Prùbìh funkce. d) f(x) = x sin x [rostoucí v R] d) f(x) =ln 1+x [nemá lokální extrém] x = 1 inexní body

Transkript

1 Urèete, kde je unkce rostoucí a kde klesající: Prùbìh unkce a) () =ln 0; e klesající ; e ; + rostoucí b) () =+ [( ; 0) [ (0; ) klesající ; ( ; ) [ (; +) rostoucí] c) () =e jj [ ( ; 0) rostoucí ; (0; +) klesající] d) () = sin [rostoucí v R] Urèete lokální etrémy unkce: a) () = e [= 0 lokální minimum; = lokální maimum] = arctg + (k +); kzlokální minimum b) () =e cos = arctg + k ; k Zlokální maimum c) () = [= lokální minimum; = 0 lokální maimum] d) () =ln + [nemá lokální etrém] Urèete, ve kterých intervalech je unkce konvení a ve kterých jekonkávní a najdìte inení body: ; [ a) () = ++ 6 ; + konvení ; konkávní 75 = inení body b) () = ( ; ) konvení + ( ; +) konkávní ( j j ; 0) [ (0; ) [ (; +) konvení c) () = (; ) konkávní 5 =;= inení body 0; konvení d) () =ln( + ) ( ; 0) [ ; + konkávní5 =0;= inení body Urèete inení body unkce: a) () = arctg [nemá inení body] b) () =sin(ln ) =e =+k ;kz a) () = 8 +; h ;i [() = nejvìt¹í ; () = nejmen¹í] b) () =tg ; D E ; 6 " = nejmen¹í ; # = 6 nejvìt¹í 6 c) () = arccos ; h;+) [() = 0 nejmen¹í ; nejvìt¹í hodnoty nenabývá] d) () =ln ; (0; i (e )=e nejvìt¹í ; () = 0 nejmen¹í Urèete nejvìt¹í a nejmen¹í hodnotu unkce v uvedeném oboru: e) () =+e ; ( ; +) [(0) = nejmen¹í ; nejvìt¹í hodnoty nenabývá] Tyeset by AMS-T E X

2 Urèete asymtoty grau unkce : a) () = [svislé = ;=; vodorovná y =0] b) () = [svislé = ;= ; ¹ikmé y = v + y = v ] c) () = +ln [svislá =0] d) () =ln e+ svislá = e ; ¹ikmé y = +e v e) () =+ arctg h¹ikmé y =+ v +;y= i v ) ()=e [vodorovná y =0 v +] Urèete rùbìh unkce () =. D =( ; ) [ ( ; ) [ (; +) ; 0 () = + ( ) ; 00 () = ( +) ( ) & & & _ in.bod _ asym. y =0 = = y =0 Urèete rùbìh unkce () =ln D =(0;+); 0 ()=ln +ln; 00 () = (ln +) 0 e e + 0 e e % lok.ma. & lok.min. % _ in.bod asym. nemá Urèete rùbìh unkce () = arctg + D =( ; ) [ (; +) ; H ; ; 0 () = + ; 00 () = ( + ) 0 + = 0 = = = = 0 = = = & & _ in.bod asym. y = = y = =

3 Urèete rùbìh unkce () = e = D =( ; 0) [ (0; +) ; 0 () =e = ( ) ; 00 () =e + = 0 = e = & & lok.min. % asym. nemá =0 nemá Urèete rùbìh unkce () = arccos D = h ; i ; 0 () = arccos ; 00 () = = + 0 % 00 _ Urèete rùbìh unkce () =+e D =( ; +) ; 0 () = e ; 00 () =e & lok.min. % 00 + asym. nemá y = Urèete rùbìh unkce () = ln D =(0;) [ (; +) ; 0 () = ln ln ; 00 () = ln ln 0 e e e e = & & lok.min. % _ in.bod _ asym. = nemá Urèete rùbìh unkce () = arccos + D =( ; +) ; H (0;); 0 ()= jj( + ) ; 00 () = ( + ) ;>0; 00 () = ( + ) ;<0

4 & lok.min. % 00 asym. y = y = Pro které èíslo je souèet s jeho druhou mocninou minimální? [ =] Urèete rozmìry kvádru s ètvercovou základnou, který má øi daném objemu V nejmen¹í ovrch. hkrychle a = V;S=6 V i Na hyerbole dané rovnicí y = naleznìte bod, který je nejblí¾e bodu A = [; 0]. [B = [; ] ;B = [; ]] Urèete intervaly monotonie daných unkcí: a) () = [( ; ) rostoucí ; (; +) klesající] b) () = 6 [(; +) rostoucí ; ( ; ) klesající] c) () = + [( ;0) [ (; +) rostoucí ; ( ; ) [ (0; ) klesající] d) () = [( ; =) rostoucí ; (=; +) klesající] e) () = [( ;) rostoucí ; ( ; ) [ (; +) klesající] + ) ()= + [(=; ) [ (; +) rostoucí ; ( ; 0) [ (0; =) klesající] g) () = e [(0; ) rostoucí ; ( ; 0) [ (; +) klesající] h) () =ln+ [(; +) rostoucí ; (0; ) klesající] Urèete lokální etrémy unkce: " =+k ; maima a) () = cos sin 7 k Z# +k ; =6+k minima 6 b) () = arcsin [lokální maimum v =0] =+k ; maima c) () =je sin j k Z k ; minima d) () =ln + [lokální minimum v =0] lokální maimum v =e e) () =ln lokální minimum v = ) ()=+e [lokální minimum v = ln ] g) () = ln ( + e ) [ unkce nemá lokální etrémy] h) () = arccos + [lokální minimum v =0] Urèete intervaly, ve kterých je unkce konkávní, ve kterých jekonvení a inení body unkce: (; +) konvení a) () = ( ; ) konkávní = inení bod 5

5 b) () = + +e [konvení v R] (=; +) konvení c) () = +ln (0; =) konkávní 5 == inení bod d) () = ( ;) konvení ( ; ) [ (; +) konkávní ( ; =) [ ( =; +) konvení e) () =e ( =; =) konkávní 5 = = inení body ( ; 0) [ (8; +) konvení ) ()=e (0; 8) konkávní 5 =0a= 8 inení body Urèete inení body unkce: a) () =+ sin [ k = k ; k Z] b) () =e = [ = ] c) () =e ( +) [ = ; = ] d) () = ln =e 8= Urèete nejvìt¹í hodnotu (M ) a nejmen¹í hodnotu (m) unkce na daném intervalu: a) () = ; h0;i [M=() = ;m=(=) = =] b) () = +; ( ;) [M = (0) = ;m nenabývá] c) () = ; ( ;) [nenabývá M ani m] d) () = arctg + ; (; i [m = () = arctg ;M nenabývá] e) () = e = ; (0; +) m = (=)=e =;Mnenabývá ) ()=e ; (0; +) M = () = e ;mnenabývá g) () = arctg ; ( ;=i [m = (0)= 0;M nenabývá] h) () = e ; ( ; +) [m = (0)=0;M nenabývá] Urèete asymtoty grau unkce: a) () =e = [y = + v ; =0] b) () = [y= v ; =] c) () = arccos [y = = v ] d) () = ln [nemá asymtoty] e) () =lnr e [y=0 v +;=0] e ) ()=ln [= ; =] + g) () =e + [y= v ] h) () = ln ( + e ) [y =0 v +;y= v ] Urèete rùbìh unkce () = ln. D =(0;) ; 0 () = ( ) ; 00 () = ( ) 5

6 0 = = ln % _ in.bod asym. =0 = Urèete rùbìh unkce () = arccos. D =( ; i[h;+); 0 ()= jj ; 00 () = jj + = 0 = % % 00 + _ asym. y = = y = = Urèete rùbìh unkce () =ln +. D =( ;);; 0 ()= ; 00 () = ( + ) ( ) & min. % 00 + asym. = = Urèete rùbìh unkce () =lnr e e. D =(0;+); 0 e ()= e ; 00 () = ( e ) & 00 + asym. =0 y=0 Urèete rùbìh unkce () =ln +. D =( ;) ; 0 () = ; 00 () = ( ) 6

7 % _ in.bod asym. = = Urèete rùbìh unkce () =ln +. D =( ;+); 0 ()= + ; 00 () = ( ) ( + ) ln % _ in.bod in.bod _ asym. = Urèete rùbìh unkce () = + arcsin D = h0; i ; 0 () =r. ; 00 () = % 00 _ asym. nemá = Urèete rùbìh unkce () =e. D =( ; +) ; 0 () =( )e ; 00 () =( )e e e e % lok.ma. & _ in.bod asym. y =0 Urèete rùbìh unkce () = ln ( + e ). D =( ; +) ; 0 () = e +e ; 00 () = ( + e ) & 00 + asym. y = y =0 7

8 Urèete rùbìh unkce () = e +. D =( ; ) [ ( ; +) ; 0 () = e ( + ) ; 00 ( + ) () = e ( + ) & & lok.min. % 00 + _ asym. y =0 = Urèete rùbìh unkce () =+ ln. D =(0;+); 0 ()= + ln ; 00 () = ln 0 e = % _ in.bod asym. =0 y = Urèete rùbìh unkce () =ln+. D =(0;+); 0 ()= ; 00 () = = + & lok.min. % in.bod _ asym. =0 Urèete rùbìh unkce () = arctg. D =( ; +) ; 0 () = arctg + + ; 00 () = ( + ) & lok.min. % 00 + asym. y = y = Pro které kladné èíslo je jeho souèet s jeho øevrácenou hodnotou minimální? [ = ; s = ] Pro které kladné èíslo je jeho rozdíl s jeho druhou mocninou maimální? = ; r = Do kru¾nice o olomìru R vei¹te obdélník, který má nejvìt¹í obsah a tento obsah urèete. 8

9 ètverec o stranì a = R ;P=R Který obdélník vesaný do ùlkruhu o olomìru R má nejvìt¹í obsah a jaký? a = R ;b= R ;P=R Do koule o olomìru R vei¹te válec, který má nejvìt¹í objem, a který má nejvìt¹í lá¹». r = Rr ;h=r ;V= R 6 ro lá¹» bez odstav r = R ;h=r ;S=R 5+ ro lá¹» s odstavami r = Rr 5 5 ;h=rr5 ; S = R Do rotaèního ku¾ele s vý¹kou v a olomìrem odstavy R vei¹te válec s nejvìt¹ím objemem. r = R; h= v; V = vr 7 Který kvádr se ètvercovou odstavou má øi daném objemu V nejmen¹í ovrch? Který válec má øi daném objemu V minimální ovrch? i hkrychle a = V;v= V;S=6 V " r r V V # r = ;v= ;S= V 75 9