3 Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné
|
|
- Oldřich Vopička
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Itegrálí počet fukcí jedé proměé 3 Itegrálí počet fukcí jedé reálé proměé 3. Prmtví fukce, eurčtý tegrál Defce Nechť f je reálá fukce jedé reálé proměé. Fukc F zveme prmtví fukcí k fukc f tervlu (,, ) jestlže pro kždé (, ) pltí f ( ) F( ). Pro prmtví fukc používáme též ázev eurčtý tegrál ozčeí f ( d ). Smotou fukc f zýváme tegrdem příslušého eurčtého tegrálu. Vět Prmtví fukce F je fukcí f urče ž dtví kosttu jedozčě. Pltí tedy: je-l ějkém tervlu (, ) fukce F prmtví k fukc f, je fukce F C, kde C je reálá kostt, stejém tervlu rověž prmtví fukcí k f; jsou-l opk F G dvě prmtví fukce k zdé fukc f tervlu (,, ) pltí pro kždé z tohoto tervlu F( ) G( ) C, kde C je opět ějká reálá kostt. Vět Prmtví fukce je vždy fukcí spojtou. Vět (lert tegrálu) Estují-l tervlu (, ) tegrály prvých strách uvedeých rovostí, pltí tomto tervlu f ( ) g ( ) d f ( ) d g ( ) d, f ( ) g ( ) d f ( ) d g ( ) d, cf ( ) d c f ( ) d. Uvedeé rovost plyou okmžtě z prvdel o dervováí součtu, rozdílu ásoku fukce (vz kptol.). Prvdlo o tegrováí součtu ( rozdílu) je možo rozšířt prostředctvím prcpu mtemtcké dukce lovolý koečý počet sčítců v tegrdu levé stry: f ( )... f ( ) d f ( ) d... f ( ) d. N zákldě zkušeostí s dervcem elemetárích fukcí můžeme přímo z defce určt ěkteré specálí prmtví fukce. Výsledky spolu s odpovídjícím vzorc pro dervováí shruje ásledující tulk. Nopk je možo ukázt, že fukce spojtá tervlu má vždy prmtví fukc. Vz též kptol 3.6. Vz tulk v kptole..
2 Prmtví fukce, eurčtý tegrál Vyré prmtví fukce f ( ) F( ) f( ) d g( ) g( ) C ( ) l C l e e C e e C l l cos s C s cos s cos C cos s cos s tg C tg cotg C cotg cos s rctg C rctg rccotg -rccotg C rcs C rcs rccos rccos C 3. Itegrce per prtes N zákldě prvdl o dervováí souču sdo hlédeme, že pltí Vět Mjí-l fukce f g tervlu (, ) vlstí dervce estuje-l tomto tervlu eurčtý tegrál prvé strě uvedeé rovost, estuje tegrál strě levé pltí f ( gd ) ( ) f( g ) ( ) f( g ) ( d ). Uvedeé prvdlo může ýt užtečé, pokud se ám podří tegrd eurčtého tegrálu, který eumíme vypočítt přímo, rozložt souč f ( g ) ( ) tk, že ový tegrál prvé strě výše uvedeé detty už vyčíslt umíme. Teto způso tegrce se zývá tegrcí per prtes, čl po částech. Bohužel, e vždy je všk zmíěý rozkld zřejmý prví pohled, tk použtí věty o tegrc per prtes vyžduje ovykle emálo prktckých zkušeostí. V ásledující tulce shrujeme ěkolk jedoduchých tegrálů, k jejchž výpočtu je možo užít metodu per prtes s velkým užtkem. Vz kptol..
3 Itegrálí počet fukcí jedé proměé Vyré tegrce per prtes tegrál rozkld tegrdu f ( ) g( ) l d l C l l d l C cos d s cos C () cos cos s d s cos C () s s e d e C s d s cos C s cos d cos s C cos rcs d rcs d rccos d rccos d () rcs () rccos e l Př výpočtu ěkterých tegrálů musíme tegrc per prtes provést opkově. Použtí metody per prtes v jedém cyklu ás sce ke kýžeému výsledku přlíží, eumoží ám jej všk dosáhout. Místo opkového použtí vzorce pro tegrc per prtes je v tkovém přípdě ovykle techcky mohem jedodušší použít oecých rekuretích vzthů, které je možo prostředctvím věty o tegrováí per prtes získt. Některé důležté rekuretí vzthy shruje ásledující tulk, moho dlších je možo lézt ve speclzové ltertuře (vz př. [], [4] [5]), km rověž odkzujeme zájemce o podroost. Vyré rekuretí vzthy 3 tegrál rozkld tegrdu f g ( ) ( ) ed e ed, e l d l l d, l s d cos cos d, s Př výpočtu tegrálu je uto kromě tegrce per prtes použít doře zámou dettu s + cos =. Blíže vz doporučeá ltertur. Itegrál prvé strě uvedeé rovost můžeme vypočítt př. pomocí susttučí metody (vz ásledující kptol). 3 ozčuje v uvedeých vztzích celé číslo.
4 Itegrce per prtes cos d s s d, cos s d cos s s d, 0 () s s cos d s cos cos d, 0 () cos cos 3 d d ( ), Příkld Ukžme s použtí rekuretího vzorce př výpočtu 5 ed. Především pro jedoduchost ozčme ed symolem I. Podle zdáí tedy hledáme I 5 výše uvedeý rekuretí vzorec můžeme přepst do tvru I0 e, I e I. Celý výpočet zhruje pět jedoduchých lgerckých kroků:, I e I0 e e e, I e I e e e I e I e e e, I e 4I e e 4 4 e, I e 5I e e e Po doplěí ezyté tegrčí kostty získáváme koec výsledek ed e C Př výpočtu tegrálu je uto kromě tegrce per prtes použít doře zámou dettu s + cos =. Blíže vz doporučeá ltertur. Výpočet pomocí opkového použtí prvdl o tergrováí per prtes proveďte smosttě porovejte prcost oou postupů.
5 Itegrálí počet fukcí jedé proměé 3.3 Itegrce susttucí Vět (prví vět o susttuc) Nechť G( y ) je prmtví fukce k fukc g( y ) fukce f ( ) je dferecovtelá. Pk fukce G( f( )) je prmtví fukcí k fukc g( f( )). f ( ). Předcházející větu je možo stručě zpst ve tvru g f( ) f( ) d g( y) dy. To zmeá, že tegrál levé strě můžeme určt pomocí tegrálu strě prvé, v ěmž po provedeí výpočtu dosdíme z ovou proměou y fukc f ( ). Stuc jsme s tedy formálě zjedodušl susttucí (áhrdou) f ( ) y. Použtí prví věty o susttuc tedy zhruje y f ( ) rozkld tegrdu původího tegrálu výše zčeý souč, výpočet ového, zprvdl jedoduššího tegrálu. Příkld s s y cos( ) tg d d d dy l cos C y s( ). 3 cos cos y y cos Vět (druhá vět o susttuc) Nechť f ( ) je tegrovtelá fukce fukce ht () je dferecovtelá prostá ějkém tervlu reálé osy. Pk můžeme psát th ( ) f( ) d f h() t h() t dt. Úprvy prováděé př výpočtu tegrálu prvé strě uvedeé formule zhrují áhrdu h( t) formálí áhrdu d h( t) dt. Nkoec je tře se vždy vrátt k původí ezávslé proměé, čehož dosáheme zpětou susttucí t h ( ), kde symolem h ozčujeme fukc verzí k fukc h. Př prktckém použtí druhé věty o susttuc tvoří zprvdl ejotížější část výpočtu lezeí vhodé susttuce h( t), která y řešeý prolém dosttečě zjedodušl. To zprvdl vyžduje velkou prktckou zkušeost, kterou můžete získt je vyřešeím dosttečého možství příkldů růzých typů. Nštěstí yly pro moho úloh, s mž se můžeme setkt v přírodích techckých vědách, k cíl vedoucí susttuce lezey shruty ve všech zákldích učecích tegrálího počtu v mtemtckých příručkách (vz př. [], [4] [5]). O ěkterých specálích susttucích se zmňujeme v kptole 3.5. Oojí ějkém otevřeém tervlu reálé osy. Jk je zřejmé z věty o dervováí složeé fukce (vz kptol.). 3 Smosttě proveďte odoým způsoem výpočet cotg d.
6 Itegrce susttucí Příkld t dt t dt e d ; d e e C. t Příkld Př výpočtu ásledujícího tegrálu zvádíme ovou proměou u, jejíž hodoty omezujeme tervlem /, /. Pečlvě s rozmyslete, kde všude ěhem výpočtu teto předpokld využjeme. Pk se pokuste. podle íže uvedeého ávodu určt tetýž tegrál s proměou u /,3 / s u d s ucosudu cos udu d cosu du urcs urcs u uu C u u u C C. s cos s s rcs urcs urcs 3.4 Itegrce rcoálích lomeých fukcí V této kptole s ukážeme, jk tegrovt rcoálí lomeé fukce, tj. tkové fukce, které je možo psát jko podíl dvou polyomů: P ( ) R ( ) Q ( ), kde ( ) m P... 0 Qm( ) m... 0 ( 0, m 0 ). Nejdříve vyřešíme ěkolk specálích příkldů, v chž se soustředíme rcoálí lomeé fukce s leárím dvojčleem č kvdrtckým trojčleem ve jmeovtel. Jejch výsledky koec použjeme př formulc oecého ávodu, jk tegrovt rcoálí lomeou fukc oecého tvru. m Itegrce rcoálí lomeé fukce s leárím dvojčleem ve jmeovtel Příkld d l C, 0 y d dy l C dy d y y
7 - 4 - Itegrálí počet fukcí jedé proměé Příkld d C, 0, y d dy C dy d y y Příkld p q d l C, p q p p p p 0, p 0 q q q p p p d d d d d q q q p q p p p p p p q p p p p q d l C q p p p p p p p p Itegrál z příkldu můžeme převést přímo tegrál typu, vydělíme-l polyom v čttel jmeovtelem. Itegrce rcoálí lomeé fukce s kvdrtckým trojčleem ve jmeovtel Z podmíky 0 můžeme tegrál P ( ) d c převést formálě jedodušší tegrál P ( ) d. pq Kokrétí postup př jeho výpočtu pk závsí chrkteru kořeů kvdrtckého trojčleu ve jmeovtel tvru polyomu v čttel tegrdu. V ásledujících příkldech proíráme jedotlvě všechy možost, které mohou stt. P / ( ) P( ) p P( ) d d d c c q c/ p q v dlším výkldu pochoptelě euvžujeme.. Nepodsttý multplktví fktor /
8 Itegrce rcoálích lomeých fukcí Příkld 3 dv jedoduché reálé kořey l d C, pq Především můžeme psát p q tvru, počítý tegrál proto přepst do d. Dříve, ež udeme pokrčovt v tegrováí, uprvíme rcoálí lomeou fukc do vhodější podoy A B. Nezámé kostty A B získáme převedeím výrzu prvé strě rovost společého jmeovtele porováím koefcetů u jedotlvých moc čttele tkto získého zlomku s čttelem levé stry rovost: Odtud vyplývá čl Nyí tedy můžeme psát AB A B A B AB 0, A B, A B.. d d d podle výsledku příkldu koec l d d C pq.
9 Itegrálí počet fukcí jedé proměé Příkld 3 jede dvojásoý reálý koře 0 d C, pq 0 V tomto přípdě pltí pro polyom ve jmeovtel p q 0, dlší výpočet je proto přímočrý: y 0 d d dy C pq. y 0 0 dy d y0 Příkld 3c žádý reálý koře p d rctg C pq, kde q p /4. Podle předpokldu zřejmě pltí qp /4 0, kvdrtcký trojčle ve jmeovtel můžeme tedy doplt úplý čtverec p p p p q q. 4 Pk můžeme ovšem psát p d d dy d p p y p dy rctg C. y p y
10 Itegrce rcoálích lomeých fukcí Příkld 4 d l p q ( c p) d pq pq, Z předpokldu 0 je možo psát 0 c d d p q, p q kde jsme zvedl c /, př dlších výpočtech se soustředt jedodušší tegrál prvé strě: c p pc p d d d ( c p) d p q p q p q. p q Úloh je tedy převede výpočet dvou ových tegrálů. Druhý z ch počítáme pomocí postupů uvedeých v příkldech 3 3c, př výpočtu prvího tegrálu užjeme prví věty o susttuc p y pq d l dy p q C pq dy pd y. y pq Příkld 5 c d, pq Isprová postupem uvedeým v příkldu 4 můžeme okmžtě psát c p d ( ) d c p d. pq pq pq I yí je tedy úloh převede výpočet dvou ových tegrálů. Prví z ch počítáme podoě jko v předcházejícím příkldě, tj. pomocí prví věty o susttuc Níže předpokládáme specálí tvr leárího dvojčleu ve jmeovtel. Pouče výpočty provedeým v příkldu 4 víme le, že se tímto jk eomezujeme co do oecost zdáí.
11 Itegrálí počet fukcí jedé proměé p y pq d d p q C p q dy p. y y pq Postup př výpočtu druhého tegrálu závsí tom, má-l kvdrtcký polyom ve jmeovtel reálé kořey, č kolv. Pokud je má, to víc dv růzé, musíme př výpočtu tegrálu použít prvdlo pro tegrováí oecé rcoálí lomeé fukce uvedeé íže v této kptole. Pokud je koře kvdrtckého polyomu reálý dvojásoý, přechází počítý tegrál tegrál z příkldu. Proveďme výpočet pro přípd, kdy kvdrtcký výrz emá reálé kořey. Podoě jko v příkldu 3c yí pomůže doplěí kvdrtckého trojčleu úplý čtverec. Tké dlší postup je zcel odoý tomu, který jsme stíl v příkldu 3c: Itegrál y d d d p y dy / dy d. y p q p p p y / dy počítáme ejsděj pomocí rekuretího vzorce (vz kptol [o]). Itegrál rcoálí lomeé fukce s kvdrtckým trojčleem ve jmeovtel polyomem třetího eo vyššího řádu v čttel můžeme vždy převést děleím těchto polyomů součet tegrálu polyomu ěkterého z tegrálů proírých v příkldech 3 3c č 4. Itegrce oecé rcoálí lomeé fukce V závěru této kptoly formulujeme oecá prvdl pro výpočet tegrálů rcoálí lomeé fukce z předpokldu, že stupeň polyomu v čttel je meší ež stupeň polyomu ve jmeovtel. Níže tedy předpokládáme, že pro R( ) P ( )/ Q ( ) pltí vždy m. m Prvdlo Má-l polyom Q m () pouze jedoduché reálé kořey, tj. Qm( ) m( )...( m), je výhodé tegrovou fukc psát ve tvru R A A m m ( )... kde ztím ezámé reálé kostty A,..., A m lezeme tk, že prvou stru rovost převedeme společého jmeovtele tkto získé koefcety u jedotlvých moc m, Protože oecá rcoálí lomeá fukce může ýt vždy převede děleím polyomů v čttel jmeovtel součet polyomu jé rcoálí lomeé fukce, která jž uvedeý předpokld splňuje, je možo íže uvedeých prvdel použít ve zcel oecém přípdě. O rozkldech uvedeých v prvdlech -3 se ovykle hovoří jko o rozkldech rcoálí lomeé fukce prcálí zlomky.
12 Itegrce rcoálích lomeých fukcí v čttel porováme s odpovídjícím koefcety polyomu P ( ). Výpočet tegrálu R( d ) je pk převede výpočet tegrálů z příkldu. Prvdlo Má-l polyom Q m () pouze reálé, oecě všk ásoé kořey, tj. pltí-l Q, m m m( ) m( - )... ( - r) r r mr m, k rozložíme tegrovou fukc do tvru A A,, m A A r, r, mr R ( ) m r r m mr, kde ezámé reálé kostty A,,..., A rm, lezeme opět tk, že prvou stru rovost r převedeme společého jmeovtele tkto získé koefcety u jedotlvých moc v čttel porováme s odpovídjícím koefcety polyomu P ( ). Výpočet tegrálu R( d ) je tkto převede výpočet tegrálů z příkldů. Prvdlo 3 Má-l polyom Q m () reálé mgárí, oecě všk ásoé kořey, můžeme jej psát ve tvru m m r s Q ( ) p q... p q, m m r s s kde uvedeé kvdrtcké polyomy jsou jž erozložtelé. Pk je ovšem výhodé rozložt tegrovou fukc podle vzorce A A,, m A A r, r, mr R ( ) m mr m r r C,B C,, B, C C B s, B s, s p q p q p sqs psqs s, ss, s kde reálé kostty A j, B kl C pq opět lezeme tk, že prvou stru rovost převedeme společého jmeovtele tkto získé koefcety u jedotlvých moc porováme s odpovídjícím koefcety polyomu P ( ). Výpočet tegrálu R( d ) tkto převádíme výpočet tegrálů z příkldů -5., Srovejte s příkldem 3 v této kptole.
13 Itegrálí počet fukcí jedé proměé 3.5 Vyré specálí tegrály Poměrě velké možství prví pohled komplkových tegrálů je možo vhodě zvoleým susttucem převést tegrc rcoálí lomeé fukce, kterou jsme podroě prorl v předcházející kptole. Níže shrujeme ěkteré z těchto velm užtečých čsto používých susttucí, jé je možo lézt ve všech pokročlých učecích příručkách věových tegrálímu počtu (vz př. [], [4] [5]). Defce Pod polyomem dvou proměých P( y, ) pq rozumíme koečý součet sčítců typu p q y, kde p q jsou přrozeá čísl eo ul, p q P( y, ) y. pq, pq Pod rcoálí lomeou fukcí dvou proměých R( y, ) rozumíme podíl dvou polyomů dvou proměých P( y, ) Ry (, ). Qy (, ) Následující tulk shruje ěkteré specálí typy eurčtých tegrálů, které je možo pomocí uvedeých susttucí převést tegrály rcoálí lomeé fukce. Itegrál, R s d c d R, c d Omezující podmíky Susttuce s, d c 0 () t s c d 0, t 4c 0 () (3) R, c d R cos,s d 0, 4c 0 4 t c eo t c 5 t tg, k Je-l d c 0, je výrz pod odmocou kosttí (dokžte) úloh se měí prolém tegrce prosté rcoálí lomeé fukce. V přípdě ulového č záporého dskrmtu kvdrtckého výrzu pod odmocou je teto výrz defová v jedém odě reálé osy č dokoce eí defová vůec. 3 jsou kořey kvdrtckého výrzu c., 4 Je-l dskrmt kvdrtckého výrzu pod odmocou ulový, je možo provést zčeé odmocěí úloh přechází tegrc rcoálí lomeé fukce., kde jsou kořey kvdrtckého poly- 5 Je-l d c 0, můžeme též použít susttuce t omu pod odmocou.
14 Specálí tegrály R e d t e R l d t l Susttuce v tegrálu Rcos,s d podle ávodu z výše uvedeé tulky vyžduje provedeí ásledujících áhrd t t cos, s t t dt d. t Protože tto susttuce vede velm čsto k eúměrě komplkovým výrzům v tegrdu počítého tegrálu, užívjí se ovykle v íže uvedeých specálích přípdech susttuce jé: pltí-l R( y, ) Ry (, ), je doporučová susttuce t cos, pltí-l R(, y) R(, y), je výhodé použít susttuce t s, pltí-l R(, y) R(, y), položíme s výhodou t tg. 3.6 Určté tegrály Newtoův určtý tegrál Defce Nechť F( ) je tervlu I prmtví fukce k fukc f ( ). Newtoovým určtým tegrálem fukce f od do 3 (, I) zveme číslo F( ) F( ). Určtý tegrál ozčujeme ovykle symolem f ( d ), kde číslo zýváme horí mezí číslo dolí mezí tohoto tegrálu. Pro rozdíl fukčích hodot prmtví fukce F v krjích odech tegrčího ooru se čsto používá záps F( ) F( ) F( ). Všměte s, že čkol prmtví fukce F( ) eí urče jedozčě, určtý tegrál f ( d ) jž jedozčě urče je. Podroost leze čteář př. ve strší, leč vykjící zákldí učec Hvlíčkově [] eo v pokročlé učec Jríkově [4]. pro všech y z defčího ooru R 3 jsou reálá čísl.
15 Itegrálí počet fukcí jedé proměé Vět Fukce G ( ) f( ) d je jedou z prmtvích fukcí k fukc f ( ). Pltí tedy d f ( ) f( ) d d. Vět Pro počítáí s určtým Newtoovým tegrály pltí ásledující prvdl: f ( d ) f( d ), f( ) d 0, c c f ( d ) f( d ) f( d ). Vět Nechť pro kždé z tervlu, pltí f ( ) g( ). Pk f ( d ) gd ( ). Specálě, je-l tervlu, f( ) 0, můžeme psát f( ) d 0. Př výpočtu určtého Newtoov tegrálu hledáme ovykle ejdříve prmtví fukc k zdé fukc f ( ). Můžeme proto využít všech prvdel vět, které jsou pro výpočet eurčtých tegrálů (součtový vzorec, tegrce per prtes, susttuce) formulováy v předcházejících kptolách. Remův určtý tegrál Defce Nechť, je uzvřeý tervl čísl,..., 0, splňují podmíku Pk uspořádou možu těchto čísel D 0,,..., zveme děleím tervlu,. Největší z čísel,,...,, zveme ormou děleí D udeme pro ě užívt ozčeí (D). Defce D,..., je děleí uzvřeého tervlu, Nechť 0,,,..., mož Tto prmtví fukce splňuje víc podmíku G ( ) 0. Někdy můžeme výsledek odhdout přímo. Tk př. f ( d ) je pro lchou fukc vždy ulový.
16 Určté tegrály reálých čísel splňujících pro kždé,,...,, f omezeá fukce,. Pk součet S( f,d, ) f( )( ) zveme Removou tegrálí sumou fukce f pro děleí D možu čísel. Defce Nechť D N je posloupost děleí tervlu,, jejchž orm koverguje k ule, lm (D ) 0 N ( N) ( N), N posloupost mož čísel,..., z předcházející defce přřzeých děleím D N. Fukce f ( ) echť je defová omezeá tervlu,. Estuje-l pro všechy tkové posloupost jejch společá lmt I lm S( f, D, ), N N N zveme tuto lmtu Removým určtým tegrálem fukce f ( ) tervlu, 3. Pro Remův určtý tegrál udeme z důvodů, které ojsíme íže, užívt stejé ozčeí jko pro tegrál Newtoův, tj. f ( d ). Podle předcházející defce umíme určt Remův tegrál je pro. Defujme proto dále f ( d ) f( d ) pro, f( ) d 0. Vět Nechť je fukce f ( ) spojtá uzvřeém tervlu,. Pk estuje tomto tervlu její Newtoův Remův určtý tegrál o jsou s rovy. Předcházející vět ukzuje souvslost mez Newtoovým Removým určtým tegrálem pro jede specálí typ fukcí - fukce spojté. Pltí oecější tvrzeí, že pokud pro dou fukc estují tervlu, o určté tegrály (Newtoův Remův), jsou s vzájem rovy. Proto se pro Newtoův Remův tegrál používá ovykle stejého ozčeí. Důležtým důsledkem této věty je Vět Fukce f, která je spojtá,, má, prmtví fukc. Pro pevě zvoleé, leč lovolé c, je F( ) f( ) d jedou z těchto prmtvích fukcí. c Tj. estuje tkové ezáporé číslo K, že pro kždé z tervlu, pltí f ( ) K. Vz Aped A3. 3 Defce Remov tegrálu je sprová prktckou úlohou výpočtu plochy pod grfem zdé fukce. Podroěj o tomto všk ž v kptole věové plkcím tegrálího počtu.
17 - 5 - Itegrálí počet fukcí jedé proměé 3.7 Nevlstí tegrály V předcházející kptole jsme se učl počítt určté Newtoovy Removy tegrály tervlech koečé délky. V plkcích se všk čsto vyskyte prolém, kdy je tře zdou fukc tegrovt přes tervl, jehož jed, č dokoce oě meze jsou ekoečé. V ásledujícím výkldu s ukážeme, jk se dá pojem určtého tegrálu rozšířt tervly ekoečé délky. V tkovém přípdě pk ovykle hovoříme o tegrálech evlstích. V předcházející kptole defové určté tegrály pk, je-l to uté v zájmu odlšeí, zýváme tegrály vlstím. Defce f ( d ) lm f( d ), f ( d ) lm f( d ). Předpokládáme ovšem, že tegrály oě lmty prvé strě výše uvedeých defčích rovostí estují. Přpouštíme přtom lmty vlstí evlstí. Máme-l víc výše mysl Newtoovy určté tegrály, můžeme uvedeé defčí rovost přepst do tvru Vět Pro výše defové evlstí tegrály pltí f ( d ) lm F ( ) F ( ), f ( d ) F ( ) lm F ( ). Defce Dále defujeme c f ( d ) f( d ) f( d ), c c f ( d ) f( d ) f( d ), c f ( d ) f( d ), f ( d ) f( d ). f ( d ) f( d ) f( d ), kde je lovolé reálé číslo. Podle věty předcházející právě uvedeé defc ezávsí prvá str v této defc volě čísl. Toto číslo je tedy skutečě lovolé. F( ) je prmtví fukce k fukc f ( ).
18 Nevlstí tegrály Očs se setkáváme se stucí, kdy prmtví fukce F( ) estuje celém otevřeém tervlu (, ), v smotých krjích odech všk defová eí, č oě čísl mohou ýt koečá. Pk ovšem elze použít defc Newtoov určtého tegrálu v ovyklém tvru f ( d ) F ( ) F ( ). Isprová výkldem o evlstích tegrálech ekoečých tervlech všk sdo hlédeme možost, jk se s tímto prolémem vypořádt. Stčí výše uvedeou defc přepst do tvru f ( d ) lm F ( ) lm F ( ), který je jž možo použít ez ohledu to, zd jsou meze koečé č kolv zd je v ch prmtví fukce F( ) defová. I v tkovém přípdě hovoříme ovykle o evlstím tegrálu. Pro koečé meze estující fukčí hodoty F( ) F( ) přechází zoecěá defce (evlstího) určtého tegrálu defc původí. Prmtví fukce je totž v tomto přípdě uzvřeém tervlu, spojtá, pltí tudíž lm F( ) F( ) lm F( ) F( ). 3.8 Numercký výpočet určtých tegrálů Moho fukcí, s mž se setkáváme v přírodovědých techckých plkcích, elze tegrovt jedoduchým lytckým metodm uváděým v tomto tetu. Př výpočtu tkových tegrálů se ovykle uchylujeme k umerckým metodám. Ústředí myšlek umerckého přístupu spočívá v áhrdě tegrové fukce fukcí jou, zprvdl mohem jedodušší, kterou jž tegrovt umíme. Přlžou áhrdou se pochoptelě dopouštíme chyy, kterou všk většou umíme učt zedtelě mlou. Numercké tegrc je věováo výzmé místo v mtemtcké ltertuře. V této kptole zmííme je ěkteré zákldí metody omezíme se př tom výpočet vlstího tegrálu f ( d ), kde jsou reálá čísl. Zájemce o hluší prokutí do prolemtky odkzujeme speclzovou lterturu (vz př. [4] [5]). Odélíková metod Itervl, rozdělíme stejých dílků s dělcím ody 0..., kde pro k 0,..., k k. N kždém z dělcích tervlů k, k, k 0,...,, hrdíme fukc f fukcí kosttí, y k. Ovykle se používá ěkterá z ásledujících možostí y f( ), k k k yk k f( ) f( ), y f( ), k k f. k k y k Musíme ovšem zručt estec příslušých jedostrých lmt.
19 Itegrálí počet fukcí jedé proměé Novou, po částech kosttí fukc pk jž sdo tegrujeme dostáváme f ( d ) yk. Lchoěžíková metod I zde, stejě jko v přípdě metody odélíkové, rozdělíme ejdříve tervl, stejých dílků. N kždém z dělcích tervlů k, k hrdíme tegrovou fukc fukcí leárí, jejíž grf prochází ody k, f( k) k, f( k ). Novou, yí po částech leárí fukc opět sdo tegrujeme dostáváme k 0 f ( d ) y0 yk y k. Smpsoov metod Itervl, rozdělíme v tomto přípdě sudý počet stejých dílků tervlech 0,,, 4,..., hrdíme tetokrát původí fukc f fukcem kvdr-, ( ), f( ) tckým, jejchž grfy procházejí prvím tervlu ody 0 f 0,, f( ), druhém tervlu ody, f( ),, f( ), ( ) f 4 td. Novou, v tomto přípdě po částech kvdrtckou fukc tegrujeme dostáváme f ( d ) y0 4y y... y 4y y. 3 Pro kždou z uvedeých metod získáváme zprvdl tím přesější výsledek, čím je děleí tervlu, jemější, tedy počet dělcích odů větší. I přesost uvedeých metod roste ovykle př stejém v pořdí, v ěmž jsou uvedey. Nejméě přesá je metod odélíková, ejpřesější metod Smpsoov. 3.9 Vyré plkce tegrálího počtu V mtemtce, le zejmé v přírodích techckých vědách, estuje epřeeré možství prolémů, kdy je uté tím č oím způsoem použít výsledků tegrálího počtu. V této kptole uvádíme stručý přehled těch ejěžějších plkcí určtých tegrálů v geometr fyzce. Př řešeí jedotlvých kokrétích úloh využjeme vždy elemetárích zlostí (př. toho, že umíme vypočítt plochu odélík, délku úsečky, ojem válce, povrch rotčího komolého kužele, hmotost úsečky s kosttí leárí hustotou, prác kosttí síly přímočré dráze td.) Postup př řešeí složtějších úloh je pk ásledující: Oecý prolém převedeme řešeí ěkteré z uvedeých elemetárích úloh získáme tk zprvdl přlžé vyjádřeí oecého vzthu ve tvru Removy sumy pro ějký určtý tegrál. Dále udeme předpokládt, že tkto získá Remov sum koverguje ke svému tegrálu, který pk jž sdo zpíšeme, užjeme-l defce uvedeé v kptole 3.6. Upozorňujeme čteáře, že v zájmu zchováí jedoduchost ázorost jsou íže zčeé výpočty pouze oretčí elze je v žádém přípdě povžovt z důkzy uvedeých vzorců. Zájemce o podroost odkzujeme kteroukolv učec tegrálího počtu, př. učec Hvlíčkovu [] č Jríkovu [4].
20 Aplkce tegrálího počtu Úloh Ploch pod grfem fukce Zdáí Určete plošý osh S olst vymezeé tervlu, grfem fukce f( ) 0 přímkm, y 0. Řešeí Budž 0... dosttečě jemé děleí tervlu,. Elemetárí plochy pod grfem fukce f ( ) hrdíme kždém z dělcích tervlů, odélíky o strách y f( ), kde,. Hledý plošý osh S je pk dá s přlžou pltostí jko součet plošých oshů jedotlvých elemetárích odélíků S y : S S f( ). N prvé strě posledí rovost jsme le tkto získl Removu tegrálí sumu, které př splěí ezytých předpokldů (vz kptol 3.6) odpovídá tegrál f ( d ). Můžeme proto psát S f( ) d. Úloh Délk olouku grfu fukce Zdáí Určete délku L olouku grfu fukce f ( ) tervlu,. Řešeí I v tomto přípdě rozdělíme tervl, dosttečě jemým děleím 0... elemety grfu fukce f ( ) kždém z dělcích tervlů, hrdíme s přlžou pltostí úsečkm o kocových odech, f( ), f( ). Hledou délku olouku L pk získáme přlžě jko součet délek jedotlvých elemetárích úseček tedy L y, kde y f( ) f( ). Pltí Smosttě se pokuste zformulovt řešeí podoé úlohy, v íž le udeme předpokládt, že f( ) 0, eo dokoce že fukce f měí tervlu, zméko.
21 Itegrálí počet fukcí jedé proměé ( ) ( ), L L y f f kde jsme užl Lgrgeovu větu o přírůstku kde,. Výsledkem šeho přlžého výpočtu je opět jstá Remov sum, které tetokrát odpovídá tegrál ( ) f d. Můžeme proto psát L f d ( ). Úloh 3 Délk prmetrcky zdé křvky Zdáí Určete délku L křvky zdé v rově prmetrckým rovcem () t y () t, kde prmetr t, () t (), t () t je prostá,. vektorová fukce Řešeí Postup řešeí je odoý tomu, který jsme stíl v předcházející úloze. Itervl, ejdříve rozdělíme dosttečě jemým děleím t0 t... t kždém z dělcích tervlů t, t povžujeme křvku s přlžou pltostí z úsečku s kocovým ody t ( t), ( t) ( t ), ( ). I yí počítáme v prvím přlížeí délku olouku L jko součet délek těchto elemetárích úseček y ( t ) ( t ). Pltí tedy 3 L y, kde ( t) ( t ) L y t t t, kde, t, t ( ) ( ) ( ) ( ). Protože čstou Removu tegrálí sumu. Přesto je všk možo ukázt, že pltí (vz př. učece Hvlíčkov []) jsou oecě růzá, ezískl jsme v tomto přípdě Tto vět říká, že je-l fukce f ( ) spojtá tervlu, dferecovtelá,, pk estuje, tkové, že f ( ) f( ) f( )( ). Podroost může čteář jít v kždé učec dferecálího počtu (vz příkld Hvlíček [] eo Jrík [3]). Křvk tedy v žádém odě eprotíá sm see, ejvýš může mít stejý počátečí kocový od. 3 V úprvách opět využíváme výše zmíěou Lgrgeovu větu o přírůstku: ( t) ( t ) ( )( t t ) ( t ) ( t ) ( )( t t ). Všměte s, že ody v chž počítáme dervce jsou pro růzé.
22 Aplkce tegrálího počtu L t t dt () (). Odoý vzorec lze odvodt pro křvku zdou prmetrckým rovcem v prostoru ( t), y ( t) z () t : L t t t dt () () (). Úloh 4 Ojem rotčích těles Zdáí Určete ojem V těles, které vzke rotcí plochy pod grfem fukce f( ) 0 tervlu, kolem osy. Řešeí Itervl, opět ejdříve rozdělíme dosttečě jemým děleím 0... elemetárí rotčí těles, která vzkou výše popsým postupem kždém z dělcích tervlů,, povžujeme z válce. Hledý ojem V pk získáme jko součet ojemů těchto elemetárích válců o poloměrech podstvy r f( ), kde je ějké číslo z,, o výškách. Můžeme tedy psát koec V V f( ) V f d ( ). Úloh 5 Povrch rotčích těles Zdáí Určete plošý osh S povrchu těles, které vzke rotcí grfu fukce f( ) 0 tervlu, kolem osy.
23 Itegrálí počet fukcí jedé proměé Řešeí Postup př řešeí je ezezytku stejý jko v předcházející úloze, pouze elemetárí rotčí těles povžujeme yí s přlžou přesostí z komolé kužele. Celkový plošý osh S pk určíme jko součet plošých oshů jedotlvých elemetárích kuželů S r r l, () () () kde r je poloměr jedé podstvy -tého kužele, () podstvy, r f( ), l délk jeho stry, r () f( ), () r poloměr jeho druhé l y. Můžeme proto psát S S f f y f f ( ) ( ) ( ) ( ) koec ( ) ( ). S f f d Úloh 6 Hmotost ekoečě teké rové tyče Defce Nekoečě tekou tyč reprezetujeme úsečkou (uzvřeým tervlem), ose. Ozčme m (, ) hmotost jejího segmetu,. Pk leárí hustotou tyče v odě zveme velču m (, ) ( ) lm. 0 Zdáí Určete hmotost m ekoečě teké tyče, se zdou leárí hustotou ( ). Řešeí Itervl, rozdělíme dosttečě jemým děleím 0... kždém z dělcích tervlů, povžujeme hustotu ( ) z kosttí. Pk ovšem můžeme pro hmotost kždého segmetu psát přlžě m ( ), kde,, pro hmotost celé tyče m m ( ) eo též m ( ) d. Opět s využtím Lgrgeovy věty o přírůstku.
24 Aplkce tegrálího počtu Úloh 7 Hmotost ekoečě tekého vlák Defce Nekoečě teké vláko reprezetujeme v rově prmetrcky zdou křvkou () t y () t, kde prmetr t, vektorová fukce () t (), t () t je prostá,. Ozčme mt (, t) hmotost mlé část vlák, pro kterou prmetr ývá hodot z tervlu tt, t. Pk leárí hustotou vlák v odě odpovídjícím hodotě prmetru t zveme velču () t lm t 0 mt (, t) () t () t t. Zdáí Určete hmotost m ekoečě tekého vlák se zdou leárí hustotou () t. Řešeí Itervl, opět ejdříve rozdělíme dosttečě jemým děleím hustotu () t povžujeme kždém tkto získém segmetu z kosttí. Potom ovšem můžeme psát 3 m ( ) y ( ) ( ) ( ) t, kde, jsou oecě růzá čísl z -tého dělcího tervlu. Podoě jko v úloze 3 edospíváme sce tkto k čstou Remově tegrálí sumě, opět lze všk dokázt, že pltí m t t t dt () () (). Pro vláko v prostoru s prmetrzcí () t, y ( t) z ( t) je možo odvodt odoý vzorec m t t t t dt () () () (). Vláko tedy v žádém odě eprotíá smo see, ejvýš může mít tvr uzvřeé smyčky. Všměte s, že ve jmeovtel uvedeé defčí rovost stojí přlžý výrz pro délku část vlák tervlu tt, t. 3 Opět s využtím Lgrgeovy věty o přírůstku.
25 Itegrálí počet fukcí jedé proměé Úloh 8 Práce vější síly přímé dráze Zdáí Určete prác A vykoou slou F( ) půsoící ve směru přímočrého pohyu hmotého odu po úsečce reprezetové tervlem, osy. Řešeí I v tomto přípdě rozdělíme ejdříve tervl, dosttečě jemým děleím 0... kždém z dělcích tervlů, povžujeme půsoící sílu z kosttí. Odoě jko v předcházejících úlohách pk píšeme, A A F( ) kde je práce vykoá půsoící slou segmetu, A. Pltí tedy A F( ) d.
Vlastnosti posloupností
Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q
VícePOLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde
POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti
VíceNekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }
Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle
VíceSTEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
Více8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.
KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x,
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
VíceM - Posloupnosti VARIACE
M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,
VíceSeznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že
VíceZákladní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů.
Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Výpočet vlstosti určitého itegrálu Cíle Zákldí vět itegrálího počtu (Newto Leiizov) ám umoží výpočet určitých itegrálů Pozáte zákldí vlstosti určitých itegrálů
Více6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI
6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících
VíceSeznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste
VíceZákladní elementární funkce.
6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou
Více8.2.7 Geometrická posloupnost
87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob
VícePřehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+
Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu
VícePosloupnosti a řady. Obsah
Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti
Více8. Elementární funkce
Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá
VíceKapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých
VíceCílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.
temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme
Více5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC
5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém
Více1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů
.8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících
Více2.4. Rovnováhy v mezifází
2.4. Rovováhy v mezfází Mezfázím se rozumí teká vrstv (tloušťk řádově odpovídá molekulárím dmezím) rozhrí dvou fází, která se svým složeím lší od složeí stýkjících se fází. Je-l styčá ploch fází mlá, lze
Vícev. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x)
9 REGRESE A KORELACE Slovo regrese oecě zmeá poh zpět ústup ávrt regresví = ustupující Opčým termíem je progrese pokrok postup šířeí růst Pojem regrese l do sttstk zvede kocem 9 století rtským učecem Frcsem
Více6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:
6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
VíceTento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254
Evropský socálí fod Prh & EU: Ivestuee do vší udoucost eto terál vkl díky Operčíu progru Prh dptlt CZ..7/3..00/3354 Mžerské kvtttví etody II - předášk č. - eore her eore her 96 vo Neu, Morgester kldtelé
Více1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26
Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých
VíceInterpolace a aproximace. Interpolace algebraickým polynomem a aproximace metodou nejmenších čtverců
Iterpolce promce Iterpolce lgebrckým polomem p g ý p promce metodou ejmeších čtverců Iterpolce lgebrckým polomem Apromce metodou ejmeších čtverců Úloh. Dá tbulk hodot,, j pro j. Hodot jsou přesé. Hledáme
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí
Vícep = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:
ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé
VíceVerze z 17. května 2018.
Verze z 7. květ 8. Úvodí pozámk Tto sbírk byl sepsá se záměrem vytvořit sezm výpočetích postupů triků pro řešeí úloh, které se probírjí ve druhém semestru kurzu mtemtické lýzy. Sezm, v ěmž s devdesátiprocetí
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
VíceVEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček
Více9. Racionální lomená funkce
@ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro
Více1.2. MOCNINA A ODMOCNINA
.. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
Více8.3.1 Pojem limita posloupnosti
.3. Pojem limit poslouposti Předpokldy: 30, 0 Pedgogická pozámk: Limit poslouposti eí pro studety sdo strvitelým pojmem. Hlvím problémem je podle mých zkušeostí edorozuměí s tím, zd mezi posloupostí její
VíceD = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n
/9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x
VíceCílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.
Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere
VíceAnalytická geometrie
Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceInterpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2
Iterpolace pomocí sple křvky dáo: bodů v rově úkol: alézt takovou křvku, která daým body prochází y f f 2 f 0 f x0 x... x 2 x x Iterpolace pomocí sple křvky evýhodou polyomálí terpolace změa ěkterého z
Vícenazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0).
ČÍSELNÉ VEKTORY Defce Uspořádou -tc čísel = (,,, ) zveme číselým vektoem Čísl,,, jsou složky ebol souřdce vektou Přozeé číslo zýváme ozměem ebo tké dmezí vektou Defce Vekto, jehož všechy složky se ovjí
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VíceOkruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-
Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,
VíceAlgebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.
ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou
VíceKKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij
Více6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů
6 Stbilit lieárích diskrétích regulčích obvodů Pro diskrétí systémy pltí stejá defiice stbility jko pro systémy spojité. Systém je stbilí, když se po odezěí vstupího sigálu vrátí zpět do rovovážého stvu.
VíceNové symboly pro čísla
Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly
VíceŘídicí technika. Obsah. Laplaceova transformace. Akademický rok 2019/2020. Připravil: Radim Farana
kdemický rok 9/ Připrvil: Rdim Fr Řídicí techik Oh (L-trformce) předtvuje velmi účiý átroj při popiu, lýze ytéze pojitých lieárích ytémů řízeí. Účelem trformce je převét ložitý prolém z protoru origiálů
Více8.2.6 Geometrická posloupnost
8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího
VícePRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online
Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05
VíceGenerování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí
Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta
Více1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE
ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE V této kaptole se dozvíte: jak je oecě defováa kolmost (ortogoalta) vektorů; co rozumíme ortogoálí a ortoormálí ází; co jsou to tzv relace ortoormalty a Croeckerovo delta;
VíceObr. DI-1. K principu reverzibility (obrácení chodu paprsků).
Učebí text k předášce UFY8 Dvojvzková tererece teké vrtvě Dvojvzková tererece teké vrtvě Předpokládejme, vl o mpltudě dvou delektrk tk, že mpltud održeé vly bude o dexu lomu bude t (vz obr. DI-1). v protředí
VíceARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI s-tého STUPNĚ. Daniela Bittnerová
The Mthemtc Educto to the t Cetury Project Proceedg of the Itertol Coferece The Decdble d the Udecdble Mthemtc Educto Bro, Czech Republc, September 00 ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI -TÉHO STUPNĚ Del Btterová
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje
Více( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306
7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
VíceNapíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.
8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl
VícePři výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
VíceŘešení soustav lineárních rovnic
Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí
Víceu, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,
Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.
.. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uverzt Krlov v Prze Pegogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM 00/00 CIFRIK Záí: Vyšetřete všem probrým prostřeky polyom 0 0 Vyprcováí: Pole věty: Rcoálí kořey. Nechť p Q je koře polyomu
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VíceFYZIKA I. Newtonovy pohybové zákony
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA AKULTA STROJNÍ YZIKA I Newtoovy pohybové zákoy Prof. RNDr. Vlé Mádr, CSc. Prof. Ig. Lbor Hlváč, Ph.D. Doc. Ig. Ire Hlváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dgr Mádrová
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
VícePRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.
Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY,
POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé
VíceDUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost
projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:
VíceOdhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
Více1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru
Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v
Více5 - Identifikace. Michael Šebek Automatické řízení
5 - Idetfce Mchel Šee Automtcé řízeí 08 6-3-8 Automtcé řízeí - Kyeret root Idetfce Zísáí modelu systému z dt ( jeho vldce jých dtech) whte ox (víme vše): ze záldích prcpů (fyz-chem-o- ) grey ox (víme ěco):
VícePosloupnosti na střední škole Bakalářská práce
MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceSkalární matice. Jednotková matice. Matice také mohou být různě symetrické. Nejčastěji se však uplatní symetrie podle diagonály:
Mte N mte jem už rzl v kptole zveeí otáčeí. Tm jem le leko víe ež mte upltl kompleí číl, mž yí už eue možé pomo, protože kompleí číl jou upořáé voje reálýh číel, ož e pro rovu hoí. Tto kptolk je prví,
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
Více4. Spline, Bézier, Coons
4. Sple Bézer Coos 4. SPLINE Cíl Po prostudováí této ptol budete umět popst defovt fuce teré jsou záldem pro tvorbu řve defovt zdávt dt pro progrm vreslováí grfů těchto fucí řešt příld z prxe řv Výld 4..
Více3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru
Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
VíceU. Jestliže lineární zobrazení Df x n n
MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o
VíceStřední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl
Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti
VíceAnalytická geometrie
MATEMATICKÝ ÚSTAV Slezská uverzt N Rybíčku, 746 0 Opv DENNÍ STUDIUM Alytcká geoetre Té 5.: Shodá zobrzeí Defce 5.. Zobrzeí f eukldovského prostoru E do eukldovského prostoru E se zývá shodé (zoetrcké),
Více[ jednotky ] Chyby měření
Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá
VíceKomplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0
Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
Více=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy:
3 předáš INTEGRAE RAIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKE Důležiou supiu fucí, eré můžeme (spoň eoreicy) iegrov v možiě elemeárích fucí, voří rcioálí lomeé fuce Kždou rcioálí lomeou fuci vru P( ) f ( ) =, de P() Q() jsou
Vícea) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x
FSI VUT v Brě zdáí č.. str. Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vžd právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li 0, pk 0 c) e) ) Výrz lze uprvit tvr c) e) ) Nerovice má řešeí c) e) ) Rovice 0 má právě jedo
Více8. Zákony velkých čísel
8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VícePRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:
Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z
Více4. Opakované pokusy a Bernoulliho schema
4 Opové pousy Beroulliho schem Pozám: V ěterých příldech v odstvcích 2 3 jsme počítli prvděpodobosti áhodých jevů, teré byly výsledem opoví áhodého pousu Npř házeí dvěm micemi je stejé jo dv hody jedou
Více