VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr. 1 se jedná o vektor AB. Obrázek 1: Jediný vektor a) velikostí V následujícím obr. 2 se jedná o různé vektory, které se liší b) směrem c) orientací Obrázek 2: Různé vektory Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, případně os x, y a z u trojrozměrného vektoru, což vidíme v obr. 3. Pokud máme vektor u zadán pomocí dvou bodů, tedy u = AB, pak jeho souřadnice spočítáme jako rozdíl x-ových, resp. y-ových souřadnic bodů A a B, což zapíšeme u = AB = B A Příklad 1 Jsou dány body A[ 2, 1, 3] a B[4, 3, 6]. Určete souřadnice vektoru u = AB a zjistěte velikost vektoru u. u = AB = B A = (4 ( 2), 3 1, 6 ( 3)) = (6, 2, 3) Velikost vektoru u se spočítá jako 2. odmocnina ze součtu kvadrátů souřadnic, zapsáno u = x 2 + y 2 + z 2 = 36 + 4 + 9 = 49 = 7 Můžeme říct, že se jedná o zobecnění Pythagorovy věty, nebot pro dvojrozměrný vektor bychom hledali velikost přepony pravoúhlého trojúhelníka. 1
Dalším pojmem je skalární součin dvou vektorů, pomocí něhož lze stanovit kolmost vektorů. Příklad 2 Stanovte y-ovou souřadnici vektoru b tak, aby zadané vektory byly na sebe kolmé. Přitom a = ( 3, 2, 5) a b = (2,?, 2) Skalární součin kolmých vektorů je roven 0, přitom a b = x a x b + y a y b + z a z b Počítáme a b = 3 2+2 y b +5 2 = 0, odkud dostaneme, že y b = 2. Tedy b = (2, 2, 2). Obrázek 3: Souřadnice vektoru Operace s vektory { a) sčítání vektorů Operace s vektory jsou b) násobení vektoru reálným číslem Obecně můžeme hovořit o lineární kombinaci vektorů. Příklad 3 Numericky a graficky určete vektor u, který je lineární kombinací vektorů a a b. Přitom u = 3 a 2 b, a = ( 2, 1), b = (1, 3). u = 3 ( 2, 1) 2 (1, 3) = ( 6, 3) + ( 2, 6) = ( 8, 3)... viz obr. 4 Poznámka pro zvídavé Skalární součin nelze považovat za operaci mezi dvěma vektory, protože výsledkem operace mezi vektory musí být vektor, přičemž výsledkem skalárního součinu je reálné číslo. Linární závislost a lineární nezávislost vektorů Zcela zásadním pojmem je lineární závislost a lineární nezávislost vektorů. Přesná definice lineární závislosti vektorů je poměrně nesrozumitelná, nicméně pro úplnost ji uvádím. Posloupnost vektorů u 1, u 2,..., u n je lineárně závislá, jestliže existují reálná čísla t 1, t 2,..., t n, z nichž alespoň jedno je různé od 0 tak, že t 1 u 1 + t 2 u 2 +... + t n u n = o 2
. O něco srozumitelnější je následující tvrzení, které plyne z předchozí definice. Posloupnost vektorů u 1, u 2,..., u n je lineárně závislá, jestliže mezi nimi existuje vektor u k, který lze vyjádřit ve tvaru lineární kombinace ostatních vektorů. Zde je důležité si uvědomit, že nutně ne každý vektor v posloupnosti vektorů u 1, u 2,..., u n musí jít vyjádřit ve tvaru lineární kombinace zbývajících vektorů! ( ) Dále platí, že vektory jsou lineárně nezávislé, jestliže ze vztahu vyplývá, že t 1 = t 2 =... = t n = 0. t 1 u 1 + t 2 u 2 +... + t n u n = o Obrázek 4: Lineární kombinace vektorů Pro lepší pochopení si budeme celou problematiku demonstrovat na dvojrozměrných a trojrozměrných vektorech. Pokud máme jeden nenulový vektor, tak ten je vždy lineárně nezávislý. (Nulový vektor je lineárně závislý.) Dva vektory jsou lineárně závislé, pokud to jsou násobky. Lineárně nezávislé jsou tehdy, jestliže každý z nich má jiný směr. u a v jsou lineárně závislé Na obr. 2 vidíme, že vektory a a b jsou lineárně nezávislé ı a j jsou lineárně závislé Pokud máme tři vektory, tak už musíme rozlišovat, zdali jsou dvojrozměrné nebo trojrozměrné, protože lineárně nezávislá posloupnost vektorů může obsahovat nejvýše tolik vektorů, jako je jejich rozměr! Tedy tři dvojrozměrné vektory jsou nutně lineárně závislé. Poznamenejme, že když je posloupnost vektorů lineárně závislá, tak přidáváním dalších vektorů zůstává stále lineárně závislá když je posloupnost vektorů lineárně nezávislá, tak ubíráním vektorů zůstává lineárně nezávislá když je posloupnost vektorů lineárně závislá, tak ubíráním vektorů nevíme, co se stane může zůstat lineárně závislá nebo se stát lineárně nezávislou když je posloupnost vektorů lineárně nezávislá, tak přidáváním vektorů opět nevíme, co se stane může zůstat lineárně nezávislá nebo se stát lineárně závislou 3
Mějme tedy tři trojrozměrné vektory. Ty budou lineárně závislé, pokud všechny tři vektory jsou vzájemně násobky všechny tři vektory leží ve společné rovině, přičemž dva z nich jsou násobky a třetí vektor má jiný směr všechny tři vektory leží ve společné rovině, přičemž každý z nich má jiný směr Obrázek 5: Lineárně závislé vektory Na obr. 5 vidíme, že vektor u nelze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů v a w, ale přitom je posloupnost vektorů u, v, w lineárně závislá, což demonstruje tvrzení ( ). Tři trojrozměrné vektory budou lineárně nezávislé, jestliže dva z nich budou ležet ve společné rovině, přičemž každý z nich bude mít jiný směr, a třetí vektor bude směřovat ven z roviny. Nejjednodušší případ této situace nastane, když tyto tři vektory budou udávat směry os x, y, z. V souřadnicích p = (1, 0, 0), q = (0, 1, 0), r = (0, 0, 1). Čtyři vektory budou nutně lineárně závislé bez ohledu na to, zda jsou dvojrozměrné nebo trojrozměrné. Na závěr trochu počítání... Obrázek 6: Lineárně nezávislé vektory Příklad 4 Zjistěte, zda je zadaná posloupnost vektorů lineárně závislá nebo nezávislá, přitom je a = (2, 3, 1, 4), b = (3, 2, 0, 2), c = (4, 6, 1, 1). Univerzální postup je takový, že zadané vektory napíšeme jako řádky nebo jako sloupce matice, jejíž hodnost následně určíme. Protože hodnost matice je rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků, případně sloupců tedy vektorů, bude platit, že když je hodnost matice rovna počtu vektorů, pak jsou tyto vektory lineárně nezávislé hodnost matice menší než počet vektorů, pak jsou tyto vektory lineárně závislé 2 3 1 4 3 2 0 2 4 6 1 1 2 3 1 4 0 5 3 8 0 0 3 7 Protože hodnost matice je rovna 3, jsou zadané tři vektory lineárně nezávislé. 4
Příklad 5 Určete, zda je zadaná posloupnost vektorů lineárně závislá nebo nezávislá, přitom je a = (1, 2, 5), b = (2, 3, 4), c = (0, 1, 6). Pokud je počet vektorů stejný jako jejich rozměr, lze o lineární závislosti nebo nezávislosti rozhodnout výpočtem determinantu. Platí, že hodnost matice je rovna nejvyššímu z řádů nenulových subdeterminantů, což znamená následující: pokud je hodnost matice rovna 3, a tedy vektory jsou lineárně nezávislé, pak je determinant 3. řádu vytvořený z této matice různý od nuly pokud je hodnost matice menší než 3, a tedy vektory jsou lineárně závislé, pak je nenulový subdeterminant vybraný z této matice řádu nejvýše 2, neboli determinant 3. řádu je nulový. 1 2 5 2 3 4 0 1 6 = 18 + 0 + 10 0 24 4 = 0 Zadané vektory jsou tedy lineárně závislé. Podobně by se postupovalo v případě, kdy by byly zadány čtyři čtyřrozměrné vektory. A na úplný závěr ještě tyto zajímavé příklady. Příklad 6 Určete souřadnice vektoru u, který je kolmý k zadaným vektorům a a b, je-li a = (1, 2, 3), b = ( 1, 1, 2). Sestavíme následující determinant, po jehož výpočtu budou souřadnice vektoru u rovny koeficientům u proměnných i, j, k. i j k 1 2 3 = 4i 3j + k + 2k + 2j 3i = 7i j + 3k 1 1 2 Tedy u = ( 7, 1, 3). O správnosti výpočtu bychom se mohli přesvědčit tak, že skalární součiny u a a u b jsou rovny 0. Příklad 7 Napište obecnou rovnici roviny α, která je zadána třemi body A, B, C. Přitom A = [2, 3, 1], B = [ 3, 2, 0], C = [4, 6, 1]. Třemi zadanými body jsou dány dva vektory u a v, které určují zaměření roviny α. Položme u = AB = B A = ( 5, 1, 1) v = AC = C A = (2, 9, 2) Označme X[x, y, z] obecný bod roviny α a spočítejme vektor w = AX = X A = (x 2, y 3, z + 1) Protože vektor w také patří do zaměření roviny α, musí být lineární kombinací vektorů u a v, neboli posloupnost vektorů u, v, w je lineárně závislá. To znamená, že determinant tvořený souřadnicemi těchto vektorů je roven 0. x 2 y 3 z + 1 5 1 1 2 9 2 = 2(x 2)+2(y 3)+45(z +1)+2(z +1)+10(y 3)+9(x 2) = 5
= 7(x 2) + 12(y 3) + 47(z + 1) = 7x + 12y + 47z 3 Obecná rovnice roviny α má tvar 7x + 12y + 47z 3 = 0 Správnost získaného výsledku bychom mohli ověřit zpětným dostazením souřadnic zadaných bodů do této rovnice. Pozn. Vektory se užívají například pro navigaci v letecké dopravě. 6