Využití adaptivních algoritmů LMS a RLS v oblasti adaptivního potlačování šumu a rušení

Transkript

1 Ročík 2013 Číslo I Využití adaptivích algoritmů LMS a RLS v oblasti adaptivího potlačováí šumu a rušeí R. Martiek 1 1 Katedra kyberetiky a biomedicíského ižeýrství, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava 17. listopadu, Ostrava - Poruba radek.martiek.st1@vsb.cz Aotace: Teto čláek se věuje pricipům adaptiví filtrace pro oblast adaptivího potlačováí šumu a rušeí. V praxi jsme často postavei před problém, že filtr má pracovat v ezámém prostředí, v ěmž je obtížá předběžá idetifikace, ebo jde o časově proměé prostředí, jehož vývoj do budouca elze předpovídat. V takovémto případě se hodoty optimálích koeficietů filtru měí v čase, a pro správé astaveí je vhodé využití adaptiví filtrace. V čláku je představeo komplexí řešeí adaptivího systému s využitím dvou základích představitelů adaptivích algoritmů. Jedá se o algoritmus se stochasticky gradietí adaptací LMS a algoritmus s rekurziví optimálí adaptací RLS. V prostředí Matlab byl vytvoře adaptiví systém pro potlačováí šumu. Teto systém achází svoje praktické využití zejméa při komuikaci v hlučém prostředí (dopraví prostředky, výrobí haly, sportoví utkáí apod.). Na tomto adaptivím systému jsou prakticky porováy vlastosti adaptivích algoritmů LMS a RLS. Algoritmy byly testováy a reálých řečových sigálech a a vytvořeých harmoických sigálech. Abstract: The paper is dedicated to the priciples of adaptive filterig i the adaptive oise suppressig ad iterferece area. I practice, we ofte have to solve the problem that filter has to work i a ukow eviromet, i which it is difficult to pre-idetificatio, or it is a time-varyig eviromet, which developmet i future caot be predicted. I this case, the optimal filter coefficiets values chage over time ad for the correct settig is appropriate to use adaptive filterig. The paper presets a comprehesive solutio of adaptive system usig two basic represetatives of adaptive algorithms. It is a algorithm with stochastic gradiet LMS (least mea squares) adaptatio ad algorithm with recursive optimal adaptatio RLS (recursive least square). I the eviromet of Matlab, there was created adaptive system for oise suppressig. This system is useful maily for commuicatio i oisy eviromets (vehicles, productio halls, sport evets, etc.). There were practically compared the properties of LMS ad RLS adaptive algorithms usig this system. Algorithms have bee tested o real speech sigals ad o the geerated harmoics sigals. ÚVOD Potlačováí šumu a jiých rušivých složek představuje jedu z ejčastějších operací při zpracováí sigálů. Čláek je zaměře a sytetické filtračí techiky [4], pro filtraci moderích číslicových sigálů. Zaměřuje se tedy výhradě a filtry třetí geerace [6]. Filtrací budeme v tomto čláku rozumět úpravu hodot vzorků sigálů pomocí určitého algoritmu, tak aby došlo ke zvýrazěí požadovaých složek sigálu, ebo aopak k potlačeí složek ežádoucích. Filtraci tedy můžeme chápat jako ástroj, který ám umožňuje měit vlastosti jedotlivých složek sigálu. Autor tohoto čláku se zaměřuje a adaptiví algoritmy LMS [4] a RLS [4]. Podrobější popis obecých vlastostí číslicových filtrů alezete apř.: [10, 11, 12]. ČÍSLICOVÝ FILTR Číslicový filtr je specializovaý obvod popřípadě algoritmus, který určitým způsobem měí spektrum vstupího diskrétího sigálu. Může být realizová růzým způsobem, apř.: jako program v počítači, ebo speciálím obvodem, apř.: sigálovým procesorem DSP [7]. Číslicové filtry historicky avazují a pasiví a aktiví aalogové filtry [16] a lze je avrhovat buď přímo, ebo převedeím z aalogového prototypu, podroběji v [12]. Lieárí filtrace Lieárí filtrace [8] tvoří základ klasického zpracováí číslicových sigálů. Název lieárí je odvoze od lieárího časově ivariatího systému- LTIS [11], tedy takového systému, kde platí pricip superpozice [9]. Číslicové filtry můžeme rozdělit podle délky impulsí odezvy. Existují filtry typu FIR (Fiite Impulse Respose), což jsou filtry s koečou

2 impulsí odezvou a filtry typu IIR (Ifiite Impulse Respose), které mají ekoečou impulsí odezvu, viz [10]. Číslicové filtry dále můžeme rozdělit podle struktury a erekursiví NRDF [8] a rekurziví RDF [8]. Adaptiví filtrace Jelikož v této práci budou využíváy pricipy adaptiví filtrace, je tato kapitola věováa tomuto progresivímu zpracováí číslicových sigálů. Obrázek 1 zázorňuje základí blokový diagram adaptivího filtru [1]. Obr. 1: Blokový diagram adaptivího filtru. Na obrázku 1 představuje vstupí vektor vzorků, y( ozačuje výstup adaptivího filtru, d( je požadovaá odezva, e( reprezetuje chybový sigál, w i představuje koeficiety vektoru vah trasverzálího FIR filtru, z -1 reprezetuje zpožděí. V této práci bude vstupí sigál ve formě sloupcového vektoru defiovaý ásledující rovicí: x ( ) 1) 2) N1) (1) Vektor vah trasverzálího filtru mít podobu: w ) w ( w ( w ( w N ( (2) ( Výstupí sigál adaptivího filtru lze zapsat pomocí rovice jako: N1 y ( w ( i) (3) i0 i Jedá se o filtr N-tého řádu, proto rozsah idexace je od 0 do N-1. Může to být chápáo jako ekvivalet ke skalárímu součiu mezi impulsí odezvou vektoru a vstupím vektorem: y( w( y( w T ( T T (4) Cílem celého procesu adaptace vah je postupé sižováí hodoty účelové fukce ξ( [2] až a její miimum. Hodota ξ( je závislá pouze a hodotách chybové fukce, tedy je závislá a rozdílu mezi žádaou a skutečou hodotou: e( d( y( (5) V rámci prováděých experimetů byly prozkoumáy dva základí představitelé adaptivích algoritmů [2]. Prvím zkoumaým algoritmem byl algoritmus LMS. Cílem celého procesu adaptace je u tohoto algoritmu postupé sižováí hodot účelové fukce ξ(, až a její miimum [9]. 2 2 ( E( d( y( )) ( E e (6) Druhým zkoumaým algoritmem byl algoritmus RLS. Základím rozdílem oproti algoritmu LMS je vlastí statistické pojetí. Zde se pracuje s průměrými hodotami veliči počítaými z časových vývojů amísto vzorkových průměrů počítaých z ěkolika realizací stejého áhodého procesu [9]. ( k ( k) 2 ( k) e ( k) 1 (7) k Kde k =1, 2, 3, parametr λ je ozačová jako čiitel zapomíáí [4] a je v rozsahu 0 až 1. Podrobější popis adaptiví filtrace alezete apř.: [13, 14, 15]. Implemetace LMS algoritmu Algoritmus LMS je základí představitel třídy stochastických gradietích algoritmů [3], založeých a teorii Wieerovy filtrace [3], stochastickém průměrováí [3] a metodě ejmeších čtverců [3]. Vlastí odvozeí algoritmu LMS je obecě zámé a popsaé v řadě odporých publikací, apř.: [1, 5, 13]. V tomto čláku je proto matematicky popsáa je vlastí implemetace algoritmu v ěkolika základích krocích. Každá iterace (opakováí) LMS algoritmu vyžaduje 3 odlišé kroky v tomto pořadí: 1. Výstup z filtru y( je vypočte pomocí rovice 3 respektive Hodota odhadovaé chyby je vypočtea pomocí rovice Váhy vektoru filtru jsou aktualizováy podle ásledující rovice [15]: w( 1) w( 2e( (8)

3 Parametr je ozačová jako velikost kroku [3] LMS algoritmu. Jedá se o malou kladou kostatu, která ovlivňuje vlastosti adaptace algoritmu (stabilitu filtru, rychlost kovergece apod.), podroběji o tomto parametru v [4]. Implemetace RLS algoritmu Algoritmus RLS je základí představitel třídy rekurzivích algoritmů [4], které jsou založey a teorii Kalmaovy filtrace [15], časovém průměrováí [15] a metodě ejmeších čtverců. Základím rozdílem oproti algoritmu LMS je vlastí statistické pojetí. Zde se pracuje s průměrými hodotami veliči, které jsou počítáy z časových vývojů. Struktura filtru zůstává stejá jako u LMS algoritmu, je adaptiví proces je odlišý vzhledem k použití průměrů. Podrobý popis a odvozeí algoritmu RLS alezete v [1, 3, 5]. Chceme-li implemetovat RLS algoritmus, musí být provedey ásledující kroky v tomto pořadí: 1. Výstup filtru je vypočte užitím vah filtru z předchozí iterace a současého vstupího vektoru: T y 1 ( w ( 1) (9) 2. Vektor středího zesíleí je vypočte užitím rovice: ~ 1 u( ( 1) k( 1 u( T x ( u( (10) 3. Hodota odhadovaé chyby je vypočtea dle rovice: e 1 ( 1 d( y ( ) (11) 4. Vektor vah filtru je aktualizová užitím rovice 11 a vektor zesíleí je vypočte v rovici 10: T w ( w ( 1) k( e 1( (12) 5. Iverzí matice je vypočtea pomocí rovice: ~ 1 1 ~ 1 T ~ ( ) ( ( 1) ( ) ( ) 1 k x ( 1) (13) REALIZACE ADAPTIVNÍHO SYSTÉMU Na obrázku 2 je pricipiálí schéma adaptivího systému, a kterém byly prováděy simulace adaptivích algoritmů LMS a RLS a jejich ásledé porováí. Pricipy tohoto schématu byly implemetováy do prostředí Matlab [7] pomocí zdrojového kódu příkazů (obdoba zápisu v jazyce C++), tedy ebyly využity kihovy fukcí určeé pro adaptiví filtraci, které Matlab obsahuje, ale byl vytvoře vlastí zdrojový kód a základě zalostí matematické iterpretace adaptivích algoritmů. Obr. 2: Navržeý adaptiví systém pro porováí algoritmů LMS a RLS. Schéma a obrázku 2 ám iterpretuje pricip čiosti avržeého adaptivího sytému. Na schématu je tedy vidět, že referečí sigál je tvoře pouze šumem [] a pomocý sigál tvoří užitečý sigál x[] a šum po průchodu ezámým akustickým

4 prostředím 1 []. Pomocý sigál je pak dá vztahem: d[ ] s[ ] 1[ ] (14) Skutečost, že šum referečího sigálu ebude úplě stejý jako šum pomocého sigálu (ezámé akustické efekty, jako ozvěy, zpožděí, apod., podroběji viz [2, 8, 14]) byl simulová pomocí ezámého akustického systému, jak je vidět a obrázku 2. Teto ezámý akustický systém byl amodelová jako FIR filtr N-tého řádu. Pomocí Matlabu byly áhodě vygeerováy hodoty koeficietů filtru a filtrem procházel vygeerovaý Gaussovský bílý šum [4]. Pokud amodelujeme cestu ze zdroje šumu k primárímu mikrofou jako lieárí systém, můžeme vymyslet adaptiví algoritmus, který aučí FIR filtr rozezávat přeosovou charakteristiku ezámého kaálu. Pokud pak teto filtr použijeme a primárí šum, budeme moci úspěšě odečíst šum obsažeý v pomocém sigálu VÝSLEDKY PROVÁDĚNÝCH EXPERIMENTŮ Navržeý adaptiví systém byl otestová a reálé zvukové ahrávce lidské řeči, dále pak a vygeerovaých harmoických sigálech. Na obrázku 3 je zázorěa kmitočtová charakteristika filtru pro simulaci ezámého akustického prostředí. adaptivích algoritmů. Obecě jeda simulace (výpočet obou zkoumaých algoritmů LMS, RLS) trvala cca. 5 miut, při odebráí většího počtu vzorků čas simulace začě arůstal. Jako prví byl otestovaý adaptiví algoritmus LMS. Jako prví sada koeficietů adaptačího procesu byla zvolea ula (byla vygeerováa matice). U algoritmu LMS je důležité astaveí hodoty velikosti kroku (kovergečí kostaty), pro tuto simulaci byla zvolea hodota =0,001 při řádu filtru M=95. Tab. 1: Staoveí hodoty kovergečí kostaty. kovergečí kostata [-] rychlost kovergece [vzorky] Zlepšeí SNR [db] 0,0001 příliš dlouhá doba kovergece estabilí Tato hodota byla staovea postupým testováím, při hledáí optimálí hodoty se sažíme dodržet pravidlo, aby algoritmus kovergoval rychle a byl přitom stabilí. Druhým zkoumaým algoritmem byl algoritmus RLS. Zde byla staovea hodota koeficietu zapomíáí λ =1 (ekoečá paměť). Na obrázku 4 jsou porováy průběhy (časová oblast) zkoumaých sigálů. Obr. 3: Tvar kmitočtové charakteristiky filtru pro simulaci ezámého prostředí. Kmitočtová charakteristika byla modelováa pomocí FIR filtru 100 řádu. Při prováděých simulacích bylo také bráo v potaz časové zpožděí šířeí sigálu v prostředí, viz obrázek 2. Experimety a reálé zvukové ahrávce Jako vstupí řečový sigál x[] byla použita autetická ahrávka lidského hlasu (vzorkovací frekvece 22kHz, formát zvuku PCM, přeosová rychlost 176kbps, velikost zvukové ukázky 8 bitů, kaály 1 moo). Pro prováděé simulace bylo použito prvích =50000 vzorků této zvukové ahrávky. Teto počet vzorků byl zvole z důvodu velké matematické (časové) áročosti zkoumaých Obr. 4: Srováí adaptivích algoritmů LMS a RLS (časová oblast). Další oblastí, kde lze sigál sledovat či vyhodocovat je kmitočtové spektrum sigálu. Na obrázku 5 jsou porováy spektra (frekvečí oblast) zkoumaých sigálů.

5 Obr. 7: Vytvořeé harmoické sigály (užitečý sigál). Vlastí realizace experimetu byla totožá s přechozím postupem pro reálou řečovou ahrávku. Je jako užitečý sigál byly použity harmoické sigály viz obrázek 7. Obr. 5: Srováí adaptivích algoritmů LMS a RLS (frekvečí oblast). Posledím způsobem popisu, který v této práci bude využit je spektrogram (časově frekvečí aalýza) viz obrázek 6. Obr. 6: Srováí adaptivích algoritmů LMS a RLS (spektrogramy). Na obrázku 6 jsou zázorěy spektrogramy aalyzovaých sigálů. Jedá se o 3D graf, který má dvě osy ezávisle proměé a to kmitočet a čas (pořadí spekter úseků). Zde je použit spektrogram ve 2D, jedá se o pohled shora a původí graf 3D [7]. Experimety a harmoických sigálech Zkoumaé adaptiví algoritmy byly dále otestováy a dvou harmoických sigálech viz obrázek 7. Obr. 8: Výsledky filtrace pro harmoické sigály. Zhodoceí prováděých experimetů Při pohledu a výsledky filtrace pomocí algoritmu LMS je dobře vidět, že algoritmus koverguje pomalu, pokud si teto výstupí sigál přehrajeme, můžeme zřetelě slyšet klesající hladiu hluku, to je ovšem dobře vidět i a průběhu (začátek filtrace). Algoritmus LMS tedy potřebuje velký počet iterací (opakováí), aby se adaptiví filtr přiblížil k optimálímu stavu filtrace. Na obrázku 9 je zázorěo chováí koeficietů filtru v průběhu filtrace. Pomocí for-cyklu [7] byla zakreslea hodota příslušého koeficietu v každém cyklu filtračího

6 procesu. Z průběhu je patré pomalejší kovergetí chováí LMS algoritmu a i skutečost, že po přiblížeí k optimálí hodotě, algoritmus kolísá (osciluje). Obr. 9: Srováí chováí koeficietů v průběhu filtrace pro algoritmy LMS a RLS. Na obrázku 10 je zázorěa středí kvadratická chyba [4] filtračího procesu při použití zkoumaého algoritmu LMS a RLS. Obr. 10: Detaily středí kvadratické chyby pro určeí rychlosti kovergece algoritmů. V odboré literatuře se často můžeme setkat s ozačeím MSE - mea squared error, zejméa pak v oblasti adaptiví filtrace je toto ozačeí velmi často používáo [3]. Na obrázku 10 je vidět, že v počátku filtrace tato chyba dosahuje začých hodot a s tím jak se adaptiví algoritmus přibližuje (koverguje) k optimálí hodotě výrazě klesá. Po přiblížeí k optimálí hodotě zače ovšem algoritmus LMS kolísat okolo této optimálí hodoty a tím pádem se malá chyba filtrace vyskytuje i po dosažeí optimálí hodoty. Druhým zkoumaým algoritmem byl algoritmus RLS. Při pohledu a výsledky filtrace pomocí algoritmu RLS můžeme kostatovat, že algoritmus RLS se k optimálí hodotě přibližuje velmi rychle. Na obrázku 9 je zázorěo chováí koeficietů filtru v průběhu filtrace. Z průběhu je patrá dobrá stabilita filtračího procesu. Velice rychle se přiblíží k optimálí hodotě. To je důvodem proč adaptiví systém RLS vykazuje výborou kvalitu zvuku. Hodoty koeficietů RLS jsou takřka ideálí. Srováí matematické áročosti Mezi základí faktory určující vlastosti adaptivích algoritmů z hlediska implemetace do DPS jsou zejméa: rychlost kovergece, výpočetí áročost, paměťová spotřeba, chyba v ustáleém stavu, podroběji v [9, 14]. Vlastosti zkoumaých algoritmů LMS a RLS jsou shruty v tabulkách íže. Tab. 2: Vlastosti zkoumaých algoritmů LMS a RLS. zkoumaý algoritmus počet (+/-) v 1 cyklu počet (*) v 1cyklu Čas koverge ce [vzorky] LMS M+1 2M 1500 RLS M 2 +M 2M 2 +3M Pokud tedy srováme matematickou áročost obou algoritmů je vidět, že algoritmus RLS, který dosahuje při filtraci lepších výsledků, platí za tuto přesost a rychlost daň v podobě velmi vysoké matematické složitosti. S tím souvisí velké ároky a hardware (procesor, paměť), a kterém bude algoritmus RLS pracovat. Objektiví kritérium posouzeí kvality filtračího procesu - SNR Při porováí výsledků filtrace řečového sigálu hraje hlaví roli kvalita řečového sigálu po filtraci. Samozřejmě je obtížeé staovit, co to je kvalití řečový sigál. Záleží a volbě hodotícího kritéria. Pokud bychom hledali ějaké uiverzálí kritérium, zřejmě bychom jej ealezli, protože řeč je možo posuzovat z ěkolika pohledů (srozumitelost, přirozeost, rozpozatelost, apod.). Hodotící kritéria lze rozdělit do dvou oblastí - subjektiví (posouzeí skupiou posluchačů) a objektiví (kritérium je defiováo ejčastěji matematickou formulí). Pro matematické vyjádřeí kvality filtrováí adaptivího systému byl použit parametr poměr odstupu sigálu od šumu, ozačovaý často aglickou zkratkou SNR a vyjadřovaý v decibelech. Teto poměr vyjadřuje, kolikrát je výko sigálu větší, ež výko šumu, jímž je sigál zkresle. Poměr SNR je defiová podle vztahu [12]: Ps SNR 10log, (15) P kde veličiy P s a P ozačují výko sigálu. Je-li hodota SNR=0 db zameá to, že sigál i šum mají stejý výko. Při SNR > 0 je výko sigálu větší, ež šumu a při SNR < 0 je tomu aopak. U prováděých experimetů byla určea hodota SNR zašuměého sigálu (primárí sigál) a dále pak sigálu po průchodu adaptivím systémem (výstup po filtraci). Ozačeí SNR SIG je SNR pro směs sigálu a šumu. SNR LMS pro sigál a výstupu z adaptivího systému při použití LMS algoritmu. SNR RLS je sigál a výstupu z adaptivího systému při použití RLS algoritmu. Eergie šumu rekostruovaého sigálu byla tedy staovea z rozdílu rekostruovaého a původího ezkresleého sigálu. Protože algoritmu LMS trvá déle, ež koverguje ke správé hodotě, bylo by určeí SNR z celého vzorku začě zkresleé

7 (hodota šumu v prvích vzorcích je velká), proto pro určováí této hodoty budou separováy pouze vzorky (2000 až 50000), tedy vzorky, které již ebudou tak výrazě ovlivěy malou rychlostí algoritmu LMS. Tab. 3: Výsledé hodoty SRN. užitečý sigál SRN SIG [db] SRN LMS [db] SRN RLS [db] řeč -15,64 7,71 19,78 harmo. č. 1 2,54 14,79 21,31 harmo. č. 2 2,02 12,58 17,59 Pokud se podíváme a získaé výsledky v tabulce 3 vidíme, že v sigálu směsi řečového sigálu a šumu SNR SIG má šum daleko větší výko ež šum. Pokud zhodotíme výsledky filtrace pomocí obou algoritmů, je patré, že oba algoritmy dosáhly výrazého zlepšeí hodoty SNR. Lepších výsledků filtrace dosáhl adaptiví systém při použití RLS algoritmu. Tímto vyjádřeím hodoty SNR jsme získali objektiví důkaz o lepších filtračích vlastostech adaptivího algoritmu RLS Závěr V rámci prováděých experimetů byla provedea simulace adaptivího systému, a kterém byly otestováy představitelé obou základích skupi adaptivích algoritmů LMS a RLS. Teto systém sloužil k potlačováí šumu, a jeho praktické využití je zejméa pro komuikaci v hlučém prostředí (apř.: dopraví prostředky, výrobí haly, sportoví utkáí, doly apod.). Úkolem adaptivích algoritmů, bylo se aučit charakteristiku ezámého prostředí. Vlastí adaptiví systém byl vytvoře pomocí příkazů v Matlabu, tedy ebyly využity žádé kihovy fukcí s adaptivími algoritmy. Teto systém byl otestová a reálé zvukové ahrávce lidské řeči a a vyvařeých harmoických sigálech. Zkoumaý adaptiví algoritmus LMS je jedoduchý, matematicky eáročý. Při testech ovšem dosahoval meší rychlosti kovergece a vyšší chyba filtračího procesu. Oproti tomu algoritmus RLS je matematicky velmi složitý. Výsledky testů však ukázaly, že je velmi přesý. Dosahuje ízké chybovosti a extrémě vysoké rychlosti kovergece. Kritériem pro porováí účiosti jedotlivých algoritmů je především zvýšeí poměru sigálu k šumu. Celkově bylo tedy zjištěo, že adaptiví systém pro potlačeí šumu založeý a algoritmu RLS vykazuje lepší filtračí vlastosti. Ovšem a úkor vyšší výpočetí áročosti algoritmu. Algoritmus LMS sice edosahoval, tak dobrých výsledků jako algoritmus RLS, ale pokud bereme v potaz jeho matematickou áročost, je jeho použití velice zajímavé. V praxi jsou samozřejmě požadováy co ejižších ákladů a realizaci adaptivích systémů při zachováí vysoké kvality potlačeí ežádoucího šumu. Z pohledu ákladů a výrobu DSP bude tedy výhodější zkostruovat DSP určeý pro algoritmus LMS. V současé době jsou daleko více rozšířey adaptiví systémy využívající právě adaptivího algoritmu LMS. Do budouca můžeme očekávat, stálý árůst výkou a kvality v oblasti výpočetí techiky. S příchodem výkoějších DPS budou klesat požadavky a ízkou výpočetí áročost a paměťovou spotřebu jedotlivých algoritmů a bude tedy možo realizovat komplikovaější a výkoější algoritmy. Proto je zcela určitě pravdou, že oblast adaptiví filtrace stále je a a dlouhou dobu zůstae široce otevřeou oblastí prostoru pro vědecký výzkum i komerčí aplikace LITERATURA [1] DINIZ, Poulo S. R. Adaptive Filterig: Algorithms ad Practical Implemetatio. 3rd ed., New York: Spriger, p., ISBN [2] MARTINEK, Radek; ZIDEK, Ja. Use of Adaptive Filterig for Noise Reductio i Commuicatio systems. I Coferece Proceedig: The Iteratioal Coferece Applied Electroics (AE). Pilse, Czech Republic. 8-9 September pp ISBN , ISSN , INSPEC Accessio Number: [3] MARTINEK, Radek; ZIDEK, Ja. The real implemetatio of NLMS chael equalizer ito the system of software defied radio. I Joural: Advaces i Electrical ad Electroic Egieerig, Volume 10, Issue 5, December 2012, Pages , VSB - Techical Uiversity of Ostrava ad Uiversity of Zilia Faculty of Electrical Egieerig, ISSN (Prit) ISSN (Olie), MK CR E [4] MARTINEK, Radek; ZIDEK, Ja. A System for Improvig the Diagostic Quality of Fetal Electrocardiogram. I Joural: Przeglad Elektrotchiczy (Electrical Review), R. 88 NR 5b/2012, Warszawa, Polad, May 2012, pp , ISSN [5] FARHANG-BOROUJENY, B. Adaptive Filters: Theory ad Applicatios. New York: Joh Wiley ad Sos, p.,isbn [6] BLANCHET, Gérard, CHARBIT, Maurice. Digital Sigal ad Image Processig usig MATLAB. Newport Beach,CA 92663, USA: ISTE USA, s., ISBN [7] POULARIKAS, Alexader D., RAMADAN, Zayed M. Adaptive Filterig Primer with MATLAB. New York, USA: CRC Press, 2006.

8 202 s. ISBN [8] SMÉKAL, Zdeěk, VÍCH, Robert. Číslicové filtry. Praha: Akademie věd České republiky, s. ISBN [9] ZAPLATÍLEK, Karel, DOŇAR, Bohuslav. MATLAB : začíáme se sigály. 1. vyd. Praha: BEN - techická literatura, s. ISBN [10] NOVÁK, Jiří. Srováí metod pro potlačováí šumu. Praha, s. ČVUT. Vedoucí diplomové práce Pavel Kordík. [11] HUTSON, Michael. Acoustic Echo usig Digital Sigal Processig. Queeslad, Austrálie, s. The Uiversity of Queeslad. Vedoucí diplomové práce Professor Simo Kapla. [12] SMÉKAL, Zdeěk. Číslicové zpracováí sigálů. Bro: VUT - Ústav telekomuikací, s. [13] JAN, Jiří. Číslicová filtrace, aalýza a rekostrukce sigálů. 2. upr. vyd. Bro: VUTIUM, s. ISBN [14] ROBERTS, M.J. Sigals ad Systems: Aalysis Usig Trasform Metods ad MATLAB. USA: The McGraw-Hill Compaies, s. ISBN [15] BELLANGER, Maurice G. Adaptive Digital Filters. New York, USA: CRC Press, s. ISBN [16] MARTINEK, Radek; KLEIN, Lukas; MAREK, Pavel. Novel Sigal Gate Solutio Suitable for Implemetatio i Audio ad Recordig Techologies. I Joural: ElectroScope, NR 3/2012, Pilse, Czech Republic, September 2012, pp. 1-6, ISSN [17] MALENOVSKÝ, Vladimír. Adaptiví filtrace zašuměých řečových sigálů. Bro : VUT - Ústav telekomuikací, 2002, Elektrorevue 2002/63. [18] HAYKIN, Simo. Adaptive Filter Theor. 4th. New Jersey: Pretice Hall, p. ISBN