VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství Ústav automatizace a informatiky
|
|
- Vendula Dostálová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního nženýrství Ústav automatzace a nformatky Ing. Petr Majer MODERNÍ METODY ROZVRHOVÁNÍ VÝROBY MODERN METHODS OF MANUFACTURING SCHEDULING ZKRÁCENÁ VERZE PH.D. THESIS Obor: Školtel: Techncká kybernetka RNDr. Jří Dvořák, CSc. Oponent: prof. Ing. Mloš Konečný, DrSc. FP VUT v Brně doc. RNDr. Josef Zapletal, CSc. FEKT VUT v Brně doc. RNDr. Mloslav Mkulík, CSc. ESF MU Brno Datum obhajoby: 28. lstopadu 2003
2 KLÍČOVÁ SLOVA rozvrhování zakázkové výroby, rozvrhování proudové výroby, dsjunktvní graf, heurstcké metody, dopravní dávky, montážní a dstrbuční operace, voltelnost strojů, fuzzy termíny dokončení, fuzzy doby zpracování KEY WORDS job shop schedulng, flow shop schedulng, dsjunctve graph, heurstc methods, transfer batches, assembly and dstrbuton operatons, nterchangeablty of machnes, fuzzy due dates, fuzzy processng tmes ORIGINÁL DISERTAČNÍ PRÁCE JE ULOŽEN NA ADRESE Ústav automatzace a nformatky FSI VUT v Brně Techncká Brno Tel Petr Majer ISBN X ISSN
3 OBSAH 1 Úvod Současný stav Cíle dsertační práce 6 2 Kombnatorcké problémy a rozvrhování výroby Časová složtost Rozvrhování výroby Rozvrhování proudové výroby (flow shop schedulng) Rozvrhování zakázkové výroby (job shop schedulng) 8 3 Metody řešení Přesné metody Heurstcké metody 10 4 Rozvrhování zakázkové výroby Reprezentace dat Krtera rozvrhu Metody řešení založené na kódování dsjunktvním grafem Výsledky výpočtů 16 5 Problémy rozvrhování v reálných výrobních podmínkách Montážní a dstrbuční operace Časy přípravy, technologcké a dopravní časy, termíny spuštění a termíny dokončení úloh Dopravní dávky Aplkace stochastckých heurstckých metod Voltelnost strojů Další aspekty reálné výroby Návrh softwarového vybavení pro rozvrhování zakázkové výroby 21 6 Rozvrhování s neurčtým údaj Fuzzy čísla Fuzzy doby trvání operací Kombnace s termíny dokončení úloh Výsledky výpočtů 25 7 Závěr 26 Lteratura 27 Shrnutí 30 Summary 30 Currculum vtae autora 31 Seznam publkací autora 31 3
4
5 1 ÚVOD Všude kolem sebe vdíme snahu o zvyšování produktvty práce. Př výrobě je na operatvní úrovn důležtým úkolem tvorba výrobních rozvrhů. Obecně je problém rozvrhování dán konečnou množnou výrobků, které je potřeba vyrobt a omezeným počtem výrobních strojů, které jsou k dspozc. Přtom je pro každý výrobek znám technologcký postup, který určuje operace ve stanoveném pořadí jejch doby trvání a každé operac přděluje určtý druh stroje. O rozvrhování zakázkové výroby (job shop schedulng) mluvíme v případě, kdy pořadí strojů smí být pro každý výrobek různé. Ve specálním případě, kdy je pořadí strojů pro všechny výrobky stejné, mluvíme o rozvrhování proudové výroby (flow shop schedulng). Úkolem rozvrhování je najít nejlepší rozvrh (schedule), tj. optmální pořadí operací na jednotlvých strojích. Jako krterum rozvrhu je možné použít celkovou dobu trvání výroby, délky prostojů strojů, ztráty spojené s nesplněním prací v požadovaných termínech, stupeň rozpracovanost apod. Uvedená krtera jsou mnmalzačního charakteru. V prax se setkáváme s řadou modfkací problému rozvrhování (zahrnutí časů přípravy operací, dopravních a technologckých časů, zohlednění dopravních dávek, rozvrhování montážních operací, voltelnost strojů, omezená kapacta mezskladů, neurčtý charakter zadaných údajů apod.). Dsertační práce se zabývá vytvářením a řešením takových modelů rozvrhování výroby, které reálné výrobní podmínky reflektují lépe než základní modely rozvrhování. 1.1 SOUČASNÝ STAV Úlohy rozvrhování lze formulovat jako úlohy celočíselného programování a řešt klasckým optmalzačním metodam (zde se obvykle používá metoda větví a mezí nebo dynamcké programování). Problémy rozvrhování patří mez NP-těžké problémy, což znamená že zmíněné přesné optmalzační metody je možné použít pouze pro úlohy omezeného rozsahu. Optmální řešení rozsáhlejších úloh nelze těmto metodam získat v reálném čase a proto je nutné používat různé heurstcké metody. Praxe se zatím omezuje převážně na jednoduché technky nebo problémově specfcké heurstcké metody šté na míru konkrétní stuac. Ukazuje se, že lepších výsledků je možno dosáhnout s využtím stochastckých heurstckých metod založených na prncpech genetckých algortmů (genetc algorthms), smulovaného žíhání (smulated annealng) a zakázaného prohledávání (tabu search) nebo jejch kombnací. V českém průmyslu se př rozvrhování výroby používají různé programové systémy (např. Baan, mysap, Movex, ESO9, OR-Systém). Jejch posláním je však spíše než vytváření a optmalzace rozvrhů, pouze shromažďování a organzace dat z technologckých postupů v různých databázích. Tyto systémy sce umějí pěkně prezentovat rozvrhy v různých tabulkách a Ganttových dagramech. Rozvrh s v nch ale užvatel musí vytvořt buď ručně sám, nebo jsou použty pouze prmtvní technky pro určení pořadí operací na strojích (FCFS frst come, frst served, SPT shortest processng tme, apod.). Většna současných manažerů se spokojí s poskytnutím jakéhokolv provedtelného rozvrhu, u kterého jednoduchou metodou krtcké cesty určí krtcké čnnost a ty se pak snaží dokončt v termínech. Důsledky nedobře rozvržené výroby jsou dlouhé časové prostoje mez jednotlvým operacem př výrobě, nevytíženost kapact, dlouhé průběžné doby provádění zakázek a tím pádem jejch neúměrné prodražování, nízká produktvta práce a konkurenceschopnost frmy. Naprot tomu v rozvnutých ekonomkách jsou matematcké modely a metody běžnou součástí průmyslové praxe. Podnky, které s systémy rozvrhování výroby samy vyvíjejí, většnou nejsou ochotny je poskytnout jným frmám. Na softwarovém trhu zatím chybí komplexní programový systém na vytváření a optmalzac rozvrhů výroby, který by zahrnoval všechny aspekty reálné výroby a dokázal pružně reagovat na změny vznkající př výrobě. V českém prostředí navíc exstuje propast mez akademckou teorí a praxí. Na akademcké půdě se řeší většnou základní modely problémů a propracovávají se algortmy schopné nejrychlej 5
6 najít optmální řešení, ale podnky požadují zejména zohlednění skutečných výrobních podmínek v těchto modelech a poskytnutí těchto algortmů v podobě umožňující snadné nasazení v prax. 1.2 CÍLE DISERTAČNÍ PRÁCE Cílem dsertační práce je na základě dosavadního stavu poznání ve zmíněné oblast vyvnout takové modely rozvrhování, které lépe reflektují reálné výrobní podmínky a metody jejch řešení. Práce postupovaly v těchto krocích: 1) Podrobná analýza problémů rozvrhování proudové výroby a rozvrhování zakázkové výroby, pops použtelných modelů reprezentací těchto problémů a pops použtelných metod řešení. Cílem je vytvoření přehledu ve studované problematce. 2) Studum možnost použtí přesných metod. Jedním z cílů je určení mezí velkost rozvrhovací úlohy, pro kterou jsou tyto metody efektvně použtelné. 3) Tvorba a pops matematckých modelů problému rozvrhování, které zahrnují hledska reálných výrobních podmínek, jako je zohlednění dopravních dávek, rozvrhování montážních operací, apod. Pro řešení vytvářených modelů jsme se snažl o nasazení stochastckých heurstckých metod. 4) Implementace metod na počítač a ověření na praktckých aplkacích. Mmo jné jsme se pokusl navrhnout a realzovat prototyp softwarového vybavení pro rozvrhování zakázkové výroby zahrnující aspekty reálných výrobních podmínek. 5) Vytvoření modelu problému rozvrhování zakázkové výroby, který dokáže pracovat s neurčtým vstupním údaj. K modelování neurčtostí jsme využl teor fuzzy množn. Zejména nám šlo o navržení vhodných účelových funkcí a o vzájemné srovnání optmalzačních krterí. Poděkování Práce je součástí výzkumného záměru CEZ: J22/98: Netradční metody studa komplexních a neurčtých systémů. Elektroncká verze dsertační práce Úplná verze dsertační práce v rozsahu 90-t stran, je k dspozc také v elektroncké podobě na Internetové adrese 2 KOMBINATORICKÉ PROBLÉMY A ROZVRHOVÁNÍ VÝROBY Úlohy rozvrhování řadíme do třídy kombnatorckých problémů. To jsou problémy, ve kterých vystupují dskrétní proměnné a jejchž množna přípustných řešení je konečná. V každém z těchto problémů se skrývá možnost kombnatorcké exploze. 6
7 2.1 ČASOVÁ SLOŽITOST Časová složtost O(g(n)) algortmu řešícího problém o rozsahu n udává horní mez počtu g(n) elementárních operací (na hypotetckém počítač), které jsou pro vyřešení problému tímto algortmem zapotřebí. Řekneme, že algortmus je polynomální, jestlže jeho časová složtost je O(n k ), pro nějakou konstantu k. Naprot tomu řekneme, že algortmus má exponencální časovou složtost, jestlže jeho časová složtost není polynomální. Příkladem jsou algortmy s časovou složtostí O(n!), O(2 n ) atd. Obecná teore algortmů [12, 34] rozlšuje dvě třídy problémů: polynomální P (polynomal) a nedetermnstcky polynomální NP (non-determnstc polynomal). Problémy, pro jejchž řešení jsou známy polynomální algortmy patří do třídy P. Ostatní problémy s exponencální složtostí patří do třídy NP. Třída problémů NP je v podstatě množna problémů, pro které polynomální algortmy mají být teprve nalezeny. Samozřejmě problém patřící do třídy P můžeme neefektvně řešt algortmem s nepolynomální časovou složtost, jestlže nám nevadí, že to zabere vzhledem k rozsahu problému exponencálně dlouhou dobu. Výjmečně může být problém ze třídy NP přeřazen do třídy P, pokud se někomu podaří objevt polynomální algortmus k jeho řešení. Bohužel exstují problémy, o kterých mnoho moderních matematků předpokládá, že pro jejch řešení nkdy nebudou polynomální algortmy nalezeny, protože tyto problémy jsou přílš složté. Do této kategore patří problémy rozvrhování. Klasckým metodam (např. dynamckým programováním nebo metodou větví a mezí) lze řešt problémy rozvrhování pouze do omezeného rozsahu. Na rozsáhlejší úlohy je nutné použít heurstckých metod. Nejznámějším heurstckým metodam jsou smulované žíhání, zakázané prohledávání a genetcké algortmy [24, 36]. 2.2 ROZVRHOVÁNÍ VÝROBY Základním pojmy teore rozvrhů jsou stroj, operace a úloha. Operace (operaton) je základní technologcký úkon, který už dále není děltelný na částečné technologcké úkony. Úloha (job) je posloupnost operací, které je potřeba vykonat v rámc jedné zakázky. V české lteratuře se někdy ve významu úlohy vyskytuje termín práce. Stroj (machne) je zařízení schopné vykonávat jednu nebo několk operací. V některé lteratuře se používá též termín procesor Rozvrhování proudové výroby (flow shop schedulng) Problém rozvrhování proudové výroby (flow shop schedulng) [1, 40] je charakterzován množnou úloh J = { J 1,..., J n } a množnou strojů M = { M 1,..., M m }. Všech n úloh musí být vykonáno na m strojích př dodržení následujících podmínek: () Každá úloha je složena z m operací, které musejí být vykonány na m různých strojích. () Všechny úlohy provádějí své operace na strojích ve stejném pořadí strojů (stroje jsou řazeny sérově). () Na každém stroj může být v jednom okamžku vykonávána nejvýše jedna operace jedné úlohy. (v) Operace nemohou být přerušeny. (v) Mez operacem různých úloh není precedenční omezení. Obvykle se k uvedeným pět podmínkám přdává šestá: (v) Pořadí úloh je na každém stroj stejné. V takovém případě hovoříme o tzv. permutačním rozvrhování proudové výroby (permutaton flow shop schedulng). Úkolem je najít takové pořadí (permutac) úloh, které mnmalzuje trvání výrobního procesu, případně které zajstí dokončení úloh v požadovaných termínech, jsou-l zadány. Nyní předpokládejme následující označení: π - permutace úloh, π() - -tá úloha v permutac úloh, p - k 7
8 doba trvání operace -té úlohy na k-tém stroj, C k - termín dokončení operace -té úlohy na k-tém stroj. Jestlže je dána permutace úloh π, pak jsou termíny dokončení C π ( ), k určeny následovně [40]: C π (1),1 = π (1), 1 C π (),1 = Cπ ( 1),1 + pπ ( ), 1 C π (1),k = C π ( 1), k 1 + pπ (1), k C π ( ), k = max{ C π ( 1), k, Cπ ( ), k 1} + pπ ( ), k p (2.1) = 2,, n (2.2) k = 2,, m (2.3) = 2,, n; k = 2,, m (2.4) Ukázka rozvrhu pro n = 3 úlohy a m = 3 stroje je na obrázku 2.1. Obrázek 2.1. Rozvrh v proudové výrobě V permutačním problému rozvrhování proudové výroby je řešení reprezentováno pouze pořadím π (permutací) všech úloh. V tomto případě je každé řešení provedtelné a nazývá se rozvrh (schedule). Cílem je nalezení takového rozvrhu π, pro který je hodnota účelové funkce optmální. Nejčastěj se používá krterum C max (označované anglckým termínem makespan) defnované jako termín dokončení poslední úlohy (resp. jako doba potřebná k provedení všech úloh): Mnmalzovat C max = C ( n ), m π. (2.5) Rozvrhování zakázkové výroby (job shop schedulng) V klascké podobě byl problém rozvrhování zakázkové výroby (job shop schedulng) [8, 30, 42] popsán v [3]. Jsou zadány tř konečné množny: množna úloh J = { J 1,..., J n }, množna strojů M = { M 1,..., M m } a množna operací O = { o 1,..., o N }. Každá úloha se skládá z určtého, obecně nestejného, počtu operací. Množna O je množna všech operací všech úloh. Doba trvání k-té operace je p k. Je potřeba vykonat všechny úlohy př splnění následujících omezení: () Pro provedení každé operace je zapotřebí jednoznačně přřazený stroj z množny M. () Pořadí operací u každé úlohy je dáno technologckým postupem a nelze je měnt. () Na jednom stroj lze současně provádět nejvýše jednu operac jedné úlohy. (v) Provádění operace nelze přerušt. (v) Mez operacem různých úloh není precedenční omezení, to znamená, že pro žádnou dvojc operací z různých úloh není předepsáno pořadí provádění. Vykonání každé úlohy tedy znamená provedení všech jejích operací v zadaném pořadí na daných strojích. Jakékol provedtelné pořadí π operací na všech strojích z M se nazývá rozvrh (schedule). Úkolem rozvrhování je nalézt nejvhodnější pořadí operací na daných strojích. Označme 8
9 symbolem C j okamžk dokončení j-té operace. Často se jako krtérum používá celková doba trvání rozvrhu (makespan): Mnmalzovat C ) = max{ C } max (π k (2.6) 1< k< N Příkladem rozvrhu pro problém o osm operacích na třech strojích může být π = {( 4,1,7 ), ( 6,2),( 5,3,8 )}, kde jednotlvé seznamy operací v kulatých závorkách představují pořadí operací na jednotlvých strojích. Tento rozvrh vdíme zakreslený pomocí Ganttova dagramu na obrázku 2.2. Obrázek 2.2. Rozvrh v zakázkové výrobě Př rozvrhování ve skutečné výrobě mohou být sledovány jné cíle, např. mnmalzace ztrát spojených s nesplněním prací v požadovaných termínech, mnmalzace prostojů, mnmalzace rozpracované výroby, atd. Pro optmalzac se používají většnou heurstcké metody ve spojení s vhodnou reprezentací dat. Různým reprezentacem dat v problému rozvrhování zakázkové výroby a krter rozvrhů se budeme zabývat v kaptole 4. 3 METODY ŘEŠENÍ Součástí problémů rozvrhování je vždy požadavek na optmalzac nějaké účelové funkce, která závsí na sekvencích jednotlvých operací na strojích. Rozsah prostoru řešení je pro problémy rozvrhování obrovský. Jedná se o NP-těžké úlohy [12, 34]. K jejch řešení je možné použít přesné metody (např. metodu větví a mezí), ale tyto metody přestávají být od určtého rozsahu problému efektvní, proto je nutné používat heurstcké metody (např. smulované žíhání, tabu search nebo genetcké algortmy). Obecně jsou všechny metody popsány například ve [24, 32, 36] a na determnstcký problém rozvrhování výroby jsou aplkovány např. ve [22, 30, 42]. Přehled používaných metod k řešení problémů rozvrhování je uveden ve [18]. Pops následujících metod vztahujeme na řešení následujícího problému: Je dána konečná množna X přípustných řešení a krterum f : X R. Hledáme takové řešení x * X, pro které je hodnota účelové funkce mnmální f ( x * ) mn{ f ( x) } =. x X 9
10 3.1 PŘESNÉ METODY Hstore použtí přesných metod pro problémy rozvrhování je poměrně dlouhá. Jž Johnson [19] se v roce 1954 se zabýval řešením rozvrhování proudové výroby lbovolného počtu úloh na dvou strojích. Vycházel přtom z teorému, že má-l permutace n úloh tu vlastnost, že platí mn{ p 1, p j 1 } mn{ p 2, p j 2 } pro 1, j n, pak je pro tuto permutac hodnota C max optmální. Johnson dále popsal metody řešící rozvrhování na třech strojích. Přehled přístupů k jednoduchým problémům rozvrhování můžeme najít ve [1]. Za nejúspěšnější exaktní metodu považuje mnoho autorů [6] metodu větví a mezí. Zde se * snažíme najít celkové nejlepší řešení x pomocí rozdělování původní množny řešení X na stále menší podmnožny a stanovením dolní meze hodnoty účelové funkce v každé podmnožně. Tyto podmnožny chápeme jako množny řešení odpovídající podproblémům původního problému. Pokud v některé podmnožně je stanovena dolní mez vyšší než je dosud nalezené nejlepší řešení, je možné tuto podmnožnu elmnovat. Obvykle se používá jedna ze dvou prohledávacích strategí: prohledávání do šířky a prohledávání do hloubky. Naprot tomu v dynamckém programování je problém rozdělen na několk stupňů a v každém stupn je potřeba učnt rozhodnutí, jež mají vlv na rozhodnutí, která budou učněna v pozdějších stupních. Na základě Bellmanova prncpu optmalty je sestavena rekurzvní rovnce, která popsuje optmální hodnotu účelové funkce v daném stupn jako funkc hodnoty, získané ve stupn předchozím. Přesné metody nelze použít na rozsáhlejší problémy, protože jejch časová náročnost roste exponencálně s lneárním růstem rozsahu problému. 3.2 HEURISTICKÉ METODY Heurstcké metody sce nezaručují nalezení globálně optmálního řešení, ale jsou schopny v přměřené době poskytnout řešení, jenž je uspokojvé. Heurstcké optmalzační metody se používají pro optmalzac mnohaparametrových funkcí s dvokým průběhem, tj. s mnoha extrémy nebo neznámým gradentem. Takovým funkcem je většna účelových funkcí problémů rozvrhování výroby. Proces prohledávání prostoru řešení vyžaduje rovnováhu dvou cílů: 1. Co nejrychlej najít nejblžší (většnou lokální) optmum v okolí výchozího bodu. 2. Co nejlépe prohledat prostor všech řešení. Nejčastěj používaným heurstckým metodam jsou: zakázané prohledávání, smulované žíhání a genetcké algortmy Relace sousedství a účelová funkce Pro použtí většny stochastckých heurstckých metod potřebujeme defnovat určtou relac sousedství, která pro každé přípustné řešení x umožňuje pomocí množny transformací S(x) stanovt jeho jsté okolí U(x) jako množnu přípustných řešení sousedících s x. Př stanovení množny sousedních řešení je důležté splnění podmínky dosažtelnost, která požaduje, aby každé řešení bylo dosažtelné z lbovolného jného řešení postupnou aplkací vztahu sousednost. V případě problému rozvrhování výroby je přípustným řešením jstá množna provedtelných sekvencí operací na jednotlvých strojích (rozvrh). Pro každé přípustné řešení lze vypočítat hodnotu účelové funkce, která je krterem kvalty každého přípustného řešení. Cílem optmalzace pomocí heurstckých metod je najít takové přípustné řešení, které má nejlepší hodnotu účelové funkce. Pro permutační problém je přípustným řešením např. sekvence úloh ABCDEF. Relac sousedství můžeme jednoduše defnovat např. jako prohození pořadí dvou sousedních úloh. Potom by naše řešení ABCDEF mělo pět sousedních řešení: BACDEF, ACBDEF, ABDCEF, ABCEDF, ABCDFE. Způsobů, jak defnovat relac sousedství lze vymyslet mnoho (výměna lbovolných dvou, 10
11 prohození tří, otočení pořadí část řetězce, atd). Expermenty ukázaly že pro permutační problém je nejvýhodnější použtí relace sousedství pomocí tzv. dvoubodové shft operace. Př volbě nejvhodnějšího způsobu generování sousedních řešení pro konkrétní heurstckou metodu vycházíme obvykle z praktckých zkušeností Metoda smulovaného žíhání Smulované žíhání (smulated annealng) je varantou horolezeckého algortmu, v němž heurstcké kroky směřující k horšímu řešení jsou řízeny určtou pravděpodobností. Přístup smulovaného žíhání je založen na smulování fyzkálních procesů probíhajících př odstraňování defektů krystalcké mřížky. Exstuje určtá analoge tohoto přírodního procesu s procesem řešení optmalzačních problémů. V aplkac na řešení mnmalzačního problému je krystal reprezentován nějakým přípustným řešením x tohoto problému. Každému přípustnému řešení můžeme přřadt energ krystalu - funkční hodnotu f(x). Důležtý je rovněž parametr T, který je formální analogí teploty krystalu. Aktuální řešení x je přeměněno náhodnou transformací t S na nové řešení x' z okolí U(x). Původní řešení se nahradí novým x' v následném procesu smulovaného žíhání s pravděpodobností dle Metropolsova vzorce [28]: Pravděpodobnost ( x x' ) = mn 1, e f ( x') f ( x) T. (3.1) Jestlže funkční hodnota nového řešení x' je stejná nebo lepší než funkční hodnota původního řešení x, f ( x') f ( x), pravděpodobnost nahrazení je rovna jedné. V tomto případě je nové řešení automatcky akceptováno do dalšího procesu smulovaného žíhání. V případě, že funkční hodnota nového řešení x' není lepší než funkční hodnota původního řešení x, f ( x') > f ( x), pravděpodobnost akceptování je menší než jednotková, ale v tomto případě má nové řešení šanc pokračovat v smulovaném žíhání. Algortmus smulovaného žíhání má následující jednoduchou formu: x:=náhodně vygenerované řešení; T:=T max ;x * :=x;k:=1; whle (T>T mn and k>0) do begn t:=0;k:=0; whle(t<t max and k<k max ) do begn t:=t+1; x :=t(x); f f(x ) f(x) then Pr:=1 else Pr:= exp(e, f(x )-f(x)/t); f random<pr then begn x:=x ; k:=k+1; f f(x)<f(x * ) then x * :=x; end; end; T:=α *T; end; Teplota T je ohrančena mnmální a maxmální hodnotou T mn T T max, snžování teploty je realzováno po každém provedení vnějšího cyklu. Způsob snžování teploty určuje tzv. plán chlazení. Nejjednodušej je možné snžovat teplotu pomocí vynásobení koefcentem α. Zkušenost ukazují, že nejlepší hodnoty koefcentu α jsou mez 0.8 a V sofstkovanějších mplementacích algortmu může být rychlost snžování teploty závslá na procentu úspěšných pokusů o překlopení do jného stavu př aktuální teplotě. 11
12 Celočíselné proměnné t a k jsou počtadla pro vnější resp. vntřní whle-cyklus. Proměnná t zaznamenává celkový počet pokusů smulovaného žíhání pro danou teplotu T, zatímco proměnná k zaznamenává počet úspěšných pokusů, které byly akceptovány Metropolsovým vzorcem. Pro volbu maxmálních hodnot t max a k max neexstuje všeobecný předps, t max a k max jsou obvykle ve vztahu k velkost množny sousedů, hodnota k max je volena od několka set do několka tsíc a t max = 10 * k max. Volba jednotlvých parametrů metody je obvykle uskutečněna na základě zkušeností po mnoha expermentech. Podmínka ukončení algortmu je splněna buď dosažením mnmální teploty nebo tzv. zmrazením krystalu, tj. neuskutečněním př dané teplotě an jednoho úspěšného pokusu z celkového počtu t max pokusů o vykmtnutí z pevné pozce v krystalcké mřížce. Reálná proměnná random je náhodně generované číslo z ntervalu (0,1). Proměnná x * zaznamenává nejlepší řešení v průběhu provádění celého algortmu. Ve všeobecnost proměnná x nemusí po skončení smulovaného žíhání obsahovat nejlepší řešení. V lteratuře [31] je popsána podrobná teore smulovaného žíhání. Byly dokonce dokázány exstenční teorémy, za jakých podmínek smulované žíhání poskytuje globální mnmum funkce f (x) v defnčním oboru x. Často se používá rozšíření smulovaného žíhání směrem ke genetckému algortmu. Místo jednoho řešení se současně optmalzuje smulovaným žíháním malá populace řešení, které s vždy po určtém počtu kroků s malou pravděpodobností vymění nformac operací totožnou s křížením z genetckého algortmu. V dsertační prác jsou uvedeny podrobné popsy všech používaných heurstckých optmalzačních metod. V těchto tezích je z důvodu omezeného prostoru neuvádíme. 4 ROZVRHOVÁNÍ ZAKÁZKOVÉ VÝROBY V této kaptole ukážeme různé způsoby reprezentace problému rozvrhování zakázkové výroby. Zvláštní pozornost budeme věnovat zřejmě nejvýhodnější reprezentac pomocí dsjunktvního grafu. Budou zde popsány souvsející algortmy a způsoby konstruování sousedství. Dále se budeme zabývat množnou použtelných krterí, podle nchž se optmalzuje rozvrh. 4.1 REPREZENTACE DAT Pod pojmem reprezentace dat problému rozvrhování rozumíme určtý způsob zápsu posloupností operací na strojích do určté struktury, která nám umožní provádění výpočtů na počítačích a hledání optmálního řešení. Př kódování a dekódování řešení do zvolené struktury musíme vzít v úvahu tř zásadní otázky: 1. Přípustnost struktury řešení dekódované ze struktury musí ležet v oblast přípustných řešení daného problému. 2. Legálnost struktury struktura reprezentuje řešení daného problému. 3. Jednečnost zobrazení každá vytvořená struktura by měla odpovídat jednečnému rozvrhu. V průběhu posledních několka let bylo navrženo několk způsobů reprezentací problému rozvrhování zakázkové výroby, které mohou být rozděleny podle kódovacího postupu na reprezentace s přímým přístupem a reprezentace s nepřímým přístupem. V přímém přístupu je rozvrh zakódován do seznamu jednotlvých operací a heurstcké metody pro tyto struktury vytváří přesně defnovaná sousedství, pomocí kterých probíhá vlastní 12
13 hledání. Do této skupny patří reprezentace založená na operacích, reprezentace založená na pracích, reprezentace založená na vzájemném vztahu mez pracem, reprezentace založená na časech dokončení a reprezentace náhodných klíčů. V nepřímém přístupu se místo rozvrhů kódují sekvence takzvaných dspečerských pravdel, pomocí kterých posléze uspořádáme operace. Cílem hledání je tedy nalezení co nejlepší sekvence dspečerských pravdel. Rozvrh je nakonec sestaven z této nejlepší sekvence dspečerských pravdel postupným dosazováním operací. Do této skupny patří reprezentace založená na preferenčním seznamu, reprezentace založená na prortních pravdlech, reprezentace založená na dsjunktvním grafu a reprezentace založená na strojích. Všechny uvedené reprezentace jsou zhruba popsány v [8]. Nejvýhodnější z hledska použtí heurstckých metod se jeví reprezentace pomocí dsjunktvního grafu Reprezentace dsjunktvním grafem Dsjunktvní graf G [4, 5, 18, 27] je defnován množnou uzlů V, množnou konjunktvních hran C a množnou dsjunktvních hran D, G = ( V, C D). Uzly reprezentují operace všech úloh. Množna uzlů V obsahuje navíc dva specální uzly, počáteční 0 (nula) a koncový uzel * (hvězdčka). Tyto specální uzly jsou ohodnoceny nulam, ostatní uzly jsou ohodnoceny dobam trvání odpovídajících operací. Orentované konjunktvní hrany vyjadřují zadané pořadí operací v rámc jednotlvých úloh. Dále jsou zde hrany vycházející z počátečního uzlu 0 a směřující do uzlů příslušných prvým operacím úloh a hrany vycházející z uzlů příslušných posledním operacím úloh a směřující do koncového uzlu *. Dsjunktvní hrany spojují operace, které musejí být provedeny na stejném stroj. Na začátku algortmu jsou dsjunktvní hrany neorentované. Graf G může být rozložen na Graf G 0 = (V, C) a na m úplných podgrafů G k = (O k, D k ), kde O k je množna operací prováděných na k-tém stroj a D k = O k O k. Množna dsjunktvních hran D tvoří tedy m úplných podgrafů, z nchž každý přísluší jednomu stroj, kde m je počet strojů. Příklad reprezentace problému rozvrhování zakázkové výroby dsjunktvním grafem představuje obrázek 4.1. Obrázek 4.1. Dsjunktvní graf Stanovt výrobní rozvrh znamená rozhodnout o pořadí operací na jednotlvých strojích, tedy stanovt orentac dsjunktvních hran. Množna S všech orentovaných dsjunktvních hran se nazývá úplná selekce. Úplná selekce určuje přípustný rozvrh π pouze v případě, že výsledný graf G( π ) = ( V, C S) je acyklcký. V tom případě se S nazývá acyklcká úplná selekce. Příkladem rozvrhu pro problém znázorněný dsjunktvním grafem na obrázku 4.1 může být π = {( 4,1,7 ), ( 2,6),( 5,3,8 )}, kde jednotlvé seznamy operací v kulatých závorkách představují pořadí operací na jednotlvých strojích. Celková doba zpracování všech úloh je pak dána délkou nejdelší cesty z počátečního uzlu do koncového uzlu grafu. Tuto cestu nazýváme krtckou cestou. 13
14 Máme-l vytvořen acyklcký orentovaný graf, můžeme pomocí algortmu nalezení krtcké cesty CPM (crtcal path method) [21, 34] určt nejdříve možné časy dokončení operací C k. Než k tomu přstoupíme, můžeme ještě graf zjednodušt. Protože lbovolná operace má na stejném stroj nejvýše jednu bezprostředně předcházející operac a nejvýše jednu bezprostředně následující operac, můžeme z grafu vypustt ty dsjunktvní hrany, které nespojují uzly odpovídající bezprostředně po sobě následujícím operacím na stejném stroj. Vedlejším efektem aplkace metody CPM na provedtelný rozvrh je, že zjstíme všechny nejdříve možné časy zahájení, nejpozděj přípustné časy dokončení a časové rezervy operací. 4.2 KRITERIA ROZVRHU Jako krterum kvalty rozvrhu se nejčastěj volí celková doba zpracování všech úloh (makespan). Úkolem je najít takový rozvrh π, který mnmalzuje čas dokončení poslední zpracovávané operace: C max ( π ) = max{ C j}. (4.1) 1 j n Krtérum (4.1) použjeme např. v případě, kdy odběratel zadá jstou množnu zakázek J a hotové zakázky odebere a zaplatí až po ukončení poslední z nch. Často je pro každou zakázku zadán termín jejího dokončení d. V takovém případě je naším úkolem nalezení rozvrhu, který mnmalzuje ztráty spojené s nedodržením termínů. Pak můžeme pro vytvoření účelové funkce použít následujících parametrů: L = CLast( ) d časová odchylka od plánovaného ukončení úlohy { 0 } T = max, L zpoždění úlohy J, { 0 } E = max, L předsth úlohy J, přčemž Last () je funkce, jejíž hodnotou je ndex poslední operace v -té úloze. Občas se vyskytne požadavek mnmalzace rozpracované výroby, protože v systému jsou například ve formě materálu č ve formě vyplacených mezd vázány prostředky, se kterým není možné dsponovat dříve, než je hotová zakázka odevzdána. Důležtým parametrem v tomto případě je doba pobytu úlohy J v systému: J, F = C C p, Last( ) Frst( ) Frst( ) přčemž Frst () je ndex první prováděné operace v -té úloze. Další krtera rozvrhu jsou uvedena v úplné verz dsertační práce. 4.3 METODY ŘEŠENÍ ZALOŽENÉ NA KÓDOVÁNÍ DISJUNKTIVNÍM GRAFEM k Množna všech operací O může být přrozeně rozdělena do m podmnožn O, 1 k m, kde každá z nch odpovídá množně operací prováděných na k-tém stroj. Pořadí operací na k-tém stroj může k být defnováno jako permutace π k, která se vytvoří pouze z operací příslušné množny O. Výrobní rozvrh π je tedy defnován také jako množna permutací π = { π k k {1,..., m}} operací na strojích 1,...,m, pro kterou je odpovídající graf G(S) acyklcký. Problém rozvrhování zakázkové výroby můžeme znovu formulovat jako hledání provedtelného výrobního rozvrhu π, který mnmalzuje 14
15 účelovou funkc. Často se používá účelová funkce (4.1). Hodnota této funkce se rovná délce krtcké cesty v grafu G (π ). Víme, že krtcká cesta u (π ) v grafu G (π ) je posloupnost krtckých operací u ( π ) = ( u1,..., uv ), kde v je počet operací na krtcké cestě. Krtcká cesta je rozdělena do podsekvencí nazývaných krtcké bloky B h. Krtcké bloky jsou maxmální podskupny operací krtcké cesty, které obsahují operace prováděné na stejném stroj. Krtcká cesta u (π ) je tedy posloupnost krtckých bloků u( π ) = ( Bh h (1,..., g)), kde g je počet krtckých bloků na krtcké cestě u (π ). Defnce krtckých bloků je důležtá, protože pomocí ní budeme moc defnovat operátory heurstckých metod. Aby bylo možné použít stochastcké heurstcké metody pro optmalzac rozvrhu reprezentovaného orentovaným dsjunktvním grafem, je potřeba formulovat algortmus nalezení počátečního provedtelného rozvrhu, defnovat vztah sousedství, případně určt další operátory heurstckých metod (křížení, mutace) a vymezt funkc ohodnocení rozvrhu (optmalzační krterum). Algortmus pro vytvoření počátečního rozvrhu navrhl Gffler a Thomson ve [13]. Tento algortmus nám poskytne náhodný přípustný rozvrh, kterému budeme moc přřadt hodnotu účelové funkce. Sousedství je množna rozvrhů, které lze získat aplkováním operátoru přechodu do jného rozvrhu. V prác [3] bylo popsáno několk způsobů, jak měnt orentace dsjunktvních hran v grafu, aby se co nejefektvněj prohledal prostor řešení. Mez nejjednodušší patří sousedství S 1 použté v prác [25]: S 1 : Přechod ze současného řešení do nového je vytvořeno změnou orentace dsjunktvní hrany (,j) na krtcké cestě současného grafu na (j,). Jnak řečeno, S 1 vyjadřuje záměnu pořadí dvou bezprostředně následujících operací o a o j na jednom stroj v případě, že obě operace leží na krtcké cestě. Jné zajímavé sousedství bylo představeno v prác [14]: S 4 : Pro každý uzel o v krtckém bloku posuň o na úplný začátek nebo konec tohoto bloku. V lteratuře [3, 30, 33] je popsána řada dalších možností, jak tvořt sousedství v rozvrzích založených na kódování dsjunktvním grafem. Všechny operátory přechodu do jného rozvrhu jsou založeny pouze na změnách pořadí operací v rámc krtckých bloků. Pro takto defnované operátory lze dokázat, že pokud výchozí dsjunktvní graf je acyklcký, potom také každý graf vznklý jejch aplkováním je acyklcký, tedy jemu odpovídající rozvrh je provedtelný. Pokusme se o náznak tohoto důkazu. Předpokládejme, že máme problém rozvrhování zakázkové výroby reprezentovaný uzlově ohodnoceným dsjunktvním grafem, kde uzly jsou ohodnoceny kladným hodnotam. Dále předpokládejme, že žádné dvě bezprostředně po sobě následující operace jedné úlohy se neprovádějí na stejném stroj. Pro takový graf platí, že exstuje-l v grafu orentovaná dsjunktvní hrana, změnou jejíž orentace by vznkla v grafu smyčka, potom tato hrana nemůže ležet na krtcké cestě a tudíž nemůže být vybrána k otočení. Obrázek
16 Na obrázku 4.6 vdíme 3 uzly, z uzlu 1 do uzlu 3 vede dsjunktvní hrana, jejímž otočením by vznkl v grafu cyklus, protože mez uzly 1 a 3 vede ještě jná cesta než přímo po dsjunktvní hraně (1, 3). Cesta z 1 do 3 přes uzel 2 bude vždy delší než přímá cesta po hraně (1, 3), proto tato hrana nemůže ležet na krtcké cestě. 4.4 VÝSLEDKY VÝPOČTŮ V následující část jsou prezentovány výsledky z provedených expermentů souvsejících s problémem rozvrhování zakázkové a proudové výroby. Provedl jsme tyto expermenty: zkoumání hranc rozsahu problému, pro který jsou efektvně použtelné přesné metody porovnání výsledků dosažených různým stochastckým heurstckým metodam: horolezeckým algortmem, tabu search, smulovaným žíháním a genetckým algortmem srovnání reprezentace problému preferenčním seznamem s reprezentací dsjunktvním grafem Použtelnost přesných metod Metodou větví a mezí jsme řešl úlohy rozvrhování zakázkové výroby pro odstupňované rozsahy úloh. K optmalzac jsme využl algebracký modelovací systém GAMS (General Algebrac Modellng System) [7], kde je mplementována metoda větví a mezí (B&B). Pro testování jsme použl etalonové příklady [2], u kterých je známá optmální hodnota účelové funkce. Vlastností všech těchto etalonových příkladů je, že každá úloha vykonává na každém stroj právě jednu operac. V tomto expermentu jsme za mnmalzační účelovou funkc zvoll celkovou dobu trvání rozvrhu C max dle rovnce (2.6). Pro srovnání jsme tytéž úlohy řešl heurstckou metodou smulovaného žíhání. Metoda větví a mezí, pokud skončla korektně, nám vždy poskytla optmální řešení. Smulované žíhání jsme pro každý příklad spouštěl 10krát a zaznamenal jsme získanou nejlepší a průměrnou hodnotu účelové funkce. V tabulce 4.1 jsou zaznamenány všechny vypočtené hodnoty. příklad SA B & B rozsah prostor řešení optmum doba průměr nejlepší doba dosažená status n m (n!) m C max výpočtu C max C max výpočtu C max s s 74 optmum s s 47 optmum s s 96 optmum 4 5 7,96E s s 44 optmum 4 6 1,91E s s 47 optmum 5 3 1,72E s s 32 optmum 5 4 2,07E s s 35 optmum 5 5 2,48E s s 49 optmum 6 3 3,73E s s 41 optmum 6 6 1,39E s s 58 nedosažtelné ,29E s >>1000s - nedosažtelné ,96E s >>1000s - nedosažtelné ,27E s >>1000s - nedosažtelné ,724E s >>1000s - nedosažtelné Tabulka 4.1. Možnost nasazení metody větví a mezí v porovnání se smulovaným žíháním 16
17 Z naměřených výsledků vyplývá, že přesným metodam lze získat optmální řešení v reálném čase pouze pro úlohy do omezeného rozsahu. Konkrétně algortmus větví a mezí byl za 1000 sekund schopen prozkoumat řádově průměrně možných řešení. To odpovídá rozsahu problému o velkost n = 5 jobů, z nchž každý má m = 5 operací. Př řešení úloh heurstckou metodou sce není zaručeno, že jsme získal optmální hodnotu účelové funkce, protože se neprozkoumal celý prostor řešení, ale heurstcká metoda je schopna nám v přjatelně dlouhém čase poskytnout řešení, které je přjatelné Srovnání heurstckých metod Na skupně 12t etalonových příkladů [2] rozvrhování proudové výroby jsme optmalzoval účelovou funkc C max těmto stochastckým heurstckým metodam: HC horolezecký algortmus, TS tabu search, SA smulované žíhání, GA genetcký algortmus. Pro každý příklad jsme nechal algortmy proběhnout 30krát, vypočetl jsme průměrnou hodnotu účelové funkce a zaznamenal nejlepší nalezené řešení. Pro všechny metody byla délka trvání výpočtu omezena počtem volání účelové funkce úměrným počtu úloh: počet volání funkce = 10 n 2. Počáteční permutace úloh byly pro všechny metody generovány náhodně. Doba trvání výpočtu na počítač pro největší příklad o rozsahu 20 úloh 75 operací nepřesáhla 100 sekund. Z provedených expermentů můžeme vyvodt tyto závěry: z navržených přístupů řešení rozvrhovacího problému jsme nejlepších výsledků dosahoval s použtím metody tabu search, zatímco pro rozsáhlejší příklady se osvědčly metody smulované žíhání a genetcký algortmus. Všechny tř metody (TS, SA a GA) jsou výrazně lepší v porovnání s metodou horolezeckého algortmu. Je nutné podotknout, že vzájemné porovnání metod je vždy relatvní, výkonnost jednotlvých metod záleží na nastavení jednotlvých parametrů metod. My jsme se pokoušel parametry metod nastavovat co nejlépe na základě zkušeností získaných po provedení mnoha expermentů s každou metodou Srovnání reprezentací Na základě počítačového programu Plánování výroby 3.0 [5] bylo provedeno srovnání reprezentací problému rozvrhování zakázkové výroby pomocí dsjunktvního grafu s reprezentací pomocí preferenčního seznamu př použtí optmalzačních metod: smulované žíhání, tabu search, genetcký algortmus. Z porovnání účnnost způsobů kódování mez dsjunktvním grafem a preferenčním seznamem je patrné, že metody používající kódování dsjunktvním grafem jsou ve všech případech účnnější. Metody založené na kódování preferenčním seznamem jsou sce schopny pro svou jednoduchost za stejnou dobu vykonat řádově více svých kroků, ale nejsou schopny dosáhnout optma u poměrně jednoduchých příkladů. I přes svou časovou náročnost lze metody založené na kódování dsjunktvním grafem upřednostnt před metodam používajícím kódování preferenčním seznamem. 17
18 5 PROBLÉMY ROZVRHOVÁNÍ V REÁLNÝCH VÝROBNÍCH PODMÍNKÁCH V předcházející kaptole byl popsán klascký model problému rozvrhování zakázkové výroby. V prax je možné se setkat s řadou jeho modfkací (zohlednění dopravních dávek, rozvrhování montážních operací, různé výrobní způsoby, voltelnost strojů, omezená kapacta mezskladů apod.). V této kaptole vyjdeme z modelu prezentovaného ve [15] a budeme studovat možnost reprezentace nejčastějších reálných podmínek pomocí tzv. rozšířeného dsjunktvního grafu. 5.1 MONTÁŽNÍ A DISTRIBUČNÍ OPERACE V technologckém postupu méně složtých výrobků se často setkáme s potřebou kompletovat celek z více částí. S těmto celky nezřídka dále provádíme další montážní operace, než vznkne konečný výrobek. Montážní celek může být určen k dalšímu zpracování nebo může být samostatným prodávaným produktem. Obrácenou operací montáže je operace typu dstrbuce. Často je úkolem rozvrhnout výrobu, ve které se vyskytuje současně několk dstrbučních operací a několk montážních operací. Nechť G = ( V, C D) je dsjunktvní graf. V klascké podobě dsjunktvního grafu má každý uzel (kromě uzlů 0 a *) v podgrafu G 0 = ( V, C) pouze jednoho předchůdce a pouze jednoho následníka. Problém s montážním operacem lze jednoduše modelovat takovým způsobem že přpustíme, aby uzel reprezentující montážní (resp. dstrbuční) operac měl více předchůdců (resp. následníků), spojených s tímto uzlem konjunktvním hranam. Ukázku grafu G 0 = ( V, C) rozšířeného tímto způsobem můžeme vdět na obrázku 5.1. Operace 17 je dstrbuční a operace 4, 10, 13 a 20 jsou montážní. 18 Obrázek 5.1. Rozšíření dsjunktvního grafu o dstrbuční a montážní operace Jako jednu úlohu v tomto případě chápeme množnu operací reprezentovaných uzly, které jsou navzájem pospojovány konjunktvním hranam (kromě hran spojených s uzly 0 a *). Na obrázku 5.1 jsou tedy 3 úlohy: první úloha je tvořená operacem 1 až 7, druhá úloha operacem 8 až 16 a třetí úloha operacem 17 až 23.
19 5.2 ČASY PŘÍPRAVY, TECHNOLOGICKÉ A DOPRAVNÍ ČASY, TERMÍNY SPUŠTĚNÍ A TERMÍNY DOKONČENÍ ÚLOH Nyní se podrobně podíváme na jednu (k-tou) operac. Klascký model rozvrhování zakázkové výroby počítá pouze s jedním výrobním časem p operace (process tme). Ale v prax doba trvání k-té k operace zahrnuje ještě několk dalších časů se kterým musíme počítat: čas přípravy, technologcký čas a dopravní čas. Tyto časy mohou být reprezentovány pomocí ohodnocení hran v dsjunktvním grafu. Čas přípravy operace (setup tme) je doba potřebná např. k seřízení stroje. Časem přípravy chápeme dobu přípravy stroje, po kterou ještě není nutné, aby byla dokončena operace stejné úlohy na předchozím stroj, protože v opačném případě by tento čas bylo možné jednoduše zahrnout do výrobního času. Nechť každá dsjunktvní hrana {, j} je reprezentována dvěma opačným orentovaným hranam (, j) a (j, ), Úkolem optmalzace bude vybrat pouze jednu z této dvojce hran. Jsou-l časy přípravy na pořadí operací nezávslé, potom každé dsjunktvní hraně (, j) přřadíme ohodnocení s j, což je čas přípravy operace o j. Jsou-l časy přípravy na pořadí závslé, potom každou dsjunktvní hranu (, j) ohodnotíme hodnotou s j, což je čas přípravy operace o j, kterou předchází na stejném stroj operace o. Technologcký čas τ k (technologc tme) je doba, po kterou musí úloha po skončení vlastní (k-té) operace čekat, než může postoupt na další stroj. Vlastní stroj ale přtom už může být použt pro zpracování další operace jné úlohy. Dopravní čas t k (transport tme) je doba dopravy úlohy na následující pracovště. Technologcký a dopravní čas mají na čas začátku navazující operace stejný vlv, proto je můžeme sečíst a nahradt jednou hodnotou, kterou ohodnotíme konjunktvní hranu vedoucí k následující operac stejné úlohy. Nyní předpokládejme, že -tá úloha má stanoven nejdříve možný čas zahájení ρ a termín dokončení d. V dsertační prác je ukázáno, že problém mnmalzace maxmálního zpoždění úlohy může být modelován dsjunktvním grafem pomocí ohodnocení hran spojujících uzly 0 a *. Nakonec orentací dsjunktvních hran pomocí optmalzační metody získáme orentovaný graf, v němž jsou ohodnoceny uzly hodnotam p k a hrany hodnotam h j. Metodou nalezení krtcké cesty snadno získáme dobu trvání rozvrhu, nejdříve možné termíny začátků operací, nejpozděj přípustné termíny ukončení operací a časové rezervy operací. 5.3 DOPRAVNÍ DÁVKY Požadovaný objem výroby každé úlohy je její výrobní dávka. Výrobní dávka může být předávána z - tého na bezprostředně následující j-tý stroj jedním následujících tří způsobů postupný, souběžný a smíšený způsob [39,41]. Př postupném výrobním způsobu předává pracovště celou výrobní dávku na j-té pracovště až po jejím úplném dokončení na -tém pracovšt. Mnmální průběžná doba výrobní dávky je př postupném způsobu v porovnání s ostatním způsoby vysoká. Naprot tomu v souběžném výrobním způsobu je výrobní dávka rozdělena na u dopravních dávek, které se předávají postupně ze stroje přděleného -té operac na bezprostředně následující stroj přdělený j-té operac. Zpracování dopravní dávky začne na následujícím pracovšt hned, jakmle dorazí dopravní dávka z předcházejícího pracovště. Př čekání na další dopravní dávku se však mohou na strojích vyskytovat zbytečné prostoje. Př smíšeném výrobním způsobu je stanovena podmínka, že zpracování výrobní dávky nesmí být na žádné operac přerušeno. Když je stroj přřazený j-té operac volný, není nutné čekat na dokončení celé výrobní dávky na předcházejícím pracovšt. Provedení j-té operace může začít dříve, ale tak, aby zpracování výrobní dávky na j-té operac nebylo přerušeno. Čas zpracování -té operace 19
20 jedné dopravní dávky je q = p / u, kde p je čas zpracování -té operace celé výrobní dávky. Z obrázku 5.2. lze snadno odvodt velkost největšího časového překrytí v j dvou po sobě následujících operací o a o j : v j = mn{ p q, p q } (5.1) j j Pokud jsou bezprostředně po sobě následujícím operacím a j přděleny různé stroje a výrobní dávka je rozdělena na několk dopravních dávek, zmenšíme ohodnocení konjunktvní hrany (, j) v dsjunktvním grafu o hodnotu v j. Př započítání technologckých a dopravních časů bude tedy ohodnocení konjunktvní hrany (, j) rovno h = τ + t v. j j j Obrázek 5.2. Časové překrytí operací př souběžném výrobním způsobu 5.4 APLIKACE STOCHASTICKÝCH HEURISTICKÝCH METOD Rozšířeným dsjunktvním grafem rozumíme graf, ve kterém se mohou vyskytovat uzly odpovídající dstrbučním a montážním operacím a kde jsou ohodnoceny uzly hodnotam p k a hrany hodnotam h j. Pro vytvoření počátečního rozvrhu jsme upravl algortmus z [13] do podoby, která je použtelná pro rozšířený dsjunktvní graf. Tento algortmus, jenž je publkován v dsertační prác, nám poskytne přípustný rozvrh π = { π 1,..., π m }, kterému můžeme přřadt ohodnocení (například využjeme CPM). Vytvořený rozvrh použjeme jako počáteční řešení pro aplkování některé z heurstckých optmalzačních metod. Operátor přechodu do jného řešení je možné defnovat stejným způsoby jako bylo popsáno v kaptole 4.3. V rozšířeném dsjunktvním grafu přpouštíme exstenc precedenčních omezení daných konjunktvním hranam mez operacem na jednom stroj a také ohodnocení dsjunktvních hran kladným hodnotam. Pro přípustný graf tohoto druhu ovšem právě proto, že přpouštíme ohodnocení hran, není splněna podmínka, že aplkováním operátorů přechodu do jného rozvrhu vznkne vždy přípustný graf (bez smyček). Proto musíme kontrolovat provedtelnost vygenerovaného rozvrhu v každém kroku našeho algortmu. 5.5 VOLITELNOST STROJŮ V problému voltelnost strojů [10], nemusí být pro některou operac pevně určen jeden konkrétní stroj, ale seznam strojů, na jednom z nchž se má daná operace voltelně provést. Doba trvání stejné operace její cena přtom může být na různých strojích různá. Zadání problému obsahuje kromě seznamu ohodnocených uzlů odpovídajících operacím a seznamu ohodnocených konjunktvních hran odpovídajících technologckým návaznostem operací, též pro některé operace seznam alternatvních strojů s časy trvání. Úkolem heurstcké metody, pro nž se pokusíme navrhnout reprezentac, bude stanovt nejen nejlepší pořadí operací na strojích, ale také pro operac vybrat z jejího seznamu stroj. Rozvrh π je představován dvěma řetězc parametrů π = {X, Y}. Řetězec Y popsuje pořadí provádění operací na jednotlvých strojích (např. pomocí reprezentace založené na operacích) př známém přřazení operací ke strojům. Řetězec X obsahuje tolk prvků, kolk je v problému operací, 20
21 pro které má být vybrán stroj z více možných strojů. Každý prvek v řetězc X je vyjádřen ndexem použtého stroje. Pro takto reprezentovaný problém jsme navrhl tř specální genetcké algortmy, které jsou popsány v dsertační prác. V těchto tezích naznačíme pouze postup prvního z nch: Genetcký algortmus pro řešení problému s nesourodým parametry Uvažujeme jednce, který je reprezentován dvěma částm řešení X a Y. Každému jednc lze přřadt hodnotu funkce fttness. V každé část řešení X, Y můžeme odděleně snadno defnovat operátory křížení a mutace. Počáteční populace se vygeneruje náhodně. V každé terac se z populace náhodně vybere její podmnožna, z níž dva nejlepší jednc se stanou rodč. Náhoda rozhodne, jestl křížení rodčů proběhne v část X nebo v část Y. Křížením vznknou dva potomc. Každý potomek se s malou pravděpodobností podrobí mutac. Opět náhoda rozhodne, jestl mutace proběhne v část X nebo v část Y. Nakonec nově vznklí potomc nahradí dva nejhorší jednce z náhodně vybrané podmnožny populace. Algortmus končí provedením daného počtu terací nebo vypršením časového lmtu. V průběhu algortmu se zaznamenává jednec s nejlepší hodnotou funkce fttnes. 5.6 DALŠÍ ASPEKTY REÁLNÉ VÝROBY V reálné zakázkové výrobě se př rozvrhování můžeme setkat s množstvím dalších specfckých požadavků. Dsertační práce se zaměřla jen na řešení nejdůležtějších z nch. Ostatním aspektům se věnujme jen přehledově. Často před zahájením výroby neznáme všechny zakázky, které máme zpracovávat, nýbrž zákazníc své objednávky ční postupně nahodle v průběhu doby, kdy jsou naše stroje vytíženy prací na předchozích zakázkách. Je vhodné zapracování nové objednávky do našeho rozvrhu on-lne a v reálném čase. Př obdržení nové zakázky přerozvrhujeme výrobu (reschedulng). Proces rozvrhování je pak kontnuální a uplatní se v něm krterum nejdelší průběžné doby zakázky. Další omezení dostaneme v případech, když je třeba rozvrh přzpůsobt pracovní době, když kapacta mezoperačních skladů je omezená, apod. Možnost přerušení operace v určtém okamžku je možné modelovat v dsjunktvním grafu tak, že operac rozdělíme na dvě operace, mez které zařadíme uzel představující hypotetckou operac s nulovou délkou trvání. V neposlední řadě se ve výrobě často vyskytuje spousta neurčtých vstupních údajů. Tématu rozvrhování s neurčtým údaj se věnuje 6. kaptola dsertační práce. 5.7 NÁVRH SOFTWAROVÉHO VYBAVENÍ PRO ROZVRHOVÁNÍ ZAKÁZKOVÉ VÝROBY Pro řešení problémů rozvrhování zakázkové výroby se zohledněním reálných výrobních podmínek jsme navrhl a pokusl jsme se realzovat prototyp softwarového vybavení. Předsevzal jsme s, že vytvoříme počítačový program, pomocí kterého bude možné snadno a přehledně vytvářet a optmalzovat výrobní rozvrhy na základě známých technologckých postupů. Náš program pracuje s modelem rozvrhování zakázkové výroby, který zahrnuje výrobky obsahující montážní a dstrbuční operace, doplňkové časy dopravní dávky. V programu jsme použl reprezentac pomocí rozšířeného dsjunktvního grafu. Nejprve jsme navrhl relační model databáze, tj strukturu tabulek, odkud se mají data načítat a jak ukládat výsledky. V dsertační prác jsou pak podrobně popsány tř základní navržené moduly programu: 1. programový modul pro přípravu dat do struktury grafu, 2. programový modul pro výpočet a 3. programový modul na prezentac výsledků. K programování jsme použl vývojový 21
Lokace odbavovacího centra nákladní pokladny pro víkendový provoz
Markéta Brázdová 1 Lokace odbavovacího centra nákladní pokladny pro víkendový provoz Klíčová slova: odbavování záslek, centrum grafu, vážená excentrcta vrcholů sítě, časová náročnost odbavení záslky, vážená
VíceEKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY
. přednáška EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY Ekonomcko matematcké metody (též se užívá název operační analýza) sou metody s matematckým základem, využívané především v ekonomcké oblast, v oblast řízení a
VíceMODELOVÁNÍ A SIMULACE
MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký
VíceSIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10
SIMULACE numercké řešení dferencálních rovnc smulační program dentfkace modelu Numercké řešení obyčejných dferencálních rovnc krokové metody pro řešení lneárních dferencálních rovnc 1.řádu s počátečním
VíceALGORITMUS SILOVÉ METODY
ALGORITMUS SILOVÉ METODY CONSISTENT DEFORMATION METHOD ALGORITHM Petr Frantík 1, Mchal Štafa, Tomáš Pal 3 Abstrakt Příspěvek se věnuje popsu algortmzace slové metody sloužící pro výpočet statcky neurčtých
VíceIterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2
Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS Iterační výpočty projekt č.. lstopadu 1 Autor: Mlan Setler, setl1@stud.ft.vutbr.cz Fakulta Informačních Technologí Vysoké Učení Techncké v Brně Obsah 1 Úvod...
Více1. Nejkratší cesta v grafu
08. Nekratší cesty. Úloha obchodního cestuícího. Heurstky a aproxmační algortmy. Metoda dynamckého programování. Problém batohu. Pseudopolynomální algortmy 1. Nekratší cesta v grafu - sled e lbovolná posloupnost
VíceIvana Linkeová SPECIÁLNÍ PŘÍPADY NURBS REPREZENTACE. 2 NURBS reprezentace křivek
25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Ivana Lnkeová SPECIÁLNÍ PŘÍPADY NURBS REPREZENTACE Abstrakt Příspěvek prezentuje B-splne křvku a Coonsovu, Bézerovu a Fergusonovu kubku jako specální případy
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se
VícePOUŽITÍ METODY PERT PŘI ŘÍZENÍ PROJEKTŮ
5. Odborná konference doktorského studa s meznárodní účastí Brno 003 POUŽITÍ METODY PERT PŘI ŘÍZEÍ PROJEKTŮ A USAGE OF PERT METHOD I PROJECT MAAGEMET Vladslav Grycz 1 Abstract PERT Method and Graph theory
VícePOROVNÁNÍ MEZI SKUPINAMI
POROVNÁNÍ MEZI SKUPINAMI Potřeba porovnání počtů mez určtým skupnam jednců např. porovnání počtů onemocnění mez kraj nebo okresy v prax se obvykle pracuje s porovnáním na 100.000 osob. Stuace ale nebývá
Více6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu
6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a
VíceVkládání pomocí Viterbiho algoritmu
Vkládání pomocí Vterbho algortmu Andrew Kozlk KA MFF UK C Vkládání pomocí Vterbho algortmu Cíl: Využít teor konvolučních kódů. Motvace: Vterbho dekodér je soft-decson dekodér. Každému prvku nosče přřadíme
Víceu (x i ) U i 1 2U i +U i+1 h 2. Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami bud přímo
Metoda sítí základní schémata h... krok sítě ve směru x, tj. h = x x q... krok sítě ve směru y, tj. q = y j y j τ... krok ve směru t, tj. τ = j... hodnota přblžného řešení v uzlu (x,y j ) (Possonova rovnce)
VíceUNIVERZITA PARDUBICE ÚSTAV ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY POČÍTAČOVÁ PODPORA ŘÍZENÍ ROZSÁHLÝCH PROJEKTŮ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
UNIVERZITA PARDUBICE ÚSTAV ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY POČÍTAČOVÁ PODPORA ŘÍZENÍ ROZSÁHLÝCH PROJEKTŮ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2007 MARTIN ŠVÁHA UNIVERZITA PARDUBICE ÚSTAV ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY POČÍTAČOVÁ
VíceMonte Carlo metody Josef Pelikán CGG MFF UK Praha.
Monte Carlo metody 996-7 Josef Pelkán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cun.cz http://cgg.mff.cun.cz/~pepca/ Monte Carlo 7 Josef Pelkán, http://cgg.ms.mff.cun.cz/~pepca / 44 Monte Carlo ntegrace Odhadovaný
VíceDále budeme předpokládat, že daný Markovův řetězec je homogenní. p i1 i 2
4 Markovovy řetězce se nazývá Markovův řetě- Defnce 7 Posloupnost celočíselných náhodných velčn {X n } zec (markovský řetězec), jestlže P(X n+ = j X n = n,, X 0 = 0 ) = P(X n+ = j X n = n ) (7) pro každé
Více2.5. MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC
25 MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak lze obecnou soustavu lneárních rovnc zapsat pomocí matcového počtu; přesnou formulac podmínek řeštelnost soustavy lneárních rovnc
VíceČísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.
Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný
VíceLOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K
LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2
VíceNumerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První
Numercká matematka 1 Parabolcké rovnce Budeme se zabývat rovncí t = D u x (1) tato rovnce určuje chování funkce u(t, x), která závsí na dvou proměnných. První proměnná t mívá význam času, druhá x bývá
Více8a.Objektové metody viditelnosti. Robertsův algoritmus
8a. OBJEKOVÉ MEODY VIDIELNOSI Cíl Po prostudování této kaptoly budete znát metody vdtelnost 3D objektů na základě prostorových vlastností těchto objektů tvořt algortmy pro určování vdtelnost hran a stěn
VíceCHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.
CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt
VíceOptimalizační přístup při plánování rekonstrukcí vodovodních řadů
Optmalzační přístup př plánování rekonstrukcí vodovodních řadů Ladslav Tuhovčák*, Pavel Dvořák**, Jaroslav Raclavský*, Pavel Vščor*, Pavel Valkovč* * Ústav vodního hospodářství obcí, Fakulta stavební VUT
VíceSimulační metody hromadné obsluhy
Smulační metody hromadné osluhy Systém m a model vstupy S výstupy Systém Část prostředí, kterou lze od jeho okolí oddělt fyzckou neo myšlenkovou hrancí Model Zjednodušený, astraktní nástroj používaný pro
VíceŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB. Vladimír Hanta 1, Ivan Gros 2
ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB Vladmír Hanta 1 Ivan Gros 2 Vysoká škola chemcko-technologcká Praha 1 Ústav počítačové a řídcí technky 2 Ústav
VíceEnergie elektrického pole
Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný
VíceInformační systémy plánování výroby - pokročilé rozvrhování
Tento materiál vznikl jako součást projektu EduCom, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR. Informační systémy plánování výroby - pokročilé rozvrhování Technická univerzita
VíceRozvrhování výroby. František Koblasa Technická univerzita v Liberci. TU v Liberci
Tento materiál vznikl jako součást projektu EduCom, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR. Rozvrhování výroby Technická univerzita v Liberci INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
VícePřemysl Žiška, Pravoslav Martinek. Katedra teorie obvodů, ČVUT Praha, Česká republika. Abstrakt
ALGORITMUS DIFERENCIÁLNÍ EVOLUCE A JEHO UŽITÍ PRO IDENTIFIKACI NUL A PÓLŮ PŘE- NOSOVÉ FUNKCE FILTRU Přemysl Žška, Pravoslav Martnek Katedra teore obvodů, ČVUT Praha, Česká republka Abstrakt V příspěvku
VíceANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN
ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší
VíceŘízení projektů. Konstrukce síťového grafu pro řízení projektů Metoda CPM Metoda PERT
Řízení projektů Konstrukce síťového grafu pro řízení projektů Metoda CPM Metoda PERT 1 Úvod základní pojmy Projekt souhrn činností, které musí být všechny realizovány, aby byl projekt dokončen Činnost
VíceGrantový řád Vysoké školy ekonomické v Praze
Vysoké školy ekonomcké v Praze Strana / 6 Grantový řád Vysoké školy ekonomcké v Praze Anotace: Tato směrnce s celoškolskou působností stanoví zásady systému pro poskytování účelové podpory na specfcký
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019
Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete
VíceVysoké školy ekonomické v Praze
Strana 1 / 7 Grantový řád Anotace: Tato směrnce s celoškolskou působností stanoví zásady systému pro poskytování účelové podpory na specfcký vysokoškolský výzkum na Vysoké škole ekonomcké v Praze. Jméno:
VíceANALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V INVESTIČNÍM PROCESU
AALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V IVESTIČÍM PROCESU Jří Marek ) ABSTRAKT Príspevek nformuje o uplatnene manažmentu rzka v nvestčnom procese. Uvádza príklad kalkulace rzka a analýzu jeho ctlvost. Kľúčové
VícePlánování a rozvrhování. Podmínky pro zdroje. Typy zdrojů. Zdroje. časové vztahy. omezení kapacity zdrojů. Roman Barták, KTIML
12 Plánování a rozvrhování Roman Barták, KTIML roman.bartak@mff.cun.cz http://ktml.mff.cun.cz/~bartak Rozvrhování jako CSP Rozvrhovací problém je statcký, takže může být přímo zakódován jako CSP. Splňování
VíceSÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G.
SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. yto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. yto procesy se nazývaí
VíceVLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ
VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ Abstrakt Martn Cupal 1 Prncp tvorby tržní ceny nemovtost je sce založen na tržní nabídce a poptávce, avšak tento trh je značně nedokonalý. Nejvíce ovlvňuje
VíceVícekriteriální rozhodování. Typy kritérií
Vícekrterální rozhodování Zabývá se hodnocením varant podle několka krtérí, přčemž varanta hodnocená podle ednoho krtéra zpravdla nebývá nelépe hodnocená podle krtéra ného. Metody vícekrterálního rozhodování
VíceNeparametrické metody
Neparametrcké metody Přestože parametrcké metody zaujímají klíčovou úlohu ve statstcké analýze dat, je možné některé problémy řešt př neparametrckém přístupu. V této přednášce uvedeme neparametrcké odhady
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV POČÍTAČOVÝCH SYSTÉMŮ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SYSTEMS OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHY
VíceNumerické metody optimalizace
Numercké metody optmalzace Numercal optmzaton methods Bc. Mloš Jurek Dplomová práce 2007 Abstrakt Abstrakt česky Optmalzační metody představují vyhledávání etrémů reálných funkcí jedné nebo více reálných
VíceZáklady finanční matematiky
Hodna 38 Strana 1/10 Gymnázum Budějovcká Voltelný předmět Ekonome - jednoletý BLOK ČÍSLO 6 Základy fnanční matematky ředpokládaný počet : 5 hodn oužtá lteratura : Frantšek Freberg Fnanční teore a fnancování
VíceMOŽNOSTI MODELOVÁNÍ A ŘEŠENÍ STŘETU PŘI OBJASŇOVÁNÍ FINGOVANÝCH DOPRAVNÍCH NEHOD
XV. konference absolventů studa technckého znalectví s meznárodní účastí MOŽNOSTI MODELOVÁNÍ A ŘEŠENÍ STŘETU PŘI OBJASŇOVÁNÍ FINGOVANÝCH DOPRAVNÍCH NEHOD Zdeněk Mrázek 1 1. Ř ešení stř etu u fngovaných
VíceVYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2013 Radka Luštincová
VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2013 Radka Luštncová VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Název bakalářské práce: Aplkace řezných
VíceKorelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d
Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím
Více3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina
3 VBRANÉ MODEL NÁHODNÝCH VELIČIN 3. Náhodná velčna Tato kaptola uvádí stručný pops vybraných pravděpodobnostních modelů spojtých náhodných velčn s důrazem na jejch uplatnění př rozboru spolehlvost stavebních
Vícepermutace, popisující nějaké symetrie, je i π permutace, popisující nějakou symetrii.
DSM Cv Pólyova věta Budeme se zabývat objekty (na množně X - to jsou vrcholy těchto objektů) s různým prvky symetre (například to mohou být různé brože, tsky, ale také strukturní vzorce různých chemckých
VíceTepelná kapacita = T. Ē = 1 2 hν + hν. 1 = 1 e x. ln dx. Einsteinův výpočet (1907): Soustava N nezávislých oscilátorů se stejnou vlastní frekvencí má
Tepelná kapacta C x = C V = ( ) dq ( ) du Dulong-Pettovo pravdlo: U = 3kT N C V = 3kN x V = T ( ) ds x Tepelná kapacta mřížky Osclátor s kvantovanou energí E n = ( n + 2) hν má střední hodnotu energe (po
VíceREGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení
REGRESNÍ ANALÝZA 13. cvčení Závslost náhodných velčn Závslost mez kvanttatvním proměnným X a Y: Funkční závslost hodnotam nezávsle proměnných je jednoznačně dána hodnota závslé proměnné. Y=f(X) Stochastcká
VíceVysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky LOGICKÉ OBVODY pro kombinované a distanční studium
Vysoká škola báňská - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky LOGICKÉ OBVODY pro kombnované a dstanční studum Zdeněk Dvš Zdeňka Chmelíková Iva Petříková Ostrava ZDENĚK DIVIŠ, ZDEŇKA
VíceSÍŤOVÁ ANALÝZA. Kristýna Slabá, kslaba@students.zcu.cz. 1. července 2010
SÍŤOVÁ ANALÝZA Kristýna Slabá, kslaba@students.zcu.cz 1. července 2010 Obsah 1 Úvod do síťové analýzy Hlavní metody síťové analýzy a jejich charakteristika Metoda CPM Metoda PERT Nákladová analýza Metoda
VíceČísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...)
. NÁHODNÁ VELIČINA Průvodce studem V předchozích kaptolách jste se seznáml s kombnatorkou a pravděpodobností jevů. Tyto znalost použjeme v této kaptole, zavedeme pojem náhodná velčna, funkce, které náhodnou
VíceMANAŽERSKÉ ROZHODOVÁNÍ
MANAŽERSKÉ ROZHODOVÁNÍ Téma 14 POSUZOVÁNÍ A HODNOCENÍ VARIANT doc. Ing. Monka MOTYČKOVÁ (Grasseová), Ph.D. Unverzta obrany Fakulta ekonomka a managementu Katedra voenského managementu a taktky Kouncova
Víceí I - 13 - Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materiálu Prof. Ing. J. Šeda, DrSc. KDAIZ - PJPI
- 13 - í Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materálu Prof. ng. J. Šeda, DrSc. KDAZ - PJP Na našem pracovšt byl vypracován program umožňující modelovat průchod záření gama metodou Monte Carlo, homogenním
VíceČASOVÁ KOORDINACE SPOJŮ VEŘEJNÉ HROMADNÉ DOPRAVY NA ÚSECÍCH DOPRAVNÍ SÍTĚ
ČASOVÁ KOORDINACE SPOJŮ VEŘEJNÉ HROMADNÉ DOPRAVY NA ÚSECÍCH DOPRAVNÍ SÍTĚ THE TIME COORDINATION OF PUBLIC MASS TRANSPORT ON SECTIONS OF THE TRANSPORT NETWORK Petr Kozel 1 Anotace: Předložený příspěvek
VíceMetody síťové analýzy
Metody síťové analýzy Řeší problematiku složitých systémů, zejména pak vazby mezi jejich jednotlivými prvky. Vychází z teorie grafů. Základní metody síťové analýzy: CPM (Critical Path Method) deterministický
VíceXXX. ASR '2005 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, April 29,
XXX. ASR '2005 Semnar, Instruments and Control, Ostrava, Aprl 29, 2005 449 Usng flockng Algorthm and Vorono Dagram for Moton Plannng of a Swarm of Robots Plánování pohybu skupny robotů pomocí flockng algortmu
VíceOperační výzkum. Síťová analýza. Metoda CPM.
Operační výzkum Síťová analýza. Metoda CPM. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
Více7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM
7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM Průvodce studem Předchozí kaptoly byly věnovány pravděpodobnost a tomu, co s tímto pojmem souvsí. Nyní znalost z počtu pravděpodobnost aplkujeme ve statstce. Předpokládané
VíceDopravní plánování a modelování (11 DOPM )
Department of Appled Mathematcs Faculty of ransportaton Scences Czech echncal Unversty n Prague Dopravní plánování a modelování (11 DOPM ) Lekce 5: FSM: rp dstrbuton Prof. Ing. Ondře Přbyl, Ph.D. Ing.
VíceUNIVERZITA PARDUBICE
UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA EKONOMICKO SPRÁVNÍ ÚSTAV SYSTÉMOVÉHO INŢENÝRSTVÍ A INFORMATIKY EVOLUČNÍ ALGORITMY V OPTIMALIZAČNÍCH PROBLÉMECH VEŘEJNÉ SPRÁVY DISERTAČNÍ PRÁCE AUTOR PRÁCE: Ing. Jan Panuš ŠKOLITEL:
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA
MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra Matematky Řetězové zlomky Dplomová práce Brno 04 Autor práce: Bc. Petra Dvořáčková Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Bblografcký záznam
VíceSpojité regulátory - 1 -
Spojté regulátory - 1 - SPOJIÉ EGULÁOY Nespojté regulátory mají většnou jednoduchou konstrukc a jsou levné, ale jsou nevhodné tím, že neudržují regulovanou velčnu přesně na žádané hodnotě, neboť regulovaná
VíceAplikace simulačních metod ve spolehlivosti
XXVI. ASR '2001 Semnar, Instruments and Control, Ostrava, Aprl 26-27, 2001 Paper 40 Aplkace smulačních metod ve spolehlvost MARTINEK, Vlastml Ing., Ústav automatzace a nformatky, FSI VUT v Brně, Techncká
VícePQ-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase
-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase ermutace s předepsanými intervaly Označme [n] množinu {1, 2,..., n}. Mějme permutaci π = π 1, π 2,..., π n množiny [n]. Řekneme, že množina S
VíceAPLIKACE MATEMATICKÉHO PROGRAMOVÁNÍ PŘI NÁVRHU STRUKTURY DISTRIBUČNÍHO SYSTÉMU
APLIKACE MATEMATICKÉHO PROGRAMOVÁNÍ PŘI NÁVRHU STRUKTURY DISTRIBUČNÍHO SYSTÉMU APPLICATION OF MATHEMATICAL PROGRAMMING IN DESIGNING THE STRUCTURE OF THE DISTRIBUTION SYSTEM Martn Ivan 1 Anotace: Prezentovaný
VícePřednášky část 4 Analýza provozních zatížení a hypotézy kumulace poškození, příklady. Milan Růžička
Přednášky část 4 Analýza provozních zatížení a hypotézy kumulace poškození, příklady Mlan Růžčka mechanka.fs.cvut.cz mlan.ruzcka@fs.cvut.cz Analýza dynamckých zatížení Harmoncké zatížení x(t) přes soubor
Více24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB
24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci
Více9 PŘEDNÁŠKA 9: Heisenbergovy relace neurčitosti, důsledky. Tunelový jev. Shrnutí probrané látky, příprava na zkoušku.
9 PŘEDNÁŠKA 9: Hesenbergovy relace neurčtost, důsledky. Tunelový jev. Shrnutí probrané látky, příprava na zkoušku. Hesenbergovy relace neurčtost(tnqu.5., SKM) Jednoduchý pohled na věc: Vždy exstuje určtá
VíceMATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ
MTMTICKÁ TORI ROZODOVÁNÍ odklady k soustředění č. 3 ráce s neurčtostí Většna našch znalostí o reálném světě je zatížena ve větší č menší míře neurčtostí. Na druhou stranu, schopnost rozhodovat se v stuacích,
VíceČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl
ČVUT FEL X16FIM Fnanční Management Semestrální projekt Téma: Optmalzace zásobování teplem Vypracoval: Marek Handl Datum: květen 2008 Formulace úlohy Pro novou výstavbu 100 bytových jednotek je třeba zvolt
VíceČasové rezervy. Celková rezerva činnosti
Časové rezervy Celková rezerva činnosti CR Volná rezerva činnosti VR Nezávislá rezerva činnosti - NR Celková rezerva činnosti Maximální počet časových jednotek, které jsou k dispozici pro provedení činnosti,
VíceKinetika spalovacích reakcí
Knetka spalovacích reakcí Základy knetky spalování - nauka o průběhu spalovacích reakcí a závslost rychlost reakcí na různých faktorech Hlavní faktory: - koncentrace reagujících látek - teplota - tlak
VíceFinanční matematika. Téma: Důchody. Současná hodnota anuity
Fnanční matematka Téma: Důchody Současná hodnota anuty Důchody Defnce: Důchodem se rozumí pravdelné platby ve stejné výš, tzv. anuty Pozor na nejednotnost termnologe Různé možnost rozdělení důchodů Členění
Více4EK212 Kvantitativní management. 7.Řízení projektů
4EK212 Kvantitativní management 7.Řízení projektů 6.5 Řízení projektů Typická aplikace teorie grafů Projekt = soubor činností Příklady: Vývoj a uvedení nového výrobku Výstavba či rekonstrukce objektu Plán
VíceMechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory
Mechatroncké systémy s elektroncky komutovaným motory 1. EC motor Uvedený motor je zvláštním typem synchronního motoru nazývaný též bezkartáčovým stejnosměrným motorem (anglcky Brushless Drect Current
VícePROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO
PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO MAPOVÁNÍ WEBOVÝCH STRÁNEK ŘIMNÁČ MARTIN 1, ŠUSTA RICHARD 2, ŽIVNŮSTKA JIŘÍ 3 Katedra řídcí technky, ČVUT-FEL, Techncká 2, Praha 6, tel. +42 224 357 359, fax. +
VíceHodnocení účinnosti údržby
Hodnocení účnnost ekonomka, pojmy, základní nástroje a hodnocení Náklady na údržbu jsou nutné k obnovení funkce výrobního zařízení Je potřeba se zabývat ekonomckou efektvností a hodnocením Je třeba řešt
VíceA u. jsou po řadě počáteční a koncové body úsečky; t je parametr:
1 Úvod Trangulace oblast má dnes využtí například v počítačové grafce nebo numercké matematce, kde základní algortmy pro výpočet parcálních dferencálních rovnc vyžadují rozdělení zadané souvslé oblast
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární
VíceMODELOVÁNÍ SEISMICKÉHO ZDROJE JAKO REÁLNÁ TESTOVACÍ ÚLOHA PRO NELINEÁRNÍ INVERSNÍ ALGORITMUS
MODELOVÁNÍ SEISMICKÉHO ZDROJE JAKO REÁLNÁ TESTOVACÍ ÚLOHA PRO NELINEÁRNÍ INVERSNÍ ALGORITMUS P. Kolář, B. Růžek, P. Adamová Geofyzkální ústav AV ČR, Praha Abstrakt Pro vyvíjený nelneární nversní algortmus
VíceStatika soustavy těles v rovině
Statka soustavy těles v rovně Zpracoval: Ing. Mroslav yrtus, Ph.. U mechancké soustavy s deálním knematckým dvojcem znázorněné na obrázku určete: počet stupňů volnost početně všechny reakce a moment M
Více9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese
cvčící 9. cvčení 4ST01 Obsah: Jednoduchá lneární regrese Vícenásobná lneární regrese Korelační analýza Vysoká škola ekonomcká 1 Jednoduchá lneární regrese Regresní analýza je statstcká metoda pro modelování
VíceObsah. 1 Protokoly Diffieho-Hellmanův a ElGamalův. 3 Hledání generátoru v Z p
Obsah 13. a 14. přednáška z kryptografe 1 Protokoly Dffeho-Hellmanův a ElGamalův Dffeho-Hellmanův a ElGamalův protokol Bezpečnost obou protokolů 2 Výpočet dskrétního logartmu Baby step-gant step algortmus
VíceStatistická šetření a zpracování dat.
Statstcká šetření a zpracování dat. Vyjadřovací prostředky ve statstce STATISTICKÉ TABULKY Typckým vyjadřovacím prostředkem statstky je číslo formalzovaným nástrojem číselného vyjádření je statstcká tabulka.
Víceina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)
Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ SMĚRNICE Č. 55/2017 ZÁSADY STUDENTSKÉ GRANTOVÉ SOUTĚŽE NA PODPORU PROJEKTŮ SPECIFICKÉHO VYSOKOŠKOLSKÉHO VÝZKUMU NA VUT
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Datum vydání: 1. 5. 2017 Účnnost: 1. 5. 2017 Odpovědnost: Odbor tvůrčí čnnost Rektorátu Závaznost: všechny součást VUT Vydává: rektor VUT Zrušuje: Směrnc rektora č. 5/2016
VícePorovnání GUM a metody Monte Carlo
Porovnání GUM a metody Monte Carlo Ing. Tomáš Hajduk Nejstota měření Parametr přřazený k výsledku měření Vymezuje nterval, o němž se s určtou úrovní pravděpodobnost předpokládá, že v něm leží skutečná
VíceTeoretické modely diskrétních náhodných veličin
Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze
Více11 Tachogram jízdy kolejových vozidel
Tachogram jízdy kolejových vozdel Tachogram představuje znázornění závslost rychlost vozdel na nezávslém parametru. Tímto nezávslým parametrem může být ujetá dráha, pak V = f() dráhový tachogram, nebo
VíceURČOVÁNÍ TRENDŮ A JEJICH VÝZNAM PRO EKONOMIKU
URČOVÁNÍ TRENDŮ A JEJICH VÝZNAM PRO EKONOMIKU Rudolf Kampf ÚVOD Pro marketng, management a vůbec pro člověka je jstě důležté vědět, jak se bude vyvíjet stuace v ekonomce, stuace v určtém státě z hledska
Více4EK311 Operační výzkum. 6. Řízení projektů
4EK311 Operační výzkum 6. Řízení projektů 6. Řízení projektů Typická aplikace teorie grafů Projekt = soubor činností Příklady: Vývoj a uvedení nového výrobku Výstavba či rekonstrukce objektu Plán výrobního
VíceDélka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál)
Skupinová práce. Zadání skupinové práce Síťová analýza metoda CPM Dáno: Výstavba skladu zásob obilí představuje následující činnosti: Tabulka Název činnosti Délka (dny) Optimální projekt. Optimální dělníků
VíceVýslednice, rovnováha silové soustavy.
Výslednce, ovnováha slové soustavy. Základy mechanky, 2. přednáška Obsah přednášky : výslednce a ovnováha slové soustavy, ovnce ovnováhy, postoová slová soustava Doba studa : as 1,5 hodny Cíl přednášky
VíceJihočeská univerzita v Českých Budějovicích. Pedagogická fakulta Katedra fyziky. Bakalářská práce
Jhočeská unverzta v Českých Budějovcích Pedagogcká fakulta Katedra fyzky Bakalářská práce České Budějovce 007 Tomáš Bürger Jhočeská unverzta v Českých Budějovcích Pedagogcká fakulta Katedra fyzky Generování
VícePříprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz
Příprava ke státním maturtám 0, všší úroveň obtížnost materál stažen z wwwe-matematkacz 80 60 Jsou dána čísla s 90, t 5 0 Ve stejném tvaru (součn co nejmenšího přrozeného čísla a mocnn deset) uveďte čísla
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ VĚTRACÍ SYSTÉMY OBYTNÝCH DOMŮ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ENERGY INSTITUTE VĚTRACÍ SYSTÉMY OBYTNÝCH DOMŮ VENTILATION
VíceÚvod Terminologie Dělení Princip ID3 C4.5 CART Shrnutí. Obsah přednášky
Obsah přednášky. Úvod. Termnologe 3. Základní dělení 4. Prncp tvorby, prořezávání a použtí RS 5. Algortmus ID3 6. C4.5 7. CART 8. Shrnutí A L G O RI T M Y T E O R I E Stromové struktury a RS Obsah knhy
Více