CVIČENÍ POZNÁMKY. CVIČENÍ. Vazby mezi systémy. Bloková schémata.vazby mezi systémy a) paralelní vazba b) sériová vazba c) zpětná (antiparalelní) vazba. Vnější popis složitých systémů a) metoda postupného vylučování mezilehlých proměnných b) metoda postuoného zjednodušování blokového schématu c) metoda zjednodušení blokového schématu podle Masonova pravidla
CVIČENÍ. Vazby mezi systémy. Bloková schémata Proces řízení probíhá vždy na principu kauzální (příčinné) součinnosti dvou nebo více objektů (např. řízeného a řídicího) zapojených odpovídajícím způsobem. Spojením těchto objektů subsystémů - vzniká složený objekt, obecně nazývaný systém (též soustava). Za systém považujeme jakékoli účelové uspořádání jednodušších objektů ve složitější celek vyznačující se jednak interakcí těchto objektů a dále výslednými vlastnostmi, jež tento celek charakterizují. Při spojování dílčích subsystémů ve funkční celek, tedy systém, na sebe dílčí kauzální relace charakteristickým způsobem navazují a vytvářejí dané uspořádání, které nazýváme strukturou systému. Strukturu systému je možno popsat mnoha způsoby, např. časově invariantním vztahem mezi okamžitými nebo minulými nebo budoucími hodnotami veličin. Nejčastěji však strukturu systému znázorňujeme blokovým schématem. Blokové schéma je orientovaným grafem, ve kterém je každá z dílčích relací reprezentována blokem, a orientovanými spojnicemi - větvemi je vyjádřen směr šíření (toku) signálu mezi bloky (obr..). Vlastnosti jednotlivých bloků jsou nejčastěji popsány přenosem - relací mezi jejich vstupem a výstupem, či stavovým popisem relací mezi jejich vstupními, výstupními a stavovými veličinami. V dalším se omezíme na reprezentaci vlastností bloku pomocí přenosové funkce - přenosu v Laplaceově transformaci. Orientované spojnice pak určují pro každou veličinu systému její vstupní resp. výstupní úlohu pro daný blok. Na obr.. jsou uvedeny značky používané pro kreslení blokových schémat systémů. u(t) g(t), h(t) y(t) u(t) A,B,C,D x(t) y(t) Lineární systém popsaný impulsní charakteristikou g(t) resp. přechodovou charakteristikou h(t), přenosovou funkcí, stavovým popisem (matice A,B,C,D) Y (s) Y (s) Y (s) Y (s) Y (s) Y (s) + Y (s) Y (s) Y (s) Y (s) - Y (s) Y (s) - Y (s) + Y (s) Součtové a rozdílové členy Rozdělovací uzel Obr...: Značky používané pro kreslení blokových schémat
CVIČENÍ Uveďme pro názornost příklad blokového schématu složeného systému. Příklad..: Mějme nádobu k zadržení určitého množství protékající kapaliny, které je dané výškou hladiny h. Průtokové množství Q (přítok) je závislé na otevření ventilu d a na tlaku kapaliny p před tímto ventilem (závislost G ). Průtokové množství Q (odtok) závisí na výšce hladiny h a na poloze odtokového otvoru a (závislost G ). Závislost změny výšky hladiny h na průtokových množstvích Q a Q označíme jako G. Analogické schéma by platilo i pro Laplaceovy obrazy veličin p, d, h, a, Q a Q a přenosy G (s), G (s) a G (s). d p d Q Q G G h p Q h Q G a Q a Obr...: Soustava nádrže s volným odtokem a její náhradní blokové schéma Přenosem lze, stejně jako jednotlivé subsystémy složeného systému, samozřejmě popsat i celý složený systém či jeho libovolnou část. K tomu musíme ovšem znát metodiku, jak určit přenos složeného systému, známe-li popisy dílčích členů, z nichž se systém skládá. V následujícím odstavci se budeme věnovat systémům složeným ze dvou subsystémů. Omezíme se na systémy typu SISO, tedy s jedním vstupem a jedním výstupem... Základní vazby mezi systémy Nechť je dynamický systém složen ze dvou subsystémů. Dynamické vlastnosti každého z těchto subsystémů mohou být popsány vnějším nebo vnitřním popisem. V dalším textu se omezíme pouze na vnější popis přenosovou funkcí v Laplaceově transformaci. Dva systémy S a S mohou být navzájem spojeny: paralelní vazbou sériovou vazbou zpětnou (antiparalelní) vazbou. Tyto vazby označujeme jako základní vazby mezi systémy. Nechť je systém S popsán přenosovou funkcí G (s). Systém S nechť je popsán přenosovou funkcí G (s). Postupně nyní ukážeme odvození celkového vnějšího popisu systému S, složeného z paralelně, sériově a zpětnovazebně zapojených subsystémů S a S. A) Paralelní vazba Chceme-li systémy S a S spojit paralelně, musí mít oba systémy stejný počet vstupů (dim u dim u ) a stejný počet výstupů (dim y dim y ) pokud se jedná o MIMO
CVIČENÍ systémy, tedy systémy s více vstupy a více výstupy. Pokud se jedná o SISO systémy, platí tato podmínka automaticky. Ve složeném systému S platí vazební rovnice (viz obr..): u u u y y + y u u S y y u y S S Obr...: Paralelní zapojení systémů Při odvozování přenosové funkce složeného systému S postupujeme podle obr.. následovně: Y( G( U( a tedy: Y( Y ( + Y( G( U ( + G( U ( + [ G ( G ( ] U( G G ( + G ( (.) ( Přenosová funkce paralelně řazených subsystémů S a S je tedy tvořena součtem přenosových funkcí G ( a G ( obou subsystémů. Analogicky přenosová funkce n paralelně řazených subsystémů S S n je tvořena součtem přenosových funkcí G G n ( jednotlivých subsystémů. ( B) Sériová vazba Abychom systémy S a S mohli spojit sériově, musí mít systém S tolik výstupů, kolik má systém S vstupů (dim y dim u ) pokud se jedná o MIMO systémy, tedy systémy s více vstupy a více výstupy. Pokud se jedná o SISO systémy, platí tato podmínka opět automaticky. Ve složeném systému S platí vazební rovnice (viz obr..): y u a dále je zřejmé, že: u u a y y u u y u y S y S S Obr...: Sériové zapojení systémů Při odvozování přenosové funkce složeného systému S postupujeme podle obr.. následovně:
Y( G( U( CVIČENÍ Y( Y( G( U ( G( Y( G( G( U( G( G( U( a tedy: G ( G ( G( (.) Přenosová funkce sériově řazených subsystémů S a S je tedy tvořena součinem přenosových funkcí G ( a G ( obou subsystémů. Analogicky přenosová funkce n sériově řazených subsystémů S S n je tvořena součinem přenosových funkcí G G n ( jednotlivých subsystémů. ( C) Zpětná (antiparalelní) vazba Abychom systémy S a S mohli spojit antiparalelně, musí mít systém S tolik výstupů, kolik má systém S vstupů (dim y dim u ) a systém S tolik výstupů, kolik má systém S vstupů (dim y dim u ) pokud se jedná o MIMO systémy, tedy systémy s více vstupy a více výstupy. Pokud se jedná o SISO systémy, platí tato podmínka automaticky. Ve složeném systému S platí vazební rovnice (viz obr..5): u u ± y (.) y y u Znaménko v první vazební rovnici (.) platí pro zápornou zpětnou vazbu (obr..5), znaménko + pro kladnou zpětnou vazbu. u u S y y y u S S Obr..5.: Zpětnovazební (antiparalelní) zapojení systémů Při odvozování přenosové funkce složeného systému S se zápornou zpětnou vazbou postupujeme podle obr..5 následovně: Y( Y( G( U( G( [ U( Y( ] G( [ U( G( U ( ] G( [ U( G( Y( ] Rovnici upravíme převedením na jednu stranu rovnice a na druhou stranu rovnice: Y( [ I + G( G( ] G( U( a výsledná přenosová funkce složeného systému S se zápornou zpětnou vazbou je tedy rovna: G ( [ I + G( G( ] G( (.) Je-li zpětná vazba na obr..5 kladná, změní se pouze znaménko v rovnici (.) a výsledná přenosová funkce složeného systému S je rovna: G I G ( G ( ( s (.5) [ ] ) ( G 5
CVIČENÍ Seznámili jsme se se základními vazbami mezi systémy a odvozením vnějšího popisu složených systémů, obsahujících tyto vazby. Vycházeli jsme vždy z blokového schématu složeného systému a postupným vylučováním mezilehlých proměnných jsme směřovali k určení relace mezi vstupem a výstupem složeného systému, popsané jedinou rovnicí. Z daného zapojení subsystémů jsme takto získali jediný blok popsaný přenosovou funkcí. Obdobně můžeme postupovat i při odvozování popisu složitějších systémů... Vnější popis složitých systémů Nyní zaměříme pozornost na odvozování vnějšího popisu složitějších systémů, obsahujících různé kombinace sériových, paralelních a antiparalelních vazeb. Jak již bylo řečeno v předchozím odstavci, naším cílem bude získat z vnějšího popisu jednotlivých subsystémů přenosovou funkci resp. přenosovou matici celého systému. Můžeme postupovat několika způsoby. Metodou, která při určování celkového přenosu vždy povede k cíli, je: a) metoda postupného vylučování mezilehlých proměnných Podle této metody jsme postupovali při odvozování popisů složených systémů obsahujících základní vazby v odstavci.. Demonstrujme jednotlivé kroky této metody ještě jednou na následujícím příkladu. Příklad..: Zjistěte výslednou přenosovou matici složeného systému na obr..6. u u y u y G G y y G u y G u Obr..6.: Blokové schéma systému Označíme každou veličinu v blokovém schématu mezi bloky a mezi bloky a součtovým resp. rozdílovým uzlem (na obr..6 jsme pro srozumitelnost označili i vektorové veličiny y, u a u, přestože jsou rovny výstupu y). Sestavíme rovnice součtových resp. rozdílových uzlů: U U( ( a U Y ( ( ( Y ( Y Sestavíme rovnice závislostí mezi vstupními a výstupními vektory jednotlivých bloků: Y ( G ( U ( platí : Y( Y ( U ( U ( Y ( G Y ( G ( U Y ( G ( U ( U ( ( ( 6
CVIČENÍ Řešením soustavy lineárních rovnic vypočítáme celkový přenos systému. Postupně vylučujeme všechny mezilehlé vektory veličin s cílem získat jedinou rovnici závislosti mezi vstupem a výstupem. Y( G G G G G ( ( ( ( ( U ( G( [ Y( Y( ] [ G( U ( G( U ( ] [ G( U( G( Y( G( U ( ] [ G( U( G( GU ( G( U ( ] [ G ( U( G ( G Y( G ( Y( ] Rovnici upravíme převedením členů s výstupem na levou stranu rovnice a členů se vstupem na pravou stanu rovnice: [ I + G( G( G( + G( G( ] Y( G( G( U( a tedy výsledná přenosová matice soustavy bude: G( [ I + G( G( G( + G( G( ] G( G( Druhou metodou jak získat z vnějšího popisu jednotlivých subsystémů přenosovou funkci resp. přenosovou matici celého systému je: b) metoda postupného zjednodušování blokového schématu Při zjednodušení blokového schématu se vychází z náhradních přenosů pro základní zapojení, tedy sériové, paralelní a zpětnovazební (viz odstavec.). Protože se však smyčky v systému mohou navzájem křížit (překrývat), jak uvidíme v příkladu., je často nezbytné upravit blokové schéma tak, aby byla základní zapojení jednoznačně určena. Při takových úpravách blokových schémat se využívají čtyři základní pravidla, a to pravidlo pro přesun uzlu před blok a za blok a pravidlo pro přesun sumačního členu před blok a za blok: pravidla pro přesun uzlu a) před blok b) za blok Obr..7.: Pravidla pro přesun uzlu / 7
pravidla pro přesun sumačního členu CVIČENÍ a) před blok Z(s) Z(s) / b) za blok Z(s) Z(s) Obr..8.: Pravidla pro přesun sumačního členu Příklad..: Určete výsledný přenos složeného jednorozměrového systému na obr..9 postupnými úpravami blokového schématu: G (s) G (s) G (s) G (s) G 5 (s) Obr..9. Blokové schéma složeného jednorozměrového systému Zadané blokové schéma je tvořeno paralelním, sériovým a dvěma zpětnovazebními zapojeními. Zpětné vazby se však kříží, proto je nezbytné přesunout uzel () za blok s přenosem G (s) nebo uzel () před blok s přenosem G (s) podle pravidel pro přesun uzlu. G (s) G (s) G (s) G (s) / G (s) G ** (s) G 5 (s) G * (s) 8
Nyní lze vypočítat náhradní přenos CVIČENÍ G 5 ( a G ** ( vnitřního zpětnovazebního zapojení: G * ( paralelně zapojených bloků s přenosy G ( G ( G ( G * ( G ( + G5( G ** ( + G( G ( Blokové schéma se nyní zjednoduší na jednoduché zpětnovazební zapojení obsahující sériově zapojené bloky v přímé i zpětné vazbě : G (s) G ** (s) G * (s) / G (s) Výsledný přenos systému je roven (ověřte!): G( ** G ( G ( ** G ( G ( G + G ( * ( G ( G ( G ( + G ( G ( + G ( G ( G ( + G ( G ( G ( 5 Dalším možným způsobem jak získat z vnějšího popisu jednotlivých subsystémů přenosovou funkci resp. matici celého systému je: c) metoda zjednodušení blokového schématu podle Masonova pravidla Dříve než přistoupíme k formulování Masonova pravidla uvedeme motivující příklad. Příklad..: Předpokládejme, že máme stanovit přenosovou funkci jednorozměrového hypotetického systému znázorněného na obr..0, v jehož struktuře se nachází všechna základní zapojení. U (, Y ( resp. Z( označují Laplaceovy obrazy vstupní, výstupní resp. pomocné veličiny systému. Pro uvedené veličiny platí algebraické rovnice: ( G ( U( + Z( G ( Y( G ( s (.0) [ + 5 ] ) [ U( + G ( Z( G ( Y( ] G ( Y Z( + 6 (.) Z rovnice (.) vyjádříme Z( jako: G ( U( + G ( G6 ( Y( Z( G ( G( a po dosazení do rovnice (.0) a úpravě dostáváme hledanou přenosovou funkci (oveřte!): 9
G( Y( U( G ( G CVIČENÍ G ( G ( + G ( G ( [ G ( G ( ] ( G( G5( G( G ( G6 ( + G( G( G( G5( (.) G (s) G (s) Z(s) G (s) G (s) G 5 (s) G 6 (s) Obr..0.: Blokové schéma složeného jednorozměrového systému G (s) M G (s) Z(s) G (s) M G (s) L L L G 6 (s) G 5 (s) Obr...: Blokové schéma složeného jednorozměrového systému s vyznačenými přímými orientovanými cestami ze vstupu na výstup a orientovanými uzavřenými smyčkami Získaný výsledek nyní budeme analyzovat z hlediska přímých cest M a M, tj. orientovaných cest od vstupu k výstupu složeného systému, a z hlediska smyček L, L a L tj. orientovaných uzavřených cest složeného systému. Přímé cesty a uzavřené orientované smyčky jsou znázorněny na obr... Složený systém obsahuje dvě přímé orientované cesty ze vstupu na výstup a to a. Cesta M prochází bloky s přenosy G ( a G ( a M M cesta M bloky s přenosy G ( a G (. Zavedeme přenosové funkce přímých cest M ( a M ( : M ( G( G( M ( G( G(. Složený systém obsahuje orientované smyčky, a. Smyčka L obsahuje bloky s přenosy G ( a (, smyčka L bloky s přenosy G ( a ( a smyčka G bloky s přenosy G (, G ( a G 6 (. Zavedeme přenosové funkce smyček L (, L ( a L ( : L L L G 5 L 0
L CVIČENÍ ( G ( G ( L ( G( G5( L ( G( G( G6 ( Potom lze výraz (.) přepsat na tvar: G () s [ L ( ] Y( M ( + M (, (.) U( L ( L ( L ( + L ( L ( Ve jmenovateli přenosu (.) se od jedné odečítají přenosy všech smyček a přičítá se součin smyček L () s a L () s, které se vzájemně nedotýkají, tj. nesdílejí žádnou společnou cestu ani její část. Výsledný přenos ve tvaru (.) jako výsledek metody přímých orientovaných cest a uzavřených orientovaných smyček zobecňuje Masonův vzorec (tzv. Masonovo pravidlo): Jmenovatel vztahem: ( ) Δ s ( ) Δ s G () s Y( U( m k M k ( Δ k( Δ (, (.) se nazývá determinant blokového diagramu (schématu) a může být vyjádřen součet přenosů součet součinů přenosů vzájemně se + (.5) všech smyček nedotýkajících dvojic smyček součet součinů přenosů vzájemně se +K nedotýkajících trojic smyček Přenosová funkce k-té přímé orientované cesty ze vstupu U( složeného systému na jeho výstup Y ( je označena M k ( ; jako Δ k ( je označen subdeterminant k-té přímé cesty. Subdeterminant k-té přímé cesty získáme z determinantu Δ ( blokového diagramu tak, že v něm položíme rovny nule přenosy těch smyček, které se dotýkají k-té přímé cesty. Podle obr..0 v uvedeném příkladu. například platí: [ L ( + L ( + L ( ] L ( L ( Δ ( + Δ ( 0 0 0 + 0 Δ L ( 0 0 + 0 L ( ( Masonův vzorec podstatně zjednodušuje vyjadřování přenosových funkcí složených systémů. Postupujeme tak, že nejdříve vyznačíme v blokovém schématu jednotlivé přímé cesty od vstupu složeného systému na jeho výstup a uzavřené orientované smyčky, a rozhodujeme o jejich dotyku, tj. zjišťujeme, zda mají alespoň jednu společnou větev v blokovém schématu. Poté použijeme uvedený vztah (.). Příklad.5.: Stanovte přenosovou funkci mezi vstupem U ( a výstupem Y( složeného jednorozměrového systému na obr.. pomocí Masonova pravidla.
CVIČENÍ G 7 U - M L - G G G G G 5 G 6 - - Y L G 8 L G 9 L G 0 Obr...: Blokové schéma složeného jednorozměrového systému s vyznačenými přímými orientovanými cestami ze vstupu na výstup a orientovanými uzavřenými smyčkami Při řešení označíme jedinou přímou cestu jako.tato cesta prochází bloky s přenosy G (, G (, G (,G (,G s a G 6 (. Zavedeme přenosovou funkci přímé cesty ( 5 ) M ( : ( G ( G ( G ( G ( G ( G ( dotýkají navzájem. Smyčka L obsahuje bloky s přenosy G (, G (, G (,G, G 5 (, G 6 ( a (, smyčka L bloky s přenosy G (, G (, G (,G a M M 5 6 L L L Této cesty se dotýkají všechny označené smyčky,, a L, které se navíc také G 0 G 9 (, smyčka L bloky s přenosy G (, G ( a G 8 ( a smyčka L bloky s přenosy G (, G 5 ( a G 7 (. Jednotlivé přenosy shora uvedených smyček určíme jako: ( G ( G ( G ( G ( G ( G ( G ( L 5 6 0 L( G( G ( G( G 5( G9( L(s) G8( L( G( G 5( G 7( Pro výslednou přenosovou funkci mezi vstupem U ( a výstupem Y( složeného jednorozměrového systému podle (.) platí: ( 5 ( kde: Y( M ( Δ ( G(, U( Δ( Δ ( L( L( L( L( Δ (
CVIČENÍ Příklad.6.: Stanovte přenosovou funkci mezi vstupem U ( a výstupem Y( složeného jednorozměrového systému na obr.. pomocí Masonova pravidla. Jedná se o schéma z příkladu., kde jsme pro řešení výsledného přenosu tohoto složeného systému použili metodu postupného zjednodušování blokového schématu. Nyní tedy ověříme získaný výsledek prostřednictvím Masonova pravidla. Uvidíme, že tento postup je mnohem jednodušší a vede tedy rychleji k získání výsledného přenosu. G (s) M G (s) G (s) L G (s) L G 5 (s) L Obr..9. Blokové schéma složeného jednorozměrového systému Přenosová funkce jediné přímé orientované cesty M ze vstupu složeného systému na jeho výstup je rovna: M ( G( G( G ( Této cesty se dotýkají všechny označené smyčky, a L, které se navíc také dotýkají navzájem. Smyčka L obsahuje bloky s přenosy (, (, smyčka L bloky s přenosy L L G G G (, G (, G (, smyčka L bloky s přenosy G (, G ( a G 5 (. Jednotlivé přenosy shora uvedených smyček určíme jako: L( G( G( ( G ( G ( G L L(s) G5 ( ( Pro výslednou přenosovou funkci mezi vstupem U ( a výstupem Y( složeného jednorozměrového systému podle (.) platí: kde: a tedy: Y( M ( Δ ( G(, U( Δ( Δ ( L( L( L( L( Δ (
CVIČENÍ G( Y( U( M ( Δ ( G( G( G ( Δ( L ( L ( L ( G( G( G ( + G ( G ( + G ( G ( G ( + G ( G ( G ( Pro zobrazování vazeb mezi subsystémy můžeme vedle blokového schématu použít rovněž tzv. signálové diagramy (grafy signálových toků). Vzhledem k tomu, že jsou pouze odlišnou grafickou reprezentací struktury systému, vztahují se na ně všechny postupy uvedené v odstavcích. a.. 5