Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE OBVODŮ II. Učební text. Jaromír Kijonka a kol.

Transkript

1 Vyská škla báňská Technická univerzita Ostrava TEORE OVODŮ čební text Jarmír Kijnka a kl. Ostrava 7

2 Recenze: Prf. ng. Jsef Paleček, Sc. Název: Terie bvdů utr: Jarmír Kijnka a kl. Vydání: první, 7 Pčet stran: 57 Vydavatel: VŠ TO Studijní materiály pr studijní prgram Elektrtechnika fakulty elektrtechniky a infrmatiky Jazykvá krektura: nebyla prvedena. rčen pr prjekt: Operační prgram Rzvj lidských zdrjů Název: E-learningvé prvky pr pdpru výuky dbrných a technických předmětů Čísl:.O4..3/3..5./36 Realizace: VŠ Technická univerzita Ostrava Prjekt je splufinancván z prstředků ESF a státníh rzpčtu ČR J. Kijnka a kl. VŠ Technická univerzita Ostrava SN

3 POKYNY KE STD Prerekvizity Pr studium předmětu Terie bvdů se předpkládá abslvvání předmětu Terie bvdů. ílem předmětu íl předmětu je naučit studenty analyzvat jevy ve vícefázvých sustavách, v přechdných jevech, v dvjhranech, bvdech s nastavitelnými a rzprstřenými parametry. Pr kh je předmět určen Mdul je zařazen d bakalářskéh studia studijních prgramů Elektrtechnika, Prjektvání elektrických zařízení a Mechatrnika, ale může jej studvat i zájemce z kteréhkliv jinéh bru.

4 Obsah. Trjfázvé bvdy Přechdné jevy Dvjbrany Přensy dvjbranů Fázrvé čáry esilvače Obvdy s rzprstřenými parametry Hmgenní vedení Labratrní úlhy... 5

5 . Trjfázvé bvdy. Trjfázvé bvdy, zapjení zdrjů a sptřebičů v trjfázvých bvdech, analýza bvdů při harmnickém napájení Čas ke studiu: 6 hdin íl: p prstudvání tht dstavce budete umět: spjvat zdrje a sptřebiče d trjfázvých bvdů, definvat vzájemný pměr fázvých a sdružených (síťvých bvdvých veličin při zapjení d hvězdy i d trjúhelníka, analyzvat jednduché trjfázvé bvdy v ustáleném stavu, analyzvat jednduché pruchvé stavy v trjfázvých bvdech. Výklad. Úvd a základní pjmy 6 S 6 S P 6 R O ωαt 6 J P 6 6 Obr. Příčný schematický řez trjfázvým generátrem načky ve vdičích značují směr prudu X je směr d papíru, tečka směr z papíru. drje trjfázvé elektrické energie jsu trjfázvé generátry. Jsu t vlastně tři jednfázvé generátry v jednm knstrukčním celku. Na br. vidíme příčný řez schematicky znázrněnéh trjfázvéh generátru. Rtr (táčivá část R je tvřený elektrmagnetem, napájeným stejnsměrným prudem, který se táčí klem sy O. Statr S z dynamvých plechů má p bvdě 5

6 . Trjfázvé bvdy drážky a v nich vinutí jedntlivých fází, v našem příkladě je t 6 drážek - tedy na každu fázi jedna cívka (ve skutečných strjích bývá na jednu fázi cívek a tedy i drážek mnhem více s rztečí 6, v kterých jsu umístěna vinutí jedntlivých fází a a, b b, c c, kde a, b, c jsu začátky a a,b,c knce fází. Sled fází (např. začátků a b c je takvý, že při táčení rtru se dstává jeh severní pól SP nejprve pd začátek fáze a, ptm b a naknec c. V jedntlivých vinutích (fázích statru se indukují následkem phybvé elektrmagnetické indukce střídavá napětí kamžitých hdntách u, u a u, které mají všechny stejnu frekvenci (peridu. Vhdným tvarem pólvých nástavců SP a JP se dsahuje, že rzlžení indukce magnetickéh ple (hustty magnetickéh tku Φ ve vzduchvé mezeře mezi nástavcem a statrem je prakticky harmnické (sinusvé: t m sinα ( Jestliže se rtr táčí knstantní úhlvu rychlstí ω, můžeme úhel táčení α vyjádřit pmcí času α ω t +, takže u ψ sin t m ( ω + ψ a když plžíme pčáteční fázi napětí ve fázi ψ, ptm u m sinω t (3 Napětí indukvané ve fázi b má stejnu frekvenci, ale je vůči napětí u fázvě psunuté úhel π (, prtže začátek fáze b je - ptčený vůči začátku fáze a. Severní pól rtru se 3 dstane pd začátek fáze b dbu T/3 (je-li T dba jedné táčky pzději a tmu dpvídá úhel. Pdbně napětí indukvané d fáze c je vůči u psunuté mínus 4 resp. +. V trjfázvém generátru se tedy indukuje sustava třech napětí stejném kmitčtu, ale různých fázích. Prt nazýváme vinutí, v kterých se indukují napětí různých fázích stručně také fázemi. Trjfázvu sustavu napětí můžeme tedy vyjádřit analyticky: u sinω t m ( t + ( t u m sin ω (4 u sin ω m běžných trjfázvých generátrů, které jsu knstruvané gemetricky suměrně (pdbně jak schematický mdel na br., jsu maximální hdnty indukvaných napětí v jedntlivých fázích stejné: m m m m (5 Fázvé rzdíly dvu za sebu jducích fázvých napětí jsu také stejné a rvnají se 36 Ψ - Ψ Ψ - Ψ Ψ - Ψ (6 3 Okamžité hdnty napětí jsu ptm dány rvnicemi: u sinω t m ( t ( t + u sin ω (7 m u sin ω m ( 6

7 . Trjfázvé bvdy a tvří tzv. suměrnu sustavu napětí - br.. Fázry napětí jedntlivých fází suměrné sustavy napětí jsu dány vztahy: j j + j. e, e, c e (8 a příslušný fázrvý diagram je na br. 3. Jedn napětí, bvykle plžíme d reálné sy. Vidíme, že kncvé bdy fázrů, a leží na kružnici psané z pčátku kmplexní rviny. Úhly mezi dvěma za sebu jducími fázry jsu. Prtže běžné trjfázvé generátry ddávají suměrnu sustavu napětí, je tent druh napájení trjfázvých bvdů (sítí nejčastější. +j u u u t + T 3 T 3 T 3 T Obr. Časvý průběh napětí Obr. 3 Fázry napětí Když není splněna pdmínka (5 neb (6 neb ani (5 ani (6 sučasně, hvříme nesuměrné sustavě napětí. Pdbně rzeznáváme a definujeme i suměrnu a nesuměrnu sustavu prudu.. půsby spjvání fází trjfázvých generátrů a sptřebičů apjení d hvězdy Při tmt způsbu spjíme d uzlu (středu, zvanéh nulvý bd buď začátky neb knce vinutí fází generátru, a a ze začátků, a vyvedeme tři linkvé vdiče vedení. nulvéh bdu se vyvede bvykle čtvrtý tzv. střední vdič (tent vdič se vyvést nemusí. Spjení d hvězdy značujeme písmenem Y. 7

8 . Trjfázvé bvdy Î Î Î Û Û Î Obr. 4 apjení vinutí d hvězdy Obr. 5 apjení vinutí d hvězdy apjení vinutí tčivých strjů (mtrů a generátrů se kreslí schematicky bvykle pdle br. 4. transfrmátrů (statických strjů je bvyklejší způsb pdle br. 5. Při zapjení d hvězdy můžeme naměřit dva druhy napětí: fázvé a sdružené. Na jedntlivých fázích generátru, neb trjfázvéh sptřebiče, případně mezi linkvými vdiči a středním vdičem čtyřvdičvéh vedení naměříme fázvá napětí,,. udeme je značit jediným indexem, dpvídajícím dané fázi neb indexem f - f. Pčítací šipky vyjadřující předpkládanu rientaci fázvých napětí budeme jedntlivě vlit vždy d vlnéh knce (začátku k vázanému knci, tj. k nulvému bdu br. 6. Takvát vlba rientace pčítacích šipek je v suladu s vlbu pčítacích šipek a také svrkvéh napětí stejnsměrných, resp. jednfázvých generátrů. V silnprudé elektrtechnice je však velmi častá pačná vlba rientace pčítacích šipek pdle br. 7. Samzřejmě jsu ba způsby rvncenné a je věcí dhdy, který z nich pužijeme. Mezi dvěma libvlnými vlnými knci (tj. začátky dvu fází naměříme sdružená napětí (také se jim říká síťvá napětí, budeme je značit dvěma indexy, a. neb indexem s s. Jestliže zatížíme trjfázvý generátr zapjený d hvězdy, prtékají linkvými vdiči prudy Î, Î a Î, které jsu shdné s prudy tekucími jedntlivými fázemi generátru neb sptřebiče, jak je vidět na br. 6. Při spjení d hvězdy tedy platí, že síťvé (linkvé prudy jsu shdné s prudy fázvými ( f s. Při nesymetrickém prvzu prtéká středním vdičem tzv. vyrvnávací prud (význam vysvětlen dále Î, jehž pčítací šipku rientujeme pačně než u linkvých prudů, tedy směrem ke generátru. Jestliže aplikujeme na nulvý bd generátru uzlvý zákn, dstaneme vztah mezi vyrvnávacím a linkvými prudy: + + (9 Jestliže střední vdič není vyveden, nemůže vyrvnávací prud prtékat a ptm platí: + + ( 8

9 . Trjfázvé bvdy Î Î Î Obr. 6 Orientace šipek fázvých fázvých napětí hvězdy Obr. 7 Jiný způsb rientace šipek napětí u hvězdy plikváním smyčkvéh zákna na (neuzavřené smyčky, a dstaneme vztahy mezi fázvými a sdruženými (síťvými napětími:,, ( ( vidíme výhdu zavedenéh značení sdružených a fázvých napětí: dané sdružené napětí můžeme autmaticky vyjádřit jak rzdíl dvu fázvých napětí, jejichž indexy jsu stejné jak indexy danéh sdruženéh napětí včetně přadí. Jestliže sčítáme levé a pravé strany rvnic (, dstaneme důležitý závěr: ( Sučet fázrů sdružených napětí trjfázvé sustavy je rven nule. Fázrvý diagram napětí z br. 4 je nakreslený na br. 8, kde fázvá napětí směřují z nuly d bdů, a, zatímc ve schématu na br. 6 z bdů,, d nuly. Pdbně sdružená napětí, a jsu rientvané ve schématu d bdu d resp. d d a d d, kdežt v diagramu napak. 9

10 fázrvéh diagramu na br. 8 můžeme lehk gemetricky dvdit vztah mezi velikstmi sdružených a fázvých napětí. Pr trjúhelník platí:. Trjfázvé bvdy +j 3 s / s sin 6 a z th s f f 3. &, f f (3 fázrvéh diagramu můžeme též gemetricky dvdit vztah mezi fázvými napětími suměrné sustavy: (4 Sučet fázvých napětí je při suměrnsti sustavy rven nule. 6 Obr. 8 Fázrvý diagram napětí + apjení d trjúhelníka Při tmt způsbu spjíme navzájem knec vinutí jedné fáze se začátkem susední fáze, takže tři fáze tvří trjúhelník. těcht tří bdů spjení vyvedeme trjvdičvé vedení. Pčet vdičů vedení je vždy tři. půsby kreslení schémat vidíme na br. 9 pr tčivé strje a na br. pr statické strje např. transfrmátry. Spjení d trjúhelníku značíme písmenem D. uvedených schémat je patrný i způsb vlby rientace pčítacích šipek a značení napětí a prudů. Při zapjení d trjúhelníka existuje jen jeden druh napětí. Napětí na fázích generátru jsu ttžná s napětími mezi linkvými vdiči. Při spjeni d trjúhelníka je tedy fázvé a sdružené napětí shdné ( f s. Při tmt spjení jsu všem rzdílné prudy síťvé (linkvé, ty budeme je značvat dvěma indexy, tedy,, neb indexem s a prudy fázvé v jedntlivých fázích generátru (a pdbně i trjfázvéh sptřebiče zapjenéh d trjúhelníka ty budeme značvat s jedním indexem fázvé,,, ( Î. Fázvé prudy rientujeme tak, aby platily vztahy (5 a (6 - br.. f s Î Î Î Î Î Î Obr. 9 apjení fází generátru d trjúhelníka Obr. apjení fází transfrmátru d trjúhelníka

11 Sčítáním levých a pravých stran rvnic (5 dstaneme:. Trjfázvé bvdy (6 tj. fázrvý sučet linkvých prudů se rvná nule. plikací smyčkvéh zákna na schéma z br. 9 dstaneme, sučet že fázrů síťvých napětí se také rvná nule: + + (7 Vztahy (6 a (7 platí pr suměrnu i nesuměrnu sustavu. Naprti tmu sučet fázrů fázvých prudů je nulvý jen tehdy, když tyt prudy tvří také suměrnu sustavu, v becném případě však ne. Jak uvidíme, tvří prudy (a t linkvé i fázvé tehdy suměrnu sustavu, jestliže zdrj suměrnéh napětí napájí suměrný sptřebič. Trjfázvý sptřebič je tedy suměrný, jestliže jsu kmplexní impedance (případně admitance všech jeh fází stejné: (8 Î Î Î Î + j Î Î Obr. Fázrvý diagram prudů + Musí se tedy rvnat mduly (veliksti i verzry impedancí všech fází sptřebiče. Jestliže takvýt sptřebič je napájen suměrnu sustavu napětí, tvří fázry linkvých prudů rvnstranný trjúhelník - br.. Pr linkvé (síťvé a fázvé prudy platí ptm vztahy: f, s.3 Řešení trjfázvých bvdů, s 3 f &,73 f (9 Trjfázvé bvdy můžeme řešit přímu aplikací Ohmva a Kirchhffvých záknů. Taktéž můžeme pužít pdle klnstí některu z metd řešení lineárních bvdů, tak jak by se jednal vícesmyčkvý jednfázvý bvd. V tmt ddílu nám však půjde t, dvdit si na základě právě zmíněných metd vztahy a pstupy, umžňující c nejphdlnější a nejrychlejší řešení různých druhů trjfázvých bvdů. Řešení trjfázvých bvdů a drj suměrný, zátěž nesuměrná Tent případ se v praxi vyskytuje velmi čast v sítích nn. Příslušný bvd je nakreslený na br.. mpedance linkvých vdičů buď zanedbáme, neb jsu již připčítané k impedancím jedntlivých fází sptřebiče, s kterými jsu zapjeny d série. mpedanci středníh vdiče musíme však uvažvat, prtže tut nemůžeme jednduchým způsbem přičítat k impedancím fází sptřebiče a jak uvidíme, její velikst značně vlivňuje pměry v bvdě.

12 . Trjfázvé bvdy Obvd má tři nezávislé smyčky, ale jen jeden nezávislý uzel. Metda smyčkvých prudů by byla nevhdná, prtže by vedla na řešení třech smyčkvých rvnic třech neznámých. Obvd můžeme pměrně rychle vyřešit metdu paralelních generátrů, jak t jasně vidíme z překreslenéh schema na br. 3. Napětí je ptm dán vztahem: i i Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y + + Y i Y ( Napětí na jedntlivých fázích sptřebiče dstaneme aplikací smyčkvéh zákna na smyčky ; a :, (. Prudy v jedntlivých fázích sptřebiče (rvnající se linkvým prudům z Ohmva zákna:,, ( Prud středním vdičem je pdle vztahu: neb také (3 Î Î Î Ẑ Ẑ Ẑ Obr. Suměrný generátr d Y napájí nesuměrnu zátěž d Y

13 . Trjfázvé bvdy +j Ẑ Ẑ Ẑ Ẑ + Obr. 3 Překreslené schéma z br. Obr. 4 Fázrvý diagram napětí bvdu z br. 3 Příslušný fázrvý diagram (. druhu je na br. 4. Vidíme, že následkem nesymetrie sptřebiče vznikne mezi nulvým bdem generátru a nulvým bdem sptřebiče napětí, které půsbí, že fázvé napětí sptřebiče už netvří suměrnu sustavu. Napětí na jedné (neb na dvu fázích sptřebiče se vůči napětí zdrje zvětší a na zbývajících dvu (neb jedné se zmenší. Tent jev je nežáducí, nebť byčejně chceme, aby všechny fáze sptřebiče byly na stejném napětí. Prt se snažíme, aby trjfázvá síť byla pkud mžn rvnměrně zatížena. b drj suměrný, zátěž suměrná Schéma zapjení je stejné jak v předešlém případě br. 3, takže můžeme pužít pr výpčet vztah (, d kteréh dsadíme pdmínku symetrie Y Y Y Y. Dstaneme: Y Y + Y + Y + Y + Y Y ( + + Y Y + Y + + Y + Y Prtže sučet fázvých napětí suměrné sustavy je pdle (4 nulvý. Vidíme, že při suměrnsti zdrje i sptřebiče je napětí mezi nulu zdrje a nulu sptřebiče nulvé. Důsledkem th i fázvé napětí sptřebiče a zdrje jsu stejné (při zanedbání impedance vdičů.,, (5 Prudy můžeme vypčítat přím z fázvých napětí zdrje pmcí Ohmva zákna:,, (6 jϕ Prtže ve vztazích (6 je každé fázvé napětí pdělen tu samu impedancí e, jsu prudy c d veliksti stejné a psunuté stejný úhel vůči napětí své fáze. th vyplývá, že i prudy tvří suměrnu sustavu (br. 6. Jejich fázrvý sučet se rvná nule (na br. 5 čárkvaně: + + (7 (4 3

14 . Trjfázvé bvdy Tj. středním vdičem neteče žádný prud. Prt u bvdů se suměrným zdrjem a suměrnu zátěží můžeme střední vdič vynechat. Přest se však bvykle střední vdič přece jen vyvede a t pr případ prušení symetrie sptřebiče. +j Î ϕ Î Î ϕ Î Î ϕ Î + Ẑ Obr. 5 Fázrvý diagram suměrnéh sptřebiče zapjenéh d Y napájenéh suměrným zdrjem zapjeným d Y Obr. 6 Jednfázvé náhradní schéma suměr. sptřebiče zapjenéh d Y, napájenéh ze suměrnéh zdrje zapjenéh d Y uvedenéh vyplývá také, že trjfázvý bvd se suměrným napájením a suměrnu zátěží můžeme řešit jak jednfázvý bvd pdle schématu br. 6. Stačí vypčíst jen prud v jedné fázi pdle vztahu Î / a prudy v statních fázích mají stejnu velikst a jsu vůči prudu v první fázi tčené - a +. átěž zapjená d trjúhelníka (impedance vedení je zanedbatelná Fázvé prudy sptřebiče můžeme vypčítat velmi jednduše bezprstřední aplikací Ohmva zákna. Jak vidíme z br. 7, jsu impedance zátěže Ẑ, Ẑ, Ẑ připjeny bezprstředně na linkvá napětí,, takže platí:,, (8 Linkvé prudy můžeme ptm vypčíst ze vztahů (5. Vztahy (5 a (8 platí bez hledu na t, zda jsu napětí zdrje neb sptřebiče suměrná neb nesuměrná. Pr suměrný sptřebič napájený suměrným generátrem však vyplývá, že i sustava fázvých a také linkvých prudů bude suměrná, takže stačí řešit jen pr jednu fázi. 4

15 . Trjfázvé bvdy Î Î Ẑ Ẑ Î Ẑ Î Î Î Obr. 7 átěž zapjená d D, impedance vedení zanedbaná Jednduché pruchvé stavy v trjfázvém bvdě V trjfázvých bvdech mhu vzniknut různé druhy pruchvých stavů. Pr ilustraci prbereme dva velmi časté pruchvé stavy, které nastanu, když na suměrný zdrj je připjený sptřebič d hvězdy, který byl půvdně suměrný, avšak následkem přerušení neb zkratvání jedné jeh fáze se stal nesuměrným. Vzniklá nesymetrie fázvých napětí na zátěži je největší, když je vedení trjvdičvé, tj. bez středníh vdiče. Prt budeme zkumat právě tent případ. a Přerušení jedné fáze sptřebiče Ẑ Ẑ Ẑ Obr. 8 Přerušení jedné fáze 5

16 . Trjfázvé bvdy Následkem pruchy je přerušený přívd k jedné fázi (např. k fázi zátěže - br. 8, tj. Ẑ resp. Y. Prtže byla zátěž půvdně suměrná, platí Y Y Y. Dsaďme tyt pdmínky d výrazu (, prtže se jedná specielní případ bvdu, suměrný zdrj, zátěž nesuměrná. Pr suměrnu sustavu fázvých napětí zdrje platí Y. Fázvá napětí na sptřebiči jsu pdle (:, + + jak je vidět z br., jejich abslutní hdnty jsu: f f 3,866 f + + a při izlvaném uzlu Při přerušení jedné fáze, klesne napětí na statních dvu fázích sptřebiče na 86,6 % půvdní hdnty. Napětí na přerušené fázi sptřebiče je zřejmě nulvé. Napětí +,5 není na fázi sptřebiče, ale mezi bdy a. b kratvání jedné fáze sptřebiče Při zkratvání jedné fáze sptřebiče, např., můžeme ze schématu na br. přím zjistit, že napětí a teda. Napětí na statních dvu fázích sptřebiče jsu: a jsu ttžné se sdruženými napětími zdrje, jak vidíme ; Obr. 9 Fázrvý diagram napětí bvdu při přerušení jedné fáze +j + Ẑ Ẑ Ẑ Obr. krat jedné fáze 6

17 . Trjfázvé bvdy +j + také přím ze schématu br. neb z fázrvéh diagramu br.. Jejich abslutní hdnta je 3,73 f Obr. Fázrvý diagram napětí při zkratu jedné fáze f f s Při zkratvání jedné fáze sptřebiče se zvýší napětí na statních dvu fázích 73 %. T může vést k dalším pruchám, např. když by se jednal žárvky, zmenšila by se pdstatně jejich živtnst..4 Výkny v trjfázvých symetrických sustavách Spjení fází d hvězdy Při tmt spjení platí vztahy mezi velikstmi fázvých a sdružených (síťvých napětí a prudů: s 3. f ; s f ; (9 dánlivý výkn jedné fáze a celé sustavy (3-fázvý vypčteme: S f f. f (V.; S 3f 3. S f 3. f. f 3. s. s (V. (3 Činný výkn jedné fáze a celé sustavy (3-fázvý vypčteme: P f S f. csφ f. f. csφ (W; P 3f 3. P f 3. f. f. csφ 3. s. s. csφ (W (3 Jalvý výkn jedné fáze a celé sustavy (3-fázvý vypčteme: Q f S f. sinφ f. f. sinφ (var, Q 3f 3. Q f 3. f. f. sinφ 3. s. s. sinφ (var (3 Spjení fází d trjúhelníka Při spjení d trjúhelníka platí vztahy mezi velikstmi fázvých a sdružených (síťvých napětí a prudů: s f ; s 3. f ; (33 7

18 . Trjfázvé bvdy dánlivý výkn jedné fáze a celé sustavy (3-fázvý vypčteme: S f f. f (V.; S 3f 3. S f 3. f. f 3. s. s (V. (34 Činný výkn jedné fáze a celé sustavy (3-fázvý vypčteme: P f S f. csφ f. f. csφ (W; P 3f 3. P f 3. f. f. csφ 3. s. s. csφ (W (35 Jalvý výkn jedné fáze a celé sustavy (3-fázvý vypčteme:q f S f. sinφ f. f. sinφ (var, Q 3f 3. Q f 3. f. f. sinφ 3. s. s. sinφ (var (36 když frmálně jsu vztahy pr výpčet stejné při zapjení d hvězdy i d trjúhelníka, je zřejmé, že při spjení shdných impedancí d trjúhelníka a d hvězdy v jedné sustavě, je debíraný výkn zátěže spjené d trjúhelníka větší. Při nesuměrné sustavě musíme vypčítat výkny v jedntlivých fázích zvlášť. Třífázvý (celkvý výkn ptm dstaneme jejich sučtem. Text k prstudvání [] Mikulec, M.; Havlíček, V.: áklady terie elektrických bvdů. Skriptum ČVT Praha999; článek 7. Studijní texty [] Mayer, D.: Úvd d terie elektrických bvdů. SNTL/LF, Praha 98, kapitla Otázky Pr věření, že jste dbře a úplně látku kapitly zvládli, máte k dispzici něklik teretických tázek.. Vysvětlete princip 3-fázvéh generátru!. Jaký je fázvý psun mezi fázry napětí fáze a fáze? 3. musí splňvat suměrná sustava? 4. plikujte větu paralelních generátrech na řešení 3-fázvých bvdů! Odpvědi naleznete ve výkladu, dst.. (.tázka, br..3 (.tázka, dst.. (3.tázka, dst..3. (4.tázka. Úlhy k řešení. ( bdy Napište vztahy mezi fázvými a síťvými napětími a fázvými a síťvými prudy u symetrické sustavy zapjené d hvězdy. Dále napište vztahy pr výpčet zdánlivéh, činnéh a jalvéh výknu jednfázvéh i trjfázvéh. 8

19 . Trjfázvé bvdy. ( bdy Napište vztahy mezi fázvými a síťvými napětími a fázvými a síťvými prudy u symetrické sustavy zapjené d trjúhelníka. Dále napište vztahy pr výpčet zdánlivéh, činnéh a jalvéh výknu jednfázvéh i trjfázvéh. 3. (6 bdů Vyšetřete napětí, prudy a činný výkn v trjfázvém bvdu v pruchvém stavu -br. (dknalý zkrat mezi svrkami. Nakreslete fázrvý diagram napěťvých a prudvých pměrů. 4/ 3 V, Ẑ R Ω Klíč k řešení. s 3. f ; s. f ; S f f. f (V.; S 3f 3. S f 3. f. f 3. s. s (V. P f S f. csφ f. f. csφ (W; P 3f 3. P f 3. f. f. csφ 3. s. s. csφ (W Q f S f. sinφ f. f. sinφ (var Q 3f 3. Q f 3. f. f. sinφ 3. s. s. sinφ (var. s f ; s 3. f ; S f f. f (V.; S 3f 3. S f 3. f. f 3. s. s (V. P f S f. csφ f. f. csφ (W; P 3f 3. P f 3. f. f. csφ 3. s. s. csφ (W Q f S f. sinφ f. f. sinφ (var Q 3f 3. Q f 3. f. f. sinφ 3. s. s. sinφ (var j 3. 3,94 V 3,94. e V ( -5,47 - j V 3,94. V e j + j ( -5,47 + j V 3,94. e V j 3,94. e V.e j V Ω ( -346,4 - j V 4. e j5 V 9

20 . Trjfázvé bvdy 3 ( -346,4 + j V 4. V j5 e + Î Î e j (69,8 + j 69,8. e j5 (-34,64 j 4. Î3 (-34,64 + j 4. j5 e + P 3f. csφ +. csφ csφ cs cs 3 W utkntrla Pkud jste získali z kntrlních tázek a příkladů alespň 5 bdů, je mžn přejít ke studiu jiných témat. V pačném případě je nutné kapitlu znvu prstudvat a pakvaně vypracvat dpvědi na kntrlní tázky. adání samstatné práce č. :. Napište pdmínku pr: a vyváženst trjfázvéh zdrje napětí, b suměrnst trjfázvéh zdrje napětí, c symetrii trjfázvé zátěže, d ptimální prvz trjfázvéh bvdu tvřenéh trjfázvým zdrjem a trjfázvu zátěži a graficky ji zbrazte. Hdncení za zpracvání: neb bd.. Vyřešte pdle vašeh rzhdnutí právě jednu z variant zadání:.varianta: suměrný trjfázvý zdrj zapjený d hvězdy, k němuž je připjena symetrická trjfázvá zátěž zapjená a d hvězdy, b d trjúhelníka. Hdncení za vyřešení: neb bd, hdncení za psudek neb bd.. Varianta: suměrný trjfázvý zdrj zapjený d hvězdy, k němuž je připjena nesymetrická trjfázvá zátěž zapjená d hvězdy a třemi fázvými vdiči, b třemi fázvými vdiči a nulvým vdičem. Hdncení za vyřešení: až bdy, hdncení za psudek až bdy. 3. Varianta: suměrný trjfázvý zdrj zapjený d hvězdy, k němuž je připjena libvlná trjfázvá zátěž zapjená d hvězdy se záměnu nulvéh vdiče s libvlným fázvým vdičem a ke středu zdrje je připjen fázvý vdič, b ke středu zdrje není připjen žádný vdič.

21 Hdncení za vyřešení: až 3 bdy, hdncení za psudek až bdy. Hdncení za devzdání prjektu: d knce 5. týdne výuky bd, jinak bdů. Trjfázvé bvdy Hdncení za prezentaci prjektu na výpčetním cvičení d knce 8. týdne až 3 bdy, jinak bezpdmínečně bdů. V kmbinvané frmě studia není prezentace vyžadvána, když student kmbinvanéh studia devzdá prjekt d knce 5. týdne semestru bdrží 4 bdy, jinak bdů. Řešení bsahuje: - výpčet kmplexních hdnt všech bvdvých veličin a všech výknů zátěže i zdrje, - zbrazení fázrvých digramů napětí a prudů, - zbrazení kamžitých hdnt napětí, prudů a výknů. Psudek bsahuje: Vlastní dbrný názr na hdnty bvdvých veličin a výknů řešené varianty zapjení bvdu. K řešení pužijte virtuální labratř!

22 . Přechdné jevy. Přechdné jevy Čas ke studiu: 6 hdin íl: P prstudvání textu tét studijní pdpry budete umět: definvat příčiny vzniku přechdnéh děje a stanvit pčáteční pdmínky. určit řád bvdu (z hlediska přechdnéh děje. sestavit bvdvé rvnice v časvé blasti. řešit přechdné děje v bvdech. a. řádu. psudit význam časvé knstanty bvdu (z hlediska ustálení stavu bvdu.. Úvd Výklad ž dsud jsme řešili elektrické bvdy v ustáleném stavu. Všechny elektrické veličiny byly stacinární (v čase neb se měnily harmnicky. Předpkládal se, že daný stav trvá velmi dluh. Skutečnst je však jiná. - "před knečnu dbu" existval vždy jiný stav bvdu - například vůbec nebyly připjeny zdrje. káže se, že bvd nemůže přejít z jednh ustálenéh stavu d jinéh ustálenéh stavu v neknečně krátké dbě. Mezi dvěma ustálenými stavy je vždy PŘEHODNÝ DĚJ. Kdy vzniká přechdný děj?. Při připjvání zdrjů.. Při dpjvání zdrjů. 3. Při připjvání neb dpjvání bvdvých prvků během funkce bvdu. 4. Při změnách parametrů bvdvých prvků (R, L,, zdrjů. 5. Při buzení bvdů neperidickými signály. Prč vzniká přechdný děj V praxi neexistuje "čistě" dprvý bvd. Pkud tmu tak zdánlivě je, musíme uvažvat parazitní kapacity a indukčnsti dprníků. Pkud je v bvdu funkční kapacita (mdelvaná kapacitrem neb indukčnst (mdelvaná induktrem, lze čast parazitní kapacity a indukčnsti zanedbat. Každá změna stavu bvdu vyvlá i změnu energie v kapacitrech a induktrech (ať už funkčních neb parazitních. Energie akumulvaná v kapacitru je W u / a platí i du/dt. Je zřejmé, že napětí u na kapacitru jednznačně definuje energetický stav kapacitru - je t stavvá veličina kapacitru. Tat stavvá veličina se nemůže měnit neknečně rychle (skkem, du/dt, prtže tmu by

23 . Přechdné jevy dpvídal i neknečně velký prud i (a tedy i kamžitý výkn p ui - a t není fyzikálně mžné (prud kapacitrem není stavvá veličina. Energie akumulvaná v induktru je W L Li /, dále platí u Ldi/dt. Prud i induktrem jednznačně definuje energetický stav induktru - je t stavvá veličina induktru. Tat stavvá veličina se nemůže měnit skkvě, prtže by t vedl k neknečně velké hdntě napětí. a t není fyzikálně mžné (napětí na induktru není stavvá veličina. PŘ JKÉKOLVMĚNĚ VE STV OVOD S PROD NDKČNOSTÍ i L NPĚTÍ N KPTOR u HOVJÍ (PO NEKONEČNĚ KRÁTKO DO SVO HODNOT. EPROSTĚDNĚ PO MĚNĚ (čas + MJÍ STEJNO HODNOT JKO EPROSTŘEDNĚ PŘED MĚNO (čas -; ČS ODPOVÍDÁ OKMŽK MĚNY STV. Tvrzení v rámečku lze zapsat (mdelvat vztahy i L ( - i L ( + i L ( ( u ( - u ( + u ( ( které ppisují tzv. fyzikální (stavvé, energetické pčáteční pdmínky. Právě spjitá změna stavvých veličin vede k tmu, že přechd mezi dvěma ustálenými stavy je spjitý, má knečnu dbu trvání (nikdy nulvu - že vzniká přechdný děj. Pkud určíme v bvdu i statní prudy (mim prudů induktry a napětí (mim napětí na kapacitrech v čase t + a t -, hvříme matematických pčátečních pdmínkách. Lze je určit ("dpčítat" z fyzikálních pčátečních pdmínek aplikací Kirchhffvých záknů a Ohmva zákna.. Řešení bvdů. řádu Obvd. řádu bsahuje rezistry a jeden kapacitr. Neb bsahuje rezistry a jeden induktr. Výchdiskem pr řešení jsu vždy Kirchhffvy zákny a matematické mdely prvků pr becné (časvě prměnné veličiny. Obvdy R ákladní schéma (mdel bvdu R při připjení zdrje napětí u(t v čase t je na br.. Nejdříve pršetřeme situaci před sepnutím spínače S (čas t -. Kapacitr může být becně nabit na napětí u R (t t R i (t u (t S u(t i(t u (t a u ( b Obr. a Připjení zdrje napětí u(t k bvdu R; b ekvivalentní schéma kapacitru pr u ( různé d nuly. 3

24 u ( - [musíme znát celu "histrii" děje neb napětí změřit]. P sepnutí spínače S jistě platí (. Kirchhffův zákn, že u(t u R (t + u (t tedy (Ohmův zákn u(t R i R (t + u (t. Platí všem (sérivé řazení, že i(t i R (t i (t du/dt a tedy také. Přechdné jevy u(t R du /dt + u (t (3 Tím jsme bdrželi matematický ppis (mdel pr připjení zdrje napětí v čase "" k bvdu R - pdle br.a. Řešení diferenciálních rvnic. a. řádu je pdrbně ppisván v článku 8.6. Vztah (3 je nehmgenní diferenciální rvnice. řádu (bsahuje puze derivaci. řádu s knstantními keficienty. Vztah (3 můžeme frmálně upravit d pdby du /dt + u (t/(r u(t/(r (4 ptm (vzhledem k čl.8.6 platí, že: y u ( t, g( x u( t /( R, a /( R. Vždy hledáme nejdříve řešení hmgenní rvnice- příslušné ke vztahu (4 - rvnice (4 bez "pravé" strany: du /dt + u (t/(r (5 ve tvaru (index h pr řešení hmgenní rvnice u λt h ( t K e (6 P derivaci vztahu (6 a dsazení d vztahu (4 snadn určíme, že vztah (6 je vždy řešením pr λ a /( R /τ (7 kde τ R (8 je časvá knstanta bvdu R, její význam bude bjasněn dále. Dále musíme určit nějaké partikulární řešení rvnice (4. Výsledné řešení je superpzicí řešení hmgenní rvnice a řešení partikulárníh. a Stejnsměrný zdrj napětí u ( t Předpkládejme, že u( t. Ptm partikulární (dílčí řešení zjistíme snadn pr ustálený stav v čase t. Pr stejnsměrné pměry nahradíme kapacitr v ustáleném stavu rzpjeným bvdem, prt při dané jednduché knfiguraci bvdu platí (index p pr partikulární řešení y ( t u ( t u ( (9 p p prtže rezistrem R již neprtéká žádný prud, na kapacitru je "celé" napětí zdrje. Výsledné řešení má tedy tvar t / τ u ( t K e + u ( ( Řešení bsahuje neznámu knstantu K, kteru všem můžeme určit ze známéh stavu v čase t : u ( - u ( + u (, tedy platí u ( K e + u ( K + u (. Odsud snadn určíme, že K u u ( a v daném případě platí ( t / τ [ u ( u ( ] e + u ( u ( t ( 4

25 kde. Přechdné jevy τ R. Tent vztah je mžné v bvdech R. řádu pužívat zcela becně, umíme-li určit pčáteční pdmínku u ( a partikulární řešení u (. Příklad. Přesvědčte se, že řešení u ( t u ( vyhvuje rvnici (3 při u ( t. b Harmnický zdrj napětí V čase se připjuje zdrj u t cs( ω t + ϕ p Řešení: Dsadíme přím d rvnice (3; derivace knstanty je rvna nule: R d /dt +. Rvnst je splněna, pravdu se jedná partikulární řešení diferenciální rvnice. ( m Tmut zdrji u(t dpvídá mdel - viz vztah (3: R du /dt + u (t cs( ω t + ϕ ( m Řešení hmgenní rvnice je pět definván vztahem (6. stálené partikulární řešení zjistíme z harmnickéh řešení bvdu - br.. R m S jω m Obr. Řešení bvdu v harmnicky ustáleném stavu - partikulární řešení. Snadn určíme, že (fázry amplitud kde m m tg ϕ ωr R /( jω R + /( jω m e jϕ + jωr m + ( ωr e j( ϕ ϕ Ksinvému zdrji dpvídá reálná slžka kmplexru, prt je partikulární řešení m u p ( t cs( ωt + ϕ ϕr (3 + ( ωr elkvé řešení prt je R kde u t / τ ( t Ke + mω cs( ωt + ϕ ϕ R (4 5

26 . Přechdné jevy mω m + ( ωr Předpkládejme, že u (. Ptm musí platit a dsud u ( Ke K mω + mω cs( ϕ ϕ R cs( + ϕ ϕ Přechdný děj pr u ( je tedy ppsán (mdelván vztahem u R t / τ [ cs( ωt + ϕ ϕ e cs( ϕ ϕ ] ( t mω R R [ u ( ] c ntegrační článek R O integračním článku hvříme tehdy, jestliže výstupem bvdu na br. je napětí na kapacitru u (t, které je pr "stejnsměrné" buzení ppsán vztahem (. Jestliže platí, že u (, dstáváme u t / τ t τ [ e ] [ e ] t / τ / ( t e + u ( u ( (6 Graficky je tent průběh znázrněn na br.3. grafu je zřejmé, že přechdný děj knčí prakticky za dbu asi 3τ, kdy se napětí na kapacitru přiblíží na 5% k ustálené hdntě. derivace vztahu (6 v pčátku bychm mhli určit rvnici tečny v pčátku a t, že tat tečna prtíná ustálenu úrveň právě v čase t τ. (5 u (t TEČN V POČÁTK u ( u (t τ τ 3τ t Obr. 3 Průběh napětí na kapacitru - br.- při u ( a u(t d derivační článek R O derivačním článku hvříme tehdy, jestliže výstupem na br. je napětí na rezistru R. ěžně se situace znázrňuje tak, jak je tmu na br. 4. t u (t u(t S i(t R u R (t Obr. 4 Připjení napětí k derivačnímu článku R 6

27 . Přechdné jevy Snadn zjistíme, že matematický ppis je úplně stejný jak u bvdu na br.. Prt pr u ( t a t /τ u ( t e. Ptm (. Kirchhffův zákn u ( musí pět platit, že [ ] u R ( t u ( t t /τ e Grafické znázrnění napětí na rezistru je na br.5. (7 u R (t u R (t TEČN V POČÁTK τ τ 3τ t Obr. 5 Průběh napětí na rezistru - br. a 4- při u ( a u(t Obvdy RL ákladní mdel bvdu RL při připjení zdrje napětí u(t v čase t je na br. 6. t u R (t R i L (t u(t S i(t L u L (t u L (t i L ( L a b Obr. 6 a Připjení zdrje napětí u(t k bvdu RL; b Ekvivalentní schéma induktru pr nenulvu hdntu i L ( Pršetříme situaci před sepnutím spínače S (čas t -. nduktrem může becně prtékat nějaký nenulvý prud (například v elektrnických bvdech přes nějaký další spínač, který zde není nakreslen. P sepnutí spínače S musí platit (sérivé řazení; i L (t i R (t i(t 7

28 . Přechdné jevy u t u ( t + u ( t R i ( t + L di ( t / dt (8 ( R L L L Vztah (8 můžeme frmálně upravit d pdby di L /dt + i L (t/(l/r u(t/l (9 ptm (vzhledem k čl. 8.6 platí, že: y i L ( t, g ( x u( t / L, a /( L / R. Vždy hledáme nejdříve řešení hmgenní rvnice příslušné ke vztahu (9 - rvnice (9 bez "pravé" strany: di L /dt + i L (t/(l/r ( ve tvaru (index h pr řešení hmgenní rvnice i Lh ( t K e λt P derivaci vztahu ( a dsazení d vztahu ( snadn určíme, že vztah ( je vždy řešením pr λ a /( L / R /τ ( kde τ L / R (3 je časvá knstanta bvdu RL. ( a Stejnsměrný zdrj napětí u ( t Předpkládejme, že u ( t. Ptm partikulární (dílčí řešení zjistíme snadn pr ustálený stav v čase t. Pr stejnsměrné pměry nahradíme induktr L v ustáleném stavu zkratem, prt při dané jednduché knfiguraci bvdu platí (index p pr partikulární řešení y t i t i ( / R (4 p ( Lp ( L Prud v bvdu je mezen puze rezistrem R. Výsledné řešení má tedy tvar i ( t K L / e t τ + i L ( Řešení bsahuje jednu neznámu knstantu K, kteru určíme ze známéh stavu v čase t : i L ( - i L ( + i L (, tedy i L ( K e + il (. Snadn určíme, že K il ( il ( a prt platí kde t / τ [ i ( i ( ] e + i ( il ( t L L L τ L / R. Tent vztah je mžné v bvdech RL. řádu pužívat zcela becně, umíme-li určit pčáteční pdmínku i L ( a partikulární řešení i (. Předpkládáme-li, že i L (, ptm i ( t i L L L ( ur ( t R il ( u ( t u t / τ t / τ [ e ] [ e ] R t / τ t [ e ] - R ( t e Průběhy jsu zbrazeny na br. 7 t / τ L - integr. člen deriv. člen 8 (5 (6

29 . Přechdné jevy u R (t u L (t i L (t TEČN V u R (t /R i L (t u L (t τ τ 3τ TEČN V POČÁTK t Obr. 7 brazení časvéh průběhu veličin v bvdu na br. 6a t S u R (t R i L (t R S L u L (t Obr. 8 Rzpjení bvdu s induktrem b Rzpjení bvdu s induktrem Rzpjení bvdu induktru má v technické praxi čast vážné důsledky. Vznikají napěťvé impulsy, které mhu vést k destrukci elektrickéh bvdu. Situace při rzpjení je mdelvána na br. 8. Rezistr R S mdeluje dpr spínače S (v rzepnutém stavu, který se zde rzpjuje. Před rzepnutím spínače platí i L ( /R. P rzpjení spínače S platí v čase t, že i /( R + R. P rzepnutí spínače platí R + R i ( t + L di ( t / dt, tedy i L ( S d L L S i ( t / dt + i ( t /( L /( R + R / L. ( S L L řejmě platí, že časvá knstanta bvdu je τ L /( R + RS. námým pstupem zjistíme pr dané pdmínky, že i ( t L R R + R S e t / τ + R + R S R + R 9 S RS e R Nyní již můžeme určit časvý průběh všech veličin v bvdu. Při rzepnutí spínače S je napětí na rezistru R S určen právě sučinem R S i L ( R S ( /R. Napětí na induktru je určen vztahem ul ( ( R + RS il ( ( RS / R. Pr velké hdnty rezistru R S (ideálně se jedná neknečnu hdntu tak může djít ke zničení spínacíh prvku neb technické cívky. t / τ + (7

30 . Přechdné jevy c Harmnický zdrj napětí (br. 6 V čase se připjuje zdrj u t sin( ω t + ϕ Rvnice (9 nyní nabývá pdby di L /dt + i L (t/(l/r ( m sin( ω t + ϕ / L (8 m Řešení hmgenní rvnice se nemění, je stejné - viz vztah (. Při harmnickém buzení získáme partikulární řešení snadn metdu harmnické analýzy (v ustáleném stavu. Kmplexr prudu je j( ωt+ ϕ zřejmě jϕrl il ( t u ( t /( R + jωl me /( e, tgϕ RL ωl / R, R + ( ωl. Při sinvém buzení bereme imaginární slžku řešení: i [ i ( t ] sin( ω + ϕ ϕ Lp ( L mω RL t m t (9 kde mω m /. Výsledné řešení má nyní tvar t / τ L ( t K e + mω i sin( ωt + ϕ ϕ RL Předpkládáme-li, že platí i L (, ptm musí platit (3 tedy a tudíž K e + mω sin( + ϕ ϕrl K mω i ( t e L sin( ϕ ϕrl t / τ mω sin( ϕ m ω m / R + ( ωl ϕ RL + mω sin( ωt + ϕ ϕ RL (3.3 Řešení bvdů. řádu V bvdech. řádu se vyskytvala kmbinace RL neb R, v matematickém mdelu se vyskytvala nejvýše derivace. řádu. V bvdech. řádu se musí vyskytvat více než jeden akumulační prvek, a t tak, že nelze nahradit jediným ekvivalentním prvkem. Typický bvd. řádu je na br. 9. V čase t je připjen zdrj stejnsměrnéh napětí. t u R (t R u L (t L S i(t u (t Obr. 9 Obvd RL. řádu 3

31 3. Přechdné jevy Nejdříve pršetřeme situaci v čase t - (. ustálený stav. Jistě platí, že i L ( -, tedy i u R ( -. Předpkládejme, že u ( -. P sepnutí spínače S musí zůstat zachvány stavvé veličiny, tedy a i( + i L ( + i L ( - u ( + u ( - u (. V čase t (partikulární řešení,. ustálený stav jistě platí u ( (prud je p nabití kapacitru pět nulvý. v čase t musí platit Kirchhffvy zákny. Prt jistě platí R il ( + L di L ( / dt + u ( (3 Pr dané pdmínky snadn zjistíme, že pr první derivaci prudu v čase t platí d L i ( / dt / L káže se, že vztah (33 budeme ptřebvat k vyřešení přechdnéh děje bvdu. Vztah (3 musí platit becně v každém časvém kamžiku., prt (platí i(t i L (t i a rvněž u (t u : t R i + L di / dt + u R i + L di / dt + i dt (34 Obě strany rvnice (34 derivujeme a bdržíme tak diferenciální rvnici. řádu ( di / dt i ; d i / dt i ; derivace knstanty je rvna nule; integrál se derivací "ruší" R i + L i + i / kteru frmálně upravíme d tvaru (jedná se přím hmgenní rvnici i + ( R / L i + i /( L (35 λt Předpkládejme i nyní řešení ve tvaru i K e. Ptm jistě platí pr první derivaci prudu, že λt λt i ( K e K λ e λ i ; pr druhu derivaci prudu i ( i ( λ i λ i. Dsaďme získané výsledky d vztahu (35, značme R / L β, /( L ω - t je reznanční kmitčet bvdu při harmnickém buzení (určený z fázvé pdmínky reznance. Dstáváme vztah tedy i λ i + βλ i + ω i ( λ + βλ + ω i λ + βλ + ω Triviální řešení i pr nás není zajímavé. Rvnice (36 však může být splněna i tehdy, je-li charakteristický plynm (viz čl. 8.6 rven nule, tedy Řešením kvadratické rvnice (37 získáme dva křeny λ ( β β (38 ω λ ( β + β (39 ω a řešení hmgenní rvnice. řádu má v tmt případě tvar (superpzice (33 (36 (37

32 . Přechdné jevy λt λ t K e + K e (4 i( t Pkud by byla rvnice nehmgenní, museli bychm ještě zjišťvat a přičítat partikulární řešení, bdbně jak tmu byl u rvnic. řádu. V rvnici (4 máme nyní dvě neznámé knstanty - K a K. Ptřebujeme tedy znát dva bdy řešení diferenciální rvnice.. pdmínka je dána hdntu prudu i L ( i(.. pdmínka je definvána vztahem (33, známe ttiž derivaci prudu v čase sepnutí (nula.. pdmínky zjistíme, že K e + K e, tedy K + K. Pr využití. pdmínky musíme derivvat vztah (4: λ t λ t i K λ e + K λ e t K λ + K λ Vyšetřením získanéh systému dvu rvnic zjistíme, že K - L λ λ L β ω Nyní již můžeme určit přechdný děj v bvdu na br. 9: kde K λ t t λ λt t [ e e ] [ e e ]. Musí tedy platit, že K λ + K λ / L. λ ( t (4 L β ω i (4 / L β ω. Diskuse vztahu (4 a Předpkládejme, že λ a jsu reálné křeny λ T platí pr β > ω, tedy pr R/(L > / L. Odsud dspějeme k pdmínce R > L / / λt e i(t λt e t - / Obr. peridická prudvá dezva. 3

33 . Přechdné jevy Je-li tat pdmínka splněna, prbíhá přechdný děj aperidicky - bez zákmitů. Mez aperidicity je definvána právě rvnstí R L /, kdy má řešení jeden reálný dvjnásbný křen (viz dále. řejmě platí, že abslutní hdnta λ je menší než abslutní hdnta λ, expnenciální funkce bsahující λ tedy klesá v čase rychleji - situace je kvalitativně znázrněna na br.. b Předpkládejme, že β < ω λ a λ, jsu kmplexně sdružené křeny Křeny - vztahy (38 a (39 - upravíme d pdby kde λ ω, β ± jωv (43 V ω β (44 je vlastní kmitčet bvdu; ( β ω ( ( ω β j ω β. e vztahu (4 ptm bdržíme kde jω Vt jω t e e i (t V ( β + jωv t ( β jωv t βt [ e e ] e L j ω ω L j V β t V e sin ω V t V /( ωv L. Kapacitr se nabíjí kvaziperidicky - s tlumenými kmity vlastním kmitčtu nabíjení kapacitru. Pr β < < ω platí je t knstanta útlumu - viz br.. i(t V V ω V (45 - peridické ω ω. Tlumení kmitů je definván právě symblem β - V V e βt V e βt t - V T V π / ω V Obr. Kvaziperidická prudvá dezva. 33

34 . Přechdné jevy Definuje se rvněž dekrement útlumu Δ, jak pměr dvu p sbě následujících hdnt prudu vzdálených peridu vlastníh kmitčtu T π ω. Odsud lze určit, že Δ V e βt V e β ( t+ TV sinω t V sin( ω t + T V V V / sin( ωvt + T V V sinω t K tmu přísluší lgaritmický dekrement útlumu δ δ ln Δ βt V (47 c Mez aperidicity β ω, λ λ β jsu stejné křeny - dvjný křen Hranice stanvená v bdě a - mez aperidicity - nastává při β ω, charakteristický plynm má puze jeden dvjný křen λ λ β. V takvém případě má diferenciální rvnice. řádu řešení ve tvaru V e βt V (46 i( t λt ( K + K t e ( K + K t e βt (48 pčáteční pdmínky určíme, že. derivace vztahu (48 - pr K - i( ( K + K e K βt t ( β e t K βt určíme, že i ( [ K ( e + K ] / L. Prt βt ( t t e (49 i L Grafické znázrnění tht děje je kvalitativně na br.. i(t t L e βt t Obr. peridické nabíjení kapacitru - mez aperidicity Metdika určvání pčátečních pdmínek a derivací stavvých veličin pr bvdy. řádu předchzíh příkladu je zřejmé, že pr řešení bvdů. řádu musíme znát nejenm stavvé veličiny i L ( a u (, ale i jejich derivace (t jsu již matematické pdmínky, aby byl mžné určit i druhu knstantu ptřebnu pr vyřešení diferenciální rvnice (diferenciálníh mdelu bvdu. Pstup předvedeme na řešení knkrétníh příkladu - br. 3. Ke stejnému výsledku se můžeme dpracvat i určením limity vztahu (45; lim β ω ω β ω ; lim (sin ω t ω t V ω t V V V βt βt ; lim ( e sinω t e ω t ω t V 34 V V ω L V V

35 . Přechdné jevy t R S R R 3 i(t i L (t i (t L u L (t u (t Obr. 3 Odpjení zdrje napětí v bvdu. řádu. ustálený stav (spínač S sepnut je určen tím, že prud i ( - (kapacitr je v ustáleném stavu "rzpjen", napětí na induktru je nulvé - u L ( - (induktr v ustáleném stavu nahrazujeme zkratem. Snadn určíme, že i L ( - i L ( + i L ( /( R + R a napětí na kapacitru je dán napětím na R, tedy u ( - u ( + u ( R /( R + R. Těsně p rzpjení spínače S lze nakreslit náhradní schéma na br. 4. Obvd má dvě větve (v a dva uzly (q, pčet nezávislých uzlů je tedy m q - a pčet nezávislých větví je n v -. Musíme prt sestavit jednu rvnici pmcí. Kirchhffva zákna u L ( i L ( R R 3 i ( u ( a jednu rvnici pmcí. Kirchhffva zákna.. Kirchhffva zákna: i ( + i L (, tedy i ( - i L (.. Kirchhffva zákna: R i + u ( R i ( + ( tedy (platí L di ( / dt u ( L R il ( + LdiL ( / dt R3iL ( + u ( L L ( L 3 u Nyní již můžeme určit p dsazení za dříve určené hdnty, že di L R3 ( / dt L R + R Obr. 4 Náhradní schéma bvdu z br. 3 těsně p rzpjení spínače S 35

36 Rvněž musí (vždy platit, že i ( du ( / dt il ( /( R + R dkud snadn určíme, že [ ( R R ] du ( / dt / +.. Přechdné jevy Tím jsu určeny derivace stavvých veličin v čase, pmcí známých, již dříve definvaných pstupů. Text k prstudvání [] Mikulec, M.; Havlíček, V.: áklady terie elektrických bvdů. Skriptum ČVT Praha 999; kapitla 6 Další studijní texty [] Mayer, D.: Úvd d terie elektrických bvdů. SNTL/LF, Praha 98, kapitla Příklady. rčete hdnty stavvých veličin pr bvd na brázku 5. V R i L (t u (t L R Obr. 5 Obrázek k určení stavvých veličin R 5 kω; R 5 kω; Řešení: Stavvu veličinu je napětí kapacitru a prud induktrem. V ustáleném stavu je napětí na induktru (ideálním nulvé a prud kapacitrem (ideálním neprtéká. Napětí na kapacitru je prt dán puze dprvým děličem - pr dané pměry tedy 5 V. Prud induktrem je definván běma rezistry v sérivém řazení, tedy právě m.. V brázku 5 se skkem změní napětí z hdnty V na hdntu V. Sestavte integrdiferenciální ppis bvdu (nápvěda - pužijte metdu smyčkvých prudů. 36

37 Řešení:. Přechdné jevy Situace je znázrněna na brázku 6. Vyznačíme dva smyčkvé prudy a sestavíme dvě rvnice pr smyčkvé prudy, které představují matematický mdel bvdu (v časvé blasti. u R (t i L (t V i (t R i (t L u L (t u (t R u R (t Obr. 6 brazení smyčkvých prudů Nyní již snadn určíme, že (aplikace. Kirchhffva zákna platí: + u ( t + u ( t ; u t + u ( t + u ( t R ( L R u R ( t u t R i ( ; t R i ( - Ohmův zákn u R ( t ( t i ( tdt superpzice [ i ( t i ( t ] dt - ze zákna kntinuity ul ( t L dil ( t / dt L di ( t / dt - Faradayův zákn Nyní již můžeme určit pmcí elementárních úprav, že Ri ( t + ( d i t t i ( tdt + Ri ( t + i ( tdt i ( tdt + L di ( t / dt Pr dstranění integrálů je třeba bě rvnice derivvat, ptm budu v rvnicích i derivace. řádu, jedná se bvd. řádu. 3. rčete becně průběh napětí na kapacitru - brázek 7 - dpjí-li se rezistr R. R V u (t R Obr. 7 rčení napětí kapacitru 37

38 Řešení:. Přechdné jevy Před dpjením R je napětí na kapacitru určen dprvým děličem, takže u ( - u ( +.R /(R +R - pčáteční pdmínka. P dpjení R platí p neknečně dluhé dbě, že u ( V (partikulární řešení - u p (t. P dpjení R platí + u R (t + u (t,tedy R.i(t + u (t -.Prtže i(t i (t. du (t/dt, dstaneme R. du (t/dt+ u (t -, tedy p úpravách du (t/dt + u (t/τ -/τ, kde τ R je časvá knstanta bvdu. Řešení hmgenní rvnice má tvar u h (t K.exp(-t/τ, celkvé řešení je dán sučtem partikulárníh řešení a řešení hmgenní rvnice: u (t K.exp(-t/τ + u (. T musí vyhvět pčáteční pdmínce: u ( K.exp(-/τ + u (, dkud získáme hdntu knstanty K u ( - u (, takže řešení v becném tvaru je: u (t [u ( - u ( ].exp(-t/τ + u ( 4. rčete dbu, za kteru dsáhne napětí u (t v příkladu 3 úrveň 9% ustálené hdnty, je-li na kndenzátru těsně před dpjením R napětí 5 V (nápvěda: vyjádřete pmcí časvé knstanty bvdu. Řešení: u (t u ( ε.u ( (-ε.u ( u ( t ε Obr. 8 Grafické znázrnění dezvy bvdu t Pr dané pdmínky platí, že u ( u ( /; hdntě 9% dpvídá údaj ( -ε. u (, kde ε,. V čase t ε musí na základě předchzíh řešení platit, že (-ε.u ( [ u ( - u ( ].exp(-t ε /τ + u ( P základních úpravách zjistíme, že exp(t ε /τ [u ( -u (]/ [ε.u ( ], dkud lgaritmváním určíme, že t / τ ln u ( u ( ε u (. Pr dané pměry tedy platí, že ε {[ ] [ ]} {[ u ( u ( / ] [, u ( ]} ln, 3 t, / τ ln. Vztah lze pužívat zcela becně - viz brázek 8. 38

39 . Přechdné jevy Otázky Pr věření, že jste dbře a úplně látku kapitly zvládli, máte k dispzici něklik teretických tázek.. je t stavvá veličina?. Čím je definván řád bvdu? 3. Jaký význam má časvá knstanta bvdu? 4. Prč vzniká přechdný děj? 5. Mhu vznikat aperidické kmity v bvdech. řádu? Odpvědi naleznete v [] na str. 7, 3, 9, 5, 7y Úlhy k řešení. Jakéh řádu je bvd na brázku 5?. rčete průběh napětí na kapacitru na br. 7, jestliže je spínač v základním stavu rzepnutý a v čase se připjí rezistr R. 3. rčete dbu, za kteru dsáhne napětí u (t v příkladu 3 úrveň 99% ustálené hdnty. 4. rčete na br. 5 stavvé veličiny a jejich derivace v čase, je-li v čase dpjen zdrj napětí V. 5. rčete časvý průběh prudu na br. 5, je-li dpjen zdrj napětí V. Klíč k řešení úklů. Pstup je zřejmý z řešení příkladu.. Napětí u ( na kapacitru (R dpjen je rvn napětí V, ustálená hdnta (v "neknečnu" při připjeném R je (pr dané pměry 5 V. Nyní již lze pužít přím vztah ( neb sestavit diferenciální mdel, a ten řešit. Výsledek musí být stejný. 3. Pstup je bdbný jak v příkladu Pstup je bdbný jak v článku Pstup je bdbný jak v článku 9.4. utkntrla Pkud jste reagvali správně na více jak plvinu pdnětů z každé blasti, pkračujte ve studiu jiné kapitly, pkud ne, pak text studijní pry znvu prstudujte a pakvaně vypracujte dpvědi na pdněty. 39

40 adání samstatné práce č. :. Přechdné jevy mω a dva zvlené rzdíly RL. V bvdu na br. 6 je připjván harmnický zdrj napětí. názrněte časvý průběh harmnickéh zdrje napětí s amplitudu V pr dvě různé zvlené hdnty úhlu ϕ ( pr ωt až π. názrněte časvý průběh prudu - vztah (3 - pr ϕ ϕ, jeli: τ s, ω rad.s - /τ. Kdy nenastane přechdný děj? - nápvěda: násbitel členu e t ve vztahu (3 musí nabýt nulvé hdnty.. Pr integrdefirenciální rvnici (matematický mdel sérivéh zapjení induktru, rezistru, kapacitru a zdrje Li + Ri + Di x u dvďte vztahy pr tlumení, vlastní kmitčet a reznanční kmitčet bvdu. 4

41 3. Dvjbrany 3. Dvjbrany, rzdělení dvjbranů. Rvnice neautnmníh dvjbranu, řízené zdrje Čas ke studiu: 6 hdin íl: P prstudvání tét kapitly budete umět: pužívat šipkvu knvenci dvjbranů a umět je klasifikvat. určit parametry lineárních dvjbranů ze stavů naprázdn a nakrátk. přiřadit ekvivalentní bvdvé mdely k rvnicím dvjbranu. určit parametry regulárníh řazení dvjbranů. určit vztah mezi jedntlivými typy parametrů dvjbranu Výklad 3. Úvd - základní úvahy a terminlgie V praxi se velmi čast vyskytují bvdy (části bvdů, prvky bvdů, které jsu k jiným částem bvdů připjeny dvěma dvjicemi svrek - dvěma branami. Přitm ani není důležité, jak jsu tyt bvdy "uvnitř" slžité - vnitřní pměry nás vlastně vůbec nezajímají, pkud umíme jednznačně definvat funkční závislsti mezi bvdvými veličinami bran. Hvříme dvjbranu a tent dvjbranvý přístup může velmi zefektivnit tereticku analýzu elektrických bvdů, významně klesá pčet rvnic nutný k mdelvání bvdu. ývá zvykem značvat jednu bránu jak bránu vstupní a druhu bránu jak bránu výstupní. Vhdnější je však asi hvřit bráně a bráně, prtže becně nemusí být vždy zcela jisté, která bude vlastně vstupem a která výstupem. ákladní knvence "branvých" veličin je uvedena na br.. Jedná se knvenci sptřebičvu. Kladný sučet činných výknů brány a brány tak představuje sptřebu energie dvjbranem - jedná se dvjbran pasívní. áprný sučet činných výknů brány a brány tak představuje ddávání energie z dvjbranu d klníh bvd - jedná se dvjbran aktivní. Nulvý sučet činných výknů brány a brány představuje hraniční stav, energetická bilance je vyvážená - jedná se dvjbran bezeztrátvý. Î Î Î Î DVOJRN Î Û Ẑ Obr. Šipkvá knvence branvých veličin 4

42 3. Dvjbrany Tak je vymezen i jedn důležité hledisk pr klasifikaci dvjbranů - pdle energetické bilance dvjbranu. udeme zkumat situaci pr lineární bvdy v ustáleném harmnickém stavu, tedy budeme pracvat s pjmem admitance, impedance (přechd k Laplacevým brazům pr nulvé pčáteční pdmínky je zřejmý. Velmi důležité je zařazení dvjbranu mezi dvjbrany lineární (klasifikace "pdle linearity". Při řešení lineárních dvjbranů lze využívat principu superpzice a tím i jednduché maticvé mdely dvjbranů. namená t, že žádný parametr ppisující dvjbran nesmí být funkcí branvých veličin. Jen tak lze pužívat pr určvání parametrů "jednduchých" stavů naprázdn a nakrátk - jak bude uveden dále. Pdmínka lineárnsti je v praxi většinu splněna jen v jistém klí tzv. pracvníh bdu. Obsahuje-li dvjbran nezávislý zdrj energie, může tedy ddávat trvale činný výkn (energii, nazývá se autnmní. Prti tmu máme dvjbrany (či spíše jejich mdely neautnmní - bsahují pasivní prvky a řízené zdrje, nebsahují však nezávislý zdrj energie. Tut skupinu dvjbranů je vhdné lépe specifikvat. Řízenými zdrji se mdelují elektrnky, tranzistry, perační zesilvače, jiné zesilující struktury - dvjbran pvažujeme v tmt smyslu za aktivní. Ve skutečnsti však pužité mdely platí puze ve vhdných pracvních bdech zesilujících struktur - a ty mhu nastavit (zajistit puze nezávislé zdrje. Řízené zdrje tak jen ppisují (mdelují distribuci energie ze zdrje nezávisléh, který se již v mdelech (schématech většinu nekreslí. Každý autnmní dvjbran lze v tmt smyslu ppsat pmcí neautnmníh dvjbranu a nezávisléh zdrje. br. je zřejmé, že k ppisu dvjbranu máme čtyři veličiny, dvě branvá napětí a dva branvé prudy. udeme vytvářet (hledat funkční závislsti dvu veličin (závislých na dvu veličinách nezávislých. Dvě nezávislé veličiny ze čtyř mžnstí lze vybrat právě 4 6 způsby (kmbinace. Existuje prt právě 6 mžnstí jak dvjbran ppsat. Je zřejmé, že mezi těmit ppisy musí být jednznačné vztahy, prtže analýza bvdů musí být vždy jednznačná. Vlastnsti danéh dvjbranu jsu jednznačně definvány kterýmkliv ppisem. Pr další úvahy je důležitá elementární skutečnst plynucí z pměrů na br.. Jistě platí, že (Ohmův zákn - zbecněný tvar ( zatěžvací impedance ppsaná veličinami brány je tedy "se znaménkem záprným". Dále se budeme zabývat ppisem (mdely neautnmních lineárních dvjbranů v ustáleném harmnickém režimu. 3. Rvnice (matematické mdely a bvdvé mdely dvjbranů Pstupnu vlbu dvjic nezávisle prměnných získáme šest mdelů dvjbranu. de je důležité pznamenat, že i samtné seřazení (přadí prměnných veličin představuje již knvenci. Při studiu z různých zdrjů je nutné velmi pečlivě tut knvenci prvnávat, prtže frmálně stejné parametry ("písmena" mhu v každém zdrji znamenat něc úplně jinéh. Dpručuji ddržvat knvenci pužívanu v [Mikulec, M.; Havlíček, V.: áklady terie elektrických bvdů. Skriptum ČVT Praha998] a v tmt textu. Knvence pužívaná v [Mayer, D.: Úvd d terie elektrických bvdů. SNTL/LF, Praha 98] se dnes již nepužívá - je třeba studvat velmi patrně. 4

43 3. Dvjbrany mpedanční mdely (charakteristiky a nezávisle prměnné veličiny vlíme branvé prudy. ávisle prměnné veličiny jsu ptm branvá napětí, která (díky linearitě můžeme ppsat jak lineární kmbinaci prudů: + cž můžeme zapsat ve tvaru maticvém: ; + ( [ ] Î Je zřejmé, že rzměrem parametrů impedanční matice je [Ω]. Tut maticí je dvjbran jednznačně charakterizván. Všechny parametry impedanční matice můžeme snadn určit ze stavů naprázdn - viz znázrnění pměrů na br. (budíme zdrji prudu d patřičné brány, ideální vltmetr představuje neknečně velku impedanci - tedy rzpjený bvd, dpvídající prud je nulvý. (3 (4 VOLTMETR VOLTMETR Î Û Û Î Ẑ VOLTMETR Ẑ VOLTMETR Î Û Û Î Ẑ Ẑ Obr. Princip určván impedančních charakteristik dvjbranu (prvků impedanční matice ze stavů naprázdn. 43