Integrální (a diskrétní) transformace. David Horák, Nina Častová

Transkript

1 Iegrálí (a diréí raormace David Horá Nia Čaová

2 Požadavy bodů e eorie důazy přílady bodů dovedo apliova pozay a počíači bodů. proje a Fourierovu raormaci a Four. řadu bodů. proje a Laplaceovu raormaci a Z-raormaci 4 bodů celem miimum bodů 6 bodů zouša 5 bodů prémie reerá a určeé éma 5bodů - celem

3 Lieraura Bouchala: Fuce omplex. proměé uč. ex Čaová Kozube: Iegrálí raormace Galajda Schroeer: Fucie omplex. promeej a operáorový poče Horá: Sylaby předášy programy

4 Výzamé ooboi Gau Fourier Laplace Haar Walh Rademacher Daubechay Mala Fejer Hael Hammig Barle...

5 Moivace čaově-revečí aalýza WFT Ko-ča le-ze dí - rou pe o - em e-bu-de-li pr - še e - zmo - em

6 Moivace čaově-revečí aalýza WFT ( ( i 3 ( (. 8 i 3 ( ( 3 6. i Sigál FT (Fourier.r. -ampl.p WFT (Oei Four.r FT{ } ( ω ˆ( ω ( iω F e d de { } ( ˆ iω iω WFT F ωτ ( ωτ τ ( e d ( g( τ e d R R

7 Moivace ompree obrázů WT D waveleová r. WFT adapivím oem de WT { } F( a τ ( ψ ( a τ d ( ψ τ d a D waveleová raormace R R JPEG MPEG MP3 MP4 - reeráy

8 Moivace řešeí diereciál. rovic LT Lieárí diereciálí rovice oaími oeiciey a počáečí podmíy: ( ( y a y a y a y ( L ( ( ( ( y c y c Ly c. a (... jou reálé oay (a ( je zadaá ce íž exiuje L-obraz yy( je hledaá ce o íž předpoládáme že í exiuje L-obraz y ( y ( ( jou derivace -éhořádu ímž aéž exiuje L-obraz L(DR DR Y( y( Laplaceova raormace: LT ( ( { } F. e d

9 Úvod obecý pohled a IT a DT T { } ( T ( q F( q ( χ ( d I q polečým pricipem IT je obecě "poměřeí" (deompozice zoumaého vupu ( možiou eovacích cí Q { χ q ( q Λ} a I Λ je vybraá možia idexů ( L ( I χ začí omplexě družeou veličiu vořící jádro raormace Q muí bý eoečá aby ( šla reoruova z hodo F(q a dvě ce byly rozlišielé Iverzí IT (reoruce je pa yézou ( z veliči F(q a píšeme T { F} ( T F( ( Požadavy a Qpožadavy a algorimy:jedoducho uiverzálo jedozačo abilia (malým změám odpovídají malé změy F

10 Úvod obecý pohled a IT a DT Požadavy plňuje mulipliaiví yém cí a I: Q { χ( q } j. oroormálí ouava eulových cí a I obahující aždými dvěmi cemi jejich ouči i podíl T { } ( T ( q F( q ( χ ( q d...mulipliaiví iegrál I Číelá realizace iegrálu (za podmíy jeho overgece je dáa přímo hodoou iegrálu vypočeou obdélíovou meodou: F N ( q ( χ ( q h ( F Χ...maicový zápi N je poče bodů jou čí hodoy v diréích bodech h je ro vzorováí { χ( q } je diréí mulipliaiví yém

11 Záladí pojmy iegrovaelo cí Deiice: Fce ( je a iervalu I [ab] iegrovaelá vadráem ( druhou mociou jeliže exiují - j. mají oečou b b hodou iegrály ( ( a d d. Možiu ěcho cí začíme L (I rep. L ebo L. Deiice: Možia všech cí iegrovaelých a iervalu I voří lieárí proor cí a začíme ho L(I. Věy: Každá alepoň po čáech pojiá ce a iervalu [ab] je a omo iervalu iegrovaelá vadráem. b Plaí že je-li L [ab] pa exiuje i iegrál ( d a říáme že ce ( je a [ab] aboluě iegrovaelá. a a

12 Přílady iegrovaeloi cí i i i ( L [ ] ( L ( ] ( L( ] i. 4 ( L ( ] Přílad: Rozhodi zda ( je iegrovaelá vadráem a [] Řešeí: Vypočeme iegrály d d d lim u ( u lim u u d [ l ] Taže ( je v iervalu [] iegrovaelá ale eí v omo iervalu iegrovaelá vadráem j. L [] ale L [].. ( i [ ] ( i L L( ]. i 3 ( L( ]. 4 3 a přílušých iervalech jou aboluě iegrovaelé a edy iegrovaelé vadráem

13 Záladí pojmy (ap.4 alárí ouči Deiice: Nechť ce g. L [ab] pa alárí ouči ěcho dvou cí a daém iervalu deiujeme: g de b b a b (.g ( d (.g ( d ( ( d ( d a b a a ozač. Plaí: a c g c g zde c je libovolá oaa b hg g hg zde ce h( L [ab] c g g * zde g * ječílo omplexí družeé g. d e Schwarzova-Buňaového erovo: g g.

14 Norma orogoálí a oroormálí yémy ( Deiice: Normou ce L [ab] rozumíme čílo pro eré: a > přičemž jediě ehdy je-li ( ulová ce. b c c zde c je oaa. c g g rojúhelíové pravidlo zde ce g L [ab]. Normu ce chápeme edy jao vzdáleo éo ce od ce ulové. Deiice: Fce L [ab] g L [ab] e azývají orogoálí a [ab] plaí-li že jejich alárí ouči je rove ule: b ( * g. g (. { } [ ab] Deiice: Syém cí L orogoálí aždé dvě jeho ce: je orogoálí a [ab] jou-li b a * (. ( d m m m ( m. Deiice: Je-li aždá ce ( z orog. yému ormovaá ( pro azýváme eo yém oroormovaý ebo oroormálí: b * m m m. d m a a

15 Orogoálí a oroormálí yémy - přílady Přílad : Syém cí e i pro ± ± je a iervalu [] orogoálí eí vša oroormálí. e i a zadaém iervalu áleží prooru L : e i i i i d o. e d e e d d yém cí a zadaém iervalu je orogoálí: m e i e im d Přílad : Syém cí e i a iervalu [] eí orogoálí: m i im ( m e e d m. m Přílad 3: Syém cí e i pro ± ± je a [] i i orogoálí eí oroormálí: Syém cí bude oroormálí: m. e i e i e e e d e i i

16 Diréí orogoálí yémy Rademacherova ouava (báze Deiice: Poloupo cí { r } deiovaá a iervalu x [ ] : r ( x r ( x r ( x 3... pro < je liché... pro < x S výjimou bodů x pro uo ouavu plaí vzah: r x g i x Koruce: Rozdělíme ierval x [ ] a N ejých dílů v přílušých dílčích iervalech položíme r ( x řídavě rovo a - je udé ( ( Např. při N 8 3 yém bude voře bodů je 8idexy p...- r r r r 3 - Z P P P { } : Moc r r - r (x x r (x 3 r x - - r (x x r 3(x x Koruce: a záladě dvojového rozladu číla z p p p... p ;z...n- ;...- ( x ( x ( p R. ouava je vořea ochaicy ezávilými cemi a v důledu vé jedoduchoi je velice rozšířeá a používá e v eorii pravděp. při aalýze áhod. proceů. Velou výhodou báze je že idex řádu maice ouvií počem ulových bodů

17 Diréí orogoálí yémy Walhův yém (Walh-Paley báze Deiice: Walhův yém je orogoálí v L a je voře oučiem Rademacherových ucí ( ( W x r x ( { } W x ( ( [ ] W x r x m p Π [ ] x m p jou určey z dvojového rozladu číla : p m p pro N m 8 doaeme r r r 3 r 3 r r 7 r r 3 r 3 r 6 r r 3 r 3 r 5 r 3 r 3 4 r r r r 3 r r r r p p p 3 W (x r 3 p3 r p r p r Dvojový rozlad Idex bodů W W W W W W W W W * W * W * W * W * W * W * W * W W * Walhův modiiovaý yém Výhodou Walhovy báze je že je úplá oproi Rademacherově má evýhodu že idex řádu eí oožý počem ulových bodů a proo ji lze obížě přímo využí pro aalýzu áhodých proceů > přeuporádaí: ( ( ( ( x * j.w p j x * j W x * p j W * W p ; j3 ; N

18 Diréí orogoálí yémy Haarova ouava Deiice: Haarův yém je orog. v L a je deiová a iervalu x [] h ( x H pro 3... m m < x < m m m ( m m m m. Pomocí h h h h3 h4 h5 h6 h7 ebo H m h m ( x - eavíme maici H m - < x < - m < x < m pro m oaí x (levá čá (pravá čá - - h x hm < x < pro oaí x H x H x H x H x H H H H x x x x Abychom obdrželi Haarův yém oroormálí ačí H popiující orogoálí yém vyděli N N je poče bodů

19 Přílad: Rozhoděe zda ce ( je iegrovaelá vadráem a iervalu [] Řešeí: Vypočeme iegrály i ( ( i ( ( i d lim 3 u u CVIČENÍ d 3 3 i ( i u ( u ( ( 3 d 5 lim 3 Taže ce ( je v iervalu [] iegrovaelá a iegrovaelá vadráem j. L [] L [].. Přílad: Ověře že yém cí: / co i co i je a iervalu [- ; ] orogoálí ale eí oroormálí. Řešeí: Fce vořící eo yém jou a zadaém iervalu iegrovaelé vadráem. K omu ačí urči / co i. Výpočem áledujících iegrálů e ado převědčíme že ao ouava cí je orogoálí a iervalu [- ; ]: i( d ; co( d ; i( co( d ; i( m co( d ; i ( m i( d ; co( m co( d pro m ( m. Daá ouava cí eí vša oroormálí proože již pro prví ci / je d 4. d 3 5.

20 CVIČENÍ Přílad: Zjiěe zda yém vořeý cemi e i pro ± ± je a iervalu [- ] orogoálí. Řešeí: Zde a rozdíl od předchozího příladu při vyvořeí alárího oučiu dvou cí iegrovaelých vadráem (ověře muíme vzí v úvahu uce omplexě družeé: i im m e e d m. To zameá že poloupo cí { e i } voří a daém iervalu orogoálí yém. Proože i poom poloupo cí e i i i e e e d voří oroormálí yém a iervalu [- ]. Přílad: Deiuje zadaý předpi alárí ouči? Přílad: Výroba orogoálí báze Gram-Schmidův proce

21 Deiice: Nechť { } je poloupo cí L [ab] pro. Exiuje-li ce L [ab] aová že lim pa Kovergece poloupoi cí b a d říáme že poloupo cí { } overguje v průměru a iervalu [ab] overguje ve mylu ředí vadr. odchyly overguje v ormě L. Poz.: Saiicá charaeriia-odpovídá diperzi ; eac. procey Suečě je-li lim lim při Deiice: Poloupo cí { (z} overguje a možiě M ejoměrě uci (z plaí-li: pro ε > že pro > z M ( ( ε Poz.: Výzam deiice lim maxr ( z lim max ( z ( z z M z M z z <

22 { ( } Fučířady Deiice: Nechť z je poloupo omplexích cí poom učířada je maemaicý předpi oz ( z ( z... ( z ( z Přílady číchřad:... Mociéřady Taylorova Laureova Fourierovařada ( z z ( z c ( ( ( z ( z z z! z a zz a ( ( ( ( zz a zz ; ( c ϕ ( c de ϕ. iω iω ( C e C ( e d T T α α

23 Kovergece učích řad Bodová (aboluí relaiví Cauchyova ( C ( z z rep. R ( ( a l i m S S S z z Cearova b l i m S S S z z ( ( ( ( ( Na možiě M (a iervalu aboluí: relaiví ejoměrá: z M ( z je overg. z M Výzam éo deiice: j. počíajíc jiým e gray cí blíží obě i v bodě de je ejvěší vzdáleo mezi imi. ( ( lim max z z v ormě L : lim z z pro z M ( (

24 Zobecěá Fourierovařada Deiice: Nechť poloupo cí {φ (} a uzavřeém iervalu voří oroormálí yém L (I (j.φ ( L (I pro φ echť další ce ( L (I je aová že a iervalu I plaí vzah ( c ϕ ( c de ϕ. Řada e azývá zobecěá Fourierova řada přílušá ci ( a iervalu I. Poz.: Geomericý výzam oeicieů oeiciey c ϕ jou projece ( a přílušou bázovou φ. Klaicá Fourierova řada v omplexím varu je peciálím případem zobecěé Fourierovyřady. T α T α iω iω ( C e C ( e d

25 Aproximačí vlaoi Fourierova polyomu a Fourierovýchřad overgece v ormě L. Úol: urči polyom T ( erý ejlépe aproximuje daou ci ( a určiém iervale I v ormě L při zvoleém orogoálím (oroormálím yému bázových ucí. Předpolady (jedodušší z hledia přehledoi:.{φ (} - oroormálí yém bázových ucí (reálých.. ( je reálá uce reálé proměé. ( ( 3. T aϕ - aproximující polyom a a je poloupo reálých oeicieů. 4. Koeiciey určíme z podmíy b b mi ( T ( ( T ( d ( aϕ ( d I a a

26 Chceme doáza: a a mi c ϕ ϕ Důaz: T a a a ϕ ϕ ϕ a c a a a ϕ. c c a c a a c c Je evideí že.... je-li mi mi c a a T a T ϕ Závěr: Na iervalu I [ab] má ze všech polyomů -ého upě v bázi {φ (} ejmeší ředí vadraicou odchylu od ce právě polyom Fourierovými oeiciey.

27 Beelova erovo a Parevalova ideia mi T T mi a Beelova erovo: Parevalova rovo: a ϕ c c Parevalova rovo pro FŘ v omplex. varu v orogoálí ouavě α T α T c iω ( d C de T je perioda C ( e d. T T α Parevalova rovo pro FŘ v reálém varu v orogoálí ouavě: L L L a ( ( d a b de T L. Úplý oroormálí yém: α { e iω } : lim ( cϕ lim ( cϕ d. b a

28 Periodicé uce Připomeuí: Periodicé ce: (T( T R Z Má-li ce ( periodu T pa ce ϕ((ω má periodu T/ω de ω R. Jedoduché periodicé ce: a co(ωb i(ω A i(ω ± ϕ A co(ω ± ϕ e iω exp(iω a b ϕ jou reálé oay; ω A jou reálé ladé oay. je reálá proměá T ω ω T L

29 FŘ v omplexím varu: Fourierovařada (ap.3 ( i ω C e R FŘ v reálém varu: a ( a co( ω b i( ω R A co ( ω ϕ Na FŘ e díváme jao a bodovou reprezeaci ce. Tao předava vzila v práci Fouriera (87-8 při aalýze rovic vedeí epla. Ro 854 e poládá za začáe ouavého rozpracováí eorie FŘ (Georg F.B. Riema

30 C a C Fourierovy oeiciey Four. oeiciey Fourierova raormace a iervalu: C a ib C a α T a C C Re C T α b i T α T T α T α ( d ( co ( ω α T d ( C C Im C ( i ( ω α iω ( e d Z Eulerovy - Fourierovy ormule: ( ( ib iω iω iω iω ( C e C C e C ( C e C e. T ( C [ C ( co( ω i i( ω C ( co( ω i ( ω ] i α ( C ( C C co( ω i( C C i( ω. d

31 Klaicá FŘ v C jao pec.případ zobecěé FŘ Důaz: Zavedeme ozačeí: g ( e iω. Syém cí {g (} { e iω } ± ± voří a vé periodě T orogoálí yém: g g m e iω e iωm m v L iω iω [T] e T e T T. Oroormálí yém cí a periodě T : { ϕ ( } g g ( e Koeiciey FŘ v oroorm. ouavě bázových cí ozačíme malým c : g iω c ϕ g e. T T T iω g Doadíme c e do zobecěé FŘ: ( cϕ c T T g iω ( g g g C g C e T T T de ( T ω i C g e d. T T iω T

32 Vzah mezi Laureovou a Fourierovouřadou ε < z z < ε Laureovařada g(z regulárí v meziruží g ( z C ( z z g( z ( z z de C i řiva K je ladě orieovaá jedoová ružice. Nechť g(z je avíc ceperiodicá periodou T/ω Pa pro body a jedoové ružici plaí: z( - z( i e ω ω [- ] [T] přičemž ω/l TL. Subiucí z( z( g i e ω K doaeme: dz ( iω ( iω z e C e α T α T i ω i ω ω ω C g z e i e e d ( e i ω d i C vypočeme z: ( i( ω α α L i / L C ( e d Z. L α α C e i / L

33 Dirichleovy podmíy. ( je periodicá ebo periodicy rozšířielá ce. ( je a zadaém iervale (periodě alepoň po čáech pojiá 3. ( má a iervale oečý poče exrémů (oaíčái ( e euvažují; 4. (je deiovaá v rajích bodech iervalu (j. abývá v ich oečých hodo ebo exiují přílušé jedoraé limiy ce v ěcho bodech. Poačující podmía: Fce ( je a iervalu T aboluě iegrovaelá. ~ ( - periodicé poračováí (prodloužeí ( ( T ( pro ( α α T [ ( α ( α T ] pro α a α T Z T R. Bodová overgece FŘ Gibbův jev ( bod pojioi % ( T ( ( T bod epojioi přemi přibližě 8% z velioi ou a aždou rau pricip loalizace FŘ: overgece či divergece FŘ ce plňující Dirichleovy podmíy je v bodě závilá pouze a chováí éo ce v oolí ohoo bodu

34 Spera Jedoraé: { A ϕ } (... ampliudové: {A } ázové: A a C a b A C {ϕ } ϕ -arg C (-]. Dvouraé: { C ϕ } Z(\{} ampliudové: { C } Z ázové: {ϕ } Z\{} ϕ -arg C rep. arg C [-] Pro áze ϕ eí deiováa

35 Jedoraé perum : {A ϕ } Dvouraé perum : { C ϕ } Je-li aalyzovaá ( v (i v ( omplexí ce eulovou imagiáríčáí pa plaí že oeiciey FŘ C a C - ejou omplexě družeé. Důledem oho je že ampliudové perum eí udé a ázové eí liché.

36 Zadáí: Rozviň ve FŘ ci Přílad ( ( ( ; [ Řešeí:.Aalýza - ověřeí podmíe pro FŘ : T T.Harmoicá aalýza(deompozice rozlad a Výpoče oeicieů FŘ. b Aalýza pera. 3. Aproximace Fourier. řadou (yéza ~ ( ω - 3 4

37 ( d e d e d e T c i i i ω ( i e i e d e i i pare per i ( ( ( (. i i e i e i i ( 4 d d d e T c FŘ v omplexím varu: ( ( ( ( (. 4 ~ R e i i FŘ v reálém varu: ( ( (. Im Re C b a C a ( ( ( ( ( (. i co 4 ~ R

38 Seaveí jedoraého ampliudového a ázového pera: A A a a b b b g ϕ ϕ ( ] a a A ( ( b g ϕ. vadra: arcg ϕ.377 a Tabula pro jedor. (dvour. perum: ϕ aa ( / pi. 377 a b c.5.-i.59 i.8 c A ϕ r a d

39 Fourierovyřady udých cí (oiovářada ( deiovaá v iervalu [-LL] je udá j. (-( L L a ( co ( ω d ( co ( ω d T L ω... L L L L L b ( i( ω d... L L ~ a ( a co( ω R Fourierovyřady lichých cí (iovářada ( deiovaá v iervalu [-LL] je lichá j. (--( L L b ( i( ω d ( i( ω d... L L L L a ( co( ω d... L L ~ b i ( ( ω R

40 ~ Přeá hodoa periodicého poračováí ( ( T ± ±... Koeicie (harmoicého zreleí charaerizuje poměr mezi domiaí a celovou iormací: Např: Ad A d A d rep. rep. A A A A d d A rep. A d d A rep. A d d V praxi e čao používá výpoče ředí hodoy a zadaém iervalu apř. ředího výou period. veličiy ( použiím Parev. rovoi P T α T ( d C C C α A Výoové perum { C } Eeiví hodoa V P

41 Fuce: ( ( ; [ T ω Přílad ( Sudá ce: ( T 4 ω / ( ( ] [ (x - - x Lichá ce: ( ( T 4 ω / ( ( ] [ - -

42 ~ ( Fourierův polyom 5 harmoicých ~ ( ~ ( uce uce uda im e ime

43 CVIČENÍ Přílad: Najděe ampliudové a ázové perum zadaé Fourierovy řady:

44 CVIČENÍ Přílad: Ověř zda zadaou ci lze rozviou ve FŘ areli její oučový gra a alezi 4. čle ampliudového a ázového pera.

45 CVIČENÍ Přílad: Všiměme i že ce ( a ( i a iervalu I(- eplňují Dirichleovy podmíy: ce ( v bodě erý paří do I má bod epojioi. druhu ce ( v oolí ohoo bodu má eoečý poče exrémů.

46 CVIČENÍ Přílad: Nechť ce v(e i i(ico( [/]. Seavme FŘ a uažme že ampliudové perum eí udé a ázové eí liché. Řešeí: Zde v( je ce periodicy rozšiřielá periodou T/. Je zřejmé že Rev( i( a Imv( co( jou ce reálé a iegrovaelé a zadaém iervalu a uce v( je iegrovaelá vadráem a iervalu j. v L [/]. Tedy lze eavi a zadaém iervalu FŘ overgeí v ormě L. Vypočeme oeiciey: C 4i ( i i i 4i ( i ( e e d C e e d C ( 4 ( 4 i. FŘ ce v( bude: 4i 4i 4i C e C C e e 4 4 ( i ( i e 4i C Ja vidíme oeiciey FŘ C a C - ejou omplexě družeé edy ampliudové perum eí udé a ázové eí liché. Např.: ( i ( i 3 C C C C C C argc argc argc arg

47 Ad Dirichleovy podmíy Věa: Nechť ( plňuje Dirichleovy podmíy a echť exiuje ejoměrě overgeí rozvoj éo ce a periodě T pa oeiciey ohoo rozvoje budou Fourierovy oeiciey. Důaz založíme a om že za ěcho podmíe odvodíme vzorce: α L i / L C ( e d Z Důaz: Předpoládejme pro jedoducho že řed periody a ( je reálá. Vyjdeme z rozvoje: ( / C i L e. Z podmíe vyplývá že ( je a iervalu [-LL] iegrovaelá. Můžeme edy vyáobi obě ray rozvoje výrazem e -im/l a iegrova: L L im / L i / L im / L ( e d C e e d. L L Výpoče provedeme ejprve a pravé raě: L L L d L T pro m / L im / L I e e d e L Vzah můžeme edy přepa: L což jme chěli doáza. L ( m i i / L d L i L α L ( m e i ( m / L L i / L i / L ( e d L C T C C ( e d L T L L L pro m

48 Sumace řad Deiice: Meoda umace je regulárí plňuje li podmíu: má-li řada Σa Cauchyův ouče S pa i zobecěý ouče éo řady muí bý rový S. Nechťřada Σa má Cauchyův ouče S a a řada Σb má Cauchyův ouče S b. Meoda umace je lieárí plaí-li pro zobecěý ouče řady: a b S S (. a b Přehled: (oučůřad. Klaicý (Cauchyův. ve mylu Ceàra a Fejera 3. Abel-Poioův 4. Hölderovy

49 Klaicý (Cauchyův ouče řady Deiice: Cauchyho ouče je deiová jao limia poloupoi čáečých oučůřady. Nechť S Σa je čáečý ouče řady pa ouče řady je de S lim S Přílad:. Víme že řada Σ/ je geomericá overgeí a její Cauchyův ouče bude: ( edy S lim S de S lim j. S. Naproi omu řada Σ(- je divergeí jeliož pro ( udé lim S pro ( liché j. eexiuje vlaí limia poloupoi čáečých oučůřady..

50 Ceàrův (Fejerův ouče řady Deiice: Ceàrův ouče je deiová jao limia poloupoi arimeicých průměrů z čáečých oučůřady: S de lim S S... S lim Přílad:. Víme že Cauchyův ouče řady Σ/ je. S de S Ceàrův ouče bude: ( edy S lim S S... S S lim lim Vidíme že Ceàrův ouče řady je ejý jao Cauchyův ouče.. Řada Σ(- je ve mylu Cauchyových oučů divergeí avša ve mylu Ceàrových oučů je overgeí a její ouče je rove arimeicému průměru limi pro udé a liché :... S lim lim S. (..

51 Abel-Poioův ouče řady Deiice:Nechť je řada Σa x overgeí a x ( a echť x lim S ( x S < pa říáme že řada Σa x je overgeí v bodě x a její ouče e rová právě éo limiě. Jiými lovy pro x doaeme číelou řadu Σa erá je overgeí a její ouče bude S. Přílad:. Souče řady Σ/ i v omo případě bude. Seavíme ejdříve mociou řadu Σ(x/ erá je overgeí a x < edy i a x (. Předpi pro výpoče ouču řady v oboru x overgece bude: x x S( x a edy lim S( x lim. x x x x x Souče ve mylu Abel-Poioa je je ejý jao Cauchyův i Ceàrův.. Souče řady Σ(- vypočeme obdobě: lim x S x x ( x lim. x Zde je ouče ve mylu Abel-Poioa ejý jao ouče Ceàrův.

52 Hölderovy oučy řady Vzah mezi Cauchyovými a Ceàrovými oučy Hölderovy oučy: Nechť řada Σa je overgeí pa čáečý ouče je S Σa a Cauchyův ouče řady bude: ( S de lim Ceàrův ouče je deiová áledově: S ( lim zde S lim S S... S lim lim am lim [ a ( a a ( a a a3... S ] m a ( a ( a3... a lim a lim a de [ ] ( h( je váhový oeicie. Při Ceàrův. S ( přejde v Cauchyův S (. Pozáma: Neexiuje li Ceàrův ouče S ( (Ceàrův ouče. řádu lze podobě deiova Ceàrovy oučy vyšších řádů (Hölderovy oučy. a. h( h ( h ( ( r ( h (3 h ( h r

53 Přílad: Nechť ( [-]. ( Pomocí FŘ určee ouče číeléřady: ( Použiím Parevalovy rovoi ouče číeléřady : ( Řešeí: Fce ( a zadaém iervalu je udá L [-] edy lze eavi Fourierovu řadu a zadaém iervalu. 4( b a d a cod. 3 ~ ( Fčí hodoa v je j. ( ( 3 4 ( co ( ( ( ( 4 co R. ( Použijeme pro výpoče ouču druhéřady Parevalův vzorec: d

54 Užií FŘ při řešeí diereciálích rovic Nalezeí periodicého pariulárího řešeí LDR oaími oeiciey ( ( ( m ( m a y a y a y... ay a y ( R m N L y m m m- ( je periodicá uce periodou T : ( T c e i a a Obecéřešeí rovice je y y v( h co b T y h je řešeím rovice homogeí: ( ( L y a y m i. T v( je periodicé pariulárířešeí ehomogeí rovice ve varu FŘ.

55 Vyřešíme laicým způobem (pomocí charaeriicé rovice zráceou LDR. Řešeím bude ouava lieárě ezávilých pariulárích řešeí vořících udameálí yém y y y m.. V případě že ( eobahuje čley lieárě závilé a udameálím yému y y y m. j. a řešeí homogeí LDR pa periodicé pariulárířešeí v( reprezeujeme Fourierovouřadou ezámými oeiciey a e ejou periodou T: ( v i A T C e A co B i R. T T Výpoče oeicieů C (eveuelě A A B pariulárího periodicého řešeí provádíme doazeím výrazu v( do původí LDR a áledým porováím oeicieů u ejých ucí.

56 Obahuje-li charaeriicá rovice LDR ořey ±i/t pa udameálí yém řešeí bude obahova uce e ±i /T rep. co(/t i(/t. u T T ( a co b i pa yo čley budou lieárě závilé a řešeí homogeí rovice Pariulárířešeí ehomogeí LDR odpovídající ěmo čleům a pravé raě LDR ebude mí obvylý var A co B i T T jeliož při výpoču Fourierových oeicieů idexy ve jmeovaeli bude ula (jde o zv. rezoaci podroběji lze aléz v eorii "Řešeí LDR -éhořádu oaími oeiciey". V omo případě poupujeme a že pravou rau LDR zapíšeme ve varu [ ( u ( ] u (.

57 Výraz (-u ( rozložíme ve Fourierovu řadu odpovídající rozvoj eobahuje čley idexy (j. eobahuje čley úhlovou revecí /T a edy čley éo FŘ ejou lieárě závilé a řešeí homogeí rovice. Předpoládaé pariulárí periodicéřešeí v( : v( v ( v ( de v ( hledáme ve varu Fourierovyřady A v ( A co B i R. T T eré je řešeím áledující LDR: v ( hledáme ve varu: ( a ν ( ( u ( r ( [ A co( B i( ] pro LDR: a ν u ( zde r je áobo ořee charaeriicé rovice vyjadřující upeň záviloi u ( a řešeí homogeí rovice. Řešíme-li LDR. řádu pa áobo r může bý maximálě.

58 Řešeí LDR - Přílad Přílad: Najděe řešeí LDR. řádu: y y y de pro m m m ± ±... ( ( [( ( ]. Řešeí: K zíáířešeí homog. rovice: y - y y povede výpoče ořeů charaeriicé rovice: - erými jou hodoy aže y h C e C e. V dalším poupu ejprve ajdeme rozvoj pravé ray LDR ( ve FŘ. Ja je dobře paro z obr. jedá e o udou pojiou ci periodou T iegrovaelou a periodě T. Rozvoj bude edy oiový (b. Najdeme oeiciey FŘ obvylým způobem: a ( i( co( ( [ ]..i co( d d Poom ( ( [ ] ( [ ] co( 4 co ( R ( a.d. - 3

59 Poěvadž charaeriicá rovice emá omplexí ořey a FŘ pravé ray LDR eobahuje čley lieárě závilé a udameálím yému: y e y e hledáme pariulár. řešeí v( přímo ve varu FŘ v v A ( ( A co( B i( ( ( A i( B co( v ( A co( B i( (. Fci v( polu jejími derivacemi doadíme do původí rovice a pravou rau ahradíme alezeým rozvojem: ( A co( B i( ( A i( B co( ( ( ( [ ( ] co( A co B i. A

60 Nyí přioupíme porováváí oeicieů: : ab.čl. A A : i 4 : co B A B A B A B A 4 4 : i 4 4 : co B A B A B A B A : i : co B A B A B A B A M 8 4 : i : co B A B A B A B A ( [ ] ( ( [ ] ( ( [ ] ( 4 : i : co B A B A B A B A Periodicé pariulárířešeí doáváme ve varu: (... co5.3 5 i co i i v obecéřešeí zadaé rovice pa ve varu: R e C C e y... co5.3 5 i co i i

61 Diréí Fourierova raormace (DFT Deiice: DFT je umericý výpoče oeicieů FŘ obdélí. meodou. Za podmíy evidi. rou děleí bude: C N N e i N N N i rep. N C rep. e de N... celový poče vupích hodo diréí ce... hodoa vupí uce v bodě - veor vupích hodo C... oeicie -é harmoicé N i N... bázové veory vořící bázi lieárího prooru cí e i i C N e i N N Ozačme w e pa e N w. Seavíme maici pro růzá a : w w W w w w w w w N w w w w w w w N ( N ( N ( N F (a FTalg. výpoču oe. DFT W je vořeá orogoálí ouavou cí a iervalu N [ ( ] { C } { } F F W { } K W F raormace zpěá raormace K N N N N

62 DFT Vlaoi maice W. Maice W je regulárí a ymericá j.. Maici W lze vyjádři pomocí vzahu * 3. Maice W je uiárí j. ( W obecě N 4. Ozačíme li druhý řáde W: u ( w w w... w pa aždý další ( N bude u ( w w w... w 5. Prvy w N veoru jou ořey rovice z N. i Číla z w e N leží v omplexí roviě a ružici o poloměru N a plaí N pro N ( ( w pro 6. Maice W je permuačí periodicá maice 4. upě: P je permuačí maice řádu N PP I W :WW W W I W W w w w T W W W T A Π w W 4 N P W N I A

63 Dvouraá DFT Poz.:Čao e můžeme ea dvouraou deiicí DFT ˆ C N N N e i N rep. ˆ C N N N de N... celový poče vupích hodo diréí ce... hodoa vupí uce v bodě - veor vupích hodo ˆ... oeicie -é harmoicé hodoa výupí e i N N je udé: N N... N N... N je liché: N N... N N...

64 Dvourozměrá DFT Deiice: Nechť x R (apřílad x R j. x(x x rep. (xy a echť { ϕ voří úplý oroormálí yém L (R ( x } ϕ ( x plňující podmíu že pro aždou ci L (R exiuje jedozačý rozvoj v overgeířadu: ( x c ϕ ( x Řada overguje v ormě L oeiciey c ϕ ( x ϕ ( x dµ x Zde R x D D dµ je míra (objem elemeu x idex Z. x ( ( ϕ dx ( xy ϕ ( x y dx dy Např.: : c x x ϕ x x dx x D Numericý výpoče c...dvourozměrá DFT Deiice: M N N M c ˆ ( xy exp( i( xu yv uv y x je-li obla D obdélí M x N (M- (N- ϕ ( x řádový idex u M- loupcový idex v N- x D N M M N y x i x N e xy w Poz.: Výpoče dvojdimezioálí DFT e provádí ve dvou eapách:. jedorozměrá DFT v aždém řádu j. F( uy. jedorozměrá DFT v aždém loupci j. F( xv ebo aopa. xu yv

65 DFT - Přílad Přílad: Nechť diréí ce je zadáa poloupoí jao loupcový veor pro : Pro přímou raormaci zvolíme: Prvy maice bázových veorů W 8 e achází a jedoové ružici: { } { } 7... x 8 N. ( ( T T x x x x x x x x x W F 8 ˆ N i e w Re w Im w -i - i W 8 7 W 8 6 W 8 5 W 8 4 W 8 3 W 8 W 8 W 8 4 w w 5 ( w i w 6 w i w 7 3 ( w i w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w W ( ( w w w w w w w w w w w w w w i i i i x x x x x x x x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ W i i i i x x x x x x x x T W

66 Zobecěé DFT Poz.: Proože všechy výše uvedeé yémy jou orogoálí pa aždý igál v prooru l ( lze reoruova pomocí zobecěé Fourierovyřady c ϕ de c ϕ. { ( } ϕ x voří Walhovu ebo modii. Walhovu ebo Haarovu ebo Fourier. bázi. (Rademacherova ouava v prooru l ( voří eúplý yém pa výpoče oeicieů a reoruce uce je eúplá. c F X X F X Přílad: Zvolme 8 číel erá budou předavova veor da y ( T. Poupě vyvoříme jedolivé maice bází X a provedeme raormaci: Xy a iverzí raormaci: c y X c y c Walh y Walh c MWalh y MWalh c Haar y Haar c 6 7

67 CVIČENÍ 34 ucio [RP]rad( ucio [WP]walh( ucio [Wm]walhm( ucio [H]haar( ucio [F]our( P[]; N^; or i:n- pdecbi(i; P(:ibidec(p'; ed P[zero(N;P]; R(-.^P; raorm.m ipu('zadej pro ^ bodu:'; N^; Tipu('Zadej raormaci: '; i(t'r' Mrad(; ed i(t'w' Mwalh(; ed i(t'wm' Mwalhm(; ed i(t'h' Mhaar(; ed i(t'f' Mour(; ed % Vygeerovai veoru x*pi:*pi/n*3:*pi; x*pi:*pi/n*3:4*pi; x34*pi:*pi/n*3:6*pi; i([x x x3]'; N^; [RP]rad(; Plipud(P; P[P(ize(P: P(:ize(P-:]; Woe(NN; or i:n or j:ize(p W(i:W(i:.*(R(j:.^P(ji; ed ed igure plo(; ile('sigal' % Traormace cm*; igure plo(ab(c(:n; ile('sperum' % Porovai c(; igure plo(ab(c(:n; N^; [WP]walh(; or i:ize(w- S(:iW(:iW(:i; ed or i:n Z(iN-z(S(i:; ed or i:n Wm(i:W(Zi:; ed % Zaeei -procei chyby cerrc.*max(ab(c*(ra d(n-.5; igure plo(ab(cerr(:n; ile('sperum zaiz. chybou' % Zpea raormace(reoruce chybou zaiz. oe. errm'*cerr; igure plo(real(err ile('sigal-chyb. oe.' ile('sperum-' % [i(3*x.8*i(3*x.6*i(33*x i(3*x.8*i(3*x.6*i(33*x i(3*x3.8*i(3*x3.6*i(33*x3]'; % [i(3*x.8*i(3*x.6*i(33*x3]'; % [i(9*x i(9*x.8*i(3*x i(9*x3.8*i(3*x3.6*i(37*x3]'; (:N; N^; /N; Hzero(N; H(:; x/::(-/; or m:- or :^m H(^m:qr(^m*(((* -/(^(m<x & x<(*- /(^(m - ((*-/(^(m<x & x<(*/(^(m; ed ed % Tichoovova regularizace e; or i:n creg(i(cerr(i/(.*(i^e; creg(i(cerr(i/(.*(i^e; creg3(i(cerr(i/(.*(i^e; ed regm'*creg; regm'*creg; reg3m'*creg3; igure; plo(real(reg;ile('sigal-reg' igure; plo(real(reg;ile('sigal-reg' igure; plo(real(reg3;ile('sigal-reg3' N^; wexp(i*pi/n; or i:n or j:n F(ijw^((i-*(j-; ed ed

68 Chyba ve Fourierových oeicieech Nechť ( plňuje Dirichleovy podmíy a odpovídající FŘ v iervalu je ejoměrě overgeí v ormě L : c Předpoládejme že ejou vypočey přeě ale určey jeom přibližě apř. pomocí umericé meody ebo experimeálě ozačíme je c. Za předpoladu že chyby při výpoču c ve mylu ormy L plaí: δ > epřeo určeí c c jou malé V praxi e čao vyyuje úloha reoruce ( v bodě chybou j. ají uci a aby < ε δ de při δ : ε( δ Problém vša elze řeši pomocí...elze prové reoruci ( δ ( c a vzahu ( ( c e i c e c i ε( δ

69 Divergece FŘ při přibližě určeých oeicieech Nechť δ > a oaa K má var : K řada je overg. Předpoládejme že chyby v zadáí F. oeicieů jou c c... c c (j. ejoměrá loža je určea přeě Za ěcho podmíe lze erovo charaerizující epřeo zadáí F. oeicieů v ormě L upravi δ δ δ c c c c K K c Při záměě a c * při výpoču čích hodo v e dopoušíme chyby: i ε a oréě v bodě : δ ε ( c c e Jeliož je divergeí pa při libovolém chyba ve výpoču čí hodoy δ > v omo bodě ε... malé změy v zadáí F. oeicieů mohou vyvola libovolě velé změy čích hodo v bodě Úloha v merice C je ormulováa eoreě (orma v C [ ab] je : x max x( avša a b [ ab] L aáž úloha v merice je ormulováa oreě eboť použiím Pareval. vzorce: c δ d d K δ K c při δ

70 Přibližéřešeí úlohy při epřeě zadaých ebo vypočeých lze eavi ve varu regularizačího operáoru: ( ~ i ( R( c δ r( α c e c e α Zde je regularizačíčiiel je paramer regularizace. r α α( δ ( Uážeme že při vhodě zvoleém r α proce umace FŘ je abilí ve mylu že malým změám v zadáí c v ormě L odpovídají malé ~ změy ( v ormě C. Čiiel r α může mí apř. var α ( α r Tichoovova regularizace α 8 ( α rep. obecě ( i c α α r R(α α α α 5

71 ( ( Věa (Tichoovova: Nechť L I je pojiá v iervalu I pa pro δ > a α eré je ejého řádu jao δ ouče řady oeiciey c α aproximuje čí hodou ( v bodě chybou ε( δ při δ. (Exiuje i obecější Tichoovova věa. Důaz: Nazačíme důaz za podmíy že aproximující FŘ bude ahrazea F. polyomem maximálí dély N ( δ i regul. δ paramerem α( δ δ. (Případ dy α δ.c ( δ < C e doazuje C( δ C aalogicy. Je uo doáza že pro ε > δ > δ δ v daém bodě plaí erovo: ( ~ i ( ( c e ε Jeliož ( je pojiá v I a < r α pa lze uáza že exiuje aové že i M > ( Úpravou erovoi uážeme že pro aždé oréí že pro δ > δ δ ( ε : ~ ( i c cα e ( c ( ( α Tichoovova věa α α ( i c α e ( M c c r e α c α ( ε > δ ( ε > M c c r ε α a

72 Sačí doáza že pro δ : V oréím bodě I ( c r lze zapa: c c c r( δ α N N i i i α α α N ( ( c e c c e c e Jeliož FŘ je v bodě overgeí pa zbye řady pro overguje ule. Použiím Cauchyova - Buňaového (Schwarzovy erovoi a úpravou doaeme: N N i ( c cα e ( c cα N Pro : r δ < pa při δ : < δ ( N α ( c c e ( δ i N c ( δ N cα M c c r M c c r ( α M ( δ δ α( δ [ ] Regul. operáor předavuje možiu operáorů závilých a. Obecě opim. regul. operáor lze aléz miimalizací Ticho. ucioálu F a možiěřešeí M ( ce chyby v zadáí F. oeicieů je abilizačí operáor: g p ( α α α τ ( ( ( I α d d d

73 Tichoovova regularizace - Přílad ( ( ( ( 8 9 ( ;. 5 ( 5 ; ( i ω C e 3 % chyba od ředí hodoy F. oe. ( i ω C e α i ω ( C e α

74 Chyba umericého výpoču oeicieů FŘ Jaá chyba vzie v důledu oho že oeiciey FŘ počíáme ioli iegrálem ale diréě použiím obdélíové meody? Chyba umericého iegrováí obdélíovou meodou: Nechť g( je pojiá a alepoň x dierec.a iervalu I popř. periodě T T Rozdělíme ierval a N bodů evidi. roem g( N Nechť h -h h rozšíříme ierval o půl rou a aždou rau a že [ h h] N ( Nahradíme g loupcoviou cí a aby aždý dílčí obdélí měl záladu d ( h ( h a výšu g ( g. Pa chyba vziající a aždém rou h bude: h R( R( h g( d h g G( h G( h hg h N- N- h

75 R ( ( ( Najdeme h R h pa R h rozšíříme : h d R ( h R( h G ( h G ( h ( hg g( h g( h g R dh g h ( h [ ( h g ( h ] h h Pro h : lim [ g ( h g ( h ] g ( ξ h ξ [ h h] pa R ( h g ( ξ h Provedeme poupě x iegrováí R h g ξ a h : h h h h R ( u du R ( u du g ( ξ u du R ( u du g ( ξ ( u R du R h R R h ( ( ( h h h ( ( h [ ] h u du. h h g ( ξ u du g ( ξ pa R ( h g ( ξ h ξ h 3 u h Naoec R ( u du g ( ξ du R( h R( R( h R( h g ( ξ ξ 6 [ h] h g( aproximuje přeě čí hodou v uzlových bodech R( R ( v ěcho bodech evziá žádá chyba R h ( g ( g ( ξ ξ chyba vziající a jedom rou h

76 Na celém iervalu chybu aproximace zapíšeme jao ouče chyb a N jedolivých rocích: R ( R (. N Za podmíy evidi. roů pro maximálí aboluí chybu 3 aproximace plaí: max R N ( ( N max g ( ξ ξ 4 ξ [ T ] h > Při umer. výpočech pojiou derivaci ahradíme diréí a provedeme odhad maximálí chyby a iervalu měřeí. Navíc pro R N ( ( N 4 max g... N g je. dierece g Chyba umericého výpoču F. oeicieů obdélíovou meodou: T i Nechť ( L [ T ] je alepoň x dierec. pa c ( e d ω ( ( ( ( iω iω Nechť g( ( e pa g iω e g ( ( iω ( ω ( T T N ( N ( iω e T ω Z. T

77 ω N Odhad max. aboluí chyby aproximace a iervale pro ( ( N N RN max g < max g N max R ( max. 4 4 N g 4 de 4 i ( N g i e N ( N Z...N. edy odhad maximálí chyby je obecě věší ež uečá chyba Důležié: při N aboluí chybu výpoču c lze řádově vyjádři R c c A N de A> je reálá o. ezávilá a N c přeý oe.počeý iegrálem c oe. umer.počeý obdélí meodou R aboluí chyba aproximace při umer. výpoču oeicieu -é harmoicé. Při << N (ízé revece: A R < N A N ( Při N : R ( <. Pozorováí: Aboluí chyba při výpoču -é harmoicé je přímo úměrá při umer. výpoču vyšších harmoicých e dopoušíme věších chyb.

78 Chyba umericého výpoču F.oe. - Přílad Nechť je daá ce ( e [ ] je a zadaém iervale pojiá dierec. a můžeme ji rozviou v FŘ. Budou á zajíma je F. oeiciey a odhad chyb při umer. výpoču. Vypočeme (přeé oeiciey FŘ T ω c e e i d e ( i ( i ( ( ( i ( i e Vypočeme: ( ( ( i g i e g i Re g ( e co i Im g ( g i e ( ( ( g ( ( i e ( i i ( ( e e e ( i ( [( ] ( e [( i co ] ( e ( g ( e ( max ( e ( g Max. ab. hodoa g je přímo úměrá (. Tz. při určeí vyšších N harmoicých e můžeme dopui věších chyb: e Např. N ( Pa R ( e ( 8 e (. ( (. R 3 4

79 Algorimu FFT (Fa Fourier Traorm Spliig mehod - meoda šěpeí vybraých vupích poloupoí Alg. publiová 965 J.W.Cooleyem a J.W. Tueyem po ázvem Buerly (moýle pro poče vupích hodo N m m N. Rozděleím poloupoi { } erá má N čleů a vybraé pol. o N / čleech lze obraz { } rozepa N N F ˆ : ˆ i / N F e w... N w w N e i / N Rozdělíme-li { } a čley e udým idexem y a čley lichým oz N idexem z pa: F oz ( [ yw zwn ] N ˆ... N V důledu ymerie omplex. číel (oeicieů a ružici : plaí: i4 / N i /( N / wn wn / e e N N F y wn / wn z wn / { } pq (obecě w p N N... w N / q Nazveme poloupo oeicieů DFT-polovičího rozahu. F Y w N ( N Z F N N Y N wn Z N... F Y Z DFT DFT { } { } y z

80 Maicový zápi FFT Doazeím za doáváme důaz ymerie a vzahy: i N N i N N e e w N Z w Y F N N Z w Y F Pricip děleí pol. e opauje doud edoaeme jede prve pa: ( w F DFT N Nechť (.. N- T je vupí veor F ( F F.. F N- T d( Pa: F W N Z Y B Z Y D I D I N r r r r je jedo. maice řádu rn/ ( r r N r r r r r r w... w w...w w w diag D I r ( r r r r r...w w w diag D N / i e w Další ro: Z Y B Z Y D I D I Y N/ r r r r Z Y B Z Y D I D I Z N/ r r r r dílčí pol. zovu rozdělíme a podpol. e udým a lichým idexem přeidexujem rn/4 ( 4... r r r r r w w w diag D Pa: N/4 N/4 N/4 N/4 N/ N/ N B B B B B B B F P B B B B B B B T L OL M M M M M M L L L L L L Např. W 6 B 6 B 8 B 4 B

81 P je permuačí maice erá je vyvořeá při vyoáváí poupého liché udé přeupováí loupců jedo. maice. Vupí evece je ejprve přeupea pomocí permuačí maice P T a pa prochází ombiačími upi log N. ( T F F F F F F F F ( T F F F F F F F F Např.: Poz.: Teo proce lze vyjádři pomocí Kroecerova oučiu. F W N ( ( ( ( P B I B I B I B I T 4 N 4 N N L N log de B a B a B a B a B A m m L M O M L je řádu mp x q A m x B p x q

82 Kovoluce cí Kovoluce je velmi důležiý pojem v eorii IT erý e používá ilraci (vyhlazováí zoumáí přeoových jevů řešeí iverzích úloh ap. Lze uáza že aždá raormace - Laplaceova Fourierova Hilberova ad. je zvláším případem ovoluce. Tedy ovoluce je operáor a ejobecější IT zároveň. Kovoluce dvou cí : Deiice: Nechť ( a g( jou alepoň počáech pojié omplex. ce reálé proměé (. Kovolucí cí azýváme ci de. overg. de ovolučím iegrálem h( ( τ g( τ dτ ( g( ( g τ je iegračí proměá Jou-li ( a g( alepoň po čáech poj. omplex. ce reálé proměé [ pa ovoluce cí je dáa iegrálem proměou horí mezí: h ( ( τ g( τ dτ ( τ. g( τ. dτ Poz.: Pro τ > : ( τ g( τ v důledu pricipu auzaliy (příčia důlede < τ Poačující podmíou pro overgeci ov. iegrálu je aby ce byly iegrovaelé vadráem a R rep. ohraičeo variace omplex. cí reálé proměé.

83 Vlaoi ovoluce Z vě o iegrálech závilých a parameru plye:. h g dvou pojiých cí ( a g( a R je ce pojiá. liearia (dirib. záo vzhledem e číáí a áobeí oaou: ( c g c g c ( g c ( g 3. omuaiví záo: g g ( τ g( τ dτ g( τ ( τ 4. g g c g g c 5. jou-li ce g origiály (vzory předměy j. exiují-li jejich přílušé iegrálí obrazy (apř. Laplaceův Fourierův pa i ovoluce je origiál ěmuž lze vyvoři iegrálí obraz 6. věa o oučiu obrazů (věa o obrazu ovoluce: jou-li ce g origiály j. exiují jejich přílušé iegrálí obrazy F( G( pa iegrálí obraz ovoluce g (Laplaceův Fourierův e rová oučiu jejich obrazů F( G(. Zde je paramer jádra raormace F 7. aociaiví záo erý ám dovoluje vyvoři ovoluci 3 a více cí: ( ( g g g g g g dτ ( ( K ( d G( g( K ( d. F ( G ( h( K ( d

84 Souči obrazů K důazu věy o oučiu obrazů zavedeme (pro ázoro oréě zvoleé jádro IT: K( e pro dvour. Laplaceovu raormaci: pro Fourierovu raormaci: Re i Im σ iω iω σ ω R Nechť exiují dva overgeí iegrály a ejé možiě D: F( ( e d G( g( e d Seavíme-li ouči ěcho iegrálů a éo možiě doaeme: F ( G( h( e d h( ( g( ( τ g( τ dτ Odud plye přímo Borelova věa pro jedor. Laplaceovu raormaci Při důazu dojde je e změě dolí meze a edy i iegračí oblai D. Obla D za podmíy pricipu auzaliy j. > τ

85 Laplaceova raormace jao ovoluce cí de Zavedeme do ovolučího iegrálu h( ( τ g( τ dτ ( g( ubiuci: e ( τ e x τ ( dx dτ x ( x ( ( a echť jádro ovolučího iegrálu bude ve varu g e. exp e pa: g τ τ τ τ ( τ e.exp( e exp( e. e. e. e po zavedeí uvedeé ubiuce doaeme: oz x g( τ ϕ( x x. e ±... g( b echť ovoluce h( bude ve varu h( e φ( e pa τ c origiál ozačíme: ( τ ( e u( x oz g( Obr.3. h( F( Doadíme eď ubiuce a uvedeé vzahy do ovolučího iegrálu: F F ( ( u( x x e u x x ( x e dx dx x po úpravě doaeme:... Laplaceův iegrál 3

86 Sieljeova raormace jao ovoluce cí Obdobě při zavedeí ubiuce e τ ( e x τ ( a jádra g(. ( do ov. iegrálu doaeme Sieljeovu coh raormaci: u( x F ( x a echť jádro ovolučího iegrálu bude ve varu g(. ( pa coh ( g τ dx τ coh a po zavedeí uvedeé ubiuce g( τ ϕ( x b ovoluce ( bude ve varu h h( e.φ ( e a po zavedeí uvedeé ubiuce h( F( τ τ c pro origiál zavedeme ozačeí: ( τ e ϕ ( e x ϕ( x doazeím ub. a vzahů h( F( τ g( τ ϕ po úpravě doaeme: ( ( x F dx g( Obr.4. τ τ exp exp x [ x x ] ( x ϕ( x. x. ( x x... Sieljeův iegrál ( dτ ( ±... g x x dx ϕ( x. dx x

87 Filračí vlao ovoluce cí Poz.: Důležiou vlaoí ovolučího iegrálu při vhodé volbě jádra g( bude zmešeí ocilace ce ( (origiálu předměu vzoru j. výledá ce h( měí vé zaméo a iervalu ( rep. ( ejvíce olirá olirá měí vé zaméo (. Ja uázal Schöeberg I.J g( bude aovým jádrem γ i g( L( R g( d ( [ ( ] a má var: g E e d i R γ i de γ je libovolá veriálí příma erá e achází v oboru aboluí overgece dvour. Laplaceova iegrálu azývaého éž Fourierův - Laplaceův iegrál j. C Re ( α α. Při ěerých omezeích apř. α < α > může bý γ b Fce zpěé ra. rep. reprodučí ce má var E( e. exp (Tichmarh E.C. 95 a a Zde b { a } jou reáláčíla z { } lze eavi overg. číel. řadu Vlaoi uvedeých jader jou: a g 3 g( ( b d g( d ( R g( d a R R 4 g( ( b d a <...diperze R e R Z ěcho vlaoí plye že g( má pravděp. charaer a je cí huoy rozděleí pravděpodoboi. Teo yp jader paří e řídě zv. oečých jader jeliže E( je polyom upě reálými ořey. Záladí ce jejíž pomocí lze obdrže éměř všecha jádra je : b....ř. hod g ( ( (

88 Kovoluce cí Přílad Přílad: Určee ovoluci cí ( e g(. Řešeí: Obě ce jou pojié pro > a mají ohraičeý rů. Pro ověřeí omuaivího záoa výpoče provedeme pro ( g a (g.. g e e. τ dτ e. τ e e. ( ( ( τ ( τ ( τ ( ( ( τ τ τ τ τ τ. g e.e d e.e e e. Iegrály jou v obou případech počíáy meodou per pare. Poz.: L-obraz ovoluce (e bude a záladě věy o oučiu obrazů : { } { } L e L e L{ } Re >.

89 ( g( i( τ η( τ dτ i( τ dτ ( co. Poz.: Zorolujeme výlede použiím věy o oučiu obrazů. Víme že Lη { ( } Re σ > L{ i( } Re σ > 4 pa L{ h( } ( Re σ >. 4 L Kovoluce cí Přílad Přílad: Nechť ( i ( η( g( η(... Heaviideova ce Řešeí: Kovoluce dvou cí a g : Pomocí zpěé L raormace doaeme ( 4 ( co.

90 Kovoluce cí Přílad 3 Přílad: Nechť g( η( ( η(. ( η( g( Řešeí:. h( ( g ( ( η( τ η ( τ dτ τ d τ. η(τ η(-τ τ τ ( ( ( ( ( ( ( (. h g η η τ. τ dτ τ dτ g(-τ-τ τ

91 Přílad: Nechť g( η( Kovoluce cí Přílad 4 [ ] [ ] (. Řešeí: < > h g τ τ dτ τ dτ τ dτ τ d τ. ( ( ( ( ( ( ( ( < < h ( ( τ d τ [ < h ( ( τ dτ ( τ dτ < Výlede: Poz.: Výlede ověříme a záladě věy o oučiu obrazů: L η ( Re > { } L{ } e věa o pouuí doprava L{ g} L{ } věa o derivováí obrazu L( h( L{ ( g } e e 3 3 h ( L ( 3 ( 3 Re > h L e ( h ( h věa o oučiu obrazu zpěá raormace [ [ ( -

92 Obecě ovoluce dvou poloupoí vychází ze oučiu Laure. řad. Nejdříve rozebereme případ : {a } a {b } pro Dvě regulárí ce (z g(z lze rozviou v dvě overgeí mocié řady a ejé možiě M a e ředem v bodě z : oz Kovoluce poloupoí ( ( ( ( ( ( z A z a z z g z B z b z z zde {a } {b } jou pol. vořeé oeiciey moc.řad. V oboru overgece j. pro z M : z < r lze vyvoři ouči ěcho dvou řad: z g z A z B z a z z b z z c z z ( ( ( ( ( ( ( Koeiciey c e vypočou: c a b ; c a b a b ; c a b a b a b ; c a b. a b.... oz Fce (za(z g(zb(z chápeme jao obrazy pol. {a } {b } a (z-z jao jádro Laur. IT

93 Kovoluce poloupoí Obdobě můžeme vyvoři ouči dvou Laure. řad e ejým ředem a overgeích a ejém meziruží apř. při z pro r < z < r c edy. a. z b. z c. z A( z B( z e počíají obdobě: Deiice: Poloupo oeicieů {c } v uvedeém vzahu e azývá ovolucí dvou poloupoí {a } {b }. Zapiujeme: {( a b } { c} c ( a b Poz.: Tedy ovoluce dvou poloupoí je poloupo!!! c a. b ± ±... a L a b a a z a z L L L z z b b b z b z z z c L ab ab ab ab ab L a. b c L a b a b a b a b a L a. c b3 3 b3 L a b a b a b a b a L a. b b c. z Deiujeme-li: A( z a. z B( z b. z (viz.jedor. Z-raormace ovoluce dvou poloupoí { } bude pol. oe. { c } c a. b a b { } z >

94 Věa: o oučiu obrazů Nechť ce A(z B(z jou obrazy pol. {a } a {b } a ( C z c.z je obrazem pol. {c } ±±±3 pa plaí že obraz ovoluce j. obraz pol. {c } e rová oučiu obrazů poloupoí {a } a {b } ±±±3 C(z A(z B(z. Výpoče: Nechť {a } ( a a a M- má M čleů {b } ( b b b N- má N čleů {c } bude mí M N čleů (oaí budou ulové. Obecější deiice je a záladě Laureovyřady: ( ( z c z b z a B z A z Kovoluce poloupoí ouči obrazů výpoče pa M M M M M M M M M M M a a a a a a a a... a a a... a a... a M M M A M M M M M M M M M b b b b b b b... b b b... b b... b N N N B c a b - loup. veory vořeé {c }{b }{a } A - maice ypu (M N N vořeá {a } B - maice ypu (M N M vořeá {b } a B b A c

95 Kovoluce poloupoí přílad {a }( má 7čleů {b } ( má čleů (oaíčley jou ulové {c } má 7 6 čleů (oaí budou ulové: {c }( a b c

96 Cylicá ovoluce poloupoí Chceme-li prové vypoče pomocí periodicé ovoluce pa je uo obě poloupoi { a } { b } upravi a aby obě poloupoi měli ejou délu N N N rep. N N N { a } { } b Doplíme : ( a a...n N N...N Mío a b začíme cylicou ovoluci Diré.ovoluce { } ( y h lze zapa ve varu: b ( a b b...n N N...N y h h de je pol. reprezeující vupí igál obahuje N prvů { y} je pol. reprezeující výupí igál y { h} je pol. reprezeující diréíčaovou charaeriiu h -ilr. Maicový var diré.ovoluce bude Y H F zde maice H je dolí h L rojúhelí. řádu NxN: T F (... N h h H h h M L M h 3 L h M h M h L M h (... Y y y y y Diré.deovoluce je operace alezeí vupího igálu : (elze ( y h F H N T Y

97 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Algorimu rychle Fourierovy raormace (primev zalozey a jejim maicovem zapiu vvvv % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ucio Xmy(x; % Jelize je x radovy veor bude prevede a loupcovy []ize(x; i >; xro9(x-; OK; ele OK; ed; Nlegh(x; log(n; % Vyvorei permuaciho veoru p(:n'; i_odd(:n/*-; % liche oeiciey i_eve(:n/*; % ude or i:- m^(i-; KN/(*m; p_oddrehape(p(i_oddkm p_everehape(p(i_evekm prehape([p_odd;p_eve]n ed; % Preaobovai dilcimi maicemi Xx(p; or i: K^i; mn/k; % m je poce blou B a diagoale K je rad blou B wexp(i*pi/k; Ddiag(w.^(:-:-(K/-; %diagoal. maice prvy w Ieye(K/; % Jedoova maice B[[ID];[I-D]]; % Blo B Vdiag(Bm; % Maice eavea z m blou B XV*X; ed; i OK; Xro9(X; ed; CVIČENÍ 5

98 CVIČENÍ 5 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Algorimu rychle Fourierovy raormace (zpee zalozey a jejim maicovem zapiu % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ucio xmyi(x; % Jelize je x radovy veor bude prevede a loupcovy []ize(x; i >; Xro9(X-; OK; ele OK; ed; Nlegh(X;log(N; %...poce urovi % Vyvorei permuaciho veoru p p(:n'; i_odd(:n/*-; % i_odd..liche idexy i_eve(:n/*; % i_eve.. ude idexy or i:- m^(i-; KN/(*m; p_oddrehape(p(i_oddkm; % preuporadai prvu p_everehape(p(i_evekm; prehape([p_odd;p_eve]n; ed; % Preaobovai dilcimi maicemi xx; or i:-: K^i; mn/k; % m je poce blou B a diagoale K je rad blou B wexp(i*pi/k; Ddiag(w.^(:-:-(K/-; % Diagoali maice prvy w Ieye(K/; % Jedoova maice B[[ID];[I-D]]; % Blo B Vdiag(Bm; % Maice eavea z m blou B xv'*x; ed; xx(p; x(/n*x; i OK; xro9(x; ed;

99 Fourierovařada v. Fourierova raormace Vzah mezi Fourier.řadou a dvojým Fourierovým iegrálem: FŘ: α L T αl i ω i ω ( ( [ α α ] C e C e d L L zde ω /T α je řed periody L je půlperioda TL Zaměíme v iegrálu proměou za x j. x a iervalu [α-l αl] pa iegrál pro výpoče oeicieů bude: C T Doadíme poledí iegrál do FŘ: α α L L iω x ( x e dx i x iω iω ( x ( ( x e e dx ( x e T α L α L ω T α L α L dx

100 Fourierova raormace α L iω ( x x e d x ( ( T α L Plaí: ω ω -ω /L pa poledí vzah přepíšeme: L α L iω ( x iω ( x ( ( x e dx ω ( x e α L α L α L dx. Za podmíy T L je zřejmě ω umace v poledím vzahu přejde v iegrál: α L iω ( x iωx iω ( lim ω ( x e dx ( ( x e dx e dω αl iω ( x ( dω ( x e dx

101 Fourierova raormace iω ( x ( dω ( x e dx...dvojý Fourier. iegrál v omplex. varu Podmíy pro plao ohoo vzahu :. Fce ( je aboluě iegrovaelá pro R. Fce je po čáech pojiá a má po čáech pojiou derivaci '(. iω iωx ( e ( x e dx dω ( ( ( v bodech pojioi v bodech epojioi ( lim ( ε ( lim ( ε ε ε

102 Fourierova raormace - Deiice Deiice: Nechť ce ( plňuje výše uvedeé podmíy R pa dvojý Fourier. iegrál v omplexím varu je dá vzahem iω ( x ( dω ( x e dx Deiice: Nechť ce ( je aboluě iegrovaelá ( ( jou po čáech pojié pro R pa azýváme ci iω F( iω ( e d omplexím Fourierovým obrazem ce (origiál předmě. Deiice: Zobrazeí eré předměu ( R přiřazuje Fourier. obraz F(iω azýváme Fourierovou raormací a začíme ji F edy obraz FF. Deiice: Zpěá Fourier. raormace za podmíy že exiuje overg i dvojý Fourierův iegrál je realizováa vzahem ( F( iω e ω dω

103 Fourierova raormace přímá a zpěá Ozačíme-li viří iegrál jao ci proměé ω R pa přímá Fourierova raormace: S iω ( ω ( e d Zápi dvojého Fourierova iegrálu e pa zjedoduší zpěá Fourierova raormace: iω ( S ( ω e dω Zpravidla e používá ce deiovaá a imagiárí oe S(ωF(iω. Fourierův obraz F(iω e azývá éž perálí ce ebo perálí huoa origiálu a charaerizuje pojié perum uce ( R: hodoa F(iω voří ampliudovou perálí huou φarg F(iω (rep. arg F(iω je ázová perálí huoa φ [-]. Poz.: Porováím Fourier. a jedor. Laplac. raormace vidíme že de. oborem v případě FT je celá oa R mío ladé polooy R u LT. Zapíšeme- li paramer Re i Im σi ω pa pro FT Re σ. F{} F - {F}

104 Nechť ce ( je reálá L (R. Ve vzahu plaém pro všecha v ěmž ( a ( jou pojié oddělíme imagiárí a reálou čá: ( dω ( x co( ω( x dx dω ( x i( ω( x i dx Provedeme změu pořadí iegrace: i ( ( x dx co ( ω( x dω ( x dx i ( ω( x dω Jeliož ce co(ω(-x je udou cí proměé ω je iegrál co Fourierův iegrál v reálém oboru α L ( ω( x dω lim co( ω( x dω co( ω( x L α L Fce i(ω(-x je lichou cí proměé ω pa i ( ω ( x dω Pa dvojý FI v reálém varu:.. dω ( dω ( x co ( ω( x dx

105 Plaí: co ( ω ( x co ( ω co ( ω x i ( ω i ( ω x. ( dω ( x co ( ω co ( ω x dx dω ( x i ( ω i ( ω x dx co ( ω dω ( x co ( ω x dx i ( ω dω ( x i ( ω x dx. Zavedeme-li ozačeí: a( ω ( x co( ωx dx b( ω ( x i( ωx dx pa Zpěá Fourierova raormace v reál. oboru ( [ a( ω co ( ω b( ω i ( ω ] dω což lze vyjádři ( A ( ω co [ ω ϕ ( ω ] de ampliuda a áze jou dáy obdobě jao u FŘ: b ( ( ( ( ( ω Aω a ω b ω ϕ ω argϕ(ω argf iω ϕ ω a( ω Vzah popiuje rozložeí ce ( pro (- a harmoicé miy jejichž úhlová revece e měí pojiě od do. d ω ( ( ( ].

106 Pricip ymerie Porováme-li vzahy pro přímou a pro zpěou FT vidíme že e liší jeda áobou oaou erá emá vliv a overgeci iegrálu a jeda zaméem v expoeu jádra raormace. iω S F i e d iω F iω e dω Deiujeme-li Four. obraz: ( ω ( ω ( pa pro zpěou raormaci plaí: ( ( Je evideí že mezi ěmio vzorci exiuje ypicá ymerie mezi origiálem a jeho obrazem: je-li S(ω F(iω obraz ce ( pa ce (-ω je FT S(. Zaměíme-li ormálěωza určíme origiál (- použiím ejého algorimu jao pro výpoče obrazu.

107 origiál ( obraz - origiál obraz S(ω - ω

108 . Fourierův obraz ce : a v omplexím varu: < >. L ( [ ]. Fce je aboluě iegrovaelá a R ( R iω iω iω S ( ω ( e d e d ω ω b v reálém varu: ce je udá pa Přílad i ω b ( ω a( ω ( co ( ω d co ( ω d ω R

109 3. Zpěá raormace: a v omplexím varu: iω iω iω iω iω ( S ( ω e dω e dω e dω ω ω b v reálém varu: iω ω ( a( ω co( ω dω co( ω dω. Zvolíme-li za doaeme ce iω iω ( co d ω d ω. ω ω iω ω je udá pa i ω d ω ω

110 4. Zvolíme origiál: ( i R Fourierův obraz uce : i iω i iω S ( ω e d e d ω < S ( ω ω [ ] ω >. - S(ω ω

111 Něeré vlaoi Fourier. raormace. Lieáro:. Podobo (změa měřía: F F c c F ( iω. α iω α { ( α } F 3. Subiuce (věa o miočovém pouu modulačí věa: { iα F ( e } F ( iω iα iωτ 4. Pouuí(změa áz. pera: F{ ( τ } F ( iω e α R\{} α R τ R 5. Derivace origiálu: F{ ( } iω F{ ( } iω F ( iω ( { F ( } ( iω F{ ( } ( iω F ( iω dfi 6. Derivace obrazu: { ( } ( ω d F iω Fi F( i ( { } (. dω dω τ dτ F iω iω F g F iω G iω 7. Věa o obrazu iegrálu: F ( ( 8. Fourier. obraz ovoluce dvou cí: {( ( } ( ( ( g ( ( τ.g ( τ dτ F{ ( } F ( iω F{ g( } G( iω. d i d i d. 9. Parevalův vzorec: ( F( F( ω ω ω ω

112 Seavi Fourierův obraz pro < a ( α e α >. b Fce je udá ( ( c Fce je lichá ( ( Přílad ( e -a Obr hodoy L-obrazu a imag. oe j. Řešeí: a Fourier. obraz: ( ω ( Laplace. obraz: iω α iω ( α iω α iω F i e d e.e d e d. α iω α ω L α α α ( { e η ( } e.e d e d. α α iω α ω Spojié ampliudové perum voří F ( iω { }. Spojié ázové perum bude dáo ϕ( ω arg F( iω α ω Zpěá raormace bude ( iω e d ω. Pro (: α iω dω. α iω pro iw určují Fourierův obraz

113 b a co d e co d a( ω ( ( ω ω ω ω α b Fce je udá: ( ω ( ω ( ( ω ( ω ( α c Fce je lichá: ( ω ( ω ( ( ω ( ω a b i d e i d co d R ( ( ( Pozor!!! Nelze eavi Fourierův obraz pro η ( b ω i ω d ω R ebo pro ( e α < α >. jeliož η ( L ( R ( L ( R

114 Fourierova oiová a iová raormace Nechť ( L (R je udá ce pa a( ω ( co( ω d ( co( ωd b ( ω ( i( ω d. Fourier. iegrál bude mí var: ( a( ω co( ωd Deiice: Fourier. oiový obraz origiálu ( deiujeme ( co( ωd Nechť ( L (R je lichá ce pa a( ω Fourier. iegrál bude mí var: ( b( ω i( ωd b ( ω ( i( ω d ( i( ωd Deiice: Fourier. iový obraz origiálu ( deiujeme ( i( ωd

115 CVIČENÍ 6 Naprogramováí ce pro výpoče (cylicéovoluce dvou poloupoí

116 Dirichleovo jádro a raormace Nechť ( je aboluě iegrovaelá a iervalu rep. j. rep.. FŘ pro periodicou ci pro v omplexím a reálém varu bude [ ] [ ] ( L ( L ( ~ T R ω T i i co ( ~ b a a e c c b c a d e c Im Re ( i Čáečý ouče éo řady: ( Ν b a a e c i i co Po doazeí za c a po záměě viří proměé za x: dx e x e dx e x e c x i i ix i ( ( ( ( dx e x x i ( ( - - Ozačíme-li ( ( *. ( x D x D e x i pa dx x D x dx x D x ( (. ( (. ( *...Dirichleův iegrál (Dirichleova raormace Polyom azveme Dirichleovým jádrem řádu (89 ( ( u D x D Jié ormulace: ( ( x D u D * *. ( ( * x D u D

117 Pomocíčíeléřady můžeme odvodi: ( x i x i x i x i x i e e e e e e x D u D ( ( ( ( ( * ( ( Proože ( ( x e e x i x i co ( ( : ( u x u D * co ( co x u u co je řada overgeí ve mylu Ceàra i pro co ( u u D poloupo rigoomericých polyomů: ( u D co ( u u D... co co ( u u u D u [- ]

118 Dirichleovo jádro - vlaoi. D (u je ce udá periodicá T přičemž pro u j. pro všechy body x (vyplývá ze ubiuce u [- ] plaí: x u co ( D. ( lim. ( D j D ( du u D. Důaz:Proože D (u je udá: co ( ( ( du u du u D du u D i ( u du u D 3. Pro všechy body u Z plaí: i i( ( u u u D 4. Pro u Z je řeba dodeiova D (u pomocí limií hodoy. Limiu vypočíáme L Hop. pravidlem / : co co lim co co( ( lim i i( lim u u u u u u u u LP u ( co co co (- co( co (-.

119 ZÁVĚR : Pro hodoy Dirichleova jádra edy plaí: D (u i u u i u u Pa S( ( x D ( x dx ( D (... hodoa čí Z pro D... hodoa limií poloupo cí D (x- e chová ejě jao poloupo cí δ ( reprezeujících Diracův impul δ!!!proo Diracův impul ormálěčao zapiujeme (ve varu eoečé i i řady: lim e e co e i je divergeí v laicém (Cauchyho pojeí. Lze ale urči její ouče ve mylu Ceàra: ( S ( lim (.

120 V uzlových bodech e ampliuda výrazě zvěšuje. Na obrázu jou Dirichleova jádra pro 5 5 a : D5 D D5 D

121 Fejerovo jádro a raormace Fejer L Fejerovo jádro vzie umací Dirichle. jader pomocí Ceàrových oučů: Φ D ( ( rep. Φ D * * ( ( K Z předchozího je zřejmé že [ ] ( ( * Φ Φ Na záladě provedeé umace doaeme: ( Φ i e * i i ( rep. ( ( Φ i i e e co i i (. ( Φ V bodech je uo ci dodeiova: Z Poloupo ucí Φ (:

122 Gibbův jev Jaé chyby e dopoušíme ahrazujeme-li FŘ jejím čáečým oučem j. Fourier. polyomem? Formule pro zbye FŘ: Nechť ( je aboluě iegr. period. ce T [-]. Vypočeme Four. polyom řádu ( ( ( ( ( ( du u D u dx x D x de x-u u u D. co ( Jeliož pro : ( du u D > ( (. ( ( ( ( du u D du u D Vzorec pro zbye FŘ ( v ab. hodoě: du u D u du u D R ( ( ( ( ( ( (. ( ( ( ( ( ( ( ( du u u D du u u D Použijeme-li pa b a b a d d ( ( b a b a b a b a d g d d g d g ( ( ( ( ( ( ozačíme-li pa ( ( ( u u ( ( ( ( ( du u du u D du u u D R

123 i( u D u i Víme že : ( u < ε < u ε i Max. hodoa čiaele je proo D ( u < ε < u pa ( du ( u R ε i du. Aalýza Gibbova jevu: Aalýzu ohoo jevu lze prové a libovolé po čáech pojié ci bodem epojioi. druhu: (g(( de g( je pojiá ce pro R ( je pojiá všude výjimou bodu ( předavuje změu (o ce ( v bodě.. ro: Rozložíme g ( [ ] jao ci lichou ( a ( ~ g( ( v iovou řadu ( b iω. Koréí přílad: / - -/

124 ~ ( ( má bod epojioi.druhu eboť: lim ( ; lim (. ~ Velio ou ( ( -( -. Fčí hodoa: ( Koeiciey FŘ (ce je lichá: a a R T ω T b i( d ( i( d.." per pare".. ~ i ( R [ ] a pro [ ] ~ ( ~ R( ( (. Plaí edy: pro edy pro v bodě čí hodoa. Tedy chyba aproximace v bude. ro: Nahradíme-li FŘ Fourier. polyomem řádu (j. čáečým i oučem: ( ( pa aboluí chyba v aždém bodě pojioi ( bude: i i R ( ( (. i Nechť ϕ( coudu D ( u ń du D ( u i u co u i u Z u

125 i i ( ( ( du u u du u D R ϕ Pa: u edy i v oolí u 3. ro: Pro loálí exrém ce R ( plaí že R ( jeliož du u D R ( ( i i i ( ( / D R Z Aalyzujme ierval ( pro bude a ejbližší další bod v oolí v ěmž exiuje exrém je uečě při 4. ro: Přeá chyba e vypočía edá proo provedeme horí odhad. Pro max. ab. chybu v provedeme horí odhad. Nejdříve pro horí odhad iegrálu záměou horí proměé meze a ( du u u i i ϕ i i i i i i p dx p x p x dx p x p x du u u a ub. : dx p du x pu u p

126 Poud u x u x p x p i p Aalyzujme pro : x pu p p Pa při x p. x x i p x p x iα α x pu u ; u u Odud: p i ; de α α. Jeliož iα lim α α x p lze horí odhad iegrálu vyjádři ( ].. i x dx x p i p i x Použiím mociéřady: ( x ( I dx dx ( x ( ( x!!...ouče číel.řady aovíme pomocí ěolia prvích čleů a odhadu zbyu řady: ( ( ( ( r! (! ( de r je zbye alerujícířady 9 9!9 Použijeme-li 4 bude a r r ( (! ( ( (! 3 i x ( I dx ( x (! 9 9! 9 i x dx. x

127 Max. ab. chyba bude při lim R : 3 i x ( dx R x ( ( 9 & 8 & 87! 9! 9 ( ( Závěr: Hodoa 87 předavuje cca 8% hodoy /. V bodě erý e achází v oolí bodu epojioi. druhu doahuje ab. chyba aproximace vého maxima. To předavuje cca 8% poloviy ou - zv. přemiu. Proo idy emůžeme doáhou oho aby čáečý ouče (Fourierův polyom aproximoval zadaou ci v oolí bodu epojioi ejoměrě.

128 CVIČENÍ 7 Doděla úoly z miulých cvičeí zpracova ráý elaborá-zprávu o Tichoov. reg. algorimech FT a apa ci a výpoče ovoluce dvou poloupoí

129 Čaová a revečí obla (doméa

130 Moivace čaově-revečí aalýza WFT ( ( i 3 ( (. 8 i 3 ( ( 3 6. i Sigál FT (Fourier.r. -ampl.p WFT (Oei Four.r

131 Moivace čaově-revečí aalýza WFT Ko-ča le-ze dí - rou pe o - em e-bu-de-li pr - še e - zmo - em

132 Moivace aalýza hudebího igálu Předpoládejme že chceme aalyzova hudebí ladbu vůli její revečí charaeriice. Hudebí ladba-její revečí charaeriia může bý modelováa cí ( reprezeující la vzduchu a uší bubíe jao cičau. Jeliže e hudba ládá z jedolivých óů revecí ω pa ( je periodicá T / ω a přirozeým popiem její revečí charaeriiy je FŘ přičemž Four. oeiciey c určují ampliudy růzých harmoicých ω ω v (. Jeliže je hudba řadou aovýcho óů a melodií pa obecě eí periodicá a FŘ emůže bý použia. $ ( Jede příup je počía Four. iegrálí raormaci ω ce (. Avša ao meoda má z praicého hledia jedu vadu. Abychom počíali $ ( ω muíme iegrova ( a celéčaové oe. Jeliže ladba rvá určiou dobu muíme před výpočem poča až dozí proože by výlede eel žádou iormaciavíc chybíča.loalizace

133 Model lidého ucha Uvažujme model lyšeí - lidé ucho - aalyzuje rozděleí revece daého igálu ( v reálém čae - podává oučaě iormaci o ( ve revečí i čaové oblai ˆ Výup popaý cí ( ω τ - v záviloi a reveci ω a čae τ pro pevou hodou τ předavuje ˆ ( ω τ rozděleí revece v čae τ oo rozděleí e měí τ. Ucho emůže aalyzova o co ulyší později pro výpoče mohou bý použiy pouze hodoy ( de τ. T / ˆ ( ω τ Ucho má oečou paměť - z. exiuje čaový ierval T > aový že pouze hodoy ( pro τ T / mají vliv a výlede v čae. ˆ ( ω τ závií je a ( pro τ T / τ T / Hodoy igálu blízo oců iervalu mají meší vliv a aalýzu ež hodoy uprořed iervalu.

134 Oeí uce Předchozí vzahy mohou bý ormulováy maemaicy pomocí váhové (oeí uce g( erá je ulová vě iervalu T / T / a eré bude použio loalizaci igálu v čae. Pomocí g( dejiujeme ci τ ( ( g( τ erá má obecě ejý oič jao g( a azývá e loalizovaáčá igálu. g( ( τ ( T/ τ T/

135 Oeí uce Geerováí ce g( je založeo a: ilračí vlaoi jádra v ovolučím iegrálu g( je jádrem ovoluce jediě ehdy jeliže γ de je lib. veriálí příma erá e achází v oboru aboluí bp p p / a overgece Fourier.-Laplaceova iegrálu a E( p e ( e de γ i g( L g( d g( ( E( p i { } R { } R b a přičemž z poloupoi číel a lze vyvoři overgeí číelou řadu a reprezeaci δ uce : λk( λ g λ λ ( M K( τ dτ M loálí FŘ - viz. zobecěá oiová oa γ i ( * g( g( K( A A co( A co( A3 co( A4 co( T T T T T e p dp K( je udá ce K( a [ / ]

136 Přehled oeích cí v čaové a rev. oblai

137 Název oa Vzorec Gra oeí uce v ča. oblai Gra oeí uce v rev. oblai K A A A A 3 A 4. Obdélíové. Blacma- Harrioovo Hammigovo Haigovo 5. Plochý vrch (Fla - op Kaier- Beelovo Tueyovo Radar g( co( (

138 Barleovo.Trojúhelíové.Čebyšovo T T / g( T T / T T / T g( T / T T Gauovo g( ( a / e a 4 T / 3.Siu cardiali g( i( T / 4.Pareovo g( q T q T / Pareovo q g( q T T /

139 WFT - Oeí Fourierova raormace Deiice: Nechť ( g( g( L ( R τ ( ( g( τ pa pro τ R deiujme oeí raormaci jao Fourierovu raormaci uce ( : WFT{ } τ iω iω F( ω τ ˆ( ω τ τ ( e d ( g( τ e d g( g( a zpěou oeí raormaci: WFT { } F ( ω τ ( ω τ g τ e g ˆ( ( ( iω dω dτ Poz.: Vzahy jou ymericé jia apř. při použií orog. yému bude u zpě. oeí raormace oaa C g Poz.: Průopíem WFT byl Gábor e vou pojiou raormací (946 založeou a rozladu a čaově-revečí aomy geerovaé jao čaové a revečí pouy Gauové ce Poz.: Zvoleá oeí ce miimalizuje zv. riérium vyhodoceí λ( τ τ τ [ T / T / ] ja uviř iervalu a a celéčaové oe L

140 Přílad Hammig.oo vyhl. a c Uáza přepoču rev. rozahů: bodů za 7.63 ec -> 446 bodů za ec -> max. revece (Nyquiova 3 Hz. Pro oo body a pouem o body -> rev. hladi -> 3 Hz a hladiu

141 WFT Vyhlazeí igálů Filračí chopoi jedolivých oe jme ověřili a dvou igálech: amodelovaém (4 hodo a aměřeém (57 hodo - zázam důlě iduovaého eimicého jevu a aici Palovicé Hůry - vzi a Dole Lazy

142 WT - Waveleova raormace - Hiorie Novou myšleou je ahradi iy a oiy bloy růzých měříe a pozic Groma a Morle je azvali poprvé waveley malými vlami eré začíají a očí a pocházejí z jedé záladí ce zvaé maeřý wavele Ja e zrodila ao myšlea? 3á léa počáe hiorie Lilewood Paley a ezávile a ich Luzi přicházejí aalýzou a yézou cí z Hardyho proorů H P i ( y i ( R P užiím iegrálí raormace ( x dy d x R ( x y i vyjádřielé waveleovou raormací Luzi za ímo účelem vořil regulárí loalizovaou ci ψ ( R ( i plňující wavele. podmíu ψ ( d

143 WT - Hiorie 5-6á léa Caldero-Zygmudova eorie aomicé deompozice ce a velé možví jedoduchých eparáě udovaých použio pro řešeí iegrálích a parciálích diereciálích rovic 983 Groma a Morle aovili že jaáoliv ce z L lze rozviou ve waveley přeěji pouy a dilaace maeřého waveleu obdoba Gaborova příupu ale vylepšeým rozladem v čaové oblai Součaě Meyer doázal (moivová zprac.obrazu že pojié echiy mají vé diréí aalogie Sromberg Meyer Lemarie jou deigery orog.waveleů ačoliv prvím byl Haarův z r. 99 Velý rozmach waveleů byl způobe Mallaem erý vypracoval eorii mulirozladové aalýzy a algorimizaci geerováí wavele. bází. 988 Daubechie přišla orog. bází ompaím oičem vyoým upěm regulariy áledují biorog. rigoomericé omplexí ad. 993 Lawo Lia Mayrad přišli omplex. řešeím 4 podmíe (orogoalia ompa.oič maximum ulových momeů ymerie využívající paramerizaci mulirozladu: h ( 3 i 55 i 53 i 53 i 55 i 5 3 i 5 h ( i i i i 64 4

144 WT - Moivace K popiu WT pořebujeme ložiější maemaicý apará - záladem bude zv. víceúrovňová aalýza (Mulirozlad L (R -Mulireoluio Aalyi MRA. Pouíme e vyvěli zálady ohoo proceu a jedoduchém příladu. Předavme i že v upermareu máme regál (azveme Hilberovým proorem L (D ozačíme podlahu jao ulovou hladiu. Máme dipozici: záilu zboží (uce ( x apř. záila míčů růzé velioi regál je eave z jedolivých polic aždá police voří jedu hladiu (V m. Na aždé polici jou ulaé ovory (jedolivé elemey báze φ m m je idex police v regálu je poče ovorů a polici průměry ovorů jou ejé a jedé polici (a jedé hladiě ale při m přechodu z jedé police a druhou e měí dle vzahu m... - ovory a ižších policích edy jou x meší ež a horích Úolem bude opimálí rozlad zboží a policích j. aby aždý míč byl ulože a přílušé mío odpovídající jeho průměru.

145 WT - Moivace Řešeí: Je-li míč meší ež ovor pa eo míč pade pře ovor a přílušou polici (a přílušou hladiu de ovor bude meší ež průměr míče. Uloži eo míč a ižší polici je eoomicy evýhodé - am může bý umíě míč o meším diameru... Proceduru právě ohoo rozložeí azýváme víceúrovňovou aalýzou. Díváme-li e do daleohledu miroopu ooaparáu ažíme e zachyi oré a zároveň doaečě velé zobrazeí ašeho objeu přiom auomaicy provádíme podobou aalýzu. Formálě bychom mohli MRA ierpreova áledujícím způobem. Rozdělíme proor L (M a podproory (police:... V - V - V V V... j. Vm Vm m Z přičemž úplý proor m Z V m předavuje V (celý regál L ( D V eexiuje žádé zboží eré by e udrželo a horí polici m Z V m { }

146 WT - Moivace Dodáme ješě další požadavy: jeli ce V m ( V m - ce V m obahuje x více bodů ež V m (procedura přeložeí míče a ejbližší ižší polici za podmíy že průměr ovoru je x meší ež a předchozí polici. v prooru V exiuje uce φ V x D že její ralace { φ( x } Z Z voří bázi prooru V (police v horizoálím měru vyplí celý proor bez přerýváí a mezer. { ( } Z Tedy bázi prooru V : φ x doaeme z elemeů báze proorů V : φ x jedoduchým x zmešeím poledích. { ( } Z

147 WT - Waveleova raormace Deiice: Nechť ( L ( R pa deiujme waveleovou raormaci uce (: de WT( F( a b ˆ( a b ( ψ ( a( b d a R de a R \{} je dilaačí šálový paramer; b R je ralačí paramer; ψ ( je maeřý wavele ebo je wavele vořeý lieárích ombiací zv. ocových waveleů (šálových cí φ( plňující ψ ( L ( R ψ ( d φ( d Poz.: Záladí maeřý wavele i můžeme předavi jao "vlu" abývající ladých a záporých hodo erá emuí bý vůbec ymericá a může bý vyvořea pomocí elieárích ombiací ocových waveleů

148 Koeiciey waveleové raormace obahují iormaci ja o aalyzovaé ci a i o waveleu použiém při aalýze. Něeré vlaoi WT jou ezávilé a ypu waveleu. WT ( W ( a b. Lieáro: WT( α β α WT( β WT( α W ( a b β W ( a b. Ivariace vzhledem pouuí: WT( ( b W ( a b b 3. Ivariace vzhledem dilaaci: a b m m 4. Derivováí origiálu: m WT ( ( ( ab( d m m ψ 5. Aalog Parevalovy věy v případě orogoálí wavele-báze: eergie igálu (uce: WT - Vlaoi WT a a W a a ( ( d C W ( a b W ( a b a da db ψ ( d C W ( a b a da db ψ

149 WT Mulirozlad MRA L (R ( Deiice: Mulirozladem L R (víceúrovňovou aalýzou budeme azýva eleající poloupo uzavřeých šálovacích podproorů V m L ( R m Z pro ěž plaí áledující podmíy. Mulirozlad (oroormálí ( L R e ládá z: ( uzavřeých podproorů V L ( R m m Z pro ěž plaí podmíy: (a... V - V - V V V... j. Vm Vm m Z (ěeří auoři zapiují Vm Vm m Z záleží a ozačeí (b m Z V m { }. (c m Z V m je huý a předavuje ( L R j. m Z V L m R (d (x V m ( x V m x R ( uce φ V aové že { φ( } Z Z je oroorm. bází V Fce φ V e azývá šálovací cí ebo záladí šálovou cí rep. ocový wavele a louží pro aalýzu jedolivých šál. podproorů V m. ( Poz.: Exiují další deiice eré e vzahují biorog. waveleům waveleům v prooru L p waveleům a diribucích apod. Záladem pro vyvořeí diréí waveleové raormace DWT je dilaačí rovice zv. rovice oběpodoboi-šálovací rovice. Formálířešeí éo rovice můžeme eavi ve varu Four. iegrálu avša aalýza vziajících cí eí vůbec jedoduchá.

150 WT Koruce oroorm. waveleů Maemaicá oruce oroormálích waveleů ompaím oičem byla provedeá I. Daubechie (988 použiím eorie MRA. Nái vorby báze pomocí MRA je áledující. Nechť P m zameá orogoálí projeci do V m a D dilaačí operáor j. ( m m D m V. V m Při zvyšovaí m P m aproximuje a aoec limp m Proor V m je voře šálovými cemi { φ } m m Z Jeliož V m je obaže v V m můžeme deiova W m jao m-ý waveleový proor obahující waveleové uce { ψ } m m Z a aby byl orog. doplňem V m do V m j. V m V m W m Q m je proječí operáor do W m - šálovaé verze W de W m ( -m W. Tedy obdobě W m je voře wavele. cemi{ ψ } m m Z. Pa P m P m Q m je proječí operáor do V m. Záladí vlao MRA je o že umožňuje eavi oroorm. wavele. bázi { ψ } m m Z de m ( ψ m m ψ m Z a že pro aždou ( R plaí: m Pm Pm Qm φ m φm ψ m L Z Z ψ m

151 WT Koruce oroorm. waveleů Hledáme ci ψ W a aby {ψ(-} vořilo oroorm. bázi W W m D Wm a { D ψ ( bylo oroorm. bází W m. } m Jeliož W m V m V m V m W m a L W m W m a m Z Vm L m Z W m pa { D m ψ ( } m je oroorm. bází L.. Oroormalia je zde zaručea a jedolivých úrovích m : φ m φ δ ml l l l pro alárí oučiy mezi ouedími úrověmi plaí φ m φ m l h l l přiom h. Koruce ψ je dáa áledující procedurou. Nechť l (Z diréí aalog prooru L ( R. Je-li φ V V a φ( je oroormálí bází V pa poloupo oeicieů h l (Z plňuje dilaačí rovici φ ( hφ ( rep. φ( hφ( Vyřešeí éo rovice odarovalo oruci oroorm. wavele. báze. Zde h jou šálovací ilračí oeiciey zaručující oroormaliu má-li φ ( ompaí oič pa poče ěcho eul. oe. je eulový. { } Z

152 WT Koruce oroorm. waveleů Deiujme ψ ( ( h ( φ rep. ψ ( ( h ( φ m m ( pa právě waveley m m φ m φ ψm ( ψ m Z voří waveleové proory W m...yo wavele. báze azýváme Daubechieové - yo waveley emají žádé oy ymerie. Lze uáza že {ψ(-} je oroorm. bází pro W. W m jou edy vzájemě orog. čímž je zaručea orogoalia (oroormalia waveleů i mezi růzými úrověmi m. Něeré další podmíy pro eaveí waveleů (ejou ué: φ( d zde φ lze chápa jao proor. huou rozdělei pravděp. R áhodé veličiy za podmíy že φ( R. Uvažujeme-li že ř. hodoa áhodé veličiy je a její rozpyl pa φ ( d φ( d R R ψ ( d ψ ( d momey -ého upě R R pro ψ ( : ψ ( d R podmía a ymerii apod.

153 WT Koruce oroorm. waveleů Budeme e aži aléz šálovací ci vořící oroorm. mulirozlad. Nejdříve ajdeme ilračí oeiciey eré proředicvím dilaačí rovice budou deiova šálovací ci požadovaými vlaomi. Kromě orogaaliy budeme ješě chí aby ce měla ompaí oič. Číelé hodoy ilrač. oe. jao. počíala Igrid Daubechie (988. Oroorm. waveley N M eulovými ilrač. oe.... e začí DN (dbn rep. DN (dbn. Např. wavele D je orogoálí wavele. řádu - Haarův wavele. Šálovací ilrač. oe. (oeiciey proječího operáoru v prooru šálovacích cí budeme zači h viz. dilaačí rovice: h (...h h...h N... (... h h... h M... Waveleové ilrač. oe.(oeiciey proječího operáoru v prooru wavele. cí g : g... g g... g... ( M V důledu oragoaliy veoru h a g a všech hladiách i mezi hladiami rozladu oeiciey g vypočeme ze vzahu: g ( hm

154 WT Koruce -Přílad Oroorm. báze L (R vyvořeá jediým maeřým waveleem je Haarův yém de plaí [ [ ψ ( - [ Prvy éo báze ejou hladé řivy a mají rozpyl /ω rev. rozahu. Při ω při ω. Pro Haarovu oroorm. bázi šálovací ilračí oeiciey jou h ( h h wavele. ilrač. oe. ( g g h h jou dáy rovicemi: g g g Prví rovici eavíme a záladě podmíy a hladiě idexem m: h h mh m druhou rovici eavíme použiím vlaoi ψ ( d R v diréím varu: g jeliož g ( h g h g h pa ouavu přepíšeme: h h. Řešeím bude V případě orog. báze: h h. Řešeím bude h h g g h h h h g g. h h

155 Přehled šálových cí-ocových waveleů v ízo rev. ilr a jejich FT: čaové a revečí oblai

156 WT Mulirozlady Rozlad igálu Y lze zázori ve varu biárího grau : vupí igál ozače Y m m - idex raormačí hladiy (revečívěší idex charaerizuje věší revece a meší měříoj. hladiu věší rozlišovací chopoí. Y m - omprimovaý igál (aproximace igálu redováčá a hladiě m d m - orogoálí doplě a hladiě m erý zachycuje odlišoi jemoi. Y omprimovaý igál a poledí hladiě rozladu. vupí igál ozače Y m - idex raormačí hladiy ( revečívěší idex charaerizuje meší revece a věší měříoj. hladiu z meší rozlišovací chopoí. Y m - omprimovaý igál (aproximace igálu redováčá a hladiě m d m - orogoálí doplě a hladiě m erý zachycuje odlišoi jemoi. Y m omprimovaý igál a poledí hladiě rozladu.

157 DWT Mallaův algorimu - FWT Mallaův algorimu (pyramidálí aádový je eave pro případ orog. waveleů a čao je azývá rychlá wavele. raormace (FWT. Algorimu vyžaduje aby vupí veor obahoval poče vupích hodo ebo jou celá ladáčíla. Nechť vupí diréí daa jou: y Y Y ( T y y... y N DWT je operáor DT : L ( R l( Z deiovaý pro Y L ( R předpiem m ( DTY m d Y ψ m...výpoče wavele. oe. určujících rozlad Y do W m. Seavíme pomocou uci erá aproximuje vupí veor: Y y φ Z y φ φ V Pomocí operáoru orog. projece P m- P m Q m do V m- lze Y rozloži: Y m- P m Y Q m Y zde P Y Y φ φ QmY ( Yψ m Přirozeě á budou zajíma oeiciey ěcho projecí. Aproximačí oe. ozačíme am Y φm určují celový red vup. da Waveleové oe. d obahují doplň. iormaci o jemoech a m Y ψ m jedolivých úrovích. Možia vypočeých oeicieů voří waveleové perum. a d m m m m m ψ m

158 Koréí hodoy ilrač. šálovacích paramerů (Daubechieové jou publiovaé pro 4... eulových hodo. Přílad 4 eul. paramerů pro dilaačí rovici j. pro Daub. waveley.řádu: Výpoče ěcho oe. lze prové obdobě jao u D (Haarův wavele: v důledu oroormaliy budou plai rovoi h 3 4 h h h oaí h 3 3 h h h h h h h h doplěé rovicemi a ulovo -ého a -ího momeu h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h ouava 4 rov. o 4 ezámých 4 ady oeicieů ouava 4 rov. o 4 ezámých ady oeicieů DWT Mallaův algorimu

159 DWT Mallaův algorimu Obecě pro výpoče šál. paramerů lze eavi áledující ouavu rovic: N l v důledu oragoaliy: h h l δl l... N zde δ l N l. z hledia ormováí (omezeí : h N ulovo momeů m-ého upě zajiíme m ( h m... N. N rovice ( h použiá v. ouavě jao 3. bude pa lieárí ombiací uvedeých rovic. Tyo oe. použijeme pro popi algorimu přímé wavele. raormace a zpěé wavele. raormace j. pro výpoče čaově-rev. pera a pro reoruci igálu pomocí vyhlazovacího algorimu. V důledu orogoaliy oe. pro výpoče doplňové iormaci při daých ilračích paramerech budou g gg g3 g ( h : g h g h g h g g h Při výpoču budeme přecháze a hladiy vyšším idexem -čím meší idex hladiy ím věší revece charaerizuje.

160 DWT Mallaův algorimu Operáor P m je voře pomocí šál. cí ve varu maice PH obahující ilrač. šál. oe. h. Pro Haarův wavele: (h h T ( T. Operáor Q m je voře pomocí wav. cí ve varu maice QG obahující ilrač. wavele. oe. g. Pro Haarův wavele: (g g T (- T. Při přechodu a.hladiu rozladu (ižší rev. hladiu doaeme l N l...n- aproximačí oeiciey ve varu: y ( Y φ ylhl l...n/ - Maicový var uvedeého rou: h h h h3... h h h h3... Hy... M M M h h h h3 h3 h h h ( y y... T y N Maice H je řádu N/ x N. Výledem je veor obahující poče prvů N/. Obahuje ve zhušěé ormě iormaci ze vupího veoru (aproximačí ízorevečí. Dochází e omprei da v důledu průměrováí určiou váhou. l N Obdobě wavele. oe. pera: d ( Y ψ yl gl g g g g3... g g g g3... Gy... M M M g g g g3 g3 g g g ( y y... T y N l Je-li vupí igál doaečě hladý j. vupí veor e měí pozvola veor obahuje hodoy blízé ule dojde-li ve vupím veoru výrazému loálímu ou projeví e poledí věšími hodoami veoru. Maice G je řádu N/ x N vořeá oeiciey g obdobě jao maice H

161 DWT Mallaův algorimu.ro výpoču aproximač. a wavele. oe. pera při omprei da: y My G H d y Maice M je ypu N x N přičemž v případě reálých orog. wavele maice M je regulárí orogoálí a její maice iverzí e rová M - M T..ro: při přechodu a další hladiu budeme pracova veorem y erý obahuje N/ hodo : M y y G H d y Maice H je řádu N/4 x N/. Výledem je veor y obahující N/4 prvů charaerizuje aproximačíčá. Maice G je řádu N/4 x N/. Výledem je veor d obahující N/4 prvů charaerizuje doplňovou čá. i.ro: vupí veor lze omprimova a požadovaý poče bodů při požadavu že aprox. čá emí bý meší ež oič.... L i i i i i i i i M y y G H d y Výledem éo procedury jou veory popiujícíčaově-rev. perum vupího igálu. L L y...d d d Chceme -li reoruova původí veor y pomocí : Reoruci vup. veoru (zpěá ebo iverzí WT : d y d y y M T (... L L T i d y M y i i i i d y M y y T

162 DWT Mulirozlad - Přílad Nechť vupí veor Y ( Nejprve vyvoříme maici erá bude vořea pomocí šálovacích a wavele. ilrač. oe. poouvaých o hodoy. Prví 4 řády budou obahova šálovací oe. další 4 řády ilrač. wavele. oe. Vyvořeá báze již eí vořea Haarovými oeiciey ale je vořea pomocí šálovacích a waveleových ilračích oeicieů. M Q P T T Q P T T Q P ( d Y Q P M ( d Y Y Q P Y M Přímá: Zpěá: M Y T M Y T

163 DWT Pozáma Vedle uvedeého algorimu (Sadardí DWT exiuje Sacioárí DWT de edochází e omprei. Při eaveí algorimu v maici M e epoužívá pouv o mía ale pouv je o mío rep. vložeí. Maici M rozložíme a maice H G eré eavíme z ilrač. oe. pouem je o mío rep. při eaveí maic H G za aždý ilračí oe. vložíme pa provedeme pou o mía. Pa budou veory ejé dély jao vupí igál. y Hy d Gy Přílad Reálý eimicý igál Y Výledé wavele. oe. rozladu WT(Y a hladiy Reoruovaý igál po ilraci pomoci vailového prahováí

164 DWT Paeový rozlad Podaa paeového rozladu je v om že můžeme ejým způobem pracova veory d i. Např. při.rou rozladu: y H y My vziou y d d G y H aproximačíčá dále rozložíme uvedeým způobem: y M y d d d G H G obdobě rozložíme i doplňovou čá: Výledem bude poloupo vořea y d d d. d M d Deiice: Nechť ouava dyadicých dijuích iervalů j j I j { ( } ( j P Z N porývá celý ierval [ pa úplá ouava oroormálích waveleů { W j ( ( j P Z} voří oroormálí bázi L ( R a reprezeuje ci ( a W (. ( j P Z j j

165 Pricip pyramidálího algorimu: Mulirozlad Waveleové rozlady Paeový rozlad Y a d Y W a d Y W W W a 3 3 d diréí Daubechie (db - 4 oeiciey a Meyer (dmey - 6 oeicieů wavele: Poz.: výběr waveleové báze je velmi důležiý a ovlivňuje výledy zpracováí. Obvyle e waveleová báze volí a aby e co ejvíce podobala zpracovávaému igálu lépe zachycuje revece. Při oeí raormaci jou odraěy vyoé revece (dochází vyhlazeí zaímco u waveleové raormace jou zachycey všechy revece. Waveleová raormace e hodí ja pro acioárí a pro eacioárí igály.

166 Aproximačí vlaoi waveleů De exiuje celářada růzých hledie dle erých lze waveley děli a pojié diréí lieárí harmoicé orogoálí biorogoálí ompaím oičem a jié. Lze vša vyčlei 3 záladí paramery podle ichž lze hodoi aproximačí vlaoi waveleů paramer: L upeň loalizace C oli prvích momeů je ulových S hlado - do eré možiy cí přílušá šálová ce paří upeň loalizace L: plaí-li pro ϕ( a ϕ( c ( ϕ pa začíme L b plaí-li erovo a pro aždé N pa L γ c ϕ ( c( ϕ e pa L ( e γ d je-li iií pa L ϕ de momey -ého upě C: M ϕ( d R a abývá-li hodo pa začíme C b abývá-li všech hodo de N pa C

167 Aproximačí vlaoi waveleů hlado S : a exiuje-li pojiých derivací ( ϕ C pa začíme S b exiují-li všechy pojié derivace ( ϕ C pa S c je-li ce aalyicá pa S a. Klaiiace waveleů a záladě šálových ucí ϕ( : ϕ L C S pozáma Meyer a emá ompaí oič ale FT ϕm má ompaí oič Daubechie ϕ má ompaí oič (reálé uce iií orogoálí Bale e emá ompaí oič ale FT ϕ má ompaí oič Kravčeo e orogoálí a aomárí (loalizovaé Tab. 4.

168 Přílad Db mulirozlad a c x x Uáza přepoču rev. rozahů: 3 úrovňový mulirozlad -> 4 rev. hladiy odpovídající a 3 d 3 d d ->.hladia a Hz.hladia d Hz 3.hladia d Hz 4.hladia d 5-5 Hz