Molekula vodíku. ez E. tak její tvar můžeme zjednodušit zavedením tzv. Bohrova poloměru vztahem: a celou rovlici (0.1) vynásobíme výrazem

Transkript

1 Molkul vodíku Přípvná část tomové jdnotky Vzmm-li si npř. Schodingovu ovnici: Z, (0.) m tk jjí tv můžm zjdnodušit zvdním tzv. ohov poloměu vzthm: (0.) m Pokud v těchto jdnotkách udm měřit vzdálnosti, noli x nhdím nhdím x clou ovlici (0.) vynásoím výzm m, dostnm tv: x stjně x Z, (0.) kd j v jdnotkách ohov poloměu ngi v jdnotkách Ht, přičmž: Výsldkm j Schodingov ovnic v tomových jdnotkách. Ht (0.4) Iont molkuly vodíku V souldu s on-oppnhimovou poximcí přdpokládám, ž s lkton pohyuj v poli pvných jd. Dál přdpokládjm, ž vzdálnost jd j ž jád lží n os z v odch z. Vzdálnost lktonu od jd oznčím jko. Odpovídjící nltivistický zspinový hmiltonián j ovn: H, (0.5) m kd j náoj lktonu v soustvě CGS (náoj lktonu vydělný 4 0 ). Přiližnou vlnovou funkci zákldního stvu Schodingovy ovnic:

2 H (0.6) udm hldt v tvu linání kominc tománích vlnových funkcí: c c (0.7) Z volím nomlizovné vlnové funkc zákldního stvu tomu vodíku loklizovné v místch jd :, xp, (0.8) Dál využijm toho, ž jsou vlnové funkc zákldního stvu tomu vodíku, noli po ně pltí: m,,,, (0.9) kd Ht j ngi zákldního stvu tomu vodíku. 0,5 Pokud ovnici (0.6), v kté z H dosdím (0.5) z dosdím (0.7), vynásoím komplxně sdužnými vlnovými funkcmi (jdnou zlv poduhé ) násldně oě ovnic vyintgujm přs posto, tk s využitím (0.9) dostnm soutvu ovnic: y y, (0.0) C kd C, S S c y. Pvky mtic jsou pk intgály: c d (0.) C d (0.) S d (0.) Vynásoním (0.0) invzní mticí k mtici zlv přvdm clý polém n hldání vlstních čísl vktoů mtic: C S CS S CS C S (0.4)

3 C Po vlstní číslo dostnm symtické řšní ( c c ) s ngií: S S C (0.5) S C S vlstním číslm dostnm ntisymtické řšní ( c c ) s ngií: S C (0.6) S Z poždvku nomování ( d ) učím koficinty vlnových funkcí symtického ntisymtického řšní: S S S (0.7) (0.8) Intgály, C S, tdy i clková ngi závisí n vzdálnosti jd. ychom získli tyto závislosti j tř dné intgály vypočítt. Zvdm si nové intgály K L: K L d (0.9) d (0.0) pomocí nichž (spolu s intgálm S) můžm vyjádřit intgály C jko: S L Intgály lz vypočítt nlyticky v liptických souřdnicích:,,,, C (0.) K (0.)

4 0. (0.) Jkoián této tnsfomc j, noli d j: dd d.výsldkm K, (0.4) L, (0.5) S, (0.6) kd j vzdálnost jd v tomových jdnotkách. Clková ngi jko funkc vzdálnosti jd pk vypdá tkto: S, Po symtické řšní má ngi minimum po hodnotu 0,5. (0.7) Hustot pvděpodonosti výskytu lktonu po symtické ntisymtické řšní j: S S S S S (0.8) (0.9) Pokud s změřím n střd spojnic jd, kd pltí, zjistím, ž po ntisymtické řšní j hodnot hustoty pvděpodonosti nulová, tudíž v tomto stvu s nvytváří chmická vz. Nopk po symtické řšní j hodnot hustoty pvděpodonosti dokonc vyšší nž součt hustot pvděpodoností po dv nintgující tomy v stjné gomtické konfiguci. Clková vlnová funkc lktonu v zákldním stvu iontu H j zřjmě ovn: kd j spinová vlnová funkc lktonu. S

5 Zpět k polému molkuly vodíku Hitlov-Londonov mtod Přdpokládám npohylivá jád. Njpv nlznm postoovou část spinové funkc, ktou pk vynásoím příslušnou spinovou částí (noť dný Hmiltonián npůsoí n spinovou část). H, (0.0) m kd čísly, oznčujm lktony písmny, jád. j vzdálnost jd. Indxy u oznčují částic, mzi ktými měřím dnou vzdálnost. Dál vyjděm z vlnových funkcí popisujících dv vzdálné nintgující tomy vodíku: Pvní funkc. odpovídá pvnímu lktonu v zákldním stvu tomu vodíku s jádm duhému lktonu v zákldním stvu tomu vodíku s jádm. U duhé funkc j ol lktonů pohozn. Oě funkc odpovídjí ngii, kd j ngi zákldního stvu tomu vodíku. Po vyhovuj ovnici: m (0.) nlogicky: m (0.) Dlší postup j zcl nlogický výpočtu iontu vodíku s tím, ž nhdím: dostnm: S S (0.)

6 S (0.4) S C (0.5) S C (0.6) S kd S j přkyvový intgál:,, S d d (0.7) C j coulomovský intgál: j výměnný intgál: C d d (0.8) d d (0.9) Přkyvový intgál po molkulu vodíku j po stjnou vzdálnost jd ovn kvdátu přkyvového intgálu po iont molkuly vodíku. Coulomovský intgál j střdní hodnot coulomovské intkc mzi dvěm náoji s hustotou náoj. Výměnný čln nmá žádnou klsickou nlogii j důsldkm konstukc vlnové funkc podl pvidl kvntové mchniky. Ukzuj s, ž 0, C 0 ž pltí S. Z vznik vzy v molkul vděčím výměnnému intgálu. Pokud y yl nulový, ndošlo y k vzniku stilního stvu s minimm clkové ngi při končné vzdálnosti jd. Výsldná vlnová funkc s skládá z části postoové spinové. Jlikož výsldná funkc musí ýt ntisymtická, j tř vynásoit symtickou postoovou část ntisymtickou spinovou nopk. Výsldkm j vlnová funkc: S, ktá odpovídá singltnímu stvu. Podoně j xcitovný tipltní stv popsán vlnovými funkcmi:,,

7 . Vylpšní výpočtu molkuly vodíku Náoj jád jko pmt V této mtodě j do tomových oitlů zvdn náoj jád z viční pmt: Z ', ktý j povžován xp ' Z xp ' Z (0.40) (0.4) Tkto získám lpší souhls s xpimntálně zjištěnou hodnotou 0, všk chy disociční ngi j stál vlká. Ukzuj s, ž hustot pvděpodonosti nlézt lkton v molkul vodíku při vzdlování od jd klsá ychlji nž u tomu vodíku ( Z ' ). Zhnutí iontových stvů Zd do vlnové funkc zhnm ovněž iontové stvy (pvděpodonost nlézt o lktony u jdnoho jád). S (0.4) kd j nomlizční fkto viční pmt. Lpší uční disociční ngi, l chy stál vlká. Vzájmná polizc tomů vodíku Doposud yly uvžovány pouz sféicky symtické tomové oitly vzhldm k jádům tomů vodíku. Z toho důvodu uvžujm funkc tvu:, (0.4) s p kd p-funkc míří podél spojnic jd. Tkto získám lpší odhd ovnovážné vzdálnosti jd, všk ni zd nní dosžno uspokojivého souhlsu s xpimntm po uční disociční ngi.

8 Hundov-Mulliknov mtod V této mtodě njpv konstuujm molkulové oitly jdnotlivých lktonů z nich tpv sstvím dvoulktonovou vlnovou funkci: (0.44) Pokud jd o disociční ngi, tk dostávám hoší výsldk nž u původní H-L mtody. Příspěvk iontových stvů j zd nlisticky přcněn ( ). Kolc pohyu lktonů Doposud zndávným fktm j kolc pohyu lktonů. ozznávám dv stupně kolc pohyu lktonů. Pvním j sttická kolc, ktá znmná spktování ntisymti úplné mnoholktonové vlnové funkc. To všk ocně nstčí. Díky coulomovské intkci lktonů funkc musí ocně závist n (dynmická kolc). j vzájmný pohy lktonů kolován vlnová Výpočt Jms Coolidg Zvdli liptické souřdnic:,, pmt umožňující xplicitně uvžovt lktonovou kolci:. Úhly oznčují pootoční podél spojnic jd. Část vlnové funkc nzávislá n yl přdpokládán v tvu ozvoj: m n j k p n m k j p cmnjkp, (0.45) m, n, j, k, p kd koficinty c mnjkp jsou viční pmty.

9 Přsný výpočt molkuly vodíku musí zhnovt: Kolci lktonů ltivistické fkty (závislost hmotnosti n ychlosti, tdc coulomovské intkc, spin-oitální vzu, Dwinův čln spin-spinovou intkci) Nditické kokc Kolci n končný ozmě jád diční kokc (souvisjící s nutností zpočítt kvntování lktomgntického pol)