1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ
|
|
- František Kučera
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ Účele ěření je stanovení velkost ěřené velčny, charakterzující určtou specfckou vlastnost. Specfkace ěřené velčny ůže vyžadovat údaje o dalších velčnách jako jsou čas, teplota a tlak. Jednotlvá ěření jsou obvykle zatížena celou řadou různých šuů, označovaných jako chyby. Výsledky ěření jsou vyjádřeny poocí 1 vhodného odhadu střední hodnoty µ a odpovídající nejstoty, souvsející s šue, nebo-l odele chyb. Klascká statstka, vycházející z defnce pravděpodobnost jako lty relatvní četnost, poskytuje celý aparát pro vyjádření nejstoty jako ntervalu spolehlvost paraetru µ. Vyjádření nejstot je flosofcky blíže subjektvní defnc pravděpodobnost jako stupn důvěry č víry. Tato pravděpodobnost však souvsí spíše s nedostatke znalost než s výsledke opakovaného experentu. 1.1 Chyby ěřících přístrojů Kvalta ěřících přístrojů a výsledků ěření se standardně vyjadřuje poocí odpovídajících nepřesností, označovaných chyby. Chyby ěření ohou být způsobeny řadou faktorů. Dělení chyb: obecně lze chyby rozdělt podle ísta vznku věřící řetězc do čtyř základních skupn : 1. Instruentální chyby jsou způsobeny konstrukcí ěřcího přístroje a souvsí s jeho přesností. U řady přístrojů jsou dentfkovány, ale také garantovány výrobce.. Metodcké chyby souvsí s použtou etodkou stanovení výsledků ěření, jako je odečítání dat, organzace ěření, elnace vnějších vlvů, atd. 3. Teoretcké chyby souvsí s použtý postupe ěření. Jde zejéna o prncpy ěření, fyzkální odely ěření, použté paraetry, fyzkální konstanty, atd. 4. Chyby zpracování dat jsou nuercké chyby etody a chyby způsobené užtí nevhodného statstckého vyhodnocení. Podle příčn vznku lze chyby rozdělt do tří skupn: 1. Náhodné chyby, které kolísají náhodně co do velkost znaénka př opakování ěření, působí nepředvídatelně a jsou popsány určtý pravděpodobnostní rozdělení. Jsou výsledke vlvu celé řady příčn, které lze jen obtížně odstrant, popř. alespoň oezt.. Systeatcké chyby působí na výsledek ěření předvídatelný způsobe. Bývají funkcí času nebo paraetrů ěřcího procesu. Mívají stejná znaénka. Konstantní systeatcké chyby snžují nebo zvyšují nuercký výsledek všech ěření o stejnou velkost. Často se navenek neprojevují a lze je odhalt až př porovnání s výsledky z jného přístroje. Exstují systeatcké chyby s časový trende, způsobené stárnutí nebo opotřebování ěřcího přístroje. Systeatcké chyby ěřcího přístroje se dělí na adtvní (chyba nastavení nulové hodnoty a ultplkatvní (chyba ctlvost. Typ a velkost chyby přístroje bývají garantovány výrobce. 3. Hrubé chyby, označované jako vybočující, resp. odlehlé hodnoty, jsou způsobeny výječnou příčnou, náhlý selhání ěřcí aparatury, nesprávný záznae výsledku. Způsobují, že se dané ěření výrazně lší od ostatních.
2 Chyby se dále dělí na (a chyby výsledků ěření jako nejstoty hodnot výsledků ěření, charakterzované například ntervale spolehlvost, a (b chyby ěřícího přístroje resp. procesu ěření jako jednu z charakterstk kvalty ěření, udávající obyčejně přípustnou odchylku od skutečné hodnoty. Chyba ěřícího přístroje je pouze jednou součástí, ovlvňující chybu výsledků ěření a vhodnou volbou přesnost ěřícího přístroje se dá její vlv slně oezt. Vstupe ěřícího přístroje je ěřená velčna x avýstupe je výsledek ěření y. Způsob transforace y=f(xje zná, obr. 1. Obr. 1 Schéa ěřícího přístroje Obr. Správnost a přesnost ěření:ppřesné,ssprávné,npnepřesné,nsnesprávné Pro stanovení chyb přístroje je nutné znát skutečnou hodnotu ěřené velčny µ t.zv. etalon nebo ít k dspozc další vel přesný přístroj azískat odhad µ vel dokonalýěření. V obou případech je k dspozc hodnota µ nebo její odhad ˆµ. Výsledky opakovaných ěření pak uožňují určt íry přesnost a správnost ěření. Obecně platí, že y g( C,µ, resp. pro adtvní odel y µ C, {y,= 1,..., n} ; ȳ, s, kde C jsou šuové složky (externí zdroje nejstot a funkce g(c, µ souvsí s odele působení šuových složek, který ůže být adtvní, ultplkatvní nebo kobnovaný a kde s je rozptyl tj. ěřítko přesnost ěření a průěrná odchylka ȳ µ je pak ěřítke správnost, obr.. S využtí hodnoty µ jeožno defnovat různé typy odchylek od správné hodnotyµ,kterévyjadřujíchybyěřícího přístroje. Rozlšujeeabsolutní odchylku zvanou také absolutníchyba x µ adále relatvní odchylku zvanou také relatvní chyba δ 100 / x, [%]. Celková odchylka čl celková chyba je složenazedvousložek, a to ze systeatcké chyby sa náhodné chyby s N, ȳ µ y ȳ. N, dle vztahu 3 Upřístrojů se obyčejně garantují různé druhy ezních chyb. Mezní chyba 0 ěřcího přístroje je jeho nejvyšší přípustná chyba, kterou ostatní odchylky ěřcího přístoje za daných podínek praktcky nkdy nepřekročí. Redukovaná ezní chyba δ0,r ěřcího přístroje pro určtou hodnotu ěřené velčny x a stanovené podínky je dána poěre ezní chyby 0 aěřcího rozsahu R, dlevzorceδ 0,R = 0/R. Často se redukovaná ezní chyba udává v procentech ěřcího rozsahu R, δ 0,R = 100 0/R, (%. Měřcí rozsah R je algebracký rozdíl krajních hodnot stupnce, R=xax -x n.
3 Obr. 3 Konstantní absolutní chyba ěření a relatvní chyba ěření δ vzávslost na ěřené velčně x 0 Třída přesnost ěřcího přístroje: je klasfkační znake přesnost v celé ěřcí rozsahu přístroje. Vyjadřuje se čísle, které je vždy větší, nebo nanejvýš stejné, jako největší absolutní hodnota z redukovaných ezních chyb, zjštěných za daných podínek v celé ěřcí rozsahu přístroje. Určení třídy přesnost záleží na typu chyby, kterou přístroj vykazuje. Dle druhu přítoné chyby rozlšujee pak tř skupny přístrojů: (a Přístroje s konstantní absolutní chybou: jde o přístroje, vykazující tzv. adtvní chybu, tj. chybu nulové hodnoty, obr. 3. V případě čstě adtvních chyb ěření se užívá redukovaná relatvní odchylka (zde přío rovna třídě přesnost přístroje δ x s p x ax x n R kde R je rozezí stupnce. U přístrojů, kde působí chyby ěření adtvně, klesá relatvní odchylka δ hyperbolcky shodnotoux. Metrologcké vlastnost ěřcích přístrojů charakterzují také další velčny: prahe ctlvost xc se označuje vstupní hodnota, pro kterou je absolutní chyba rovna x,čl c 0 = x c, tj. relatvní chyba δ(x c = 100%. Př znalosttřídy přesnost δ arozezí R se práh ctlvost vyčíslí podle vztahu x c δ 0 R/100. Pro zajštění dostatečně alé 0 hodnoty relatvní chyby ěřcího přístroje se defnuje spodní ez pracovního ntervalu x tak, aby relatvní chyba s δ(x bylaprávě p%, obyčejně 4 nebo 10%. Platí, že s 100 x c p Adtvní chyby ěřcího přístroje oezují rozsah použtí přístroje v oblast alých hodnot vstupní velčny x. Vztah ez prahe ctlvost xca spodní ezí pracovního ntervalu xsvyjadřuje obr. 4. Obr. 4 Vztah ez prahe ctlvost x a spodní ezí c pracovního ntervalu x s (b Přístroje s konstantní relatvní chybou: vpřípadě čstě ultplkatvních chyb ěření je relatvní chyba ctlvost (zde rovna přío třídě přesnost přístroje δ s /x konstantní. V toto případě je absolutní odchylka lneárně rostoucí funkcí vzhlede k velčně x, obr.5.
4 Obr. 5 Konstantní relatvní chyba ěření δ s (c Přístroje s kobnovaný chyba: u kobnovaných chyb ěření lze celkovou chybu rozepsat na součet adtvní a ultplkatvní δ x složky podle rovnce 0 s 0 δ s x Interval neurčtost zvaný také pás neurčtost je poto tvořen součte ploch adtvního a ultplkatvního pásu neurčtost. Celková redukovaná relatvní chyba δ R δ 0 δ s x R zde onotónně roste s růste x. Narozdíl odpřípadů čstě adtvní chyby tady růst δr začíná tí pozděj, čí je poěr δ /δ větší.kvyjádření třídy přesnost δ se v těchto případech užívají dva údaje: redukovaná relatvní chyba s 0 k δ0 a chyba vznklá na horní hranc ěřcího rozsahu δ,dle s vzorce δ k δ 0 δ s.jdeopřípad tzv. kobnovaného působení adtvní a ultplkatvní chyby, obr. 6. Obr. 6 Kobnované působení adtvní a ultplkatvní chyby ěření δ 0+ δs 1. Způsoby vyjádření odhadů chyb ěření Kvyjádření absolutních chyb ěření se nejčastěj využívá pravděpodobnostní přístup, vycházející ze znalost pravděpodobnostního zákona rozdělení chyb, vyjádřeného hustotou pravděpodobnost f(. To uožňuje zahrnutí systeatcké složky chyb jako střední hodnoty chyb anáhodné složky chyb jako relatvní šířky rozdělení, vyjádřené rozptyle č ostatní íra rozptýlení. Lze použít také nepravděpodobnostní přístup, založený na ntervalové analýze. Pro praktcký odhad chyb ěření, atopřístrojových chyb, lze užít celou řadu charakterstk, počítaných z výběrových hodnot chyb = x-µ,kde s µ s je buď hodnota standardu nebo odhad skutečné hodnoty µ. Základní charakterstky polohy a rozptýlení chyb vycházejí ze znalost hustoty pravděpodobnost chyb f( : 1. Moenty jsou jednak obecné typu M K (x x K f(x dx, jednak centrální typu c K (x [x M 1 (x] K f(x dx.. Specální íry rozptýlení jsou založené na volbě vhodného aproxujícího rozdělení. Pokud je znápouze nterval chyb a a, resp. pouze ezní odchylka a volí se buď trojúhelníkové nebo rovnoěrné rozdělení hustoty pravděpodobnost f(, obr.7.
5 Obr. 7 Hustota pravděpodobnost pro trojúhelníkové a rovnoěrné rozdělení Voboupřípadech je střední hodnota chyb E( =0asěrodatná odchylka pro (a pro rovnoěrné rozdělení rovna σ R a/ a, a pro (b trojúhelníkové rozdělení σ T a/ a. Jako íra rozptýlení se pak bere buď σr nebo σt podle toho, které ztěchto rozdělení lépe vysthuje daný problé (jde vlastně ovýpočet nejstoty typu B. 3. Pravděpodobnost P(a b, s jakou chyby leží ve zvolené ntervalu [a, b]. 4. Kvantly, tj. hodnoty chyb, pro které platí, že P( α α. To znaená, že α% všech chyb leží pod hodnotou. α α Je zřejé, že pravděpodobnost a kvantly spolu vzájeně souvsí. Např. předpoklad syetrckého rozdělení uožňuje stanovení ezí [a, b] jako specálních kvantlů, prokteré je pravděpodobnost P( a α/ a pravděpodobnost P( b 1 α/. - + Obecně lze pro tyto charakterstky defnovat jstý nterval [a,b ] jejch ožných hodnot. Pro případ, že jeznáa hustota pravděpodobnost f( lze tuto úlohu řešt poocí standardních statstckých etod (tj. ntervalů spolehlvost. Další ožností je použtí etodky stanovení neurčtost výsledků ěření. Př nepravděpodobnostní přístupu lze využít také ntervalové analýzy Moentové odhady chyb Obecně lze př znalost chyb, = 1,..., n, určt odpovídající rozptyl vyjádřeno jednoduchý adtvní odele x µ, lze snadno určt rozptyl ěřené velčny x jako σ. Pokud σ 1 σ n 1 (x x. Pravděpodobnostní nterval chyb:předpokládeje, že chyby ají syetrckou hustotu pravděpodobnost f( se střední hodnotou E( = 0. Nechť je znáa dstrbuční funkce F(. Pro pravděpodobnostní nterval, ve které leží 100(1 - α% všech chyb platí P (k σ k σ F(k σ F(k σ 1 F(k σ 1 α σ. Na základě představy, že ěření je platí, že = 0 (střední hodnota chyb je rovna nule, E( =0,t.zn.že systeatcká složka chyby je nulová je σ, kde Obr 8. Pravděpodobnostní nterval chyb Zde -k představuje α kvantl, k je 1 - α kvantl standardzovaného rozdělení chyb a σ je sěrodatná odchylka. Pro řadu rozdělení platí, že prop =0.9je *k* =1.64,takže pravděpodobnostní nterval náhodné chyby se vyjádří nerovností 1.64 σ # # 1.64 σ
6 Toleranční nterval chyb: je-l zná pouze odhad sěrodatné odchylky s a je-l střední hodnota chyb opět nulová E( =0,vyjádří se toleranční nterval náhodné chyby nerovností kde za předpokladu norálního rozdělení chyb bude χ α k T s # # k T s n 1 k T u (1 P/ χ α (n 1 a je α-kvantl χ rozdělení.platí pravdlo, že toleranční ntervaly jsou vždy šrší než ntervaly pravděpodobnostní. kde pro σ σ V σ V j σ j j j cov( x, x j, σ VN j a vzájeně nezávslé rozptyly, kdy cov(x, x j = 0vyjde kvadratcký průěr rozptylů dle vzorce σ, σ VL Kobnace rozptylů: výsledný rozptyl j σ j σ < j σ se vyčíslí na základě propagace rozptylů z zdrojů je rozptyl, způsobený -tý zdroje, cov(x, x j je kovarance ez -tý aj-tý zdroje. Poto platí, že b lneárně závslé rozptyly, kdy cov(x, x = σ σvyjde až na konstantu artetcký průěr rozptylů dle vzorce j j.zeznáé trojúhelníkové nerovnost plyne, že. Vsouladu stí, žesepřpouští vždy horší varanta, je vhodné volt v případech, kdy nejsou o korelacích ez zdroj chyb žádné nforace jako celkovou sěrodatnou odchylku σ VL. Volba ěřícího přístroje vzhlede k chybá ěření: celková chyba ěření σ pro případ, že varablta V ěřeného aterálu vyjádřená rozptyle σ a rozptyl ěřícího přístroje τ pocházejí znezávslých zdrojů, sevyčíslí výraze σ V = σ + τ. Celková chyba ěření bude přto závset na volbě přístroje: 1. Pro vel přesný přístroj je složka chyby τ zanedbatelně alá aprotoplatí σ V = σ. Opakování lze zlepšt přesnost ěření.. Pro optální přístroj platí τ. σ/3 a pak bude celková chyba ěření rovna σ V σ σ /3 σ 10/9. σ. 3. Pro srovnatelné chyby platí τ. σ, a pak bude celková chyba ěření rovna σ V σ 1.44 σ. 4. Pro nepřesný přístroj platí σ V. τ, a opakováníěření nelze přesnost zlepšt. Pravdla o chybách ěření: přěření je vhodné respektovat pravdla o chybách: (a Přěření velčn x1a x, které se pro získání výsledku sčítají č odčítají y = x 1 ± x dbáe, aby oba sčítance x1a xbyly ěřeny se stejnou absolutní přesností. Je-l chyba jedné z nch nohe větší, rozhoduje pak saa o chybě výsledku y. (b Je-l výsledke sčítání č odčítání alá hodnota y = x ± x, je výsledek zatížen velkou relatvní chybou. Tou 1 se vyhýbáeaalé hodnoty se snažíe ěřt přío. (c Přěření velčn x a x, které pro získání výsledku násobíe y = x * x nebo dělíe y = x / x by ěly být obě velčny x a x stejné relatvní přesnost. V případě součnu ocnn s různý exponenty je výhodnější, jsou-l 1 relatvní chyby nepřío úěrné příslušný exponentů, aby součn exponentu a relatvní chyby byl přblžně konstantní. 1.. Kvantlové odhady chyb
7 Uvažuje stejnou stuac jako u oentových odhadů, tj.sěrodatná odchylka ěření σ je přío rovna střední kvadratcké chybě σ, čl. Jednou z jednoduchých charakterstk rozptýlení je tzv. nterkvantlová odchylka σ σ K 1q ( x 1q/ x q/. Zde x α představuje obecně kvantlrozdělení chyb, ve kteréleží 100α% všech chyb. Hodnota K1-q defnuje nterval, ve kteréleží P =100(1 - q% chyb. Obr 9. Kvantlový nterval chyb Pro zvolenou pravděpodobnost čl statstckou jstotu P = 1-q je pak ezní chyba ěření rovna K P a 1q odpovídá ntervalu obsahujícíu 100(1 - q% všech chyb. Její velkost obecně závsí na hodnotě q anakonkrétní zákonu rozdělení chyb. Pro vybrané hodnoty pravděpodobnost P je v praxo zavedeno specfcké označení dotyčné chyby: (a Střední chyba (P =0.5: σ 0.5 ( x 0.75 x / 0.5,užívá se pro norální rozdělení platí σ σ. (b Pravděpodobná chyba (P = 0.683: σ ( x x / , užívá se pro norální rozdělení platí σ σ. (c Chyba pro lbovolné neznáé rozdělení (P =0.9: σ ( x x / Pro řadu rozdělení platí, že σ σ, a proto je pro sčítání dílčích kvantlových chyb vhodné využít vztahu σ 0.9 j σ 0.9,. V případě, kdy chyby ěření ají norální rozdělení, lzepsát σ u P (1P/ σ, kde u(1+p/ je 100(1+P/%ní kvantl norovaného norálního rozdělení. Pro ostatní rozdělení platí, že ezní kvantlovou chybu σ lze vyjádřt vztahe σ h P σ. Velkost h souvsí se špčatostí g daného rozdělení chyb vztahe P Je třeba ale zdůraznt, že kvantlové chyby σ h. 1.6[ 3.8(g 1.6 /3 ] Z, kde Z log[log(1 /(1 P]. P nelze obecně sčítat Nepravděpodobnostní ntervalové odhady chyb V některých případech chybí o příčnách nejstoty proěnných pravděpodobnostní nforace. Pro každou proěnnou x [a D j # x j # a H j ] a D j a H j se dá pouze vyjádřt ohrančení ve tvaru, kde je dolní ezní hodnota a j je horní ezní hodnota proěnné x. j Títo ntervale lze defnovat tzv. ntervalové proěnné. Pro ntervalové proěnné platí obecně A [a 1, a ] pro s 0 {a 1 # a }. Pro kobnac ntervalových proěnných A a B lze použít ntervalové artetky. Platí, že A B [a 1, a ] [, b ] [a 1, a b ], A B [a 1, a ] [, b ] [a 1 b, a ] A B [a 1, a ] [, b ] [ n( a 1, a b, a, a b, ax( a 1, a 1 b, a, a, a b ] A /B [ a 1, a ]/[, b ] [a 1, a ] [1/b,1/ ] Tato artetka se dá použít v jednodušších stuacích pro stanovení ntervalů chyb ěření. 1.3 Propagace chyb a nejstot Metoda Taylorova rozvoje
8 Případ jedné přío ěřené velčny x: uvažuje nejdříve případ jedné přío ěřené velčny x, kdy výsledky ěření jsou {x},=1,...n,aznchseurčují odhady x,s x.výsledek nepříých ěření je vyjádřen znáou funkcí y=f(x.obecně zde značí f(. nelneární funkc, a proto platí, že ȳ f( x. Odhad ȳ, sy se provádí svyužtí Taylorova rozvoje f(x v okolí x f(x. f( x 1 1! df(x dx (x x 1! d f (x dx (x x... E( f(x / ȳ. f( x df(x dx E (x x 1 d f(x E (x x dx ȳ. f( x 1 d f(x dx.s x D( f(x f ( x / s y. D df(x dx (x x s y. df(x dx s x Případ více ěřených proěnných: výsledke více nepříých ěření je pak funkční vztah f(x,..., x. Ze 1 znáých výsledků více příých ěření se určí x ( x 1,..., x.protaylorův rozvoj pak platí x 1, s x 1,..., x, s x.označe zde vektor průěrů sybole f(x. f( x j df(x dx (x x 1 j d f(x dx (x x j 1 j j> d f (x dx dx j (x x (x j x j... ȳ. f( x 1 j d f(x dx s x j 1 j j d f(x dx dx j cov(x, x j s y j df(x dx s x j 1 j j> df(x dx df( x dx j cov (x, x j kde cov(x,x j je kovarance ez velčna xa x. j Exstují dva krajní případy pro s y: 1. Dílčí zdroje chyb jsou zcela nezávslé avšechny kovarance cov(x, x j = 0 jsou nulové. Celková chyba s y j s x bude úěrná kvadratckéu průěru dílčích chyb ze všech zdrojů.. Dílčí zdroje chyb jsou cov(x, x j s lneárně závslé aplatí, že. Celková chyba s bude nyní úěrná artetckéu průěru všech dílčích chyb s y j. s x Případ ocnnné transforace ȳ f(x x P : pokud x ělo syetrcké rozdělení skonstantnírozptyleσ x, bude rozdělení y nesyetrcké s nekonstantní rozptyle. x s x j y
9 Z Taylorova rozvoje pak vyjde ȳ. x P Použtí syetrzační transforace σ y. δx P δx P(P 1 σ x P x (P 1 σ x x (P s x x P 1 Z f(x 1/P y 1/P, P( P 1 s kde Z jž á syetrcké rozdělení a tedy přblžně platí, že Z 1 n j Z. Z toho pak plyne přblžný výraz ȳ 1 n j y 1/P P. Platí, že prop =1jdeoartetcký průěr, prop =-1oharoncký průěr, pro P =okvadratcký průěr. Dle typu ocnny lze zvolt odpovídající průěr Metoda dvoubodové aproxace Postup je založen na náhradě rozdělení pravděpodobnost funkce f(x dvoubodový rozdělení sestejnou střední 7 hodnotou a rozptyle. Pro odhad střední hodnoty ȳ platí f( x s(x f ( x s(x ȳ. aproodhad rozptylu ȳ. j s (y. Je-l f(x funkcí nezávslých, náhodných a vzájeně následujících vztahů pro odhad střední hodnoty [f (x s(x f(x s(x] 4 f ( x s(x f ( x s(x [f( x s (y. j s(x f( x s(x ] aproodhad rozptylu. 4 nekorelovaných velčn x, = 1,...,, je ožné užít Metoda sulací Monte Carlo Přurčování středních hodnot ȳ arozptylů σ (y jako funkcí náhodných velčn počítače je výhodné použít technky 8 sulačních experentů etodou Monte Carlo. Postup lze shrnout do pět kroků : 1. Zadání funkce f(x:v úlohách přírodních věd bývá funkce f(x většnou znáa. Výhodou sulace je, že funkce f(x neusí být vyjádřena v explctnítvaru.. Rozdělení ěřených velčn: předpokládá se, že ěřené velčny jsou nezávslé a ají norální rozdělení pravděpodobnost. Stačí zadání velčn x,s(x,= 1,...,. Pokud nejsou tyto velčny k dspozc, postačují dvě krajní hodnoty ntervalu [A, B], ve které lze očekávat výskyt ěřené velčny x. Aproxatvní hustotu pravděpodobnost f(x lze vyjádřt poocí parabolckého rozdělení f(x 6 (B A (x A (B x pro A x B.
10 Složtější bude stuace, kdy se ez vstupní ěřený velčna x vyskytnou korelace. Pak je třeba specfkovat sultánní rozdělení všech hodnot x,= 1,...,, což bude jednoduché pouze pro případ norálního rozdělení. 3. Generace náhodných čísel:napočítačích exstují kvaltní generátory pseudonáhod-ných čísel s rovnoěrný rozdělení R[0, 1]. Přznalostdvounezávslých náhodných čísel R, j Rj+1 s rovnoěrnýrozdělení lze poocí Boxovy-Müllerovy transforace určt dvě nezávslá náhodná čísla N, j Nj+1 snorovaný norální rozdělení podle 0.5 x,j N j lnr j sn( π R j1 a N j1 lnr j cos( π R j1. Pak j-tá sulovaná hodnota-té velčny x bude vyjádřena sulovaná hodnota x* řešení kubcké rovnce,j x,j N j s(x x. Pro parabolcké rozdělení bude x,j x 3,j 3 α R ß α A 3 A 6, kde A β. (B A 4. Volba počtu sulací: pravdla pro určení nezbytného počtu sulací jsou stejná jako pravdla pro určování velkost výběru. Jde-l o odhad střední hodnoty a pokud lze defnovat požadovanou šířku 100(1 - α% ního ntervalu n n 4 u 1 α/ spolehlvost D, platí pro nální počet sulací vztah s (y 1, kde u je kvantl D 1-α/ norovaného norálního rozdělení a s(yje odhad rozptylu určený např. zprvních 50 sulací. 5. Suarzace výsledků: s ohlede na axální unverzálnost je výhodné nalézt eprckou hustotu pravděpodobnost rozdělení souboru sulovaných hodnot y*, j j = 1,..., n n, apakvyčíslt odhady paraetrů polohy arozptýlení. 1.4 Nejstoty výsledků ěření Jsou porovnány postupy k určování nejstot, a s tí spojené v lteratuře nově zaváděné ternologe s ternologí statstcké analýzy. Zvolený přístup výpočtu nejstot je slně závslý na předpokladech o vznku a vlastnostech jednotlvýchnejstot. Nejstoty vnově zaváděné ternolog představují vlastně ntervaly spolehlvost ve statstcké analýze. Základní rozdílje pak v užívání neexperentálních nforací o zdrojích varablty Porovnání přístupů kvýpočtu nejstot A. Příá ěření: pro případ řady zdrojů chyb ěřícího systéu pro příá ěření je stuace znázorněna obr. 10 Obr. 10 Blokové schéa ěřícího systéu pro příá ěření Zde µ je ěřená velčna, C, C,..., C jsou šuové složky, nazývané externí zdroje nejstot a funkce g(c, C,..., C, µ souvsí s odele působení šuových složek, které ůže být adtvní, ultpkatvní a kobnované , Analýza nejstot podle standardní statstcké analýzy, ct. : a Odhad velčny µ (bodový, vz. kap. 3. b Odhad rozptylu σ (bodový, vz. kap. 3. c Odhad ntervalu spolehlvost (IS pro µ,vz. kap. 3.
11 d Odhad vychýlení b = E(µ- ˆµ,vz. kap. 3. Obecně je třeba přpustt, že odhad ˆµ je vychýlený, tj.střední hodnota E( ˆµ µ. Pak je írou celkové varablty střední kvadratcká chyba MSE, pro kterou platí MSE E(µ ˆµ E [µ E ( ˆµ] E [ ˆµ E ( ˆµ] D( ˆµ b akterá je rovna součtu rozptylu D( ˆµ a čtverce vychýlení b. 11, 1. Analýza nejstot podle nové ternologe, ct. : a Odhad velčny µ (bodový: když vnové lteratuře není obvykle odel specálně uveden, předpokládá se adtvní odel x µ j, kde šuy ají nulové střední hodnoty E(ε = 0akonstantní rozptyly D(ε = σ. ε y f(x. f (µ j df(. dx (x µ Pak rezultuje znáý odhad střední hodnoty ve forě artetckého průěru, ˆµ = x. b Odhad rozptylu D( ˆµ : předpokládá se nezávslost (případně pouze lneární závslost všech složek šuu C. Jsou užívány následující íry rozptýlení: Standardní nejstota typu A, u A, tj. sěrodatná odchylka ěřené šuové složky se počítá jako odocnna zvýběrového rozptylu. Standardní nejstota typu B, u B,tj.sěrodatná odchylka neěřené a v experentu nesledované šuové složky, která se odhaduje jako sěrodatná odchylka, odpovídající jejíu aprorně vybranéu rozdělení. Řada odhadů 11, 1 pro aprorní rozdělení rovnoěrné, trojúhelníkové, lchoběžníkové anorální je uvedena v lteratuře. Místo odhadu D( ˆµ se používá kobnovaná standardní nejstota uc vycházející z platnost výše uvedeného adtvního odelu u c = Σ u A + Σ u B. Pro závslé zdroje nejstot se přčítají ještě kovarance. c Odhad ntervalu spolehlvost (IS pro µ: předpokládá se přblžná noralta, zřejě plynoucí z centrální ltní věty. Rozšířená nejstota, forálně totž polovčníšířka ntervalu spolehlvost pro µ, je pak U=u. c Problée však je, že vřadě případů některé standardní nejstoty donují apakjž představu noralty z centrální ltní věty nelze aplkovat. d Odhad vychýlení b = E(µ- ˆµ : vůbecseneuvažuje. Předpokládá se, že vychýlení U je odstraněno v rác 14 etody ěření. Vprác Phllpse a ost. je navržen postup výpočtu nejstot pro případy, kdy vychýlení b elnováno není. Jednoduše sevytvoří dvě rozšířené nejstoty U = U - b pro U-b>0,resp.U =0 + + U=U+bpro U+b>0,respU = To pak pochoptelně vede k nesyetrckéu ntervalu spolehlvost. B. Nepříá ěření: Výsledek analýzy f(µ,..., µ je vytvořen znáou funkcí skutečných výsledků příých 1 ěření µ 1,..., µ, (např. ěříe poloěr a chcee znát plochupříčného řezu kruhových vláken. K dspozc jsou odhady paraetrů ( ˆµ 1, ˆµ,..., ˆµ a příslušné odhady rozptylů, resp. čtverců nejstot, D( ˆµ 1, D( ˆµ,..., D( ˆµ. 15, Analýza nejstot podle standardní statstcké analýzy, ct. : a Odhad y z odhadů ˆµ, = 1,...,, vz. kap b Odhad rozptylu D( ŷ, vz. kap c Odhad ntervalu spolehlvost pro y, vz. kap , 1. Analýza nejstot podle nové ternologe, ct. : a Odhad y z odhadů ˆµ, = 1,..., : není řešen přío, ale vel aproxatvně se předpokládá ŷ f( ˆµ 1, ˆµ,..., ˆµ. b Odhad rozptylu D( ŷ : jetovlastně rozšířená nejstota u(y. Vychází sezpředpokladu, že f(x lze nahradt lnearzací Taylorový rozvoje v okolí µ
12 D(y. j df(. dx D(x cov(... u (y. j df(. dx u ( x cov(... D(y se obvykle nesprávně označuje jako zákon šíření nejstot. V případě, že zdroje nejstot jsou lneárně závslé, provádí se korekce s využtíkovarancí cov(... Lnearzace ůže však být vřadě případů vel nepřesná. c Odhad ntervalu spolehlvost pro y: předpokládá se téěř vždy nekorektně přblžná noralta. Nelneární funkce norálně rozdělených náhodných velčn totž norální rozdělení neá. Polovna 95%ního ntervalu spolehlvost čl rozšířená nejstota je poto U=u(y. Zde čpřesněj 1.96 představuje kvantl norovaného norálního rozdělení. Pro nelneární transforac však rezultují nesyetrcká rozdělení, což vede k nesyetrckéu ntervalu spolehlvost. Ve specálních případech (např. stopová analýza v analytcké che to ůže výrazně ovlvnt závěry: pro postvně seškená rozdělení vyjde totž ve sěru k nžší hodnotá korektnější nterval užší a ve sěru k vyšší hodnotá šrší Krtcké poznáky k výpočtu nejstot a Poznáky ternologcké: následující převodní tabulka ukazuje, že teríny doporučované vněkteré lteratuře odpovídají vlastně běžnýpojů, užívaný ve statstce: Nová ternologe: Statstka: sěrodatná odchylka ěřené šuové složky Standardní nejstota A s sěrodatná odchylka (odhadnutá šuové Standardní nejstota B složky s Kobnovaná nejstota sěrodatná odchylka funkce y, s(y Rozšířená nejstota polovna ntervalu spolehlvost IS kvantl norovaného norálního rozdělení Faktor pokrytí α b Poznáky statstcké: výpočty v některých odkazech lteratury vycházejí zpředpokladů, které však nejsou v procesu navrhovaného výpočtu nkterak ověřovány: a adtvní odel ěření resp. působení šuových složek (zdrojů nejstot, b konstantní rozptyl ěření (resp. zdrojů nejstot, c noralta nelneární funkce norálně rozdělených proěnných (pro určení rozšířené nejstoty resp. ntervalu spolehlvost IS, d nekorelovanost ěření, e alá nelnearta funkce f(x, uožňující použtí její lnearzace, Problée je nekorektnost př konstrukc a nterpretac rozšířené nejstoty U (resp. ntervalu spolehlvost IS. Klascká statstka vede totž ktou, že pron$"je 100(1 - α%ní nterval spolehlvost paraetru µ rovenvýrazu ˆµ ± u 1 α/ D( ˆµ. Přvýpočtu nejstot není kobnovaná nejstota uc pouze odhade rozptylu D( ˆµ, ale obsahuje ještě další složky. Pak vyjde rozšířená nejstota U systeatcky vyšší než polovna ntervalu spolehlvost, hodnota zde nezajšťuje přblžně 95%ní pokrytí a nterpretace takového ntervalu je nesnadná. c Poznáky výpočetní: ísto náhrady dervací dference, jak se často doporučuje v různých příručkách, by bylo podstatně jednodušší užít sulace nebo tzv. Bootstrap odhadů zejéna pak, užívá-l se počítač Přístup ntervalové analýzy k nejstotá V prax obvykle není znáo rozdělení ěřených velčn x resp. chyb ěření, takže analýza nejstot založená na pravděpodobnostních předpokladech je slně oezená.př ntervalové analýze se k průěrnéu výsledku ěření x
13 usí defnovat ezní odchylka (chyba d avýsledek vyjádřt jako nterval. Zde X označuje tzv. ntervalovou proěnnou X [ x d, x d]. Vpřípadě, že sevyjadřuje nterval neurčtost absolutní chyby, je x = 0 a platí, že X=[-d,+d]. V obecnějšípřípadě ůže být hranční chyba funkcí úrovně ěřené velčny d=d( x. Pak dostáváe ntervalovou proěnnou jako funkc X( x [ x d( x, x d( x]. Účele je pro výsledek nepříých ěření y = f(x 1,..., x n stanovt odpovídající nterval neurčtost (ezní chybu, 15 ct. : Y [y, y ] f (X 1,..., X n {f(x 1,..., x n prox 1 X 1, x X,... } - + Hodnoty y,y jsou axe a ne výrazu f(x 1,..., X n f( x 1 x 1,..., x n x n, kde x µ d, kde µ je skutečná hodnota velčny x. Nazákladě lnearzace poocí Taylorova rozvoje lze dospět ke vztahu atedy f(x 1,..., X n ȳ j n y, y df dx ( x 1,..., x n Dx ȳ ± d n ȳ f( x 1,..., x n a d j δf kde ( x /0 δx 1,..., x n d. /0 Tento algortus je sce zjednodušený, ale uožňuje prác s hranční chyba d, které neají pravděpodobnostní df charakter. Zajíavé je, že propřípad lneární funkce f(x, kdy jsou dervace 1 je celková odchylka d součte dx dílčích odchylek, což vpravděpodobnostní nterpretac znaená varantu lneárně korelovaných šuových složek Zaokrouhlování čísel Zaokrouhlování se nedopouštíe větší chyby než polovny jednotky odpovídající řádu poslední ponechané číslce. Relatvní chyba zaokrouhleného čísla je enší nebo rovna 1 s rel,.a.10 n 1 kde A je první platná číslce a n je počet platných číslc v zaokrouhlené čísle.,
Měření příkonu míchadla při míchání suspenzí
U8 Ústav procesní a zpracovatelské technky FS ČVUT v Praze Měření příkonu rotačních íchadel př íchání suspenzí I. Úkol ěření V průyslu téěř 60% všech operacích, kdy je íchání používáno, představuje íchání
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska
VícePŘÍSPĚVEK K NEJISTOTÁM VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ
PŘÍSPĚVEK K NEJISTOTÁM VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ JIŘÍ MILITKÝ, Katedra textlních materálů, Techncká unversta v Lberc, MILAN MELOUN, Katedra analytcké cheme, Unversta Pardubce, Pardubce. Úvod Je známo, že měření
Více6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu
6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a
VíceCHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.
CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt
VíceANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN
ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019
Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete
VíceJiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace
Tetlní zkušebnctv ebnctví II Jří Mltky Škály měření epřímá měření Teore měření Kalbrace Základní pojmy I PRAVDĚPODOBOST Jev A, byl sledován v m pokusech. astal celkem m a krát. Relatvní četnost výskytu
VíceMODELOVÁNÍ A SIMULACE
MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký
VíceP i= Od každého obrázku sady odečteme průměrný obraz (provedeme centrování dat): (2)
METODA PCA A JEJÍ IMPLEMENTACE V JAZYCE C++ Lukáš Frtsch, Ing. ČVUT v Praze, Fakulta elektrotechncká, Katedra radoelektronky Abstrakt Metoda PCA (Prncpal Coponent Analyss- analýza hlavních koponent) ůže
VíceKorelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d
Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím
VíceREGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení
REGRESNÍ ANALÝZA 13. cvčení Závslost náhodných velčn Závslost mez kvanttatvním proměnným X a Y: Funkční závslost hodnotam nezávsle proměnných je jednoznačně dána hodnota závslé proměnné. Y=f(X) Stochastcká
VícePosouzení přesnosti měření
Přesnost měření Posouzení přesnosti měření Hodnotu kvantitativně popsaného parametru jakéhokoliv objektu zjistíme jedině měřením. Reálné měření má vždy omezenou přesnost V minulosti sloužila k posouzení
VíceUrčení geometrických a fyzikálních parametrů čočky
C Určení geoetrickýc a yzikálníc paraetrů čočky Úkoly :. Určete poloěry křivosti ploc čočky poocí séroetru. Zěřte tloušťku čočky poocí digitálnío posuvnéo ěřítka 3. Zěřte oniskovou vzdálenost spojné čočky
VíceVLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ
VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ Abstrakt Martn Cupal 1 Prncp tvorby tržní ceny nemovtost je sce založen na tržní nabídce a poptávce, avšak tento trh je značně nedokonalý. Nejvíce ovlvňuje
Vícepodle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y
4 Lneární regrese 4 LINEÁRNÍ REGRESE RYCHLÝ NÁHLED DO KAPITOLY Častokrát potřebujete zjstt nejen, jestl jsou dvě nebo více proměnných na sobě závslé, ale také jakým vztahem se tato závslost dá popsat.
VíceEXPERIMENTÁLNÍ MECHANIKA 2 Přednáška 5 - Chyby a nejistoty měření. Jan Krystek
EXPERIMENTÁLNÍ MECHANIKA 2 Přednáška 5 - Chyby a nejistoty měření Jan Krystek 9. května 2019 CHYBY A NEJISTOTY MĚŘENÍ Každé měření je zatíženo určitou nepřesností způsobenou nejrůznějšími negativními vlivy,
Více9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese
cvčící 9. cvčení 4ST01 Obsah: Jednoduchá lneární regrese Vícenásobná lneární regrese Korelační analýza Vysoká škola ekonomcká 1 Jednoduchá lneární regrese Regresní analýza je statstcká metoda pro modelování
VícePraktikum 1. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Úloha č...xvi... Název: Studium Brownova pohybu
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Praktiku 1 Úloha č...xvi... Název: Studiu Brownova pohybu Pracoval: Jan Kotek stud.sk.: 17 dne: 7.3.2012 Odevzdal dne:... ožný počet
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VíceStatistická analýza jednorozměrných dat
Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem
VíceNÁVRH DECENTRALIZOVANÉHO ŘÍZENÍ METODOU DYNAMICKÉ KOMPENZACE. Milan Cepák, Branislav Rehák, Vladimír Havlena ČVUT FEL, katedra řídicí techniky
ÁVR DECETRALIZVAÉ ŘÍZEÍ METDU DYAMICÉ MPEZACE Mlan Cepák, ranslav Rehák, Vladír avlena ČVUT FEL, katedra řídcí technky Abstrakt: Tento příspěvek se zabývá návrhe decentralzovaného řízení rozlehlých systéů
VícePorovnání GUM a metody Monte Carlo
Porovnání GUM a metody Monte Carlo Ing. Tomáš Hajduk Nejstota měření Parametr přřazený k výsledku měření Vymezuje nterval, o němž se s určtou úrovní pravděpodobnost předpokládá, že v něm leží skutečná
VíceTransformace dat a počítačově intenzivní metody
Transformace dat a počítačově ntenzvní metody Jří Mltký Katedra textlních materálů, Textlní fakulta, Techncká unversta v Lberc, Lberec, e- mal jr.mltky@vslb.cz Mlan Meloun, Katedra analytcké cheme, Unversta
VíceANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha
ANOVA Analýza rozptylu př jednoduchém třídění Jana Vránová, 3.léařsá faulta UK, Praha Teore Máme nezávslých výběrů, > Mají rozsahy n, teré obecně nemusí být stejné V aždém z nch známe průměr a rozptyl
Více7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM
7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM Průvodce studem Předchozí kaptoly byly věnovány pravděpodobnost a tomu, co s tímto pojmem souvsí. Nyní znalost z počtu pravděpodobnost aplkujeme ve statstce. Předpokládané
Více3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina
3 VBRANÉ MODEL NÁHODNÝCH VELIČIN 3. Náhodná velčna Tato kaptola uvádí stručný pops vybraných pravděpodobnostních modelů spojtých náhodných velčn s důrazem na jejch uplatnění př rozboru spolehlvost stavebních
Více4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA)
4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA) Průzkumová analýza vícerozměrných dat je stejně jako u jednorozměrných dat založena na vyšetření grafckých dagnostk. K tomuto účelu se využívá různých technk
Více2 Struktura ortogonální neuronové sítě
XXXII. Senar ASR '7 Instruents and Control, Farana, Sutný, Kočí & Babuch (eds) 7, VŠB-UO, Ostrava, ISBN 978-8-48-7-4 Neural Netork Usng Orthogonal Actvaton Functon Využtí ortogonální aktvační funkce v
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK OBOR: GEODÉZIE A KARTOGRAFIE TEST.
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 0 0 OBOR: GEODÉZIE A KARTOGRAFIE Část A TEST A) cos cos b) tg c) ( ) A) cos b) c) cotg cotg cotg A3) Hodnota
VíceNeparametrické metody
Neparametrcké metody Přestože parametrcké metody zaujímají klíčovou úlohu ve statstcké analýze dat, je možné některé problémy řešt př neparametrckém přístupu. V této přednášce uvedeme neparametrcké odhady
Více4 Parametry jízdy kolejových vozidel
4 Parametry jízdy kolejových vozdel Př zkoumání jízdy železnčních vozdel zjšťujeme většnou tř základní charakterstcké parametry jejch pohybu. Těmto charakterstkam jsou: a) průběh rychlost vozdel - tachogram,
VíceÚvod do teorie měření. Eva Hejnová
Úvod do teorie měření Eva Hejnová Literatura: Novák, R. Úvod do teorie měření. Ústí nad Labem: UJEP, 2003 Sprušil, B., Zieleniecová, P.: Úvod do teorie fyzikálních měření. Praha: SPN, 1985 Brož, J. a kol.
Více6 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY
1 6 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY Př budování regresních modelů se běžně užívá metody nejmenších čtverců. Metoda nejmenších čtverců poskytuje postačující odhady parametrů jenom př současném splnění všech předpokladů
VíceMĚRENÍ V ELEKTROTECHNICE
EAICKÉ OKHY ĚENÍ V ELEKOECHNICE. řesnost měření. Chyby analogových a číslcových měřcích přístrojů. Chyby nepřímých a opakovaných měření. rmární etalon napětí. Zdroje referenčních napětí. rmární etalon
VíceNumerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První
Numercká matematka 1 Parabolcké rovnce Budeme se zabývat rovncí t = D u x (1) tato rovnce určuje chování funkce u(t, x), která závsí na dvou proměnných. První proměnná t mívá význam času, druhá x bývá
VíceV xv x V V E x. V nv n V nv x. S x S x S R x x x x S E x. ln ln
Souhrn 6. přednášky: 1) Terodynaka sěsí a) Ideální sěs: adtvta objeů a entalpí, Aagatův zákon b) Reálná sěs: pops poocí dodatkových velčn E Def. Y Y Y, d Aplkace: - př. obje reálné dvousložkové sěs V xv
VíceSpojité regulátory - 1 -
Spojté regulátory - 1 - SPOJIÉ EGULÁOY Nespojté regulátory mají většnou jednoduchou konstrukc a jsou levné, ale jsou nevhodné tím, že neudržují regulovanou velčnu přesně na žádané hodnotě, neboť regulovaná
VíceMechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory
Mechatroncké systémy s elektroncky komutovaným motory 1. EC motor Uvedený motor je zvláštním typem synchronního motoru nazývaný též bezkartáčovým stejnosměrným motorem (anglcky Brushless Drect Current
VíceSTATISTIKA (pro navazující magisterské studium)
Slezská unverzta v Opavě Obchodně podnkatelská fakulta v Karvné STATISTIKA (pro navazující magsterské studum) Jaroslav Ramík Karvná 007 Jaroslav Ramík, Statstka Jaroslav Ramík, Statstka 3 OBSAH MODULU
VícePOROVNÁNÍ MEZI SKUPINAMI
POROVNÁNÍ MEZI SKUPINAMI Potřeba porovnání počtů mez určtým skupnam jednců např. porovnání počtů onemocnění mez kraj nebo okresy v prax se obvykle pracuje s porovnáním na 100.000 osob. Stuace ale nebývá
VíceÚvod do teorie měření. Eva Hejnová
Úvod do teorie měření Eva Hejnová Program semináře 1. Základní pojmy - metody měření, druhy chyb, počítání s neúplnými čísly, zaokrouhlování 2. Chyby přímých měření - aritmetický průměr a směrodatná odchylka,
VíceŘešení: Odmocninu lze vždy vyjádřit jako mocninu se zlomkovým exponentem. A pro práci s mocninami = = = 2 0 = 1.
Varianta A Př.. Zloek 3 3 je roven číslu: a), b) 3, c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: Odocninu lze vždy vyjádřit jako ocninu se zlokový exponente. A pro práci s ocninai již áe jednoduchá
VíceČísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.
Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný
VíceStatistická šetření a zpracování dat.
Statstcká šetření a zpracování dat. Vyjadřovací prostředky ve statstce STATISTICKÉ TABULKY Typckým vyjadřovacím prostředkem statstky je číslo formalzovaným nástrojem číselného vyjádření je statstcká tabulka.
VíceMĚŘENÍ NA ASYNCHRONNÍM MOTORU
MĚŘENÍ NA ASYNCHRONNÍM MOTORU Základní úkole ěření je seznáit posluchače s vlastnosti asynchronního otoru v různých provozních stavech a s ožnosti využití provozu otoru v generátorické chodu a v režiu
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním
VíceVYBOČUJÍCÍ HODNOTY VE VÍCEROZMĚRNÝCH DATECH
VYBOČUJÍCÍ HODOTY VE VÍCEROZMĚRÝCH DATECH JIŘÍ MILITKÝ, Katedra tetlních materálů, Techncká unversta v Lberc, Hálkova 6 461 17 Lberec, e- mal: jr.mlky@vslb.cz MILA MELOU, Katedra analytcké cheme, Unversta
VíceIterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2
Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS Iterační výpočty projekt č.. lstopadu 1 Autor: Mlan Setler, setl1@stud.ft.vutbr.cz Fakulta Informačních Technologí Vysoké Učení Techncké v Brně Obsah 1 Úvod...
Více2. Určete optimální pracovní bod a účinnost solárního článku při dané intenzitě osvětlení, stanovte R SH, R SO, FF, MPP
FP 5 Měření paraetrů solárních článků Úkoly : 1. Naěřte a poocí počítače graficky znázorněte voltapérovou charakteristiku solárního článku. nalyzujte vliv různé intenzity osvětlení, vliv sklonu solárního
VíceOtto DVOŘÁK 1 NEJISTOTA STANOVENÍ TEPLOTY VZNÍCENÍ HOŘLAVÝCH PLYNŮ A PAR PARABOLICKOU METODOU PODLE ČSN EN 14522
Otto DVOŘÁK 1 NEJISTOTA STANOVENÍ TEPLOTY VZNÍCENÍ HOŘLAVÝCH PLYNŮ A PAR PARABOLICKOU METODOU PODLE ČSN EN 145 UNCERTAINTY OF DETEMINATION OF THE AUTO-IGNITION TEMPERATURE OF FLAMMABLE GASES OR VAPOURS
VíceTeoretický souhrn k 2. až 4. cvičení
SYSTÉMOVÁ ANALÝZA A MODELOVÁNÍ Teoretcký souhrn k 2. ž 4. cvčení ZS 2009 / 200 . Vyezení zákldních poů.. Systé e Systé e účelově defnovná nožn prvků vze ez n, která spolu se svý vstupy výstupy vykzue ko
VíceDIPLOMOVÁ PRÁCE UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Mateatka úvěrů Vedoucí dploové práce: Mgr Eva Bohanesová, PhD Rok odevzdání: 2010
VíceHUDEBNÍ EFEKT DISTORTION VYUŽÍVAJÍCÍ ZPRACOVÁNÍ PŘÍRŮSTKŮ SIGNÁLŮ ČASOVĚ
HUDEBÍ EFEKT DISTORTIO VYUŽÍVAJÍCÍ ZPRACOVÁÍ PŘÍRŮSTKŮ SIGÁLŮ ČASOVĚ VARIATÍM SYSTÉMEM Ing. Jaromír Mačák Ústav telekomunkací, FEKT VUT, Purkyňova 118, Brno Emal: xmacak04@stud.feec.vutbr.cz Hudební efekt
Víceje nutná k tomu, aby byl odhad takto pořízený je potřebná k tomu, aby proměnné-instrumenty vysvětlující veličiny v rovnici je nahrazovaly co
Obecná etod nstruentálních proěnných (G)IV (Generl Instruentl Vrbles ethod) v soustvě sultánních regresních rovnc utor etody: J.D. Srgn [958] Metod nstruentálních proěnných je jstý zobecnění dvoustupňové
Více3. VÝVRTY: ODBĚR, POPIS A ZKOUŠENÍ V TLAKU
3. VÝVRTY: ODBĚR, POPIS A ZKOUŠENÍ V TLAKU Vývrty jsou válcová zkušební tělesa, získaná z konstrukce poocí dobře chlazeného jádrového vrtáku. Vývrty získané jádrový vrtáke jsou pečlivě vyšetřeny, upraveny
VíceElektrotechnika 1. Garant předmětu: doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc. Autoři textu:
Elektrotechnka arant předětu: doc ng Jří Sedláček, CSc Autoř textu: doc ng Jří Sedláček, CSc doc ng Mloslav Stenbauer, PhD Brno, leden Elektrotechnka Předluva Předkládaná skrpta slouží jako základní studjní
VíceTepelná kapacita = T. Ē = 1 2 hν + hν. 1 = 1 e x. ln dx. Einsteinův výpočet (1907): Soustava N nezávislých oscilátorů se stejnou vlastní frekvencí má
Tepelná kapacta C x = C V = ( ) dq ( ) du Dulong-Pettovo pravdlo: U = 3kT N C V = 3kN x V = T ( ) ds x Tepelná kapacta mřížky Osclátor s kvantovanou energí E n = ( n + 2) hν má střední hodnotu energe (po
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regulární systém hustot Vychází se z: -,, P - pravděpodobnostní prostor -, R neprázdná množna parametrů - X X 1,, náhodný vektor s sdruženou hustotou X n nebo s sdruženou pravděpodobnostní
VíceVyužití logistické regrese pro hodnocení omaku
Využtí logstcké regrese pro hodnocení omaku Vladmír Bazík Úvod Jedním z prmárních proevů textlí e omak. Jedná se o poct který vyvolá textle př kontaktu s pokožkou. Je to ntegrální psychofyzkální vlastnost
VíceTeoretické modely diskrétních náhodných veličin
Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze
Více2.5. MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC
25 MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak lze obecnou soustavu lneárních rovnc zapsat pomocí matcového počtu; přesnou formulac podmínek řeštelnost soustavy lneárních rovnc
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
VíceProces řízení rizik projektu
Proces řízení rzk projektu Rzka jevy a podmínky, které nejsou pod naší přímou kontrolou a ovlvňují cíl projektu odcylky, předvídatelná rzka, nepředvídatelná rzka, caotcké vlvy Proces řízení rzk sled aktvt,
VícePřednáška č. 11 Analýza rozptylu při dvojném třídění
Přednáška č. Analýza roztlu ř dvojném třídění Ve většně říadů v rax výsledk exermentu, rozboru závsí na více faktorech. Př této analýze se osuzují výsledk náhodných okusů (exerment nebo soubor získané
VíceEnergie elektrického pole
Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO NMSP GEODÉZIE A KARTOGRAFIE PRO AKADEMICKÝ ROK 009 010 OBOR: GEODÉZIE A KARTOGRAFIE 1. tg ( α ) = o tg α B) cot gα C) tgα D) sin( 90 α) o. cotg 70 = B) 0
VíceSimulační metody hromadné obsluhy
Smulační metody hromadné osluhy Systém m a model vstupy S výstupy Systém Část prostředí, kterou lze od jeho okolí oddělt fyzckou neo myšlenkovou hrancí Model Zjednodušený, astraktní nástroj používaný pro
VícePODKLADY PRO PRAKTICKÝ SEMINÁŘ PRO UČITELE VOŠ. Logaritmické veličiny používané pro popis přenosových řetězců. Ing. Bc. Ivan Pravda, Ph.D.
PODKLADY PRO PRAKTICKÝ SEMIÁŘ PRO ČITELE VOŠ Logartmcké velčny používané pro pops přenosových řetězců Ing. Bc. Ivan Pravda, Ph.D. ATOR Ivan Pravda ÁZEV DÍLA Logartmcké velčny používané pro pops přenosových
VíceANALÝZA RIZIKA A CITLIVOSTI JAKO SOUČÁST STUDIE PROVEDITELNOSTI 1. ČÁST
Abstrakt ANALÝZA ZKA A CTLOST JAKO SOUČÁST STUDE POVEDTELNOST 1. ČÁST Jří Marek Úspěšnost nvestce závsí na tom, jaké nejstoty ovlvní její předpokládaný žvotní cyklus. Pomocí managementu rzka a analýzy
VíceNÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení
NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.
Víceteorie elektronických obvodů Jiří Petržela analýza obvodů s regulárními prvky
Jiří Petržela příklad pro příčkový filtr na obrázku napište aditanční atici etodou uzlových napětí zjistěte přenos filtru identifikujte tp a řád filtru Obr. : Příklad na příčkový filtr. aditanční atice
VíceZpracování fyzikálních měření. Studijní text pro fyzikální praktikum
Zpracování fyzkálních měření Studjní text pro fyzkální praktkum Mlan Červenka, katedra fyzky FEL-ČVUT mlan.cervenka@fel.cvut.cz 3. ledna 03 ObrázeknattulnístraněpocházízknhyogeometraměřeníodJacobaKöbela(460
VíceÚvod do teorie měření. Eva Hejnová
Úvod do teorie měření Eva Hejnová Literatura: Novák, R. Úvod do teorie měření. Ústí nad Labem: UJEP, 2003 Sprušil, B., Zieleniecová, P.: Úvod do teorie fyzikálních měření. Praha: SPN, 1985 Brož, J. a kol.
VíceNávody na cvičení. Prof. Ing. Jiří Militký CSc. EUR ING Ing. Miroslava Maršálková
VLASTNOSTI VLÁKEN Návody na cvčení Pro. Ing. Jří Mltký CSc. EUR ING Ing. Mroslava Maršálková TU Lberec 3 Náplň cvčení z předětu VLASTNOSTI VLÁKEN NÁPLŇ CVIČENÍ:. týden Úvod, bezpečnostní předpsy, poůcky.
VíceSIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10
SIMULACE numercké řešení dferencálních rovnc smulační program dentfkace modelu Numercké řešení obyčejných dferencálních rovnc krokové metody pro řešení lneárních dferencálních rovnc 1.řádu s počátečním
Více3. PEVNOST V TLAKU BETONU NA VÝVRTECH
3. PEVNOST V TLAKU BETONU NA VÝVRTECH Vývrty jsou válcové zkušební vzorky, získané z konstrukce poocí dobře chlazeného jádrového vrtáku. Vývrty jsou pečlivě vyšetřeny, upraveny buď zabroušení, anebo koncování
VícePohybová energie pro translační pohyb
ázev a adresa školy: třední škola průyslová a uělecká, Opava, příspěvková organzace, Praskova 399/8, Opava, 746 ázev operačního prograu: OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, oblast podpory.5 Regstrační
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceTeorie efektivních trhů (E.Fama (1965))
Teore efektvních trhů (E.Fama (965)) Efektvní efektvní zpracování nových nformací Efektvní trh trh, který rychle a přesně absorbuje nové nf. Ceny II (akcí) náhodná procházka Předpoklady: na trhu partcpuje
VíceS1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák
SP Popsá statstka Popsá statstka Lbor Žák SP Popsá statstka Lbor Žák Základí zdroje : skrpta Mateatka IV - doc. RNDr. Z. Karpíšek, CSc. ateatka o le - http://athole.fe.vutbr.cz/ Základ ateatcké statstk
Víceina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)
Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.
VíceMonte Carlo metody Josef Pelikán CGG MFF UK Praha.
Monte Carlo metody 996-7 Josef Pelkán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cun.cz http://cgg.mff.cun.cz/~pepca/ Monte Carlo 7 Josef Pelkán, http://cgg.ms.mff.cun.cz/~pepca / 44 Monte Carlo ntegrace Odhadovaný
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceTeoretické modely diskrétních náhodných veličin
Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze
VíceMechanické vlastnosti materiálů.
Mechancké vastnost materáů. Obsah přednášky : tahová zkouška, zákadní mechancké vastnost materáu, prodoužení př tahu nebo taku, potencání energe, řešení statcky neurčtých úoh Doba studa : as hodna Cí přednášky
VíceÚvod do elektrických měření I
Úvod do elektrických ěření I Historické střípky První pozorované elektrické jevy byly elektrostatické povahy Proto první elektrické ěřicí přístroje byly založeny právě na elektrostatické principu ezi první
VíceFinanční matematikou rozumíme soubor obecných matematických metod uplatněných v oblasti financí. Základní pojmy ve finanční matematice:
1 Úvod Fnanční ateatkou rozuíe soubor obecných ateatckých etod uplatněných v oblast fnancí. Základní pojy ve fnanční ateatce: 1. Úrok je cena půjčky. Věřtel, který půjčku poskytne, s účtuje úrok jako cenu
VíceTeorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace chyby*nejistoty 17.SP-ch.1p ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. CHYBY Označení v literatuře není jednotné. obvyklý symbol
VíceVysokoúčinná kapalinová chromatografie
MC30P14 Vysokoúčnná kapalnová chroatografe, 010/011 Vysokoúčnná kapalnová chroatografe Josef Cvačka, 311011 3.11.011 1 MC30P14 Vysokoúčnná kapalnová chroatografe, 010/011 Základy chroatografckého procesu
VíceVYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ. #2 Nejistoty měření
VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ # Nejistoty měření Přesnost měření Klasický způsob vyjádření přesnosti měření chyba měření: Absolutní chyba X = X M X(S) Relativní chyba δ X = X(M) X(S) - X(M) je naměřená hodnota
VíceANALÝZA VÍCEROZMĚRNÝCH DAT
ANALÝZA VÍCEROZMĚRNÝCH DAT JIŘÍ MILITKÝ, Katedra textilních ateriálů, Technická universita v Liberci, Hálkova 6 461 17 Liberec, e- ail: jiri.iliky@vslib.cz Motto: Všechno není jinak MILAN MELOUN, Katedra
VíceZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA STROJNÍ Semestrální práce z předmětu MM Stanovení deformace soustav ocelových prutů Václav Plánčka 6..006 OBSAH ZADÁNÍ... 3 TEORETICKÁ ČÁST... 4 PRAKTICKÁ ČÁST...
VíceIvana Linkeová SPECIÁLNÍ PŘÍPADY NURBS REPREZENTACE. 2 NURBS reprezentace křivek
25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Ivana Lnkeová SPECIÁLNÍ PŘÍPADY NURBS REPREZENTACE Abstrakt Příspěvek prezentuje B-splne křvku a Coonsovu, Bézerovu a Fergusonovu kubku jako specální případy
VíceDigitální přenosové systémy a účastnické přípojky ADSL
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechncká LABORATORNÍ ÚLOHA Č. 2 Dgtální přenosové systémy a účastncké přípojky ADSL Vypracoval: Jan HLÍDEK & Lukáš TULACH V rámc předmětu: Telekomunkační
VíceAnalýza závislosti veličin sledovaných v rámci TBD
Analýza závslost velčn sledovaných v rámc BD Helena Koutková Vysoké učení techncké v Brně, Fakulta stavební, Ústav matematky a deskrptvní geometre e-mal: koutkovah@fcevutbrcz Abstrakt Příspěvek se zabývá
Více1. Hmotnost a látkové množství
. Hotnost a látkové nožství Hotnost stavební jednotky látky (například ato, olekly, vzorcové jednotky, eleentární částice atd.) označjee sybole a, na rozdíl od celkové hotnosti látky. Při požití základní
VíceANALÝZA VLIVU DEMOGRAFICKÝCH FAKTORŮ NA SPOKOJENOST ZÁKAZNÍKŮ VE VYBRANÉ LÉKÁRNĚ S VYUŽITÍM LOGISTICKÉ REGRESE
ANALÝZA VLIVU DEMOGRAFICKÝCH FAKTORŮ NA SPOKOJENOST ZÁKAZNÍKŮ VE VYBRANÉ LÉKÁRNĚ S VYUŽITÍM LOGISTICKÉ REGRESE Jana Valečková 1 1 Vysoká škola báňská-techncká unverzta Ostrava, Ekonomcká fakulta, Sokolská
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
Více