Teoretická fyzika Základy teoretické mechaniky

Transkript

1 Teoretická fyzik Zákldy teoretické mechniky Michl Lenc podzim 0 Obsh Teoretická fyzik Zákldy teoretické mechniky Funkcionály 4 Eulerovy Lgrngeovy rovnice 5 Snellv zákon z Fermtov principu 5 Eulerovy Lgrngeovy rovnice 6 3 Poznámky k Lgrngeovým rovnicím 8 4 Legendrov trnsformce 9 5 Tvr Lgrngeovy funkce 6 Zobecnné soudnice 4 7 sová závislost potenciální energie 5 8 Strun o teorii pole 6 3 Zákony zchování 8 3 Zákldní zákony zchování 8 3 Popis soustvy ástic ve dvou rzných inerciálních soustvách 0 33 Mechnická podobnost 34 Viriálový teorém 4 Invrince 3 4 Úvodní poznámky 3 4 Rundov Trutmnov identit 4 43 Teorém Emmy Noetherové 5 5 Pohyb v centrálním poli Keplerov úloh 9 5 Newtonovy rovnice 9 5 Reltivní pohyb (pohyb v tiové soustv) 3 53 Keplerovy zákony 33

2 54 Lgrngeovy rovnice 36 6 Pohyb v centrálním poli rozptyl dvou ástic 40 6 Rozptyl n sféricky symetrickém potenciálu 40 6 Rutherfordv úinný prez Popis v lbortorní soustv soustv stedu hmotnosti 44 7 Pohyb v centrálním poli hrmonický oscilátor 47 8 Pohyb v neinerciální soudné soustv 49 8 Trnsformce z inerciální do neinerciální soustvy 49 8 Rovnomrn rotující soudná soustv Pohyby v grvitním poli Zem ovlivnné její rotcí 5 9 Hmiltonov formulce mechniky 53 9 Hmiltonovy rovnice 53 9 Poissonovy závorky Hmiltonov Jcobiho rovnice Mupertuisv princip 56 0 Pohyb tuhého tles 59 0 Tuhé tleso 59 0 Tensor setrvnosti 6 03 Moment hybnosti tuhého tles 6 04 Pohybové rovnice tuhého tles Eulerovy úhly Eulerovy rovnice 65 Mechnik pruných tles 70 Tensor deformce 70 Tensor nptí 7 3 Hookv zákon 74 4 Homogenní deformce 76 5 Rovnice rovnováhy pro izotropní tles 77 6 Tensor deformce ve sférických soudnicích 78

3 Mechnik tekutin 80 Rovnice kontinuity 80 Eulerov rovnice 8 3 Bernoulliho rovnice 84 4 Mlé odboení k termodynmice 86 5 Tok energie hybnosti 87 6 Nvierov Stokesov rovnice 89 3 Vlny 9 3 Grvitní vlny 9 3 Zvukové vlny Vlny v pruném prostedí 96 3

4 Funkcionály Pi odvození Lgrngeových budeme vycházet z principu nejmeního úinku Zákldním pojmem je úinek (kce), co je integrál n uritém sovém intervlu z tzv Lgrngeovy funkce, která je opt funkcí popisujících sovou závislost trjektorií rychlostí (skutených nebo virtuálních) Pro úely mechniky budeme nzývt funkcionálem zobrzení jisté mnoiny funkcí (v mechnice funkcí jedné promnné) do mnoiny reálných ísel Triviálním píkldem je délk kivky, chrkterizovné v rovin x y funkcí y y ( x) body A=, y B = b, y ( b) Pokud je funkce y y ( x) 4 B B b d y x l = dl = dx + d y = + y d x, y = dx A A = mezi = dán, jde pk u jen o výpoet uritého integrálu Zjímvjí je úloh, jk njít kivku spojující zmínné body, která má nejkrtí vzdálenost Fyzikáln velmi zjímvý je Fermtv princip Pedpokládejme, e svtelný pprsek vychází z bodu A smuje do bodu B Fermtv princip íká, e výsledná trjektorie je tková, by potebná dob íení byl minimální Prostedí, ve kterém se pprsek íí, je chrkterizováno indexem lomu, který udává pomr rychlosti svtl ve vkuu k rychlosti v dném prostedí n = c v Podle Fermtov principu hledáme tedy minimum funkcionálu t B d t = d t = l n( x, y) y d x v = c + ta B A b Zákldem Newtonovy mechniky je Hmiltonv princip, který vychází z úinku b S = ( K U )d t, () kde pro jednu ástici hmotnosti m závisí kinetická energie K potenciální energie U n µ zobecnných soudnicích q ( t) µ µ jejich derivcích q = dq vzthy K = K ( q, q ) = m g ( q) q µ q ν µν, U = U ( q, t) () Uíváme Einsteinov sumního prvidl, kdy se sítá pes dný intervl index, pokud se ve výrzu vyskytne stejné oznení v dolním i horním indexu Zjednoduen tké píeme f = f ( q) nebo f f ( q µ ) = místo f f { q µ } = ecké indexy budou oznovt prostorové soudnice, je tedy v trojrozmrném pípd µ =,,3 Ltinské indexy budou oznovt soprostorové soudnice, ve tyrozmrném pípd ( x 0 = c t ) tedy i = 0,,,3

5 Jednoduchým píkldem pro () je ástice v homogenním grvitním poli (volb krtézských soudnic n obrázku): y g x b m S = ( x + y + z ) m g y d t (3) V obecné teorii reltivity je zákldním funkcionálem pro popis pohybu ástice hmotnosti m v grvitním poli kde g i k jsou sloky metrického tensoru b i k i k S = mc g dx d x, (4) Pro jednorozmrný pípd (zobecnní n vícerozmrný pípd je zejmé) je mtemticky pesná definice funkcionálu následující: Nech D je mnoin vech funkcí y = y ( x) definovných n intervlu [, ] S je po ástech hldký rektifikovtelný oblouk Funkcionálem rozumíme zobrzení Nech dále L L ( x, y, y ) [ ] b, jejich grfem S : D y x S y R (5) S = je funkce n otevené podmnoin prostoru R R obshující mnoinu [, b ] R, se spojitými prciálními derivcemi do ádu vetn Pk funkcionál se nzývá vriní integrál b [ ] S : DS y x S y = L x, y x, y x dx R (6) Eulerovy Lgrngeovy rovnice Snellv zákon z Fermtov principu z Znení zvolíme podle obrázku Pedpokládejme, e u víme, e v homogenním prostedí nejkrtí vzdáleností mezi dvm body je pímk Pi cest z bodu (, b) v prvním 5

6 prostedí do bodu ( A, B ) v druhém prostedí prochází pprsek bodem (,0) soudnice tohoto bodu je jediným volným prmetrem úlohy Máme tedy Dále ε n rozhrní t ( ε ) = ( n s + n s ) = n ( ε ) + b + n ( A ε ) + B () c c ( ε ) ( ε ) ( ε ) d t n n A = = dε s s 0 0, odkud u plyne Snellv zákon Jde oprvdu o minimum, nebo Eulerovy Lgrngeovy rovnice Nejprve dleité Lemm: Jestlie n sinθ = n sin θ () d t ε n cos θ n cos θ = 0 + > dε c s s b η η η F t t = 0, = b = 0 jestlie jsou n intervlu [, b ] ob funkce F ( t ) i ( t) 6 η dvkrát diferencovtelné, potom F ( t) 0 n [, b ] Dkz vedeme sporem Pedpokládejme, e 0 F c (pro uritost F ( c ) > 0 ) pro njké < c < b Z dných pedpokld pk existuje intervl ( t, t ) [, b] obshující bod c, kde F ( t ) > 0 Zkonstruujeme funkci (pokud spluje podvky, je jink libovolná)

7 η ( t) 3 3 ( t t ) ( t t) t ( t, t ) 0 t ( t, t ) = Pk ovem integrál z lemmtu není nulový, co je spor Nyní meme pistoupit k dkzu následující vty: Uvujme funkcionál S, jeho Lgrngeov funkce L závisí n n funkcích x jedné promnné t, n prvních derivcích tchto funkcí n smotné promnné t { } Soubor n funkcí x ( t) Lgrngeových rovnic b S = L t, x, x d t (3), pro které nbývá funkcionál S extrému je eením n Eulerových d L L = 0 x x (4) Dkz: A x ( t) oznuje práv tu (skutenou) trjektorii, pro kterou nstne extrém funkcionálu S Kolem této trjektorie vytvoíme mnoinu (virtuálních) trjektorií Definujme funkcionál x = x t, = x t + t, = b = 0 (5) [ ] ( ε ) ε η η ε η b ( ε ) = ( ε ) ( ε ) = [ ε ] [ ε ] S L d t, L L t, x, x (6) Má-li funkcionál (6) dosáhnout extrému (3), musí být Potebná derivce je ε 0 ( ε ) d ( ε ) S S S lim = = 0 (7) ε dε ε = 0 Máme tke b ds ε L ε x L ε x [ ε ] = + d t dε x[ ] ε x ε [ ε ] ε [ ε ] ( ε ) ( ε ) x[ ] x ε [ ε ] L L L L = η ( t), = η ( t), =, =, ε ε x x x x [ ε ] 0 [ ε ε = ] ε = 0 (8) (9) 7

8 ( ε ) ds L L L L d L = η η η η d t d + = + x x x x x ε ε = 0 b b b (0) Podmínky η η ( b) 0 = = pouití Lemmtu uzvírjí dkz Poznámk Ve vzthu (8) je dobe ilustrováno sumní prvidlo len L x [ ε ] má index dole, len x [ ε ] ε nhoe index je sítcí Aby nedolo k zámn, je skutenost, e je promnná nikoliv index, zvýrznn uzvením [] do závorky 3 Poznámky k Lgrngeovým rovnicím Provedeme explicitn totální derivci podle promnné t Dostáváme tk L β L β L L x + x + = 0 β β x x x x t x x () Lgrngeovy rovnice tvoí soustvu n obyejných diferenciálních rovnic druhého ádu Definujeme zobecnnou hybnost knonicky sdruenou se zobecnnou soudnicí x jko Potom mjí Lgrngeovy rovnice tvr p d p L = () x L = (3) x Z rovnice (3) vidíme okmit zákon zchování: Zobecnná hybnost se zchovává, jestlie Lgrngeov funkce nezávisí n knonicky sdruené soudnici 3 Definujeme Hmiltonovu funkci jko H = H t, x, p = p x t, x, p L t, x, x t, x, p (4) Tímto zápisem je zdrznn skutenost, e n prvé strn vystupující rychlosti x jsou vyjádeny pomocí soudnic hybností pomocí vzthu () Není vk jisté, e je vdy moné vyeit soustvu tuto rovnic vzhledem k rychlostem Podmínkou je, by L det 0 β x x (5) Této podmínky si vimneme blíe v souvislosti s Legendrovou trnsformcí 4 Proveme totální derivci Lgrngeovy funkce podle su dosme ze vzth (3) () 8

9 dl L L L L = + x + x = + p x + p x t x x t Po mlé úprv pk L d dh = ( p x L) = (6) t Opt je okmit vi zákon zchování: jestlie Lgrngeov funkce nezávisí explicitn n se, je Hmiltonov funkce konstntní energie se zchovává 4 Legendrov trnsformce Uvujme hldkou reálnou funkci f ( u ) jedné promnné u R, která je konvexní (tj f ( u ) > 0 Legendrovou trnsformcí dvojice u, f ( u ) je zobrzení n dvojici, kde Nutnou podmínkou mxim je p f ( u) = f), tke meme tké definovt funkci F pomocí dvou vzth p F p, F p mx pu f u (7) u = (mxim pedpokládáme konvexní prbh funkce Pitom do prvního vzthu doszujeme u u ( p) Ten chápeme jko rovnici s hlednou neznámou u F p = p u f u, p = f u (8) =, hodnotu, kterou získáme z druhého vzthu Existence inverzní funkce k f u tedy k nlezení jednoznné hodnoty u k dné hodnot p je zrueno monotónním chováním funkce, vyplývjícím z podmínky f u > 0 Ve vícerozmrném pípd je tto podmínk nhrzen podvkem n kldnou hodnotu determinntu hessiánu 9

10 V mechnice hrje úlohu promnné u rychlost, promnná p je hybnost Funkce mohou ovem záviset i n dlích prmetrech (konkrétn v mechnice n soudnicích), ty le v Legendrov trnsformci vystupují práv jen jko prmetry Podívejme se opt, jk to v tkovém pípd vypdá v jednom rozmru, kdy prmetr ozníme jko x: Legendrov trnsformce je (, ) f u x F ( p, x) = pu f ( u, x), p = u x (9) Diferenciál funkce F meme zpst dvojím zpsobem bu obecn, nebo konkrétn z (9) F F df = d p + d x, p x x p f f f df = p du + u d p du dx = u d p d x u x x Porovnáním obou výrz dostáváme x u u F F f = u, = p x x x p u (0) Legendrov trnsformce je involucí Zpíeme-li toti (8) s pomocí (0), máme máme nlogicky k (7) = = f u u p F p F p p F p = Máme tedy zobrzení f ( u) F ( p) f ( u) Ti krátké píkldy: f u mx u p F p () p Youngov nerovnost: Pro libovolné hodnoty u p bude z definice Legendrovy trnsformce funkce F ( u, p) = u p f ( u) mení ne F ( p ) Jsou-li tedy f ( u ) Legendrovou trnsformcí, pltí pro libovolná ísl u p Npíkld pro >, F p spojeny pu f ( u) + F ( p) () tke u f ( u) = p = u u = p F ( p) = p ( ) ( ), 0

11 pro x, p > 0, β > β u p pu +, + = (3) β β Pechod od entropie k teplot: Zákldní termodynmická rovnice (U je vnitní energie, S entropie, T teplot, P tlk, V objem chemický potenciál N poet ástic) je du = T ds P dv + µ d N Pechod k záporn vzté volné energii F T S U ( S, V, N ) = je píkldem Legendrovy trnsformce ( u = S, p = T, x = V, x = N ) Podmínkou eitelnosti je U S > 0, musí být tedy U U T S T =, = = > 0 S S S T V, N V, N V, N V, N Rst entropie s teplotou, pokud se nemní nic jiného ne vnitní energie, je fyzikáln pijtelný pedpokld Pk je tedy moné spoítt S S ( T ) jko = zpst vzth po trnsformci d F = S dt + P dv µ d N (4) Hmiltonov formulce nereltivistické mechniky jedné ástice Zvolíme tvr Lgrngeovy funkce v obecných soudnicích kde A( q ) m = = β L q, q T q, q U q, T q, q β q A q q, (5) je positivn definitní symetrická regulární mtice, co plyne z její konstrukce A r q r q ( q) = β β (6) Pro Legendrovu trnsformci spoteme rychlosti z definice hybnosti L β β p = = m A q q = ( A ) p q m β β Hmiltonov funkce (ji s q z pedchozího vzthu) je (7) β H = p q L = p ( A ) pβ + U ( q) (8) m Hmiltonovy rovnice Porovnáme diferenciál Hmiltonovy funkce vyjádené Legendrovou trnsformcí

12 ( ) dh = d p q L t, q, q = L L L L p dq + q d p dq dq = q d p p dq q q t t p s diferenciálem Hmiltonovy funkce vyjádené ji pomocí soudnic hybností p H H H dh = dq + d p + q p t Dostáváme tk vzth pro prciální derivce vzhledem k su H t L = t (9) (30) (3) pedevím Hmiltonovy rovnice H H q =, p = (3) p q 5 Tvr Lgrngeovy funkce Smozejmým podvkem je, by Lgrngeov funkce dvou soustv A B dostten od sebe vzdálených tk, by bylo moné znedbt interkci, byl soutem Lgrngeových funkcí obou soustv Tké je poteb si uvdomit, e ke stejným pohybovým rovnicím povede celá tíd Lgrngeových funkcí, kde se jednotlivé lgrngiány lií o tzv triviální lgrngián Máme-li toti lií se úinky = + L q, q, t L q, q, t f q, t, (33) d t t t t ( q t) t t d f, S = L ( q, q, t) d t = L ( q, q, t) + = ( ) S + f q t, t f q t, t jen o leny, jejich vrice je vzhledem k podmínce δ q( t ) δ q ( t ) = = nulová 0 (34) Pro popis jev musíme zvolit njkou uritou soudnou soustvu Nevhodná volb soudné soustvy me vést k tomu, e popis jednoduchého dje je velmi komplikovný Ukzuje se, e pro volný hmotný bod je vdy mono njít tkovou soudnou soustvu, v ní se jeví prostor jko homogenní izotropní s je homogenní V tkovém pípd musí Lgrngeov funkce záviset pouze n v = v v L = L v (35)

13 Lgrngeovy rovnice jsou pk d L L = 0 = konst v = konst (36) v v Budeme sto pouívt znení vektoru f f f f = e + e + e v v v v 3 3 nopk nd konst ipku vynecháme, pokud neme dojít k nejsnosti Z (36) vidíme, e v inerciální soustv se volný pohyb dje s rychlostí konstntní co do velikosti i smru Tomuto závru íkáme zákon setrvnosti Jestlie pejdeme k jiné inerciální soustv, která se vi pvodní pohybuje konstntní rychlostí, bude situce stejná Ekvivlence vech inerciální soustv pi popisu mechnických dj se nzývá Glilev princip reltivity Trnsformce mezi soudnými soustvmi K K, kde druhá se vi první pohybuje rychlostí V je zpsán jko Glileov trnsformce r = r + V t, t = t (37) Pro volnou ástici budeme mít pro Lgrngeovu funkci v inerciální soustv, která se vi pvodní pohybuje s infinitesimáln mlou rychlostí ( ε ε ) L = = + + = + ε + v L L v L v v L v v Má-li být druhý len derivcí podle su, musí být L v =, = konst Abychom dostli levou strnu Newtonových rovnic ve stndrdním tvru, je teb zvolit konstntu jko = m Porovnání s druhým Newtonovým zákonem je jedním z vodítek k tomu, pro obvykle pltí Lgrngián rovná se kinetická mínus potenciální energie Pro soustvu ástic (index oznuje uritou ástici), jejich interkci popisujeme pomocí potenciální energie, je Lgrngeov funkce, Z Lgrngeových rovnic m v L = T U = U ( r, r, ) (38) d L L = (39) t v r d dostáváme 3

14 m dv U = = F (40) r Dlí potvrzení tvru Lgrngeovy funkce pochází z obecné teorie reltivity Tm ncházíme trjektorii ástice z vriního principu kde b i k d, d i k d d, S = mc s s = g x x (4) g ik jsou sloky metrického tensoru Ve slbém grvitním poli popsném Newtonovým potenciálem Φ je piblin Φ Φ ds = + c ( dx + d y + dz ) = c c c Φ Φ v +, c c c (4) tke máme pro Φ c v c tb tb Φ v mv S m c + + = m Φ d t mc tb t c c (43) t t 6 Zobecnné soudnice Pi vhodné volb zobecnných soudnic meme dosáhnout toho, e Lgrngeov funkce obshuje jen tolik soudnic, kolik je stup volnosti Uvujme soustvu N ástic, která má s stup volnosti Pk volíme ( =,,, N ) s f k x = f ( q, q,, q ), x = q, k q s g k y = g ( q, q,, q ), y = q, k q s h k z = h ( q, q,, q ), z = q k q k k k (44) Lgrngeov funkce pejde n kde N L = m ( x + y + z ) U ( x, y, z,, xn, yn, zn ) (45) = s L = q q q U q i k i k, (46) i, k = 4

15 N f f g g h h i k ( q) = m + + i k i k i k = q q q q q q (47) Jednoduchým píkldem je dvojité rovinné kyvdlo v homogenním grvitním poli (znení je ptrné z obrázku) Uvovná soustv má jen dv stupn volnosti Trnsformce od soudnic { x, y, x, y } k zobecnným soudnicím { ϕ, ϕ } je x = l sin ϕ, y = l cos ϕ, x = l sinϕ + l sin ϕ, y = l cosϕ + l cos ϕ Doszením do obecného vzthu dostáváme m + m m L = l ϕ + l ϕ + m l l ϕ ϕ cos( ϕ ϕ ) + m + m g l cosϕ + m g l cos ϕ (48) 7 sová závislost potenciální energie Budeme popisovt chování soustvy A, která není isolovná, le interguje se soustvou B, její pohyb je dán Do Lgrngeovy funkce (, ) (, ) (, ) L = T q q + T q q U q q (49) A A A B B B AB A B dosdíme zdný pohyb soustvy B, tj q = f ( t), q = f ( t) B B Dostáváme tk Lgrngeovu funkci soustvy A df t L = TA ( qa, q A ) U A ( qa, t) +, (50) kde jsme oznili U A qa, t = U AB qa, f t, F t = TB f t, f t d t (5) Víme ji, e totální derivci podle su v Lgrngeov funkci nemusíme uvovt Je tedy vi, e pohyb soustvy ve vnjím poli je v tomto pípd dán stndrdním tvrem Lgrngeovy funkce, pouze v potenciální energii se objevil explicitní závislost n se 5

16 8 Strun o teorii pole Budeme uvovt o polích ϕ t, x ϕ x = ct, x, x, x ( A ) ( A ) 0 3, horní index A ísluje pole, kterých me být np N Toto íslování nkdy bude odpoví polím jkoto slokám vektoru nebo spinoru, le není to obecn nutné Lgrngeov funkce bude obshovt jednotlivá pole, jejich derivce (my budeme uvovt jen první) podle prostorosových soudnic, pípdn i explicitn tyto soudnice Pro strunost zápisu je vhodné psát ϕ ( A ) 0 3 ( x, x, x, x ) ( A) x i ϕ i (5) Vriní princip bude vycházet z úinku S i ( A) ( A) ( A) ( A) ( i i ) ε = L x, ϕ + ε η, ϕ + ε η d Ω (53) Ω V integrálu (53) integrujeme pes tyrozmrnou oblst prostorosu Podle vriního principu hledáme extrém úinku Rozepsání dává ( ε ) ds d ( ε ) ε ε = 0 ds L ( A) L ( A) = η + d ( A) ( A) iη Ω = dε ϕ ε 0 iϕ = S Ω Ω = 0 (54) L ( A) L d L ( A) η ds + η dω 0 ( A) ( A) i ( A) = dx iϕ ϕ iϕ Ω Stejnými úvhmi jko v pípd jedné promnné docházíme k Lgrngeovým rovnicím (55) výrzu pro sloky hybnosti Derivce podle soudnice L ϕ d L 0 dx i = iϕ ( A ) ( A ) π A i i (56) L = (57) ( A) ϕ i x v Lgrngeov rovnici, která vznikl integrcí per prtes vzhledem k této soudnici, bývá nkdy zpisován jko tuto derivci funkce f ( x ϕ ϕ ),, i chápt jko i x V kdém pípd musíme d f f f ϕ f jϕ f f f = i i i i i iϕ + i jϕ dx x ϕ x ϕ x x ϕ ϕ j j (58) 6

17 Uvedeme dv píkldy, pro jednoduchost pro funkce jedné prostorové promnné x su t Lgrngeov funkce pro vlnovou rovnici má tvr ϕ ϕ L = (59) c t x Lgrngeov funkce neobshuje explicitn prostorosové promnné ni smotnou vlnovou funkci Máme tk t L ϕ x L ϕ π = =, π = = (60) ϕ c t ϕ x t x má tedy Lgrngeov rovnice tvr t x π π ϕ ϕ = + = 0 t x c t x (6) Neptrn sloitjí je odvození Schrödingerovy rovnice V Lgrngeov funkci budou vystupovt dv pole ϕ = ψ ϕ = ψ (pruhem zníme komplexní sdruení) Pro nereltivistickou ástici hmotnosti m v potenciálovém poli U U ( t, x) = máme i ħ ψ ψ ħ ψ ψ L = ψ ψ Uψ ψ t t m x x Pro hybnosti dostáváme (6) t i ħ x ħ ψ t i ħ x ħ ψ π = ψ, π =, π = ψ, π = m x m x (63) Lgrngeovy rovnice jsou + = + Uψ = 0 t x π π L i ħ ψ ħ ψ i ħ ψ t x ψ t m x t ψ ħ ψ i ħ = + Uψ t m x (64) rovnice komplexn sdruená ψ ħ ψ i ħ = + Uψ (65) t m x Hmiltonov funkce bude t ψ t ψ x ψ x ψ ħ ψ ψ H = π + π + π + π L = + Uψ ψ t t x x m x x (66) 7

18 3 Zákony zchování 3 Zákldní zákony zchování i i Stv uzvené soustvy, která má s stup volnosti, je popsán s veliinmi q, q, kde i =,,, s Existuje s veliin integrál pohybu jejich hodnot se s sem nemní je dán poáteními podmínkmi Poáteních podmínek je sice s, le protoe pohybové rovnice uzvené soustvy neobshují s explicitn, je jedn z konstnt volb poátku odeítání sy ji dán Vylouíme-li tedy t + t0 z s funkcí ( 0 s ) ( 0 s ) i i q = q t + t, C, C,, C, i i q = q t + t, C, C,, C, dostneme vyjádení konstnt C, C,, Cs jko funkcí i q q i Mezi integrály pohybu se vyskytují nkteré, které mjí hluboký fyzikální význm Vtinou jsou spojeny s existencí njké symetrie prostoru su Tkové integrály pohybu mjí jednu dleitou vlstnost: pokud lze interkci podsoustv celé soustvy znedbt, je integrál soustvy roven soutu integrál podsoustv Obecný pohled n spojení symetrie se zákony zchování uvidíme v ásti o teorému Noetherové Te ztím probereme nkteré dleité integrály jednotliv Homogenit su zchování energie Vezmme mlé posunutí v se t t + ε Podujeme L δ L = ε = 0 t Vzhledem k libovolnosti ε musí být L = 0, t tke (pipomínáme sumní prvidlo) Máme tk i dl L i L i d L i L dq d L i = q + q = q q i i i + = i i q q q q q d q dostáváme zchovávjící se veliinu energii i L L 0 i = q L q i E = q L i (3) (3) Pokud je Lgrngeov funkce dán jko 8

19 dostáváme z ( ) L = T q, q U q, i L i T q = q = T i i q q (Eulerov vt o homogenních funkcích ) E = T q, q + U q (33) V krtézských soudnicích pk N m v E = + U ( r, r,, rn ) = (34) Homogenit prostoru zchování hybnosti Vezmme mlé posunutí v prostoru r r + ε Podujeme Vzhledem k libovolnosti ε musí být L L δ L = δ r = ε = 0 r r L = 0 r Setením Lgrngeových rovnic pro jednotlivé ástice dostáváme pk Máme tk zchovávjící se veliinu hybnost d L d L = = 0 v v L P = p, p = (35) v Podmínku zchování hybnosti meme tké zpst jko podmínku, by souet sil psobících n jednotlivé ástice byl roven nule L U 0 = = = F r r Derivci Lgrngeovy funkce podle zobecnné rychlosti nzveme zobecnnou hybností, derivci podle zobecnné soudnice zobecnnou silou Meme proto Lgrngeovy rovnice interpretovt tkto: sová zmn sloky zobecnné hybnosti je rovn odpovídjící sloce zobecnné síly f Dkz: prciáln derivovt ob (,, ) m (,, ) i f t x t x = t f x x x = m f i i x strny rovnice podle t pk poloit t= 9

20 d p i = F i (36) Izotropie prostoru zchování momentu hybnosti Vezmme mlé pootoení v prostoru r r + δϕ r (význm symbol je vi z obrázku), s tímto pootoením je spojen i zmn rychlosti v v + δϕ v Podujeme tedy (pi pepisu vyuíváme monosti cyklické zámny vektor ve smíeném souinu) L L L L δ L δϕ r δϕ v δϕ = + = r + v = r v r v ( ) ( ) 0 Vzhledem k libovolnosti δϕ musí být L L d p dr d r + v = r + p = r p = 0 r v Máme tk dlí zchovávjící se veliinu moment hybnosti L = L, L = r p 3 Popis soustvy ástic ve dvou rzných inerciálních soustvách (37) Inerciální soustv K se pohybuje vi soustv K rychlostí V Soudnice rychlosti jednotlivých ástic jsou tedy Pro celkovou hybnost pltí r = r + V t, v = v + V P = m v = m v + V m m m, tedy (s oznením celkové hmotnosti M = m ) P = P + M V (38) Vdy tedy njdeme klidovou (árkovnou) soustvu, ve které je celková hybnost nulová Rychlost tkové soustvy vi lbortorní (neárkovné) soustv spoteme z pedchozího 0

21 vzthu doszením P =0 Vidíme, e tuto rychlost meme chápt jko sovou zmnu polohového vektoru jistého bodu stedu hmotnosti m r d V = m Energii soustvy ástic v lbortorní soustv pk meme rozdlit n souet kinetické energie soustvy, pohybující se jko celek rychlostív vnitní energie U Máme tedy E = m v + U = m v + V + U = M V + V m v + m v V klidové soustv je P =0 E M V E = + V P + E, (39) = U Pro moment hybnosti nejprve spoteme jeho chování v smotné soustv K, pokud zmníme polohu poátku soudné soustvy, tj pi zámn * r = r + d * * L = r p = r p + d p = L + d P Pi pechodu od soustvy K k soustv K máme L = m r v = m r v + V t m v V m r = L + tv P + M R V Pokud je soustv K klidová její poátek je volen ve hmotném stedu, bude pltit L = L 33 Mechnická podobnost Pedpokládejme, e potenciální energie je homogenní funkcí soudnic stupn k, tj e pltí k U r, r,, r = U r, r,, r (30) N Proveme v Lgrngeov funkci trnsformci promnných r r, t β t Kinetická potenciální energie se zmní v pomru k T T, U U β Pokud jsou ob násobící fktory stejné, tj pokud pltí β k N =, (3)

22 k Úinek se pouze vynásobí fktorem +, le rovnice trjektorie se nezmní Zmníme-li rozmry trjektorie k krát, bude dob strávená mezi odpovídjícími si body ( k ) násobkem pvodní doby podobn u dlích veliin (P je hybnost, E celková energie, M moment hybnosti) k k k * * * * * * k * * + T L P L E L M L =, =, =, = T L P L E L M L (3) Nejznámjími píkldy jsou mlé kmity ( k = ), kdy period nezávisí n mplitud, podíl kvdrát doby pádu v homogenním poli je dán pomrem poáteních výek ( k = ) tetí Keplerv zákon ( k = ) 34 Viriálový teorém Stední hodnotu funkce su f ( t ) definujeme jko T f = lim f t d t (33) T T Pokud je funkce f derivci njké ohrniené funkce F, je její stední hodnot rovn nule 0 T 0 df t F T F 0 lim lim 0 T T = = T T (34) Poítejme te (kinetická energie je homogenní funkcí rychlostí stupn, potenciální energie homogenní funkcí soudnic stupn k) T d T = v = p v = p r p r v = d U d p r + r = p r + ku r, tedy d T = p r ku + (35) S vyuitím (34) dostáváme pro stední hodnoty vzth T = k U, E k + = k T (36) Ze vzthu (36) vidíme npíkld stejný píspvek kinetické i potenciální energie u hrmonického oscilátoru nebo to, e pro Newtonv potenciál musí být celková energie záporná, má-li se pohyb odehrávt v uzvené oblsti prostoru

23 4 Invrince 4 Úvodní poznámky Vimnme si nejprve triviálního píkldu Uvujme njkou rovinu, n ní zvolme krtézskou soustvu soudnic tverec vzdálenosti dvou bod o soudnicích (, ) ( x, y ) je dán vzthem d ( x x ) ( y y ) x y = + Jestlie soustvu soudnic otoíme (se stedem otáení v poátku) o njký úhel, zmní se soudnice bod n x = x cosε + y sin ε, y = x sinε + y cos ε, x = x cosε + y sin ε, y = x sinε + y cos ε Co se vk nezmní, je vzdálenost (resp tverec vzdálenosti) tchto dvou bod, protoe = + = + = d x x y y x x y y d íkáme, e vzdálenost bod je invrintní vi rotci soudné soustvy Podobn definujeme-li ve speciální teorii reltivity (uvujeme jen jeden prostorový rozmr) intervl mezi dvm událostmi ( ct, x ) ( ct, x ) jko s c ( t t ) ( x x ) =, je tento intervl invrintní vzhledem k Lorentzov trnsformci (pechodu od jedné inerciální soustvy K k soustv K, která se vi K pohybuje rychlostí V) ct ct ct V x c x V t =, x =, V c V c ct V x c x V t =, x = V c V c Pedchozí trnsformce je lépe zpst zvedením úhlu rotce θ jko V tnh θ =, (4) c tke trnsformní vzthy mjí tvr Není obtíné pesvdit se, e pltí ct = ct coshθ x sinh θ, x = x coshθ ct sinh θ, ct = ct coshθ x sinh θ, x = x coshθ ct sinh θ (4) s = c t t x x = c t t x x = s (43) Velmi sto zjiujeme invrinci vi infinitesimáln mlým zmnám V pípd Lorentzovy trnsformce by to bylo 3

24 ( ct ) d coshθ sinh θ θ θ, dθ ct = ct x ct ct + = ct x θ = 0 θ = 0 dx coshθ sinh θ θ θ x = x ct x x + = x c t θ = 0 dθ θ = 0 (44) 4 Rundov Trutmnov identit K Lorentzov trnsformci se jet vrátíme v ásti o speciální teorii reltivity Te uvujme obecné trnsformce v klsické mechnice, kdy ν t t = t ( t, q, ε ), t = t + ε + O ( ε ), dε ε = 0 µ µ µ µ ν µ µ dq q q = q ( t, q, ε ), q = q + ε + O ( ε ) dε ε = 0 (45) Koeficienty u první mocniny prmetru trnsformce v Tylorov rozvoji se nzývjí generátory trnsformce, budeme je znit tke µ v µ dq µ v T = T ( t, q ), Q = Q ( t, q ), (46) dε dε ε = 0 ε = 0 µ µ µ t = t + ε T + O ε, q = q + ε Q + O ε (47) Budeme studovt invrinci funkcionálu kce vzhledem k trnsformcím su soudnic typu (47) její dsledky Je-li pvodní funkcionál bude funkcionál po trnsformci tb µ µ dq S = Lt, q, d t, t (48) tb tb µ µ µ dq µ dq = = S L t, q, d t L t, q, d t t t (49) ekneme, e funkcionál je invrintní vi dné trnsformci, pokud nebo vhodnji vyjádeno s ( ε ) S S O s S ohledem n (49) máme 4 =, > (40) ds d ε ε = 0 = 0 (4)

25 d dq d d dq Lt q = L t q q + Lt q = dε d d dε d dε d µ µ µ µ µ µ,, (,, ),, t t t t ε = 0 ε = 0 ε = 0 dt L L L d dq L + T + Q + = 0 t q q d µ µ µ µ ε ε = 0 (4) Ztímco výpoet prvních dvou len u totální derivce Lgrngeovy funkce podle prmetru ε byl triviální, u posledního lene je poteb poítt peliv dq q q Q q Q T t t T t t t µ µ q + ε µ µ µ µ µ d d + ε d d d d µ d = = q d d ε d dt = + + ε dε d d d ε = 0 Meme tedy (4) zpst jko (Rundov Trutmnov identit) µ L L µ L dq µ L dt T + Q + q L 0 µ µ µ = t q q q (43) Vidli jsme, e pokud se Lgrngeovy funkce lií o sovou totální derivci libovolné funkce soudnic su, dostáváme stejné Lgrngeovy rovnice Meme proto pipustit, e se po trnsformci invrince budou Lgrngiány liit o tuto derivci, tj µ µ dq dq d Lt, q,,, Lt q = f ( t, q, ) Zpíeme-li ( ε ) ( ε ) µ µ d f t, q, d f t, q, µ µ f ( t, q, ε ) = ε + O( ε ), F ( t, q ), (44) dε dε dostneme zobecnnou Rundovu Trutmnovu identitu ε = 0 ε = 0 µ L L µ L dq µ L dt df T + Q + q L µ µ µ = t q q q 43 Teorém Emmy Noetherové S oznením L µ L pµ =, H = q L µ µ q q meme mlou úprvou pepst identitu (45) n (45) (46) L d µ (47) q µ µ µ ( Q q T ) pµ = ( pµ Q H T F ) 5

26 Dostáváme se tk k teorému Noetherové Jsou-li krom pedpokládné symetrie funkcionálu úinku pi trnsformci s prmetrem ε chrkterizovné generátory trnsformce su, µ soudnic lgrngiánu T, Q, F splnny tké pohybové rovnice potom pltí zákon zchování veliiny L p µ =, (48) µ q µ pµ Q H T F = konst (49) Noetherová formulovl teorém mtemticky precizn ponkud obecnji N píkldech uvidíme, e pro klsickou mechniku je ne znní postující Zákon zchování energie Pokud Lgrngeov funkce nezávisí explicitn n se, je úinek invrintní k trnsformci t = t + ε, tke máme µ T =, Q = 0, F = 0 H = konst (40) Zákon zchování sloky zobecnné hybnosti Pokud Lgrngeov funkce nezávisí explicitn n nkteré zobecnné soudnici q, je úinek invrintní k trnsformci máme q = q + ε, tke T = 0, Q µ = δ µ, F = 0 p = konst (4) Zákon zchování momentu hybnosti Pro ástici ve sféricky symetrickém poli je Lgrngeov funkce invrintní vi rotci r r = r + δϕ r Místo jednoho prmetru ε tdy máme ti prmetry udávjící smr osy velikost úhlu rotce δϕ Meme v jednom zápisu psát µ µ β µ β T = 0, Q = ε q, F = 0 ε p q = konst (4) β β µ Tlumený hrmonický oscilátor Lgrngeov funkce vede k rovnici Trnsformce m mω λ L = x x exp t (43) m λ x + x + x = m ω 0 λ ε m t = t + ε, x = x exp T =, Q = x nemní Lgrngeovu funkci L( t, x,dx d t ) L ( t, x,dx ) λ m =, je tedy F = 0 zchovává se 6

27 m mω λ H pq = x + x + λ x x exp t = konst (44) m O správnosti výsledku se meme pesvdit doszením eení ( λ ) cos( ω λ ) x = exp t m m t + do (44) konstnt vyjde rovn ( ω λ ) m m Dvourozmrný hrmonický oscilátor Znme nejprve se stndrdní Lgrngeovou funkcí Lgrngeovy rovnice jsou m mω L = ( x + y ) ( x + y ) (45) d L L = + = x x 0 x ω x 0, d L L = + = y y 0 y ω y 0 Obecné eení Lgrngeových rovnic (46) meme zpst jko ( ω ) ( ω β ) (46) x = cos t +, y = bcos t +, (47) kde,, b, β jsou konstnty urené poáteními podmínkmi Pro hybnosti hmiltonián máme L L px = = m x, py = = m y, x y mω H = px x + py y L = px + py + x + y m (48) Lgrngeov funkce (45) je invrintní vzhledem k trnsformci (homogenit su), kdy t = t + ε, tj pltí x = x y = y, tke, x y T = Q = Q = F = 0 podle (49) se zchovává energie, mω m mω H = ( px + py ) + ( x + y ) = ( x + y ) + ( x + y ) = konst (49) m Lgrngeov funkce je tké invrintní vzhledem k trnsformci (isotropie v rovin) t t x x y y x y =, = cosε + sin ε, = sinε + cosε x y T = 0, Q = y, Q = x, F = 0 (430) podle (49) se zchovává veliin (slok momentu hybnosti kolmá k rovin oscilátoru) x y x y x y konst p Q + p Q = y p x p = m y x x y = (43) Dvourozmrný hrmonický oscilátor vk meme tké popst Lgrngeovou funkcí 7

28 (43) L = m x y mω x y Lgrngeovy rovnice budou pirozen stejné, pouze vzniknou vricí jiné promnné Pro hybnosti hmiltonián máme d L L = + = x x 0 y ω y 0, d L L = + = y y 0 x ω x 0 L L px = = m y, py = = m x, x y m H = px x + py y L = px py + mω x y (433) (434) Lgrngeov funkce (45) je invrintní vzhledem k trnsformci (homogenit su), kdy t = t + ε, tj pltí x = x y = y, tke, x y T = Q = Q = F = 0 podle (49) se zchovává energie, m H = px py + mω x y = m x y + mω x y = konst (435) Lgrngeov funkce je tké invrintní vzhledem k trnsformci (eliptická deformce) podle (49) se zchovává veliin ( κ ) ( κ ) t t x x y y =, = exp, = exp x y T = 0, Q = x, Q = y, F = 0 x y x y x y konst (436) p Q + p Q = x p + y p = m y x x y = (437) Elektron v homogenním mgnetickém poli Pedpokládejme, e os z je orientován podle silor pole elektron se bude pohybovt v rovin x y Vektorový potenciál v Lgrngeov funkci zvolíme tk, by soudnice x byl cyklická, tj Lgrngeovy rovnice jsou m L = ( x + y ) e B y x (438) d L L = 0 m x e B y = 0, x x d L L = 0 m y + e B x = 0 y y (439) U v této chvíli vidíme dv zchovávjící se veliiny, le budeme postupovt stndrdním zpsobem Pro hybnost Hmiltonovu funkci máme 8

29 L L px = = m x e B y, py = = m y, x y m H = px x + py y L = px + e B y + py p = x + y m (440) Invrince vi trnslci su nebo soudnice x vede podle (49) k zákonu zchování energie H (pouze T = je rzné od nuly) sloky zobecnné hybnosti p = m x e B y = konst (44) x x (pouzeq = bylo rzné od nuly) Pi trnslci soudnice y ( y = y + ε ) máme m m d ε ε L = x + y e B y x = x + y e B y x e B x = L e B x (44) y Jsou tedy od nuly rzné generátory Q = F = e B x Podle (49) se zchovává p + e B x = m y + e B x = konst (443) y Jk jsme ji uvedli, zchovávjící se veliiny (44) (443) bychom v tomto pípd získli sndnji, kdy v Lgrngeových rovnicích (439) npíeme derivci podle su ped celý výrz ástice v homogenním grvitním poli Pi trnslci x = x + ε máme m m d p x L = x + m g x = x + m g x + m g ε = L + ε m g t (444) x Máme tk Q =, F = m g t, tke podle (49) je x konst 5 Pohyb v centrálním poli Keplerov úloh úrovni p m g t = m x g t = (445) Tuto neobyejn význmnou úlohu probereme pomrn podrobn n elementární 5 Newtonovy rovnice Ve zvolené inerciální soustv uvujeme dv tles (jko hmotné body), které n sebe psobí grvitní silou Prvodi prvního bodu hmotnosti m oznme r, obdobn prvodi druhého bodu hmotnosti m ozníme r Vektor spojnice od prvního ke druhému bodu bude r = r r Podle Newtonov grvitního zákon psobí n první bod druhý bod silou G m m r r 3 n druhý bod první bod silou G m m r r 3 (Velikost síly je úmrná souinu hmotností nepímo úmrná tverci vzdálenosti, síl je pitlivá Tké je pirozen splnn tetí Newtonv zákon) Druhý Newtonv zákon tk dává pohybové rovnice 9

30 d r m m m = G r 3 r (5) d r m m m = G r 3 r (5) Odetením rovnice (5) vydlené m od rovnice (5) vydlené m dostáváme d r = G m + ( m ) r r 3, (53) setením obou rovnic máme pk d r m d r + = 0 m Ozníme celkovou hmotnost M, redukovnou hmotnost µ prvodi hmotného stedu R m m m r + m r M = m + m = R = m + m m + m Potom meme (53) (54) psát jko d r µ = G m m, µ, r r 3 (54) (55) (56) d R M = 0 d t (57) Rovnice pro pohyb hmotného stedu je jednodue integrovtelná n dr V 0, R V 0 t R 0, = = + (58) kde poátení hodnoty soudnic R 0 rychlosti V 0 hmotného stedu pedstvují celkem est integrál pohybu Vynásobením rovnice (56) vektorov vektorem r dostáváme d r d d r r µ = r µ = 0, odkud integrcí dr r µ = L, (59) (50) 30

31 kde L je konstntní vektor Sloky tohoto vektoru tvoí dlí ti integrály pohybu Vektor L má chrkter momentu hybnosti, ukáeme tedy, jk souvisí s celkovým momentem hybnosti soustvy L r m v r m v tot = + Budeme v dlím uívt obvyklého znení rychlostí, tke dr dr dr dr v =, v =, v =, V = Vektory r, v r, v ve výrzu (5) nhrdíme vektory r, v R, V, tj m m r = R r, r = R + r M M (5) dostáváme Ltot = Lcm + L, Lcm = R M V, L = r µ v (5) Je tedy celkový moment hybnosti roven soutu momentu hybnosti hmotného stedu L cm momentu hybnosti L reltivního pohybu Doszením z (58) do výrzu pro L cm vidíme, e se tento moment tké zchovává, zchovává se tedy i celkový moment hybnosti soustvy To bychom zjistili i pímo, setením rovnice (5) vektorov vynásobené r s rovnicí (5) vektorov vynásobenou r L tot pltí Ped odvozením zákon zchování energie z Newtonových rovnic si pipomeneme, e f ( r) f ( r) r f ( r) = r = r r r d f ( r ) dr = r f r Grvitní sílu v Newtonových rovnicích meme proto psát jko záporn vztý grdient grvitní potenciální energie, tke máme dv m = G m m r r r (53) m d v = G m m r r r (54) 3

32 Setením rovnice (53) sklárn vynásobené v s rovnicí (54) sklárn vynásobenou v dostáváme zákon zchování celkové energie de m m G m m = 0, E = v + v (55) d tot tot t r r Podobn jko u momentu hybnosti nhrdíme vektory r, v r, v ve výrzu (55) vektory r, v R, V, tke dostáváme Protoe se M µ G m m Etot = Ecm + E, Ecm = V, E = v (56) r E tot E cm zchovávjí, zchovává se i energie reltivního pohybu E, co bychom pímo zjistili sklárním vynásobením rovnice (56) vektorem v 5 Reltivní pohyb (pohyb v tiové soustv) V dlím se soustedíme pouze n popis reltivního pohybu Z pohybové rovnice d r r µ = G m m (57) 3 r jsme odvodili, e se zchovává energie µ G m m de E = v, = 0 (58) r vektor momentu hybnosti dl L = r µ v, = 0 (59) Uvidíme v dlím, e se tyto veliiny zchovávjí pi pohybu popsném libovolným sféricky symetrickým potenciálem Zákon zchování vektoru momentu hybnosti íká, e pohyb se dje v rovin Pro Keplerovu úlohu je typická existence dlího zchovávjícího se vektoru, definovného obvykle vzthem r d A A µ v L G m m =, = 0 (50) r d t Vektoru A se obvykle íká LRL (Lplcev Rungeho Lenzv) vektor Zchování LRL vektoru ovíme pímo derivováním, pitom krom doszení z pohybové rovnice (57) uití zákon zchování (59) pouijeme pi úprvách rovnost dr dr dr dr dr r r = r r ( r r ) = r r r Jiné normování má tzv vektor excentricity e 3

33 r e = A = v L G µ m m G m m r pomocí jeho projekce dostneme rovnici trjektorie Máme r L e r = r ( v L) r = L ( r v ) r = r G m m r G m m G µ m m tke s oznením e r = e r cosϕ je rovnicí trjektorie rovnice kueloseky,, (5) G µ m m = ( + e cos ϕ ) r L (5) tverec velikosti e spoteme úprvou (5) e e = ( v L) ( v L) r v L L + = + G m m G m m r G m m G µ m m r, tke s doszením z energii z (58) meme psát e L E = (53) G m m µ Ze vzthu (53) vidíme, e pro záporné hodnoty energie je trjektorií elips Vimnme si tké invrince vi kálování levá strn je ist geometrický výrz Pi trnsformci t λ t, r β λ r se trnsformuje kinetická energie jko ( β T λ ) T, potenciální energie jko U λ β velikost momentu hybnosti jko L β λ Musí být tedy E λ γ E L E L E, co vede n vzth (npíkld projevený ve tetím Keplerov zákonu) 3 β = 53 Keplerovy zákony Dnení formulce Keplerových zákon se v nepodsttných detilech mírn odliují Meme zvolit npíkld tu z eského pekldu Feynmnových pednáek: () Kdá plnet se pohybuje kolem Slunce po elipse, piem Slunce je v jednom z ohnisek () Prvodi spojující Slunce s plnetou opisuje stejné plochy z stejné sové intervly (3) Druhé mocniny period libovolných dvou plnet jsou úmrné tetím mocninám 3 velkých poloos jejich drh: T Jk uvidíme v historické poznámce, Kepler nikdy ádné zákony neformulovl v jeho rozsáhlém díle lze obsh Keplerových zákon jen obtín nlézt Tké v námi pejté formulci je nkolik míst, zsluhujících si dlího komentáe V dlím výkldu bude postup 33

34 strunou kopií výkldu v Sommerfeldov Mechnice Nkteré postupy budou jen opkováním ji uvedených N Sommerfeldov výkldu je pouné, e se Keplerovy zákony objevují v tom podí, jk jejich obsh Kepler postupn nlézl Povujeme Slunce z nehybné (i hmotnost Jupiter je piblin tisícinou hmotnosti Slunce), poátek soudné soustvy poloíme do jeho stedu Podle Newtonov grvitního zákon psobí n plnetu síl (G je Newtonov grvitní konstnt, M je hmotnost Slunce, m hmotnost plnety r prvodi, tj polohový vektor plnety) m M r F = G (54) r r Pltí tedy r F = 0 Z druhého Newtonov zákon pk r p = 0 druhý Keplerv zákon máme ztím vyjáden jko zákon zchování momentu hybnosti dl 0, L r mv = = Ve válcových soudnicích (,, z) ρ ϕ máme r = ρ e ρ v = ρ e ρ + ρ ϕ e ϕ (55) L = m ρ ϕ e z Meme tedy (55) zpst jko ( d A je element plochy) dϕ d A m ρ = m =konst, d A = ρ d ϕ (56) Volíme konst = m C, C je pk konstntní ploná rychlost, obvykle je volen orientce os v rovin x y tk, e ϕ = 0 je v pheliu, tj ϕ je prvá nomálie Pro sovou zmnu nomálie máme Zvedeme te plochu opsnou prvodiem z sový intervl C ϕ = (57) ρ A t t + t t t t jko d A = d t (58) konen dostáváme mtemtický zápis stndrdního tvru druhého Keplerov zákon A t t = C (59) Pro odvození prvního Keplerov zákon zpíeme pohybovou rovnici ve slokách dx G M d y G M = cos ϕ, = sin ϕ (530) ρ ρ Pejdeme k nové prmetrizci pomocí nomálie s vyuitím (57) dostneme 34

35 dx G M d y G M = cos ϕ, = sin ϕ dϕ C dϕ C (53) Integrce je sndná G M G M x = sin ϕ + A, y = cos ϕ + B (53) C C Vimnme si, e hodogrfem plnetárního pohybu je krunice ( x A) ( y B) Rovnice (53) pepíeme zcel v polárních soudnicích G M + = (533) C G M ρ cosϕ ρ ϕ sinϕ = sin ϕ + A, C G M ρ sinϕ + ρ ϕ cosϕ = cos ϕ + B C (534) Vynásobíme druhou rovnici v (534) cosϕ odeteme od ní první rovnici vynásobenou sinϕ, dostáváme tk po doszení z (57) G M ρ ϕ = A sinϕ + B cosϕ (535) C G M A B sinϕ cos ϕ ρ = C + C (536) ( C ) To je rovnice elipsy s poátkem v jednom z ohnisek U z rovnic (53) meme vi, e pokud má být ϕ prvou nomálií, musíme zvolit A = 0 Dostáváme tk ( je hlvní poloos e excentricit elipsy) v periheliu (ϕ = π ) pheliu ( ϕ = 0 ) G M B G M B =, = + ( ) ( C) ( + ) ( C) e C e C Oud vypoteme G M B e, C = = ( ) ( e ) C ( e ) Pipomeneme-li jet výrz pro prmetr elipsy b p = = ( e ), meme rovnici plnetární trjektorie (536) zpst jko (537) 35

36 p ρ = ecosϕ (538) To je mtemtický zápis prvního Keplerov zákon t = T Odvození tetího zákon je u jednoduché Z druhého zákon (59) vztého pro (tj pro celou periodu) máme Vezmeme tverec S C S b e T =, = π = π (539) C dosdíme z nj z prvního vzthu v (537) Dostáváme tk T 3 ( π ) =, (540) G M mtemtické vyjádení tetího Keplerov zákon 54 Lgrngeovy rovnice Lgrngeov funkce je L m m m m r = r + + G (54) r r Pejdeme k nové soustv, kdy zvedeme promnnou r = r r poátek soudné soustvy umístíme do stedu hmotnosti, tj bude v ní pltit m r + m r = 0 Potom Lgrngeov funkce je m m r = r, r = r m + m m + m m m m m m L = r + G m = r m + m (54), (543) 36

37 V tuto chvíli je dobré si uvdomit, e trjektorie bude rovinná síl je rdiální, zchovává se moment hybnosti, který je kolmý k prvodii Budeme proto mít v polárních soudnicích v rovin trjektorie Lgrngeovy rovnice jsou d m G m m L = ( ρ + ρ ϕ ) + ρ (544) G m m d + = 0, = 0 (545) ρ ( m ρ ) mρ ϕ ( m ρ ϕ ) Soudnice ϕ je cyklická, zchovává se proto s ní sdruená zobecnná hybnost p ϕ = m ρ ϕ Tto zobecnná hybnost je z tovou ( pi ní volb roviny trjektorie z = 0 tké jedinou) slokou Lz = L = konst zchovávjícího se momentu hybnosti, máme tedy m konst (546) ρ ϕ = L = Obecný výrz pro moment hybnosti ve válcových soudnicích je L = m z ρ ϕ e ρ + m( z ρ ρ z ) e ϕ + m ρ ϕ e z Vhodná volb soudné soustvy je velice dleitá Rozepsáním derivce doszením z Lgrngeových rovnic (545) se pesvdíme, e se energie zchovává (to smozejm plyne z u toho, e Lgrngeov funkce explicitn nezávisí n se) de m G m m m L G m m = 0, E = ( ρ + ρ ϕ ) = ρ + (547) ρ m ρ ρ Z rovnice (547) dostáváme po integrci implicitní závislost ρ = ρ ( t) dρ G m m L = E + m ρ m ρ dρ t = + konst G m m L E + m ρ m ρ Zmníme-li prmetrizci podle L dϕ = d t, m ρ (548) (549) dostáváme rovnici trjektorie, tj vzth mezi soudnicemi ρ ϕ 37

38 L dρ ϕ = + konst ρ G m m L m E + ρ ρ Je vi, e pro chrkter eení má velký význm tzv efektivní potenciální energie (550) Její prbh vystihuje následující tbulk: U = G m m L ρ + m ρ (55) eff ρ 0 U eff L m G m m ρ = ( U ) = G m m m L ρ eff min U eff 0 Z tbulky i obrázku je jsn vi zásdní rozdíl pro kldné záporné hodnoty celkové energie (nulová hldin je dán volbou nulové hodnoty potenciální energie v nekonenu): pro E > 0 je pohyb prostorov nekonený, pro E < 0 se pohyb odehrává v omezené oblsti Integrál v (550) meme nlyticky vyjádit, tke máme L G m m m ρ L ϕ = rccos + konst G m m m m E + L (55) 38

39 Pokud bychom chtli zchovt ϕ jko prvou nomálii, zvolili bychom konstntu rovnu π Ve vtin fyzikálních textu je le konstnt pokládán rovn nule, eho se v této chvíli pidríme i my Zvedeme-li znení L E L p =, e = +, G m m m m( G m m ) je rovnicí trjektorie rovnice kueloseky s ohniskem v poátku soudnic (553) p ecosϕ ρ = + (554) s prmetrem p excentricitou e Z (553) vidíme, e pro E < 0 je e <, jedná se tedy o elipsu Pi nejmení moné energii, která je rovn minimální efektivní potenciální energii je e = 0 elips pechází n krunici Ze známých vzth pro elipsu máme p G m m p L, e E m E = = b = = ( e ) (555) K minimální mximální hodnot ρ dospjeme bu uváením vlstností elipsy, nebo eením rovnice (body, kde výrz pod odmocninou v integrálu (550) nbývá nulových hodnot) U eff ρ = E : ρ min p p = = ( e), ρmx = = ( + e) + e e (556) Pepíeme-li si (546) n m d A = L ( d A je ploný element) integrujeme pes celou periodu T, dostáváme m A = LT protoe A = π b, dostáváme tetí Keplerv zákon m 3 4π 3 T = 4 π = G m m G m m Pi E > 0 je e > trjektorií je vtev hyperboly ( + ) (557) 39

40 Konen pro E = 0 je e = trjektorií je prbol Odpovídá to zvlátnímu pípdu, kdy v nekonenu je rychlost nulová (je-li v nekonenu celková i potenciální energie rovn nule, musí být nulová i kinetická energie) 6 Pohyb v centrálním poli rozptyl dvou ástic 6 Rozptyl n sféricky symetrickém potenciálu Hned od zátku budeme pedpoklá, e poítáme v tiové soustv eíme tedy ekvivlentní úlohu odchýlení jedné ástice s hmotností m = m m ( m + m ) v poli U ( ρ ) nepohybujícího se stedu silového psobení (umístného ve stedu hmotnosti) U potenciálu pedpokládáme dostten rychlý (co je dostten ukáe konkrétní výpoet) pokles k nule v nekonenu Tké hned od poátku poítáme s pohybem v rovin x y, osu z válcové soustvy soudnic volíme tedy ve smru zchovávjícího se momentu hybnosti Geometrie úlohy je znázornn n obrázku, b je srákový prmetr, χ = π ϕ0 je úhel rozptylu Jk 40

41 uvidíme, trjektorie je vdy symetrická kolem pímky spojující poátek O bod A, kde se ástice pestne pibliovt zne vzdlovt od poátku ástice se nerozptyluje ( χ = 0 ) pi ϕ = obrcí smr pohybu ( χ = π ) pi elní sráce pro odpudivou sílu ( ϕ 0 = 0 ) nebo pi 0 π tsném obhu pro pitlivou sílu ( ϕ0 = π ) Lgrngeov funkce ve válcových soudnicích je Zchovává se energie moment hybnosti m L = ( ρ + ρ ϕ ) U ( ρ ) (6) m E = ( ρ + ρ ϕ ) + U ( ρ ) (6) L = m ρ ϕ e z (63) Konstnty uríme z poáteních hodnot pi t, kdy pedpokládáme Máme tk lim x =, lim y = b, lim x = v, lim y = 0 t t t t m mv E = lim ( x + y ) =, L = m lim ( x y x y) = mbv (64) t t Z výrz pro energii velikost momentu hybnosti máme dϕ L = (65) m ρ dρ L = ( E U ( ρ )), (66) m m ρ horní znménko pltí pro první ást trjektorie (pibliování ρmin druhou ást trjektorie (vzdlování ρmin ), kde ρ min je koenem rovnice ( ρ ) Hodnotu ϕ 0 získáme ze vzth (65) (66) jko ), spodní znménko pro b U = 0 (67) ρ mv ϕ = b dρ ( ρ ) 0 b U ρ ρmin ρ m v (68) 4

42 Zákldní chrkteristiku rozptylu diferenciální úinný prez získáme následující úvhou V experimentu zjiujeme závislost potu rozptýlených ástic n úhlu rozptylu Pedpokládáme tedy rozptyl n poátku homogenního svzku ástic, n bude poet ástic ve svzku procházejících jednotkovou plokou z jednotku su, zjiujeme poet ástic dn rozptýlených z jednotku su do úhlového intervlu ( χ, χ dχ ) prez (má skuten rozmr plochy) je definován jko podíl + Diferenciální úinný dn d σ = (69) n Rozptýlený úhel závisí (pi pevné energii) n hodnot srákového prmetru Je tedy poet ástic rozptýlených do dného úhlového intervlu dán potem ástic se srákovým prmetrem v intervlu b( χ ), b( χ ) db( χ ) mezikruím omezeným tímto intervlem +, tj potem ástic, které z jednotku su dn = n π b db dσ = π b d b Pejdeme te k vyjádení dσ pomocí úhlu rozptylu s uváením výrzu pro element prostorového úhlu Máme ( χ ) db db = d χ, π sinχ dχ = d Ω, (60) dχ tke dostáváme výrz pro diferenciální úinný prez v závislosti n úhlu rozptylu ( χ ) db( χ ) b dσ = d sinχ dχ Ω (6) Absolutní hodnot je ve vyjádení proto, e ( bývá to obvyklé) funkce b( χ ) je klesjící Tké me nstt situce, e do jednoho intervlu úhl rozptylu pispívá více intervl srákového prmetru potom je poteb seíst odpovídjící výrzy 4

43 Skutenost, e úinný prez dobe vystihuje chrkter poítné veliiny je ilustrován n jednoduchém píkldu z obrázku ástice se odráí n bsolutn tuhé kouli polomru R (tj potenciál má tvr U ( r < R) = U ( r R) 0 Doszení do (6) dává π χ χ b = Rsinϕ0 = Rsin = R cos χ R cos d R χ R σ = sin dω = d Ω sinχ 4 > = ) Z geometrie úlohy máme Integrcí pes celý prostorový úhel ( dω = 4π ) dostáváme celkový úinný prez d R tedy skuten prez neprostupné koule, který vidí dopdjící svzek σ = σ = π ástic 6 Rutherfordv úinný prez Popisujeme rozptyl dvou nbitých ástic, které n sebe psobí silou dnou Coulombovým potenciálem U r = Q Q, 4π ε r (6) kde Q Q jsou elektrické náboje ástic Z pedchozích ástí meme vyuít vtinu výsledk, protoe pohyb (v rovin z = 0 ) je popsán Lgrngeovou funkcí m Q Q L = ( ρ + ρ ϕ ) 4π ε ρ Pro strunost budeme znit Q Q ( 4π ε ) 0 (63) 0 Doszením Coulombov potenciálu do (68) dostáváme 0 =, konstnt má rozmr energie krát délk dρ ϕ = b = b x = + ρ bmv bmv dx 0 b ρ x ρ min ρ mv ρ + b m v + bmv Integrál je elementární 43

44 Te u sndno vyjádíme ϕ rccos b mv + b mv 0 = b jko funkci ϕ 0 po substituci ϕ = ( π χ ) 0 Derivujeme (64) vzhledem k χ b b = tg ϕ 0 mv χ = cotg mv (64) χ cos db sinχ b = = dχ mv 3 χ 4 sin mv χ sin po doszení do (6) dostáváme Rutherfordv vzth pro diferenciální úinný prez dω d σ = mv χ 4 sin (65) 63 Popis v lbortorní soustv soustv stedu hmotnosti Výpoty provádné v soustv stedu hmotnosti (zkrácen cms) jsou vtinou podsttn jednoduí Potebujeme-li vk srovnání s experimentem, je teb pevést získné výsledky do soustvy lbortorní Tento pevod není triviální záleitostí Máme-li v lbortorní soustv poátení rychlosti (v nekonenech) ástic v v, jsou jejich rychlosti v cms (oznme v = v v ) p p m v m v + = + = tke m m v = v, v = v, ( 0) ( 0) m + m m + m Po rozptylu se velikosti výsledných rychlostí (opt nekonen vzdálených ástic) v cms co do velikosti nezmní, jenom zmíí jinými stále vk opnými smry m m v = v n, v = v n, m + m m + m 44

45 n ( 0) je jednotkový vektor ve smru rychlosti první ástice Rychlosti v lbortorní soustv získáme pitením rychlosti stedu hmotnosti ( m v + m v ) ( m + m ) Zobrzení hybností po rozptylu v lbortorní soustv je n obrázku, kde jednotlivé zdávné vektory jsou m m OC = p p = mv, m + m m + m m m AO = ( p + p ), OB = ( p + p ) m m m m + + Prkticky dleitý je pípd, kdy jedn ástice je (npíkld m ) je v lbortorní soustv v klidu Potom úhly rozptylu jednotlivých ástic souvisí s úhlem rozptylu v cms pomrn jednoduchým vzthem Tento vzth dostneme z pekresleného obecného obrázku n pípd s jednou ásticí v klidu Levý obrázek odpovídá m < m, prvý obrázek opnému pípdu Z geometrie trojúhelník dostneme m sinχ π χ tg θ =, θ = cos m + m χ (66) 45

46 Druhý vzth plyne okmit z OBC, první vzth je dán tngentovou vtou (obrázek), kdy uváíme AO OC = m m Z první rovnice v (66) dostneme cos χ m m sin cos sin, m θ θ m θ = ± pitom pro m < m je vzth χ θ jednoznný (odpovídjící znménko je plus) pímk vedená pod úhlem θ z bodu A protíná krunici v jediném bod C, pro m > m jsou moné dv prseíky C C Derivováním získáme m ( θ ) + cos m m sinχ dχ = cosθ ± sin θ d θ m m sin θ m V pípd, e jedné hodnot θ odpovídjí dv hodnoty úhlu χ, je teb klesjící vtev odeítt od rostoucí Konen se tedy dostáváme k výsledku m + cos( θ) m m cosθ + dω θ m < m 0 θ π m m sin θ m d Ω χ =, m + cos( θ ) m dω m θ > m 0 θ < θmx m sin θ m (67) 46

47 kde rcsin( m m ) θ = Jk jsme ji uvedli, pevod výsledk do lbortorní soustvy je mx nutný pro pípdné porovnání s experimenty Tento jednoduchý píkld ukzuje, jk výhodné je poítání v soustv stedu hmotnosti 7 Pohyb v centrálním poli hrmonický oscilátor Potenciál má tvr U r = k r Jk ji víme, je výhodné zvolit osu z krtézských nebo válcových soudnic ve smru zchovávjícího se vektoru momentu hybnosti Lgrngeov funkce je pk nebo Zvolili jsme stndrdní oznení ω = ( k m) m mω L = ( x + y ) ( x + y ) (7) m mω L = ( ρ + ρ ϕ ) ρ (7) Lgrngeovy rovnice jsou nebo d L L = + = x x 0 m x mω x 0, d L L = + = y y 0 m y mω y 0 (73) d L L = + = ρ ρ 0 m ρ m ρ ϕ mω ρ 0, d L L = + = ϕ ϕ 0 m ρ ϕ m ρ ϕ 0 (74) Rovnice (73) dokáeme sndno integrovt (homogenní lineární diferenciální rovnice druhého ádu s konstntními koeficienty) ( ω ) ( ω β ) x t = Asin t +, y t = B sin t + (75) Trochu pekvpiv je integrce rovnic v polárních soudnicích, které odráejí symetrii problému obtínjí Rovnici pro úhel jsme nemuseli rozepisovt, i tk je vi, e první integrál je m konst Doszení do rovnice pro rdiální soudnici dává ρ ϕ = L = L ρ + ω ρ = 0 (76) 3 m ρ 47

48 Ne budeme hle eení této rovnice, vimnme si, e velikost momentu hybnosti pro eení (75) je L mω A B sin( β ) = Pro = β se oscilátor pohybuje po pímce, L = 0 rovnice pro rdiální soudnici pejde pochopiteln n rovnici lineárního oscilátoru Energie pro eení (75) je E ( m ) ω ( A B ) = + Rozdíl E ω L je pro tto eení vdy nezáporný 4 m ω E ω L = ( A B ) + 4 A B cos ( β ), 4 Nulové hodnoty nbývá pi pohybu po krunici ( B = A, β = π ) Jednou z moností eení rovnice (76) je vynásobit rovnici ρ, výslednou rovnici pk meme zpst jko d L ρ + ω ρ + 0 = m ρ Je to rovnice zchování energie, kterou jsme ji studovli, tke máme Integrál spoteme dostáváme t = dρ L E ω ρ m m ρ (77) Pro L Lmx E ω E Lω ρ = cos + ( ω t) mω E = = dostáváme pohyb po krunici polomru ρ ( E mω ) (78) = Integrál pro úhlovou soudnici dostneme doszením (78) do m ρ ϕ = L, tke Integrál spoteme dostáváme Lω ϕ = E Lω + cos E ( ω t) Smozejm pro E Lω ϕ = ω rctg tg ( ω t) Lω E L = Lmx = E ω dostáváme ϕ = ω t (79) 48

49 8 Pohyb v neinerciální soudné soustv 8 Trnsformce z inerciální do neinerciální soustvy Inerciální soustvu ozníme K 0 V této soustv bude Lgrngeov funkce jedné ástice ve vnjím poli Soustv soudnic soustvy poátku soustv { } kde e ( t) K se bude pohybovt vi 0 m L = v U 0 K rychlostí V ( t) K rotovt s úhlovou rychlostí ( t) K K jko R ( t) Ω (8) soustv K bude kolem poátku Ozníme-li prvodi spoleného soudnice bodu v soustv K jko x ( t) r t R t x t e t = + 0, je rotující báze soustvy K Je tedy 0 v0 = + x e + x e = V + v + Ω r, máme (8) dr (83) Znení je zejmé z definice neinerciální soustvy V = R, e = Ω e, r = x e, v = x e, x e = Ω r Doszením z (83) do (8) dostáváme m m r m L = v + m v Ω r + Ω r + mv + V U r d (84) Oznili jsme dr v r = + Ω Odetením totální derivce libovolné funkce F soudnic su od lgrngiánu dostáváme ekvivlentní lgrngián, který dává stejné Lgrngeovy rovnice Zvolíme výsledná Lgrngeov funkce bude t m F = V t + mv r m m L = v + mv ( Ω r ) + ( Ω r ) m A r U ( r ) (85) Oznili jsme zrychlení K vi K 0 jko A= dv Prciální derivce potebné pro Lgrngeovy rovnice získáme nejlépe z diferenciálu Lgrngeovy funkce dl = mv dv + m Ω r dv + mv Ω dr + m Ω r Ω dr m A dr U dr 49

50 po úprvách soustední výrz u dv dr tk máme L = m v + m ( Ω r ), v L m ( v ) m = Ω + ( Ω r ) Ω m A U r (86) Lgrngeov rovnice je tedy dv dω m U m A m r m( v ) m = + + Ω + ( Ω r ) Ω (87) Pedposlední len n prvé strn je Coriolisov síl, poslední len síl odstedivá Odstedivá síl leí v rovin ntené n Ω r, pitom je kolmá n Ω míí smrem od osy rotce 8 Rovnomrn rotující soudná soustv V tomto pípd bude Lgrngeov funkce m m L = v + m v Ω r + Ω r U r, (88) co povede k Lgrngeov rovnici dv m U m( v ) m = + Ω + ( Ω r ) Ω (89) Zobecnná hybnost je p = mv + m Ω r energie (poítán jko Hmiltonov funkce, le vyjádená pomocí soudnic rychlostí) m m E = p v L = v Ω r + U (80) (8) Rychlosti v inerciální soustv v rovnomrn rotující soustv jsou spojeny vzthem (83) s V =0, je tedy mono psát (80) jko p = m v 0 = p Jsou tedy hybnosti v soustv K i 0 K 0 stejné Pltí to i pro moment hybnosti M r p m r v ( r ) = = + Ω = m r v0 = r p0 = M 0 Pro porovnání energií dosdím z v do (8) máme m m m E = v Ω r Ω r + U = v + U m v Ω r Zámnou podí vektor ve smíeném souinu dostneme konen Ω r Ω r = Ω r Ω dr v ( Ω dr ) = ( v Ω) dr ( d ) 50

51 E = E M Ω 0 0 Tento nenápdný vzth je zákldem pro zobrzování pomocí jderné mgnetické resonnce 83 Pohyby v grvitním poli Zem ovlivnné její rotcí Odchylk od vertikály pi volném pádu Potenciální energie je U (8) = m g r eení budeme hle poruchovou metodou Abychom vyznili oprvy rzného ádu mlosti, nhrdíme nejprve v Lgrngeov rovnici Ω λ Ω, tke máme dv = g + λ ( v Ω ) + λ ( Ω r ) Ω (83) eení budeme hle ve tvru ( 0) r = r + λ r + λ r + doszení porovnání len u stejných mocnin λ dostáváme soustvu rovnic ( 0) dv dv ( 0) = g, = v Ω, ( n) dv ( n ) ( n ) = v Ω + ( Ω r ) Ω, n =,3, Není obtíné spoítt první leny, tke pro r r + r ( 0) dostáváme ( 0) v = v + λ v + λ v + Po (84) 3 r h + v0 t + g t + g Ω t + v0 Ωt, (85) 3 poátení poloh rychlost jsou h v 0 Zvolíme-li smr osy z po kolmici k zemskému povrchu vzhru, smr osy x (n severní polokouli) po poledníku k rovníku smr osy y po rovnobce n východ, máme g = g e, Ω = Ω cos λ e + Ω sin λ e ( λ je zempisná ík) z x z Dostáváme tk v tomto piblíení pro nulovou poátení rychlost odchylku od vertikály východním smrem 5

52 3 3 t h x 0, y g Ωcosλ g Ωcos λ (86) 3 3 g Foucultovo kyvdlo Uspoádání je n obrázku Zvolíme sférickou soudnou soustvu s poátkem v bod závsu O Oproti stndrdní volb je zimutální úhel odpoítáván od záporného smru osy z polární úhel od osy y k ose x Soustv s jednotkovými vektory e, e, e tk zstává prvotoivá Podsttné vektory pro popis jsou { r θ ϕ} r = l er, T = T er, g = g ez = g cosθ er g sinθ e θ (87) Ω = Ω[ cosλ ex + sinλ ez ] = (88) Ω ( cosλ sinθ sinϕ + cosθ sinλ ) er + ( cosλ cosθ sinϕ sinθ sinλ ) er cosϕ cos λ e ϕ Pro úplnost uvádíme pevodní vzth od stndrdní krtézské soustvy k ní sférické er = sinθ sinϕ ex + sinθ cosϕ ey cosθ ez eθ = cosθ sinϕ ex + cosθ cosϕ ey + sinθ ez e = cosϕ e sinϕ e ϕ x y (89) výrzy pro sovou derivci vektor sférické báze de d d r e e θ ϕ = θ eθ + ϕ sin θ eϕ, = θ er + ϕ cos θ eϕ, = ϕ sinθ er ϕ cos θ eθ (80) Rychlost zrychlení jsou pk r = l θ eθ + ϕ sin θ e ϕ, r = l ( θ + ϕ sin θ ) er + ( θ ϕ sinθ cosθ ) eθ + ( θ ϕ cosθ + ϕ sin θ ) e ϕ Pohybové rovnice jsou (8) 5

53 g θ + θ = θ θ ϕ Ω ϕ θ ( λ θ ϕ + θ λ ) l θ cosθ ( ϕ Ω sinλ ) = Ωsinθ sinϕ cosλθ sin θ ϕ sin sin cos sin cos sin sin cos sin, (8) Pedpokládáme, e θ ϕ θ (tedy jedná se o kmity s mlou mplitudou period stáení roviny kmit je velká ve srovnání s periodou kyvdl) Potom se rovnice (8) v prvním piblíení zjednoduí n g θ + θ = 0, ϕ = Ωsin λ (83) l N rovníku ke stáení roviny kmit nedochází, n pólu je periodou jeden den 9 Hmiltonov formulce mechniky 9 Hmiltonovy rovnice Úplný diferenciál Lgrngeovy funkce (tedy funkce soudnic rychlostí) je L L L L dl = dq + dq + = p dq + p dq + d t, q q t t (9) kde jsme dosdili p z definice zobecnné hybnosti p z Lgrngeových rovnic Dále npíeme p dq = d p q q d p po doszení do (9) vhodném uspoádání dostáváme L d( p q L) = p dq + q d p d t (9) t Výrz v závorce n levé strn je Hmiltonov funkce (podle diferenciál n prvé strn chápán jko funkce soudnic hybností) Diferenciál této je Porovnáním (9) (94) dostáváme jednk = H q, p, t p q L q, q, t (93) H H H dh = dq + d p + d t q p t (94) H L = t t q, p q, q (95) pedevím Hmiltonovy rovnice 53

54 dq H d p H =, = p q (96) Pokud Lgrngeov funkce závisí n njkém prmetru λ, který npíkld chrkterizuje vnjí pole, pidáme n prvé strn písluný diferenciál Obdobn jko v pípd su v (95) je potom H L = λ λ q, p q, q (97) Lgrngeovy Hmiltonovy funkce ástice v potenciálovém poli mjí ve tech nejstji uívných soudných soustvách tvr m L = x + y + z - U x y z H = p + p + p + U x y z m ( ) (,, ) ( x y z ) (,, ) æ p ö ç ç m L = + + z - U z H = p + + p + U z m çè ρ ø ϕ ( ρ ρ ϕ ) ( ρ, ϕ, ) ç ρ z ( ρ, ϕ, ) æ p p ö m L = r + r + r - U r H = p U r m ç çè r r sin θ ø θ ϕ ( θ sin θ ϕ ) (, θ, ϕ) ç r (, θ, ϕ) 9 Poissonovy závorky Poítejme úplnou sovou derivci njké funkce f ( t, q, p ) d f f f f = + q + p (98) t q p Dosdíme-li do (98) z Hmiltonových rovnic (96), dostáváme d f f f H f H = + - t q p p q Jko Poissonovu závorku dvou funkcí f g definujeme výrz { f g} = - f g f g p q q p Meme tedy (99) pomocí Poissonovy závorky zpst jko d f f = + t { H f } (99) (90) (9) Sndno ovíme pltnost dy vzth (c je konstnt) ì f ü ì g ü f g = - g f, f c = 0, f g = ï í gï ý + ï í f ï ý, t ïî t ïþ ïî t ïþ { } { } { } { } { f + f g} = { f g} + { f g}, {( f f ) g} = f { f g} + f { f g} (9) 54

55 zejmén f f =, = -, p q { f q } { f p } { q q } { p p } { p q } (93) = 0, = 0, = δ (94) β β β β Relce (94) velmi pipomínjí kvntov mechnické vzthy pro komutátory operátor soudnic hybností, není to náhodná shod Reltivn nejprcnjí n poítání je ovení Jcobiho identity { f { g h} } { g { h f }} { h{ f g} } = (95) Této velmi dleité vlstnosti Poissonových závorek vyuijeme pi dkzu následujícího tvrzení: Jsou-li f g integrály pohybu, je integrálem pohybu i jejich Poissonov závork { f g } Poítejme d f g { f g} = { f g} + { H { f g} } = g + f { f { g H} } { g{ H f }} = t t t f g d f dg + { H f } g + f + { H g} = g + f t t skuten tedy 93 Hmiltonov Jcobiho rovnice d f dg d = 0 = 0 { f g} = 0 (96) Lgrngeovy rovnice jsme odvozovli tk, e jsme hledli trjektorii mezi dvm pevnými body, pro kterou nbývá úinek minimální hodnoty Vrice úinku je t S = L (97) t0 t L L d L δ S = δ q + δ q d t q q q t0 t t0 (98) Podívejme se te n vzth (98) jink Pedpokládejme, e vycházíme z pevného bodu (tj δ q t 0 = 0 e se pohyb dje po skutené trjektorii (tj jsou splnny Lgrngeovy rovnice), pitom koní v rzných bodech q Úinek se pro koncové body liící se o q ( t) o hodnotu δ bude liit 55

56 L δ S = δ q = p δ q q (99) Proto tedy, chápeme-li úinek jko funkci soudnic koncového bodu, meme psát S q = p (90) Z definice úinku (97) máme pímo ds L = (9) Úplnou sovou derivci meme vk tké zpst jko ds S S S = + q = + p q t q t (9) Porovnáním (9) (9) dostáváme S = p q L t (93) nebo se zvedením Hmiltonovy funkce S = H ( t, q, p ) t (94) Do tohoto vzthu meme dosdit z p ze (90) dostáváme tk nelineární prciální diferenciální rovnici (Hmiltonovu Jcobiho) S S + H t, q, 0 = (95) t q Elementárním píkldem je rovnice pro volnou ástici zpsná v krtézských soudnicích S S S S = 0, t m x y z jejím eením je npíkld S p x p y p z ( p p p ) t ( m) ( ) S p x y z p t m = Mupertuisv princip Npíeme diferenciál funkce S S ( q, t) = nebo x y z x y z = dosdíme z (90) (94), tke S S ds = dq + = p dq H q t (96) po integrci 56

57 ( ) V pípd, e se energie zchovává ( H = E = konst ) S = p dq H d t (97) S = S q E t, S q = p d q (98) 0 0 Uvujme Lgrngeovu funkci β L = ( q) q q β U ( q), β = β, potom budou hybnosti zchovávjící se energie p L = = q β dq β β dq dq E = β q + U q Odsud Dále β dq dq β = ( E U ) (99) β β dq dq dq p dq = β dq = β = ( E U ) d t (930) Nkonec tedy doszením (930) (99) do výrzu pro S zkráceného (myleno odetením lenu E t ) úinku 0 q dostáváme vyjádení β β (93) S0 = E U dq d q Pro jednu ástici je kinetická energie m dl T = kde dl je element délky trjektorie Obecný výrz (93) se zjednoduí n, S0 = m E U d l (93) Kdybychom chtli podobnost s Fermtovým principem zesílit, podlíme ob strny konstntním lenem m E meme psát δ S0 = δ n dl = 0, m E (933) 57

58 kde index lomu je definován jko U n = E (934) V optice nbitých ástic má tento výrz (lespo pro elektrosttická pole) pesn význm indexu lomu prostedí Z Mupertuisov vriního principu (933) dostneme rovnici trjektorie Pi vrici U dr δ E U dl = δ r + E U dδ r = r E U dl dr U d dr E U δ r δ r + E U δ r = 0 dl r E U dl dl jsme pouili uiteného obrtu dl = dr dr dl δ dl = dr δ d r Rovnice trjektorie tedy je d dr U E U E U = dl dl r Ozníme sílu F = U r jednotkový tený vektor ke trjektorii τ = dr dl Provedeme nznenou derivci dostáváme d r F ( F τ ) τ = dl E U ( ) Výrz v itteli n prvé strn rovnice (935) je normálová slok síly n = ( ) (935) F F F τ τ Musí tedy i vektor n levé strn mít tuto orientci Skuten tké d r d τ n = =, dl dl R (936) kde R je polomr kivosti trjektorie n je jednotkový vektor hlvní normály Zpíeme-li jet dvojnásobek kinetické energie jko Newtonovy mechniky Oznme podle obrázku [ t, t t] vektoru r ( t) m v n R T = E U = mv, dostáváme známy vzth = F n 58 σ + rovinu urenou koncovým bodem jednotkovými vektory τ ( t) τ ( t + t) okolí bodu B ( t) tím lépe, ím je (937) B t polohového Tto rovin se pimyká ke kivce C v t mení Limitním pípdem rovin σ [ t, t + t] pro t 0 je tzv

59 oskulní rovin ( t) σ Vzhledem k tomu, e pi t 0 vektory τ ( t) τ ( t + t) splynou, je teb njít jiný vhodný vektor, který spolu s bodem B ( t) vektorem τ ( t) uruje rovinu ( t) Tuto vlstnost má vektor ( t) σ τ Jednotkový vektor je pk n = τ τ Zopkujme jet vzthy pro jednotkové vektory tený, normály binormály dr dr dl dτ dτ dl v = = vτ, = = n dl dl R, ν = τ n (938) 0 Pohyb tuhého tles 0 Tuhé tleso Tuhé tleso definujeme jko soustvu hmotných ástic, jejich vzdálenosti se nemní Vzthy budeme poítt pro diskrétní soustvy, le pechod ke spojitému rozloení je sndný m { } ρ { }d V (0) Vtinou meme uvovt o soustv sloené z identických ástic, potom v sumci nepíeme index ástice Zákldní popis se dje v krtézské inerciální (lbortorní) soudné soustv XYZ pomocí krtézské soudné soustvy x x x 3 pevn spojené s tlesem její poátek O umístíme do hmotného stedu tles 3 Soudnice bodu O jsou v inerciální 3 Z prktického hledisk budeme v této kpitole uívt znení 3 sítcí prvidlo seítá se vdy, kdy len obshuje veliiny se stejnými indexy (nemusí být tedy jeden nhoe druhý dole Máme tk pro sklární souin vektor i i ( b ) = εi k l k bl i 59 b = b Tké se seítá, je-li veliin ve druhé mocnin, protoe x i = xi xi x = x, y = x, z = x pozmníme pro sloky vektorového souinu

60 soustv zdány prvodiem R, orientce soustvy x x x 3 vi inerciální soustv pomocí tí úhl Pedstvuje tedy tuhé tleso mechnickou soustvu se esti stupni volnosti Soudnice obecného bodu tles P v inerciální soustv jsou zdány prvodiem r, v soustv spojené s tlesem prvodiem r Mlé posunutí bodu P o d r je sloeno z posunutí celého tles spolen s poátkem O, tj dr rotce tles kolem poátku o mlý úhel δϕ, tj δϕ r dr = d R + δϕ r Zvedením písluných rychlostí dr dr dϕ = v, = V, = Ω (0) dostáváme z pedchozího vzthu v = V + Ω r (03) Vektor V udává rychlost trnslního pohybu tles jko celku, Ω je úhlová rychlost rotce tuhého tles Pokud umístíme poátek soudné soustvy spojené s tlesem místo do hmotného stedu do jiného bodu O ( OO = ), zstne pochopiteln r stejné bude R = R + r = r Doszení do (03) dává v = V + Ω + Ω r, co le máme zpst v nové soustv tké jko sloení trnslního rotního pohybu, tedy v = V + Ω r Porovnáním obou výrz dostneme trnsformní vzth r = r, V = V + Ω, Ω = Ω (04) Tento vzth popisuje dv dleité skutenosti: Pedevím Ω je stejné pro vechny soustvy s rovnobnými soudnými osmi, meme proto dobe mluvit o úhlové rychlosti tles jko 60

61 tkové Dále je vi, e pokud v nkterém okmiku V Ω = 0, pltí to i pro libovoln zvolený bod O 4 0 Tensor setrvnosti Dosdíme-li ve výrzu pro kinetickou energii ( v je rychlost v inerciální soustv) ze vzthu (03), dostáváme mv T = T = V + Ω r = V + mv Ω r + Ω r m m m V prvním lenu je V pro vechny ástice stejné, tke s oznením celkové hmotnosti pomocí M bude tento len m M V V = Úprvou druhého lenu dostáváme mv Ω r = m r V Ω = V Ω R, R = m r cm cm Umístíme-li poátek soudné soustvy do stedu hmotnosti, je výe uvedený len nulový Ve tetím lenu rozepíeme druhou mocninu r r r r Ω Ω = Ω Ω = r r Ω Ω r Ω = Ω r Ω r Kinetická energie tuhého tles bude tedy M V T = + m Ω r Ω r Pi zápisu v krtézských slokách dostneme pro rotní ást energie postupn m r r Ω Ω = m Ωi Ωi xl Ωi xi Ω k x k = m Ωi Ωk δik xl Ωi Ω k xi x k = Ωi Ωk m xl δi k xi x k Definujeme tensor moment setrvnosti (krátce tensor setrvnosti) ( δ ) (05) Ii k = m xl ik xi xk (06) Tensor setrvnosti je z definice symetrický tensor druhého ádu 4 V pípd, e V Ω 0 tkové polohy bodu O, e V, meme eením rovnice Ω ( V + Ω ) = 0 Ω 6, tj trnslní pohyb se dje podél osy otáení (neznámou je vektor ) njít

62 I i k = I (07) k i jko tkový me být vhodnou volbou orientce soudných os piveden k digonálnímu tvru I 0 0 Ω Ii k Ωi Ω k = ( Ω Ω Ω3 ) 0 I 0 Ω = IΩ + I Ω + I3Ω3 0 0 I Ω 3 3 (08) Hlvní momenty setrvnosti mjí tu vlstnost, e souet libovolných dvou z nich je vtí nebo nejmén roven zbývjícímu npíkld I I m y z z x m x y I + = = 3 Pokud poátek soudné soustvy spojené s tlesem neleí ve hmotném stedu, je tensor setrvnosti po doszení r = r ( δ ) ( δ ) ( δ ) δik l m xl + i m xk + k m xi I = m x x x = m x x x + m i k l i k i k l i k i k l ik i k protoe m r = 0, dostáváme ( δ ) Iik = Iik + m l i k i k (09) Pi I = I I3 mluvíme o symetrickém setrvníku, jsou-li si vechny hlvní momenty rovny, jde o sférický setrvník Závrem npíeme Lgrngeovu funkci tuhého tles jko M V L = + I Ω Ω U (00) i k i k Potenciální energie je funkcí tí sloek vektoru R tí úhl, které chrkterizují orientci soustvy x x x 3 vi soustv XYZ 03 Moment hybnosti tuhého tles Moment hybnosti poítáme v soustv, kde poátek je spojen s hmotným stedem tuhého tles Je tedy nebo ve slokách M = m r ( Ω r) = m ér Ω -( r Ω) r ù å å êë úû å å å M i = = m éxl Ωi xk Ωk x ù i m éxl δi k Ωk xk Ωk x ù i Ωk m éxl δik xi x ù êë - úû = êë - úû = êë - k úû Srovnáním posledního výrzu s definicí tensoru setrvnosti (06) vidíme, e M i = Ii k Ωk (0), 6

63 Pokud budou osy x x x 3 orientovány podél hlvních os setrvnosti tles, je pk æm ö æ I 0 0 öæω ö M 0 I 0 Ω = çm 0 0 I Ω è ø çè øèç ø (0) Pokud n tuhé tleso nepsobí vnjí síly, moment setrvnosti se zchovává Vimnme si pípdu symetrického setrvníku z obrázku Os x 3 je osou symetrie Osu x zvolíme tk, e je kolmá k rovin vytvoené vektorem M okmitou polohou osy x Potom je M = 0 podle (0) musí být Ω = 0 To ovem znmená, e vektory M, Ω e 3 leí v jedné rovin, tke rychlosti bod n ose x 3 v Ω e3 jsou kolmé k této rovin Os symetrického setrvníku rotuje kolem smru M po pláti kuelu (regulární precese), zárove setrvník rotuje kolem osy symetrie Úhlová rychlost této rotce je jednodue M M 3 Ω 3 = = cos θ (03) I3 I3 Úhlovou rychlost precese získáme rozkldem Ω do smr e 3 M První projekce nevede k ádnému posunu osy x 3, tke rychlost precese je uren druhou projekcí Z obrázku Ω M M sinθ Ω I Ω I Ω sin θ = = =, p p p odkud M Ω p = (04) I 63

64 04 Pohybové rovnice tuhého tles Ji jsme zmiovli, e tuhé tleso má est stup volnosti Obecný popis musí tedy být vyjáden pomocí esti nezávislých rovnic Budou to rovnice urující sovou derivci dvou vektor hybnosti momentu hybnosti (v eské litertue sto nzývné první druhá impulzová vt) První rovnici dostneme sndno setením pohybových rovnic jednotlivých ástic p = f, kde p je hybnost ástice f n ni psobící síl Zvedením celkové hybnosti P = p = m v = M V celkové síly F = f meme psát dp F = (05) Ve výrzu pro sílu meme seítt pouze vnjí síly, vzájemné silové psobení ástic tles se vyruí Je-li U potenciální energie tles ve vnjím poli, meme sílu získt derivováním potenciální energie podle soudnic hmotného stedu Pi trnslním pohybu se mní prvodie r vech ástic o stejnou hodnotu δ R, tke U U δu = δ r = δ R = f δ R = F δ R r r Kinetickou energii trnslního pohybu meme psát obvyklým zpsobem jko T = M V, tke rovnice (05) jsou Lgrngeovy rovnice pro Lgrngeovu funkci soudnic rychlosti hmotného stedu tuhého tles d L L = 0 (06) V R Pi odvození výrzu pro sovou derivci momentu hybnosti budeme pedpoklá, e soustvu XYZ jsme zvolili tk (vzhledem ke Glileiho principu reltivity to neomezí obecnou pltnost výsledku), by v ní byl v dném okmiku hmotný sted tuhého tles v klidu, tj by V =0 tedy v = r = r Máme pk dm d = r p = r p + r p = m v v + r f = 0 S oznením momentu sil (opt stí uvovt vnjí síly) K = r f dostáváme rovnice dm = K (07) (08) 64

65 Ob momenty závisí n volb poátku soudnic, vi kterému jsou poítány Ve vztzích (07) (08) je tímto poátkem hmotný sted tles Tké rovnice (08) meme chápt jko Lgrngeovy rovnice d L L = 0 Ω (09) ϕ Kinetickou energii jsme ji pomocí úhlové rychlosti vyjádili Pro zmnu potenciální energie pi otoení tles o úhel δϕ máme δu = f δ r = f δϕ r = δϕ r f = K δϕ tke skuten U L K = = ϕ ϕ, Pi posunutí poátku soudné soustvy o vektor budeme mít po doszení do r = r + (07) tke K = r f = r f + f K = K + F Ze vzthu (00) vyplývá npíkld, e pokud je F = 0, (00) (dvojice sil), nezávisí moment síly n vztném bod Dále je z tohoto vzthu vi, e pokud jsou vektory K F nvzájem kolmé, je moné vdy njít tkový vektor, e bude K nulovým vektorem K = F Psobení vech sil je tedy mono nhrdit psobením jediné síly Njdeme-li njký uritý vektor, pk pirozen meme psobit posouvt podél pímky dné smrem síly ( + F F = F Typickým píkldem je tuhé tleso v homogenním poli 05 Eulerovy úhly Eulerovy rovnice Pi konkrétním výpotu pedstvuje problém to, e máme rotní ást kinetické energie vyjádenu pomocí úhlových rychlostí rotce kolem soudných os soustvy spojené s tuhým tlesem ( x x x 3 ), ztímco pohybové rovnice (09) jsou zpsány v pevné soustv XYZ tké potenciální energie bude spíe vyjdován v této pevné soustv Jednou z moností je vyjádit úhlové rychlosti Ω pomocí sových derivcí úhl, chrkterizujících ntoení x x x 3 vi XYZ, tj zvedení Eulerových úhl Druhou moností je pk zpst pohybové rovnice v rotující soudné soustv Eulerovy rovnice 65

66 Nejprve zvedeme Eulerovy úhly Podle obrázku ztotoníme poátky obou soudných soustv Rovin x x protíná rovinu XY v pímce ON, kterou budeme nzývt uzlovou pímkou Tto pímk je zejm kolmá jk k ose Z, tk k ose x 3 Kldnou orientci zvolíme ve smru vektorového souinu e Z e Pro popis ntoení 3 x x x vi XYZ zvolíme ti úhly: 3 úhel θ od Z k x 3, úhel ϕ mezi X N úhel ψ mezi N x, pitom kldná orientce ϕ ψ je dán prvotoivostí rotce kole Z x 3 Úhel θ se mní od nuly do, zbývjící dv úhly od nuly do Je zjímvé povimnout si, e θ ϕ π pedstvují polární zimutální úhel x 3 v soustv XYZ, ztímco θ π ψ pedstvují polární zimutální úhel Z v soustv x x x 3 Nyní je moné vyjádit prmty uhlových rychlostí θ, ϕ, ψ do os soustvy x x x 3 Úhlová rychlost θ míí podél uzlové pímky její sloky jsou tedy θ = θ cos ψ, θ = θ sin ψ, θ = 0 3 Úhlová rychlost ϕ míí podél osy Z má sloky ϕ = ϕ sinθ sin ψ, ϕ = ϕ sinθ cos ψ, ϕ = ϕ cos θ 3 Konen ψ míí podél osy x 3, tke ψ = ψ = 0, ψ 3 = ψ Meme tk zpst výsledné výrzy pro sloky vektoru Ω Ω = ϕ sinθ sinψ + θ cos ψ, Ω = ϕ sinθ cosψ θ sin ψ, Ω = ϕ cos θ + ψ 3 Dosdíme-li do výrzu pro rotní ást kinetické energie symetrického setrvníku dostáváme I I T = ( Ω + Ω ) + Ω 3 rot 3, (0) 66

67 I I3 T rot = ϕ sin θ + θ + ϕ cos θ + ψ (0) Známou úlohou je rotní pohyb v homogenním grvitním poli symetrického setrvníku s pevným spodním bodem (vlek), který uiníme spoleným poátkem obou soudných soustv Sted hmotnosti leí n ose setrvníku ve vzdálenosti l od poátku, jk je znázornno n obrázku Lgrngeov funkce je I + M l I3 L = ( ϕ sin θ + θ ) + ( ϕ cosθ + ψ ) M g l cos θ (03) Soudnice ψ ϕ jsou cyklické, máme tk hned dv zchovávjící se veliiny L pψ = = I3 ( ψ + ϕ cosθ ) = konst = M 3, ψ L pϕ = = ( I sin θ + I3 cos θ ) ϕ + I3ψ cosθ = konst = M Z ϕ (04) Oznili jsme I = I + M l Ponvd Lgrngeov funkce nezávisí explicitn n se, zchovává se tké energie I I3 E = ( ϕ sin θ + θ ) + ( ϕ cosθ + ψ ) + M g l cosθ = konst (05) Z rovnic (04) vypoteme ψ ϕ M M cosθ M M M cosθ ϕ =, ψ = cos θ (06) θ Z 3 3 Z 3 I sin θ I3 I sin Tyto hodnoty pk dosdíme do (05) Dostáváme tk obyejnou diferenciální rovnici prvního ádu pro úhel θ E I (07) eff = θ + Ueff ( θ ), 67

68 kde ( M M cosθ ) M E = E M g l, U = M g l ( cos θ ) (08) θ 3 Z 3 eff eff ( θ ) I3 I sin Moné jsou tkové hodnoty úhlu θ, kdy E U ( θ ) pípdu M Z M 3 = funkce eff eff eff Protoe vk (s výjimkou zvlátního U θ jde do nekonen jk pi θ 0, tk pi θ π nkde v intervlu [ 0,π ] nbývá minim, bude se pohyb odehrávt v omezeném intervlu úhl θ θ θ Chrkter trjektorie jet závisí n tom, zd ϕ mní znménko, co je podle (06) dáno výrzem M M cos 3 θ Je-li tento výrz kldný v celém dovoleném intervlu Z úhl θ, vypdá trjektorie podobn obrázku ) Mní-li znménko pro njké θ z dovoleného intervlu, má trjektorie podobu obrázku b) Nbývá-li výrz nulové hodnoty v krjním bod intervlu, np θ, vypdá trjektorie jko n obrázku c) Nyní pejdeme k druhému zpsobu popisu k Eulerovým rovnicím Ozníme sovou zmnu vektoru S vzhledem k pevné soustv XYZ jko ds Pokud se vektor v rotující soudné soustv x x x 3 nemní, je celá zmn v soustv XYZ zpsoben pouze rotcí, tj ds = Ω S Obecn musíme pi n prvou strnu monou zmnu vektoru S vzhledem k rotující soustv 68

69 ds d S = + Ω S (09) Pohybové rovnice (05) (08) pepíeme tkto n d P d M + Ω P = F, + Ω M = K (030) Npíeme-li rovnice ve slokách prmtech do os soustvy x x x 3, je pro derivce vzhledem k této soustv smozejm d S d( e S ) ds e = = podobn pro dlí dv sloky Máme tk z (030) dv soustvy rovnic (píeme P = M V ) dv M + Ω V3 Ω 3 V = F dv M + Ω3V Ω V3 = F dv 3 M + ΩV Ω V = F3 dω I + ( I I ) Ω Ω = K 3 3 dω I + ( I I ) Ω Ω = K 3 3,,,, (03) (03) dω 3 I3 + ( I I ) Ω Ω = K3 Jko píkld uvme volný pohyb ( K = 0 ) symetrického ( I = I ) setrvníku Ze tetí rovnice (03) máme Ω 3 = konst První dv rovnice dávjí Tuto soustvu sndno vyeíme I I Ω = ω Ω, Ω = ω Ω, ω = Ω = konst 3 3 I ( ω ) ( ω ) Ω = Acos t +, Ω = Asin t + 69

70 Mechnik pruných tles Tensor deformce Pi definici tuhého tles se pedpokládlo, e vzdálenosti mezi ásticemi tvoícími tleso se nemní Pipustíme te mlé zmny tchto vzdáleností zpsobené vnjími silmi (deformce tles) Uvujme dv ástice tles v blízkých polohách A B, tj vzdálené o D r = r - r Po deformci zujmou ástice dv nové, le stále blízké polohy A B, tj 0 B A D r = r + u - r + u =D r +D u Posunutí jednotlivých bod me být konené, le 0 B B A A vzdálenosti jednotlivých bodu se mní jen málo, meme tedy v rozvoji D u ponecht jen první len u D x = D x + Dx i i 0i 0 k xk A A B B Pro kvdrát délkového elementu pk máme u u u = = + + i i i l xi xi x0i x0i x0i x0 k x0k x0l xk xk xl Tento výrz meme zpst jko l = l + u x x, () 0 i k 0i 0k kde ui k = uk i je symetrický tensor druhého ádu tensor deformce u i k ui uk ul u l = + + () xk xi xi xk Jko u kdého symetrického tensoru meme zvolit tkovou soudnou soustvu, e je tensor digonální u i k u 0 0 = 0 u 0 ( 3) 0 0 u 70

71 V tkové soustv pk x + x + x = + u x + + u x + + u x Reltivní prodlouení (zkrácení) v jednotlivých hlvních smrech je x x ( u ) u i 0i i i x 0i = (3) Pibliný vzth pltí tehdy, jsou-li deformce mlé to znmená prkticky ve vech pípdech (Vidíme tké, pro ve výrzech () () vystupuje dvojk) Pro mlé deformce je moné znedbt kvdrtický len v (), tke tensor mlé deformce je Pro zmnu objemu pi deformci máme u i k ui u k = + xk xi ( 3) ( ) V = x x x = + u + u + u x x x Stop (souet digonálních element) je le invrintem, tke pltí ( 3) + + = + + = u u u u u u33 Tr u i k u u u V 0 (4) Máme tedy (v libovolné soustv) vyjádenu reltivní zmnu objemu pruného tles jko Tensor nptí V V0 V = = Tr ( ui k ) (5) V V 0 0 Pi deformcích se objevují síly, které psobí proti deformci sní se vrátit tleso do pvodního stvu Tmto silám íkáme vnitní nptí Jsou to molekulární síly, které psobí jen v bezprostedním okolí Z hledisk mkroskopické teorie meme uvovt jen o psobení sousedních ástic n vybrný objemový element pruného tles psobí okolní ásti tles pouze povrchem vybrné ásti Síl psobící n objem je soutem sil psobících n elementy dného objemu F dv Síly vzájemného psobení jednotlivých element uvnit zvoleného objemu se díky zákonu kce rekce ruí, výsledné síl je tedy dán jen psobení okolí objemu Protoe vk toto psobení se dje jen styným povrchem, musíme být schopni pevést uvedený objemový integrál n ploný Bude to zobecnní známé Gussovy vty, kdy objemový integrál skláru, vyjádeného jko divergence njkého vektoru F = σ i xi 7

72 V V i i S i i, kde n je jednotkový pevedeme n ploný integrál F dv = σ x dv = σ n ds vektor vnjí normály Budeme tedy pedpoklá je pk F i σ ik = (6) x σ i k fi dv = dv = σ i k nk d S x S k Ze vzthu (7) vidíme, e σ n ds je i tá slok síly, psobící n ploný element n ds k V (7) V i k k Npíkld n jednotkovou ploku kolmou k ose x psobí k ní kolmá (ve smru osy x) síl tené (ve smru osy y resp z) síly σ y x resp σ z x Pokud jde o znménko σ i k nk ds, je to síl, kterou psobí okolí n uvovný objem (i kdy je n vnjí normál) Tke síl, kterou psobí vnitní nptí n povrch celého pruného tles je σ i k nk d S Tensor σ i k se nzývá tensor nptí Je stejn jko tensor deformce symetrický, le to je teb jet dokázt (u tensoru deformce plynul symetrie pímo z definice) Dkz vychází z podvku, by tké moment hybnosti sil psobících n vybrný objem byl vyjáden jko integrál po povrchu Máme ó æ σ il σ ö kl M ik = ( Fi xk Fk xi ) dv xk x ò - = ô - i dv = V ç x x õ è ø ó ô õ ó æ xk x ö i ( σ il xk -σ kl xi ) dv - σ il σ ô - kl dv = x ç x x õ è ø V l V l l ò S V ( σ il k -σ kl i ) l - ò ( σ i k -σ ki ) l x x n ds d V Pouili jsme jednk zobecnnou Gussovu vtu v prvním lenu pk doszení xk xl = δk l xi xl = δil ve druhém lenu Vynulování píspvku objemového integrálu vyduje symetrii tensoru nptí ik k i V l σ x x σ = σ (8) Symetrii tensoru nptí meme ukázt názorn n píkldu krychliky hrny Podíváme-li se n ni v rovin x x, vidíme dvojice sil, které by mohly krychli roztáet: n prvé stn (první index je slok síly, druhý slok normály) je síl σ, n horní stn σ Pro kompensci musí být σ = σ 7

73 Tensor nptí má velmi jednoduchý tvr v pípd, kdy je tleso ze vech strn rovnomrn stlováno (hydrosttická komprese) N ploný element psobí síl (tlk míí ve smru vnitní normály) - p n ds Tuto sílu vk máme pomocí tensoru nptí vyjádenu jko i σ ik nk ds Zpíeme tedy umle ni = δik nk porovnáním dostneme σ ik = - pδ (9) i k Pi rovnováze musí být souet síly vnitních nptí (6) hustoty vnjích objemových sil roven nule f i σ x i k k + f = 0 i (0) V homogenním grvitním poli je fi = ρ gi, kde hustot ρ je zdná funkce, znedbávjí se tedy její zmny zpsobené vnitními nptími Vnjí síly psobící n element povrchu tles P ds musí být vykompensovány silou vnitních nptí, kterými psobí element povrchu tles n okolí Pltí tk n povrchu tles P ds - σ n ds = 0 Meme tedy tuto rovnost i ik k povovt z okrjovou podmínku pro rovnice rovnováhy σ n = P () ik k S i Pomocí vnjích povrchových sil meme spoítt stední hodnotu tensoru nptí, ni musíme eit rovnice rovnováhy Máme ó æ σ il σ ö æ kl xk x ö i xk x ó ó i dv ( σ il xk σ kl xi ) dv σ il σ ô + = kl dv = ç x x ô ô x ç x x õ è ø õ õ è ø V l l V l V l l ò ( - ) - ò ( + ) = ò ( + ) - ò σ n x σ n x ds σ σ dv P x P x ds σ d V il l k kl l i i k ki i k k i i k S V S V Pro stední hodnotu tensoru nptí pk 73

74 3 Hookv zákon σ = dv ( P x P x ) d S i k V ò σ = V ik V ò + () S i k k i Pro odvození zobecnné formy Hookov zákon bude vhodné vyjít z termodynmického popisu pruného tles Druhá vt termodynmická íká, e zmn vnitní energie tles je rovn tlesem pijtému teplu zmenenému o tlesem vykonnou práci du = T ds - d R Vzthujeme-li veliiny du, ds dr n jednotkový objem, budeme psát du = T ds - d R (3) Uvujme práci, kterou vykonjí vnitní nptí, zmní-li se vektor posunutí uvnit tles o mlou hodnotu ui ui + δ ui, δ = 0 Práce konná v elementu objemu dv je u i S δ R dv = F δ u dv, celková práce tedy bude integrálem i ò V i ó σ i k ó ó δ ui δ R dv = ô δ ui dv = ô ( σ i k δ ui ) dv - ô σ i k dv = õ x õ x õ x V k V k V k ò S ó δ ui σ i k δ ui nk ds - ô σ ik d V õ x Podle pedpokldu je první integrál po povrchu roven nule, druhý integrál uprvíme s vyuitím symetrie tensoru deformce ò Dostli jsme tk V ó δ ui ó æ δ ui δ u ö k δ R dv = - σ i k dv σ ô = - ô i k + dv = õ x ç x x õ è ø Doszením (4) do (3) dostáváme V k V k i ó æ ui u ö k - σ i k δ ô + dv = - σ i k δ ui k d V ç ç x x è ò õ ø V V k i δ R = -σ δ u (4) ik ik du = T ds + σ d u (5) Pi hydrosttickém stlení je dostáváme po doszení ze vzthu (9) do (5) výrz i k i k du = T ds - p d u ii Po vynásobení objemem V 0 doszením z du ii z (5) dostne pedelý tvr známou tvá du = T ds p d V (6) V k 74

75 Pokrujeme vk s veliinmi vztenými n jednotkový objem Volná energie je F = U -T S, tke F F df = - SdT + σ i k d ui k, S = -, σ i k = (7) T u Volná energie (pi konstntní teplot) nedeformovného tles neme mít leny, které by vedly k pítomnosti vnitních nptí, musí být tedy druhého ádu v u i k Tvr kvdrtického lenu je velmi závislý n symetrii tles Obecný tvr (provedeme pizení i k «, «,33 «3, 3«4,3«5,«6 ) ui k Cik l m ui k ul m = λ u u, λ = λ β β β β i k T «, tj pipoutí koeficient (krystl s triklinickou míkou) symetrická mtice 6 6 má nezávislých prvk Krystl s kubickou míkou je chrkterizován temi koeficienty F = F0 + Cx x x x ( ux x + uy y + uy y ) + Cx x y y ( ux x uy y + ux x uz z + uy y uz z ) + ( + + ) C u u u x y x y x y xz y z Nás zjímá nejvíce pípd izotropního pruného tles Tm máme dv nezávislé koeficienty, co souvisí se dvm monostmi, jk npst pomocí tensoru deformce sklární veliinu druhého ádu v i k u : druhá mocnin soutu digonálních prvk vech prvk ui k u ik 5 Pro volnou energii tedy u souet druhých mocnin F = F 0 + λ ull + µ ui k, (8) λ µ jsou tzv Lméovy koeficienty Zpíeme tensor deformce tk, e vydlíme bezestopou ást ll výrz pro volnou energii se zmní n æ ö u = ç u - δ u + δ u çè 3 ø 3 i k i k i k ll i k l l (9) i k i k l l ll F æ ö = F 0 + µ ç u - δ u + K u çè 3 ø (0) tedy T 5 Pro mtici ortogonální trnsformce máme ii i j jl li jl ji li jl jl j j T T O O I Oil Ol k Ol i Ol k δi k 75 = Þ = = Pro stopu mtice u = O u O = u O O = u δ = u pirozen i druhá mocnin je sklár Dále u u = O u O O u O = O O O O u u = δ δ u u = u u T T ik ik i j jl l k im mn nk ji mi l k nk jl mn j m l n jl mn jl jl

76 Srovnání (8) (0) dává K = λ + µ 3 Kvdrtická form (0) musí být kldná, by ml volná energie pi nulové deformci minimum Je-li tedy tenzor deformce s nulovou stopou, musí být µ > 0, má-li digonální tvr, musí být K > 0 Diferenciál volné energie je Uváíme, e æ ö æ ö df = K ull dull + µ ui k - δi k u ll d uik - δi k u ll ç è 3 ø èç 3 ø æ ö δ ç u - δ u = u - δ δ u = 0 çè ik i k i k l l ii i k i k ll 3 ø 3 3 zpíeme du = δ du, tím získáme pro diferenciál výrz v potebném tvru l l i k ik é æ ö ù df = K ui k + µ uik - δi k u l l d ui k, ê çè 3 ë øú û který srovnáním s (7) umoní vyjádit tensor nptí pomocí tensoru deformce σ i k = K ui k + µ æ uik δik u ö ç - l l çè 3 ø () Spoteme-li stopy obou strn (), máme σ = 3 K u pk ji meme vyjádit tensor deformce pomocí tensoru nptí ii ii 9 K δ σ æ µ σ 3 δ σ ö = + ç - çè ø u i k i k ll i k i k l l () Tensor deformce je pro mlé deformce lineární funkcí tensoru nptí to je slovní vyjádení Hookov zákon uii Pro hydrosttické stlení je σ i k =- pδi k Je tedy reltivní zmn objemu =- p K Pro mlé hodnoty u ii p meme psát uii D V V = - = - = - K p V p V p Vyjádení volné energie meme rychle njít následující úvhou: je to kvdrtická funkce sloek tensoru deformce, podle Eulerovy vty o homogenních funkcích musí být u i k F ui k = F protoe tensor nptí jeσ ik = F u i k, máme 4 Homogenní deformce 0 T F = F + σ u (3) i k ik Aproximce, kdy pedpokládáme, e tensor nptí je konstntní v celém objemu pruného tles umoní vyeit nlyticky du i prkticky uitených úloh Nejstji 76

77 zmiovnou úlohou je prosté ntení (stlení) tye (orientovné pro uritost podle osy z) silou psobící n obou koncích Okrjové podmínky n tchto koncích dávjí σ zi ni = p neboli σ z z = p Protoe n bocích je σ ik nk = 0 pro n kolmé n n z, jsou vechny osttní sloky tensoru nptí nulové Z Hookov zákon dostáváme æ ö æ ö u = u = - p, u p x x y y - = + 3 µ 3K z z çè ø 3 çè 3K µ ø (4) Objevují se tk známé veliiny Youngv modul E, chrkterizující reltivní prodlouení 9 K µ uz z = p, E = (5) E 3 K + µ Poissonv pomr, udávjící pomr reltivního zúení k reltivnímu prodlouení tye 3K - µ ux x = uy y = - σ uz z, σ = (6) 3 K + µ Vzthy (8), () () vyjádeny pomocí nových koeficient jsou E σ F = F + + ( + σ ) σ 0 ui k ull, E σ σ i k = ui k + δik ul l, + σ σ uik = ( + σ ) σ ik σ δi k σ l l E 5 Rovnice rovnováhy pro izotropní tles Dosdíme do rovnice (0) z (7) Pro mlé deformce Eσ ul l E ui k + + fi = 0 + σ σ x + σ x i k (7) Tke rovnice rovnováhy získá tvr u i k ui u k = + xk xi, E ui Eσ ul + + f 0 i = + x + x x ( σ ) ( σ )( σ ) Ve vektorovém znení bude mít rovnice tvr k i l ( + σ ) u + ( u ) = f σ E (8) (9) 77

78 u = ( u ) ( u ) S vyuitím identity 6 meme rovnici (9) zpst jko ( σ ) ( + σ )( σ ) E ( σ ) σ ( u ) ( u ) = f (30) Pedpokládejme, e vnjí objemové síly tvoeny homogenním polem nebo nejsou vbec pítomny Potom plikce operátoru divergence (sklární vynásobení zlev) n rovnici (9) dává (divergence lplcián komutují) u = to znmená, e divu 0, (3) udávjící zmnu objemu pi deformci je hrmonickou funkcí S vyuitím (3) dává plikce lplciánu n (9) (grdient lplcián komutují) u = 0, (3) to znmená, e vektor deformce spluje bihrmonickou rovnici 6 Tensor deformce ve sférických soudnicích Ve vtin pedchozích vzth jsme prcovli s krtézskými soudnicemi Pro du úloh je vk s ohledem n symetrii vhodnjí uití jiných soudných soustv vtinou vk ortogonálních Meme bu pepst vzthy do kovritního tvru, to vk vyduje zvedení pojm z tensorového potu, nebo pepoítt vzthy z krtézské soustvy do konkrétní soustvy s kivorými soudnicemi Tento postup si ukáeme pro sférické soudnice, které s krtézskými souvisí vzthy x = r sinθ cos ϕ, y = r sinθ sin ϕ, z = r cos θ, Pitom 0 r <, 0 θ π 0 ϕ < π Npíeme diferenciál prvodie v krtézských i sférických soudnicích dr = dx ex + d y ey + dz ez = dr sinθ ( cosϕ ex sinϕ ey ) cosθ e + + z + r dθ cosθ ( cosϕ ex sinϕ ey ) sinθ e + z + r sinθ dϕ sinϕ ex + cos ϕ e y Získli jsme tk vyjádení jednotkových vektor ve sférické soudné soustv pomocí vektor krtézské soustvy u = div u, u = rot u, u = grd div u, u = rot rotu 6 V jiném znení u u = 78

79 er = sinθ ( cosϕ ex + sinϕ ey ) + cos θ ez, eθ = cosθ ( cosϕ ex + sinϕ ey ) sin θ e, e = sinϕ e + cosϕ e ϕ x y (33) zápis pro dr dr = dr e + r dθ e + r sinθ d ϕ e Sndno se pesvdíme, e vektory { er, eθ, eϕ } r θ ϕ (34) tvoí prvotoivou ortonormální bázi Výrz pro vzdálenost dvou infinitesimáln blízkých bod v krtézské sférické soustv je dl = dx + d y + d z, dl = dr + r dθ + r sin θ d ϕ Pro diferenciál obecného vektoru (v nem pípd posunutí) ve sférické soustv u = u e + u e + u e potebujeme znát, jk se mní vektory báze Z (33) dostáváme r Je tedy r θ θ ϕ ϕ der = dθ eθ + sinθ d ϕ eϕ, deθ = dθ er + cosθ d ϕ eϕ, (35) de = sinθ dϕ e cosθ d ϕ e ϕ dr + du = dr + du sin uϕ d e + r d + duθ + u d cos uϕ d eθ + (36) r sin d du sin u d cos u d e ( r θ ϕ ) r ( θ r θ θ ϕ ) ( θ ϕ + + θ r ϕ + θ ϕ ) r ϕ θ ϕ Zvedeme znení dl = d r, dl = rd θ, dl3 = r sinθ dϕ Potom bude kde u ur r u urθ uθ r u dr + du = dl dl + u dl d l, i i ik i k θ (37) =, = = =, Pro výpoet musíme nejprve vyjádit diferenciály sloek vektoru posunutí u u u u u u dur = dr + dθ + dϕ = dl + dl + dl r θ ϕ r r θ r sinθ ϕ r r r r r r 3 podobn pro dlí dv sloky Budeme-li pk znedbávt leny ( du ), dostáváme pro sloky tensoru deformce ve sférických soudnicích ur u ur u θ ϕ uθ ur ur r =, uθ θ = +, uϕϕ = + cotg θ +, r r θ r r sinθ ϕ r r u u rθ θ ϕ u u u θ uθ u r u r ϕ ϕ =, ur, + ϕ r r r θ = + r sinθ ϕ r r uϕ u u θ ϕ = + cotg θ r θ r sinθ ϕ r (38) 79

80 Jko píkld uveme výpoet nptí v kulové skoepin (s vnitním polomrem R vnjím polomrem R ), n kterou psobí zevnit tlk p zvnjku tlk p Symetrie úlohy vede k tomu, e vektor posunutí má pouze rdiální sloku t závisí jen n rdiální soudnici je proto rotce vektoru posunutí rovn nule u = 0 jk plyne z rovnice (30), divergence musí být konstntní u = konst Tedy ( r ur ) d b = konst = 3 u r = r + r dr r Z rovnic (38) máme pro digonální (jediné nenulové) sloky tensoru deformce Z Hookov zákon (7) pk b b ur r =, u u 3 θ θ = ϕϕ = + 3 r r σ E r r = σ u + σ u + σ u = E E b r r θ θ ϕϕ 3 + σ σ σ + σ r E E E b σθ θ = σ uθ θ + σ ur r + σ u ϕϕ = +, 3 + σ σ σ + σ r E E E b σϕϕ = σ uϕϕ + σ ur r + σ u θ θ = σ σ σ + σ r Konstnty b spoítáme z okrjových podmínek tke σ = p, σ = p, r r r = R r r r = R ( ) E p R R R p p =, = σ p R E b R R σ R R Mechnik tekutin Rovnice kontinuity Povujeme kplinu (pro strunost bude mluvit o kplin, velká vtin výsledk se týká i plyn) z spojité prostedí Mlý objemový element je dostten velký, by obshovl znný poet molekul v tomto smyslu je teb chápt pojmy jko ástice kpliny Pohyb ástice kpliny je pohyb mlého objemového elementu, chápný jko pohyb bodové ástice kpliny Mtemtický popis pohybového stvu kpliny je dán 80

81 funkcemi, které urují rozloení rychlosti v = v ( x, y, z, t) kpliny dv termodynmické veliinu mohou jimi být npíkld hustot ρ = ρ ( x, y, z, t) tlk p p( x, y, z, t) termodynmické veliiny lze urit pomocí stvové rovnice Veliiny v, ρ, p = Dlí nepopisují pohybový stv njké ástice kpliny, le stv kpliny v uritém bod prostoru v uritém se Vezmme njký objem V 0 prostoru Mnoství kpliny v tomto objemu (tj hmotnost objemu) je ρ dv, kde ρ je hustot kpliny Objem V 0 je ohrnien uzvenou plochou V0 (povrchem) S 0 Elementem povrchu d f (bsolutní hodnot vektoru d f je ploch elementu povrchu smr je tohoto vektoru je smrem vnjí normály), protee z jednotku su mnoství kpliny rovné ρ v d f (tedy tto veliin je kldná, kdy kpliny v objemu ubývá) Celkové mnoství kpliny vytékjící z jednotku su z objemu V 0 je ρ v d f Porovnání tohoto výrzu s úbytkem celkového mnoství v objemu dává d ρ dv = ρ v d f () V 0 S 0 Povrchový integrál pevedeme n objemový sovou derivci meme vnést do integrálu (integrní oblst je pevn dná), musíme vk vyznit znménkem prciální derivce, e te derivujeme pouze podle su, nikoliv podle prostorových promnných ρ + divρ v dv = 0 t V0 Tto rovnost musí pltit pro libovoln zvolený objem V 0, musí být roven nule integrnd S0 Dostáváme tk rovnici kontinuity Vektor ρ + divρ v = 0 t j = ρ v () (3) se nzývá vektorem hustoty toku kpliny Rovnici () lze rozepst n ρ + ρ divv + v grdρ = 0 t (4) 8

82 Eulerov rovnice N vybrný objem kpliny psobí síl pomocí objemového integrálu S0 V0 p d f Pejdeme k vyjádení této síly S p d f = grd p d V Znmená to, e n kdý objemový element kpliny psobí okolní kplin silou grd p dv, n jednotkový objem tedy psobí síl grd p Hmotnost jednotkového objemu 0 je hustot, zpíeme tedy druhý Newtonv zákon pro tento jednotkový objem jko d v ρ = grd p (5) árkou u znménk derivce zdrzujeme, e se nejedná o sovou zmnu rychlosti v pevném bod prostoru, le zmnu rychlosti pohybujícího se dného jednotkového objemu kpliny (zde by se dlo u uít zkrtky pohybující se ástice kpliny) Pírstek rychlosti tkové ástice dv se skládá ze dvou ástí: zmny rychlosti v dném bod z s z rozdílu rychlostí (v jednom tomté sovém okmiku) v sousedních bodech vzdálených o dr První zmn je jednodue v dv = d t, t druhá pk Setením obou ástí v v v dv = dx + d y + dz = ( dr grd ) v x y z v v t ( r ) v t d = d + d grd doszením do (5) dostáváme Eulerovu rovnici v + ( v grd) v = grd p t ρ (6) Nchází-li se kplin v poli objemových sil, objeví se tto síl n prvé strn Newtonov zákon tké v Eulerov rovnici Jde-li o homogenní grvitní pole, dostáváme rozíením rovnice (6) v + ( v grd) v = grd p + g (7) t ρ 8

83 Pi odvození Eulerovy rovnice se neuvuje ni o vnitním tení (viskozit), ni o tepelné výmn mezi ásticemi kpliny pojednáváme tk ztím jen o ideální kplin Uvovné proudní bez tepelné výmny zchovává coby dibtický dj entropii pohybujícího se elementu ( s je entropie vztená k jednotce hmotnosti kpliny) d s = 0 (8) Obdobným postupem jko u rychlosti dojdeme k s + v grds = 0 t spojením s rovnicí kontinuity () pk ( ρ s) t + div = 0 ( ρ s v ) (9) (0) Pokud je podle stého pedpokldu v njkém poátením okmiku entropie v celém objemu kpliny konstntní, zstává podle (8) konstntní i pi dlím pohybu Tkový pohyb se nzývá isoentropický Eulerovu rovnici meme potom uprvit V termodynmice máme pro entlpii (W = U + pv ) vzth (uprvená druhá vt) kde w je entlpie jednotkové hmotnosti dw = T ds + v d p, v= ρ specifický objem Pro s = konst máme dw = d p grd p = grdw ρ ρ Eulerovu rovnici (6) zpíeme jko v + ( v grd) v = grd w t Vyuití identity grd = rot + grd v v v v v umoní zpst () ve tvru v v v rotv = grd w + t () () Aplikcí operátoru rotce n pedchozí vzth dostáváme tvr Eulerovy rovnice, který obshuje pouze rychlost 7 7 Pro libovolnou funkci f pltí rotgrd f 0 83

84 rotv = rot( v rot v ) t (3) Jko vdy u eení diferenciálních rovnic v konkrétních pípdech potebujeme znát okrjové podmínky Npíkld n nepropustných pevných stnách musí být normálová slok rychlosti kpliny rovn nule v n = 0 Ponvd pohyb kpliny je popsán pti veliinmi (ti sloky vektoru rychlosti npíkld hustot tlk), potebujeme pt rovnic Ty pro ideální kplinu skuten máme: ti z Eulerovy rovnice, rovnici kontinuity rovnici, vyjdující skutenost, e pohyb je dibtický dj 3 Bernoulliho rovnice Pi ustáleném proudní je v t = 0, tke rovnici () meme psát jko v grd + w = v rot v (4) Zvedeme pojem proudové linie (krátce proudnice) jko kivky, její tenou v kdém bod je rychlost kpliny Pokud rychlost kpliny známe, je proudnice definován soustvou diferenciálních rovnic dx d y dz = = (5) v v v x y z Jednotkový vektor tený k proudnici ozníme l Podle definice je rovnobný s vektorem rychlosti, tke vynásobíme-li sklárn tímto vektorem ob strny rovnice (4), dostneme 8 Podél proudnice tedy pltí v l + w = 0 v + w = konst (6) Konstnt je obecn pro rzné proudnice rzná Pokud vk je proudní nevírové, tj pltí rotv = 0, je prvá strn (4) rovn nule máme jedinou konstntu pro vechny proudnice 9 8 Derivce ve smru je prmtem grdientu do tohoto smru: f grd 84 l l f 9 Pipomeme, e pro nestlitelnou kplinu meme psát entlpii jko w= p ρ

85 Z pítomnosti homogenního grvitního pole g meme s uváením g = grd( g r ) zobecnit (6) n Bernoulliho rovnici v + w g r = konst (7) Jednoduchou plikcí rovnice je urit výtokovou rychlost nejvyí moné pevýení u sifonu z obrázku Hustot kpliny je osu soudnic z orientujeme vzhru, tke g r = g z Pedpokládáme nevírové proudní, tke meme psát ( p p ) v D pd vc p C D C + + g zd = + + g zc vc = + g ( zd zc ) + vd ρ ρ ρ Dosdíme-li te p p p Je-li ploch dn válcové nádoby S v D D C C D = C = tm zd zc d h C = +, dostáváme v = g d + h + v D S D ploch trubice sifonu S C, máme z rovnice kontinuity = S v z obvyklých podmínek, kdy SD SC meme ve výrzu pro výtokovou rychlost znedbt rychlost poklesu hldiny, tke je v = g d + h Dále porovnejme hodnoty v bodech B C, tedy C vb pb v p v v + + g z = + + g z p = p + g z z ρ ρ C C C B B C B C ρ ρ B C Musí být p B > 0 protoe vb = vc pc = ptm, je mximální moná hodnot h 85