KOMPLEXNÍ ČÍSLA (druhá část) V první kaptole jsme se senáml s algebrackým tvarem komplexního čísla. Některé výpočty s komplexním čísly je však lépe provádět ve tvaru gonometrckém. Pon. V následujícím textu předpokládám nalost průběhu gonometrckých funkcí snus resp. kosnus. Gonometrcký tvar komplexního čísla Je dáno komplexní číslo = a + b. Znáorníme ho v Gaussově rovně. Gonometrckým tvarem komplexního čísla naýváme áps: cos sn a b cos, sn., kde Příklad 3 Vyjádřete v gonometrckém tvaru čísla: a) = + 5, b) = 5, c) = 4. a) Načrtneme s obra čísla = + 5 v Gaussově rovně. Snadno se přesvědčíme, že leží ve II. kvadrantu, tj. argument α bude úhel tupý. Nejdříve vypočítáme, tj. vdálenost obrau čísla od počátku soustavy souřadnc. a cos a b Pon. Vtah 9 4 5 9 48 Výsledek: 9 cos48 sn48. b sn jsme př řešení nepoužl, neboť víme, ve kterém kvadrantu leží číslo = + 5. Kdybychom to nějakého áhadného důvodu nevěděl, měl bychom po výpočtu kosnu argumentu (vyšel áporný) dvě možnost II. nebo III. kvadrant. V tomto případě bychom musel jstt snus argumentu α (nebo alespoň jeho naménko). Ten je kladný (tedy I. nebo II. kvadrant), řešením je tedy argument II. kvadrantu.
b) Číslo = 5 leží na kladné poloose x, argument α = 0. Vdálenost čísla 5 od nuly je 5. 5 cos0 sn 0. Výsledek: c) Číslo = 4 leží na áporné poloose y, argument α = 70, = 4. 4 cos 70 sn 70. Výsledek: Pon. Absolutní hodnota a argument α jsou ekvvalentem polárních souřadnc ρ a ε běžně používaných např. v matematcké kartograf. Naprot tomu čísla a, b algebrackého tvaru komplexního čísla = a + b jsou ekvvalentem pravoúhlých souřadnc [x; y]. Pon. Kromě algebrackého a gonometrckého tvaru komplexního čísla exstuje exponencální tvar komplexního čísla používaný např. v dferencálním počtu. Jeho áps vypadá takto: e, kde e je Eulerova konstanta. Součn a podíl komplexních čísel v gonometrckém tvaru Máme čísla cos sn, cos sn cos cos. Pak platí: sn sn Příklad 4 Určete grafcky a), b) :. Výsledek ověřte výpočtem. = 3(cos 4 + sn 4 ) = (cos 5 + sn 5 ) Vyjdeme vět uvedených výše. a)
Zjednodušený áps konstrukce:. k; k = (0; r = 3). úhel 30A o velkost 4 3. Z; Z k polopřímka 0A 4. k; k = (0; r = ) 5. úhel 30B o velkost 5. Z; Z k polopřímka 0B 7. jednotková kružnce j se středem v počátku soustavy souřadnc 8. C; C j polopřímka 0B 9. přímka p rovnoběžná s úsečkou CZ procháející bodem Z 0. D; D p polopřímka 0A. k; k = (0; r = 0D = ZZ ). E; E k polopřímka 0B 3. m; m = (E; r = D ) 4. ZZ; ZZ k m Výpočet: 3 cos4 5 sn4 5 cos57 sn57 b) Zjednodušený áps konstrukce: 9. přímka p rovnoběžná s úsečkou ZZ procháející bodem C 0. D; D p polopřímka 0A. k; k = (0; r = 0D = Z:Z ). E; E k polopřímka 0B 3. m; m = (D; r =,5E ) 4. Z:Z; Z:Z k m Výpočet: : 3 : cos4 5 sn4 5,5 cos 73 sn 73 =,5 cos 87 sn 87
Movreova věta Je dáno komplexní číslo cos sn n n cos n sn n. Pro všechna přroená čísla n platí: Příklad 5 Vypočtěte (3 5). Číslo = 3 5 nejprve převedeme do gonometrckého tvaru a potom použjeme Movreovu větu. = 3 5 3 5 34 Obra čísla leží ve IV. kvadrantu, argument α bude tedy úhel ntervalu 70 ; 30. a 3 cos 30058 34 34 39 304 cos 30058 sn 30058 cos80547 sn80547 Vyšel nám úhel jak vrata, využjeme proto perodčnost gonometrckých funkcí snus resp. kosnus a přepíšeme tento úhel do ákladního tvaru. 39 304 cos547 sn 547 Teď už bývá jen poslední krok převést číslo pět do algebrackého tvaru. 39 304 cos547 sn 547 39 304 0,995 0, 0 3903,9 390, 5 Pon. Komu přjde výše uvedený postup přílš komplkovaný, může provést následující výpočet: 3 5 3 5 3 5. Přej příjemnou ábavu. N tá komplexní odmocnna Je dáno komplexní číslo. Pak pro každé n přroené platí: n n k k cos sn, kde k = 0; ; ;... ; n n n Chceme-l odmocnt komplexní číslo 0, převedeme jej nejdříve do gonometrckého tvaru cos sn. Poté použjeme výše uvedený vorec, kde a k postupně dosaujeme celá čísla od 0 až po číslo n. Dostaneme vždy n výsledků, které veme n-tým komplexním odmocnnam čísla. Každé komplexní číslo kromě nuly má právě n růných n-tých komplexních odmocnn. Zdánlvě složtý výpočet ořejmíme na příkladu.
Příklad Vypočtěte 3 8. Nejprve vyjádříme číslo 8 v gonometrckého tvaru. Jedná se o číslo reálné, ležící na áporné poloose x, jehož absolutní hodnota je rovna 8. Platí tedy: 8 = 8(cos 80 + sn 80 ). Vorec pro výpočet n-té komplexní odmocnny vyjádříme pro naše potřeby ve stupních. n 30 k 30 k n cos sn, kde k = 0; ; ;... ; n n n n = 3, α = 80, a k budeme postupně dosaovat čísla 0,,. = 8 n 3 8 k = 0 k = k = 80 30 0 cos 3 80 30 0 sn 3 = cos0 sn 0 80 30 cos 3 80 30 sn 3 = 3 = cos80 sn80 80 30 cos 3 3 80 30 sn 3 = = cos300 sn 300 = 3 Pon. Kdybychom se abýval danou odmocnnu poue v oboru reálných čísel, dostal bychom poue řešení =. V oboru C má však každé číslo právě n růných n-tých komplexních odmocnn, jejchž obray vytvoří v Gaussově rovně pravdelný n-úhelník, jak s ukážeme poděj př řešení bnomckých rovnc. Otáka: Co se stane, dosadíme-l a k = 3? Podle výše uvedených tvrení totž nemůže exstovat žádná jná třetí odmocnna čísla 8. Zkusíme. k = 3 80 30 3 80 30 3 cos sn 3 3 cos 40 sn 40 = 3 4 = Pro k = 3 jsme dostal opět první kořen. Stejně tak pro k = 4 bychom dostal opět atd.