1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ"

Transkript

1 1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ Účele ěření je stanovení velkost ěřené velčny, charakterzující určtou specfckou vlastnost. Specfkace ěřené velčny ůže vyžadovat údaje o dalších velčnách jako jsou čas, teplota a tlak. Jednotlvá ěření jsou obvykle zatížena celou řadou různých šuů, označovaných jako chyby. Výsledky ěření jsou vyjádřeny poocí 1 vhodného odhadu střední hodnoty µ a odpovídající nejstoty, souvsející s šue, nebo-l odele chyb. Klascká statstka, vycházející z defnce pravděpodobnost jako lty relatvní četnost, poskytuje celý aparát pro vyjádření nejstoty jako ntervalu spolehlvost paraetru µ. Vyjádření nejstot je flosofcky blíže subjektvní defnc pravděpodobnost jako stupn důvěry č víry. Tato pravděpodobnost však souvsí spíše s nedostatke znalost než s výsledke opakovaného experentu. 1.1 Chyby ěřících přístrojů Kvalta ěřících přístrojů a výsledků ěření se standardně vyjadřuje poocí odpovídajících nepřesností, označovaných chyby. Chyby ěření ohou být způsobeny řadou faktorů. Dělení chyb: obecně lze chyby rozdělt podle ísta vznku věřící řetězc do čtyř základních skupn : 1. Instruentální chyby jsou způsobeny konstrukcí ěřcího přístroje a souvsí s jeho přesností. U řady přístrojů jsou dentfkovány, ale také garantovány výrobce.. Metodcké chyby souvsí s použtou etodkou stanovení výsledků ěření, jako je odečítání dat, organzace ěření, elnace vnějších vlvů, atd. 3. Teoretcké chyby souvsí s použtý postupe ěření. Jde zejéna o prncpy ěření, fyzkální odely ěření, použté paraetry, fyzkální konstanty, atd. 4. Chyby zpracování dat jsou nuercké chyby etody a chyby způsobené užtí nevhodného statstckého vyhodnocení. Podle příčn vznku lze chyby rozdělt do tří skupn: 1. Náhodné chyby, které kolísají náhodně co do velkost znaénka př opakování ěření, působí nepředvídatelně a jsou popsány určtý pravděpodobnostní rozdělení. Jsou výsledke vlvu celé řady příčn, které lze jen obtížně odstrant, popř. alespoň oezt.. Systeatcké chyby působí na výsledek ěření předvídatelný způsobe. Bývají funkcí času nebo paraetrů ěřcího procesu. Mívají stejná znaénka. Konstantní systeatcké chyby snžují nebo zvyšují nuercký výsledek všech ěření o stejnou velkost. Často se navenek neprojevují a lze je odhalt až př porovnání s výsledky z jného přístroje. Exstují systeatcké chyby s časový trende, způsobené stárnutí nebo opotřebování ěřcího přístroje. Systeatcké chyby ěřcího přístroje se dělí na adtvní (chyba nastavení nulové hodnoty a ultplkatvní (chyba ctlvost. Typ a velkost chyby přístroje bývají garantovány výrobce. 3. Hrubé chyby, označované jako vybočující, resp. odlehlé hodnoty, jsou způsobeny výječnou příčnou, náhlý selhání ěřcí aparatury, nesprávný záznae výsledku. Způsobují, že se dané ěření výrazně lší od ostatních.

2 Chyby se dále dělí na (a chyby výsledků ěření jako nejstoty hodnot výsledků ěření, charakterzované například ntervale spolehlvost, a (b chyby ěřícího přístroje resp. procesu ěření jako jednu z charakterstk kvalty ěření, udávající obyčejně přípustnou odchylku od skutečné hodnoty. Chyba ěřícího přístroje je pouze jednou součástí, ovlvňující chybu výsledků ěření a vhodnou volbou přesnost ěřícího přístroje se dá její vlv slně oezt. Vstupe ěřícího přístroje je ěřená velčna x avýstupe je výsledek ěření y. Způsob transforace y=f(xje zná, obr. 1. Obr. 1 Schéa ěřícího přístroje Obr. Správnost a přesnost ěření:ppřesné,ssprávné,npnepřesné,nsnesprávné Pro stanovení chyb přístroje je nutné znát skutečnou hodnotu ěřené velčny µ t.zv. etalon nebo ít k dspozc další vel přesný přístroj azískat odhad µ vel dokonalýěření. V obou případech je k dspozc hodnota µ nebo její odhad ˆµ. Výsledky opakovaných ěření pak uožňují určt íry přesnost a správnost ěření. Obecně platí, že y g( C,µ, resp. pro adtvní odel y µ C, {y,= 1,..., n} ; ȳ, s, kde C jsou šuové složky (externí zdroje nejstot a funkce g(c, µ souvsí s odele působení šuových složek, který ůže být adtvní, ultplkatvní nebo kobnovaný a kde s je rozptyl tj. ěřítko přesnost ěření a průěrná odchylka ȳ µ je pak ěřítke správnost, obr.. S využtí hodnoty µ jeožno defnovat různé typy odchylek od správné hodnotyµ,kterévyjadřujíchybyěřícího přístroje. Rozlšujeeabsolutní odchylku zvanou také absolutníchyba x µ adále relatvní odchylku zvanou také relatvní chyba δ 100 / x, [%]. Celková odchylka čl celková chyba je složenazedvousložek, a to ze systeatcké chyby sa náhodné chyby s N, ȳ µ y ȳ. N, dle vztahu 3 Upřístrojů se obyčejně garantují různé druhy ezních chyb. Mezní chyba 0 ěřcího přístroje je jeho nejvyšší přípustná chyba, kterou ostatní odchylky ěřcího přístoje za daných podínek praktcky nkdy nepřekročí. Redukovaná ezní chyba δ0,r ěřcího přístroje pro určtou hodnotu ěřené velčny x a stanovené podínky je dána poěre ezní chyby 0 aěřcího rozsahu R, dlevzorceδ 0,R = 0/R. Často se redukovaná ezní chyba udává v procentech ěřcího rozsahu R, δ 0,R = 100 0/R, (%. Měřcí rozsah R je algebracký rozdíl krajních hodnot stupnce, R=xax -x n.

3 Obr. 3 Konstantní absolutní chyba ěření a relatvní chyba ěření δ vzávslost na ěřené velčně x 0 Třída přesnost ěřcího přístroje: je klasfkační znake přesnost v celé ěřcí rozsahu přístroje. Vyjadřuje se čísle, které je vždy větší, nebo nanejvýš stejné, jako největší absolutní hodnota z redukovaných ezních chyb, zjštěných za daných podínek v celé ěřcí rozsahu přístroje. Určení třídy přesnost záleží na typu chyby, kterou přístroj vykazuje. Dle druhu přítoné chyby rozlšujee pak tř skupny přístrojů: (a Přístroje s konstantní absolutní chybou: jde o přístroje, vykazující tzv. adtvní chybu, tj. chybu nulové hodnoty, obr. 3. V případě čstě adtvních chyb ěření se užívá redukovaná relatvní odchylka (zde přío rovna třídě přesnost přístroje δ x s p x ax x n R kde R je rozezí stupnce. U přístrojů, kde působí chyby ěření adtvně, klesá relatvní odchylka δ hyperbolcky shodnotoux. Metrologcké vlastnost ěřcích přístrojů charakterzují také další velčny: prahe ctlvost xc se označuje vstupní hodnota, pro kterou je absolutní chyba rovna x,čl c 0 = x c, tj. relatvní chyba δ(x c = 100%. Př znalosttřídy přesnost δ arozezí R se práh ctlvost vyčíslí podle vztahu x c δ 0 R/100. Pro zajštění dostatečně alé 0 hodnoty relatvní chyby ěřcího přístroje se defnuje spodní ez pracovního ntervalu x tak, aby relatvní chyba s δ(x bylaprávě p%, obyčejně 4 nebo 10%. Platí, že s 100 x c p Adtvní chyby ěřcího přístroje oezují rozsah použtí přístroje v oblast alých hodnot vstupní velčny x. Vztah ez prahe ctlvost xca spodní ezí pracovního ntervalu xsvyjadřuje obr. 4. Obr. 4 Vztah ez prahe ctlvost x a spodní ezí c pracovního ntervalu x s (b Přístroje s konstantní relatvní chybou: vpřípadě čstě ultplkatvních chyb ěření je relatvní chyba ctlvost (zde rovna přío třídě přesnost přístroje δ s /x konstantní. V toto případě je absolutní odchylka lneárně rostoucí funkcí vzhlede k velčně x, obr.5.

4 Obr. 5 Konstantní relatvní chyba ěření δ s (c Přístroje s kobnovaný chyba: u kobnovaných chyb ěření lze celkovou chybu rozepsat na součet adtvní a ultplkatvní δ x složky podle rovnce 0 s 0 δ s x Interval neurčtost zvaný také pás neurčtost je poto tvořen součte ploch adtvního a ultplkatvního pásu neurčtost. Celková redukovaná relatvní chyba δ R δ 0 δ s x R zde onotónně roste s růste x. Narozdíl odpřípadů čstě adtvní chyby tady růst δr začíná tí pozděj, čí je poěr δ /δ větší.kvyjádření třídy přesnost δ se v těchto případech užívají dva údaje: redukovaná relatvní chyba s 0 k δ0 a chyba vznklá na horní hranc ěřcího rozsahu δ,dle s vzorce δ k δ 0 δ s.jdeopřípad tzv. kobnovaného působení adtvní a ultplkatvní chyby, obr. 6. Obr. 6 Kobnované působení adtvní a ultplkatvní chyby ěření δ 0+ δs 1. Způsoby vyjádření odhadů chyb ěření Kvyjádření absolutních chyb ěření se nejčastěj využívá pravděpodobnostní přístup, vycházející ze znalost pravděpodobnostního zákona rozdělení chyb, vyjádřeného hustotou pravděpodobnost f(. To uožňuje zahrnutí systeatcké složky chyb jako střední hodnoty chyb anáhodné složky chyb jako relatvní šířky rozdělení, vyjádřené rozptyle č ostatní íra rozptýlení. Lze použít také nepravděpodobnostní přístup, založený na ntervalové analýze. Pro praktcký odhad chyb ěření, atopřístrojových chyb, lze užít celou řadu charakterstk, počítaných z výběrových hodnot chyb = x-µ,kde s µ s je buď hodnota standardu nebo odhad skutečné hodnoty µ. Základní charakterstky polohy a rozptýlení chyb vycházejí ze znalost hustoty pravděpodobnost chyb f( : 1. Moenty jsou jednak obecné typu M K (x x K f(x dx, jednak centrální typu c K (x [x M 1 (x] K f(x dx.. Specální íry rozptýlení jsou založené na volbě vhodného aproxujícího rozdělení. Pokud je znápouze nterval chyb a a, resp. pouze ezní odchylka a volí se buď trojúhelníkové nebo rovnoěrné rozdělení hustoty pravděpodobnost f(, obr.7.

5 Obr. 7 Hustota pravděpodobnost pro trojúhelníkové a rovnoěrné rozdělení Voboupřípadech je střední hodnota chyb E( =0asěrodatná odchylka pro (a pro rovnoěrné rozdělení rovna σ R a/ a, a pro (b trojúhelníkové rozdělení σ T a/ a. Jako íra rozptýlení se pak bere buď σr nebo σt podle toho, které ztěchto rozdělení lépe vysthuje daný problé (jde vlastně ovýpočet nejstoty typu B. 3. Pravděpodobnost P(a b, s jakou chyby leží ve zvolené ntervalu [a, b]. 4. Kvantly, tj. hodnoty chyb, pro které platí, že P( α α. To znaená, že α% všech chyb leží pod hodnotou. α α Je zřejé, že pravděpodobnost a kvantly spolu vzájeně souvsí. Např. předpoklad syetrckého rozdělení uožňuje stanovení ezí [a, b] jako specálních kvantlů, prokteré je pravděpodobnost P( a α/ a pravděpodobnost P( b 1 α/. - + Obecně lze pro tyto charakterstky defnovat jstý nterval [a,b ] jejch ožných hodnot. Pro případ, že jeznáa hustota pravděpodobnost f( lze tuto úlohu řešt poocí standardních statstckých etod (tj. ntervalů spolehlvost. Další ožností je použtí etodky stanovení neurčtost výsledků ěření. Př nepravděpodobnostní přístupu lze využít také ntervalové analýzy Moentové odhady chyb Obecně lze př znalost chyb, = 1,..., n, určt odpovídající rozptyl vyjádřeno jednoduchý adtvní odele x µ, lze snadno určt rozptyl ěřené velčny x jako σ. Pokud σ 1 σ n 1 (x x. Pravděpodobnostní nterval chyb:předpokládeje, že chyby ají syetrckou hustotu pravděpodobnost f( se střední hodnotou E( = 0. Nechť je znáa dstrbuční funkce F(. Pro pravděpodobnostní nterval, ve které leží 100(1 - α% všech chyb platí P (k σ k σ F(k σ F(k σ 1 F(k σ 1 α σ. Na základě představy, že ěření je platí, že = 0 (střední hodnota chyb je rovna nule, E( =0,t.zn.že systeatcká složka chyby je nulová je σ, kde Obr 8. Pravděpodobnostní nterval chyb Zde -k představuje α kvantl, k je 1 - α kvantl standardzovaného rozdělení chyb a σ je sěrodatná odchylka. Pro řadu rozdělení platí, že prop =0.9je *k* =1.64,takže pravděpodobnostní nterval náhodné chyby se vyjádří nerovností 1.64 σ # # 1.64 σ

6 Toleranční nterval chyb: je-l zná pouze odhad sěrodatné odchylky s a je-l střední hodnota chyb opět nulová E( =0,vyjádří se toleranční nterval náhodné chyby nerovností kde za předpokladu norálního rozdělení chyb bude χ α k T s # # k T s n 1 k T u (1 P/ χ α (n 1 a je α-kvantl χ rozdělení.platí pravdlo, že toleranční ntervaly jsou vždy šrší než ntervaly pravděpodobnostní. kde pro σ σ V σ V j σ j j j cov( x, x j, σ VN j a vzájeně nezávslé rozptyly, kdy cov(x, x j = 0vyjde kvadratcký průěr rozptylů dle vzorce σ, σ VL Kobnace rozptylů: výsledný rozptyl j σ j σ < j σ se vyčíslí na základě propagace rozptylů z zdrojů je rozptyl, způsobený -tý zdroje, cov(x, x j je kovarance ez -tý aj-tý zdroje. Poto platí, že b lneárně závslé rozptyly, kdy cov(x, x = σ σvyjde až na konstantu artetcký průěr rozptylů dle vzorce j j.zeznáé trojúhelníkové nerovnost plyne, že. Vsouladu stí, žesepřpouští vždy horší varanta, je vhodné volt v případech, kdy nejsou o korelacích ez zdroj chyb žádné nforace jako celkovou sěrodatnou odchylku σ VL. Volba ěřícího přístroje vzhlede k chybá ěření: celková chyba ěření σ pro případ, že varablta V ěřeného aterálu vyjádřená rozptyle σ a rozptyl ěřícího přístroje τ pocházejí znezávslých zdrojů, sevyčíslí výraze σ V = σ + τ. Celková chyba ěření bude přto závset na volbě přístroje: 1. Pro vel přesný přístroj je složka chyby τ zanedbatelně alá aprotoplatí σ V = σ. Opakování lze zlepšt přesnost ěření.. Pro optální přístroj platí τ. σ/3 a pak bude celková chyba ěření rovna σ V σ σ /3 σ 10/9. σ. 3. Pro srovnatelné chyby platí τ. σ, a pak bude celková chyba ěření rovna σ V σ 1.44 σ. 4. Pro nepřesný přístroj platí σ V. τ, a opakováníěření nelze přesnost zlepšt. Pravdla o chybách ěření: přěření je vhodné respektovat pravdla o chybách: (a Přěření velčn x1a x, které se pro získání výsledku sčítají č odčítají y = x 1 ± x dbáe, aby oba sčítance x1a xbyly ěřeny se stejnou absolutní přesností. Je-l chyba jedné z nch nohe větší, rozhoduje pak saa o chybě výsledku y. (b Je-l výsledke sčítání č odčítání alá hodnota y = x ± x, je výsledek zatížen velkou relatvní chybou. Tou 1 se vyhýbáeaalé hodnoty se snažíe ěřt přío. (c Přěření velčn x a x, které pro získání výsledku násobíe y = x * x nebo dělíe y = x / x by ěly být obě velčny x a x stejné relatvní přesnost. V případě součnu ocnn s různý exponenty je výhodnější, jsou-l 1 relatvní chyby nepřío úěrné příslušný exponentů, aby součn exponentu a relatvní chyby byl přblžně konstantní. 1.. Kvantlové odhady chyb

7 Uvažuje stejnou stuac jako u oentových odhadů, tj.sěrodatná odchylka ěření σ je přío rovna střední kvadratcké chybě σ, čl. Jednou z jednoduchých charakterstk rozptýlení je tzv. nterkvantlová odchylka σ σ K 1q ( x 1q/ x q/. Zde x α představuje obecně kvantlrozdělení chyb, ve kteréleží 100α% všech chyb. Hodnota K1-q defnuje nterval, ve kteréleží P =100(1 - q% chyb. Obr 9. Kvantlový nterval chyb Pro zvolenou pravděpodobnost čl statstckou jstotu P = 1-q je pak ezní chyba ěření rovna K P a 1q odpovídá ntervalu obsahujícíu 100(1 - q% všech chyb. Její velkost obecně závsí na hodnotě q anakonkrétní zákonu rozdělení chyb. Pro vybrané hodnoty pravděpodobnost P je v praxo zavedeno specfcké označení dotyčné chyby: (a Střední chyba (P =0.5: σ 0.5 ( x 0.75 x / 0.5,užívá se pro norální rozdělení platí σ σ. (b Pravděpodobná chyba (P = 0.683: σ ( x x / , užívá se pro norální rozdělení platí σ σ. (c Chyba pro lbovolné neznáé rozdělení (P =0.9: σ ( x x / Pro řadu rozdělení platí, že σ σ, a proto je pro sčítání dílčích kvantlových chyb vhodné využít vztahu σ 0.9 j σ 0.9,. V případě, kdy chyby ěření ají norální rozdělení, lzepsát σ u P (1P/ σ, kde u(1+p/ je 100(1+P/%ní kvantl norovaného norálního rozdělení. Pro ostatní rozdělení platí, že ezní kvantlovou chybu σ lze vyjádřt vztahe σ h P σ. Velkost h souvsí se špčatostí g daného rozdělení chyb vztahe P Je třeba ale zdůraznt, že kvantlové chyby σ h. 1.6[ 3.8(g 1.6 /3 ] Z, kde Z log[log(1 /(1 P]. P nelze obecně sčítat Nepravděpodobnostní ntervalové odhady chyb V některých případech chybí o příčnách nejstoty proěnných pravděpodobnostní nforace. Pro každou proěnnou x [a D j # x j # a H j ] a D j a H j se dá pouze vyjádřt ohrančení ve tvaru, kde je dolní ezní hodnota a j je horní ezní hodnota proěnné x. j Títo ntervale lze defnovat tzv. ntervalové proěnné. Pro ntervalové proěnné platí obecně A [a 1, a ] pro s 0 {a 1 # a }. Pro kobnac ntervalových proěnných A a B lze použít ntervalové artetky. Platí, že A B [a 1, a ] [, b ] [a 1, a b ], A B [a 1, a ] [, b ] [a 1 b, a ] A B [a 1, a ] [, b ] [ n( a 1, a b, a, a b, ax( a 1, a 1 b, a, a, a b ] A /B [ a 1, a ]/[, b ] [a 1, a ] [1/b,1/ ] Tato artetka se dá použít v jednodušších stuacích pro stanovení ntervalů chyb ěření. 1.3 Propagace chyb a nejstot Metoda Taylorova rozvoje

8 Případ jedné přío ěřené velčny x: uvažuje nejdříve případ jedné přío ěřené velčny x, kdy výsledky ěření jsou {x},=1,...n,aznchseurčují odhady x,s x.výsledek nepříých ěření je vyjádřen znáou funkcí y=f(x.obecně zde značí f(. nelneární funkc, a proto platí, že ȳ f( x. Odhad ȳ, sy se provádí svyužtí Taylorova rozvoje f(x v okolí x f(x. f( x 1 1! df(x dx (x x 1! d f (x dx (x x... E( f(x / ȳ. f( x df(x dx E (x x 1 d f(x E (x x dx ȳ. f( x 1 d f(x dx.s x D( f(x f ( x / s y. D df(x dx (x x s y. df(x dx s x Případ více ěřených proěnných: výsledke více nepříých ěření je pak funkční vztah f(x,..., x. Ze 1 znáých výsledků více příých ěření se určí x ( x 1,..., x.protaylorův rozvoj pak platí x 1, s x 1,..., x, s x.označe zde vektor průěrů sybole f(x. f( x j df(x dx (x x 1 j d f(x dx (x x j 1 j j> d f (x dx dx j (x x (x j x j... ȳ. f( x 1 j d f(x dx s x j 1 j j d f(x dx dx j cov(x, x j s y j df(x dx s x j 1 j j> df(x dx df( x dx j cov (x, x j kde cov(x,x j je kovarance ez velčna xa x. j Exstují dva krajní případy pro s y: 1. Dílčí zdroje chyb jsou zcela nezávslé avšechny kovarance cov(x, x j = 0 jsou nulové. Celková chyba s y j s x bude úěrná kvadratckéu průěru dílčích chyb ze všech zdrojů.. Dílčí zdroje chyb jsou cov(x, x j s lneárně závslé aplatí, že. Celková chyba s bude nyní úěrná artetckéu průěru všech dílčích chyb s y j. s x Případ ocnnné transforace ȳ f(x x P : pokud x ělo syetrcké rozdělení skonstantnírozptyleσ x, bude rozdělení y nesyetrcké s nekonstantní rozptyle. x s x j y

9 Z Taylorova rozvoje pak vyjde ȳ. x P Použtí syetrzační transforace σ y. δx P δx P(P 1 σ x P x (P 1 σ x x (P s x x P 1 Z f(x 1/P y 1/P, P( P 1 s kde Z jž á syetrcké rozdělení a tedy přblžně platí, že Z 1 n j Z. Z toho pak plyne přblžný výraz ȳ 1 n j y 1/P P. Platí, že prop =1jdeoartetcký průěr, prop =-1oharoncký průěr, pro P =okvadratcký průěr. Dle typu ocnny lze zvolt odpovídající průěr Metoda dvoubodové aproxace Postup je založen na náhradě rozdělení pravděpodobnost funkce f(x dvoubodový rozdělení sestejnou střední 7 hodnotou a rozptyle. Pro odhad střední hodnoty ȳ platí f( x s(x f ( x s(x ȳ. aproodhad rozptylu ȳ. j s (y. Je-l f(x funkcí nezávslých, náhodných a vzájeně následujících vztahů pro odhad střední hodnoty [f (x s(x f(x s(x] 4 f ( x s(x f ( x s(x [f( x s (y. j s(x f( x s(x ] aproodhad rozptylu. 4 nekorelovaných velčn x, = 1,...,, je ožné užít Metoda sulací Monte Carlo Přurčování středních hodnot ȳ arozptylů σ (y jako funkcí náhodných velčn počítače je výhodné použít technky 8 sulačních experentů etodou Monte Carlo. Postup lze shrnout do pět kroků : 1. Zadání funkce f(x:v úlohách přírodních věd bývá funkce f(x většnou znáa. Výhodou sulace je, že funkce f(x neusí být vyjádřena v explctnítvaru.. Rozdělení ěřených velčn: předpokládá se, že ěřené velčny jsou nezávslé a ají norální rozdělení pravděpodobnost. Stačí zadání velčn x,s(x,= 1,...,. Pokud nejsou tyto velčny k dspozc, postačují dvě krajní hodnoty ntervalu [A, B], ve které lze očekávat výskyt ěřené velčny x. Aproxatvní hustotu pravděpodobnost f(x lze vyjádřt poocí parabolckého rozdělení f(x 6 (B A (x A (B x pro A x B.

10 Složtější bude stuace, kdy se ez vstupní ěřený velčna x vyskytnou korelace. Pak je třeba specfkovat sultánní rozdělení všech hodnot x,= 1,...,, což bude jednoduché pouze pro případ norálního rozdělení. 3. Generace náhodných čísel:napočítačích exstují kvaltní generátory pseudonáhod-ných čísel s rovnoěrný rozdělení R[0, 1]. Přznalostdvounezávslých náhodných čísel R, j Rj+1 s rovnoěrnýrozdělení lze poocí Boxovy-Müllerovy transforace určt dvě nezávslá náhodná čísla N, j Nj+1 snorovaný norální rozdělení podle 0.5 x,j N j lnr j sn( π R j1 a N j1 lnr j cos( π R j1. Pak j-tá sulovaná hodnota-té velčny x bude vyjádřena sulovaná hodnota x* řešení kubcké rovnce,j x,j N j s(x x. Pro parabolcké rozdělení bude x,j x 3,j 3 α R ß α A 3 A 6, kde A β. (B A 4. Volba počtu sulací: pravdla pro určení nezbytného počtu sulací jsou stejná jako pravdla pro určování velkost výběru. Jde-l o odhad střední hodnoty a pokud lze defnovat požadovanou šířku 100(1 - α% ního ntervalu n n 4 u 1 α/ spolehlvost D, platí pro nální počet sulací vztah s (y 1, kde u je kvantl D 1-α/ norovaného norálního rozdělení a s(yje odhad rozptylu určený např. zprvních 50 sulací. 5. Suarzace výsledků: s ohlede na axální unverzálnost je výhodné nalézt eprckou hustotu pravděpodobnost rozdělení souboru sulovaných hodnot y*, j j = 1,..., n n, apakvyčíslt odhady paraetrů polohy arozptýlení. 1.4 Nejstoty výsledků ěření Jsou porovnány postupy k určování nejstot, a s tí spojené v lteratuře nově zaváděné ternologe s ternologí statstcké analýzy. Zvolený přístup výpočtu nejstot je slně závslý na předpokladech o vznku a vlastnostech jednotlvýchnejstot. Nejstoty vnově zaváděné ternolog představují vlastně ntervaly spolehlvost ve statstcké analýze. Základní rozdílje pak v užívání neexperentálních nforací o zdrojích varablty Porovnání přístupů kvýpočtu nejstot A. Příá ěření: pro případ řady zdrojů chyb ěřícího systéu pro příá ěření je stuace znázorněna obr. 10 Obr. 10 Blokové schéa ěřícího systéu pro příá ěření Zde µ je ěřená velčna, C, C,..., C jsou šuové složky, nazývané externí zdroje nejstot a funkce g(c, C,..., C, µ souvsí s odele působení šuových složek, které ůže být adtvní, ultpkatvní a kobnované , Analýza nejstot podle standardní statstcké analýzy, ct. : a Odhad velčny µ (bodový, vz. kap. 3. b Odhad rozptylu σ (bodový, vz. kap. 3. c Odhad ntervalu spolehlvost (IS pro µ,vz. kap. 3.

11 d Odhad vychýlení b = E(µ- ˆµ,vz. kap. 3. Obecně je třeba přpustt, že odhad ˆµ je vychýlený, tj.střední hodnota E( ˆµ µ. Pak je írou celkové varablty střední kvadratcká chyba MSE, pro kterou platí MSE E(µ ˆµ E [µ E ( ˆµ] E [ ˆµ E ( ˆµ] D( ˆµ b akterá je rovna součtu rozptylu D( ˆµ a čtverce vychýlení b. 11, 1. Analýza nejstot podle nové ternologe, ct. : a Odhad velčny µ (bodový: když vnové lteratuře není obvykle odel specálně uveden, předpokládá se adtvní odel x µ j, kde šuy ají nulové střední hodnoty E(ε = 0akonstantní rozptyly D(ε = σ. ε y f(x. f (µ j df(. dx (x µ Pak rezultuje znáý odhad střední hodnoty ve forě artetckého průěru, ˆµ = x. b Odhad rozptylu D( ˆµ : předpokládá se nezávslost (případně pouze lneární závslost všech složek šuu C. Jsou užívány následující íry rozptýlení: Standardní nejstota typu A, u A, tj. sěrodatná odchylka ěřené šuové složky se počítá jako odocnna zvýběrového rozptylu. Standardní nejstota typu B, u B,tj.sěrodatná odchylka neěřené a v experentu nesledované šuové složky, která se odhaduje jako sěrodatná odchylka, odpovídající jejíu aprorně vybranéu rozdělení. Řada odhadů 11, 1 pro aprorní rozdělení rovnoěrné, trojúhelníkové, lchoběžníkové anorální je uvedena v lteratuře. Místo odhadu D( ˆµ se používá kobnovaná standardní nejstota uc vycházející z platnost výše uvedeného adtvního odelu u c = Σ u A + Σ u B. Pro závslé zdroje nejstot se přčítají ještě kovarance. c Odhad ntervalu spolehlvost (IS pro µ: předpokládá se přblžná noralta, zřejě plynoucí z centrální ltní věty. Rozšířená nejstota, forálně totž polovčníšířka ntervalu spolehlvost pro µ, je pak U=u. c Problée však je, že vřadě případů některé standardní nejstoty donují apakjž představu noralty z centrální ltní věty nelze aplkovat. d Odhad vychýlení b = E(µ- ˆµ : vůbecseneuvažuje. Předpokládá se, že vychýlení U je odstraněno v rác 14 etody ěření. Vprác Phllpse a ost. je navržen postup výpočtu nejstot pro případy, kdy vychýlení b elnováno není. Jednoduše sevytvoří dvě rozšířené nejstoty U = U - b pro U-b>0,resp.U =0 + + U=U+bpro U+b>0,respU = To pak pochoptelně vede k nesyetrckéu ntervalu spolehlvost. B. Nepříá ěření: Výsledek analýzy f(µ,..., µ je vytvořen znáou funkcí skutečných výsledků příých 1 ěření µ 1,..., µ, (např. ěříe poloěr a chcee znát plochupříčného řezu kruhových vláken. K dspozc jsou odhady paraetrů ( ˆµ 1, ˆµ,..., ˆµ a příslušné odhady rozptylů, resp. čtverců nejstot, D( ˆµ 1, D( ˆµ,..., D( ˆµ. 15, Analýza nejstot podle standardní statstcké analýzy, ct. : a Odhad y z odhadů ˆµ, = 1,...,, vz. kap b Odhad rozptylu D( ŷ, vz. kap c Odhad ntervalu spolehlvost pro y, vz. kap , 1. Analýza nejstot podle nové ternologe, ct. : a Odhad y z odhadů ˆµ, = 1,..., : není řešen přío, ale vel aproxatvně se předpokládá ŷ f( ˆµ 1, ˆµ,..., ˆµ. b Odhad rozptylu D( ŷ : jetovlastně rozšířená nejstota u(y. Vychází sezpředpokladu, že f(x lze nahradt lnearzací Taylorový rozvoje v okolí µ

12 D(y. j df(. dx D(x cov(... u (y. j df(. dx u ( x cov(... D(y se obvykle nesprávně označuje jako zákon šíření nejstot. V případě, že zdroje nejstot jsou lneárně závslé, provádí se korekce s využtíkovarancí cov(... Lnearzace ůže však být vřadě případů vel nepřesná. c Odhad ntervalu spolehlvost pro y: předpokládá se téěř vždy nekorektně přblžná noralta. Nelneární funkce norálně rozdělených náhodných velčn totž norální rozdělení neá. Polovna 95%ního ntervalu spolehlvost čl rozšířená nejstota je poto U=u(y. Zde čpřesněj 1.96 představuje kvantl norovaného norálního rozdělení. Pro nelneární transforac však rezultují nesyetrcká rozdělení, což vede k nesyetrckéu ntervalu spolehlvost. Ve specálních případech (např. stopová analýza v analytcké che to ůže výrazně ovlvnt závěry: pro postvně seškená rozdělení vyjde totž ve sěru k nžší hodnotá korektnější nterval užší a ve sěru k vyšší hodnotá šrší Krtcké poznáky k výpočtu nejstot a Poznáky ternologcké: následující převodní tabulka ukazuje, že teríny doporučované vněkteré lteratuře odpovídají vlastně běžnýpojů, užívaný ve statstce: Nová ternologe: Statstka: sěrodatná odchylka ěřené šuové složky Standardní nejstota A s sěrodatná odchylka (odhadnutá šuové Standardní nejstota B složky s Kobnovaná nejstota sěrodatná odchylka funkce y, s(y Rozšířená nejstota polovna ntervalu spolehlvost IS kvantl norovaného norálního rozdělení Faktor pokrytí α b Poznáky statstcké: výpočty v některých odkazech lteratury vycházejí zpředpokladů, které však nejsou v procesu navrhovaného výpočtu nkterak ověřovány: a adtvní odel ěření resp. působení šuových složek (zdrojů nejstot, b konstantní rozptyl ěření (resp. zdrojů nejstot, c noralta nelneární funkce norálně rozdělených proěnných (pro určení rozšířené nejstoty resp. ntervalu spolehlvost IS, d nekorelovanost ěření, e alá nelnearta funkce f(x, uožňující použtí její lnearzace, Problée je nekorektnost př konstrukc a nterpretac rozšířené nejstoty U (resp. ntervalu spolehlvost IS. Klascká statstka vede totž ktou, že pron$"je 100(1 - α%ní nterval spolehlvost paraetru µ rovenvýrazu ˆµ ± u 1 α/ D( ˆµ. Přvýpočtu nejstot není kobnovaná nejstota uc pouze odhade rozptylu D( ˆµ, ale obsahuje ještě další složky. Pak vyjde rozšířená nejstota U systeatcky vyšší než polovna ntervalu spolehlvost, hodnota zde nezajšťuje přblžně 95%ní pokrytí a nterpretace takového ntervalu je nesnadná. c Poznáky výpočetní: ísto náhrady dervací dference, jak se často doporučuje v různých příručkách, by bylo podstatně jednodušší užít sulace nebo tzv. Bootstrap odhadů zejéna pak, užívá-l se počítač Přístup ntervalové analýzy k nejstotá V prax obvykle není znáo rozdělení ěřených velčn x resp. chyb ěření, takže analýza nejstot založená na pravděpodobnostních předpokladech je slně oezená.př ntervalové analýze se k průěrnéu výsledku ěření x

13 usí defnovat ezní odchylka (chyba d avýsledek vyjádřt jako nterval. Zde X označuje tzv. ntervalovou proěnnou X [ x d, x d]. Vpřípadě, že sevyjadřuje nterval neurčtost absolutní chyby, je x = 0 a platí, že X=[-d,+d]. V obecnějšípřípadě ůže být hranční chyba funkcí úrovně ěřené velčny d=d( x. Pak dostáváe ntervalovou proěnnou jako funkc X( x [ x d( x, x d( x]. Účele je pro výsledek nepříých ěření y = f(x 1,..., x n stanovt odpovídající nterval neurčtost (ezní chybu, 15 ct. : Y [y, y ] f (X 1,..., X n {f(x 1,..., x n prox 1 X 1, x X,... } - + Hodnoty y,y jsou axe a ne výrazu f(x 1,..., X n f( x 1 x 1,..., x n x n, kde x µ d, kde µ je skutečná hodnota velčny x. Nazákladě lnearzace poocí Taylorova rozvoje lze dospět ke vztahu atedy f(x 1,..., X n ȳ j n y, y df dx ( x 1,..., x n Dx ȳ ± d n ȳ f( x 1,..., x n a d j δf kde ( x /0 δx 1,..., x n d. /0 Tento algortus je sce zjednodušený, ale uožňuje prác s hranční chyba d, které neají pravděpodobnostní df charakter. Zajíavé je, že propřípad lneární funkce f(x, kdy jsou dervace 1 je celková odchylka d součte dx dílčích odchylek, což vpravděpodobnostní nterpretac znaená varantu lneárně korelovaných šuových složek Zaokrouhlování čísel Zaokrouhlování se nedopouštíe větší chyby než polovny jednotky odpovídající řádu poslední ponechané číslce. Relatvní chyba zaokrouhleného čísla je enší nebo rovna 1 s rel,.a.10 n 1 kde A je první platná číslce a n je počet platných číslc v zaokrouhlené čísle.,

Měření příkonu míchadla při míchání suspenzí

Měření příkonu míchadla při míchání suspenzí U8 Ústav procesní a zpracovatelské technky FS ČVUT v Praze Měření příkonu rotačních íchadel př íchání suspenzí I. Úkol ěření V průyslu téěř 60% všech operacích, kdy je íchání používáno, představuje íchání

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

PŘÍSPĚVEK K NEJISTOTÁM VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ

PŘÍSPĚVEK K NEJISTOTÁM VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ PŘÍSPĚVEK K NEJISTOTÁM VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ JIŘÍ MILITKÝ, Katedra textlních materálů, Techncká unversta v Lberc, MILAN MELOUN, Katedra analytcké cheme, Unversta Pardubce, Pardubce. Úvod Je známo, že měření

Více

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší

Více

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace Tetlní zkušebnctv ebnctví II Jří Mltky Škály měření epřímá měření Teore měření Kalbrace Základní pojmy I PRAVDĚPODOBOST Jev A, byl sledován v m pokusech. astal celkem m a krát. Relatvní četnost výskytu

Více

MODELOVÁNÍ A SIMULACE

MODELOVÁNÍ A SIMULACE MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký

Více

P i= Od každého obrázku sady odečteme průměrný obraz (provedeme centrování dat): (2)

P i= Od každého obrázku sady odečteme průměrný obraz (provedeme centrování dat): (2) METODA PCA A JEJÍ IMPLEMENTACE V JAZYCE C++ Lukáš Frtsch, Ing. ČVUT v Praze, Fakulta elektrotechncká, Katedra radoelektronky Abstrakt Metoda PCA (Prncpal Coponent Analyss- analýza hlavních koponent) ůže

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

REGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení

REGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení REGRESNÍ ANALÝZA 13. cvčení Závslost náhodných velčn Závslost mez kvanttatvním proměnným X a Y: Funkční závslost hodnotam nezávsle proměnných je jednoznačně dána hodnota závslé proměnné. Y=f(X) Stochastcká

Více

Určení geometrických a fyzikálních parametrů čočky

Určení geometrických a fyzikálních parametrů čočky C Určení geoetrickýc a yzikálníc paraetrů čočky Úkoly :. Určete poloěry křivosti ploc čočky poocí séroetru. Zěřte tloušťku čočky poocí digitálnío posuvnéo ěřítka 3. Zěřte oniskovou vzdálenost spojné čočky

Více

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese cvčící 9. cvčení 4ST01 Obsah: Jednoduchá lneární regrese Vícenásobná lneární regrese Korelační analýza Vysoká škola ekonomcká 1 Jednoduchá lneární regrese Regresní analýza je statstcká metoda pro modelování

Více

podle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y

podle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y 4 Lneární regrese 4 LINEÁRNÍ REGRESE RYCHLÝ NÁHLED DO KAPITOLY Častokrát potřebujete zjstt nejen, jestl jsou dvě nebo více proměnných na sobě závslé, ale také jakým vztahem se tato závslost dá popsat.

Více

Porovnání GUM a metody Monte Carlo

Porovnání GUM a metody Monte Carlo Porovnání GUM a metody Monte Carlo Ing. Tomáš Hajduk Nejstota měření Parametr přřazený k výsledku měření Vymezuje nterval, o němž se s určtou úrovní pravděpodobnost předpokládá, že v něm leží skutečná

Více

Praktikum 1. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Úloha č...xvi... Název: Studium Brownova pohybu

Praktikum 1. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Úloha č...xvi... Název: Studium Brownova pohybu Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Praktiku 1 Úloha č...xvi... Název: Studiu Brownova pohybu Pracoval: Jan Kotek stud.sk.: 17 dne: 7.3.2012 Odevzdal dne:... ožný počet

Více

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ Abstrakt Martn Cupal 1 Prncp tvorby tržní ceny nemovtost je sce založen na tržní nabídce a poptávce, avšak tento trh je značně nedokonalý. Nejvíce ovlvňuje

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

NÁVRH DECENTRALIZOVANÉHO ŘÍZENÍ METODOU DYNAMICKÉ KOMPENZACE. Milan Cepák, Branislav Rehák, Vladimír Havlena ČVUT FEL, katedra řídicí techniky

NÁVRH DECENTRALIZOVANÉHO ŘÍZENÍ METODOU DYNAMICKÉ KOMPENZACE. Milan Cepák, Branislav Rehák, Vladimír Havlena ČVUT FEL, katedra řídicí techniky ÁVR DECETRALIZVAÉ ŘÍZEÍ METDU DYAMICÉ MPEZACE Mlan Cepák, ranslav Rehák, Vladír avlena ČVUT FEL, katedra řídcí technky Abstrakt: Tento příspěvek se zabývá návrhe decentralzovaného řízení rozlehlých systéů

Více

Transformace dat a počítačově intenzivní metody

Transformace dat a počítačově intenzivní metody Transformace dat a počítačově ntenzvní metody Jří Mltký Katedra textlních materálů, Textlní fakulta, Techncká unversta v Lberc, Lberec, e- mal jr.mltky@vslb.cz Mlan Meloun, Katedra analytcké cheme, Unversta

Více

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha ANOVA Analýza rozptylu př jednoduchém třídění Jana Vránová, 3.léařsá faulta UK, Praha Teore Máme nezávslých výběrů, > Mají rozsahy n, teré obecně nemusí být stejné V aždém z nch známe průměr a rozptyl

Více

7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM

7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM 7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM Průvodce studem Předchozí kaptoly byly věnovány pravděpodobnost a tomu, co s tímto pojmem souvsí. Nyní znalost z počtu pravděpodobnost aplkujeme ve statstce. Předpokládané

Více

3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina

3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina 3 VBRANÉ MODEL NÁHODNÝCH VELIČIN 3. Náhodná velčna Tato kaptola uvádí stručný pops vybraných pravděpodobnostních modelů spojtých náhodných velčn s důrazem na jejch uplatnění př rozboru spolehlvost stavebních

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK OBOR: GEODÉZIE A KARTOGRAFIE TEST.

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK OBOR: GEODÉZIE A KARTOGRAFIE TEST. FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 0 0 OBOR: GEODÉZIE A KARTOGRAFIE Část A TEST A) cos cos b) tg c) ( ) A) cos b) c) cotg cotg cotg A3) Hodnota

Více

4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA)

4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA) 4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA) Průzkumová analýza vícerozměrných dat je stejně jako u jednorozměrných dat založena na vyšetření grafckých dagnostk. K tomuto účelu se využívá různých technk

Více

MĚRENÍ V ELEKTROTECHNICE

MĚRENÍ V ELEKTROTECHNICE EAICKÉ OKHY ĚENÍ V ELEKOECHNICE. řesnost měření. Chyby analogových a číslcových měřcích přístrojů. Chyby nepřímých a opakovaných měření. rmární etalon napětí. Zdroje referenčních napětí. rmární etalon

Více

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium)

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium) Slezská unverzta v Opavě Obchodně podnkatelská fakulta v Karvné STATISTIKA (pro navazující magsterské studum) Jaroslav Ramík Karvná 007 Jaroslav Ramík, Statstka Jaroslav Ramík, Statstka 3 OBSAH MODULU

Více

MĚŘENÍ NA ASYNCHRONNÍM MOTORU

MĚŘENÍ NA ASYNCHRONNÍM MOTORU MĚŘENÍ NA ASYNCHRONNÍM MOTORU Základní úkole ěření je seznáit posluchače s vlastnosti asynchronního otoru v různých provozních stavech a s ožnosti využití provozu otoru v generátorické chodu a v režiu

Více

Iterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2

Iterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2 Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS Iterační výpočty projekt č.. lstopadu 1 Autor: Mlan Setler, setl1@stud.ft.vutbr.cz Fakulta Informačních Technologí Vysoké Učení Techncké v Brně Obsah 1 Úvod...

Více

Spojité regulátory - 1 -

Spojité regulátory - 1 - Spojté regulátory - 1 - SPOJIÉ EGULÁOY Nespojté regulátory mají většnou jednoduchou konstrukc a jsou levné, ale jsou nevhodné tím, že neudržují regulovanou velčnu přesně na žádané hodnotě, neboť regulovaná

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

2. Určete optimální pracovní bod a účinnost solárního článku při dané intenzitě osvětlení, stanovte R SH, R SO, FF, MPP

2. Určete optimální pracovní bod a účinnost solárního článku při dané intenzitě osvětlení, stanovte R SH, R SO, FF, MPP FP 5 Měření paraetrů solárních článků Úkoly : 1. Naěřte a poocí počítače graficky znázorněte voltapérovou charakteristiku solárního článku. nalyzujte vliv různé intenzity osvětlení, vliv sklonu solárního

Více

6 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY

6 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 1 6 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY Př budování regresních modelů se běžně užívá metody nejmenších čtverců. Metoda nejmenších čtverců poskytuje postačující odhady parametrů jenom př současném splnění všech předpokladů

Více

Mechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory

Mechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory Mechatroncké systémy s elektroncky komutovaným motory 1. EC motor Uvedený motor je zvláštním typem synchronního motoru nazývaný též bezkartáčovým stejnosměrným motorem (anglcky Brushless Drect Current

Více

Teoretický souhrn k 2. až 4. cvičení

Teoretický souhrn k 2. až 4. cvičení SYSTÉMOVÁ ANALÝZA A MODELOVÁNÍ Teoretcký souhrn k 2. ž 4. cvčení ZS 2009 / 200 . Vyezení zákldních poů.. Systé e Systé e účelově defnovná nožn prvků vze ez n, která spolu se svý vstupy výstupy vykzue ko

Více

Využití logistické regrese pro hodnocení omaku

Využití logistické regrese pro hodnocení omaku Využtí logstcké regrese pro hodnocení omaku Vladmír Bazík Úvod Jedním z prmárních proevů textlí e omak. Jedná se o poct který vyvolá textle př kontaktu s pokožkou. Je to ntegrální psychofyzkální vlastnost

Více

Řešení: Odmocninu lze vždy vyjádřit jako mocninu se zlomkovým exponentem. A pro práci s mocninami = = = 2 0 = 1.

Řešení: Odmocninu lze vždy vyjádřit jako mocninu se zlomkovým exponentem. A pro práci s mocninami = = = 2 0 = 1. Varianta A Př.. Zloek 3 3 je roven číslu: a), b) 3, c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: Odocninu lze vždy vyjádřit jako ocninu se zlokový exponente. A pro práci s ocninai již áe jednoduchá

Více

3. VÝVRTY: ODBĚR, POPIS A ZKOUŠENÍ V TLAKU

3. VÝVRTY: ODBĚR, POPIS A ZKOUŠENÍ V TLAKU 3. VÝVRTY: ODBĚR, POPIS A ZKOUŠENÍ V TLAKU Vývrty jsou válcová zkušební tělesa, získaná z konstrukce poocí dobře chlazeného jádrového vrtáku. Vývrty získané jádrový vrtáke jsou pečlivě vyšetřeny, upraveny

Více

je nutná k tomu, aby byl odhad takto pořízený je potřebná k tomu, aby proměnné-instrumenty vysvětlující veličiny v rovnici je nahrazovaly co

je nutná k tomu, aby byl odhad takto pořízený je potřebná k tomu, aby proměnné-instrumenty vysvětlující veličiny v rovnici je nahrazovaly co Obecná etod nstruentálních proěnných (G)IV (Generl Instruentl Vrbles ethod) v soustvě sultánních regresních rovnc utor etody: J.D. Srgn [958] Metod nstruentálních proěnných je jstý zobecnění dvoustupňové

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

Teoretické modely diskrétních náhodných veličin

Teoretické modely diskrétních náhodných veličin Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY

DIPLOMOVÁ PRÁCE UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Mateatka úvěrů Vedoucí dploové práce: Mgr Eva Bohanesová, PhD Rok odevzdání: 2010

Více

HUDEBNÍ EFEKT DISTORTION VYUŽÍVAJÍCÍ ZPRACOVÁNÍ PŘÍRŮSTKŮ SIGNÁLŮ ČASOVĚ

HUDEBNÍ EFEKT DISTORTION VYUŽÍVAJÍCÍ ZPRACOVÁNÍ PŘÍRŮSTKŮ SIGNÁLŮ ČASOVĚ HUDEBÍ EFEKT DISTORTIO VYUŽÍVAJÍCÍ ZPRACOVÁÍ PŘÍRŮSTKŮ SIGÁLŮ ČASOVĚ VARIATÍM SYSTÉMEM Ing. Jaromír Mačák Ústav telekomunkací, FEKT VUT, Purkyňova 118, Brno Emal: xmacak04@stud.feec.vutbr.cz Hudební efekt

Více

ANALÝZA RIZIKA A CITLIVOSTI JAKO SOUČÁST STUDIE PROVEDITELNOSTI 1. ČÁST

ANALÝZA RIZIKA A CITLIVOSTI JAKO SOUČÁST STUDIE PROVEDITELNOSTI 1. ČÁST Abstrakt ANALÝZA ZKA A CTLOST JAKO SOUČÁST STUDE POVEDTELNOST 1. ČÁST Jří Marek Úspěšnost nvestce závsí na tom, jaké nejstoty ovlvní její předpokládaný žvotní cyklus. Pomocí managementu rzka a analýzy

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

Elektrotechnika 1. Garant předmětu: doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc. Autoři textu:

Elektrotechnika 1. Garant předmětu: doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc. Autoři textu: Elektrotechnka arant předětu: doc ng Jří Sedláček, CSc Autoř textu: doc ng Jří Sedláček, CSc doc ng Mloslav Stenbauer, PhD Brno, leden Elektrotechnka Předluva Předkládaná skrpta slouží jako základní studjní

Více

SIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

SIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 SIMULACE numercké řešení dferencálních rovnc smulační program dentfkace modelu Numercké řešení obyčejných dferencálních rovnc krokové metody pro řešení lneárních dferencálních rovnc 1.řádu s počátečním

Více

Úvod do teorie měření. Eva Hejnová

Úvod do teorie měření. Eva Hejnová Úvod do teorie měření Eva Hejnová Literatura: Novák, R. Úvod do teorie měření. Ústí nad Labem: UJEP, 2003 Sprušil, B., Zieleniecová, P.: Úvod do teorie fyzikálních měření. Praha: SPN, 1985 Brož, J. a kol.

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

Návody na cvičení. Prof. Ing. Jiří Militký CSc. EUR ING Ing. Miroslava Maršálková

Návody na cvičení. Prof. Ing. Jiří Militký CSc. EUR ING Ing. Miroslava Maršálková VLASTNOSTI VLÁKEN Návody na cvčení Pro. Ing. Jří Mltký CSc. EUR ING Ing. Mroslava Maršálková TU Lberec 3 Náplň cvčení z předětu VLASTNOSTI VLÁKEN NÁPLŇ CVIČENÍ:. týden Úvod, bezpečnostní předpsy, poůcky.

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

Proces řízení rizik projektu

Proces řízení rizik projektu Proces řízení rzk projektu Rzka jevy a podmínky, které nejsou pod naší přímou kontrolou a ovlvňují cíl projektu odcylky, předvídatelná rzka, nepředvídatelná rzka, caotcké vlvy Proces řízení rzk sled aktvt,

Více

Pohybová energie pro translační pohyb

Pohybová energie pro translační pohyb ázev a adresa školy: třední škola průyslová a uělecká, Opava, příspěvková organzace, Praskova 399/8, Opava, 746 ázev operačního prograu: OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, oblast podpory.5 Regstrační

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO NMSP GEODÉZIE A KARTOGRAFIE PRO AKADEMICKÝ ROK 009 010 OBOR: GEODÉZIE A KARTOGRAFIE 1. tg ( α ) = o tg α B) cot gα C) tgα D) sin( 90 α) o. cotg 70 = B) 0

Více

Úvod do elektrických měření I

Úvod do elektrických měření I Úvod do elektrických ěření I Historické střípky První pozorované elektrické jevy byly elektrostatické povahy Proto první elektrické ěřicí přístroje byly založeny právě na elektrostatické principu ezi první

Více

Simulační metody hromadné obsluhy

Simulační metody hromadné obsluhy Smulační metody hromadné osluhy Systém m a model vstupy S výstupy Systém Část prostředí, kterou lze od jeho okolí oddělt fyzckou neo myšlenkovou hrancí Model Zjednodušený, astraktní nástroj používaný pro

Více

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965))

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965)) Teore efektvních trhů (E.Fama (965)) Efektvní efektvní zpracování nových nformací Efektvní trh trh, který rychle a přesně absorbuje nové nf. Ceny II (akcí) náhodná procházka Předpoklady: na trhu partcpuje

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometre Specální případy použtí MNČ Cvčení 9 Zuzana Dlouhá Specální případy použtí MNČ cvčení 1 8 = ekonometrcký model, který byl lneární v proměnných v parametrech MNČ můžeme použít,

Více

Vysokoúčinná kapalinová chromatografie

Vysokoúčinná kapalinová chromatografie MC30P14 Vysokoúčnná kapalnová chroatografe, 010/011 Vysokoúčnná kapalnová chroatografe Josef Cvačka, 311011 3.11.011 1 MC30P14 Vysokoúčnná kapalnová chroatografe, 010/011 Základy chroatografckého procesu

Více

VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ. #2 Nejistoty měření

VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ. #2 Nejistoty měření VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ # Nejistoty měření Přesnost měření Klasický způsob vyjádření přesnosti měření chyba měření: Absolutní chyba X = X M X(S) Relativní chyba δ X = X(M) X(S) - X(M) je naměřená hodnota

Více

Zpracování fyzikálních měření. Studijní text pro fyzikální praktikum

Zpracování fyzikálních měření. Studijní text pro fyzikální praktikum Zpracování fyzkálních měření Studjní text pro fyzkální praktkum Mlan Červenka, katedra fyzky FEL-ČVUT mlan.cervenka@fel.cvut.cz 3. ledna 03 ObrázeknattulnístraněpocházízknhyogeometraměřeníodJacobaKöbela(460

Více

Finanční matematikou rozumíme soubor obecných matematických metod uplatněných v oblasti financí. Základní pojmy ve finanční matematice:

Finanční matematikou rozumíme soubor obecných matematických metod uplatněných v oblasti financí. Základní pojmy ve finanční matematice: 1 Úvod Fnanční ateatkou rozuíe soubor obecných ateatckých etod uplatněných v oblast fnancí. Základní pojy ve fnanční ateatce: 1. Úrok je cena půjčky. Věřtel, který půjčku poskytne, s účtuje úrok jako cenu

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometre Specální případy použtí MNČ Cvčení 8 Zuzana Dlouhá Specální případy použtí MNČ cvčení 1 7 = ekonometrcký model, který byl lneární v proměnných v parametrech MNČ můžeme použít,

Více

3. PEVNOST V TLAKU BETONU NA VÝVRTECH

3. PEVNOST V TLAKU BETONU NA VÝVRTECH 3. PEVNOST V TLAKU BETONU NA VÝVRTECH Vývrty jsou válcové zkušební vzorky, získané z konstrukce poocí dobře chlazeného jádrového vrtáku. Vývrty jsou pečlivě vyšetřeny, upraveny buď zabroušení, anebo koncování

Více

Rozdělení náhodné veličiny

Rozdělení náhodné veličiny Rozdělení náhodné veličiny Náhodná proměnná může mít - diskrétní rozdělení (nabývá jen určitých číselných hodnot) - spojité rozdělení (nabývá libovolných hodnot z určitého intervalu) Fyzikální veličiny

Více

ANALÝZA ROZPTYLU (Analysis of Variance ANOVA)

ANALÝZA ROZPTYLU (Analysis of Variance ANOVA) NLÝZ OZPYLU (nalyss of Varance NOV) Používá se buď ako samostatná technka, nebo ako postup, umožňuící analýzu zdroů varablty v lneární regres. Př. použtí: k porovnání středních hodnot (průměrů) více než

Více

í I - 13 - Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materiálu Prof. Ing. J. Šeda, DrSc. KDAIZ - PJPI

í I - 13 - Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materiálu Prof. Ing. J. Šeda, DrSc. KDAIZ - PJPI - 13 - í Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materálu Prof. ng. J. Šeda, DrSc. KDAZ - PJP Na našem pracovšt byl vypracován program umožňující modelovat průchod záření gama metodou Monte Carlo, homogenním

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

ANALÝZA VÍCEROZMĚRNÝCH DAT

ANALÝZA VÍCEROZMĚRNÝCH DAT ANALÝZA VÍCEROZMĚRNÝCH DAT JIŘÍ MILITKÝ, Katedra textilních ateriálů, Technická universita v Liberci, Hálkova 6 461 17 Liberec, e- ail: jiri.iliky@vslib.cz Motto: Všechno není jinak MILAN MELOUN, Katedra

Více

3.1.3 Rychlost a zrychlení harmonického pohybu

3.1.3 Rychlost a zrychlení harmonického pohybu 3.1.3 Rychlost a zrychlení haronického pohybu Předpoklady: 312 Kroě dráhy (výchylky) popisujee pohyb i poocí dalších dvou veličin: rychlosti a zrychlení. Jak budou vypadat jejich rovnice? Společný graf

Více

Počítání s neúplnými čísly 1

Počítání s neúplnými čísly 1 Aproximace čísla A: Počítání s neúplnými čísly 1 A = a ± nebo A a, a + Aproximace čísla B: B = b ± β nebo B b β, b + β nebo a A a+ nebo b β B b + β Součet neúplných čísel odvození: a + b β A + B a+ + (b

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA STROJNÍ Semestrální práce z předmětu MM Stanovení deformace soustav ocelových prutů Václav Plánčka 6..006 OBSAH ZADÁNÍ... 3 TEORETICKÁ ČÁST... 4 PRAKTICKÁ ČÁST...

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

ELEKTRICKÝ POHON S ASYNCHRONNÍM MOTOREM

ELEKTRICKÝ POHON S ASYNCHRONNÍM MOTOREM 4 EEKTCKÝ POHON AYNCHONNÍ OTOE Asynchronní otory (A), zvláště pa s otvou naráto, jsou jž řadu let nejrozšířenější eletrootory na naší planetě. talo se ta díy jejch onstruční jednoduchost, nízé ceně, vysoé

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

ANALÝZA VLIVU DEMOGRAFICKÝCH FAKTORŮ NA SPOKOJENOST ZÁKAZNÍKŮ VE VYBRANÉ LÉKÁRNĚ S VYUŽITÍM LOGISTICKÉ REGRESE

ANALÝZA VLIVU DEMOGRAFICKÝCH FAKTORŮ NA SPOKOJENOST ZÁKAZNÍKŮ VE VYBRANÉ LÉKÁRNĚ S VYUŽITÍM LOGISTICKÉ REGRESE ANALÝZA VLIVU DEMOGRAFICKÝCH FAKTORŮ NA SPOKOJENOST ZÁKAZNÍKŮ VE VYBRANÉ LÉKÁRNĚ S VYUŽITÍM LOGISTICKÉ REGRESE Jana Valečková 1 1 Vysoká škola báňská-techncká unverzta Ostrava, Ekonomcká fakulta, Sokolská

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

ENÍ TEXTILIÍ PŘEDNÁŠKA 2

ENÍ TEXTILIÍ PŘEDNÁŠKA 2 ZKOUŠEN ENÍ TEXTILIÍ PŘEDNÁŠKA 2 10 12 tera T 10-3 ml m 10 9 gga G 10-6 mkro µ 10 6 mega M 10 9 nano n Zobrazovací modul Převádí délkové jednotky obrazu na skutečné jednotky měřené velčny (např. z grafů

Více

VÝVOJ SOFTWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSTI PROSTOROVÝCH SÍTÍ PRECISPLANNER 3D. Martin Štroner 1

VÝVOJ SOFTWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSTI PROSTOROVÝCH SÍTÍ PRECISPLANNER 3D. Martin Štroner 1 VÝVOJ SOFWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSI PROSOROVÝCH SÍÍ PRECISPLANNER 3D DEVELOPMEN OF HE MEASUREMEN ACCURACY PLANNING OF HE 3D GEODEIC NES PRECISPLANNER 3D Martn Štroner 1 Abstract A software for modellng

Více

NEJISTOTA MĚŘENÍ. David MILDE, 2014 DEFINICE

NEJISTOTA MĚŘENÍ. David MILDE, 2014 DEFINICE NEJISTOTA MĚŘENÍ David MILDE, 014 DEFINICE Nejistota měření: nezáporný parametr charakterizující rozptýlení hodnot veličiny přiřazených k měřené veličině na základě použité informace. POZNÁMKA 1 Nejistota

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Konverze kmitočtu Štěpán Matějka

Konverze kmitočtu Štěpán Matějka 1.Úvod teoretcký pops Konverze kmtočtu Štěpán Matějka Směšovač měnč kmtočtu je obvod, který přeměňuje vstupní sgnál s kmtočtem na výstupní sgnál o kmtočtu IF. Někdy bývá tento proces označován také jako

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

3.2.2 Rovnice postupného vlnění

3.2.2 Rovnice postupného vlnění 3.. Rovnice postupného vlnění Předpoklady: 310, 301 Chcee najít rovnici, která bude udávat výšku vlny v libovolné okažiku i libovolné bodě (v jedno okažiku je v různých ístech různá výška vlny). Veličiny

Více

Numerické metody optimalizace

Numerické metody optimalizace Numercké metody optmalzace Numercal optmzaton methods Bc. Mloš Jurek Dplomová práce 2007 Abstrakt Abstrakt česky Optmalzační metody představují vyhledávání etrémů reálných funkcí jedné nebo více reálných

Více

Pracovní list č. 6: Stabilita svahu. Stabilita svahu. Návrh či posouzení svahu zemního tělesa. FS s

Pracovní list č. 6: Stabilita svahu. Stabilita svahu. Návrh či posouzení svahu zemního tělesa. FS s Pracovní lst č. 6: Stablta svahu Stablta svahu 1 - máme-l násyp nebo výkop, uvntř svahu vznká smykové napětí - aktvuje se smykový odpor zemny - porušení - na celé smykové ploše se postupně dosáhne maxma

Více

Solventnost II. Standardní vzorec pro výpočet solventnostního kapitálového požadavku. Iva Justová

Solventnost II. Standardní vzorec pro výpočet solventnostního kapitálového požadavku. Iva Justová 2. část Solventnost II Standardní vzorec pro výpočet solventnostního kaptálového požadavku Iva Justová Osnova Úvod Standardní vzorec Rzko selhání protstrany Závěr Vstupní údaje Vašíčkovo portfolo Alternatvní

Více

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně 9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky

Více

Vícekriteriální rozhodování. Typy kritérií

Vícekriteriální rozhodování. Typy kritérií Vícekrterální rozhodování Zabývá se hodnocením varant podle několka krtérí, přčemž varanta hodnocená podle ednoho krtéra zpravdla nebývá nelépe hodnocená podle krtéra ného. Metody vícekrterálního rozhodování

Více

SIMULACE A ŘÍZENÍ PNEUMATICKÉHO SERVOPOHONU POMOCÍ PROGRAMU MATLAB SIMULINK. Petr NOSKIEVIČ Petr JÁNIŠ

SIMULACE A ŘÍZENÍ PNEUMATICKÉHO SERVOPOHONU POMOCÍ PROGRAMU MATLAB SIMULINK. Petr NOSKIEVIČ Petr JÁNIŠ bstrakt SIMULCE ŘÍZENÍ PNEUMTICKÉHO SERVOPOHONU POMOCÍ PROGRMU MTL SIMULINK Petr NOSKIEVIČ Petr JÁNIŠ Katedra automatzační technky a řízení Fakulta stroní VŠ-TU Ostrava Příspěvek popsue sestavení matematckého

Více

Metodický pokyn pro urení optimální velikosti fakturaního vodomru a profilu vodovodní pípojky.

Metodický pokyn pro urení optimální velikosti fakturaního vodomru a profilu vodovodní pípojky. Metodcký pokyn pro urení optální velkost fakturaního vodoru a proflu vodovodní pípojky. Ureno: Vodoprávní úad K využtí : Vlastník a provozovatel vodovod a odbratel ptné vody Mnsterstvo zedlství.j.: 0 535/00-6000

Více

23. Matematická statistika

23. Matematická statistika Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 23. Matematická statistika Statistika je věda, která se snaží zkoumat reálná data a s pomocí teorii pravděpodobnosti

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Elektromagnetické pole

Elektromagnetické pole Elektroagnetcké pole Časově proěnné elektrcké proudy v čase se ění velkost proudu a napětí v obvodu kvazstaconární proudy elektroagnetcký rozruch se šířívodče rychlostí světla c doba potřebná k přenosu

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Zpracování výsledků vstupních testů z matematiky

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Zpracování výsledků vstupních testů z matematiky Západočeská unverzta v Plzn Fakulta aplkovaných věd Katedra matematky Bakalářská práce Zpracování výsledků vstupních testů z matematky Plzeň, 13 Tereza Pazderníková Prohlášení Prohlašuj, že jsem bakalářskou

Více

4. Střídavý proud. Časový průběh harmonického napětí

4. Střídavý proud. Časový průběh harmonického napětí 4. Střídavý prod 4. Vznk střídavého prod Doteď jse se zabýval poze prode, který obvode prochází stále stejný sěre (stejnosěrný prod). V prax se kázalo, že tento prod je značně nevýhodný. Zdroje napětí

Více

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta stavební Ústav stavební mechanky Doc. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D. MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES TEZE

Více

MOŽNOSTI MODELOVÁNÍ A ŘEŠENÍ STŘETU PŘI OBJASŇOVÁNÍ FINGOVANÝCH DOPRAVNÍCH NEHOD

MOŽNOSTI MODELOVÁNÍ A ŘEŠENÍ STŘETU PŘI OBJASŇOVÁNÍ FINGOVANÝCH DOPRAVNÍCH NEHOD XV. konference absolventů studa technckého znalectví s meznárodní účastí MOŽNOSTI MODELOVÁNÍ A ŘEŠENÍ STŘETU PŘI OBJASŇOVÁNÍ FINGOVANÝCH DOPRAVNÍCH NEHOD Zdeněk Mrázek 1 1. Ř ešení stř etu u fngovaných

Více