1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ"

Transkript

1 1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ Účele ěření je stanovení velkost ěřené velčny, charakterzující určtou specfckou vlastnost. Specfkace ěřené velčny ůže vyžadovat údaje o dalších velčnách jako jsou čas, teplota a tlak. Jednotlvá ěření jsou obvykle zatížena celou řadou různých šuů, označovaných jako chyby. Výsledky ěření jsou vyjádřeny poocí 1 vhodného odhadu střední hodnoty µ a odpovídající nejstoty, souvsející s šue, nebo-l odele chyb. Klascká statstka, vycházející z defnce pravděpodobnost jako lty relatvní četnost, poskytuje celý aparát pro vyjádření nejstoty jako ntervalu spolehlvost paraetru µ. Vyjádření nejstot je flosofcky blíže subjektvní defnc pravděpodobnost jako stupn důvěry č víry. Tato pravděpodobnost však souvsí spíše s nedostatke znalost než s výsledke opakovaného experentu. 1.1 Chyby ěřících přístrojů Kvalta ěřících přístrojů a výsledků ěření se standardně vyjadřuje poocí odpovídajících nepřesností, označovaných chyby. Chyby ěření ohou být způsobeny řadou faktorů. Dělení chyb: obecně lze chyby rozdělt podle ísta vznku věřící řetězc do čtyř základních skupn : 1. Instruentální chyby jsou způsobeny konstrukcí ěřcího přístroje a souvsí s jeho přesností. U řady přístrojů jsou dentfkovány, ale také garantovány výrobce.. Metodcké chyby souvsí s použtou etodkou stanovení výsledků ěření, jako je odečítání dat, organzace ěření, elnace vnějších vlvů, atd. 3. Teoretcké chyby souvsí s použtý postupe ěření. Jde zejéna o prncpy ěření, fyzkální odely ěření, použté paraetry, fyzkální konstanty, atd. 4. Chyby zpracování dat jsou nuercké chyby etody a chyby způsobené užtí nevhodného statstckého vyhodnocení. Podle příčn vznku lze chyby rozdělt do tří skupn: 1. Náhodné chyby, které kolísají náhodně co do velkost znaénka př opakování ěření, působí nepředvídatelně a jsou popsány určtý pravděpodobnostní rozdělení. Jsou výsledke vlvu celé řady příčn, které lze jen obtížně odstrant, popř. alespoň oezt.. Systeatcké chyby působí na výsledek ěření předvídatelný způsobe. Bývají funkcí času nebo paraetrů ěřcího procesu. Mívají stejná znaénka. Konstantní systeatcké chyby snžují nebo zvyšují nuercký výsledek všech ěření o stejnou velkost. Často se navenek neprojevují a lze je odhalt až př porovnání s výsledky z jného přístroje. Exstují systeatcké chyby s časový trende, způsobené stárnutí nebo opotřebování ěřcího přístroje. Systeatcké chyby ěřcího přístroje se dělí na adtvní (chyba nastavení nulové hodnoty a ultplkatvní (chyba ctlvost. Typ a velkost chyby přístroje bývají garantovány výrobce. 3. Hrubé chyby, označované jako vybočující, resp. odlehlé hodnoty, jsou způsobeny výječnou příčnou, náhlý selhání ěřcí aparatury, nesprávný záznae výsledku. Způsobují, že se dané ěření výrazně lší od ostatních.

2 Chyby se dále dělí na (a chyby výsledků ěření jako nejstoty hodnot výsledků ěření, charakterzované například ntervale spolehlvost, a (b chyby ěřícího přístroje resp. procesu ěření jako jednu z charakterstk kvalty ěření, udávající obyčejně přípustnou odchylku od skutečné hodnoty. Chyba ěřícího přístroje je pouze jednou součástí, ovlvňující chybu výsledků ěření a vhodnou volbou přesnost ěřícího přístroje se dá její vlv slně oezt. Vstupe ěřícího přístroje je ěřená velčna x avýstupe je výsledek ěření y. Způsob transforace y=f(xje zná, obr. 1. Obr. 1 Schéa ěřícího přístroje Obr. Správnost a přesnost ěření:ppřesné,ssprávné,npnepřesné,nsnesprávné Pro stanovení chyb přístroje je nutné znát skutečnou hodnotu ěřené velčny µ t.zv. etalon nebo ít k dspozc další vel přesný přístroj azískat odhad µ vel dokonalýěření. V obou případech je k dspozc hodnota µ nebo její odhad ˆµ. Výsledky opakovaných ěření pak uožňují určt íry přesnost a správnost ěření. Obecně platí, že y g( C,µ, resp. pro adtvní odel y µ C, {y,= 1,..., n} ; ȳ, s, kde C jsou šuové složky (externí zdroje nejstot a funkce g(c, µ souvsí s odele působení šuových složek, který ůže být adtvní, ultplkatvní nebo kobnovaný a kde s je rozptyl tj. ěřítko přesnost ěření a průěrná odchylka ȳ µ je pak ěřítke správnost, obr.. S využtí hodnoty µ jeožno defnovat různé typy odchylek od správné hodnotyµ,kterévyjadřujíchybyěřícího přístroje. Rozlšujeeabsolutní odchylku zvanou také absolutníchyba x µ adále relatvní odchylku zvanou také relatvní chyba δ 100 / x, [%]. Celková odchylka čl celková chyba je složenazedvousložek, a to ze systeatcké chyby sa náhodné chyby s N, ȳ µ y ȳ. N, dle vztahu 3 Upřístrojů se obyčejně garantují různé druhy ezních chyb. Mezní chyba 0 ěřcího přístroje je jeho nejvyšší přípustná chyba, kterou ostatní odchylky ěřcího přístoje za daných podínek praktcky nkdy nepřekročí. Redukovaná ezní chyba δ0,r ěřcího přístroje pro určtou hodnotu ěřené velčny x a stanovené podínky je dána poěre ezní chyby 0 aěřcího rozsahu R, dlevzorceδ 0,R = 0/R. Často se redukovaná ezní chyba udává v procentech ěřcího rozsahu R, δ 0,R = 100 0/R, (%. Měřcí rozsah R je algebracký rozdíl krajních hodnot stupnce, R=xax -x n.

3 Obr. 3 Konstantní absolutní chyba ěření a relatvní chyba ěření δ vzávslost na ěřené velčně x 0 Třída přesnost ěřcího přístroje: je klasfkační znake přesnost v celé ěřcí rozsahu přístroje. Vyjadřuje se čísle, které je vždy větší, nebo nanejvýš stejné, jako největší absolutní hodnota z redukovaných ezních chyb, zjštěných za daných podínek v celé ěřcí rozsahu přístroje. Určení třídy přesnost záleží na typu chyby, kterou přístroj vykazuje. Dle druhu přítoné chyby rozlšujee pak tř skupny přístrojů: (a Přístroje s konstantní absolutní chybou: jde o přístroje, vykazující tzv. adtvní chybu, tj. chybu nulové hodnoty, obr. 3. V případě čstě adtvních chyb ěření se užívá redukovaná relatvní odchylka (zde přío rovna třídě přesnost přístroje δ x s p x ax x n R kde R je rozezí stupnce. U přístrojů, kde působí chyby ěření adtvně, klesá relatvní odchylka δ hyperbolcky shodnotoux. Metrologcké vlastnost ěřcích přístrojů charakterzují také další velčny: prahe ctlvost xc se označuje vstupní hodnota, pro kterou je absolutní chyba rovna x,čl c 0 = x c, tj. relatvní chyba δ(x c = 100%. Př znalosttřídy přesnost δ arozezí R se práh ctlvost vyčíslí podle vztahu x c δ 0 R/100. Pro zajštění dostatečně alé 0 hodnoty relatvní chyby ěřcího přístroje se defnuje spodní ez pracovního ntervalu x tak, aby relatvní chyba s δ(x bylaprávě p%, obyčejně 4 nebo 10%. Platí, že s 100 x c p Adtvní chyby ěřcího přístroje oezují rozsah použtí přístroje v oblast alých hodnot vstupní velčny x. Vztah ez prahe ctlvost xca spodní ezí pracovního ntervalu xsvyjadřuje obr. 4. Obr. 4 Vztah ez prahe ctlvost x a spodní ezí c pracovního ntervalu x s (b Přístroje s konstantní relatvní chybou: vpřípadě čstě ultplkatvních chyb ěření je relatvní chyba ctlvost (zde rovna přío třídě přesnost přístroje δ s /x konstantní. V toto případě je absolutní odchylka lneárně rostoucí funkcí vzhlede k velčně x, obr.5.

4 Obr. 5 Konstantní relatvní chyba ěření δ s (c Přístroje s kobnovaný chyba: u kobnovaných chyb ěření lze celkovou chybu rozepsat na součet adtvní a ultplkatvní δ x složky podle rovnce 0 s 0 δ s x Interval neurčtost zvaný také pás neurčtost je poto tvořen součte ploch adtvního a ultplkatvního pásu neurčtost. Celková redukovaná relatvní chyba δ R δ 0 δ s x R zde onotónně roste s růste x. Narozdíl odpřípadů čstě adtvní chyby tady růst δr začíná tí pozděj, čí je poěr δ /δ větší.kvyjádření třídy přesnost δ se v těchto případech užívají dva údaje: redukovaná relatvní chyba s 0 k δ0 a chyba vznklá na horní hranc ěřcího rozsahu δ,dle s vzorce δ k δ 0 δ s.jdeopřípad tzv. kobnovaného působení adtvní a ultplkatvní chyby, obr. 6. Obr. 6 Kobnované působení adtvní a ultplkatvní chyby ěření δ 0+ δs 1. Způsoby vyjádření odhadů chyb ěření Kvyjádření absolutních chyb ěření se nejčastěj využívá pravděpodobnostní přístup, vycházející ze znalost pravděpodobnostního zákona rozdělení chyb, vyjádřeného hustotou pravděpodobnost f(. To uožňuje zahrnutí systeatcké složky chyb jako střední hodnoty chyb anáhodné složky chyb jako relatvní šířky rozdělení, vyjádřené rozptyle č ostatní íra rozptýlení. Lze použít také nepravděpodobnostní přístup, založený na ntervalové analýze. Pro praktcký odhad chyb ěření, atopřístrojových chyb, lze užít celou řadu charakterstk, počítaných z výběrových hodnot chyb = x-µ,kde s µ s je buď hodnota standardu nebo odhad skutečné hodnoty µ. Základní charakterstky polohy a rozptýlení chyb vycházejí ze znalost hustoty pravděpodobnost chyb f( : 1. Moenty jsou jednak obecné typu M K (x x K f(x dx, jednak centrální typu c K (x [x M 1 (x] K f(x dx.. Specální íry rozptýlení jsou založené na volbě vhodného aproxujícího rozdělení. Pokud je znápouze nterval chyb a a, resp. pouze ezní odchylka a volí se buď trojúhelníkové nebo rovnoěrné rozdělení hustoty pravděpodobnost f(, obr.7.

5 Obr. 7 Hustota pravděpodobnost pro trojúhelníkové a rovnoěrné rozdělení Voboupřípadech je střední hodnota chyb E( =0asěrodatná odchylka pro (a pro rovnoěrné rozdělení rovna σ R a/ a, a pro (b trojúhelníkové rozdělení σ T a/ a. Jako íra rozptýlení se pak bere buď σr nebo σt podle toho, které ztěchto rozdělení lépe vysthuje daný problé (jde vlastně ovýpočet nejstoty typu B. 3. Pravděpodobnost P(a b, s jakou chyby leží ve zvolené ntervalu [a, b]. 4. Kvantly, tj. hodnoty chyb, pro které platí, že P( α α. To znaená, že α% všech chyb leží pod hodnotou. α α Je zřejé, že pravděpodobnost a kvantly spolu vzájeně souvsí. Např. předpoklad syetrckého rozdělení uožňuje stanovení ezí [a, b] jako specálních kvantlů, prokteré je pravděpodobnost P( a α/ a pravděpodobnost P( b 1 α/. - + Obecně lze pro tyto charakterstky defnovat jstý nterval [a,b ] jejch ožných hodnot. Pro případ, že jeznáa hustota pravděpodobnost f( lze tuto úlohu řešt poocí standardních statstckých etod (tj. ntervalů spolehlvost. Další ožností je použtí etodky stanovení neurčtost výsledků ěření. Př nepravděpodobnostní přístupu lze využít také ntervalové analýzy Moentové odhady chyb Obecně lze př znalost chyb, = 1,..., n, určt odpovídající rozptyl vyjádřeno jednoduchý adtvní odele x µ, lze snadno určt rozptyl ěřené velčny x jako σ. Pokud σ 1 σ n 1 (x x. Pravděpodobnostní nterval chyb:předpokládeje, že chyby ají syetrckou hustotu pravděpodobnost f( se střední hodnotou E( = 0. Nechť je znáa dstrbuční funkce F(. Pro pravděpodobnostní nterval, ve které leží 100(1 - α% všech chyb platí P (k σ k σ F(k σ F(k σ 1 F(k σ 1 α σ. Na základě představy, že ěření je platí, že = 0 (střední hodnota chyb je rovna nule, E( =0,t.zn.že systeatcká složka chyby je nulová je σ, kde Obr 8. Pravděpodobnostní nterval chyb Zde -k představuje α kvantl, k je 1 - α kvantl standardzovaného rozdělení chyb a σ je sěrodatná odchylka. Pro řadu rozdělení platí, že prop =0.9je *k* =1.64,takže pravděpodobnostní nterval náhodné chyby se vyjádří nerovností 1.64 σ # # 1.64 σ

6 Toleranční nterval chyb: je-l zná pouze odhad sěrodatné odchylky s a je-l střední hodnota chyb opět nulová E( =0,vyjádří se toleranční nterval náhodné chyby nerovností kde za předpokladu norálního rozdělení chyb bude χ α k T s # # k T s n 1 k T u (1 P/ χ α (n 1 a je α-kvantl χ rozdělení.platí pravdlo, že toleranční ntervaly jsou vždy šrší než ntervaly pravděpodobnostní. kde pro σ σ V σ V j σ j j j cov( x, x j, σ VN j a vzájeně nezávslé rozptyly, kdy cov(x, x j = 0vyjde kvadratcký průěr rozptylů dle vzorce σ, σ VL Kobnace rozptylů: výsledný rozptyl j σ j σ < j σ se vyčíslí na základě propagace rozptylů z zdrojů je rozptyl, způsobený -tý zdroje, cov(x, x j je kovarance ez -tý aj-tý zdroje. Poto platí, že b lneárně závslé rozptyly, kdy cov(x, x = σ σvyjde až na konstantu artetcký průěr rozptylů dle vzorce j j.zeznáé trojúhelníkové nerovnost plyne, že. Vsouladu stí, žesepřpouští vždy horší varanta, je vhodné volt v případech, kdy nejsou o korelacích ez zdroj chyb žádné nforace jako celkovou sěrodatnou odchylku σ VL. Volba ěřícího přístroje vzhlede k chybá ěření: celková chyba ěření σ pro případ, že varablta V ěřeného aterálu vyjádřená rozptyle σ a rozptyl ěřícího přístroje τ pocházejí znezávslých zdrojů, sevyčíslí výraze σ V = σ + τ. Celková chyba ěření bude přto závset na volbě přístroje: 1. Pro vel přesný přístroj je složka chyby τ zanedbatelně alá aprotoplatí σ V = σ. Opakování lze zlepšt přesnost ěření.. Pro optální přístroj platí τ. σ/3 a pak bude celková chyba ěření rovna σ V σ σ /3 σ 10/9. σ. 3. Pro srovnatelné chyby platí τ. σ, a pak bude celková chyba ěření rovna σ V σ 1.44 σ. 4. Pro nepřesný přístroj platí σ V. τ, a opakováníěření nelze přesnost zlepšt. Pravdla o chybách ěření: přěření je vhodné respektovat pravdla o chybách: (a Přěření velčn x1a x, které se pro získání výsledku sčítají č odčítají y = x 1 ± x dbáe, aby oba sčítance x1a xbyly ěřeny se stejnou absolutní přesností. Je-l chyba jedné z nch nohe větší, rozhoduje pak saa o chybě výsledku y. (b Je-l výsledke sčítání č odčítání alá hodnota y = x ± x, je výsledek zatížen velkou relatvní chybou. Tou 1 se vyhýbáeaalé hodnoty se snažíe ěřt přío. (c Přěření velčn x a x, které pro získání výsledku násobíe y = x * x nebo dělíe y = x / x by ěly být obě velčny x a x stejné relatvní přesnost. V případě součnu ocnn s různý exponenty je výhodnější, jsou-l 1 relatvní chyby nepřío úěrné příslušný exponentů, aby součn exponentu a relatvní chyby byl přblžně konstantní. 1.. Kvantlové odhady chyb

7 Uvažuje stejnou stuac jako u oentových odhadů, tj.sěrodatná odchylka ěření σ je přío rovna střední kvadratcké chybě σ, čl. Jednou z jednoduchých charakterstk rozptýlení je tzv. nterkvantlová odchylka σ σ K 1q ( x 1q/ x q/. Zde x α představuje obecně kvantlrozdělení chyb, ve kteréleží 100α% všech chyb. Hodnota K1-q defnuje nterval, ve kteréleží P =100(1 - q% chyb. Obr 9. Kvantlový nterval chyb Pro zvolenou pravděpodobnost čl statstckou jstotu P = 1-q je pak ezní chyba ěření rovna K P a 1q odpovídá ntervalu obsahujícíu 100(1 - q% všech chyb. Její velkost obecně závsí na hodnotě q anakonkrétní zákonu rozdělení chyb. Pro vybrané hodnoty pravděpodobnost P je v praxo zavedeno specfcké označení dotyčné chyby: (a Střední chyba (P =0.5: σ 0.5 ( x 0.75 x / 0.5,užívá se pro norální rozdělení platí σ σ. (b Pravděpodobná chyba (P = 0.683: σ ( x x / , užívá se pro norální rozdělení platí σ σ. (c Chyba pro lbovolné neznáé rozdělení (P =0.9: σ ( x x / Pro řadu rozdělení platí, že σ σ, a proto je pro sčítání dílčích kvantlových chyb vhodné využít vztahu σ 0.9 j σ 0.9,. V případě, kdy chyby ěření ají norální rozdělení, lzepsát σ u P (1P/ σ, kde u(1+p/ je 100(1+P/%ní kvantl norovaného norálního rozdělení. Pro ostatní rozdělení platí, že ezní kvantlovou chybu σ lze vyjádřt vztahe σ h P σ. Velkost h souvsí se špčatostí g daného rozdělení chyb vztahe P Je třeba ale zdůraznt, že kvantlové chyby σ h. 1.6[ 3.8(g 1.6 /3 ] Z, kde Z log[log(1 /(1 P]. P nelze obecně sčítat Nepravděpodobnostní ntervalové odhady chyb V některých případech chybí o příčnách nejstoty proěnných pravděpodobnostní nforace. Pro každou proěnnou x [a D j # x j # a H j ] a D j a H j se dá pouze vyjádřt ohrančení ve tvaru, kde je dolní ezní hodnota a j je horní ezní hodnota proěnné x. j Títo ntervale lze defnovat tzv. ntervalové proěnné. Pro ntervalové proěnné platí obecně A [a 1, a ] pro s 0 {a 1 # a }. Pro kobnac ntervalových proěnných A a B lze použít ntervalové artetky. Platí, že A B [a 1, a ] [, b ] [a 1, a b ], A B [a 1, a ] [, b ] [a 1 b, a ] A B [a 1, a ] [, b ] [ n( a 1, a b, a, a b, ax( a 1, a 1 b, a, a, a b ] A /B [ a 1, a ]/[, b ] [a 1, a ] [1/b,1/ ] Tato artetka se dá použít v jednodušších stuacích pro stanovení ntervalů chyb ěření. 1.3 Propagace chyb a nejstot Metoda Taylorova rozvoje

8 Případ jedné přío ěřené velčny x: uvažuje nejdříve případ jedné přío ěřené velčny x, kdy výsledky ěření jsou {x},=1,...n,aznchseurčují odhady x,s x.výsledek nepříých ěření je vyjádřen znáou funkcí y=f(x.obecně zde značí f(. nelneární funkc, a proto platí, že ȳ f( x. Odhad ȳ, sy se provádí svyužtí Taylorova rozvoje f(x v okolí x f(x. f( x 1 1! df(x dx (x x 1! d f (x dx (x x... E( f(x / ȳ. f( x df(x dx E (x x 1 d f(x E (x x dx ȳ. f( x 1 d f(x dx.s x D( f(x f ( x / s y. D df(x dx (x x s y. df(x dx s x Případ více ěřených proěnných: výsledke více nepříých ěření je pak funkční vztah f(x,..., x. Ze 1 znáých výsledků více příých ěření se určí x ( x 1,..., x.protaylorův rozvoj pak platí x 1, s x 1,..., x, s x.označe zde vektor průěrů sybole f(x. f( x j df(x dx (x x 1 j d f(x dx (x x j 1 j j> d f (x dx dx j (x x (x j x j... ȳ. f( x 1 j d f(x dx s x j 1 j j d f(x dx dx j cov(x, x j s y j df(x dx s x j 1 j j> df(x dx df( x dx j cov (x, x j kde cov(x,x j je kovarance ez velčna xa x. j Exstují dva krajní případy pro s y: 1. Dílčí zdroje chyb jsou zcela nezávslé avšechny kovarance cov(x, x j = 0 jsou nulové. Celková chyba s y j s x bude úěrná kvadratckéu průěru dílčích chyb ze všech zdrojů.. Dílčí zdroje chyb jsou cov(x, x j s lneárně závslé aplatí, že. Celková chyba s bude nyní úěrná artetckéu průěru všech dílčích chyb s y j. s x Případ ocnnné transforace ȳ f(x x P : pokud x ělo syetrcké rozdělení skonstantnírozptyleσ x, bude rozdělení y nesyetrcké s nekonstantní rozptyle. x s x j y

9 Z Taylorova rozvoje pak vyjde ȳ. x P Použtí syetrzační transforace σ y. δx P δx P(P 1 σ x P x (P 1 σ x x (P s x x P 1 Z f(x 1/P y 1/P, P( P 1 s kde Z jž á syetrcké rozdělení a tedy přblžně platí, že Z 1 n j Z. Z toho pak plyne přblžný výraz ȳ 1 n j y 1/P P. Platí, že prop =1jdeoartetcký průěr, prop =-1oharoncký průěr, pro P =okvadratcký průěr. Dle typu ocnny lze zvolt odpovídající průěr Metoda dvoubodové aproxace Postup je založen na náhradě rozdělení pravděpodobnost funkce f(x dvoubodový rozdělení sestejnou střední 7 hodnotou a rozptyle. Pro odhad střední hodnoty ȳ platí f( x s(x f ( x s(x ȳ. aproodhad rozptylu ȳ. j s (y. Je-l f(x funkcí nezávslých, náhodných a vzájeně následujících vztahů pro odhad střední hodnoty [f (x s(x f(x s(x] 4 f ( x s(x f ( x s(x [f( x s (y. j s(x f( x s(x ] aproodhad rozptylu. 4 nekorelovaných velčn x, = 1,...,, je ožné užít Metoda sulací Monte Carlo Přurčování středních hodnot ȳ arozptylů σ (y jako funkcí náhodných velčn počítače je výhodné použít technky 8 sulačních experentů etodou Monte Carlo. Postup lze shrnout do pět kroků : 1. Zadání funkce f(x:v úlohách přírodních věd bývá funkce f(x většnou znáa. Výhodou sulace je, že funkce f(x neusí být vyjádřena v explctnítvaru.. Rozdělení ěřených velčn: předpokládá se, že ěřené velčny jsou nezávslé a ají norální rozdělení pravděpodobnost. Stačí zadání velčn x,s(x,= 1,...,. Pokud nejsou tyto velčny k dspozc, postačují dvě krajní hodnoty ntervalu [A, B], ve které lze očekávat výskyt ěřené velčny x. Aproxatvní hustotu pravděpodobnost f(x lze vyjádřt poocí parabolckého rozdělení f(x 6 (B A (x A (B x pro A x B.

10 Složtější bude stuace, kdy se ez vstupní ěřený velčna x vyskytnou korelace. Pak je třeba specfkovat sultánní rozdělení všech hodnot x,= 1,...,, což bude jednoduché pouze pro případ norálního rozdělení. 3. Generace náhodných čísel:napočítačích exstují kvaltní generátory pseudonáhod-ných čísel s rovnoěrný rozdělení R[0, 1]. Přznalostdvounezávslých náhodných čísel R, j Rj+1 s rovnoěrnýrozdělení lze poocí Boxovy-Müllerovy transforace určt dvě nezávslá náhodná čísla N, j Nj+1 snorovaný norální rozdělení podle 0.5 x,j N j lnr j sn( π R j1 a N j1 lnr j cos( π R j1. Pak j-tá sulovaná hodnota-té velčny x bude vyjádřena sulovaná hodnota x* řešení kubcké rovnce,j x,j N j s(x x. Pro parabolcké rozdělení bude x,j x 3,j 3 α R ß α A 3 A 6, kde A β. (B A 4. Volba počtu sulací: pravdla pro určení nezbytného počtu sulací jsou stejná jako pravdla pro určování velkost výběru. Jde-l o odhad střední hodnoty a pokud lze defnovat požadovanou šířku 100(1 - α% ního ntervalu n n 4 u 1 α/ spolehlvost D, platí pro nální počet sulací vztah s (y 1, kde u je kvantl D 1-α/ norovaného norálního rozdělení a s(yje odhad rozptylu určený např. zprvních 50 sulací. 5. Suarzace výsledků: s ohlede na axální unverzálnost je výhodné nalézt eprckou hustotu pravděpodobnost rozdělení souboru sulovaných hodnot y*, j j = 1,..., n n, apakvyčíslt odhady paraetrů polohy arozptýlení. 1.4 Nejstoty výsledků ěření Jsou porovnány postupy k určování nejstot, a s tí spojené v lteratuře nově zaváděné ternologe s ternologí statstcké analýzy. Zvolený přístup výpočtu nejstot je slně závslý na předpokladech o vznku a vlastnostech jednotlvýchnejstot. Nejstoty vnově zaváděné ternolog představují vlastně ntervaly spolehlvost ve statstcké analýze. Základní rozdílje pak v užívání neexperentálních nforací o zdrojích varablty Porovnání přístupů kvýpočtu nejstot A. Příá ěření: pro případ řady zdrojů chyb ěřícího systéu pro příá ěření je stuace znázorněna obr. 10 Obr. 10 Blokové schéa ěřícího systéu pro příá ěření Zde µ je ěřená velčna, C, C,..., C jsou šuové složky, nazývané externí zdroje nejstot a funkce g(c, C,..., C, µ souvsí s odele působení šuových složek, které ůže být adtvní, ultpkatvní a kobnované , Analýza nejstot podle standardní statstcké analýzy, ct. : a Odhad velčny µ (bodový, vz. kap. 3. b Odhad rozptylu σ (bodový, vz. kap. 3. c Odhad ntervalu spolehlvost (IS pro µ,vz. kap. 3.

11 d Odhad vychýlení b = E(µ- ˆµ,vz. kap. 3. Obecně je třeba přpustt, že odhad ˆµ je vychýlený, tj.střední hodnota E( ˆµ µ. Pak je írou celkové varablty střední kvadratcká chyba MSE, pro kterou platí MSE E(µ ˆµ E [µ E ( ˆµ] E [ ˆµ E ( ˆµ] D( ˆµ b akterá je rovna součtu rozptylu D( ˆµ a čtverce vychýlení b. 11, 1. Analýza nejstot podle nové ternologe, ct. : a Odhad velčny µ (bodový: když vnové lteratuře není obvykle odel specálně uveden, předpokládá se adtvní odel x µ j, kde šuy ají nulové střední hodnoty E(ε = 0akonstantní rozptyly D(ε = σ. ε y f(x. f (µ j df(. dx (x µ Pak rezultuje znáý odhad střední hodnoty ve forě artetckého průěru, ˆµ = x. b Odhad rozptylu D( ˆµ : předpokládá se nezávslost (případně pouze lneární závslost všech složek šuu C. Jsou užívány následující íry rozptýlení: Standardní nejstota typu A, u A, tj. sěrodatná odchylka ěřené šuové složky se počítá jako odocnna zvýběrového rozptylu. Standardní nejstota typu B, u B,tj.sěrodatná odchylka neěřené a v experentu nesledované šuové složky, která se odhaduje jako sěrodatná odchylka, odpovídající jejíu aprorně vybranéu rozdělení. Řada odhadů 11, 1 pro aprorní rozdělení rovnoěrné, trojúhelníkové, lchoběžníkové anorální je uvedena v lteratuře. Místo odhadu D( ˆµ se používá kobnovaná standardní nejstota uc vycházející z platnost výše uvedeného adtvního odelu u c = Σ u A + Σ u B. Pro závslé zdroje nejstot se přčítají ještě kovarance. c Odhad ntervalu spolehlvost (IS pro µ: předpokládá se přblžná noralta, zřejě plynoucí z centrální ltní věty. Rozšířená nejstota, forálně totž polovčníšířka ntervalu spolehlvost pro µ, je pak U=u. c Problée však je, že vřadě případů některé standardní nejstoty donují apakjž představu noralty z centrální ltní věty nelze aplkovat. d Odhad vychýlení b = E(µ- ˆµ : vůbecseneuvažuje. Předpokládá se, že vychýlení U je odstraněno v rác 14 etody ěření. Vprác Phllpse a ost. je navržen postup výpočtu nejstot pro případy, kdy vychýlení b elnováno není. Jednoduše sevytvoří dvě rozšířené nejstoty U = U - b pro U-b>0,resp.U =0 + + U=U+bpro U+b>0,respU = To pak pochoptelně vede k nesyetrckéu ntervalu spolehlvost. B. Nepříá ěření: Výsledek analýzy f(µ,..., µ je vytvořen znáou funkcí skutečných výsledků příých 1 ěření µ 1,..., µ, (např. ěříe poloěr a chcee znát plochupříčného řezu kruhových vláken. K dspozc jsou odhady paraetrů ( ˆµ 1, ˆµ,..., ˆµ a příslušné odhady rozptylů, resp. čtverců nejstot, D( ˆµ 1, D( ˆµ,..., D( ˆµ. 15, Analýza nejstot podle standardní statstcké analýzy, ct. : a Odhad y z odhadů ˆµ, = 1,...,, vz. kap b Odhad rozptylu D( ŷ, vz. kap c Odhad ntervalu spolehlvost pro y, vz. kap , 1. Analýza nejstot podle nové ternologe, ct. : a Odhad y z odhadů ˆµ, = 1,..., : není řešen přío, ale vel aproxatvně se předpokládá ŷ f( ˆµ 1, ˆµ,..., ˆµ. b Odhad rozptylu D( ŷ : jetovlastně rozšířená nejstota u(y. Vychází sezpředpokladu, že f(x lze nahradt lnearzací Taylorový rozvoje v okolí µ

12 D(y. j df(. dx D(x cov(... u (y. j df(. dx u ( x cov(... D(y se obvykle nesprávně označuje jako zákon šíření nejstot. V případě, že zdroje nejstot jsou lneárně závslé, provádí se korekce s využtíkovarancí cov(... Lnearzace ůže však být vřadě případů vel nepřesná. c Odhad ntervalu spolehlvost pro y: předpokládá se téěř vždy nekorektně přblžná noralta. Nelneární funkce norálně rozdělených náhodných velčn totž norální rozdělení neá. Polovna 95%ního ntervalu spolehlvost čl rozšířená nejstota je poto U=u(y. Zde čpřesněj 1.96 představuje kvantl norovaného norálního rozdělení. Pro nelneární transforac však rezultují nesyetrcká rozdělení, což vede k nesyetrckéu ntervalu spolehlvost. Ve specálních případech (např. stopová analýza v analytcké che to ůže výrazně ovlvnt závěry: pro postvně seškená rozdělení vyjde totž ve sěru k nžší hodnotá korektnější nterval užší a ve sěru k vyšší hodnotá šrší Krtcké poznáky k výpočtu nejstot a Poznáky ternologcké: následující převodní tabulka ukazuje, že teríny doporučované vněkteré lteratuře odpovídají vlastně běžnýpojů, užívaný ve statstce: Nová ternologe: Statstka: sěrodatná odchylka ěřené šuové složky Standardní nejstota A s sěrodatná odchylka (odhadnutá šuové Standardní nejstota B složky s Kobnovaná nejstota sěrodatná odchylka funkce y, s(y Rozšířená nejstota polovna ntervalu spolehlvost IS kvantl norovaného norálního rozdělení Faktor pokrytí α b Poznáky statstcké: výpočty v některých odkazech lteratury vycházejí zpředpokladů, které však nejsou v procesu navrhovaného výpočtu nkterak ověřovány: a adtvní odel ěření resp. působení šuových složek (zdrojů nejstot, b konstantní rozptyl ěření (resp. zdrojů nejstot, c noralta nelneární funkce norálně rozdělených proěnných (pro určení rozšířené nejstoty resp. ntervalu spolehlvost IS, d nekorelovanost ěření, e alá nelnearta funkce f(x, uožňující použtí její lnearzace, Problée je nekorektnost př konstrukc a nterpretac rozšířené nejstoty U (resp. ntervalu spolehlvost IS. Klascká statstka vede totž ktou, že pron$"je 100(1 - α%ní nterval spolehlvost paraetru µ rovenvýrazu ˆµ ± u 1 α/ D( ˆµ. Přvýpočtu nejstot není kobnovaná nejstota uc pouze odhade rozptylu D( ˆµ, ale obsahuje ještě další složky. Pak vyjde rozšířená nejstota U systeatcky vyšší než polovna ntervalu spolehlvost, hodnota zde nezajšťuje přblžně 95%ní pokrytí a nterpretace takového ntervalu je nesnadná. c Poznáky výpočetní: ísto náhrady dervací dference, jak se často doporučuje v různých příručkách, by bylo podstatně jednodušší užít sulace nebo tzv. Bootstrap odhadů zejéna pak, užívá-l se počítač Přístup ntervalové analýzy k nejstotá V prax obvykle není znáo rozdělení ěřených velčn x resp. chyb ěření, takže analýza nejstot založená na pravděpodobnostních předpokladech je slně oezená.př ntervalové analýze se k průěrnéu výsledku ěření x

13 usí defnovat ezní odchylka (chyba d avýsledek vyjádřt jako nterval. Zde X označuje tzv. ntervalovou proěnnou X [ x d, x d]. Vpřípadě, že sevyjadřuje nterval neurčtost absolutní chyby, je x = 0 a platí, že X=[-d,+d]. V obecnějšípřípadě ůže být hranční chyba funkcí úrovně ěřené velčny d=d( x. Pak dostáváe ntervalovou proěnnou jako funkc X( x [ x d( x, x d( x]. Účele je pro výsledek nepříých ěření y = f(x 1,..., x n stanovt odpovídající nterval neurčtost (ezní chybu, 15 ct. : Y [y, y ] f (X 1,..., X n {f(x 1,..., x n prox 1 X 1, x X,... } - + Hodnoty y,y jsou axe a ne výrazu f(x 1,..., X n f( x 1 x 1,..., x n x n, kde x µ d, kde µ je skutečná hodnota velčny x. Nazákladě lnearzace poocí Taylorova rozvoje lze dospět ke vztahu atedy f(x 1,..., X n ȳ j n y, y df dx ( x 1,..., x n Dx ȳ ± d n ȳ f( x 1,..., x n a d j δf kde ( x /0 δx 1,..., x n d. /0 Tento algortus je sce zjednodušený, ale uožňuje prác s hranční chyba d, které neají pravděpodobnostní df charakter. Zajíavé je, že propřípad lneární funkce f(x, kdy jsou dervace 1 je celková odchylka d součte dx dílčích odchylek, což vpravděpodobnostní nterpretac znaená varantu lneárně korelovaných šuových složek Zaokrouhlování čísel Zaokrouhlování se nedopouštíe větší chyby než polovny jednotky odpovídající řádu poslední ponechané číslce. Relatvní chyba zaokrouhleného čísla je enší nebo rovna 1 s rel,.a.10 n 1 kde A je první platná číslce a n je počet platných číslc v zaokrouhlené čísle.,

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace Tetlní zkušebnctv ebnctví II Jří Mltky Škály měření epřímá měření Teore měření Kalbrace Základní pojmy I PRAVDĚPODOBOST Jev A, byl sledován v m pokusech. astal celkem m a krát. Relatvní četnost výskytu

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

Transformace dat a počítačově intenzivní metody

Transformace dat a počítačově intenzivní metody Transformace dat a počítačově ntenzvní metody Jří Mltký Katedra textlních materálů, Textlní fakulta, Techncká unversta v Lberc, Lberec, e- mal jr.mltky@vslb.cz Mlan Meloun, Katedra analytcké cheme, Unversta

Více

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium)

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium) Slezská unverzta v Opavě Obchodně podnkatelská fakulta v Karvné STATISTIKA (pro navazující magsterské studum) Jaroslav Ramík Karvná 007 Jaroslav Ramík, Statstka Jaroslav Ramík, Statstka 3 OBSAH MODULU

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY

DIPLOMOVÁ PRÁCE UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Mateatka úvěrů Vedoucí dploové práce: Mgr Eva Bohanesová, PhD Rok odevzdání: 2010

Více

MĚŘENÍ NA ASYNCHRONNÍM MOTORU

MĚŘENÍ NA ASYNCHRONNÍM MOTORU MĚŘENÍ NA ASYNCHRONNÍM MOTORU Základní úkole ěření je seznáit posluchače s vlastnosti asynchronního otoru v různých provozních stavech a s ožnosti využití provozu otoru v generátorické chodu a v režiu

Více

Finanční matematikou rozumíme soubor obecných matematických metod uplatněných v oblasti financí. Základní pojmy ve finanční matematice:

Finanční matematikou rozumíme soubor obecných matematických metod uplatněných v oblasti financí. Základní pojmy ve finanční matematice: 1 Úvod Fnanční ateatkou rozuíe soubor obecných ateatckých etod uplatněných v oblast fnancí. Základní pojy ve fnanční ateatce: 1. Úrok je cena půjčky. Věřtel, který půjčku poskytne, s účtuje úrok jako cenu

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

ANALÝZA VÍCEROZMĚRNÝCH DAT

ANALÝZA VÍCEROZMĚRNÝCH DAT ANALÝZA VÍCEROZMĚRNÝCH DAT JIŘÍ MILITKÝ, Katedra textilních ateriálů, Technická universita v Liberci, Hálkova 6 461 17 Liberec, e- ail: jiri.iliky@vslib.cz Motto: Všechno není jinak MILAN MELOUN, Katedra

Více

Konverze kmitočtu Štěpán Matějka

Konverze kmitočtu Štěpán Matějka 1.Úvod teoretcký pops Konverze kmtočtu Štěpán Matějka Směšovač měnč kmtočtu je obvod, který přeměňuje vstupní sgnál s kmtočtem na výstupní sgnál o kmtočtu IF. Někdy bývá tento proces označován také jako

Více

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965))

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965)) Teore efektvních trhů (E.Fama (965)) Efektvní efektvní zpracování nových nformací Efektvní trh trh, který rychle a přesně absorbuje nové nf. Ceny II (akcí) náhodná procházka Předpoklady: na trhu partcpuje

Více

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta stavební Ústav stavební mechanky Doc. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D. MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES TEZE

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

Posuzování výkonnosti projektů a projektového řízení

Posuzování výkonnosti projektů a projektového řízení Posuzování výkonnost projektů a projektového řízení Ing. Jarmla Ircngová Západočeská unverzta v Plzn, Fakulta ekonomcká, Katedra managementu, novací a projektů jrcngo@kp.zcu.cz Abstrakt V současnost je

Více

3.1.3 Rychlost a zrychlení harmonického pohybu

3.1.3 Rychlost a zrychlení harmonického pohybu 3.1.3 Rychlost a zrychlení haronického pohybu Předpoklady: 312 Kroě dráhy (výchylky) popisujee pohyb i poocí dalších dvou veličin: rychlosti a zrychlení. Jak budou vypadat jejich rovnice? Společný graf

Více

1.2. Postup výpočtu. , [kwh/(m 3.a)] (6)

1.2. Postup výpočtu. , [kwh/(m 3.a)] (6) 1. Stavebn energetcké vlastnost budov Energetcké chování budov v zním období se v současné době hodnotí buď s pomocí průměrného součntele prostupu tepla nebo s pomocí měrné potřeby tepla na vytápění. 1.1.

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně 9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky

Více

Hodnocení účinnosti údržby

Hodnocení účinnosti údržby Hodnocení účnnost ekonomka, pojmy, základní nástroje a hodnocení Náklady na údržbu jsou nutné k obnovení funkce výrobního zařízení Je potřeba se zabývat ekonomckou efektvností a hodnocením Je třeba řešt

Více

- 1 - Zdeněk Havel, Jan Hnízdil. Cvičení z Antropomotoriky. Obsah:

- 1 - Zdeněk Havel, Jan Hnízdil. Cvičení z Antropomotoriky. Obsah: - - Zdeněk Havel, Jan Hnízdl Cvčení z Antropomotorky Obsah: Úvod... S Základní charakterstky statstckých souborů...3 S Charakterstka základních výběrových technk a teoretcká rozložení četností...9 S 3

Více

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl ČVUT FEL X16FIM Fnanční Management Semestrální projekt Téma: Optmalzace zásobování teplem Vypracoval: Marek Handl Datum: květen 2008 Formulace úlohy Pro novou výstavbu 100 bytových jednotek je třeba zvolt

Více

Finanční management. Nejefektivnější portfolio (leží na hranici) dle Markowitze: Přímka kapitálového trhu

Finanční management. Nejefektivnější portfolio (leží na hranici) dle Markowitze: Přímka kapitálového trhu Finanční anageent Příka kapitálového trhu, odel CAPM, systeatické a nesysteatické riziko Příka kapitálového trhu Čí vyšší e sklon křivky, tí vyšší e nechuť investora riskovat. očekávaný výnos Množina všech

Více

INŽ ENÝ RSKÁ MECHANIKA 2002

INŽ ENÝ RSKÁ MECHANIKA 2002 Ná dní konference s mezná dní účastí INŽ ENÝ RSÁ MECHANIA 00 1. 16. 5. 00, Svratka, Č eská republka PODRITICÝ RŮ ST TRHLINY VE SVAROVÉ M SPOJI OMORY PŘ EHŘÍVÁ U Jan ouš, Ondřej Belak 1 Abstrakt: V důsledku

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc.

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc. Unverzta Pardubce Fakulta ekonomcko-správní Modelování predkce časových řad návštěvnost web domény pomocí SVM Bc. Vlastml Flegl Dplomová práce 2011 Prohlašuj: Tuto prác jsem vypracoval samostatně. Veškeré

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

Příloha. Externí stabilita. Obr. 11 Výpočetní schéma opěrné stěny pro potřeby externí stability. Výška opěrné stěny

Příloha. Externí stabilita. Obr. 11 Výpočetní schéma opěrné stěny pro potřeby externí stability. Výška opěrné stěny Příloha PŘÍKLAD VÝPOČTU Pro doplnění vedené teore je veden praktcký výpočetní příklad. Jedná se o návrh vyztžené opěrné stěny s betonový prvky Gravty Stone a s výztží z geoříží Mragrd. Výškový rozdíl terénů,

Více

Vykazování solventnosti pojišťoven

Vykazování solventnosti pojišťoven Vykazování solventnost pojšťoven Ing. Markéta Paulasová, Techncká unverzta v Lberc, Hospodářská fakulta marketa.paulasova@centrum.cz Abstrakt Pojšťovnctví je fnanční službou zabývající se přenosem rzk

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G.

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G. SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. yto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. yto procesy se nazývaí

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN.

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. Mroslav VARNER, Vktor KANICKÝ, Vlastslav SALAJKA ČKD Blansko Strojírny, a. s. Anotace Uvádí se výsledky teoretckých

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

METODIKA ZJIŠŤOVÁNÍ NESYMETRIE MAGNETICKÉHO POLE U ELEKTROMOTORŮ

METODIKA ZJIŠŤOVÁNÍ NESYMETRIE MAGNETICKÉHO POLE U ELEKTROMOTORŮ METODIKA ZJIŠŤOVÁNÍ NESYMETRIE MAGNETICKÉHO POLE U ELEKTROMOTORŮ Ing. Mečislav Hudeczek,Ph.D. Stonavská 87 75 4 Albrechtice Abstrakt Přednáška pojednává o vlivu nesyetrie elektroagnetického pole elektrootoru

Více

DEFINICE TLAKŮ A JEJICH VZÁJEMNÝ VZTAH PŘI KONSTRUOVÁNÍ A ZKOUŠENÍ HLAVNÍ DĚL, MINOMETŮ A MUNICE

DEFINICE TLAKŮ A JEJICH VZÁJEMNÝ VZTAH PŘI KONSTRUOVÁNÍ A ZKOUŠENÍ HLAVNÍ DĚL, MINOMETŮ A MUNICE ČOS 050. vydání Oprava ČESKÝ OBRANNÝ STANDARD ČOS DEFINICE TLAKŮ A JEJICH VZÁJEMNÝ VZTAH PŘI KONSTRUOVÁNÍ A ZKOUŠENÍ HLAVNÍ DĚL, MINOMETŮ A MUNICE Praha ČOS 050. vydání Oprava (VOLNÁ STRANA) ČOS 050 Oprava

Více

CHEMICKÉ VÝPOČTY II SLOŽENÍ ROZTOKŮ. Složení roztoků udává vzájemný poměr rozpuštěné látky a rozpouštědla v roztoku. Vyjadřuje se:

CHEMICKÉ VÝPOČTY II SLOŽENÍ ROZTOKŮ. Složení roztoků udává vzájemný poměr rozpuštěné látky a rozpouštědla v roztoku. Vyjadřuje se: CEMICKÉ VÝPOČTY II SLOŽENÍ ROZTOKŮ Teorie Složení roztoků udává vzájený poěr rozpuštěné látky a rozpouštědla v roztoku. Vyjadřuje se: MOTNOSTNÍM ZLOMKEM B vyjadřuje poěr hotnosti rozpuštěné látky k hotnosti

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE FAKULTA ŽIVOTNÍHO PROSTŘEDÍ KATEDRA APLIKOVANÉ GEOINFORMATIKY A ÚZEMNÍHO PLÁNOVÁNÍ PROSTOROVÁ NEURČITOST GEODAT V ANALÝZÁCH DISTRIBUCE VYBRANÝCH DRUHŮ PTÁKŮ DIPLOMOVÁ

Více

1. Mechanika - úvod. [ X ] - měřící jednotka. { X } - označuje kvantitu (množství)

1. Mechanika - úvod. [ X ] - měřící jednotka. { X } - označuje kvantitu (množství) . Mechanika - úvod. Základní pojy V echanice se zabýváe základníi vlastnosti a pohybe hotných těles. Chcee-li přeístit těleso (echanický pohyb), potřebujee k tou znát tyto tři veličiny: hota, prostor,

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OTEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ

BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OTEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ Prof. Ing. Mloš Mařík, CSc. BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ RESUMÉ: Jedním z důležtých a přtom nepřílš uspokojvě řešených problémů výnosového oceňování podnku je kalkulace

Více

Vnitřní energie ideálního plynu podle kinetické teorie

Vnitřní energie ideálního plynu podle kinetické teorie Vnitřní energie ideálního plynu podle kinetické teorie Kinetická teorie plynu, která prní poloině 9.století dokázala úspěšně spojit klasickou fenoenologickou terodynaiku s echanikou, poažuje plyn za soustau

Více

Základy finanční matematiky

Základy finanční matematiky Hodna 38 Strana 1/10 Gymnázum Budějovcká Voltelný předmět Ekonome - jednoletý BLOK ČÍSLO 6 Základy fnanční matematky ředpokládaný počet : 5 hodn oužtá lteratura : Frantšek Freberg Fnanční teore a fnancování

Více

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta financí a účetnictví BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2010 Michal Dvořák

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta financí a účetnictví BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2010 Michal Dvořák Vysoká škola ekonomcká v Praze Fakulta fnancí a účetnctví BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2010 Mchal Dvořák Vysoká škola ekonomcká v Praze Fakulta fnancí a účetnctví Katedra veřejných fnancí Studjní obor: Fnance Analýza

Více

Optimalizační přístup při plánování rekonstrukcí vodovodních řadů

Optimalizační přístup při plánování rekonstrukcí vodovodních řadů Optmalzační přístup př plánování rekonstrukcí vodovodních řadů Ladslav Tuhovčák*, Pavel Dvořák**, Jaroslav Raclavský*, Pavel Vščor*, Pavel Valkovč* * Ústav vodního hospodářství obcí, Fakulta stavební VUT

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH THE CHOICE OF EVALUATION CRITERIA IN PUBLIC PROCUREMENT Martn Schmdt Masarykova unverzta, Ekonomcko-správní fakulta m.schmdt@emal.cz Abstrakt: Článek zkoumá

Více

Pracovní list č. 3: Pracujeme s kategorizovanými daty

Pracovní list č. 3: Pracujeme s kategorizovanými daty Pracovní lt č. 3: Pracujeme kategorzovaným daty Cíl cvčení: Tento pracovní lt je určen pro cvčení ke 3. a. přednášce předmětu Kvanttatvní metody B (.1 Třídění tattckých dat a. Číelné charaktertky tattckých

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Nejistota měř. ěření, návaznost a kontrola kvality. Miroslav Janošík

Nejistota měř. ěření, návaznost a kontrola kvality. Miroslav Janošík Nejistota měř ěření, návaznost a kontrola kvality Miroslav Janošík Obsah Referenční materiály Návaznost referenčních materiálů Nejistota Kontrola kvality Westgardova pravidla Unity Referenční materiál

Více

MODELOVÁNÍ POPTÁVKY, NABÍDKY A TRŽNÍ ROVNOVÁHY

MODELOVÁNÍ POPTÁVKY, NABÍDKY A TRŽNÍ ROVNOVÁHY MODELOVÁÍ POPTÁVKY, ABÍDKY A TRŽÍ ROVOVÁHY Schéma tržní rovnováhy Modely otávky na trhu výrobků a služeb Formulace otávkové funkce Komlexní model Konstrukce modelu otávky Tržní otávka Dynamcké modely otávky

Více

Metody volby financování investičních projektů

Metody volby financování investičních projektů 7. meznárodní konference Fnanční řízení podnků a fnančních nsttucí Ostrava VŠB-T Ostrava konomcká fakulta katedra Fnancí 8. 9. září 00 Metody volby fnancování nvestčních projektů Dana Dluhošová Dagmar

Více

Užití swapových sazeb pro stanovení diskontní míry se zřetelem na Českou republiku

Užití swapových sazeb pro stanovení diskontní míry se zřetelem na Českou republiku M. Dvořák: Užtí swapových sazeb pro stanovení dskontní míry Užtí swapových sazeb pro stanovení dskontní míry se zřetelem na Českou republku Mchal Dvořák * 1 Úvod Korektní určení bezrzkových výnosových

Více

Bezporuchovost a pohotovost

Bezporuchovost a pohotovost Bezporuchovost a pohotovost Materály z 59. semnáře odborné skupny pro spolehlvost Konaného dne 24. 2. 205 Česká společnost pro jakost, ovotného lávka 5, 6 68 raha, www.csq.cz ČJ 205 Obsah: Ing. Jan Kamencký,

Více

Znamená vyšší korupce dražší dálnice? Evidence z dat Eurostatu. Michal Dvořák *

Znamená vyšší korupce dražší dálnice? Evidence z dat Eurostatu. Michal Dvořák * Znamená vyšší korupce dražší dálnce? Evdence z dat Eurostatu Mchal Dvořák * Článek je pozměněnou verzí práce Analýza vztahu mez mírou korupce a cenovou úrovní nfrastrukturních staveb, kterou autor zakončl

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

Zkouškový test z fyzikální a koloidní chemie

Zkouškový test z fyzikální a koloidní chemie Zkouškový test z fyzkální a kolodní cheme VZOR/1 jméno test zápočet průměr známka Čas 9 mnut. Povoleny jsou kalkulačky. Nejsou povoleny žádné písemné pomůcky. Uotázeksvýběrema,b,c...odpověd b kroužkujte.platí:

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Matematika a její aplikace Matematika 2. období 5. ročník Učební texty : J. Justová: Alter-Matematika, Matematika 5.r.I.díl, 5.r.

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Je beta spolehlivým měřítkem rizika v obdobích hospodářských poklesů? 1

Je beta spolehlivým měřítkem rizika v obdobích hospodářských poklesů? 1 Je beta spolehlvý ěřítke rzka v obdobích hospodářských poklesů? 1 Toáš Brabenec * Úvod Vyhláška Mnsterstva spravedlvost Slovenskej republky o stanovení všeobecnej hodnoty ajetku (dále také Vyhláška ) o

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Numerické výpočty ve světovém geodetickém referenčním systému 1984 (WGS84)

Numerické výpočty ve světovém geodetickém referenčním systému 1984 (WGS84) Numercké výpočty ve světovém geodetckém referenčním systému 984 (WGS84) prof. Mara Ivanovna Jurkna, DrSc. CNIIGAK, Moskva prof. Ing. Mloš Pck, DrSc. Geofyzkální ústav ČAV, Praha Vojenský geografcký obzor,

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKÁLNÍ

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKÁLNÍ MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA PŘÍRODOVĚDECKÁ LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKÁLNÍ CHEMIE ÚLOHY ZÁKLADNÍHO PRAKTIKA PRO POSLUCHAČE VYSOKOŠKOLSKÉHO STUDIA ODBORNÉ A UČITELSKÉ CHEMIE KOLEKTIV: PAVEL BROŽ MIROSLAV

Více

[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201

[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201 6.. Gonometrcký tvar kompleních čísel I Předpoklad: 07, 09, 60 Pedagogcká poznámka: Gonometrcký tvar kompleních čísel není pro student njak obtížný. Velm obtížné je pro student s po roce vzpomenout na

Více

Výpočty za použití zákonů pro ideální plyn

Výpočty za použití zákonů pro ideální plyn ýočty za oužití zákonů ro ideální lyn Látka v lynné stavu je tvořena volnýi atoy(onoatoickýi olekulai), ionty nebo olekulai. Ideální lyn- olekuly na sebe neůsobí žádnýi silai, jejich obje je ve srovnání

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

3.9. Energie magnetického pole

3.9. Energie magnetického pole 3.9. nergie agnetického poe 1. Uět odvodit energii agnetického poe cívky tak, aby bya vyjádřena poocí paraetrů obvodu (I a L).. Znát vztah pro energii agnetického poe cívky jako funkci veičin charakterizujících

Více

Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku. 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření

Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku. 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Časová hodnota peněz ve fnančním rozhodování podnku 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Fnanční rozhodování podnku je ovlvněno časem. Peněžní prostředky získané dnes mají větší hodnotu

Více

VZDUCH V MÍSTNOSTI POMŮCKY NASTAVENÍ MĚŘICÍHO ZAŘÍZENÍ. Vzdělávací předmět: Fyzika. Tematický celek dle RVP: Látky a tělesa

VZDUCH V MÍSTNOSTI POMŮCKY NASTAVENÍ MĚŘICÍHO ZAŘÍZENÍ. Vzdělávací předmět: Fyzika. Tematický celek dle RVP: Látky a tělesa VZDUCH V MÍSTNOSTI Vzdělávací předět: Fyzika Teatický celek dle RVP: Látky a tělesa Teatická oblast: Měření fyzikálních veličin Cílová skupina: Žák 6. ročníku základní školy Cíle pokusu je určení rozěrů

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Část 4 Stanovení a zabezpečení garantované hladiny akustického výkonu

Část 4 Stanovení a zabezpečení garantované hladiny akustického výkonu Část 4 Stanovení a zabezpečení garantované hladiny akustického výkonu Obsah 1. Úvod 2. Oblast působnosti 3. Definice 3.1 Definice uvedené ve směrnici 3.2 Obecné definice 3.2.1 Nejistoty způsobené postupem

Více

RENTABILITA UCELENÝCH NÁKLADNÍCH VLAKŮ PROFITABILITY OF CARGO SHUTTLE TRAINS

RENTABILITA UCELENÝCH NÁKLADNÍCH VLAKŮ PROFITABILITY OF CARGO SHUTTLE TRAINS ENTABILITA UELENÝH NÁKLADNÍH VLAKŮ POFITABILITY OF AGO SHUTTLE TAINS Petr Nachtigall 1 Anotace: V toto článku je popsán nový způsob výpočtu rentability ucelených vlaků pro různé koodity, na jehož základě

Více

Softwarová podpora matematických metod v ekonomice a řízení

Softwarová podpora matematických metod v ekonomice a řízení Softwarová podpora matematckých metod v ekonomce a řízení Petr Sed a Opava 2013 Hrazeno z prostředků proektu OPVK CZ.1.07/2.2.00/15.0174 Inovace bakalářských studních oborů se zaměřením na spoluprác s

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

Betonový a ocelový piedestal pro ABS flow booster SB 900 až 2500

Betonový a ocelový piedestal pro ABS flow booster SB 900 až 2500 Betonový a ocelový piedestal pro ABS flow booster SB 900 až 2500 1 597 0720 CZ 02.2013 cs Montážní předpisy Překlad původních pokynů www.sulzer.co Montážní předpisy pro betonový piedestal pro SB 900-1200

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Soustava SI. SI - zkratka francouzského názvu Système International d'unités (mezinárodní soustava jednotek).

Soustava SI. SI - zkratka francouzského názvu Système International d'unités (mezinárodní soustava jednotek). Soustava SI SI - zkratka francouzského názvu Systèe International d'unités (ezinárodní soustava jednotek). Vznikla v roce 1960 z důvodu zajištění jednotnosti a přehlednosti vztahů ezi fyzikálníi veličinai

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více