních proměnných). 3 Středskem obsluhy e například čerpací stance pohonných hmot, skládka posypového materálu atd. 25

26 Mn. c x ( v, v ) X ( x) = c x c l x l + c2x c2l x l +... cklxkl Mn. f 2 + (3.6) pro =,..., k a =,..., l Za podmínek: a x ( v, v ) X < = b > a a a 2 k x x x 2 k + a + a + a 2 22 k 2 x x x 2 22 k a a M l a 2l kl < x l = b > < x 2l = b > < xkl = b > ( v v ) X ), (3.7) x 0 celočíselně x x,..., 0, N, 2 x kl x ( v v ) X ), (3.8) nebo x { 0,} { 0, },..., x { 0,} V tomto obecném zápsu sou x ( v v ) X ) kl, (3.9) x nezávslé strukturní proměnné úlohy LP. V AP představuí strukturní proměnné počty průchodů vozdla hranou ( v, v ) v trase vozdla, nebo počet přdaných hran do grafu, aby byl graf E-grafem. Koefcenty účelové funkce představuí ohodnocení hran ( v, v ), které náleží do množny hran grafu G. Strukturní koefcenty podmínek (3.7) sou lbovolná reálná čísla, c a. Pravou stranu podmínek nazýváme požadavkem nebo omezením, b e lbovolné nezáporné číslo, + b. Podmínky (3.7) sou lneární rovnce nebo nerovnce a nazýváme e základním nebo funkčním omezením. Podmínky nezápornost (3.8) defnuí proměnné x na oboru celých nezáporných čísel, x N, poté hovoříme o úloze celočíselného LP. Pokud sou místo podmínek (3.8) v matematckém modelu úlohy LP bvalentní podmínky (3.9), proměnná x může nabývat edné ze dvou hodnot 0 a, hovoříme o bvalentní úloze LP. Vektor 26

27 ( x x ) x =,...,, ehož souřadnce splňuí (3.7) (3.9) nazýváme přípustným řešením, 2 úlohy LP. x kl Dále e v tomto oddílu ctováno z [7]. Uspořádanou n-tc reálných čísel ( a a,.., ) budeme nazývat n-rozměrným vektorem a označovat písmenem a. Množnu všech n-rozměrných reálných vektorů spolu s obvyklým operacem sčítání vektorů a násobení vektorů reálným číslem nazýváme n-rozměrný reálný vektorový prostor a označueme E n., 2 a n Konvexní kombnací vektorů a,...,, a2 an, náležeících vektorovému prostoru n E, budeme nazývat takovou ech lneární kombnac α,..., a α a α a n n, pro kterou platí n α 0, kde =,.., n a α =. Pokud sou d a e dva body z E n, poté množnu ech = { + e : α 0, } lneárních kombnací α ( α ) d nazýváme úsečkou s koncovým body d a e. Nechť U e něaká podmnožna množnou, pokud pro každé dva body E n. Množnu U budeme nazývat konvexní d, e U náleží do U každá ech konvexní kombnace. Bod konvexní množny U, který nelze vyádřt ako konvexní kombnac dvou ných různých bodů této množny, nazýváme kraním bodem konvexní množny U. Konvexní omezenou uzavřenou množnu U, U En, maící pouze konečný počet kraních bodů, nazýváme konvexní polyedr. Každý bod obalu konvexního polyedru můžeme vyádřt ako konvexní kombnac eho kraních bodů. Množna přípustných řešení, kterou vymezuí omezuící podmínky, e v úloze LP konvexní množnou v E n, popřípadě konvexním polyedrem. V ednom z kraních bodů této množny se nachází optmální řešení úlohy LP. Tento bod e určen právě edním společným bodem účelové funkce a konvexního obalu množny přípustných řešení. Všechny body uvntř konvexní množny sou přípustným řešením. Řešt úlohu LP znamená hledat takový vektor x o, který mnmalzue (3.6) a splňue (3.7) (3.9). Vektor x o nazýváme optmálním řešením úlohy LP. V AP e mnmalzována celková suma délek hran v trase obslužného vozdla. Bazckým řešením soustavy (3.7) nazýváme takový vektor x, který e řešením této soustavy a volené proměnné vektoru sou nuly, přčemž vektory se strukturním koefcenty, odpovídaící nenulovým proměnným, sou lneárně nezávslé. Smplexová metoda (G.B. Dantzg, 947) e teratvní metoda pro nalezení optmálního řešení úlohy LP, která používá následuící postup: neprve e určeno výchozí 27

28 bazcké řešení. V každé terac e zkoumáno, zdal e bazcké řešení optmální. Pokud ano, algortmus končí, pokud ne, nalezne nové bazcké řešení, kterému odpovídá menší, nebo v kraním případě stená hodnota účelové funkce než v předchozím případě, a postup se opakue. Tím, že se metoda nevrací k horším bazckým řešením, než e právě zkoumané, se počet zkoumaných bazckých řešení podstatně redukue. Přechod od ednoho bazckého řešení k dalšímu se děe pomocí výměny ednoho bazckého vektoru. Celá řada praktckých problémů týkaících se optmalzace může být modelována a řešena pomocí celočíselného nebo také dskrétního lneárního programování (ILP Integer Lnear Programmng). Tato úloha se od úlohy běžného lneárního programování LP lší v omezení strukturních proměnných na celá čísla. Pokud mohou některé strukturní proměnné nabývat neceločíselných hodnot, poté úlohu nazýváme smíšeným celočíselným programováním (MIP Mxed Integer Programmng). Pokud by byl výsledek MIP zaokrouhlen, nebylo by zaručeno, že výsledné řešení bude optmální a také přípustné. Hlavní nevýhodou ILP e časová složtost algortmu řešícího tuto úlohu. Zatímco úloha LP e řeštelná v polynomálním čase, úloha ILP e tzv. NP-těžká (NP-hard), tzn., není znám polynomální algortmus. Mez neznáměší metody řešení obecné úlohy ILP patří metody sečných nadrovn, výčtové metody a metody větví a mezí. Metodou sečných nadrovn nazýváme postup řešení, který e založen na opakovaném řešení úlohy LP a eímž výstupem e přípustné celočíselné řešení úlohy ILP. Výpočet e prováděn teratvně tak, že e v každém kroku přdána další omezuící podmínka zužuící oblast přípustných řešení. Každá nová omezuící podmínka e přdána, pokud: optmální řešení nalezené pomocí LP se stane nepřípustným, přdáním nové podmínky se žádné přípustné celočíselné řešení v předchozím kroku nestane nepřípustným. Vznklý ILP program e vždy znovu řešen ako úloha LP. Proces e opakován, dokud není nalezeno přípustné celočíselné řešení. Konvergence takovéhoto algortmu potom závsí na způsobu přdávání omezuících podmínek. Mez neznáměší metody patří Gomoryho řezy a Dantzgovy řezy Složtost algortmů Součástí této práce e analýza metod řešících AP. U každé z těchto metod e uvedena eí časová složtost, která e edním ze dvou hlavních parametrů určuících ech vhodnost 28

29 pro řešení AP. Druhým parametrem e kvalta výsledného řešení v podobě délek tras obslužných vozdel. V tomto oddílu sou popsány pomy z teore složtost, které sou ctovány z [8] a sou součástí dalšího textu této práce. Úlohu chápeme ako obecně zadaný problém obsahuící parametry. Instancí úlohy rozumíme konkrétní zadání všech parametrů, které úloha obsahue. Řešení e matematcký obekt, který vyhovue verbálnímu zadání úlohy. Algortmus pro řešení úlohy e postup, který pro každou nstanc dané úlohy nade eí řešení. Říkáme, že algortmus řeší úlohu, pokud se algortmus po konečném počtu kroků zastaví na každé nstanc úlohy. Funkce t worst ( n) udává čas, který stačí k vyřešení každé nstance o velkost n. Tento přístup nazýváme analýzou nehoršího případu (worst case analyss), a to proto, že udává čas, který e potřebný pro ty nesložtěší nstance, a to v případě, že nesložtěší nstance může být velm nepravděpodobná a řešení trvá kratší dobu. Funkce t aver ( n) udává průměrný čas, který e třeba k vyřešení nstance velkost o n, poté hovoříme o průměrné složtost (average complexty), která říká, s akou dobou můžeme v průměru počítat, chceme-l vyřešt nstanc o velkost n. Místo přesného počítání funkce t worst ( n) popsueme asymptotcký růst funkce t worst ( n), kterým odhadueme chování této funkce pro velká n až na multplkatvní konstantu. Nechť f a g sou funkce z množny přrozených čísel N do množny N. Říkáme, že funkce f e ( g) ( n) c g( n) O, pokud exstue n 0 N a c > 0 tak, že pro všechna n n0 e f. Intutvně to znamená, že funkce f pro dostatečně velká n neroste rychle než násobek funkce g. n 0 Funkce f e o ( g), pokud pro každé N c c exstue n 0 N tak, že pro všechna n e f ( n) g( n). Toto tvrzení e slněší než předchozí. Vztah f e ( g) říká, že funkce f roste pomale než lbovolně malý násobek funkce g. exstue Funkce f e Ω ( g), pokud g e O ( f ). Jným slovy, funkce f e Ω ( g) n 0 N a c > 0 tak, že pro všechna n0. c n e f ( n) g( n) Funkce f e Θ ( g), pokud e současně O ( g) a ( g) Ω. o ntutvně, pokud Říkáme, že algortmus má časovou složtost O ( f ( n) ), pokud funkce ( n) O ( f ( n) ). Algortmus má průměrnou složtost O ( f ( n) ), pokud t aver ( n) e ( f ( n) ) O. t worst e 29

30 Říkáme, že úloha má horní odhad složtost f ( n), pokud exstue algortmus, který řeší úlohu a má časovou složtost ( f ( n) ) O. Říkáme, že algortmus e optmální pro danou úlohu, pokud neexstue algortmus, který by řešl danou úlohu a použl by, v nehorším případě, méně základních operací (ve smyslu asymptotckého popsu růstu funkcí). Nedetermnstcký algortmus (stochastcký) nazýváme algortmus, který v některých krocích může volt z několka možných dalších kroků. Nedetermnstcký algortmus může př steném vstupu poskytovat rozdílné výsledky. k Říkáme, že algortmus e polynomální, pokud e eho časová složtost O ( n ) pro lbovolnou konstantu k N. Naprot tomu říkáme, že algortmus má exponencální časovou složtost, pokud eho časová složtost není polynomální. Příkladem sou algortmy s časovou složtostí ( n! ) O 2 atd. n O, ( ) Třída P e třída všech rozhodovacích úloh, pro něž exstue polynomální algortmus, který řeší úlohu. Tento algortmu má složtost O ( p( n) ) pro lbovolný polynom p ( n) že úloha e P-těžká. 30. Říkáme, Ne všechny rozhodovací úlohy náleží do třídy P. Například pro kapactně omezenou verz AP není dosud znám polynomální algortmus, který by řešl tuto úlohu. Třída NP e třída rozhodovacích úloh, pro něž exstue nedetermnstcký algortmus pracuící v polynomálním čase. Říkáme, že úloha e NP-těžká. ozhodovací úloha e NP-úplná (NP-complete), pokud e NP-úlohou. Každá NP-úloha se na NP-úplnou polynomálně redukue. Třídu všech NP-úplných úloh označueme NPC. Tedy, NP-úplné sou ty úlohy, které sou netěžší mez všem NP-úloham. 3.2 Analýza metod pro výpočet svozně-rozvozních úloh s obsluhou hran V této podkaptole e provedena podrobná analýza současných metod a trendů řešení AP. Na základě analýzy e v této prác navržena metodka pro určování optmálních tras vozdel prováděících ČUPK ve větších městech a průmyslových aglomeracích v podmínkách Č. Řešení AP e základem pro řešení mnoha praktckých aplkací, ve kterých sou komunkace č ulce obsluhovány z důvodu údržby a čštění komunkací, svozu odpadu, rozvozu záslek, přemísťování záslek, svozu školním autobusem, výběru parkovacích automatů, odečítání elektroměrů, provádění revzí plynových a tlakových zařízení atd. Řešením AP se rozumí stanovení optmálních tras obslužných vozdel na sít pozemních

31 komunkací. Na realzac svozně-rozvozních operacích se každý rok utratí nemalé částky, přtom potencál úspor získaných optmalzacem e obrovský. Řada těchto aplkací nemůže být formulována ako čstý AP, protože sou defnovány dalším omezuícím podmínkam a maí své charakterstcké rysy. Metodologe řešení e často uzpůsobována dané stuac, a pokud e aplkována v né souvslost, vyžadue s určtou modfkac. Síť komunkací, na které e daný problém řešen, e ve zednodušené formě reprezentována grafem sítě. Tento graf e eden ze vstupů řešení. Zda e problém defnován na orentovaném, neorentovaném, nebo smíšeném grafu záleží na topolog sítě pozemních komunkací, kterou reprezentuí, a na operační poltce zanteresovaných subektů. Jednosměrné komunkace sou v grafu zpravdla reprezentovány orentovaným hranam a obousměrné komunkace neorentovaným hranam. Pokud e nutné ve stený čas obsloužt obě strany komunkace, ako e tomu například u čštění komunkací nebo svozu odpadu, e vhodné zvolt reprezentac městské dopravní sítě ako smíšeného grafu. V některých případech museí být obě strany komunkace obsluhovány odděleně, což může být případ ednosměrných komunkací. Or-hrany představuící ednosměrné komunkace sou duplkovány. Neorentované hrany představuící komunkac s oboustrannou obsluhou sou nahrazeny dvěma or-hranam s opačnou orentací. Výsledný graf e poté orentovaný. Obecně e obsluha komunkace vozdlem náročněší, než pouze eí průezd. Z tohoto důvodu může mít hrana představuící komunkac né ohodnocení př obsluze a né př průezdu. Ve většně případů e do obsluhy zapoeno více typů obslužných vozdel, která se od sebe lší svým omezením, ako například svou kapactou, doezdovou vzdáleností, rychlostí atd. V případě heterogenního vozového parku e řešení AP značně omezeno a en v málo případech se podaří vyřešt úlohu prostřednctvím známých exaktních metod. Běžnou strategí e před řešením dekomponovat orgnální graf na několk podgrafů (Chapleau, Ferland a ousseau, 985, Levy a Bodn, 989, Bodn a Levy, 99). Př řešení e nutné respektovat pravdla slnčního provozu ako např. přednost v ízdě, č zákazy otáčení (Bodn a Kursch, 979 a McBrdge, 982). Souhrnně se edná o pravdla chování vozdla př proíždění křžovatek. Jeden ze způsobů, ak ve výpočtu respektovat tato pravdla, e duplkace vrcholů křžovatek a propoení těchto vrcholů or-hranam tak, aby byla tato pravdla dodržena, edná se o převod sítě komunkací do městského režmu, vz obrázek 3.. Tím však vzroste počet vrcholů a hran grafu. Tento fakt vede k větší výpočetní složtost problému. Ve výpočtu AP heurstckým metodam lze tato pravdla zohlednt tzv. penalzacem nebo zákazy otáčení, které sou popsány v podkaptole