5. [10 bodů] Vyřešte diferenciální rovnici y + 2y + y = x [4 body] Je dán autonomní systém

Transkript

1 Inženýrská matematika Ukázk a archiv závěrečných písemných prací jaro 05 Vtvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult ENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného základu (reg. č. CZ..07/..00/8.00) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu Ceské republik.

2 . [povinný] (Jerold T. Hanh [984], Tree volume and biomass equations for the lake states.) Odhad pro objem stromu v okolí jezera ichigan je dán vztahem V = b 0 + b D H, kde V je brutto objem, D průměr v úrovni prsou, H užitková délka a b 0, b empirické koeficient. Vjádřete D jako funkci ostatních parametrů.. [4 bodů] Uvažujme diferenciální operátor L[] = + a(). a) Dokažte, že zadaný operátor je lineární. b) Ukažte, jak se námi uvažovaný operátor chová vzhledem k součinu funkcí, tj. jsou-li u a v funkce, napište, čemu se rovná L[uv] c) Ukažte, jak se námi uvažovaný operátor chová vzhledem k součinu kostant a funkce, tj. jsou-li C konstanta a u funkce, napište, čemu se rovná L[Cu] 5. [0 bodů] Vřešte diferenciální rovnici + + =. 6. [8 bodů] Vpočtěte dvojný integrál dd. nožina i funkce, která ji ohraničuje, jsou na obrázku. Případné bod důležité pro výpočet integrálu si dopočítejte sami. = ( ) 3. [6 bodů] a) Napište, obecný tvar diferenciální rovnice se separovanými proměnnými. b) Jak poznáme, zda rovnice = f(, ) je či není rovnice se separovatelnými proměnnými. Napište efektivní nutnou a postačující podmínku na funkci f, která zaručí, že uvažovaná rovnice je rovnicí se separovanými proměnnými. 4. [4 bod] Napište definici a) parciální derivace podle, b) parciální derivace podle a c) suprema množin. 7. [4 bod] Vpočtěte obě parciální derivace prvního řádu funkce z = + 8. [4 bod] Je dán autonomní sstém = = a jeho stacionární bod [, ]. Určete vlastní hodnot Jakobiho matice v tomto bodě a tp stacionárního bodu.

3 . [povinný] (Vhláška inisterstva zemědělství č. 55/999 Sb., o způsobu výpočtu výše újm nebo škod způsobené na lesích 9) Škoda ze snížení přírůstu lesního porostu v důsledku okusu zvěří nebo hospodářskými zvířat se vpočte podle vzorce S = ZK N p N kde S je roční škoda ze snížení přírůstu lesního porostu v důsledku okusu zvěří nebo hospodářskými zvířat, Z je hodnota ročního přírůstu podle skupin dřevin uvedená v příloze vhlášk, K je koeficient vjadřující míru poškození podle stupňů poškození, jehož hodnota se určí podle příloh, N p je počet poškozených sazenic, maimálně však,3 násobek minimálního počtu a N je skutečný počet jedinců, maimálně do výše,3 násobku minimálního počtu. Pro správné stanovení a případnou opravu koeficientu K je nutno umět tento koeficient vjádřit jako funkci ostatních proměnných. Vpočtěte ze vzorce K. 5. [8 bodů] Vřešte diferenciální rovnici + + =. 6. [8 bodů] Vpočtěte dvojný integrál dd. nožina i funkce, která ji ohraničuje, jsou na obrázku. Případné bod důležité pro výpočet integrálu si dopočítejte sami. =. [4 bodů] Uvažujme diferenciální operátor prvního řádu L[] = + a(). a) Dokažte, že zadaný operátor je lineární. b) Popište, jak spolu souvisí řešení nehomogenní a asociované homogenní lineární diferenciální rovnice. Jak tuto souvislost vužíváme při hledání obecného řešení LDR? c) Ukažte, jak vlastnost popsaná v předchozím bodě vplývá z linearit. 3. [6 bodů] Napište, jak poznáme zda funkce f(, ) dvou proměnných má ve svém stacionárním bodě ( 0, 0 ) lokální etrém a jaký. 4. [4 bod] Napište definici a) parciální derivace podle, b) parciální derivace podle a c) hraničního bodu množin R. 7. [4 bod] Vpočtěte obě parciální derivace prvního řádu funkce z = ln( + + ). 8. [6 bodů] Je dán autonomní sstém a jeho stacionární bod S = = + = + [ 3 4, ]. a) Určete vlastní hodnot Jakobiho matice v tomto bodě a tp stacionárního bodu S. b) Najděte všechn stacionární bod sstému (Jakobiho matici v těchto bodech již nezkoumejte).

4 . [povinný] ( Chézho_rovnice) Chézho rovnice je vztahem pro výpočet rchlosti vod v otevřeném kortě v = C Ri, kde v označuje rchlost, R hdraulický poloměr, i sklon čár energie a C je Chézho rchlostní součinitel. Vjádřete R jako funkci proměnných v, C a i.. [ bodů] a) Napište definici parciálních derivací funkce dvou proměnných f(, z) podle a podle. b) Napište vzorec pro tečnou rovinu ke grafu funkce dvou proměnných z = f(, ) v bodě ( 0, 0 ). c) Napište vzorec pro lineární aproimaci funkce dvou proměnných z = f(, ) v okolí bodu ( 0, 0 ). d) Zformulujte Schwarzovu větu o smíšených parciálních derivacích druhého řádu. 3. [4 bod] Napište, jak spolu souvisí lokální etrém funkce dvou proměnných a parciální derivace (Fermatova věta). 4. [8 bodů] Napište obecný tvar lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficient a rozepište všechn případ, jak volíme dvě lineárně nezávislá řešení a kd jednotlivé případ nastávají. 5. [8 bodů] Vřešte diferenciální rovnici + = e. 6. [8 bodů] Vpočtěte dvojný integrál dd. nožina je čtvrtina jednotkového kruhu v prvním kvadrantu (na obrázku). 7. [4 bod] Vpočtěte obě parciální derivace prvního řádu funkce z = [6 bodů] Je dán autonomní sstém = ( ) = + 8 a jeho stacionární bod S = [, ]. a) Určete vlastní hodnot Jakobiho matice v tomto bodě a tp stacionárního bodu S. b) Najděte všechn stacionární bod sstému (Jakobiho matici v těchto bodech již nezkoumejte).

5 . [povinný] Objem válce o výšce 30cm je l. Při zachování poloměru je nutno objem válce zvětšit o 5%. Jaká musí být výška nového válce, ab měl požadovaný objem? Vzorce pro objem a povrch válce o poloměru podstav r a výšce h jsou V = πr h a S = πr(r + h). 6. [6 bodů] Vpočtěte dvojný integrál sin dd. nožina je zadána na obrázku. π. [ bodů] a) Napište definici parciálních derivací funkce dvou proměnných f(, z) podle a podle. b) Napište vzorec pro hesián a velmi stručně popište, při studiu jakých objektů jsme hesián používali a k čemu. c) Napište vzorec pro Jacobiho matici a velmi stručně popište, při studiu jakých objektů jsme Jacobiho matici používali a k čemu. 3. [4 bod] Buď A neprázdná zdola ohraničení množina reálných čísel. Definujte pojm dolní závora množin A a infimum množin A. 4. [8 bodů] Dvojný integrál počítáme převodem na integrál dvojnásobný. Za určitých podmínek je možné jej vpočítat jednodušeji, jako součin dvou integrálů funkce jedné proměnné. Zformulujte tto podmínk a zformulujte příslušnou větu o převodu dvojného integrálu na součin dvou integrálů funkce jedné proměnné. (Jedná se o jeden z důsledků Fubiniov vět. Napište jenom tvrzení vět, odvození uváděné na přednášce nepište.) 5. [8 bodů] Vřešte diferenciální rovnici + e = [6 bodů] Najděte jeden libovolný stacionární bod funkce z = + a rozhodněte, zda v něm nastává lokální etréma jaký. (Stacionární bod jsou celkem tři. Stačí najít a všetřovat jeden libovolný z nich.) 8. [6 bodů] Je dán autonomní sstém = + 8 = + a jeho stacionární bod S = [, ]. a) Určete tp stacionárního bodu S. Načrtněte tvar trajektorií tpický pro okolí stacionárního bodu tohoto tpu. b) Najděte i všechn další stacionární bod sstému. Jejich tp nezkoumejte.

6 . [povinný] Hmotnost tatranek se po zavedení nové sazb DPH zmenšila ze 40 gramů na 33 gramů. O kolik to je procent? (Numerick dopočítávat nemusíte.). [5 bodů] a) Napište rovnici pro tečnou rovinu ke grafu funkce z = f(, ) v bodě ( 0, 0 ). b) Napište vzorec pro jeden krok velikosti h Eulerovou metodou pro počáteční úlohu = f(, ), ( 0 ) = [6 bodů] Buď L[] = + a() lineární diferenciální operátor prvního řádu. Zapište pomocí tohoto operátoru následující výrok a) je řešením rovnice + a() = sin(). b) je řešením rovnice + a() = 0. Jak musí vpadat pravá strana diferenciální rovnice, ab jedním z řešení bla c) funkce + d) funkce + 4. [ bodů] Vpište tp stacionárních bodů autonomních sstémů a ke každému tpu připojte obrázek zachcující tpický tvar trajektorií a jak vpadají vlastní čísla v tomto bodě. Pokud pro daný tp stacionárního bodu eistuje stabilní a nestabilní varianta, uvažujte každou z těchto variant samostatně. 5. [0 bodů] Vřešte diferenciální rovnici + + = 4e. Návod: partikulární řešení hledejte ve tvaru p = (a+b)e 6. [4 bod] Vpočtěte dvojný integrál ( + )dd. nožina je zadána na obrázku. 7. [8 bodů] Najděte všechn tři stacionární bod funkce z = + a rozhodněte, zda v nich nastávají lokální etrém a jaké. 8. [5 bodů] Je dán autonomní sstém = = a jeho stacionární bod S = [, ]. Určete tp stacionárního bodu S.

7 . [povinný] aimální napětí τ ve smku je při dimenzování nosníku dáno vzorcem τ = F a, πd 4 kde F a je síla a d jeden z rozměrů. Pro zadané F a a τ je nutno určit d. Vjádřete z rovnice d jako funkci proměnných F a a τ.. [ bodů] Buď L[] = + a() lineární diferenciální operátor prvního řádu. a) Dokažte, že je opravdu lineární. Tj buď dokažte, že zachovává linární kombinaci funkcí, nebo že zachovává součet funkcí a násobek konstantou. 5. [6 bodů] Napište a) definici parciální derivace funkce z = f(, ) podle, b) vzorec pro tečnou rovinu ke grafu funkce z = f(, ) v bodě ( 0, 0 ). 6. [5 bodů] Vpočtěte dvojný integrál ( + )dd. nožina je zadána na obrázku. b) Ukažte, jak z vlastností v předchozím bodě vplývá, že násobek řešení homogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu ja také řešením této rovnice. c) Ukažte, jak z vlastností v prvním bodě vplývá, že součet řešení dané nehomogenní LDR prvního řádu a asociované homogenní rovnice je řešením uvažované nehomogenní rovnice. 3. [5 bodů] V některých specializovaných případech je možno zapsat dvojný integrál jako součin dvou jednoduchých integrálů. Charakterizujte tto případ. Přesněji: napište, jak musí vpadat integrační oblast, jak musí vpadat integrovaná funkce a jak vpadá výsledný vzorec. 4. [0 bodů] Vřešte diferenciální rovnici + = e. 7. [7 bodů] Pro funkce f(, ) = e a g = + vpočtěte následující tři parciální derivace: f, f, g 8. [5 bodů] Je dán autonomní sstém = = + a jeho stacionární bod S = [, ]. Určete tp stacionárního bodu S.

8 . [povinný] Při zkoumání proudění v otevřeném kortě se používá Froudeho číslo F, dané vzorcem F = v gh, kde v, g a h jsou příslušné fzikální veličin nebo konstant. Vjádřete z této rovnice veličinu h.. [6 bodů] Buď L[] = + a() lineární diferenciální operátor prvního řádu. Dokažte, že je opravdu lineární. Tj buď dokažte, že zachovává linární kombinaci funkcí, nebo že zachovává součet funkcí a násobek konstantou. 3. [6 bodů] Napište, jak poznáme zda funkce f(, ) dvou proměnných má ve svém stacionárním bodě ( 0, 0 ) lokální etrém a jaký. 4. [ bodů] Napište a) Definici parciální derivace funkce z = f(, ) podle. b) Vzorec pro tečnou rovinu ke grafu funkce z = f(, ) v bodě ( 0, 0 ). c) Obecný tvar diferenciální rovnice se separovanými proměnnými. d) Kritérium, které umožňuje určit, zda rovnice = ϕ(, ) je či není rovnicí se separovanými proměnnými. 5. [0 bodů] Vřešte diferenciální rovnici + =. Návod: Při výpočtu vužijte jeden z integrálů na dolní straně této stránk. 6. [5 bodů] Vpočtěte dvojný integrál dd. nožina je zadána na obrázku. 7. [6 bodů] Pro funkci f(, ) = ln( ) vpočtěte obě parciální derivace prvního řádu. 8. [5 bodů] Je dán autonomní sstém = = 3 a jeho stacionární bod S = [, ]. Určete tp stacionárního bodu S.

9 . [povinný] (Vhláška inisterstva zemědělství č. 55/999 Sb., o způsobu výpočtu výše újm nebo škod způsobené na lesích 9) Škoda ze snížení přírůstu lesního porostu v důsledku okusu zvěří nebo hospodářskými zvířat se vpočte podle vzorce S = ZK N p N kde S je roční škoda ze snížení přírůstu lesního porostu v důsledku okusu zvěří nebo hospodářskými zvířat, Z je hodnota ročního přírůstu podle skupin dřevin uvedená v příloze vhlášk, K je koeficient vjadřující míru poškození podle stupňů poškození, jehož hodnota se určí podle příloh, N p je počet poškozených sazenic, maimálně však,3 násobek minimálního počtu a N je skutečný počet jedinců, maimálně do výše,3 násobku minimálního počtu. Pro správné stanovení a případnou opravu koeficientu K je nutno umět tento koeficient vjádřit jako funkci ostatních proměnných. Vpočtěte ze vzorce K.. [4 bodů] Uvažujme diferenciální operátor prvního řádu L[] = + a(). a) Dokažte, že zadaný operátor je lineární. b) Popište, jak spolu souvisí řešení nehomogenní a asociované homogenní lineární diferenciální rovnice. Jak tuto souvislost vužíváme při hledání obecného řešení LDR? c) Ukažte, jak vlastnost popsaná v předchozím bodě vplývá z linearit. 3. [6 bodů] Napište, jak poznáme zda funkce f(, ) dvou proměnných má ve svém stacionárním bodě ( 0, 0 ) lokální etrém a jaký. 4. [4 bod] Napište definici a) parciální derivace podle, b) parciální derivace podle a c) hraničního bodu množin R. 5. [8 bodů] Vřešte diferenciální rovnici + + =. 6. [8 bodů] Vpočtěte dvojný integrál dd. nožina i funkce, která ji ohraničuje, jsou na obrázku. Případné bod důležité pro výpočet integrálu si dopočítejte sami. = 3 7. [4 bod] Vpočtěte obě parciální derivace prvního řádu funkce z = ln( + + ). 8. [6 bodů] Je dán autonomní sstém = = a jeho stacionární bod S = [, ]. a) Určete vlastní hodnot Jakobiho matice v tomto bodě a tp stacionárního bodu S. b) Najděte všechn stacionární bod sstému (Jakobiho matici v těchto bodech již nezkoumejte).

10 . [povinný] Objem válce je nutno zvětšit o 0% při zachování výšk. O kolik procent (nebo kolikrát) je nutno zvětšit poloměr podstav, abchom dosáhli potřebného objemu. Vzorce pro objem a povrch válce o poloměru podstav r a výšce h jsou. [6 bodů] V = πr h a S = πr(r + h). a) Napište definici parciálních derivací funkce dvou proměnných f(, ) podle a podle. b) Napište rovnici tečné rovin ke grafu funkce z = f(, ) v bodě ( 0, 0 ). 5. [8 bodů] Vřešte diferenciální rovnici + e = [6 bodů] Vpočtěte dvojný integrál nožina je zadána na obrázku. = 3 dd. 3. [0 bodů] Diferenciální rovnice. a) Definujte pojem wronskián lineární diferenciální rovnice druhého řádu a popište, k čemu se používá. b) Trénováním znalostních testů je možné test napsat nejvýše na ma = 00 bodů. Karel dnes napsal test na (0) = 0 bodů a začne test trénovat. V den t napíše test na (t) bodů. Rchlost učení (tj. rchlost s jakou roste jeho bodový zisk z testů (t)) je přímo úměrná hodnotě, která Karlovi chbí do maimálního možného bodového zisku a nepřímo úměrná času t (zapomínání apod.). Sestavte diferenciální rovnici modelující Karlovo učení, tj. sestavte diferenciální rovnici pro (t). 4. [8 bodů] Dvojný integrál počítáme převodem na integrál dvojnásobný. Za určitých podmínek je možné jej vpočítat jednodušeji, jako součin dvou integrálů funkce jedné proměnné. Zformulujte tto podmínk a zformulujte příslušnou větu o převodu dvojného integrálu na součin dvou integrálů funkce jedné proměnné. 7. [6 bodů] Najděte všechn stracionární bod funkce z = a rozhodněte, zda v nich jsou nebo nejsou lokální etrém. 8. [6 bodů] Je dán autonomní sstém = + 8 = a jeho stacionární bod S = [, ]. a) Určete tp stacionárního bodu S. Načrtněte tvar trajektorií tpický pro okolí stacionárního bodu tohoto tpu. b) Najděte i všechn další stacionární bod sstému. Jejich tp nezkoumejte.

11 . [povinný] Je jedno jestli cenu výrobku zvýšíme nejprve o 0 procent původní cen a poté o 5 procent nové cen, nebo jestli budeme postupovat naopak, nejprve zdražíme o 5 procent původní cen a poté o 0 procent cen nové? Jaká bude v jednotlivých případech výsledná cena? (O kolik procent nebo kolikrát bude všší než původní cena?) Návod: O 5 procent všší cena. NENÍ správná odpověď. Je správná pouze přibližně. Zajímá mne přesný výsledek a jak se k němu dojde. 5. [5 bodů] Určete parciální derivace podle následujících funkcí (derivace už nemusíte upravovat) a) z = + sin( + ) b) z = e c) z = 4. [ bodů] a) Napište definici parciálních derivací funkce dvou proměnných f(, z) podle a podle. b) Napište vzorec pro tečnou rovinu ke grafu funkce dvou proměnných z = f(, ) v bodě ( 0, 0 ). c) Napište vzorec pro lineární aproimaci funkce dvou proměnných z = f(, ) v okolí bodu ( 0, 0 ). d) Napište podmínku, která zaručí, že rovnicí f(, ) = 0 je v okolí bodu [ 0, 0 ] vhovujícího této rovnici definována právě jedna spojitá funkce = g(). Napište, jak bude vpadat derivace g ( 0 ). 6. [0 bodů] Najděte obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu + = 7. [5 bodů] Dvojný integrál funkce f(, ) přes množinu zapište jako dvojnásobný pro obě možná pořadí integrace. 3. [8 bodů] Napište obecný tvar homogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficient a rozepište všechn případ, jak volíme dvě lineárně nezávislá řešení a kd jednotlivé případ nastávají. 4. [5 bodů] Jaké podmínk musí splňovat funkce f ab počáteční úloha měla = f(, ), ( 0 ) = 0 a) řešení, (Peanova věta) b) právě jedno řešení. = (Průsečík na osách si dopočítejte sami.) 8. [5 bodů] Je dán autonomní sstém = + = a jeho stacionární bod S = [, ]. Určete tp stacionárního bodu S. Načrtněte tvar trajektorií tpický pro okolí stacionárního bodu tohoto tpu.

12 . [povinný] Ohbový moment prostého nosníku je dán vzorcem = 8 ql. Vjádřete z tohoto vzorce veličinu L (délka nosníku).. [0 bodů] Pro lineární diferenciální operátor prvního řádu L[] = + a() a) dokažte, že je lineární, b) jsou-li u a v diferencovatelné funkce, odvoďte vztah pro L[u v]. 3. [0 bodů] a) Napište definici parciální derivace funkce f(, ) podle a podle. b) Napište rovnici tečné rovin ke grafu funkce z = f(, ) v bodě ( 0, 0 ). c) Napište nutnou a postačující podmínku pro to, ab blo možno diferenciální rovnici = ϕ(, ) řešit pomocí separace proměnných, tj. ab blo možno funkci ϕ(, ) zapsat ve tvaru ϕ(, ) = f()g(). 4. [8 bodů] Ropná skvrna ve tvaru kruhu se na hladině šíří tak, že poloměr r roste rchlostí, která je nepřímo úměrná obsahu S. Sestavte diferenciální popisující závislost poloměru r na čase t a najděte její obecné řešení. 5. [5 bodů] Je[ dána funkce ] z = a její stacionární bod 3,. á funkce v tomto bodě lokální 3 etrém? Jaký? 6. [6 bodů] Najděte obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu + = e 7. [6 bodů] Najděte kritickou cestu v následujícím grafu. A 3 B 8 4 H G D 8. [5 bodů] Je dán autonomní sstém 6 3 = + + = 3 + a jeho stacionární bod S = [, ]. Určete tp stacionárního bodu S. Načrtněte tvar trajektorií tpický pro okolí stacionárního bodu tohoto tpu. I E 3 F

13 . [povinný] Kvadratický střední průměr (QD, quadratic mean diameter) je veličina používaná v lesnictví k charakterizaci skupin stromů. Je dán vzorcem B Q = kn kde Q je kvadratický střední průměr, B je bazální plocha, n počet stromů a k konstanta. Vjádřete z tohoto vzorce veličinu n.. [ bodů] a) Napište definici parciální derivace funkce f(, ) podle a podle. b) Napište rovnici tečné rovin ke grafu funkce z = f(, ) v bodě ( 0, 0 ). c) Napište definici gradientu funkce z = f(, ) a jeho geometrický význam. (Jak souvisí s vrstevnicemi?). d) Jaké je tvrzení Schwarzov vět (o derivacích druhého řádu)? Předpoklad vět vpisovat nemusíte. 3. [8 bodů] a) Napište obecný tvar diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými. b) Napište obecně, jak hledáme konstantní řešení této rovnice. c) Napište obecně, jak hledáme nekonstatní řešení této rovnice. 4. [5 bodů] Zformulujte Fermatovu větu (udává souvislost mezi prvními derivacemi a lokálními etrém) pro funkci dvou proměnných. 5. [5 bodů] Pro funkci z = ln( + + ) vpočtěte parciální derivace z a z 6. [6 bodů] Vřešte diferenciální rovnici + 4 = 6 7. [9 bodů] Vpočtěte dvojný integrál dd. nožina i funkce, která ji ohraničuje, jsou na obrázku. Případné bod důležité pro výpočet integrálu si dopočítejte sami. 8. [5 bodů] Je dán autonomní sstém = + + = 3 + = 3 a jeho stacionární bod S = [, ]. Určete tp stacionárního bodu S. Načrtněte tvar trajektorií tpický pro okolí stacionárního bodu tohoto tpu.

14 . [povinný] (Jerold T. Hanh [984], Tree volume and biomass equations for the lake states.) Odhad pro objem stromu v okolí jezera ichigan je dán vztahem V = b 0 + b D H, kde V je brutto objem, D průměr v úrovni prsou, H užitková délka a b 0, b empirické koeficient. Vjádřete D jako funkci ostatních parametrů. 5. [6 bodů] Pro funkci z = a bod [, ] zjistěte, zda se jedná o stacionární bod této funkce a určete, zda v tomto bodě funkce má lokální etrém a jaký. 6. [5 bodů] Vřešte diferenciální rovnici + 6 = 5. [ bodů] a) Napište definici parciální derivace funkce f(, ) podle. b) Napište rovnici tečné rovin ke grafu funkce z = f(, ) v bodě ( 0, 0 ). c) Napište definici gradientu funkce z = f(, ) a jeho geometrický význam. (Jak souvisí s vrstevnicemi?). d) Napište podmínku, která zaručí, že rovnicí f(, ) = 0 je v okolí bodu [ 0, 0 ] vhovujícího této rovnici implicitně definována právě jedna spojitá funkce = g(). 7. [9 bodů] Vpočtěte dvojný integrál ( + )dd. nožina je čtvrtina jednotkového kruhu v prvním kvadrantu (na obrázku). 3. [8 bodů] Uvažujme diferenciální operátor prvního řádu L[] = + a(). a) Napište, co rozumíme tím kdž tvrdíme, že zadaný operátor je lineární. (Linearitu dokazovat nemusíte.) b) Popište, jak spolu souvisí řešení nehomogenní a asociované homogenní lineární diferenciální rovnice. c) Ukažte, jak vlastnost popsaná v předchozím bodě vplývá z linearit. 8. [5 bodů] Je dán autonomní sstém = + + = 4. [5 bodů] Zformulujte Fermatovu větu (udává souvislost mezi prvními derivacemi a lokálními etrém) pro funkci dvou proměnných. a jeho stacionární bod S = [0, ]. Určete tp stacionárního bodu S. Načrtněte tvar trajektorií tpický pro okolí stacionárního bodu tohoto tpu.

15 . [povinný] Ohbový moment prostého nosníku je dán vzorcem = 8 ql. Veličina L (délka nosníku)se zmenší o 0%. O kolik procent se zmenší.. [0 bodů] Pro lineární diferenciální operátor prvního řádu L[] = + a() a) dokažte, že je lineární, b) popište, jak spolu souvisí řešení rovnic 3. [0 bodů] L[] = 0 a L[u] = b(). a) Napište definici parciální derivace funkce f(, ) podle a podle. b) Napište definici gradientu a divergence. U funkcí f(, ) = ++ 3, F (, ) = ( +, + 3 ) vpočtěte gradient a divergenci ve všech případech, kd je tato operace definována. c) Napište nutnou a postačující podmínku pro to, ab blo možno diferenciální rovnici = ϕ(, ) řešit pomocí separace proměnných, tj. ab blo možno funkci ϕ(, ) zapsat ve tvaru ϕ(, ) = f()g(). 4. [5 bodů] Je[ dána funkce ] z = a její stacionární bod 3,. á funkce v tomto bodě lokální 3 etrém? Jaký? 5. [8 bodů] Dvojný integrál počítáme převodem na integrál dvojnásobný. Za určitých podmínek je možné jej vpočítat jednodušeji, jako součin dvou integrálů funkce jedné proměnné. Zformulujte tto podmínk a zformulujte příslušnou větu o převodu dvojného integrálu na součin dvou integrálů funkce jedné proměnné. 6. [6 bodů] Najděte obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice + = 7. [6 bodů] Na druhé straně papíru je nareslen graf a začátek řešení, kd pomocí Dijkstrova algoritmu hledáme v grafu délku nejkratší cest z A do Z. Vsvětlete stručně a heslovitě, ale dostatečně podrobně, jak budou vpadat další dva krok tohoto algoritmu (jak budou vnikat další dva řádk tabulk) Napište délku nejkratší cest. (Nemusíte pracovat Dijkstrovým algoritmem až do konce. V případě jednoduchého grafu v zadání je možno najít výsledek prostým okem.) 8. [5 bodů] Je dán autonomní sstém = + 3 = ( + ) a jeho stacionární bod S = [, ]. a) Určete tp stacionárního bodu S. b) Načrtněte tvar trajektorií tpický pro okolí stacionárního bodu tohoto tpu. c) Najděte další stacionární bod, jejich tp už neurčujte.

16 ( POERINOVEX% GIWX]^FSHY%HSFSHY>TST%XIWXVY R EPIZ WXBR HEP% OVSO](NOWXVSZE EPKSVXQYNEOHSWXERIQIHEP% HZE HO].EOHPSYL NIRINOVEX% GIWXE ^FSHY%HSFSHY># ^TVEGSZER

17 . [povinný] Průhb police lze vpočítat ze vzorce = k ql4 EJ, kde jenotlivé proměnné označují geoemtrické nebo fzikální charakteristik. Vpočtěte odsud l jako funkci zblých proměnných a parametrů.. [0 bodů] Stacionární bod. Pojem stacionární bod jsme používali ve dvou různých kontetech. a) Definujte pojem stacionární bod funkce f(, ) a napište, jak souvisí s lokálními etrém (zformulujte Fermatovu větu). b) Definujte pojem stacionární bod autonomního sstému = f(, ) = g(, ) a napište, jak souvisí s trajektoriemi autonomního sstému. 3. [0 bodů] Parciální derivace. a) Napište definici parciální derivace funkce f(, ) podle a podle. b) Napište rovnici tečné rovin ke grafu funkce z = f(, ) v bodě ( 0, 0 ). c) Napište rovnici tečné rovin ke grafu funkce z = + v bodě (, ). d) Napište nutnou a postačující podmínku pro to, ab blo možno diferenciální rovnici = ϕ(, ) řešit pomocí separace proměnných, tj. ab blo možno funkci ϕ(, ) zapsat ve tvaru ϕ(, ) = f()g(). 4. [5 bodů] Vřešte rovnici 4 = + 5. [8 bodů] Popište stručně alespoň jednu z numerických metod sloužících pro řešení počáteční úloh s krokem h. = f(, ), ( 0 ) = 0 6. [6 bodů] Dvojný integrál dd zapište jako dvojnásobný pro obě možná pořadí integrace. Vberte si jednu z možností a dopočítejte integrál do konce. = 3 (Průsečík na osách si dopočítejte sami.) 7. [6 bodů] Na druhé straně papíru je nareslen graf pro hledání kritické cest. Nalezněte tuto cestu. 8. [5 bodů] Je dán autonomní sstém = 5 = 3 + a jeho stacionární bod S = [, ]. a) Určete tp stacionárního bodu S. b) Načrtněte tvar trajektorií tpický pro okolí stacionárního bodu tohoto tpu. c) Najděte další stacionární bod, jejich tp už neurčujte.

18

19 . [povinný] aimální napětí τ ve smku je při dimenzování nosníku dáno vzorcem τ = 4F a πd, kde F a je síla a d jeden z rozměrů. Pro zadané F a a τ je nutno určit d. Vjádřete z rovnice d jako funkci proměnných F a a τ.. [ bodů] Buď L[] = + a() lineární diferenciální operátor prvního řádu. a) Dokažte, že je opravdu lineární. Tj buď dokažte, že zachovává linární kombinaci funkcí, nebo že zachovává součet funkcí a násobek konstantou. 5. [6 bodů] Napište a) definici parciální derivace funkce z = f(, ) podle, b) vzorec pro tečnou rovinu ke grafu funkce z = f(, ) v bodě ( 0, 0 ). 6. [5 bodů] Vpočtěte dvojný integrál ( + )dd. nožina je zadána na obrázku. b) Ukažte, jak z vlastností v předchozím bodě vplývá, že násobek řešení homogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu ja také řešením této rovnice. c) Ukažte, jak z vlastností v prvním bodě vplývá, že součet řešení dané nehomogenní LDR prvního řádu a asociované homogenní rovnice je řešením uvažované nehomogenní rovnice. 3. [5 bodů] V některých specializovaných případech je možno zapsat dvojný integrál jako součin dvou jednoduchých integrálů. Charakterizujte tto případ. Přesněji: napište, jak musí vpadat integrační oblast, jak musí vpadat integrovaná funkce a jak vpadá výsledný vzorec. 4. [0 bodů] Vřešte diferenciální rovnici =. 7. [7 bodů] Pro funkce f(, ) = e a g(, ) = + vpočtěte následující tři parciální derivace: f, f, g 8. [5 bodů] Je dán autonomní sstém = = a jeho stacionární bod S = [, ]. Určete tp stacionárního bodu S a nakreslete jak tpick vpadají trajektotie v okolí bodu takového tpu.

20 . [povinný] Hmotnost tatranek se po zavedení nové sazb DPH zmenšila ze 40 gramů na 33 gramů. O kolik to je procent? (Numerick dopočítávat nemusíte.). [7 bodů] a) Napište rovnici pro tečnou rovinu ke grafu funkce z = f(, ) v bodě ( 0, 0 ). 6. [5 bodů] Vpočtěte dvojný integrál ( + ) dd. nožina je zadána na obrázku. b) Napište (použitím parciálních derivací prvního a druhého řádu) postačující podmínku pro to, ab funkce f(, ) měla v bodě ( 0, 0 ) lokální minimum. 3. [7 bodů] Buď L[] = + a() lineární diferenciální operátor prvního řádu a, diferencovatelné funkce. Zapište pomocí tohoto operátoru následující výrok a) je řešením rovnice + a() = sin(). b) je řešením rovnice + a() = 0. Jak musí vpadat pravá strana diferenciální rovnice uvažované v krocích a) a b), ab jedním z řešení bla c) funkce + 3 d) funkce Obě odpovědi stručně zdůvodněte. 4. [9 bodů] Vpište tp stacionárních bodů autonomních sstémů a ke každému tpu připojte informaci jak vpadají vlastní čísla v tomto bodě a obrázek zachcující tpický tvar trajektorií v okolí takového bodu. Pokud pro daný tp stacionárního bodu eistuje stabilní a nestabilní varianta, uvažujte každou z těchto variant samostatně. Uvažujte jenom případ, kd vlastní čísla mají nenulovou reálnou část. 5. [9 bodů] Vřešte diferenciální rovnici + = [8 bodů] Na zadní straně je čtřikrát namalovaný stejný graf. Znázorněte řešení každé z následujících úloh. a) Nakreslete minimální kostru. b) Nakreslete jinou minimální kostru než v bodě a) c) Nakreslete minimální kostru s jiným součtem hranových ohodnocení, než v bodě a) d) Nakreslete minimální kostru s jiným počtem hran, než v bodě a) 8. [5 bodů] Je dán autonomní sstém = = a jeho stacionární bod S = [, ]. Určete tp stacionárního bodu S. Vtvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult ENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného základu (reg. č. CZ..07/..00/8.00) za přispění finančích prostředků EU a státního rozpočtu Ceské republik.

21 a) b) c) d)

22 . [povinný] Kvadratický střední průměr (QD, quadratic mean diameter) je veličina používaná v lesnictví k charakterizaci skupin stromů. Je dán vzorcem B Q = kn kde Q je kvadratický střední průměr, B je bazální plocha, n počet stromů a k konstanta. Vjádřete z tohoto vzorce veličinu B.. [ bodů] Buď L[] = + a() lineární diferenciální operátor prvního řádu a u, v,, diferencovatelné funkce. a) Odvoďte vztah používaný při variaci konstant, tj. ukažte že platí L[uv] = vl[u] + uv. Zapište pomocí operátoru L výrok b) je řešením rovnice + a() = sin(), c) je řešením rovnice + a() = cos(). Sestavte na základě těchto informací a s použitím funkcí a(), sin(), cos(), (), () diferenciální rovnici, jejímž řešením je 4. [5 bodů] Napište a) definici parciální derivace funkce f(, ) podle, b) rovnici pro lineární aproimaci funkce z = f(, ) v okolí bodu ( 0, 0 ). 5. [6 bodů] Pro funkci z = a bod [, ] ukažte, že se jedná o stacionární bod funkce a rozhodněte, zda v tomto bodě má funkce lokální etrém a jaký. 6. [6 bodů] Najděte obecné řešení diferenciální + = [8 bodů] Vpočtěte dvojný integrál 4dd. nožina i funkce, která ji ohraničuje, jsou na obrázku. Případné bod důležité pro výpočet integrálu si dopočítejte sami. = 3 + d) funkce e) funkce f) funkce. Odpovědi stručně zdůvodněte nebo podpořte stručným výpočtem. 3. [8 bodů] a) Napište obecný tvar diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými. b) Napište obecně, jak hledáme konstantní řešení této rovnice. c) Napište obecně, jak hledáme nekonstatní řešení této rovnice. 8. [5 bodů] Je dán autonomní sstém = 3 = a jeho stacionární bod S = [, ]. Dokažte, že se skutečně jedná o stacionární bod a určete tp tohoto stacionárního bodu S. Načrtněte tvar trajektorií tpický pro okolí stacionárního bodu tohoto tpu.