VYSOKÁ ŠKOLA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ V PRAZE FAKULTA CHEMICKO-INŽENÝRSKÁ FYZIKA II

Transkript

1 A-PDF MRGR DMO VYSOKÁ ŠKOLA CHMICKO-TCHNOLOGICKÁ V PRAZ FAKULTA CHMICKO-INŽNÝRSKÁ FYZIKA II Doc. RND. Mai Ubanová, CSc. Doc. Ing. Jaoslav Hofmann, CSc. RND. D. Pt Ala p k ngi ω n 3 5 ω n 3 ω n ω n

2 Skipta z Fyziky II jsou učna posluchačům Vysoké školy chmicko-tchnologické v Paz jako studijní pomůcka k přdnáškám a sminářům uvdného přdmětu. Přdmět Fyzika II j zařazn do studijních plánů bakalářských pogamů jako povinně volitlný, příp. volitlný. Navazuj na povinný přdmět Fyzika I, ktý ozšiřuj zjména v oblastch modní fyziky spciální toi lativity, toi lktomagntického pol, úvod do kvantové mchaniky a úvod do jadné a částicové fyziky. Autoři děkují paní Pozníčkové za pomoc při fomální úpavě ttu a nakslní obázků a všm čtnářům za případné připomínky a náměty. Mai Ubanová Jaoslav Hofmann Pt Ala Adsy autoů: Doc. RND. Mai Ubanová, CSc. Mai.Ubanova@vscht.cz Doc. Ing. Jaoslav Hofmann, CSc. Jaoslav.Hofmann@vscht.cz RND. D. Pt Ala Pt.Ala@vscht.cz Ústav fyziky a měřicí tchniky VŠCHT Paha

3 OBSAH INRCIÁLNÍ A NINRCIÁLNÍ SYSTÉMY Rlativnost pohybu Galilova tansfomac Pohyb v inciálních a ninciálních systémch Inciální systémy Ninciální systémy... 8 SPCIÁLNÍ TORI RLATIVITY.... Postuláty spciální toi lativity.... Lontzova tansfomac....3 Základní pojmy Kinmatické důsldky Lontzovy tansfomac Dilatac času Kontakc délk Tansfomac ychlostí Rlativistické dynamické vličiny Hybnost, hmotnost a síla ngi LKTROMAGNTICKÉ POL Zákony lktického a magntického pol lktické pol v dilktikách Popis pol v dilktikách Gaussova věta po lktostatické pol v dilktiku Magntické pol v látkách Magntismus lktonu v atomu Magntika Diamagntismus, paamagntismus, fomagntismus Zobcněný Ampéův zákon Indukované lktické a magntické pol Mawllovy ovnic lktomagntické vlnění Rovinná lktomagntická vlna v vakuu Vlastnosti lktomagntického vlnění ngi přnášná lktomagntickým vlněním Spktum lktomagntického vlnění Polaizac lktomagntického vlnění ÚVOD DO KVANTOVÉ FYZIKY Zářní čného tělsa Vlastnosti zářní čného tělsa instinovy koficinty absopc a mis Las lktony a fotony Fotolktický jv Comptonův jv Rntgnové zářní (X-zářní) Vlnové vlastnosti částic, d Bogliova hypotéza Pincip nučitosti... 7

4 5 ÚVOD DO KVANTOVÉ MCHANIKY Vlnová funkc Opátoy Časově závislá Schödingova ovnic Časově závislá Schödingova ovnic v jdnoozměném případě Časově závislá Schödingova ovnic v tojozměném případě Časově nzávislá Schödingova ovnic Stacionání Schödingova ovnic v jdnoozměném případě Stacionání Schödingova ovnic v tojozměném případě Vlastnosti vlnové funkc popisující stav částic Řšní Schödingovy ovnic v jdnoduchých případch Volná částic Částic v jdnoozměné nkončně hluboké pavoúhlé potnciální jámě Částic v dvojozměné a tříozměné nkončně hluboké pavoúhlé potnciální jámě Tunlový jv Linání hamonický osciláto KVANTOVÉ ŘŠNÍ ATOMŮ VODÍKU A VODÍKOVÉHO TYPU Bohův modl atomu vodíku Bohovy postuláty ngtické hladiny v Bohově modlu atomu Kvantově mchanické řšní atomů vodíkového typu Schödingova ovnic po částici v coulombickém poli Intptac vlnové funkc vodíkového atomu Postoové kvantování Vliv magntického pol na jdnolktonový atom. Zmanův jv Spin lktonu Mnohalktonové atomy Idntické částic v kvantové mchanic. Pauliho vylučovací pincip Výstavbový pincip. Hundovo pavidlo... 7 JADRNÁ A ČÁSTICOVÁ FYZIKA Základní vlastnosti atomových jad Složní atomových jad Označování a klasifikac atomových jad Základní stavbní kamny atomových jad: poton a nuton Měřní hmotností atomových jad: hmotnostní spktoskopi Rozměy atomových jad Tva atomových jad Radioaktivita atomových jad Stabilita jad Rozpadový zákon α-ozpad β-ozpad γ-ozpad Vnitřní (lktonová) konvz Aplikac adioaktivity Intakc zářní s hmotou, adiační dávka, ochana přd zářním Intakc nabitých a nutálních částic s hmotou Dozimtické vličiny Ochana přd zářním Štěpní a fúz atomových jad Vazbná ngi jad Zdoj ngi Subnuklání částic a jjich intakc Přhld lmntáních částic Složné subnuklání částic Intakc mzi subnukláními částicmi... 38

5 DODATKY... 4 D VKTOROVÉ DIFRNCIÁNÍ OPRÁTORY... 4 D.Gadint skalání vličiny... 4 D. Divgnc, Gaussova věta... 4 D.3 Rotac, Stoksova věta D Mawllovy ovnic v difnciálním tvau a vlnová ovnic lktomagntického vlnění D3 Oscilační obvody... 5 D4 Přvod spktálních intnzit vyzařování M λ a M ν D5 Důsldky Planckova zákona D6 Odvozní Comptonova vztahu...56 D7 Suppozic vlnění. Vlnový balík D8 Popis vlnění D9 Sféické souřadnic... 6 D Vlnové funkc atomů vodíkového typu... 6 D Momnt hybnosti v kvantovém řšní vodíkového atomu D Stnův-Glachův pimnt D3 Vličiny a jdnotky, někté fyzikální konstanty...66

6 . Inciální a ninciální systémy. Rlativnost pohybu Jak bylo uvdno v Fyzic I, vktoy polohy, ychlosti a zychlní zálží na souřadnicové soustavě, k kté vztahujm popis pohybu tělsa. Uvažm nyní dvě souřadnicové soustavy: Soustava S s pohybuj vzhldm k soustavě S postupným pohybm. Obě soustavy zvolím tak, aby jjich příslušné osy byly souhlasně ointovány (ob..). Polohový vkto počátku O soustavy S měřný v soustavě S označím, jho složky pak, y, z. Polohový vkto bodu A vzhldm k soustavě S j, jho složky jsou, y, z. Vzhldm k soustavě S j poloha bodu A dána polohovým vktom, jho složky jsou, y, z. Nyní použijm dva přdpoklady.. Pvní z nich j, ž měřní délky v obou systémch poskytuj stjné výsldky. Pak můžm sčítat dva vktoy, z nichž každý j udán vzhldm k jiné soustavě. Podl (.) dostanm + ( i+ y j+ z j) + ( i + y j + z k ) (.) Uvážím-li, ž volba souřadnicových systémů s souhlasně ointovanými osami znamná, ž vktoy i, j, k a vktoy i, j, k jsou totožné, pak vztah (.) lz přpsat +, y y + y, z z + z (.). Za duhé přdpokládám, ž čas v obou systémch běží stjně, t t. Pak vztah (.) můžm dvakát divovat. Přitom označím v a a ychlost a zychlní soustavy S vzhldm k S, u a a jsou ychlost a zychlní tělsa vzhldm k soustavě S, u a a jsou ychlost a zychlní tělsa vzhldm k soustavě S. d d d +, u v + u (.3) dt dt dt z y y A z v y u v u v S J V Ob.. Rlativnost polohy tělsa Ob.. K příkladu. V kap. uvidím, ž při ychlostch sovnatlných s ychlostmi světla njsm opávněni tnto přdpoklad učinit. Sovnjt s kap.. 5

7 du dv du +, a a + a (.4) dt dt dt Vztahy (.3) a (.4) přdstavují zákony po skládání ychlosti a zychlní v klasické mchanic: Rychlost (sp. zychlní) tělsa vzhldm k souřadnicovému systému S j vktoovým součtm ychlosti (sp. zychlní) tělsa vzhldm k soustavě S a ychlosti (sp. zychlní) soustavy S vzhldm k soustavě S. Příklad. Rychlost ltadla vzhldm k vzduchu j 5 km/h. Ltadlo má doazit do místa vzdálného 8 km svně od výchozího místa. Aby ltadlo ultělo přímou njkatší vzdálnost, musí jho pohyb vzhldm k zmi směřovat pod úhlm východně od svního směu. Požadovanou dáhu uazí ltadlo za h. Učt ychlost pohybu vzdušné masy (ychlost větu) vzhldm k zmi. Řšní Řšní pohybu vzhldm k ůzným soustavám spočívá v spávné idntifikaci vktoů a dál v vktoovém sčítání podl vztahů (.3) nbo (.4). Zavdm souřadnicový systém S pvně spojný s zmí, počátk ztotožním s výchozí polohou ltadla, svní smě s směm osy y, východní smě s směm -ové osy (ob..). Rychlost ltadla vzhldm k zmi j u, ychlost ltadla vzhldm k vzdušné mas j u, ychlost vzdušné masy vzhldm k zmi j v : u u j u u cos (9 ) i + u sin (9 ) j v v i + v j y Vlikost ychlosti u učím z zadané dáhy a času, u 8km 4km/h, vlikost ychlosti u j zadaná ychlost ltadla vzhldm k vzdušné mas, u 5 km/h. Využitím ovnic (.3) v složkách a y h dostávám v + u cos 7, u v + u sin 7 y Odtud dostanm číslné vyjádřní vktou v ( 7 i 7 j) km/h. Vlikost ychlosti větu vzhldm k zmi j 85 km/h.. Galilova tansfomac Uvažm dva systémy, kté s vzájmně pohybují konstantní ychlostí v konst. Jstliž navíc v čas t j S S, pak v t. Vztahy (.), (.3) a (.4) pak přjdou v vztahy v t+, u v + u, a a (.5) v t u u v, a a (.6), Vztahy (.5) a (.6) s označují jako Galilova tansfomac souřadnic, ychlosti a zychlní. Jstliž v obou souřadnicových systémch s nacházjí pozoovatlé, pak Galilova tansfomac dává vztahy po polohu, ychlost a zychlní, jak j měří tito pozoovatlé. Nzapomňm, ž tato tansfomac platí za výš uvdných přdpokladů o čas plynoucím v obou souřadnicových systémch stjně a o nzávislosti měřní délky v ůzných souřadnicových systémch. Podl vztahů (.5) a (.6) j sic poloha a ychlost tělsa závislá na systému, v ktém j pohyb popisován, zychlní však j v obou systémch stjné. 6

8 Rlativnost popisu pohybu při ychlostch sovnatlných s ychlostí světla Galilova tansfomac odvozná za uvdných přdpokladů slhává v případch, kdy ychlost pohybu tělsa vzhldm k alspoň jdné souřadnicové soustavě j sovnatlná s ychlostí světla (ychlost světla v vakuu c 3 8 ms ). V tomto případě pak už přdpoklady o stjném plynutí času v obou systémch a o stjném výsldku měřní délk v obou systémch nodpovídají skutčnosti. Galilova tansfomac pak musí být nahazna Lontzovou tansfomací platnou v spciální toii lativity (odd..). Jstliž vlikosti ychlostí v a u jsou blízké ychlosti světla, pak ychlost u můž podl vztahů (.5) nabývat vlikosti větší, nž j ychlost světla. To j ovšm v zásadním ozpou s skutčností, ž mzní vlikostí ychlosti pohybu hmotných objktů j ychlost světla. Tnto ozpo Galilovy tansfomac, ktý s uplatňuj při vlkých ychlostch, ovněž řší Lontzova tansfomac..3. Pohyb v inciálních a ninciálních systémch.3. Inciální systémy V odd.. jsm diskutovali popis pohybu tělsa v dvou souřadnicových systémch S a S. Jstliž s systémy S a S pohybovaly vzhldm k sobě konstantní ychlostí, pak zychlní tělsa vyjádřné jak v systému S, tak v systému S bylo stjné (vztah (.6)). Pohybuj-li s tělso vzhldm k jdnomu z těchto systémů s nulovým zychlním, pohybuj s s nulovým zychlním i vzhldm k duhému. Podl zákona stvačnosti potom v obou systémch výsldná síla působící na tělso j nulová. Odtud j patné, ž istuj-li jdn inciální systém, pak všchny ostatní, kté s vzhldm k tomuto systému pohybují ovnoměně přímočař, jsou ovněž inciální a žádný z nich nní nijak zvláštní nbo pivilgovaný. Njlpší apoimací inciálního systému s jví soustava pohybující s konstantní ychlostí vzhldm k soustavě vzdálných hvězd. Po popis pohybu běžných objktů na Zmi s za inciální systém považuj souřadnicová soustava pvně spojná s Zmí. J třba si však uvědomit, ž přsně vzato, tato souřadnicová soustava nní inciální, potož mimo jiné Změ obíhá po liptické tajktoii vzhldm k Slunci a koná otační pohyb kolm své osy..3. Ninciální systémy Jstliž s pozoovatl nachází v souřadnicovém systému pohybujícím s s nnulovým zychlním vzhldm k zmi, zjišťuj, ž nplatí duhý pohybový zákon. Modlm takové soustavy můž být vagón, ktý s pohybuj přímočař vzhldm k zmi (ob..3). Na stopě j na niti zavěšno tělso hmotnosti m. Pokud j vagón v klidu nbo s pohybuj ovnoměně přímočař, tělso visí svisl. To odpovídá skutčnosti, ž tíhová síla a tah lana působící na tělso jsou v ovnováz. Jstliž s ovšm vagón pohybuj s zychlním a vzhldm k zmi, pozoovatl v vagónu i na zmi zjistí, ž tělso na niti s odchýlí od svislého směu o úhl α, ktý závisí na vktou zychlní vagónu. Vysvětlím toto pozoování. Opávněnost volby inciálního systému pvně spojného s Zmí plyn z odhadu zychlní, ktá mají svůj původ v otačním pohybu Změ. Dostřdivé zychlní, kté má příčinu v oběhu Změ kolm Slunc činí asi 4,4. -3 m s -, dostřdivé zychlní vznikající při otaci Změ kolm osy činí na ovníku asi 3,3. - m s -. Tato zychlní jsou o 4 a 3 řády mnší nž nomální tíhové zychlní, kté j dominantní po běžné pohyby v okolí Změ). 7

9 S zmí spojím souřadnicovou soustavu S, ktá j inciální a platí v ní tdy Nwtonovy zákony. S vagónm spojím souřadnicovou soustavu S, ktá s pohybuj vzhldm k S s zychlním a ai (ob..3a) a j tdy ninciální. Zychlní tělsa a vzhldm k systému S a zychlní a vzhldm k systému S jsou spojná vztahm (.4), a a + a. Vynásobím hmotností a dostávám ma ma + ma (.7) Lvá stana ovnic (.7) pak přdstavuj výsldnou sílu F R působící na tělso. Úpavou ovnic (.7) dostávám R ma F ma (.8) Tnto zápis můžm slovně intptovat tak, ž tělso hmotnosti m s vzhldm k ninciálnímu systému pohybuj s takovým zychlním, jako by na ně komě skutčných sil působila další síla, ma, ktá má opačný smě, nž j zychlní ninciálního systému S vzhldm k inciálnímu systému S. Síla ma s nazývá stvačná síla. J to síla zdánlivá, kté chybí álný subjkt. Pozoovatl ji zavádí v ninciálním systému, aby vysvětlil pohybový stav těls pozoovaných v tomto systému. Popíšm nyní pohybový stav tělsa zavěšného na niti v obou souřadnicových systémch. Pozoovatl v soustavě S zjišťuj, ž s tělso pohybuj s zychlním a, nboť clý vagón (vzhldm k němuž j tělso v klidu) s pohybuj s tímto zychlním. Výsldnic sil na R ně působící j F ma. J vktoovým součtm všch sil působících na tělso, ktými jsou tíhová síla F G mg a síla tahu lana T, F R F G +T (ob..3b). Tato vktoová ovnic dává v -ové a y-ové složc: m a T sin α, T cos α m g (.9) Odtud tg α a. Potož g, a, úhl α j ovněž nnulový a závisí na zychlní, g s jakým s vagón pohybuj. y y S: S : T T m α α -m a a ma mg mg α a) b) c) Ob..3 Popis pohybu v inciálních a ninciálních soustavách Pozoovatl, ktý j uvnitř vagónu pohybujícím s s zychlním, tdy spojný s ninciálním systémm S, však zjišťuj, ž tělso j vzhldm k němu v klidu a j vychýlné z ovnovážné polohy. Aby vysvětlil tnto pohybový stav tělsa, vyvozuj, ž výsldnic sil na 8

10 tělso působících j nulová. Komě dvou álných sil, tíhové síly a tahu lana, působí navíc na tělso zdánlivá síla ma, ktá má původ v ninciálnosti systému (ob..3c). R Napíšm podmínky ovnováhy F ma v -ové a y -ové složc a dostanm soustavu ovnic totožnou s ovnicmi (.9). Tsinα ma, Tcosα mg Odtud tg α a. g Popis v obou systémch nám poskytl stjný výsldk po úhlovou odchylku hmotného bodu zavěšného na závěsu. Odstřdivá síla Jstliž s ninciální systém S otáčí konstantní úhlovou ychlostí vzhldm k inciálnímu systému, chová s jako ninciální systém, ktý s pohybuj s dostřdivým zychlním a vzhldm k inciálnímu systému S. Zdánlivá síla působící na tělso m pozoované v ninciálním systému má smě odstřdivý a nazývá s síla odstřdivá. Příklad. Tělso hmotnosti m umístěné na hoizontálním ovnoměně otujícím stol j připvněno pvným lanm k střdu stolu (ob..4). Třní mzi tělsm a stolm zandbjt. Vysvětlt pohybový stav tělsa z hldiska souřadnicového systému spojného s zmí, ktý považujt za inciální, a z hldiska souřadnicového systému spojného s otočným stolm. Řšní a) Z hldiska souřadnicového systému spojného s zmí s tělso pohybuj ovnoměně po kužnici. Vlikost výsldné síly F m, kd v j ychlost tělsa a R j polomě kužnic, jjí smě j dostřdivý. R R v Inciální pozoovatl zjišťuj, ž tato dostřdivá síla j uskutčňována tahm lana T v, T m. Další síly působící na tělso, nomálová síla N a tíhová síla F G R, jsou v ovnováz a nvyvolávají zychlní tělsa (ob..4a). b) Pozoovatl v systému spojném s otáčjícím s stolm zjišťuj, ž tělso j v klidu (ob..4b). Síly N a F G jsou v ovnováz, jjich výsldnic j nulová. Dál komě álné síly tahu lana T působí z hldiska ninciálního pozoovatl zdánlivá odstřdivá síla vlikosti v m. Aby byl splněn. Nwtonův zákon, R v musí být výsldná síla na tělso nulová, T m. Vlikost síly tahu lana j učna stjně jako v případě inciálního R pozoovatl. 9

11 N T -ma N T F G F G a) b) Ob..4 K příkladu. Coiolisova síla Zdánlivá odstřdivá síla "působí" na všchna tělsa, jjichž pohybový stav popisujm v otáčivém souřadnicovém systému. Na tělsa, ktá s vzhldm k tomuto systému pohybují, působí další zdánlivá síla, tzv. Coiolisova síla. Jjí vlikost j ω v o m, kd ω j úhlová ychlost otáční systému, v o j složka ychlosti tělsa hmotnosti m v ovině kolmé na osu otáční měřná v otáčivém souřadnicovém systému. Smě Coiolisovy síly j kolmý na smě ychlosti tělsa a smě osy otáční. Coiolisova síla souvisjící s zmskou otací vysvětluj řadu zajímavých dějů na zmském povchu, např. vznik víů spojných s atmosféickými ději.

12 Spciální toi lativity Mchanika založná na Nwtonových zákonch vlmi dobř popisuj vlkou skupinu fyzikálních dějů, kté jsou spojny s pohyby ychlostmi malými v sovnání s ychlostí světla v vakuu ( c 3 8 m s - ). Jstliž studujm fyzikální systémy, kté s pohybují ychlostmi blízkými ychlosti světla, popis založný na Nwtonových zákonch slhává a musí být nahazn. V této kapitol, ktá s zabývá základy spciální toi lativity, zavdm nový pohld na posto a čas, ktý vyžaduj abstakci, potož nní podložn každodnními zkušnostmi. Souřadnicové systémy, k ktým budm pohyb v spciální toii lativity vztahovat, budou systémy inciální. Klasická mchanika nní spciální toií lativity popřna, naopak j lép pochopna jako odvětví fyziky dobř popisující děj v inciálních systémch při ychlostch podstatně mnších nž j ychlost světla. Úvodní odstavc věnujm poto pohybu v inciálních systémch a v ninciálních systémch z pohldu klasické mchaniky.. Postuláty spciální toi lativity Spciální toi lativity j učna po popis děj v inciálních systémch při ychlostch sovnatlných s ychlostí světla. J založna na dvou postulátch:. postulát (pincip lativity) říká, ž fyzikální zákony platí v všch inciálních systémch a žádný z inciálních systémů nní nijak pfován. Z Fyziky I vím, ž Nwtonovy zákony mají stjný tva v všch inciálních systémch. Totéž platí i o dalších zákonch mchaniky vycházjících z Nwtonových zákonů. Tnto pincip s označuj jako Galilův pincip lativity. * Pvní postulát lativity ozšiřuj Galilův pincip na všchny fyzikální zákony, tdy např. i na zákony lktomagntismu a optiky.. postulát (o konstantnosti ychlosti světla) říká, ž ychlost světla c v vakuu j v všch směch a v všch inciálních systémch stjná (invaiantní). Ztotožnění s s tímto postulátm činí potíž, potož j v ozpou s běžnými zkušnostmi o skládání ychlostí. V fyzic, ktá s zabývá ychlostmi podstatně mnšími, nž j ychlost světla, j skládání ychlostí matmaticky vyjádřno Galilovou tansfomací (odst..): Jstliž s tělso pohybuj ychlostí u vzhldm k soustavě S a soustava S s pohybuj ychlostí v vzhldm k S, pak ychlost u tělsa vzhldm k S j u u + v. Poto na základě zkušností s ychlostmi malými v sovnání s ychlostí světla očkávám, ž i pozoovaná ychlost světla zálží na ychlosti zdoj světla a na ychlosti pozoovatl. Duhý postulát j však třba přijmout přinjmnším z tří důvodů: Na úovni dnšních pimntálních možností j dokázáno, ž ychlost světla nzálží na ychlosti zdoj (např. při ozpadu nstabilních nutálních pionů vzniká γ zářní, jhož ychlost j ovna c i v případě, kdy s zdoj zářní, tdy ozpadající s pion, pohybuj vlkou ychlostí,99975 c). Dalším důvodm po akcptování postulátu j skutčnost, ž všchny důsldky plynoucí z spciální toi lativity byly dosud pimntálně potvzny. A končně, ychlost lktomagntického vlnění v vakuu j dána vztahm c ε µ, kd ε a µ jsou pmitivita a pmabilita vakua, tdy * Postulát ntvdí, ž měřné hodnoty fyzikálních vličin jsou stjné v ůzných inciálních systémch. Tvdí, ž s zachovávají fyzikální zákony. Např. při sážc dvou těls s clková hybnost soustavy zachovává. Hodnota clkové hybnosti j však v ůzných inciálních systémch odlišná. V kap. 3 ukážm, ž světlo j lktomagntické vlnění. Invaianc s poto ntýká pouz ychlosti světla, tj. lktomagntického vlnění učitých vlnových délk, al ychlosti šířní lktomagntického vlnění vůbc, tdy např. γ-zářní.

13 univzální konstanty, kté nzávisjí na souřadnicovém systému. Navíc lktomagntické vlnění s šíří i v vakuu, npotřbuj tdy k své istnci hmotné postřdí.. Lontzova tansfomac Uvažm systém S, ktý s pohybuj konstantní ychlostí v vzhldm k systému S. Po jdnoduchost uvažm, ž systém S s pohybuj ychlostí v v směu osy (ob..) a v čas t jsou oba systémy totožné, t :S S. V čas t j z spolčného počátku obou systémů vyslán světlný pulz. Podl postulátů spciální toi lativity s šíří všmi směy stjnou ychlostí c. Body, kam doazí světlo v systému S a v systému S v čas t a v čas t, vyplní v systémch S a S kulové plochy o poloměch ct a ct. Po souřadnic bodů těchto kulových ploch musí platit + y + z c t + y + z c t Jstliž by mzi souřadnicmi nčákovanými a čákovanými v vztazích (.) platila Galilova tansfomac (.5), dojdm k spou. Zřjmě tdy přdpoklady, za ktých byla odvozna Galilova tansfomac, totiž ž měřní vzdálností v ůzných inciálních systémch poskytuj stjné hodnoty a ž čas plyn v ůzných inciálních systémch stjně, nadál nplatí. Bz důkazu uvdm, ž požadavku (.) a požadavku na linánost tansfomac souřadnic vyhovují násldující vztahy mzi souřadnicmi v dvou inciálních systémch, kté s označují jako Lontzova tansfomac. V tansfomačních vztazích vystupuj čas t, ktý s váž k systému S a čas t, ktý s pojí s systémm S. + vt v c vt v c S S y y (, y, z, t) (, y, z, t ), z z Ob.. Dva inciální systémy (.) (.) y y z z t v t + c v c y y z z t v t c v c V Lontzově tansfomaci nlz čas oddělit od postoových souřadnic. Z vztahů (.) totiž vidím, ž hodnota času t nzávisí pouz na hodnotě t, al také na souřadnici. Namísto oddělných pojmů postoových souřadnic a času, hovořím o souřadnicích v čtyřozměném postoočas. V násldujícím oddíl zavdm postoové souřadnic a synchonizovaný čas. Vztahy (.) s dál liší od Galilovy tansfomac postoových souřadnic Lontzovým faktom γ. Po ychlosti v «c, j v c zandbatlné opoti, t- v c dy fakto γ. Za tohoto přdpokladu přchází Lontzova tansfomac na tansfomaci Galilovu. Dosazním do ovnic (.) s můžm přsvědčit, ž uvdná Lontzova tansfomac splňuj. postulát spciální toi lativity.

14 .3 Základní pojmy Po účly dalších úvah v spciální toii lativity zavdm postoové souřadnic v inciálním systému pomocí soustavy pavoúhlých měřítk, ktá můžm libovolně hustě umístit v postou ovnoběžně s souřadnicovými osami (ob..). Tojic postoových souřadnic každého bodu postou j učna půsčíky tří měřítk v daném bodě. S každým místm postou s podl Lontzových tansfomačních vztahů pojí čas. Tnto čas můž být imagináně pzntován lokálními hodinami, kté s nacházjí v libovolném potřbném místě postou. Nmohou však jít libovolně, nýbž musjí být synchonizovány. Synchonizaci můžm myšlnkově povést pomocí světlného signálu. Z počátku souřadnicového systému v čas, kdy lokální hodiny umístěné v počátku souřadnicového systému ukazují hodnotu t, vyšlm do všch směů světlný signál. U každých potřbných hodin imaginání pomocníci dtkují signál, ktý k nim doazil z počátku systému. Pomocník, jhož vzdálnost od počátku j, nařídí v okamžiku dtkc signálu své lokální hodiny na hodnotu c. Tímto způsobm budou synchonizovány hodiny v všch potřbných místch postou. Kdybychom postupovali jinak, např. v počátku souřadnicového systému njdřív nařídili všchny hodiny na stjnou hodnotu a pak oznsli do spávných míst, musli bychom přdpokládat, ž běhm pohybu s chod hodin nzmění. Později uvidím, ž přdpoklad o nzměněném chodu hodin j chybný. Důlžitým pojmm v toii lativity j událost. Událost j něco, co s stalo a čmu můžm přiřadit tojici postoových souřadnic a čas na lokálních hodinách. Pozoovatl v učitém souřadnicovém systému přiřadí události čtvřici souřadnic (,y,z,t) z postoočasu. Popis události j lativní, čtvřic čísl, ktými j tatáž událost popsána, zálží na souřadnicovém systému, z ktého j událost popisována (ob..). Uvažujm dvě události, kté jsou v systému S popsány čtvřicmi souřadnic (, y, z, t) a (, y, z, t). V systému S jsou tytéž události popsány čtvřicí souřadnic (, y, z, t ) a (, y, z, t ). Po ozdíl postoových a časových souřadnic,... t t t dostávám pak z vztahů (.): + v t v c v t v c (.3a) y y y y (.3b) z z z z v v t + t t c t c v c v c (.3c) z y Ob.. Zavdní postoových a časových souřadnic, postoočas 3

15 Dvě události jsou současné, jstliž ozdíl jjich časových souřadnic j nulový *. Z vztahů (.3c) vidím, ž současnost událostí zálží na souřadnicovém systému: Jstliž t a, tj. události jsou současné v systému S, pak v c S t. Události njsou v v c a) P současné v systému S. Rlativnost S současnosti dvou událostí j znázoněna na ob..3. Zd jsou znázoně- P ny dvě akty, kté s vzhldm k sobě pohybují ychlostí v. Spojím s nimi souřadnicové systémy S a S. S b) Dojd k dvěma událostm, kté P v pozoovatl P v S označí jako události a a pozoovatl P v S jako S P a. Události a jsou stjně vzdálny od pozoovatl P, a události a stjně vzdálny od pozoovatl P. Světlná zpáva o udá- Ob..3 Rlativnost současnosti dvou událostí lostch a dosáhn pozoovatl P současně, usuzuj tdy, ž jd o současné události. Pozoovatl P však obdží zpávu o události dřív nž o události a usoudí, ž události njsou současné..4 Kinmatické důsldky Lontzovy tansfomac Z Lontzovy tansfomac plynou někté důsldky, s ktými s nstkávám při ychlostch malých v sovnání s c, tj. njsou známy v mchanic řídící s Nwtonovými zákony. Ukážm, ž v lativistické mchanic časový intval mzi dvěma událostmi závisí na souřadnicovém systému, měřní délky téhož přdmětu nní absolutní, nýbž zálží na souřadnicovém systému, a ychlosti pohybu tělsa s nsčítají s ychlostí pohybu souřadnicového systému, jak tomu j v Galilově tansfomaci. V případě malých ychlostí přcházjí všchny důsldky Lontzovy tansfomac v klasické známé vztahy, kté jsou v souladu s klasickým popism dějů při malých ychlostch..4. Dilatac času Uvažm dva souřadnicové systémy S a S, jak byly zavdny v přdchozích oddílch. a.. V systému S jako událost označím vyslání světlného signálu v směu kolmém k ychlosti v pohybu soustavy S vzhldm k S. Po odažní od zcadla j světlo opět dtkováno na tomtéž místě, z ktého bylo vysláno. Dtkc signálu j událost. Zcadlo i místo vyslání a dtkc signálu jsou v klidu vzhldm k soustavě S (ob..3a). Časový intval t mzi dvěma události měřný v systému S j měřn týmiž hodinami H (na tomtéž místě), kté jsou v klidu v S. Takto měřný časový intval týmiž hodinami nazvm vlastní časový intval t. Použijm označní na ob..3a. Dostávám * Aby s jdnalo o události ůzné, musjí s tyto události lišit v postoových souřadnicích, tdy. 4

16 D t t (.4) c S S D L L Událost Událost Událost Událost v t t H H H t a) b) H Ob..3 Dilatac času. (a) Události a pozoované v systému (b) tytéž události pozoované v systému S. Tytéž dvě události jsou sldovány v systému S, jak j znázoněno na ob..3b. V systému S měří obě události ůzné hodiny H a H, potož k událostm a dochází v ůzných místch postou. Použijm označní na ob..3b. Dostanm postupně L t (.5) c L v t + D Nahadím L a D v vztahu (.6) hodnotami vyjádřnými z (.4) a (.5), dostávám t t v c t t γ v c t (.6) (.7a) (.7b) Diskutujm tnto vztah. Potož v < c, j fakto γ > a časový intval t > t. Vlastní časový intval j katší nž časový intval mzi týmiž událostmi měřný ůznými synchonizovanými hodinami v jiném inciálním systému, ktý s pohybuj. Popsaný jv budm ilustovat na dalším příkladu. Přdpokládjm, ž události popisované jako a jsou po sobě násldující údy týchž hodin, kté jsou v klidu v S. Vzhldm k systému S s hodiny pohybují, události jsou popisovány jako a a jjich časová souřadnic j zjišťována synchonizovanými hodinami na 5

17 ůzných místch. Rozdíl časových souřadnic událostí a j podl (.7) větší nž vlastní časový intval t. Pozoovatl v systému S zjišťuj, ž pohybující s hodiny jdou pomalji, potož intval mzi njbližšími údy hodin j dlší. Tnto jv, ktý j álný a niktak nsouvisí s kvalitou nbo funkcí použitých hodin a ktý j popsán vztahy (.7), označujm jako dilataci času. Vztah (.7) ihnd vyplyn z vztahů (.3). Vyslání a dtkc signálu s konaly v témž místě postou v soustavě S,, t t. Dosazním do (.3c) obdžím vztah (.7). V případě, ž v «c, můžm v c zandbat poti, fakto γ a t t. Po malé ychlosti čas plyn v inciálních systémch stjně, jak očkávám z běžných každodnních zkušností. Poznámka Dilatac času byla pimntálně pokázána např. při měřní doby života nstabilních částic mionů. Jjich půměná doba života v klidovém souřadnicovém systému činí, µs. Tyto částic mohou být uychlny tak, ž s pohybují ychlostí,999c. S pohybujícím s mionm spojím souřadnicový systém S, laboatoř pak s systémm S. Lontzův fakto γ j v tomto případě γ 8,87 a doba života v laboatoním systému j podl (.7) t 63,5 µs. Tato hodnota doby života pohybujících s mionů byla pimntálně zjištěna..4. Kontakc délk Uvažm opět dva souřadnicové systémy S a S, jak byly zavdny v přdchozích oddílch. a.. V systému S j umístěna tyč, ktá j vzhldm k němu v klidu a pohybuj s spolu s systémm S vzhldm k systému S ychlostí v (ob..4). V systému S snadno učím délku tyč jako ozdíl postoových souřadnic konců tyč, kté jsou stál v klidu. Délku klidné tyč označujm jako vlastní délku L. y y S (, t ) S (, t ) (, t ) v (, t) ( t t ) ( t t ) z z a) b) Ob..4 Kontakc délk, (a) měřní délky v soustavě S, (b) měřní délky v soustavě S, vzhldm k kté s tyč pohybuj Vzhldm k systému S s tyč pohybuj. Jjí délku v soustavě S stanovím jako ozdíl postoových souřadnic koncových bodů tyč v tomtéž okamžiku. Uční polohy konců tyč současně j podstatné, potož tyč mění svou polohu. Dosazním do vztahu (.3) za t, dostávám, L, L v c Odtud L L L v c γ (.8) 6

18 Potož γ >, platí, ž zjišťovaná délka tyč L, ktá s pohybuj, j mnší nž vlastní délka tyč L, L < L. Rálný jv popsaný vztahm (.8) označujm jako kontakc délky. V případě malých ychlostí vztah (.8) přchází v ovnost obou délk, L L. To souhlasí s běžnou zkušností, ž délka přdmětu nzávisí na tom, měří-li s v systému, vzhldm k ktému j v klidu, nbo v systému, vzhldm k ktému s přdmět pohybuj..4.3 Tansfomac ychlostí Z Galilovy tansfomac souřadnic jsm obdžli tansfomační vztahy po ychlost, kté udávají, ž ychlosti pohybujícího s systému a ychlost tělsa s sčítají, sldujm-li jho pohyb z jiného systému (odd..). Uvažm nyní opět dva již zavdné systémy S a S a tělso, kté s pohybuj vzhldm k systému S ychlostí u a vzhldm k systému S ychlostí u. Složky těchto ychlostí můžm vyjádřit pomocí infinitzimálních ozdílů postoových a časových souřadnic (v vztazích (.) zaměním difnc mzi souřadnicmi jjich infinitzimálními ozdíly), např.: d d u, u (.9) dt dt Dosadím z tansfomačních vztahů a postupně dostávám d + vdt d v c v d + + vdt dt dt u + v u v v v d vu dt + d dt + d + + c c dt c dt c v c Obdobně bychom postupovali při výpočtu u y a u z. Shnm výsldky a dostávám tansfomační vztahy po ychlosti u u y u + v vu + c v u y c vu + c, u u v vu c v uy, u c y vu c Vztah po složku u z j obdobný vztahu po u y. V případě malých ychlostí můžm vu, vu a v c c c u u + v, u u v u u, u u y y což jsou vztahy po tansfomaci ychlosti v klasické mchanic. y y zandbat poti a dostávám (.) 7

19 Uvažujm případ, kdy s částic (foton) pohybuj ychlostí c vzhldm k S, u c Dosazním do (.) dostanm, ž u c. Rychlost světla v vakuu j mzní ychlost a jako taková j měřna v všch inciálních systémch s stjným výsldkm...5 Rlativistické dynamické vličiny Po další popis mchanických dějů jsou důlžité dynamické vličiny hybnost, hmotnost, síla a ngi. Ukazuj s, ž požadavk, aby s v izolovaných systémch zachovávala hybnost a ngi při popisu v všch inciálních systémch, vd v lativistické mchanic k modifikaci těchto vličin..5. Hybnost, hmotnost a síla Clková hybnost soustavy j vličina, ktá s v izolovaných soustavách zachovává (např. při pužné cntální sážc dvou těls). Uvažm dokonal pužnou cntální sážku dvou těls, z nichž jdno s pohybuj ychlostí v vzhldm k systému S, duhé j v klidu. S pohybujícím s tělsm spojím souřadnicový systém S. Bz důkazu uvdm, ž požadavk platnosti zákona zachování hybnosti v obou soustavách S a S vd k vyjádřní lativistické hybnosti: hybnost tělsa pohybujícího s v soustavě S ychlostí v j v této soustavě dána vztahm p m v c v (.) Hmotnost m j učna v souřadnicovém systému, vzhldm k ktému j tělso v klidu, a poto s označuj někdy s přívlastkm, jako klidová hmotnost. Vztah (.) můžm intptovat také tak, ž lativistická hybnost j dána součinm lativistické hmotnosti m a ychlosti tělsa. Při tomto popisu lativistická hmotnost m závisí na ychlosti podl vztahu m m γ m (.) v c Diskutujm posldní dva vztahy. Potož γ >, j lativistická hmotnost větší nž klidová hmotnost. Jstliž ychlost tělsa v «c, můžm čln v c zandbat opoti a dostávám, ž lativistický vztah po hybnost (.) přchází v klasický výaz p m v a lativistická hmotnost m (.) přchází v klidovou hmotnost m. Sílu jsm v klasické mchanic vyjádřili vztahm. Dosazním za lativistickou hybnost (.) dostávám dp d mv F (.3) dt dt v c Diskutujm tnto vztah. V klasické mchanic konstantní síla působící v směu pohybu vyvolá konstantní zychlní v tomto směu a tdy stál s zvětšující ychlost. Rlativistická konstantní síla však 3 způsobuj zychlní a ~( v c ). Z posldního vztahu vidím, ž po v c zychlní 8

20 a a ychlost s poto nzvětšuj nad všchny mz. Odtud plyn, ž tělso s nnulovou hmotností nmůž dosáhnout ychlosti c..5. ngi Rlativistickou kintickou ngii stanovím užitím toému pác - kintická ngi. ( v) W F d (.4a) k ( v ) ( v) ( v ) Po jdnoduchost přdpokládjm, ž síla působí v směu pohybu podél osy. Za sílu dosadím vztah (.3) a dál využijm násldujícího vztahu dp dp dv dp d d v dv dt dv dt dv Postupně dosadím do (.4a) posldní vztah a divaci hybnosti (.) podl ychlosti (intgační poměnnou označím v ): ( v) v v dp mv k F d vdv ( ) dv 3 dv v c ( ) v Zavdním substituc v c w zjdnoduším intgaci, ktou pak získám lativistickou kintickou ngii m c k m c (.4b) v c Posldní čln v přdchozím vztahu přdstavuj konstantu nzávislou na ychlosti, ktá s poto nazývá klidová ngi. Rlativistický výaz (.4b) po kintickou ngii musím použít po spávný fyzikální popis všud tam, kd s tělsa pohybují ychlostmi sovnatlnými s ychlostí světla c *. Po ychlosti malé vzhldm k c upavím vztah (.4b) pomocí Tayloova ozvoj γ faktou: v γ ( v c ) c Po dosazní do (.4b) a zandbání člnů vyšších řádů v Tayloově ozvoji dostávám v k m c mc c mv tdy výaz po nlativistickou kintickou ngii. Sovnání závislosti kintické ngi na ychlosti v nlativistickém a lativistickém případě j na ob..5. Součt klidové ngi a kintické ngi k má význam clkové lativistické ngi. k m c,,5,,5,5c,c lativistický případ nlativistický případ Ob..5 Sovnání závislosti kintické ngi na ychlosti v nlativistickém a lativistickém případě v * Rlativistickou kintickou ngii použijm např. při popisu Comptonova jvu. 9

21 k + m c (.5a) mc v c γ mc mc (.5b) Diskutujm posldní vztah, ktý s stal všobcně známým. Vztahy (.5) ukazují, ž hmotnost a ngi spolu souvisjí, a poto s tyto vztahy označují jako vztah kvivalnc hmotnosti a ngi. Platnost kvivalnc hmotnosti a ngi j dokázána při jadných štěpních a fúzích. Rovněž v běžných mchanických, lktických a chmických pocsch, kdy dochází k uvolnění nbo spotřbovávání ngi, pojví s uvolněná nbo přijatá ngi v změně hmotnosti, mc. Hmotnostní kvivalnty uvolněných a přijatých ngií jsou však při těchto běžných akcích nsovnatlně mnší nž klidové hmotnosti těls, a poto jsou běžně ndtkovatlné (Příklad.). Vztahy (.5) ovněž ukazují, ž malé množství hmoty obsahuj vlké množství ngi *. Komě změny hmotnosti v důsldku přijtí nbo uvolnění ngi, můž být clá klidová hmotnost částic přměněna v jinou fomu ngi nbo hmotnost můž být vytvořna např. z lktomagntické ngi. Přitom platí základní zákony zachování náboj, ngi a hybnosti. Pocsy tohoto typu s zabývá fyzika jáda a lmntáních částic. V ngtických úvahách často využívám vztahů mzi kintickou ngií a hybností. Vyloučním ychlosti z klasických vztahů po kintickou ngii a hybnost dostávám p m k Vyloučním ychlosti z lativistických vztahů (.5) a (.) dostávám v lativistické mchanic vztah mzi clkovou lativistickou ngií a lativistickou hybností. ( pc) + ( m c ) (.6) Z vztahu (.6) plyn: Jstliž částic j v klidu, tj. p, pak clková ngi j klidová ngi, m c. Jstliž nastan duhý témní případ, kdy totiž částic má nulovou hmotnost (foton), pak jjí ngi j podl (.6) pc. Odtud po jjí hybnost platí p c. Foton, částic lktomagntického vlnění, mající ngii h f, kd h j Planckova konstanta a f j fkvnc lktomagntického vlnění, má hf h hybnost p, kd λ j vlnová délka lktomagntického vlnění v vakuu. c λ Příklad. lkton byl uychln tak, ž jho kintická ngi k,53 MV. Klidová ngi lktonu j m c,5 MV. Učt a) clkovou ngii lktonu, b) hybnost p lktonu, c) Lontzův fakto γ lktonu. * Hmotnost m g v klidu přdstavuj clkovou ngii řádově J. Při intakci fotonu dostatčné ngi s potonm za vzniku lktonu a pozitonu j lktomagntická ngi fotonu uložna v ngtickém kvivalntu klidové hmotnosti lktonu a pozitonu, kté v pocsu vznikly, případně v jjich kintických ngiích. Jdnotka ngi V : V,6. -9 J.

22 Řšní a) Clková ngi j dána (.5a), m c +,5 MV +,53 MV 3, MV. k ( m c ) 3,4,5 b) Z vztahu (.6) dostávám p, p 3, MV/c. c c 6 9 3, 4, 6 c) Z vztahu (.55b) dostávám γ, γ 5,93. Z této hodnoty γ -faktou, ktá 3 8 mc 9, (3, ) j výazně větší nž, usuzujm na to, ž při popisu lktonu z příkladu j třba používat lativistické vztahy. Příklad. Učt změnu hmotnosti systému tvořného potonm a lktonm při pocsu vytvořní atomu vodíku. Hmotnosti potonu a lktonu jsou postupně, kg a 9,939 3 kg, ionizační ngi vodíku j 3,6 V. Řšní Při akci lktonu a potonu za vzniku vodíku s uvolní ionizační ngi jako ultafialové zářní. Hmotnost vodíkového atomu j poto mnší nž součt hmotností složk, m. c 9 ( 3,6 V)(,6 J/V) 8 ( 3 m/s) m 35,4 kg Tato změna m j malá na to, aby byla přímo měřitlná.

23 3 lktomagntické pol 3. Zákony lktického a magntického pol lktické a magntické pol v vakuu bylo popsáno v přdmětu Fyzika I pomocí násldujících zákonů. Ampéův zákon vyjadřuj, ž zdojm magntického pol jsou lktické poudy, tdy pohybující s náboj. Matmatická fomulac zákona říká, ž cikulac vktou magntické indukc B R po uzavřné křivc j µ násobkm clkového poudu I, ktý potíná plochu ohaničnou uzavřnou křivkou. µ j pmabilita vakua. B d µ R I (3.) Faadayův zákon lktomagntické indukc udává, ž časovou změnou indukčního toku Φ (toku vktou magntické indukc) plochou s indukuj lktické napětí ε i. Když vyjádřím indukované napětí pomocí intnzity pol a použijm intgálního vyjádřní po indukční tok, dostanm intgální vyjádřní Faadayova zákona. d Φ ε i dt d d dt S B d S (3.) Gaussova věta lktostatiky vyjadřuj, ž zdojm lktického pol jsou náboj. Jjí zápis říká, ž tok vktou intnzity pol uzavřnou plochou S j ε násobkm clkového náboj Q, ktý j uzavřn uvnitř plochy. ε R j pmitivita vakua. S Q d S R ε (3.3) Gaussova věta magntismu vyjadřuj skutčnost, ž magntické pol j vytvářno magntickými dipóly, kté nlz od sb oddělit. Důsldkm toho jsou magntické siločáy uzavřné. Stjný počt siloča do jakékoli uzavřné plochy vstupuj i vystupuj, tok vktou magntické indukc s záponým a kladným znaménkm j stjný a tdy jjich bilanc j nulová. V matmatickém zápis s tato skutčnost pojvuj tím, ž tok vktou magntické indukc B uzavřnou plochou S j nulový. B d S (3.4) S V násldujících oddílch uvidím, ž při popisu lktického a magntického pol v dilktikách a magntikách nahazujm v uvdných zákonch pmitivitu vakua ε clkovou pmitivitou postřdí ε ε ε, kd ε j lativní pmitivita postřdí. Pmabilitu v vakuu µ nahazujm clkovou pmabilitou postřdí µ µ µ, kd µ j lativní pmabilita postřdí.

24 3. lktické pol v dilktikách V tomto oddíl ozšířím popis lktického pol na postřdí, kté nní vakuum a nní vodič. Toto postřdí s nazývá dilktikum. Náboj, kté s v něm vyskytují, s nmohou volně pohybovat. Při popisu s omzím na homognní linání dilktikum. 3.. Popis pol v dilktikách Při popisu dilktik j důlžitým pojmm lktický dipól, ktý j tvořn dvěma náboji stjné vlikosti a opačných znaménk. lktický dipólový momnt chaaktizuj lktický dipól (Fyzika I, odd. 7.3., 7.3.) a j dfinován jako součin p Q, kd Q j vlikost každého z nábojů a vkto spojující oba náboj a směřující od záponého náboj k kladnému. Dilktika dělím na polání dilktika npolání dilktika. Polání dilktika jsou tvořna molkulami vykazujícími vlastní dipólový momnt, molkuly npoláních dilktik nvykazují vlastní dipólový momnt. Makoskopický objmový lmnt dilktika, kté nní vložno do vnějšího pol, nvykazuj dipólový momnt. V případě poláního dilktika j to poto, ž jdnotlivé molkulání dipóĺy jsou ointovány náhodně (ob. 3.a), v případě npoláních dilktik poto, ž jdnotlivé molkuly vyplňující objmový lmnt vlastní dipólový momnt nmají. Polaizac dilktika j děj, ktý nastává, vložím-li dilktikum do lktostatického pol. Po vložní do vnějšího homognního lktického pol dojd v případě poláních dilktik k natáční dipólů do směu vnějšího pol (Fyzika I, odd. 7.3.). V případě npoláních dilktik dojd k vzájmnému posunutí těžiště kladných a záponých nábojů v molkul a tím k vzniku ointovaných dipólových momntů*. Po jdnoduchost výkladu přdpokládjm, ž vnější homognní lktické pol j vytvořné mzi dvěma opačně nabitými kovovými dskami. J-li mzi dskami vakuum, j intnzita pol dána vktom, jhož smě j naznačn na ob. 3.b. Na ob. 3.c j potom zaksln idální stav po vložní poláního dilktika do vnějšího pol. Původně nuspořádaně ozmístěné dipóly (ob. 3.5a) jsou natočny do směu vktou intnzity lktostatického pol. V skutčnosti však úplnému vyovnání dipólů bání chaotický tplný pohyb molkul, ktý způsobí, ž s vktoy dipólových momntů molkul budou víc nbo méně odchylovat od směu intnzity vnějšího lktostatického pol. U npoláního dilktika po vložní do vnějšího pol dojd k vytvořní dipólu, kté v svém výsldku j možné popsat stjně, jak j znázoněno na ob. 3.c. * Podobnější výklad j v skiptch J. Novák a kol.: Fyzikální chmi II, Vydavatlství VŠCHT, Paha 3

25 Q -Q P a) b) c). Ob. 3. Polaizac poláního dilktika a) nuspořádaně ozmístěné dipóly b) uční výsldné intnzity c) idálně ozmístěné dipóly poláního dilktika I když mchanismus polaizac obou zmíněných typů dilktik j odlišný, výsldk jvu má stjné zákonitosti: Makoskopický objm dilktika vykazuj v vnějším lktostatickém poli nnulový dipólový momnt. Na povchu dilktika s polaizací vytvořil náboj, ktý s na ozdíl od náboj v vodičích nmůž přmisťovat na makoskopické vzdálnosti. Tnto náboj s poto označuj jako vázaný náboj. Vznik vázaného (polaizačního) náboj Q P si můžm názoně přdstavit podl ob. 3.c tak, ž kladné a záponé náboj dipólů s v objmu vstvy dilktika vzájmně vykompnzují a uplatní s pouz kladné náboj dipólů tvořících haniční vstvu dilktika u záponě nabité kovové dsky a záponé náboj dipólů tvořící haniční vstvu dilktika u kladně nabité kovové dsky. lktostatické pol v přítomnosti dilktika můžm učit jako suppozici lktostatického pol volného náboj a lktostatického pol vázaného náboj (ob. 3.b). Jako volný náboj označujm volně pohyblivý náboj, ktý s v uvažovaném případě nachází na kovových dskách, mzi kté j vložno dilktikum. Vstva idálního dilktika volný náboj nobsahuj. Intnzita výsldného lktostatického pol j podl pincipu suppozic dána vktoovým součtm intnzity lktostatického pol volného náboj a intnzity lktostatického pol vázaného náboj P (ob. 3.b). Platí + P (3.5) Vktoy a P mají opačný smě, poto vlikost výsldné intnzity j mnší nž vlikost intnzity. Po případ znázoněný na ob. 3. můžm psát P (3.6) ε Při zjdnodušném výkladu polaizac budm uvažovat tzv. homognní polaizaci, při kté nvzniká postoový vázaný náboj. 4

26 kd ε j lativní pmitivita dilktika. Z vztahu (3.6) j patný význam vličiny lativní pmitivita: Vložím-li dilktikum do homognního lktostatického pol v uspořádání podl ob. 3., sníží s intnzita pol ε kát. Rlativní pmitivita j bzozměná vličina, ktá chaaktizuj z makoskopického hldiska chování dilktika v lktostatickém poli. Můž nabývat po ůzná dilktika hodnot od jn npatně větších nž jdna až po hodnoty řádu 3. Pmitivita dilktika ε j dána součinm pmitivity vakua ε a lativní pmitivity ε a udává s v F m -. Platí (3.7) ε ε ε Platnost vztahů uvdných po lktostatické pol v vakuu můžm ozšířit po dilktikum chaaktizované lativní pmitivitou ε, zaměním-li v vztazích pmitivitu vakua ε pmitivitou ε. Např. vlikost intnzity lktostatického pol v vzdálnosti od bodového náboj Q j dána vztahm Q Q (3.8) 4π ε 4π ε ε Jak bylo uvdno, vložním dilktika do lktostatického pol s jho intnzita sníží a to tím víc, čím větší vázaný náboj s na haničních vstvách dilktika při jho polaizaci vytvoří. K popisu polaizac s zavádí vličina, ktá j spjata s přdstavou dipólových momntů uvnitř dilktika. Nazývá s vkto polaizac P a j dfinována jako objmová hustota dipólového momntu d p P (3.9) d V lmnt dilktika si zobazím jako kvád, jhož dvě stěny jsou kolmé k intnzitě vnějšího lktického pol (ob. 3.). Na těchto stěnách s polaizací dilktika vytvoří náboj dq P. ds Vlikost vktou polaizac j ovna plošné hustotě vázaného náboj σ P, jak plyn z násldujícího vztahu d QP d P σ P d S d (3.) Vkto polaizac s poto udává v stjné jdnotc jako plošná hustota náboj, tdy v C m -. Plošná hustota vázaného náboj (vlikost vktou polaizac) u daného dilktika ost s ostoucí vlikostí intnzity lktostatického pol. Po tzv. linání dilktika j tato závislost popsána linání funkcí, ktou odvodím pomocí vztahu (3.6). Po výpočt intnzity lktostatického pol P vázaného náboj použijm vztah po intnzitu mzi dvěma dskami ( σ ε, Fyzika I, odd ) nabitými nábojm o plošné hustotě σ P. P σ P ε ε P ε ε -dq P d +dq P Ob. 3. Objmový lmnt polaizovaného dilktika Vlikost a smě výsldné intnzity lktostatického pol závisí na tvau dilktického tělsa, kté j vložno do vnějšího homognního lktostatického pol. Např. uvnitř koul z lináního dilktika j výsldná intnzita 3 /ε +. 5

27 Odtud ( ε ) ε χ P ε (3.) Bzozměná vličina χ ε s nazývá lktická suscptibilita. Po izotopní a homognní postřdí platí P χ (3.) ε Obcně j vztah mzi vktom polaizac a intnzitou lktostatického pol složitý a závisí na značném počtu faktoů. Důlžitou skupinu nlináních dilktik tvoří tzv. folktické látky, po kté j závislost vktou polaizac na intnzitě lktostatického pol dána hystzní smyčkou. 3.. Gaussova věta po lktostatické pol v dilktiku Budm nyní popisovat obcné vlastnosti lktostatického pol v přítomnosti dilktika. Zfomulujm Gaussovu větu po lktostatické pol v okolí volného i vázaného náboj. Obdobně jako při použití Gaussovy věty v vakuu (Fyzika I, odd ) budm učovat tok vktou intnzity uzavřnou plochou. Výpočt povdm po jdnoduché uspořádání znázoněné na ob Dvě vlké ovnoběžné dsky jsou nabity volným nábojm +Q a -Q, mzi nimi j vstva dilktika, na kté s při homognní polaizaci vytvořil vázaný náboj +Q P a -Q P. Zvolím Gaussovu plochu tak, aby uzavíala volný náboj +Q a vázaný náboj Q P (na ob. 3.3 j vyznačna čákovaně). Podl Gaussovy věty (3.3) píšm po tok vktou intnzity touto plochou: Q QP d S S ε (3.3) Vztah (3.3) zjdnoduším a zavdm další vktoovou vličinu popisující lktostatické pol, ktá závisí pouz na volném náboji. Na pavé staně ovnic (3.3) osamostatním volný náboj Q a vázaný náboj Q P vyjádřím na lvé staně ovnic postupně pomocí plošné hustoty σ P a vlikosti vktou polaizac P: Q σ d S P d S P d S (3.4) p S P S S S Plošný intgál P d S intptujm jako tok vktou polaizac zvolnou Gaussovou plochou. Vztah (3.3) j potom v tvau ε + P d S (3.5) S ( ) Q Zavdm vkto indukc lktostatického pol D a vyjádřím jho vztah k vktou pomocí (3.) D + P ε + ε χ ε ε (3.6) ε +Q -Q P +Q P -Q Ob. 3.3 Gaussova věta v dilktiku 6

28 Potom můžm fomulovat v intgálním tvau Gaussovu větu po lktostatické pol v dilktiku D d S Q (3.7) S Tok vktou indukc lktostatického pol uzavřnou plochou s ovná clkovému volnému náboji, ktý tato plocha uzavíá. Shnm závěm vlastnosti vktou indukc D lktostatického pol: Vztahy (3.6) a (3.7) platí obcně, njn po případ dilktika umístěného mzi ozlhlými opačně nabitými dskami. Po případ znázoněný na ob. 3.3 pak z vztahu (3.7) vyplývá, ž vlikost indukc D lktostatického pol mzi dskami j dána plošnou hustotou volného náboj σ a platí D σ. Vkto D j v tomto uspořádání kolmý na dsky. Jdnotkou indukc lktostatického pol j C m -. V dilktiku, kté s skládá z několika vstv s ůznými lativními pmitivitami (ob. 3.4), j vlikost vktou indukc v jdnotlivých vstvách nměnná. Vlikost intnzity lktostatického pol v vstvě dilktika j tím mnší, čím j lativní pmitivita vstvy větší. Vktoy a D jsou v tomto uspořádání kolmé na dsky. Příklad 3. Učt vlikosti intnzity a indukc D v dilktiku, kté j podl ob. 3.4 složné z dvou vstv s lativními pmitivitami ε a ε a tloušťkami d a d. Dilktikum j vložno mzi dvě ozlhlé ovnoběžné kovové dsky, kté jsou nabity nábojm +Q a Q. Rozhaní vstv dilktik j ovnoběžné s dskami o plošném obsahu S. Řšní: Vlikosti indukc jsou v obou vstvách dilktika stjné (D D ) a podl (3.7) platí Q D S Z vztahu mzi indukcí a intnzitou lktostatického pol (3.6) vypočtm vlikosti intnzit a ε D ε Q S ε ε Po pomě vlikostí intnzit platí ε D ε Q S ε ε +Q ε ε Ob. 3.4 Složné dilktikum -Q ε ε 3.3 Magntické pol v látkách Po magntické pol má stěžjní význam pohybující s náboj a tdy i lktické poudy: Magntické pol j pohybujícími s náboji vytvářno a také na pohybující s náboj a poudovodič působí silou nbo momntm síly. V tomto oddíl uvidím, ž ovněž magntické 7

29 vlastnosti látk jsou učny na úovni atomů a molkul přvážně pohybm nábojů - lktonů (odd. 3.3.). Jdnotlivé látky s liší stuktuou lktonových obalů atomů a molkul. Odtud vyplynou odlišné magntické vlastnosti ůzných látk. V odd zavdm vličinu magntizac, ktá globálně chaaktizuj magntické vlastnosti látk. Různé látky s v vnějším magntickém poli chovají odlišně. Z tohoto hldiska s ozlišují tři základní skupiny látk (popsaných v Fyzic I, odd ): paamagntika, diamagntika a fomagntika Magntismus lktonu v atomu Obitální magntický momnt lktonu V klasickém modlu atomu lktony obíhají po kužnicových tajktoiích kolm mnohm hmotnějšího jáda. V ámci tohoto modlu obíhající lktony přdstavují malou poudovou smyčku, magntický dipól, L ktý chaaktizujm magntickým dipólovým momntm A m Z I S (Fyzika I, odd Na ob. 3.5 j znázoněný lkton obíhající ychlostí v po kužnici o poloměu, v π T, kd T j doba oběhu lktonu. lkton ns záponý náboj o vlikosti a vytváří tak lktický poud I, I ktý učím jako náboj pošlý půřzm (na ob. 3.5 např. ploškou A) za jdnotku času m I T π / v (3.8) Magntický momnt, ktý j spojn s poudovou smyčkou tvořnou obíhajícím lktonm, s nazývá obitální magntický momnt lktonu m. Jho vlikost j (za použití vztahu (3.8)) m Iπ v (3.9) Smě vktou m j kolmý k ovině tajktoi (obitu) a jho ointac j daná znaménkovou konvncí po smě poudu a pavidlm pavé uky po magntický momnt poudové smyčky (ob. 3.5, lkton ns záponý náboj!). lkton o hmotnosti m pohybující s po kužnici j v mchanic chaaktizován vktom momntu hybnosti L. Jho hodnota vzhldm k střdu kužnic j učna vztahm L m v(fyzika I, odd. 3..3). Odtud vlikost momntu hybnosti L m v, smě vktou L j kolmý k ovině tajktoi (ob. 3.5), al j opačný nž smě vktou m. Obitální magntický momnt lktonu v atomu m j úměný momntu hybnosti lktonu L : m L (3.a) m m L (3.b) m Ob. 3.5 lkton obíhající kolm jáda, jho obitální magntický momnt m a momnt hybnosti L vzhldm k střdu tajktoi 8